Tema 4

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Tema 4. Resolución de ciertas ecuaciones diferenciales mediante cambios de variables. 4.1 Introducción. Existen muchas ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales ni de variables separa- bles, pero que mediante un adecuado cambio de función incógnita, comúnmente llamado ”cambio de variable”, se pueden transformar en otra ecuación diferencial que śı es lineal o de variables separables. De esta forma podŕıamos aplicarle todo lo visto en los dos temas anteriores a la nueva ecuación diferencial y, posteriormente, deshaciendo el cambio de función incógnita podŕıamos obtener las soluciones de la ecuación original. Aunque estos son los casos que vamos a tratar en este tema, la idea del cambio de variable es más general: conseguir transformar una ecuación diferencial dada en otra que sepamos resolver, de modo que exista una biyección conocida entre las soluciones de ambas. Aśı, resuelta la segunda ecuación, podremos obtener las soluciones de la primera “deshaciendo el cambio”.. La idea que se aplica es análoga a la empleada en el cálculo integral o cálculo de primitivas, en la que se aplica un cambio de variable que transforma nuestra integral en otra inmediata o que sabemos tratar mediante un método ya conocido. Cuando se hace un cambio de variable para el cálculo de una primitiva. ! f(x) dx en un intervalo I, consideramos una función h: J ! R derivable. (usualmente h!(y) "= 0 para cada y para que sea inyectiva y tenga sentido h"1) y hacemos el cambio x = h(y) y calculamos la primitiva H(y) =. ! f(h(y))h!(y) dy en el intervalo J, suponiendo que. esta sea más fácil. De esta forma calculamos una primitiva de f en I deshaciendo el cambio aśı y = h"1(x) y sustituyendo en la expresión de H(y). Aśı, F(x) = H(h"1(x)) seŕıa una primitiva de f en I.. Podŕıamos llevar a cabo, inicialmente, un estudio teórico de los distintos tipos de cambios de función incógnita que se pueden realizar en una EDO de primer orden x! = f(t, x), pero preferimos abordar directamente distintos tipos de ecuaciones diferenciales y explicar en cada caso el cambio concreto que se necesita en tal ecuación. Más adelante, en otros temas, veremos otros ejemplos. En éste vamos a tratar cuatro tipo de ecuaciones diferenciales. Las dos primeras se van a transformar en ecuaciones de variables separables y las otras dos en ecuaciones lineales. El primer tipo que vamos a estudiar no suele recibir un nombre especial; las otras tres son conocidas como ecuaciones. 71. 72 Resolución mediante cambios de variables. homogéneas, ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Ricatti. Estas últimas presentan una proble- mática muy especial y un estudio más profundo de ellas requiere conocimientos que quedan fuera de este curso.. La idea a transmitir es que no será necesario, en ningún caso, recordar fórmulas; simplemente, deberemos reconocer el tipo de ecuación, conocer el cambio de función incógnita a realizar y tener la certeza de que, si no nos equivocamos en los cálculos, nuestro problema se reducirá a resolver una ecuación de variables separables o una lineal (según los casos). Una vez resuelta ésta, obtendremos las soluciones de la ecuación original deshaciendo el cambio.. 4.2 Ecuaciones del tipo x#(t) = !(at + bx(t) + c). En una ecuación del tipo. (4.1) x!(t) = ! " at + bx(t) + c. #. suponemos que a, b y c son constantes conocidas y s $! !(s) es una función conocida. En forma reducida escribimos la ecuación como x! = !(at + bx + c). En los siguientes ejemplos indicamos, en cada caso, la función !.. x! = (t + x + 2)3 !(s) = s3.. x! = sen2(t % x) !(s) = sen2 s. x! = 1 + e(2t+x"1) !(s) = 1 + es .. x! = 3 + cos(2t + 3x % 5) !(s) = 3 + cos s. x! = (t + x) arctan(t + x) !(s) = s arctan s.. Puede comprobarse que ninguna de las ecuaciones planteadas es lineal ni de variables separables. La constante c puede ser nula, como sucede en el segundo y quinto ejemplos, pero no aśı las constantes a o b. Obsérvese que si b = 0 la ecuación resultante es del tipo: x!(t) = g(t), cuyas soluciones son las primitivas de la función g y si a = 0 la ecuación resultante es una ecuación autónoma y, por tanto, son casos que ya hemos estudiados.. La forma de la ecuación sugiere el cambio de función incógnita. (4.2) y(t) = at + bx(t) + c. Obsérvese que de (4.2) se puede despejar sin problemas la función incógnita x aśı:. (4.3) x(t) = 1b " y(t) % at % c. #. Siempre que se haga un cambio de función incógnita es importante confirmar que después se puede deshacer el cambio, es decir escribir x(t) en función de y(t).. Vamos a comprobar que el cambio de función (4.2) transforma la ecuación (4.1) en una ecuación de variables separables, más concretamente autónoma; es decir, el problema de resolver (4.1) va a ser equivalente a resolver una ecuación autónoma.. En efecto, supongamos que x: I ! R es una solución de (4.1). Entonces, y : I ! R definida por la expresión (4.2) es derivable en I y verifica. y!(t) = a + bx!(t) = a + b!(at + bx(t) + c) = a + b!(y(t)). Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.2. Ecuaciones del tipo x!(t) = !