Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 1
1.0 ECUACIONES DIFERENCIALES
Definición: una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Clasificación
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:
2
2
a) 5 1
b) 4 0
c)
d) 2 6 0
dy y dx
y x dx xdy du dv
x dx dx
d y dy
y dx dx
Definición: Lasolución de una ecuación diferencial es una función f definida en un intervalo I, que al ser sustituida en la ecuación diferencial conserva la igualdad.
Las soluciones se pueden presentar de dos formas )
i Una solución explícita es cuando la solución se presenta de la forma y f x
)
ii Una solución Implícita se presenta como una función
,G x y por ejemplo y23xc
Toda ecuación diferencial de primer orden tiene un número infinito de soluciones, llamada familia uniparamétrica que contiene el parámetro c.
Cuando se resuelve una ecuación diferencial
, , n
f x y y y se obtiene una familia n-paramétrica de soluciones G x y c c
, , ,1 2, cn
,Toda ecuación diferencial tiene el mismo número de parámetros que el orden de la ecuación diferencial.
SOLUCIÓN GENERAL
Es la familia n-paramétrica de soluciones que se obtiene al resolver una ecuación diferencial, la cual tiene un parámetro
c, ó n-parámetros dependiendo el orden de la ecuación diferencial.
SOLUCIÓN PARTICULAR
La solución particular se obtiene encontrando los valores de los parámetros c c1, 2 cn, los cuales se obtienen por
medio de condiciones iníciales o de contorno, las cuales se sustituyen en la solución general para encontrar el valor de
1, 2 n
c c c .
ORDINARIAS: Contienen sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente
PARCIALES: Contienen derivadas parciales.
,
y
x
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 2
Ejemplo 1: encuentre los valores de m tales que
y = xm sea una solución de cada ecuación diferencial.
2
2
) 0
) 6 4 0
a x y y
b x y xy y
1
2
2 2
2
) como entonces sus derivadas son
1
Sustituyendo en la ecuación
1 0
m
m
m
m m
a y x
y mx
y m m x
x m m x x
x
21 m
m m x x
0
1 0
1
m
m m
m
x
m m x x
m m x
m
x
2
1 1
1 0 Resolviendo la ecuación encontramos
1 5
que
2 2
m m
m m
m
Ejemplo 2: Demuestre que la función dada es solución de la ecuación diferencial.
2
2 2
1
2
2
2
2 2 0 ...ec.1
Si la función dada es entonces, derivando
implicitamente tenemos;
2 2 0 factorizamos
2 2
2
sustituyendo 2
xydx x y dy
x y y c
dy dy dy
xy x y
dx dx dx
dy
x y xy
dx
dy xy
dx x y
2
en la ec. 1
2xy x 2y
2
2
2
xy
x y
0
2 2 0
0 0 se conservó la igualdad
xy xy
Ejemplo3: Demuestre que
y
e
2x
xe
2x es solución de2
2 4 4 0
d y dy
y
dx dx
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
Encontrando
2 2
4 4 2 2
Sustituyendo en la ecuación dif.
