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1.0 ECUACIONES DIFERENCIALES - EC, Variables separables, Homogeneas, exactas

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(1)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 1

1.0 ECUACIONES DIFERENCIALES

Definición: una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Clasificación

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

2

2

a) 5 1

b) 4 0

c)

d) 2 6 0

dy y dx

y x dx xdy du dv

x dx dx

d y dy

y dx dx

 

  

 

  

Definición: Lasolución de una ecuación diferencial es una función f definida en un intervalo I, que al ser sustituida en la ecuación diferencial conserva la igualdad.

Las soluciones se pueden presentar de dos formas )

i Una solución explícita es cuando la solución se presenta de la forma yf x

 

)

ii Una solución Implícita se presenta como una función

 

,

G x y por ejemplo y23xc

Toda ecuación diferencial de primer orden tiene un número infinito de soluciones, llamada familia uniparamétrica que contiene el parámetro c.

Cuando se resuelve una ecuación diferencial

 

, , n

f x y yy se obtiene una familia n-paramétrica de soluciones G x y c c

, , ,1 2, cn

,

Toda ecuación diferencial tiene el mismo número de parámetros que el orden de la ecuación diferencial.

SOLUCIÓN GENERAL

Es la familia n-paramétrica de soluciones que se obtiene al resolver una ecuación diferencial, la cual tiene un parámetro

c, ó n-parámetros dependiendo el orden de la ecuación diferencial.

SOLUCIÓN PARTICULAR

La solución particular se obtiene encontrando los valores de los parámetros c c1, 2 cn, los cuales se obtienen por

medio de condiciones iníciales o de contorno, las cuales se sustituyen en la solución general para encontrar el valor de

1, 2 n

c c c .

ORDINARIAS: Contienen sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable

independiente

PARCIALES: Contienen derivadas parciales.

,

y

x

(2)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 2

Ejemplo 1: encuentre los valores de m tales que

y = xm sea una solución de cada ecuación diferencial.

2

2

) 0

) 6 4 0

a x y y

b x y xy y

     

 

 

1

2

2 2

2

) como entonces sus derivadas son

1

Sustituyendo en la ecuación

1 0

m

m

m

m m

a y x

y mx

y m m x

x m m x x

x

 

  

  

 

2

1 m

m mx x

 

 

0

1 0

1

m

m m

m

x

m m x x

m m x

 

  

m

x

 

2

1 1

1 0 Resolviendo la ecuación encontramos

1 5

que

2 2

m m

m m

m

 

  

 

Ejemplo 2: Demuestre que la función dada es solución de la ecuación diferencial.

2

2 2

1

2

2

2

2 2 0 ...ec.1

Si la función dada es entonces, derivando

implicitamente tenemos;

2 2 0 factorizamos

2 2

2

sustituyendo 2

xydx x y dy

x y y c

dy dy dy

xy x y

dx dx dx

dy

x y xy

dx

dy xy

dx x y

  

 

   

  

 

 

2

en la ec. 1

2xyx 2y

2

2

2

xy

x y

 0

2 2 0

0 0 se conservó la igualdad

xy xy

 

 

Ejemplo3: Demuestre que

y

e

2x

xe

2x es solución de

2

2 4 4 0

d y dy

y

dxdx 

2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

Encontrando

2 2

4 4 2 2

Sustituyendo en la ecuación dif.

4 4 2 2 4 2 2

4 0

4 4 2 2 8 8 4

4 4 0

0 0

x x x

x x x x

x x x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

dy dx dy

e xe e

dx d y

e xe e e

dx

e xe e e e xe e

e xe

e xe e e e xe e

e xe

  

   

     

  

     

  

 se conservo la igualdad

Ejemplo 4: Demuestre que

y

ln

x c

 

1

c

2 es solución de

y



 

y

2

0

 

   

1 2

1 1

1 2

1

2 2

2

1 1

2

2

1 1

2 1

1 ln

2

Encontrando de ln

1

1

0 1 1 1

Sustituyendo en la ecuación diferencial;

1 1

0

1

d du

u

dx u dx

d u vu uv

dx v v

dy

y x c c

dx

dy d

x c dx x c dx dy

dx x c

x c d y

dx x c x c

x c x c

x c

  

   

  

  

 

  

  

 

 

  

2 1 1

0

0 0 se conserva la igualdad

x c

 