(at + bx(t) + c) 73. y aśı la nueva función incógnita y es solución de la ecuación diferencial autónoma. (4.4) y! = a + b!(y) = h(y).. Rećıprocamente, si y : I ! R es solución de la ecuación autónoma (4.4), deshaciendo el cambio, es decir, considerando la función x: I ! R definida por (4.3), tenemos. x!(t) = 1b " y!(t) % a. # = 1b. " a + b!(y(t)) % a. # = !(y(t)) = !(at + bx(t) + c),. y aśı x es solución en el intervalo I de la ecuación original (4.1).. En definitiva, hemos obtenido el siguiente resultado:. Proposición 4.1. x: I ! R es solución de (4.1) si, y sólo si, y : I ! R, definida por (4.2) es solución de la ecuación autónoma (4.4).. De esta forma, se establece una correspondencia biuńıvoca entre las soluciones de la ecuación dada y las soluciones de la ecuación autónoma resultante. En consecuencia, encontrando todas las soluciones de la ecuación autónoma se determinan todas las soluciones de la ecuación original (en el proceso no se pierde ninguna solución).. Como siempre, se sugiere recordar las menos fórmulas posibles, y más aún cuando los cálculos son simples, por lo que se recomienda que el procedimiento a seguir para resolver una ecuación como (4.1) sea el siguiente:. 1. Reconocer el tipo de ecuación (4.1) (a veces esto es lo que da más problemas).. 2. Recordar el cambio de función incógnita: y(t) = at + bx(t) + c.. 3. Derivar la función y y, eliminando la función x, llegar a una ecuación autónoma (se tiene la certeza de que esto funciona).. 4. Resolver la ecuación autónoma resultante.. 5. Determinar las soluciones de la ecuación original (4.1) a partir de las expresiones obtenidas de las soluciones de la ecuación autónoma, deshaciendo el cambio aśı: x(t) = 1b. " y(t)%at%c. # .. Vamos a ilustrar este simple método con dos ejemplos. Que el desarrollo del problema sea más o menos largo sólo estriba en la dificultad que presente la resolución de la ecuación autónoma.. Ejemplo 4.1. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = (9t % x(t) + 2)2.. Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. En este caso la ecuación es del tipo (4.1) donde !(s) = s2.. Según lo visto anteriormente el cambio de función incógnita y(t) = 9t % x(t) + 2 debe trans- formar nuestra ecuación diferencial inicial en una ecuación diferencial autónoma. En efecto, basta con derivar la función y para obtener y!(t) = 9 % x!(t) = 9 % (9t % x(t) + 2)2 = 9 % y2(t). De esta forma, el problema se reduce a resolver la ecuación autónoma. y! = 9 % y2.. 74 Resolución mediante cambios de variables. Esta tiene obviamente dos, y solamente dos, soluciones constantes, que son las definidas en R por y0(t) = %3 e y#0 (t) = 3. Las demás soluciones de la autónoma, cuyas gráficas no cortan a las gráficas de las soluciones constantes, vienen dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. $ 1. 9 % y2 dy = t + K.. Estamos en un caso muy parecido al de las ecuaciones loǵısticas, que tratamos en el tema ante- rior para un modelo de población. Calculamos la primitiva que aparece en el primer miembro, descomponiendo 1. 9"y2 en fracciones simples. 1. 9 % y2 =. A. 3 % y +. B. 3 + y =. 3(A + B) + (A % B)y 9 % y2. ,. de donde % 3(A + B) = 1. A % B = 0 y, por tanto A = B = 16. Aśı,. $ 1. 9 % y2 dy =. 1. 6. &$ 1. 3 % y dy +. $ 1. 3 + y dy. ' =. 1. 6 (% log |3 % y| + log |3 + y|) =. 1. 6 log. (((( 3 + y. 3 % y. (((( .. Por tanto, las soluciones referidas de la ecuación autónoma vienen definidas impĺıcitamente por. log ((( 3 + y. 3 % y. ((( = 6t + 6K,. lo que equivale a (((( 3 + y. 3 % y. (((( = Ce 6t siendo C una constante positiva,. y, por tanto, 3 + y. 3 % y = Ce6t donde C "= 0.. Despejando y de la ecuación anterior obtenemos. y = 3Ce6t % 3 1 + Ce6t. .. De esta forma, llegamos a las expresiones de las funciones derivables. y C (t) =. 3(Ce6t % 1) 1 + Ce6t. donde C "= 0.. C ! "2. C ! "2. C ! 1. y0!t" ! "3. y0#!t" !3 "3. 3. Figura 4.1: Gráficas de algunas soluciones de y! = 9 % y2 (las dos constantes y las correspondientes a C = 1 y C = %2).. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.2. Ecuaciones del tipo x!(t) = !(at + bx(t) + c) 75. Obsérvese que si admitimos en la expresión anterior el caso C = 0, para éste se obtiene la solución constante y0(t) = %3, pero la expresión de y0(t) = 3 no se obtiene para ningún valor de C. Para C > 0 las soluciones están definidas en R mientras que si C < 0 están definidas en intervalos del tipo I = (%&, t0) e I = (t0, &), donde t0 = %. 1 6 log(%C). No vamos a entretenernos. en el comportamiento de las soluciones en los extremos de sus intervalos de definición, pero se puede comprobar fácilmente que para C > 0 las soluciones son estrictamente crecientes, tienen sus gráficas comprendidas entre las gráficas de las dos soluciones constantes y tienen a éstas como aśıntotas horizontales. En el caso C < 0 son estrictamente monótonas y tienen a una de estas como aśıntota horizontal y, por otra parte, tienen una aśıntota vertical de ecuación t = t0, es decir, una situación análoga al caso loǵıstico.. Deshaciendo el cambio, tenemos x(t) = 9t + 2 % y(t). De las dos soluciones constantes de la ecuación autónoma obtenemos las dos soluciones válidas en R dadas por. x0(t) = 9t + 5 , x # 0 (t) = 9t % 1.. A partir de las soluciones y C obtenemos las soluciones definidas por. x C (t) = 9t + 2 %. 