4 4 2 2 4 2 2
4 0
4 4 2 2 8 8 4
4 4 0
0 0
x x x
x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
dy dx dy
e xe e
dx d y
e xe e e
dx
e xe e e e xe e
e xe
e xe e e e xe e
e xe
se conservo la igualdad
Ejemplo 4: Demuestre que
y
ln
x c
1c
2 es solución dey
y
2
0
1 2
1 1
1 2
1
2 2
2
1 1
2
2
1 1
2 1
1 ln
2
Encontrando de ln
1
1
0 1 1 1
Sustituyendo en la ecuación diferencial;
1 1
0
1
d du
u
dx u dx
d u vu uv
dx v v
dy
y x c c
dx
dy d
x c dx x c dx dy
dx x c
x c d y
dx x c x c
x c x c
x c
2 1 10
0 0 se conserva la igualdad
x c
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 3
1.1 Ecuaciones diferenciales de
primer orden
Cuando se quiere resolver una ecuación diferencial de primer orden:
dy f x y
,dx
Sujeta a condiciones iníciales como y x
0 y0Donde x0 y y0 es un número real arbitrario. En otras palabras resolver la ecuación, es encontrar una solución de la ecuación diferencial, definida en un intervalo, tal que la grafica de la solución pase por el punto
x y0, 0
Teorema (existencia y unicidad)
0 0
sea una región rectangular en el plano ,
definida por , que contiene al
punto , en su interior, si , , son
continuas en , entonces existe un intervalo c
x y
a x b c x d
f
x y f x y
y I
0
on
centro en , y una única función definida en que satisface el problema de valor inicial
x y x
I
Ejemplo 1: Determine una región del plano x,y en la cual la ecuación diferencial tenga una solución única por cada punto
x y0, 0
de la región.
2 3
2 1
3 3
3
2 3
2 2
,
3 3
entonces , son continuas
para 0 0 por el teorema
tiene una solución en el
semiplano 0 0
dy y dx
f
f x y y y
y y
f f x y y
y
y y
dy y dx
y y
Ejemplo 2: Determine una región del plano x,y en la cual la ecuación diferencial tenga una solución única por cada punto
x y0, 0
de la región.
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 4
4
4 0 2
,
4 4
2
4
es continua cuando 4 0 es discontinua
en los puntos 2 entonces ,
son continuas cuando 2 esto q
x
y y x y
y
y x y
x f
f x y
y y y
x y
f
y y
f
y y
f
y f x y y
y y
2
2ue
4 tiene una solucion única
en los semiplanos 0, 0
y 2
y y x
y y
y
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 4
1.2 Resolución de ecuaciones
diferenciales del tipo
y
f x
El caso más sencillo de ecuaciones diferenciales. Es aquel en el cual la derivada aparece en un solo lado de la igualdad y del otro lado aparece una función que depende únicamente de la variable independiente.
Para resolverlas se procede:
Integrando cada miembro de la ecuación
dy
y f x f x dy f x dx
dx
dy f x dx
y f x dx c
Ejemplo 1:
5
5
5
1 cos 5 5
dy
sen x dx
dy sen x dx y sen x dx
y x c
Ejemplo 2:
3
3 3
3
3
3
0
1 3
x
x x
x x
x
dx e dy
e dy dx por e
dy e dx
dy e dx
y e c
Ejemplo 3:
cos 3 5
cos 3 5
cos 3 5
cos 3 5
cos 3 5
1
3cos 3 5
3
1
3 5
3
y x
dy
x dx
dy x dx
dy x dx dx
dy x dx dx
y xdx dx
y sen x x c
Ejemplo 4: Resuelve la siguiente ecuación diferencial si la solución pasa por el punto p
1,02 x
dy x e dx
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
como pasa por el
x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x x
u x du x
dv e v e
u x du d ud
x
dv
v u u
e
v vd
e v
dy
x e dy x e dx
dx
dy x e dx
y x x e xe dx
y x x e xe e dx
y x x e xe e c solución general
2punto 1, 0
1 2 3
2 2 3
x x x
c c
y x x e xe e solución particular
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 5
1.3 Ecuaciones diferenciales con
variables separables
La ec. Diferencial de primer orden dy h x y
,
dx se llama
separable si h x y
,
puede escribirse como un producto ó cociente de una función f x
, y una función g y
. En otras palabras si después de un proceso algebraico se puede llegar a separar las variables como lo indican las siguientes expresiones
ó
f x
dy dy
f x g y
dx dx g y
En este caso las variables pueden ser separadas, escribiendo en modo informal.