(3)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 3

1.1 Ecuaciones diferenciales de

primer orden

Cuando se quiere resolver una ecuación diferencial de primer orden:

dy f x y

 

,

dx

Sujeta a condiciones iníciales como y x

 

0y0

Donde x0  y y0 es un número real arbitrario. En otras palabras resolver la ecuación, es encontrar una solución de la ecuación diferencial, definida en un intervalo, tal que la grafica de la solución pase por el punto

x y0, 0

Teorema (existencia y unicidad)

0 0

 

sea una región rectangular en el plano ,

definida por , que contiene al

punto , en su interior, si , , son

continuas en , entonces existe un intervalo c

x y

a x b c x d

f

x y f x y

y I

  

   

 

0

on

centro en , y una única función definida en que satisface el problema de valor inicial

x y x

I

Ejemplo 1: Determine una región del plano x,y en la cual la ecuación diferencial tenga una solución única por cada punto

x y0, 0

de la región.

 

 

2 3

2 1

3 3

3

2 3

2 2

,

3 3

entonces , son continuas

para 0 0 por el teorema

tiene una solución en el

semiplano 0 0

dy y dx

f

f x y y y

y y

f f x y y

y

y y

dy y dx

y y

 

 

   

 

 

Ejemplo 2: Determine una región del plano x,y en la cual la ecuación diferencial tenga una solución única por cada punto

x y0, 0

de la región.

 

 

 

 

2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

2 4

4

4 0 2

,

4 4

2

4

es continua cuando 4 0 es discontinua

en los puntos 2 entonces ,

son continuas cuando 2 esto q

x

y y x y

y

y x y

x f

f x y

y y y

x y

f

y y

f

y y

f

y f x y y

y y

 

   

 

 

   

  

  

 

 

 

  

2

2

ue

4 tiene una solucion única

en los semiplanos 0, 0

y 2

y y x

y y

y

 

 

(4)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 4

1.2 Resolución de ecuaciones

diferenciales del tipo

y

 

f x

 

El caso más sencillo de ecuaciones diferenciales. Es aquel en el cual la derivada aparece en un solo lado de la igualdad y del otro lado aparece una función que depende únicamente de la variable independiente.

Para resolverlas se procede:

 

 

 

 

 

Integrando cada miembro de la ecuación

dy

y f x f x dy f x dx

dx

dy f x dx

y f x dx c

     

 

Ejemplo 1:

5

5

5

1 cos 5 5

dy

sen x dx

dy sen x dx y sen x dx

y x c

 

 

Ejemplo 2:

 

3

3 3

3

3

3

0

1 3

x

x x

x x

x

dx e dy

e dy dx por e

dy e dx

dy e dx

y e c

 

  

   

 

Ejemplo 3:

cos 3 5

cos 3 5

cos 3 5

cos 3 5

cos 3 5

1

3cos 3 5

3

1

3 5

3

y x

dy

x dx

dy x dx

dy x dx dx

dy x dx dx

y xdx dx

y sen x x c

  

 

 

 

 

 

  

Ejemplo 4: Resuelve la siguiente ecuación diferencial si la solución pasa por el punto p

 

1,0

2 x

dy x e dx

 

 

 

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

2 2

como pasa por el

x x

x

x x

x x x

x x x

x x

x x

u x du x

dv e v e

u x du d ud

x

dv

v u u

e

v vd

e v

dy

x e dy x e dx

dx

dy x e dx

y x x e xe dx

y x x e xe e dx

y x x e xe e c solución general

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

    

     

 

 

2

punto 1, 0

1 2 3

2 2 3

x x x

c c

y x x exeesolución particular

    

     

 

(5)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 5

1.3 Ecuaciones diferenciales con

variables separables

La ec. Diferencial de primer orden dy h x y

,

dx se llama

separable si h x y

,

puede escribirse como un producto ó cociente de una función f x

 

, y una función g y

 

. En otras palabras si después de un proceso algebraico se puede llegar a separar las variables como lo indican las siguientes expresiones

   

ó

 

 

f x

dy dy

f x g y

dxdxg y

En este caso las variables pueden ser separadas, escribiendo en modo informal.