3(Ce6t % 1) 1 + Ce6t. .. Como debe ser, la solución x0(t) = 9t + 5 es un caso particular de lo anterior para C = 0, pero la solución x#. 0 (t) = 9t%1 no está considerada en esa familia. Por otra parte, manipulando lo obtenido,. podemos obtener expresiones más simples de las x C aśı:. x C (t) = (9t % 1) + 3 %. 3(Ce6t % 1) 1 + Ce6t. = 9t % 1 + 3(1 + Ce6t) % 3(Ce6t % 1). 1 + C e6t. y, de esta forma, obtenemos. x C (t) = %1 + 9t +. 6. 1 + Ce6t .. Obsérvese que la solución x0(t) = 9t + 5 sigue siendo un caso particular de lo anterior para C = 0.. C ! "2. C ! "2. C ! 1. x0!t" !9 t#5 $. x0%. $$. !t" ! 9 t"1. Figura 4.2: Gráficas de las soluciones x obtenidas a partir de las de la figura 4.1.. 76 Resolución mediante cambios de variables. Obsérvese las soluciones que da el programa Mathematica para esta ecuación.. DSolve ) x![t] == (9t % x[t] + 2)2, x[t], t. * x[t] ! %1 + 9t +. 1 1 6 + e. 6tC[1] .. No proporciona la solución x# 0 (t) = 9t%1 ¿Porqué?. Porque ésta procede de una solución constante. (y0(t) = 3) de la ecuación autónoma, que no se obtiene de la familia yC y, como ya advertimos en el tema anterior, Mathematica no encuentra las posibles soluciones constantes de una ecuación de variables separables.. Ejemplo 4.2. Resolución de la ecuación diferencial x!(t) = sen2(t % x(t) + 1).. Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. En este caso la ecuación es del tipo (4.1) donde !(s) = sen2(s).. El cambio de función incógnita a realizar es y(t) = t % x(t) + 1. Obviamente el cambio se deshace aśı: x(t) = t + 1 % y(t). Derivando la expresión de y obtenemos y!(t) = 1 % x!(t) = 1 % sen2(t % x(t) + 1) = 1 % sen2(y(t)). De esta forma, el problema se reduce a resolver la ecuación autónoma. y! = cos2 y.. Esta ecuación autónoma posee infinitas (pero numerables) soluciones constantes, ya que h(y) = cos2(y) = 0 '( cos y = 0 '( y = "/2 + k" donde k ) Z. Aśı pues, las soluciones constantes (válidas en R) son. y#k : R ! R, t $! y # k(t) = "/2 + k".. Deshaciendo el cambio, a partir de las yk se obtienen las soluciones de la ecuación x ! = sen2(t%x+1). dadas por. x#k : R ! R, t $! x # k(t) = t + 1 % "/2 % k", donde k ) Z.. Determinemos ahora las otras soluciones de la ecuación autónoma. En este caso tenemos in- finitos intervalos Jk donde h es continua y no se anula, que son los dados por. Jk = ( ! 2 + (k % 1)",. ! 2 + k") = (%. ! 2 + k",. ! 2 + k") =. " (k % 12)", (k +. 1 2)". # .. Consideremos los dominios de R2 dados por Dk = R * Jk. Una función derivable x: I ! R con gráfica contenida en Dk es solución de la ecuación autónoma si, y sólo si, existe C ) R tal que x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. $ 1. cos2 y dy = t + C, o equivalentemente, tan y = t + C.. En principio la ecuación anterior parece que no depende del dominio Dk (las primitivas son inde- pendientes del dominio que se use). Ahora bien, en lo que śı van a intervenir los Dk es a la hora de despejar y de la ecuación anterior. Con esto hay que tener sumo cuidado. Obsérvese que la función tangente no tiene inversa a no ser que la restrinjamos a un intervalo adecuado.. Por ejemplo, si consideramos tan: (%"/2, "/2) ! R tal función es biyectiva y su inversa es arctan: R ! (%"/2, "/2). Esto quiere decir que no podemos despejar alegremente de tan y = t+C escribiendo y = arctan(t + C), pues esto implicaŕıa que y ) (%"/2, "/2) y aśı sólo estaŕıamos obteniendo las soluciones con gráficas en el dominio D0. La cuestión es ¿cómo se obtienen las soluciones con gráficas contenidas en los demás dominios Dk?. Para esto tendŕıamos que considerar. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.2. Ecuaciones del tipo x!(t) = !(at + bx(t) + c) 77. !" 2. " 2. Figura 4.3: Gráfica de la función tangente restingida a (%"/2, "/2). !" 2. " 2. Figura 4.4: Gráfica de la función arcotangente. que si graf(y) + Dk, es decir, y ) Jk = (%"/2 + k", "/2 + k"), entonces %"/2 < y % k" < "/2 y, teniendo en cuenta que tan(y % k") = tan y, entonces la ecuación tan y = t + C es equivalente a. tan(y % k") = t + C y, por tanto, a y = k" + arctan(t + C).. En definitiva, las soluciones de la ecuación autónoma con gráficas contenidas en Dk son las dadas por. y k,C. (t) = k" + arctan(t + C). y son soluciones válidas en R (pues vienen definidas por la ecuación tan y = t + C y son derivables en R). Véase que las gráficas de éstas tienen, cada una, dos aśıntotas horizontales, que son precisa- mente gráficas de las soluciones constantes. En este caso parece que hemos determinado (se puede probar que es aśı) todas las soluciones de la ecuación autónoma.. k!1. k !0. k!"1. " 3#. 2. " #. 2. #. 2. 3#. 2. Figura 4.5: Gráficas de algunas soluciones de la ecuación autónoma y! = cos2 y.. Deshaciendo el cambio de función incógnita, a partir de las y k,C. obtenemos las soluciones. x k,C. : R ! R, t $! x k,C. (t) = t + 1 % k" % arctan(t + C), con k ) Z y C ) R.. Para cada k ) Z y cada C ) R tenemos una solución. Estas, junto con las obtenidas al principio: x#k(t) = t + 1 % "(k + 1/2), k ) Z , son todas las soluciones de la ecuación diferencial propuesta.. 