Prof. Héctor Domínguez Página 1 INTRODUCCIÓN A FUNCIONES
RELACIÓN
Dados dos conjunto no vacíos A y B, se llama relación R de A en B a la terna (A,B,R) donde R es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Por lo general a la
relación (A,B,R) se le anota R: 𝐴 →B
Ejemplo:
A={1; 2; 3} B={a, b, c, d}
A x B= {(1, a)); (1, b); (1, c); (1, d); (2, a); (2, b); (2, c); (2, d); (3, a); (3, b); (3, c); (3, d)} Elegimos cualquier subconjunto R de AxB: R= {(1, a)); (1, b); (3, a)}
Se puede representar mediante diagramas de Venn:
Diremos que “a” es la imagen de “1” en la relación o que “1” es la preimagen de “a”.
Podemos anotarlo (1,a) ∈ 𝑅
DENOMINACIONES:
Al conjunto A lo llamaremos CONJUNTO DE PARTIDA, al conjunto B CONJUNTO DE LLEGADA y al conjunto R GRAFO DE LA RELACIÓN.
DOMINIO: Se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que poseen correspondiente en el conjunto de
llegada. Se anota D(R)
En el ejemplo anterior D(R)= {1,3} = 𝐴 − {2}
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RECORRIDO O CONJUNTO IMANGEN: Se llama RECORRIDO o CONJUNTO IMAGEN de la relación al conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que tienen preimagen. Se anota Re(R) o Im(R)
En el ejemplo anterior: Re(R)= {𝑎, 𝑏} = 𝐵 − {𝑐, 𝑑}
GRÁFICA: Se llama gráfica de una relación a la representación en el plano del grafo. Para eso se marcan en un eje horizontal a los elementos del conjunto de partida y en un eje vertical a los elementos del conjunto de llegada. Según lo anterior la gráfica tendrá tantos puntos como pares ordenados tenga el grafo.
FUNCIÓN
Se llama FUNCIÓN a un tipo particular de relación, en la que a cada uno de los elementos del conjunto de partida le corresponde uno y sólo uno en el conjunto de llegada.
Ejemplo:
A={1,2,3,4} B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
f = {(1,1); (2,3); (3,5); (4,7)}
Para indicar que a “2” le corresponde el “3” lo anotamos f(2) = 3
Para indicar que a “3” le corresponde el “5” lo anotamos f(3) = 5
Si se sabe que la relación es función es indistinto hablar de conjunto de partida que se dominio, ya que por la definición se desprende que son coincidentes.
A es el CONJUNTO DE PARTIDA o DOMINIO
B es el CONJUNTO DE LLEGADA o CODOMINIO
Se llama función numérica a aquella en que los conjunto involucrados son conjuntos de números. Si en particular el conjunto de partida y el de llagada son subconjuntos de los números reales a la función se le llama FUNCIÓN REAL
Por lo general, para las funciones reales es imposible escribir el grafo, debido a su
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cualquiera de los elementos del conjunto de llegada. Si se quiere indicar que a “x” le corresponde “y” se anota f(x) = y.
En el ejemplo anterior se podría usar f(x) = 2x-1. La expresión indica cómo hallar el correspondiente de “x” a partir del valor de “x”.
Dependiendo de la expresión del grafo las funciones reales se pueden clasificar según el diagrama:
Algebraica: Aquella función cuya expresión del grafo consta de sumas, restas, productos, cocientes o raíces de polinomios. La que no es algebraica se llama trascendente.
Para las funciones numéricas se puede decir que el DOMINIO es el conjunto
formado por todos los números reales que poseen correspondiente o imagen. La forma de estudiar el dominio depende de la expresión del grafo que tenga la función. Algunos de los casos que podemos encontrar son los siguientes:
TIPO DE FUNCIÓN CONDICIÓN DE EXISTENCIA
𝐹(𝑥) función polinómica No tiene. ∃𝐹(𝑥)∀𝑥 ∈ ℝ
𝐹(𝑥) =𝑔(𝑥) ℎ(𝑥)
ℎ(𝑥) ≠ 0
𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0
𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑔(𝑥)| 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥) ≠ 0 𝑦 ℎ(𝑥) ≠ 0
𝐹(𝑥) = 𝑒 ( ) Las condiciones de 𝑔(𝑥)
𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) ≥ 0
𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) Las condiciones de 𝑔(𝑥)
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Se llama RAÍZ o CERO de la función al elemento del conjunto de partida que tiene como correspondiente el 0 (cero)
∝ 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑓 ⇔ 𝑓(𝛼) = 0
PARIDAD
Una función f es PAR sí f(x) = f(-x) ∀𝑥 ∈ ℛ
Ejemplo: f(x) = x − 1
f(-x)= (−x) − 1 = x − 1 = f(x)
De la definición se deduce que las funciones pares son simétricas respecto al eje Oy.