g y dy f x dx
Entonces integrando ambos miembros
1 2
2 1 si 2 1
g y dy c f x dx c
g y dy f x dx c c c c c
g y dy f x dx c
Ejemplo 1: Resolver dy 6xy y
0 7dx
22
2
2
2
ln 3
3
3
3 6
6
6
6 ln
2
si
Como 0 7 0, 7
Entonces sustituyendo la condición inicial en la solució
y x c
x c
x c c
x
n m n m
a a a
dy xy dx dy
xdx y
dy
xdx y
y x c
e e
y e
y e e e C
y Ce solución general
y x y
2
3 0
3
n;
7 7
7 x
Ce C
y e solución particular
Ejemplo 2: Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial
2 2
2
2
2
2 0 ... .1
2 0
2 separando variables
2
2
2 ln
2
ln aplicando la función exponencial
si
Demostració
x c x c c
x
y xy ec
dy xy dx dy
xy dx dy
xdx y
dy x
xdx y c
y
y x c
y e e e e c
y ce
22 2
n
2 sustituyendo en la ec. 1
2 2 0
x
x x
y cxe
xce x ce
Ejemplo 3: Resolver
2
2 xdy 1 y
dx
2
2
2 2
2 1
2 1
1
2
2
1 1
dy dy
x y
dx y dx x
dy dx dy dx
x x
y y
1 1 2 1
1 2 1
1
1 2 2
Utilizando en la primera integral
2
1
1 1
2
2
1 2
2 2
du v
sen c a a v
y x
sen c
x
sen y c
sen y x c y sen x c
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 6
Ejemplo 4: Resolver
3 4
3
4
3
4
4
4
1
4 ln
1
1 cos separando variables
cos 1
1 4
cos
4 1
1
ln 1
4
ln 1 4( ) si 4
ln 1 4
du u c u
dy
y y x
dx y
dy xdx
y y
dy xdx
y
y senx c
y senx c c c
y senx c
Ejemplo 5: Resolver
1
2 2
2ydy x x 16 si y 5 2
dx
1
2 2
1
2 2
2 1
2 2
1
2 2
2
1
2 2 2
1
2 16
2 16
2 1
2 16
2 2
16 1
1 2
2
16
Para encontrar la solución particular utilicemos 5, 2 al sustituir en la
n n
u du u c dy
y x x
dx
ydy x x dx
y
x x dx
x
y c
y x c solución general
si x y
1
2 2 2
1
2 2 2
solución general
2 5 16 4 25 16
4 9 4 3 1
16 1
c
c c c
y x solución particular
Ejemplo 6: Resolver
ln
ln
1 1 cos 0 0
separando variables
1 cos 1
multiplicando por 1 cos
ln 1 cos 1
ln 1 cos ln 1
y
y y
y y y y
y y
y
du u u du
u u
e senxdx x dy y
senx dy
dx
x e
senx e
dx dy e
x e e e
e
x dy
e
x e c
ln ln ln
ln 1 cos ln 1 como
ln 1 cos 1 aplicando
1 cos 1 si 0, 0
1 1 1 1 4
1 cos 1 4
y y
y c
c y
a b ab
x e c
x e c e
x e e x y
e
x e
Ejemplo7: Resolver
2 2
2
2
2 2 2
1
ln
ln ln ln
1 1 si 1 1
1
separando variables
1
ln ln
1
ln ln ln ln
1 1
ln ln como
1
ln aplicando en ambos lados
x
a b ab
dy
x y y x x y x y
dx x
dy
dx
y x
x x
y dx dx y x dx dx
x x x
x
y x c y x c
x
y x c
x
xy c e
x e
1 1
2
1
1 1
1 1
1
1 1
si 1, 1
1
1 1 1
1
c
y x c
c x
c c c
x x
x
e e e
xy e e solución general x y
e e ee e
e
xy e xy e e
e
xy e solución particular
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 7
Ejemplo 8: Resolver
1
2 2
2
1
1
1 1
1
4 1 si 1
4
4 separando variables
1
1
4
1 1
4
si 1,
4
1 4
4
3
4 4 4
3 4 4
4
du u
tg c a a u a
dx
x x
dy dx
dy x
x
tg c y
tg x c y solución general
x y
tg c
c c c
tg x y
x tg y
3
4 solución particular
Ejemplo 9: Resolver
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1
1
2 2
2 1
1 1
1 ln 2
1 Separando variables
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 ln
1 2 1
1 ln
por partes
u y du dy
dv y v y
du u a
a u a a u
dy
y yx y
dx dy
y x y
dx
y dx
dy
x y
y dx
dy
x y
dx
y y dy
x
dy x
y y c
y x
y y y
1 1
1 ln
2 1
x c x
1.4 Ecuaciones diferenciales
Homogéneas
Definición: Una función
1, 2
1, 2 1, 2
,... es homogénea de grado si
,... ,...