78 Resolución mediante cambios de variables. Obsérvese la respuesta que da Mathematica a la ecuación diferencial que hemos tratado aqúı.. DSolve ) x![t] == (Sin[t % x[t] + 1])2, x[t], t. *. ++ x[t] ! 1 + t % ArcTan. , 1. 2 (2t % C[1]). -. ,. + x[t] ! 1 + t + ArcTan. , 1. 2 (%2t + C[1]). -... Véase que Mathematica no ha encontrado todas las soluciones (sólo da las x k,C. para k = 0 y no proporciona las x#k), aunque de hecho da una alarma advirtiendo que esto podŕıa suceder (esta alarma sólo vendŕıa a justificar porqué no determina las soluciones x. k,C con k "= 0):. Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found;. use Reduce for complete solution information.. Ejemplo 4.3. Resolución del problema (P) :. % x!(t) = sen2(t % x(t)) x(0) = 0. En este caso tenemos un problema de valor inicial donde la ecuación es muy parecida a la del ejemplo anterior. El cambio de variable a realizar en este caso es y(t) = t % x(t). Derivando la expresión de y obtenemos y!(t) = 1 % x!(t) = 1 % sen2(t % x(t)) = 1 % sen2(y(t)). De esta forma, la ecuación equivalente a la dada es la ecuación autónoma. y! = cos2 y,. es decir, la misma que apareció en el ejemplo anterior. Hemos puesto este ejemplo para advertir que en un caso como en éste no seŕıa necesario encontrar todas las soluciones de la autónoma, tal como se hizo en el ejemplo anterior. Al ser un problema de valor inicial, podemos arrastrar la condición inicial x(0) = 0 a la nueva función incógnita para obtener y(0) = 0 % x(0) = 0 y de esta forma obtener el problema de Cauchy asociado. (Q) :. % y! = cos2 y. y(0) = 0. La idea es resolver el problema (Q) y después (P) deshaciendo el cambio (x(t) = t % y(t)).. Dado que la función h, definida por h(y) = cos2 y, verifica h(0) "= 0, sabemos que en algún intervalo abierto conteniendo al punto 0, el problema (Q) posee una única solución, que viene definida impĺıcitamente por la ecuación. $ y. 0. 1. cos2 s ds =. $ t. 0 1 ds,. que, obviamente, es equivalente a la ecuación tan y = t. En este caso no tenemos duda al despejar. y de la ecuación anterior, ya que estamos buscando una solución que verifica y(0) = 0; Al ser y continua, para cada t de algún intervalo I , 0 se verifica que y(t) ) (%"/2, "/2). Por tanto, la forma de despejar y de la ecuación tan y = t es y = arctan t. De esta forma, la función derivable definida. por y(t) = arctan t es solución de (Q). Ahora podemos comprobar, simplemente derivando, que. es solución de (Q) válida en R. En consecuencia, la función. x: R ! R, t $! x(t) = t % arctan t. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.3. Ecuaciones diferenciales homogéneas 79. es solución del problema (P). Después de ver el tema 6, podremos probar que es la única solución de (P) definida en R.. Con Mathematica tenemos lo siguiente:. DSolve )/ x![t] == (Sin[t % x[t]])2, x[0] == 0. 0 , x[t], t. * x[t] ! t % ArcTan[t].. 4.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas. Antes de introducir las ecuaciones diferenciales homogéneas vamos a tratar algunas cuestiones sobre funciones homogéneas.. Sea D un subconjunto de R2 con la siguiente propiedad:. (t, x) ) D y # > 0 =( (#t, #x) ) D.. Este tipo de conjuntos se llaman semiconos. Por ejemplo, R2, un semiplano, un cuadrante del plano y otros conjuntos como una región triangular ilimitada especial, seŕıan ejemplos de semiconos. Sobre un semicono se puede definir una función homogénea.. Si D es un semicono en el plano, una función f : D ! R se dice que es homogénea de grado m, donde m ) R, cuando verifica. f(#t, #x) = #mf(t, x) para cada (t, x) ) D y cada # > 0.. Como # es positivo tiene sentido #m (pues #m = em log ") cualquiera que sea m ) R. Por tanto una función homogéna de grado 0 es la que verifica la condición:. (4.5) f(#t, #x) = f(t, x) para cada (t, x) ) D y cada # > 0.. A continuación damos algunos ejemplos de ecuaciones homogéneas.. 1. f : R2 ! R, definida por f(t, x) = at + bx, es una función homogénea de grado 1.. 2. Las funciones f : R2 ! R, definidas por f(t, x) = t2%x2 y f(t, x) = 2t2+3x2, son homogéneas de grado 2.. 3. Las funciones definidas en el dominio D = (0, &) * (0, &) por f(t, x) = sen(xt ) y f(t, x) = log t % log x son homogéneas de grado 0.. 4. f : [0, &) * [0, &) ! R, definida por f(t, x) = - t + x, es homogénea de grado 1/2.. 5. Un caso especial muy interesante es el siguiente. Si g y h son funciones homogéneas del mismo. grado sobre un semicono D y h no se anula en D, la función f definida por f(t, x) = g(t, x). h(t, x) es homogénea de grado 0.. Definición 4.1. Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación del tipo. (4.6) x!(t) = f(t, x(t)) donde la función f es homogénea de grado 0.. 80 Resolución mediante cambios de variables. Según lo visto anteriormente, muchas veces nos encontraremos la ecuación diferencial escrita aśı:. (4.7) x!(t) = g(t, x(t)). h(t, x(t)) siendo g y h funciones homogéneas del mismo grado.. Observación: Las llamadas ecuaciones lineales homogéneas: x!