Si se sabe que una función es par se puede estudiar para x≥ 0 y luego simetrizarla respecto al eje Oy.
IMPARIDAD
Una función f es IMPAR sí f(x) = -f(-x) ∀𝑥 ∈ ℛ
Ejemplo: f(x) = x − x
f(-x)= (−x) − (−x) = −x + x = -f(x) ⇒ 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)
De la definición se deduce que las funciones impares son simétricas respecto al punto de corte de los ejes coordenados O(0,0)
Si se sabe que una función es impar se puede estudiar
para x≥ 0 y luego simetrizarla respecto a punto O(0,0)
OTRA CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES:
Una de las clasificaciones de funciones es en:
1. Función inyectiva
2. Función sobreyectiva
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1. Función inyectiva. Una función f es inyectiva si a elementos distintos del dominio
les corresponden imágenes distintas en el codominio
𝑓 es inyectiva ⇔ 𝑥 ,𝑦 𝜖𝑓 ∧ 𝑥 ,𝑦 𝜖𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 𝑥 ⇒ 𝑦 ≠ 𝑦
2. Función sobreyectiva o suprayectiva. Una función f es sobreyectiva si todos los
elementos del codominio tienen preimágenes. En este caso el recorrido coincide con el conjunto de llegada.
𝑓 es sobreyectiva ⇔ ∀𝑦𝜖𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴/ 𝑥,𝑦 𝜖𝑓
OBSERVACIÓN: En el caso particular en que la función sea inyectiva y sobreyectiva a la función se le llama BIYECTIVA
3. Función de relación. Si la función no es ni inyectiva ni sobreyectiva se llama de
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FUNCIÓN INVERSA.
Dada una relación 𝑅: 𝐴 → 𝐵 cualquiera, siempre es posible definir una relación asociada a
ella llamada RELACIÓN INVERSA DE R, a la que se le representa 𝑅 : 𝐵 → 𝐴. En esta
nueva relación B es el conjunto de partida, A es el conjunto de llegada y 𝑅 el grafo de
la relación inversa tal que 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅}
La relación inversa de una función f:A→ 𝐵 puede o no ser una función. En el caso en que
lo sea le llamamos función inversa y la anotamos 𝑓 : 𝐵 → 𝐴.
Para que exista función inversa de f, ésta debe ser biyectiva.
𝑓𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ∀𝑓 ∃𝑓 ⟺ 𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
OBERVACIONES:
1º- Para determinar la expresión del grafo de una función inversa de una función y = f(x) procedemos del siguiente modo:
Escribir “x en función de y” con lo que se consigue x =f−1(y)(para eso se despeja x).
Con esto tendremos la función inversa pero con “x” como variable dependiente e “y”
como variable independiente. Lo que se hace a continuación es intercambiar los nombres
a las variables, con lo que resultará la función inversa escrita de la forma y=f−1(x)
2º- Gráficamente dos funciones inversas son simétricas con respecto a la recta y = x
y=x
y
y = f(x)
x = f−1(y)
x x y
Si una función no tiene inversa se puede buscar una restricción para que sí la tenga.
f
1
f−
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FUNCIÓN COMPUESTA:
Sean las funciones 𝑔: 𝐴 → 𝐵 𝑦 𝑓: 𝐵 → 𝐶. La imagen de x∈ 𝐴 al aplicar g es g(x), que
es un elemento de B. Se observe que g(x)∈ 𝐷(𝑓), con lo cual se puede aplicar f. Al aplicar
f a g(x) se obtiene f[g(x)], elemento de C.
Se puede definir una nueva función h:𝐴 → 𝐶 tal que a cada x de A le corresponda
f[g(x)] de C. A esta función la llamamos g compuesta con f y la anotamos f ⃘𝑔. Observar que al componer las funciones f y g ellas se aplican en el orden inverso al que se nombran
Según lo anterior se puede ver que (f ⃘𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑦) = 𝑧
Para que exista la función compuesta se debe cumplir que Re(g)∩D(f)≠ ∅. Se debe hacer
una restricción de g, o sea buscar cuál debe ser su dominio para que se cumpla lo anterior. Se debe buscar cuál debe ser el dominio de g para que el recorrido de g esté contenido en el dominio de f.
Ejemplo: Sea z(x) = ln(x2-1)
¿Se puede suponer que es una función compuesta de f(x)=lnx y g(x)= x2-1.?
Re(g)=[−1, +∞) D(f)=(0, +∞)
Si se mantienen existen valores de dominio de g que no tendrían correspondientes en la
supuesta función compuesta. Ejemplo: 0 → − 1 →∄
Re(g)∩D(f)=(0, +∞)
Para que exista la función compuesta se debe busca un nuevo dominio de g para que su
recorrido sea (0,+∞). Para eso se debe cumplir que x2-1 > 0. Resolviendo la inecuación
anterior se ve que el nuevo dominio de g debe ser (-∞, −1] ∪ [+1, +∞)