 

 

g y dyf x dx

Entonces integrando ambos miembros

 

 

 

 

 

 

1 2

2 1 si 2 1

g y dy c f x dx c

g y dy f x dx c c c c c

g y dy f x dx c

  

     

 

Ejemplo 1: Resolver dy 6xy y

 

0 7

dx  

 

2

2

2

2

2

ln 3

3

3

3 6

6

6

6 ln

2

si

Como 0 7 0, 7

Entonces sustituyendo la condición inicial en la solució

y x c

x c

x c c

x

n m n m

a a a

dy xy dx dy

xdx y

dy

xdx y

y x c

e e

y e

y e e e C

y Ce solución general

y x y

 

 

 

 

 

  

 

  

 

   

 

2

3 0

3

n;

7 7

7 x

Ce C

y e solución particular

   

 

Ejemplo 2: Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial

2 2

2

2

2

2 0 ... .1

2 0

2 separando variables

2

2

2 ln

2

ln aplicando la función exponencial

si

Demostració

x c x c c

x

y xy ec

dy xy dx dy

xy dx dy

xdx y

dy x

xdx y c

y

y x c

y e e e e c

y ce

  

  

 

  

 

    

   

  

 

2

2 2

n

2 sustituyendo en la ec. 1

2 2 0

x

x x

y cxe

xce x ce

 

  

  

Ejemplo 3: Resolver

2

2 xdy 1 y

dx  

2

2

2 2

2 1

2 1

1

2

2

1 1

dy dy

x y

dx y dx x

dy dx dy dx

x x

y y

   

  

1 1 2 1

1 2 1

1

1 2 2

Utilizando en la primera integral

2

1

1 1

2

2

1 2

2 2

du v

sen c a a v

y x

sen c

x

sen y c

sen y x c y sen x c

  

 

 

 

 

 

    

(6)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 6

Ejemplo 4: Resolver

3 4

3

4

3

4

4

4

1

4 ln

1

1 cos separando variables

cos 1

1 4

cos

4 1

1

ln 1

4

ln 1 4( ) si 4

ln 1 4

du u c u

dy

y y x

dx y

dy xdx

y y

dy xdx

y

y senx c

y senx c c c

y senx c

 

  

 

 

  

   

 

Ejemplo 5: Resolver

 

1

2 2

2ydy x x 16 si y 5 2

dx

  

1

2 2

1

2 2

2 1

2 2

1

2 2

2

1

2 2 2

1

2 16

2 16

2 1

2 16

2 2

16 1

1 2

2

16

Para encontrar la solución particular utilicemos 5, 2 al sustituir en la

n n

u du u c dy

y x x

dx

ydy x x dx

y

x x dx

x

y c

y x c solución general

si x y

 

 

 

 

 

 

   

 

1

2 2 2

1

2 2 2

solución general

2 5 16 4 25 16

4 9 4 3 1

16 1

c

c c c

y x solución particular

     

      

   

Ejemplo 6: Resolver

 

ln

ln

1 1 cos 0 0

separando variables

1 cos 1

multiplicando por 1 cos

ln 1 cos 1

ln 1 cos ln 1

y

y y

y y y y

y y

y

du u u du

u u

e senxdx x dy y

senx dy

dx

x e

senx e

dx dy e

x e e e

e

x dy

e

x e c

 

 

   

 

 

  

 

  

    

 



ln ln ln

ln 1 cos ln 1 como

ln 1 cos 1 aplicando

1 cos 1 si 0, 0

1 1 1 1 4

1 cos 1 4

y y

y c

c y

a b ab

x e c

x e c e

x e e x y

e

x e

 

 

         

 

    

    

  

Ejemplo7: Resolver

 

 

2 2

2

2

2 2 2

1

ln

ln ln ln

1 1 si 1 1

1

separando variables

1

ln ln

1

ln ln ln ln

1 1

ln ln como

1

ln aplicando en ambos lados

x

a b ab

dy

x y y x x y x y

dx x

dy

dx

y x

x x

y dx dx y x dx dx

x x x

x

y x c y x c

x

y x c

x

xy c e

x e

 

        

 

    

       

   

  

  

1 1

2

1

1 1

1 1

1

1 1

si 1, 1

1

1 1 1

1

c

y x c

c x

c c c

x x

x

e e e

xy e e solución general x y

e e ee e

e

xy e xy e e

e

xy e solución particular

  

 

 

 

 

 

     

       

  

(7)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 7

Ejemplo 8: Resolver

  1

2 2

2

1

1

1 1

1

4 1 si 1

4

4 separando variables

1

1

4

1 1

4

si 1,

4

1 4

4

3

4 4 4

3 4 4

4

du u

tg c a a u a

dx

x x

dy dx

dy x

x

tg c y

tg x c y solución general

x y

tg c

c c c

tg x y

x tg y

 