(t) = a(t)x(t) (estudiadas en el tema 2) no son, en general, ecuaciones homogéneas en el sentido precisado aqúı ya que la función definida por f(t, x) = a(t)x no es necesariamente homogénea de grado 0.. La idea es probar que se puede llevar a cabo un cambio de función incógnita que transforme la ecuación (4.6) en una ecuación diferencial de variables separables (en este caso no autónoma). En general, no se ve claramente el cambio de función incógnita a realizar si antes no se llevan a cabo ciertas manipulaciones de la función f, las cuales van a implicar cierta restricción sobre el dominio D; concretamente, vamos a tener que suponer que el dominio D no debe cortar al eje de ordenadas. Obsérvese que los semiconos maximales donde esto sucede son. D = (%&, 0) * R y D = (0, &) * R.. En efecto, supongamos por ejemplo que D + (0, &) * R. Para cada (t, x) ) D consideramos # = 1/t > 0. Teniendo en cuenta (4.5) tenemos f(t, x) = f(#t, #x) = f(1, xt ) = !(. x t ), o bien,. de otra forma más rápida, f(t, x) = f(t · 1, t · xt ) = f(1, x t ). Análogamente, si D + (%&, 0) * R,. f(t, x) = f(%t · %1, %t · %xt ) = f(%1, % x t ) = $(. x t ). Luego en cualquier caso la función homogénea. de grado 0 podemos escribirla aśı:. f(t, x) = ! 1x t. 2 siendo ! una función de una sola variable .. Por ejemplo, si nos dan la función homogénea de grado 0 (cociente de dos homogéneas g y h de grado 3) definida en cada cuadrante del plano por. f(t, x) = t3 + tx2 % x3. 2t2x ,. bastaŕıa con dividir numerador y denominador por t3 (obsérvese que 3 es el grado de homogeneidad de g y h) para obtener la expresión:. f(t, x) = 1 + (xt ). 2 % (xt ). 3. 2(xt ) = !(. x. t ) donde !(s) =. 1 + s2 % s3. 2s .. En este caso no necesitamos restringir los dominios pues las regiones donde f está definida no cortan al eje de ordenadas.. Por tanto, en general y con tal restricción sobre el dominio D, podemos escribir cualquier ecuación diferencial homogénea aśı:. (4.8) x!(t) = ! 1x(t). t. 2 donde la función s $! !(s) es conocida.. La expresión (4.8) nos sugiere que hagamos el cambio de función incógnita dado por. (4.9) y(t) = x(t). t .. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.3. Ecuaciones diferenciales homogéneas 81. Comprobemos que con este cambio pasamos de la ecuación (4.8) a una de variables separables. En efecto, supongamos que x: I ! R es solución de (4.8), lo que implica que I + (%&, 0) o I + (0, &), y consideramos la función y : I ! R definida por (4.9). Derivando la función y obtenemos. y!(t) = x!(t) · 1. t % x(t) ·. 1. t2 =. 1. t. 1 x!(t) %. x(t). t. 2 =. 1. t. , ! 1x(t). t. 2 %. x(t). t. - =. 1. t. " !(y(t)) % y(t). # .. Por tanto, y : I ! R es solución de la ecuación de variables separables. (4.10) y!(t) = 1. t. " !(y(t)) % y(t). # = g(t)h(y(t)).. Rećıprocamente, supongamos que y : I ! R es solución de la ecuación de variables separables (4.10) y deshacemos el cambio hecho en (4.9), es decir, consideramos la función x: I ! R definida por. (4.11) x(t) = ty(t).. Derivando la función x obtenemos. x!(t) = y(t) + ty!(t) = y(t) + t 1. t. " !(y(t)) % y(t). # = !(y(t) = !. 1x(t) t. 2. y aśı comprobamos que x es solución en el mismo intervalo de la ecuación diferencial homogénea (4.8). Aśı pues:. Proposición 4.2. x: I ! R es solución de la ecuación homogénea (4.8) si, y sólo si, y : I ! R, definida por (4.9), es solución de la ecuación de variables separables (4.10).. Establecemos aśı una correspondencia biuńıvoca entre las soluciones de la ecuación dada y las soluciones de la ecuación de variables separables resultante. De esta forma, encontrando todas las soluciones de la ecuación diferencial de variables separables se determinan todas las soluciones de la ecuación diferencial homogénea (en el proceso no se pierde ninguna solución). De nuevo se insiste en que no es necesario recordar la expresión de la ecuación (4.10) resultante. Basta con derivar en la expresión del cambio y tener la certeza de que surge una ecuación de variables separables. El procedimiento a llevar en la práctica seŕıa el análogo al descrito en la sección 4.2. Resolveŕıamos la ecuación de variables separables resultante y encontraŕıamos las soluciones de la ecuación homogénea deshaciendo el cambio, es decir, considerando las soluciones dadas por (4.11).. A modo de una simple ilustración del método, obsérvese que la ecuación x! = xt es lineal. homogénea pero también es homogénea. Si hacemos el cambio y(t) = x(t) t la ecuación resultante. seŕıa la ecuación trivial y! = 0 cuyas soluciones son las funciones constantes y(t) = C y, al deshacer el cambio, obtenemos las soluciones definidas por x(t) = Ct, que son las que habŕıamos obtenido. de aplicar la conocida fórmula x(t) = C e !. 1 t dt .. Ejemplo 4.4. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = x2(t) % t2. 2tx(t) .. Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. Necesariamente las soluciones tienen sus gráficas contenidas en alguno de los cuatro dominios del plano (que son semiconos):. D1 = (0, &) * (0, &), D2 = (0, &) * (%&, 0), D3 = (%&, 0) * (0, &), D4 = (%&, 0) * (%&, 0).. 82 Resolución mediante cambios de variables. En este caso, la función f, definida por f(t, x) = x 2"t2 2tx , es cociente de dos funciones homogéneas. de grado 2, por lo que es una función de grado 0. Dividiendo numerador y denominador por t2 se obtiene. f(t, x) = x2 % t2. 