n
r
n n
f x x x r
f
x
x
x
f x x x
Ejemplo 1:
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 ,
Si ,
,
, es homogénea de grado 2
f x y x y xy
f x y x y x y
x y xy
x y xy
f x y f x y
Ejemplo 2:
2
2
2 2
2 ,
Si ,
,
, no es homogénea
r
f x y x y
f x y x y
x y
x y f x y
f x y
Ejemplo 3:
0
0
, 4
2
Si , 4
2
4 2
,
Si es homogénea de grado cero
x f x y
y x
f x y
y x
y f x y
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 8
Ejemplo 4:
1 2
1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
,
Si ,
,
1 Si es homogénea de grado
2
f x y x y
f x y x y
x y
x y f x y
1.4.1 Ecuación Homogénea
Una ecuación diferencial de primer orden, expresado en su forma diferencial:
,
, 0M x y dxN x y dy
Es homogénea si , y , son funciones
homogéneas de igual grado
M x y N x y
Proposición:
dada una ecuación diferencial , ,
se dice que es una ecuación homogénea si la función , es homogénea de grado 0
y f x y
f x y
Demostración supongamos la siguiente ecuación
, , 0 dividiendo por
, , 0 donde
, , 0
, ,
, ,
,
, ,
,
,
,
Como y son homogéneas
r
M x y dx N x y dy dx
dy dy
M x y N x y y
dx dx
M x y N x y y
N x y y M x y
M x y M x y
y f x y
N x y N x y
M x y
f x y
N x y
M N
,
r
M x y
0
, , ,
, Demuestra que , es homogénea
de grado 0
M x y
N x y
N x y
f x y f x y
Método de solución: para encontrar la solución general de una ecuación diferencial homogénea, es necesario transformar ésta a una ecuación de variables separables por medio del siguiente cambio de variable
Demostración: supongamos una ecuación diferencial homogénea de la forma
2
2
2
, , 0
Utilizando
, , 0
1 , , 0
1 1 1 0
1 1 1
1
1 1
1
1 1
M x y dx N x y dy
y ux dy udx xdu
M x ux dx N x ux udx xdu
Mx u dx N x ux udx N x ux xdu
Mx u dx Nx u udx Nx u du
x M u N u u dx x N u du
N u du
x dx
x M u N u u
N u du
dx
x M u N
Ésta ecuación ya es de variables separables
u u
ó
y
ux
x
vy
dy
udx
xdu
dx
vdy
ydv
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 9
Ejemplo 1: Encuentra la solución general de la siguiente ecuación diferencial.