 

 

   

 

 

 

  

 

 

      

 

3

4 solución particular

 

 

Ejemplo 9: Resolver

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

1

1

2 2

2 1

1 1

1 ln 2

1 Separando variables

1 1

1 1

1 1

1

1

1 1

1 ln

1 2 1

1 ln

por partes

u y du dy

dv y v y

du u a

a u a a u

dy

y yx y

dx dy

y x y

dx

y dx

dy

x y

y dx

dy

x y

dx

y y dy

x

dy x

y y c

y x

y y y

 

 

    

 

  

  

  

  

 

     

 

   

1 1

1 ln

2 1

x c x

 

1.4 Ecuaciones diferenciales

Homogéneas

Definición: Una función

1, 2

1, 2 1, 2

,... es homogénea de grado si

,... ,...

n

r

n n

f x x x r

f

x

x

x

f x x x

  

Ejemplo 1:

   

 

 

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 ,

Si ,

,

, es homogénea de grado 2

f x y x y xy

f x y x y x y

x y xy

x y xy

f x y f x y

     

  

    

  

  

  

 

Ejemplo 2:

  

2

2

2 2

2 ,

Si ,

,

, no es homogénea

r

f x y x y

f x y x y

x y

x y f x y

f x y

 

 

 

 

 

   

Ejemplo 3:

0

0

, 4

2

Si , 4

2

4 2

,

Si es homogénea de grado cero

x f x y

y x

f x y

y x

y f x y

 

  

 

 

 

(8)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 8

Ejemplo 4:

 

 

1 2

1 2 1 2

1 1 1

2 2 2

,

Si ,

,

1 Si es homogénea de grado

2

f x y x y

f x y x y

x y

x y f x y

   

 

 

 

 

   

1.4.1 Ecuación Homogénea

Una ecuación diferencial de primer orden, expresado en su forma diferencial:

 

,

 

, 0

M x y dxN x y dy

Es homogénea si , y , son funciones

homogéneas de igual grado

M x y N x y

Proposición:

dada una ecuación diferencial , ,

se dice que es una ecuación homogénea si la función , es homogénea de grado 0

y f x y

f x y

 

Demostración supongamos la siguiente ecuación

, , 0 dividiendo por

, , 0 donde

, , 0

, ,

, ,

,

, ,

,

,

,

Como y son homogéneas

r

M x y dx N x y dy dx

dy dy

M x y N x y y

dx dx

M x y N x y y

N x y y M x y

M x y M x y

y f x y

N x y N x y

M x y

f x y

N x y

M N

   

 

  

  

 

  

 

   

 

,

r

M  x y

0

, , ,

, Demuestra que , es homogénea

de grado 0

M x y

N x y

N x y

f x y f x y

     

 

 

Método de solución: para encontrar la solución general de una ecuación diferencial homogénea, es necesario transformar ésta a una ecuación de variables separables por medio del siguiente cambio de variable

Demostración: supongamos una ecuación diferencial homogénea de la forma



2

2

2

, , 0

Utilizando

, , 0

1 , , 0

1 1 1 0

1 1 1

1

1 1

1

1 1

M x y dx N x y dy

y ux dy udx xdu

M x ux dx N x ux udx xdu

Mx u dx N x ux udx N x ux xdu

Mx u dx Nx u udx Nx u du

x M u N u u dx x N u du

N u du

x dx

x M u N u u

N u du

dx

x M u N

 

   

  

   

      

     

 

 

 

  

 

 

 

 

Ésta ecuación ya es de variables separables

u u

 

 

ó

y

ux

x

vy

dy

udx

xdu

dx

vdy

ydv

(9)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 9

Ejemplo 1: Encuentra la solución general de la siguiente ecuación diferencial.