2tx =. (xt ) 2 % 1. 2(xt ) = !. 1x t. 2 , donde !(s) =. s2 % 1 2s. .. De esta forma, nuestra ecuación diferencial se puede escribir, sin necesidad de restringir los do- minios, como x!(t) = !. "x(t) t. # y, por tanto, realizamos el cambio de función incógnita y(t) =. x(t) t .. Derivamos la expresión de y(t) = x(t) · 1t y obtenemos. y!(t) = x!(t) 1. t % x(t). 1. t2 =. 1. t. , ! 1x(t). t. 2 %. x(t). t. - =. 1. t. " !(y(t)) % y(t). # .. Como !(s) % s = s 2"1"2s2. 2s = % 1+s2. 2s , la ecuación de variables separables resultante es:. y!(t) = % 1. t. 1 + y2(t). 2y(t) .. Esta ecuación no posee soluciones constantes (de hecho tiene sus soluciones con las gráficas en los mismos dominios Dk que la original). Más exactamente la ecuación es equivalente a una ecuación de variables separadas cuyas soluciones se obtienen impĺıcitamente de ecuaciones del tipo. $ 2y. 1 + y2 dy =. $ % 1. t dt + C con C ) R. lo que equivale a escribir. log(1 + y2) = % log | t | + C o, equivalentemente, y2 = K. | t | % 1 siendo K > 0.. Despejando y y teniendo en cuenta el signo de t nos quedan cuatro familias de soluciones, cada una. de ellas con las gráficas en uno de los cuatro dominios Dk. Todas son del tipo y(t) = ± 3. K | t | % 1.. Despejando el cambio aśı: x(t) = ty(t), aparecen cuatro familias de soluciones de expresiones. x K (t) = t. 3 K t % 1, xK (t) = %t. 3 K t % 1 xK (t) = %t. 3 %(Kt + 1) xK (t) = t. 3 %(Kt + 1),. donde, en cada caso, K es un número positivo. Para las dos primeras familias (con gráficas en D1 y D2) las soluciones son válidas en intervalos del tipo I = (0, K). Para las otras dos familias (con gráficas en D3 y D4) las soluciones son válidas en intervalos del tipo I = (%K, 0).. !1.0 !0.5 0.5 1.0. !0.4. !0.2. 0.2. 0.4 K = 1. K = 0.5. K = 1. K = 0.5. K = 1. K = 0.5. K = 1. K = 0.5. Figura 4.6: Gráficas de las soluciones en los casos K = 1, K = 0.75 y K = 0.5.. En este caso, la respuesta de Mathematica a nuestra ecuación diferencial es la siguiente:. DSolve. , x![t] ==. (x[t])2 % t2. 2tx[t] , x[t], t. -. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.3. Ecuaciones diferenciales homogéneas 83. 44 x[t] ! %. 5 %t2 + tC[1]. 6 ,. 4 x[t] !. 5 %t2 + tC[1]. 66 .. Para poder comparar mejor el resultado de Mathematica con el nuestro, obsérvese que si t > 0 se verifica. x K (t) = t. 3 K t % 1 =. 3 t2 " K t % 1. # =. 5 %t2 + Kt. y si t < 0 se tiene. x K (t) = %t. 3 %(Kt + 1) =. 3 (%t)2. " % Kt + 1. # =. 5 %t2 % Kt.. En ambos casos se obtiene finalmente una expresión de la forma - %t2 + Ct, donde C "= 0. Por. tanto, hay coincidencia en los resultados obtenidos.. Ejemplo 4.5. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = t + x(t). t % x(t) .. Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. La expresión de esta ecuación es aparentemente más simple que la del primer ejemplo, pero vamos a ver que la resolución se complica (las ecuaciones diferenciales engañan mucho).. Las gráficas de las soluciones estarán contenidas en la región {(t, x) ) R2 : x "= t} lo que da lugar a dos semiconos maximales: las regiones que están por encima o debajo de la recta de ecuación x = t. En estos semiconos la función f, definida por f(t, x) = t+xt"x, es cociente de dos funciones homogéneas de grado 1 por lo que f es de grado 0. No obstante, el método de resolución de la ecuación diferencial nos lleva a realizar restricciones sobre estas regiones (hay que suponer t "= 0) dando lugar a cuatro semiconos. Esto nos dice que, desde un principio, el método introduce una restricción que podŕıa condicionar a no dar todas las soluciones.. Dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de f por t tenemos:. f(t, x) = 1 + xt 1 % xt. = ! 1x t. 2 , donde !(s) =. 1 + s. 1 % s .. Hacemos el cambio de función incógnita y(t) = x(t) 1t y derivando la expresión de y obtenemos fácilmente que y es solución de la ecuación de variables separables. y!(t) = 1. t · 1 + y2(t). 1 % y(t). Esta ecuación no posee soluciones constantes, de hecho es una ecuación de variables separadas, cuyas soluciones se obtienen impĺıcitamente de ecuaciones del tipo. $ 1 % y 1 + y2. dy =. $ 1. t dt + C con C ) R.. La primitiva que aparece en el primer miembro es de resolución casi inmediata y las ecuaciones quedan aśı:. arctan y % 12 log(1 + y 2) = log | t | + C con C ) R,. o, equivalentemente,. arctan y % 12 log(1 + y 2) = log(K| t |) con K > 0.. 84 Resolución mediante cambios de variables. Véase que no sabemos despejar y de la ecuación anterior. Como y = xt , donde x es solución de la ecuación diferencial homogénea, entonces podemos afirmar que cualquier solución x de nuestra ecuación original viene definida impĺıcitamente por una ecuación del tipo. (4.12) arctan "x t. # % 12 log. 1 1 +. "x t. #22 = log(K| t |) con K > 0.. Manipulando un poco la ecuación anterior podemos escribir. arctan "x t. # = log. 71t2 + x2 t2. 2 + log(K| t |) con K > 0,. es decir,. (4.13) arctan "x t. # = log. 1 K 5 t2 + x2. 