2 2
2 2
2 4 3 colocándola en su forma diferencial
2 4 3 donde , y N , son
funciones homogéneas de grado 2 Utilizando el cambio de variable
sustituyendo en;
2 4
dy
xy x y
dx
xydy x y dx M x y x y
y ux dy udx xdu
xy dy x
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2 2 2
3 2 2 2 2 2
3 2 2 2
3 2 2
2 3 2
2
3
2 4 3
2 4 3
2 2 4 3
2 4 3 2
2 2 3 4
2 4 separando las variables
2 4
2 4
y dx
x ux udx xdu x u x dx
x u udx xdu x dx u x dx
x u dx x udu x dx u x dx
x udu x dx u x dx x u dx
x udu x u u dx
x udu x u dx
u x
du dx
x u
udu dx
u
2
2
2
2
2
2
2
2
ln
ln ln ln
utilizando
ln 4 ln
ln 4 ln
4
ln aplicando en ambos lados
4
4 si además
4
4
c
c c
a b
du
u c
u
a b
x
u x c
u x c
u
c e
x u
e x
y
u xe e c y ux u
x y
cx x
y
cx x
y
2 2
2
2 2 3
4
4
x cx x
y x cx solución general
Ejemplo 2: Resolver
xy y
x y
su forma diferencial es;
, y N ,
son funciones homogéneas de grado 1
si
Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos;
dy
x y x y
dx
x y dy x y dx M x y x y
y ux dy udx xdu
x y dy x
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
0
2 0
Factorizando , , ,
1 2 1 0
1 2 1
1 2 1 separan
y dx
x ux udx xdu x ux dx
xudx x du u xdx ux du xdx uxdx xudx x du u xdx ux du xdx uxdx
xudx x du u xdx ux du xdx x x du dx
x u du x u u dx
x u du x u u dx
x u du u u dx
2
2
2
2
2
1
ln ln l 2
n 2
ln
ln ln
do variables
1
2 1
1
utilizando
2 1
1 2 2
2 2 1
1
ln 2 1 ln
2 1
ln 2 1 ln como
2
ln 2 1 ln
a b ab
du
u c
u
c
c a a
u du dx
u u x
u du dx
u u x
u dx
du
u u x
u u x c
u u x c
u u x
2
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
ln 2 1 aplicando e en ambos lados
2 1 sustituyendo
2 2
1
2 2
2 2
2
c
c c
c c
c c
c
y u
x c
u u x c
u u x e
y y e y xy x e
x x x x x
y xy x e y xy x e
x x x
x
y xy x e y xy x e
y xy x e
2
2 2
si hacemos que
2
c
c e
y xy x c
2
4
2 3Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 10
Ejemplo 3: Resolver
2
2 0y yx dxx dy
2 2
2 2
, ,
0 , y N ,
son funciones homogéneas de grado 2 Utilizando el cambio de variable
Sustituyendolo en la ecuación diferencial; 0
N x y M x y
y yx dx x dy
M x y x y
y ux dy udx xdu
y yx dx x dy
ux
2 2
2 2 2 2
2 2 2
0 0
ux x dx x udx xdu
u x ux dx x udx xdu
u x dx ux dx
x udx2
3
2
3
2 2 3 2
2 2
2
2
2
0 Factorizando ,
0 0
0
ln
1 ln
1
ln como 1
ln ln
ln ln
ln
y x
x du x dx
x
x u dx x du u dx du
x u dx xdu
u dx xdu
dx du
x u
x c u du
x c
u
y
x c u
u x
x c
x
x c por y
y
y x yc x yc x y x
x y x cy solución general
Ejemplo 4: Resolver ydx
x xy dy
0
2
, y N ,
son funciones homogéneas de grado 1 entonces utilizamos el cambio de variable
sustituyendo en la ecuación; 0
0 0
M x y x y
y ux dy udx xdu
ydx x xy dy
uxdx x xux udx xdu
uxdx x x u udx xdu
uxd
x xudx
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 3