2 2

2 2

2 4 3 colocándola en su forma diferencial

2 4 3 donde , y N , son

funciones homogéneas de grado 2 Utilizando el cambio de variable

sustituyendo en;

2 4

dy

xy x y

dx

xydy x y dx M x y x y

y ux dy udx xdu

xy dy x

  

 

    

 

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 3 2 2 2

3 2 2 2 2 2

3 2 2 2

3 2 2

2 3 2

2

3

2 4 3

2 4 3

2 2 4 3

2 4 3 2

2 2 3 4

2 4 separando las variables

2 4

2 4

y dx

x ux udx xdu x u x dx

x u udx xdu x dx u x dx

x u dx x udu x dx u x dx

x udu x dx u x dx x u dx

x udu x u u dx

x udu x u dx

u x

du dx

x u

udu dx

u

  

  

  

  

   

  

 

 

 

2

2

2

2

2

2

2

2

ln

ln ln ln

utilizando

ln 4 ln

ln 4 ln

4

ln aplicando en ambos lados

4

4 si además

4

4

c

c c

a b

du

u c

u

a b

x

u x c

u x c

u

c e

x u

e x

y

u xe e c y ux u

x y

cx x

y

cx x

y

 

 

  

  

 

     

       

 

2 2

2

2 2 3

4

4

x cx x

y x cx solución general

 

  

Ejemplo 2: Resolver

xy y

 x y

su forma diferencial es;

, y N ,

son funciones homogéneas de grado 1

si

Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos;

dy

x y x y

dx

x y dy x y dx M x y x y

y ux dy udx xdu

x y dy x

   

  

   

 



 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

0

2 0

Factorizando , , ,

1 2 1 0

1 2 1

1 2 1 separan

y dx

x ux udx xdu x ux dx

xudx x du u xdx ux du xdx uxdx xudx x du u xdx ux du xdx uxdx

xudx x du u xdx ux du xdx x x du dx

x u du x u u dx

x u du x u u dx

x u du u u dx

   

    

     

    

    

    

     

2

2

2

2

2

1

ln ln l 2

n 2

ln

ln ln

do variables

1

2 1

1

utilizando

2 1

1 2 2

2 2 1

1

ln 2 1 ln

2 1

ln 2 1 ln como

2

ln 2 1 ln

a b ab

du

u c

u

c

c a a

u du dx

u u x

u du dx

u u x

u dx

du

u u x

u u x c

u u x c

u u x

 

 

   

   

 

 

    

   

   

 

 

 

2

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2

ln 2 1 aplicando e en ambos lados

2 1 sustituyendo

2 2

1

2 2

2 2

2

c

c c

c c

c c

c

y u

x c

u u x c

u u x e

y y e y xy x e

x x x x x

y xy x e y xy x e

x x x

x

y xy x e y xy x e

y xy x e

 

  

 

    

   

  

      

   2

2 2

si hacemos que

2

c

c e

y xy x c

  

2

4

2 3

(10)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 10

Ejemplo 3: Resolver

2

2 0

yyx dxx dy

   

 

2 2

2 2

, ,

0 , y N ,

son funciones homogéneas de grado 2 Utilizando el cambio de variable

Sustituyendolo en la ecuación diferencial; 0

N x y M x y

y yx dx x dy

M x y x y

y ux dy udx xdu

y yx dx x dy

ux

  

  

  

 

2 2

2 2 2 2

2 2 2

0 0

ux x dx x udx xdu

u x ux dx x udx xdu

u x dx ux dx

   

   

  x udx2

 

3

2

3

2 2 3 2

2 2

2

2

2

0 Factorizando ,

0 0

0

ln

1 ln

1

ln como 1

ln ln

ln ln

ln

y x

x du x dx

x

x u dx x du u dx du

x u dx xdu

u dx xdu

dx du

x u

x c u du

x c

u

y

x c u

u x

x c

x

x c por y

y

y x yc x yc x y x

x y x cy solución general

 

    

 

      

   

  

   

     

  

Ejemplo 4: Resolver ydx 

x xy dy

0

2

, y N ,

son funciones homogéneas de grado 1 entonces utilizamos el cambio de variable

sustituyendo en la ecuación; 0

0 0

M x y x y

y ux dy udx xdu

ydx x xy dy

uxdx x xux udx xdu

uxdx x x u udx xdu

uxd

  

   

    

    

xxudx

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 3

2 2

3 2

2 2 2

2 2 2

2

1

0 0 factorizando ,

1 0

1 0

1 separando variables

1 1

x du x u udx x u xdu

x du x u udx x u du x du

x u du xu dx

x u du u dx

x u du u dx

u du dx

x u

u dx dx

du u u du

x x

u u

du dx u

u du

u x

 

   

   

  

  

   

 

 

      

 

 

 

   