2 con K > 0.. o equivalentemente. arctan( x. t ) = log. 5 t2 + x2 + C con C ) R.. Tenemos que dejar el problema aśı si no sabemos despejar x de la expresión anterior y por tanto no podemos, en principio, inspeccionar los intervalos de definición de las soluciones y los valores de K para los que realmente se obtiene solución. Sólo podŕıamos recurrir al teorema de la función impĺıcita 1 para probar que para cada C ) R (o equivalentemente para cada K > 0) la ecuación anterior define impĺıcitamente una solución de la ecuación diferencial homogénea en un determinado intervalo (desconocido), aunque el método asegura, salvo errores de cálculo, que cualquier solución de la ecuación diferencial se obtiene a partir de la ecuación (4.13). No obstante, suponiendo que tal ecuación defina una función derivable t $! x(t), podemos comprobar de una forma directa que ésta es solución de la ecuación diferencial derivando en ambos miembros de la expresión:. arctan "x(t). t. # = log. 1 K 5. t2 + x2(t) 2 ,. pues se obtendŕıa lo siguiente:. x!(t)t"x(t) t2. t2+x2(t) t2. = K. 2t+2x(t)x!(t). 2 -. t2+x2(t). K 5 t2 + x2(t). =( x!(t)t % x(t) = t + x(t)x!(t) =( x!(t)(t % x(t)) = t + x(t). =( x!(t) = t + x(t). t % x(t) .. En este caso, la respuesta de Mathematica a nuestra ecuación diferencial. DSolve. , x![t]==. t + x[t]. t % x[t] , x[t], t. -. es la siguiente: The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially. non-algebraic way ”. Solve. , %ArcTan. , x[t]. t. - +. 1. 2 Log. , 1 +. x[t]2. t2. - == C[1] % Log[t], x[t]. -. Es decir, que Mathematica tampoco da las soluciones expĺıcitamente y plantea resolver (“Solve”) lo anterior como una ecuación en x[t] aunque no sabe resolverla. Obsérvese que la forma impĺıcita. 1Véase [4, páginas 41 y 42].. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 85. en que da las soluciones coincide con lo que hemos obtenido en (4.12) (aunque escribe Log[t] en lugar de Log[|t|]).. Observación: Trabajando con la expresión (4.13) y pasando a coordenadas polares (r, %) (t = r cos %, x = r sen %), se obtiene inmediatamente ecuaciones muy simples de las gráficas de las solu- ciones, en coordenadas polares; concretamente: r = 1K e. #. Estas son casos particulares de ecuaciones de espirales logaŕıtmicas2.. Figura 4.7: Una espiral logaŕıtmica. Las ecuaciones que hemos tratado en las dos primeras secciones han sido transformadas, me- diante cambios de funciones incógnitas, en ecuaciones de variables separables. En los dos siguientes casos: ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Riccati, vamos a transformar las ecuaciones en ecuaciones diferenciales lineales.. 4.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Jacob Bernoulli (1654-1705), matemático suizo, perteneciente a una saga formada por nada menos que ocho matemáticos, fue uno de los primeros matemáticos en interesarse por la modelización matemática de ciertos problemas de la vida real, especialmente se interesó en problemas de epi- demias. Las ecuaciones diferenciales que propuso en estos modelos son casos particulares de un tipo de ecuación diferencial que se conoce hoy en d́ıa como ecuación diferencial de Bernoulli.. Definición 4.2. Una ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación del tipo. (4.14) x!(t) = a(t)x(t) + b(t)x$(t). donde las funciones a: J ! R y b: J ! R son funciones conocidas y & es un número real.. Para poder tratar este tipo de ecuaciones supondremos siempre que las funciones a y b son continuas sobre el intervalo J. En forma abreviada la ecuación la escribimos aśı:. x! = a(t)x + b(t)x$.. En los siguientes ejemplos de ecuaciones de Bernoulli (escritos en formas abreviadas) desta- camos, en cada caso, el valor de &.. 2 Una espiral logaŕıtmica es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita por primera vez por Descartes y posteriormente investigada por Jacob (Jakob) Bernoulli, quien la llamó Spira mirabilis, “la espiral maravillosa”, y quiso una grabada en su lápida, pero se grabó en su lugar una espiral de Arqúımedes.. 86 Resolución mediante cambios de variables. x! = %x + tx3 & = 3. x! = ax % bx2 & = 2 y a, b ) R (ésta también es autónoma: la ecuación loǵıstica). x! = x % t. 2. x & = %1. x! = tx %. - x & = 1/2.. x! = 3 - x + xt & = 1/3.. Hay una serie de casos especiales (casos impropios) en los que una ecuación de Bernoulli es una ecuación de un tipo ya estudiado (lineal, variables separables). Estos son:. 1. Si & = 0 la ecuación queda aśı: x! = a(t)x+b(t) y es, por tanto, una ecuación lineal completa.. 2. Si & = 1 la ecuación es x! = " a(t) + b(t). # x, una ecuación lineal homogénea.. 3. Si la función a es nula en J la ecuación es x! = b(t)x$, que es de variables separables.. 4. Si la función b es nula en J la ecuación resultante es x! = a(t)x, que es lineal homogénea.. 