2 2
3 2
2 2 2
2 2 2
2
1
0 0 factorizando ,
1 0
1 0
1 separando variables
1 1
x du x u udx x u xdu
x du x u udx x u du x du
x u du xu dx
x u du u dx
x u du u dx
u du dx
x u
u dx dx
du u u du
x x
u u
du dx u
u du
u x
1 2
ln ln ln
2 2
ln ln
1 2 2
ln ln como
2 2
ln ln ln
2 2
ln ln
Elevando al cuadrado ambos lados 4
ln ln 4
a b ab
solucion
u x c
y
u x c u
x u
y yx
x c c
x x
y y
x x
x x
y c y c
y y
x
y c y y c x
y
general
ln
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 11
Ejemplo 5: Resolver
2 2
4 4
, y N ,
son funciones homogéneas de grado 1 entonces utilizamos el cambio de variable
sustituyendo en la ecuación; 4
x x
y y
dx
y x ye ydx x ye dy
dy
M x y x y
y ux dy udx xdu
ydx x ye
2
2 ( )
( ) 4( )
x y
x ux
dy
ux dx x ux e udx xdu
uxdx
uxdx
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
4 4
Factorizando ,
1 4 4 0
1 4 4 0
1 4 4
1 4 4
4 4
u u
u u
u u
u u
u
u
u u
x du u xe dx ux e du
x du
x ue du x u e dx
x ue du u e dx
x ue du u e dx
ue du
dx x u e
e ue
du u
2
4 u
u ue
2
2
2 2
2
2
2
2
ln ln ln
1 1 2
4 2
1 1
ln ln ln ln
8 8
ln como 8
ln 8 ln 8 si 8
8 8 ln
u
u u
u
y x
x
y
x y
v v
e dv e c
a b ab
dx du
x
e du dx
du
u u x
e u x c e u x c
e y
ux c u
x
e y
x c e y c c c
x
e y c soluc
ión general
Ejemplo 6: Resolver 2 3 3
1 2
dy
xy y x y
dx
2 3 3
,
,
forma diferencial de la ecuación
, y N ,
son funciones homogéneas de grado 3 entonces utilizamos el siguiente cambio de variable
Sustituyendo en la ecu
N x y
M x y
xy dy y x dx
M x y x y
y ux dy udx xdu
2 3 3
2 2 3 3 3
3 2 3 3 3
3 3
ación diferencial
xy dy y x dx
xu x udx xdu u x x dx
x u udx xdu u x x dx
x u dx
4 2 3 3
x u du u x dx
3
4
4 2 3 2
3
2 2
2
3
3
3
3 3
3 3 3
3 3
3
0
ln 3
ln como
3
ln 3
3
3 ln 3 ... .1 si 1 2
2 3 1 ln 1 3 1 8 3ln 1 3
8
solución general
x dx x
x u du x dx u du dx
x dx
xu du dx u du
x dx
u du x u
x c
u y
x c u
x y
x c por x
x
y x x x c ec x y
c c
3 3 3
3 3 3
8
3 sustituyendo en ec 1
3 8
3 ln 3
3
3 ln 8
c c
y x x x
y x x x solución particular
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 12
Ejemplo 7: Resolver 0
1 0y y
x x
x ye dx xe dy y
Como , y N , son funciones homogéneas de grado 1 entonces utilizamos el cambio de variable
Sustituyéndolo en la ecuación diferencial; 0
( )
y y
x x
ux x
M x y x y
y ux dy udx xdu
x ye dx xe dy
x ux e
2( ) 0
0
ux x
u u u
u
dx xe udx xdu
x uxe dx xe udx x e du xdx uxe dx
xue dxu 2
2
2
0 1
ln como
ln
sustituyendo la condición inicial si 1 0
ln 1 1
ln 1
u
u u
u
u
u
y x
y x
x e du x
xdx x e du dx e du
x dx
e du x
dx
e du x
y
x c e u
x
x c e solución general
x y
c e c
x e solución particular
1.4.2 Ecuaciones reducibles a
homogéneas
Las ecuaciones diferenciales de la forma
dy ax by c
f
dx a x b y c