1 2

ln ln ln

2 2

ln ln

1 2 2

ln ln como

2 2

ln ln ln

2 2

ln ln

Elevando al cuadrado ambos lados 4

ln ln 4

a b ab

solucion

u x c

y

u x c u

x u

y yx

x c c

x x

y y

x x

x x

y c y c

y y

x

y c y y c x

y

 

   

       

     

    

general

ln

(11)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 11

Ejemplo 5: Resolver

2 2

4 4

, y N ,

son funciones homogéneas de grado 1 entonces utilizamos el cambio de variable

sustituyendo en la ecuación; 4

x x

y y

dx

y x ye ydx x ye dy

dy

M x y x y

y ux dy udx xdu

ydx x ye

 

 

     

 

  

 

2

2 ( )

( ) 4( )

x y

x ux

dy

ux dx x ux e udx xdu

uxdx

 

 

 

 

 

  

 

uxdx

 2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

4 4

Factorizando ,

1 4 4 0

1 4 4 0

1 4 4

1 4 4

4 4

u u

u u

u u

u u

u

u

u u

x du u xe dx ux e du

x du

x ue du x u e dx

x ue du u e dx

x ue du u e dx

ue du

dx x u e

e ue

du u

 

 

 

 

  

   

  

   

   

   

  

   

   

   

  

   

   

 

 

 

 

2

4 u

u ue

2

2

2 2

2

2

2

2

ln ln ln

1 1 2

4 2

1 1

ln ln ln ln

8 8

ln como 8

ln 8 ln 8 si 8

8 8 ln

u

u u

u

y x

x

y

x y

v v

e dv e c

a b ab

dx du

x

e du dx

du

u u x

e u x c e u x c

e y

ux c u

x

e y

x c e y c c c

x

e y c soluc

  

 

  

 

 

      

  

     

  

ión general

Ejemplo 6: Resolver 2 3 3

 

1 2

dy

xy y x y

dx  

 

 

2 3 3

,

,

forma diferencial de la ecuación

, y N ,

son funciones homogéneas de grado 3 entonces utilizamos el siguiente cambio de variable

Sustituyendo en la ecu

N x y

M x y

xy dy y x dx

M x y x y

y ux dy udx xdu

  

  

2 3 3

2 2 3 3 3

3 2 3 3 3

3 3

ación diferencial

xy dy y x dx

xu x udx xdu u x x dx

x u udx xdu u x x dx

x u dx

 

  

  

4 2 3 3

x u du u x dx

 

 

 

 

3

4

4 2 3 2

3

2 2

2

3

3

3

3 3

3 3 3

3 3

3

0

ln 3

ln como

3

ln 3

3

3 ln 3 ... .1 si 1 2

2 3 1 ln 1 3 1 8 3ln 1 3

8

solución general

x dx x

x u du x dx u du dx

x dx

xu du dx u du

x dx

u du x u

x c

u y

x c u

x y

x c por x

x

y x x x c ec x y

c c

    

    

 

  

  

  

   

    

 

3 3 3

3 3 3

8

3 sustituyendo en ec 1

3 8

3 ln 3

3

3 ln 8

c c

y x x x

y x x x solución particular

 

 

(12)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 12

Ejemplo 7: Resolver 0

 

1 0

y y

x x

x ye dx xe dy y

 

 

Como , y N , son funciones homogéneas de grado 1 entonces utilizamos el cambio de variable

Sustituyéndolo en la ecuación diferencial; 0

( )

y y

x x

ux x

M x y x y

y ux dy udx xdu

x ye dx xe dy

x ux e

   

 

  

 

 

 

  

2

( ) 0

0

ux x

u u u

u

dx xe udx xdu

x uxe dx xe udx x e du xdx uxe dx

  

 

   

  xue dxu 2

2

2

0 1

ln como

ln

sustituyendo la condición inicial si 1 0

ln 1 1

ln 1

u

u u

u

u

u

y x

y x

x e du x

xdx x e du dx e du

x dx

e du x

dx

e du x

y

x c e u

x

x c e solución general

x y

c e c

x e solución particular

  

  

  

 

   

  

1.4.2 Ecuaciones reducibles a

homogéneas

Las ecuaciones diferenciales de la forma

dy ax by c

f

dx a x b y c

     

 

No son homogéneas por el parámetro c, c´

Ejemplo:

4 3 2

5 1

1) 3 2 6 7 1

2)

x y x y

x y dy x y dx

dy e dx

   

    

Este tipo de ecuaciones pueden ser reducibles a ecuaciones homogéneas. Utilizando un cambio de variable

Para esto hay que considerar dos casos:

0 0

1) Si las rectas 0 y 0 se

cortan en el punto ,

Si se traslada el origen de coordenadas a ese punto, se eliminan los términos independientes en las ec. de las rectas y se ob

ax by c a x b y c

x y

  

     

tiene una ec. homogénea en unas nuevas variables 

El cambio de variable que se propone es;

Entonces la ec. resultante es:

2) Si las rectas 0 y 0

son paralelas. Esto es:

En este caso la ec. resulta ser de la forma:

dy ax bx

f

dx a x b x

ax by c a x b y c

a b

x a a

a b

dy ax by c

f

dx a x b y

 

 

  

     

 

   

  

  

La cual es una ecuación de variables separables el cambio de variable es:

ax by c

f g ax by

c a x b y c

u ax by

 

     

  

 

   

 

Ejemplo 1: Resolver

x y 2

dx  

x y 4

dy0

No es homogénea la ecuación diferencial las ecuaciones de las rectas son;

2

resolviendolas simultáneamente 4

x y x y

  

   

0 0

x

 

s x

y

 

t

y

(13)

Lic. Alberto Rodríguez Maldonado 13

 

0 0

2 2 1 3

, 1, 3 entonces el cambio de variable es;

1 3

Sustituyendo en la ecuación diferencial

2 4 0

1 3 2 1 3 4 0

0 ...

x x y

x y

x s dx ds y t dy dt

x y dx x y dy

s t ds s t dt

s t ds s t dt

      

 

       

     

         

   

 



2 2 2

2 2

... .1

La cual es homogénea de grado 1 y se resuelve utilizando sustituyendo en 1 0

0

Factorizando , 1 2 1 0

1 2

ec

t us dt uds sdu

s us ds s us uds sdu

sds usds usds s du u sds us du

s ds s u u ds s u du

u

   

    

     

    

 

2

2

2

2 2

Si 1 2 2 2 2 1

ln

1 separando variables 2 1

1

Utilizando

2 1 2

2 1 1

2 1 2

1

ln ln 1 2

2

como 1 3 sustituyendo

1 ln

2

dv

v u u dv u

c

u

v v

u ds s u du

u du ds

s u u

u du ds

s u u

s u u c

t

u s x t y

s s

      

 

   

  

 

  

 

    

    

 

 

2 2

2

2

2

2 ln ln

ln ln ln

ln 1 2

3 3

1

ln 1 ln 1 2

2 1 1

3 3

ln 1 ln 1 2 0

1 1

3 3

ln 1 1 2

1 1

c c a a

a b ab

t t c s s

y y

x c

x x

y y

x

x x

y y

x

x x

 

 

 

 

    

 

 

 

   

    

 

   

                    

 

2

2 2

3 3

1 1 2 si

1 1

2 3 3

1 1

1 1

c c

c

y y

x e e c

x x

y y

x c

x x

     

 

     

       

 

     

    

 

 

Ejemplo: 2 Resolver

1 2 2 1 0

2 como

1

Las rectas son paralelas entonces el cambio de variable es

sustituyendo en la ecuación diferencial

1 2 2 1 0

1 2

x y dx x y dy

a b

a b

u x y y u x dy du dx

x u x dx x u x du dx

u dx x

     

   

       

        

 

2u2x

1 0

1 2 2 0

1

du dx

u dx udu udx du dx

u

  

     

 2u1

2 1 0

2 1 0

2 1 2 1

0

2 1 1

2 1

2

2 ln como

2 ln

2 ln

dx u du

udx u du

u u

dx du du dx

u u

u

dx du dx du

u u

dx du du

u

x u u c u x y

x x y x y c

x x y x y c solución general

  

   

 

    

  

  

 

 

    

    

     

Ejemplo: 3 Resolver

2 1

1

dy x y

dx y

  

Resolviendo las ecuaciones de las rectas

2 1 0

1 1 0

2 1 1 0 2 2 1

Entonces el cambio de variable es:

1 1

Sustituyendo en la ecuación diferenci

x y

y y

x x x

x s dx ds y t dy dt

     

  

      

       

 

al

2 1 1 1

2 1

1 1 1

s t

dy x y dt

dx y ds t

     

  

  

2 2 1 1

1 1

2

dt s t

ds t

dt s t

ds t

    

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