No son homogéneas por el parámetro c, c´
Ejemplo:
4 3 2
5 1
1) 3 2 6 7 1
2)
x y x y
x y dy x y dx
dy e dx
Este tipo de ecuaciones pueden ser reducibles a ecuaciones homogéneas. Utilizando un cambio de variable
Para esto hay que considerar dos casos:
0 0
1) Si las rectas 0 y 0 se
cortan en el punto ,
Si se traslada el origen de coordenadas a ese punto, se eliminan los términos independientes en las ec. de las rectas y se ob
ax by c a x b y c
x y
tiene una ec. homogénea en unas nuevas variables
El cambio de variable que se propone es;
Entonces la ec. resultante es:
2) Si las rectas 0 y 0
son paralelas. Esto es:
En este caso la ec. resulta ser de la forma:
dy ax bx
f
dx a x b x
ax by c a x b y c
a b
x a a
a b
dy ax by c
f
dx a x b y
La cual es una ecuación de variables separables el cambio de variable es:
ax by c
f g ax by
c a x b y c
u ax by
Ejemplo 1: Resolver
x y 2
dx
x y 4
dy0No es homogénea la ecuación diferencial las ecuaciones de las rectas son;
2
resolviendolas simultáneamente 4
x y x y
0 0
x
s x
y
t
y
Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 13
0 0
2 2 1 3
, 1, 3 entonces el cambio de variable es;
1 3
Sustituyendo en la ecuación diferencial
2 4 0
1 3 2 1 3 4 0
0 ...
x x y
x y
x s dx ds y t dy dt
x y dx x y dy
s t ds s t dt
s t ds s t dt
2 2 2
2 2
... .1
La cual es homogénea de grado 1 y se resuelve utilizando sustituyendo en 1 0
0
Factorizando , 1 2 1 0
1 2
ec
t us dt uds sdu
s us ds s us uds sdu
sds usds usds s du u sds us du
s ds s u u ds s u du
u
2
2
2
2 2
Si 1 2 2 2 2 1
ln
1 separando variables 2 1
1
Utilizando
2 1 2
2 1 1
2 1 2
1
ln ln 1 2
2
como 1 3 sustituyendo
1 ln
2
dv
v u u dv u
c
u
v v
u ds s u du
u du ds
s u u
u du ds
s u u
s u u c
t
u s x t y
s s
2 2
2
2
2
2 ln ln
ln ln ln
ln 1 2
3 3
1
ln 1 ln 1 2
2 1 1
3 3
ln 1 ln 1 2 0
1 1
3 3
ln 1 1 2
1 1
c c a a
a b ab
t t c s s
y y
x c
x x
y y
x
x x
y y
x
x x
2
2 2
3 3
1 1 2 si
1 1
2 3 3
1 1
1 1
c c
c
y y
x e e c
x x
y y
x c
x x
Ejemplo: 2 Resolver
1 2 2 1 0
2 como
1
Las rectas son paralelas entonces el cambio de variable es
sustituyendo en la ecuación diferencial
1 2 2 1 0
1 2
x y dx x y dy
a b
a b
u x y y u x dy du dx
x u x dx x u x du dx
u dx x
2u2x
1 0
1 2 2 0
1
du dx
u dx udu udx du dx
u
2u1
2 1 0
2 1 0
2 1 2 1
0
2 1 1
2 1
2
2 ln como
2 ln
2 ln
dx u du
udx u du
u u
dx du du dx
u u
u
dx du dx du
u u
dx du du
u
x u u c u x y
x x y x y c
x x y x y c solución general
Ejemplo: 3 Resolver
2 1
1
dy x y
dx y
Resolviendo las ecuaciones de las rectas
2 1 0
1 1 0
2 1 1 0 2 2 1
Entonces el cambio de variable es:
1 1
Sustituyendo en la ecuación diferenci
x y
y y
x x x
x s dx ds y t dy dt
al
2 1 1 1
2 1
1 1 1
s t
dy x y dt
dx y ds t
2 2 1 1
1 1
2
dt s t
ds t
dt s t
ds t