5. Si las funciones a y b son constantes en J la ecuación resultante es x! = ax + bx$, que es una autónoma, como sucede con el caso de la ecuación loǵıstica, usada en un modelo de población en el tema anterior (en este caso puede ser más cómodo resolver la ecuación como una ecuación de Bernoulli).. El problema que surge, en general, con las ecuaciones de Bernoulli es que el valor de & puede acarrear ciertas restricciones sobre las soluciones. Aśı, si & es un entero negativo las soluciones no pueden anularse en un punto t de su intervalo de definición. Si & = 1/2, 1/4, . . . las soluciones no pueden tomar valores negativos. En cualquier caso, si x(t) > 0 tiene sentido (x(t))$ cualquiera que sea el valor de & (cuando a > 0, a$ = e$ log a).. Las consideraciones anteriores nos lleva a que en un estudio general de las ecuaciones de Bernoulli se consideren, inicialmente, soluciones positivas x: I ! (0, &), lo cual parece restrictivo en casos t́ıpicos como. (4.15) x! = a(t)x + b(t)x2 o x! = a(t)x + b(t)x3. Obsérvese que en los dos casos anteriores la función nula x: J ! R, t $! x(t) = 0 es solución de la ecuación y tiene sentido que una solución pueda tomar valores negativos.. Sin embargo, el método que se conoce para solucionar las ecuaciones de Bernoulli hace que, aún en casos como los dos anteriores, se impongan ciertas restricciones sobre las soluciones; concreta- mente, sólo va a determinar soluciones que nunca se anulan. No obstante, en muchos casos donde & > 0 la función nula va a ser la única solución de la ecuación diferencial que se puede anular en algún punto; por ejemplo, esto sucede con las ecuaciones dadas en (4.15) y en general cuando & > 1. Al igual que sucede con las ecuaciones autónomas x! = x$ (que no dejan de ser un caso particular de ecuaciones de Bernoulli), los casos conflictivos se dan cuando 0 < & < 1.. En resumen, vamos a tener, en general, restricciones por dos motivos: por el valor de & y por el método de resolución.. Método de resolución. Hoy en d́ıa se usa el método dado por el matemático alemán G.W. Leibnitz (1696), que consiste en realizar un cambio de función incógnita que reduce el problema de encontrar las soluciones de una. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 87. ecuación diferencial de Bernoullli a conocer las soluciones de una determinada ecuación diferencial lineal (parece que este método es más simple que el que usó originalmente Bernoulli).. La ecuación de Bernoulli (4.14) es lineal completa cuando & = 0, es decir, cuando no aparece el factor x$ en dicha ecuación. Esto nos sugiere manipular la ecuación para que parezca lineal completa y una forma de llevar a cabo esto consiste en multiplicar los dos miembros de la ecuación (4.14) por x"$ (lo que no tiene sentido si x se anula en algún punto). Aśı obtenemos:. (4.16) x"$(t)x!(t) = a(t)x1"$(t) + b(t). Podemos entonces considerar la nueva función incógnita y dada por. (4.17) y(t) = x1"$(t). pues de esta forma en el segundo miembro de (4.16) sólo aparece la expresión a(t)y(t) + b(t). Todo esto funcionaŕıa a la perfección si en el primer miembro de (4.16) únicamente apareciese la derivada y!(t). Si derivamos la función dada en (4.17) resulta. y!(t) = (1 % &)x"$(t)x!(t). es decir, salvo la constante 1 % & lo que aparece en el miembro de la izquierda de (4.16) es la derivada de la nueva función. Esto no es problema porque lo que estamos asegurando es que si x: I ! (0, &) es solución de la ecuación (4.14) (se supone I + J), entonces y : I ! (0, &) definida por (4.17) es solución de la ecuación lineal. (4.18) y!(t) = (1 % &)a(t)y(t) + (1 % &)b(t). Observaciones Obsérvese que en el caso & = 0 no hacemos realmente ningún cambio de función incógnita (y = x) pero esto es lógico pues en este caso la ecuación de Bernoullli ya es lineal. Por otra parte, en el caso & = 1 el cambio dado en (4.17) no tiene sentido pero en este caso la ecuación de Bernoulli ya es lineal homogénea. Por tanto, en casos propios, el cambio dado por (4.17) no plantea problema salvo el ya mencionado: no poder considerar soluciones que se anulen.. Rećıprocamente, supongamos que y : I ! (0, &) es solución de la ecuación lineal (4.18) y deshacemos el cambio dado en (4.17), es decir consideramos la función x: I ! (0, &) definida por. (4.19) x(t) = y 1. 1"! (t). Véase que la función !: (0, &) ! (0, &), s $! sk es biyectiva tanto si k > 0 como si k < 0 y su inversa es (0, &) ! (0, &), s $! s1/k (obsérvese el problema con !: R ! (0, &), s $! s2).. Derivando la función x obtenemos. x!(t) = 11"$ (y(t)) 1. 1"! "1 y!(t) = 11"$ y. ! 1"!. (t) 1 (1 % &)a(t)y(t) + (1 % &)b(t). 2. = a(t)y 1. 1"! (t) + b(t) 1 y. 1 1"! (t). 2$ = a(t)x(t) + b(t)x$(t).. De esta forma obtenemos una correspondencia biuńıvoca entre las soluciones positivas de la ecuación de Bernoulli y las soluciones positivas de la ecuación lineal, que resumimos en el siguiente resultado.. Proposición 4.3. Si & "= 1, x: I ! (0, &) es solución de la ecuación de Bernoulli (4.14) si, y sólo si, y : I ! (0, &), definida por y = x1"$, es solución de la ecuación lineal (4.18).. 88 Resolución mediante cambios de variables. Véase que si las funciones a y b son continuas en el intervalo J, las funciones que aparecen en el segundo miembro de la ecuación lineal (4.18) son también continuas en J y aśı la ecuación lineal puede ser tratada mediante los métodos vistos en el tema 2.. Defectos del método de resolución. Da la impresión de que puede haber problemas a la hora de determinar las soluciones negativas x: I ! (%&, 0) y, por supuesto, las posibles soluciones que se anulen en algún punto. Al ser I un intervalo, por el teorema de Bolzano, si x: I ! R es una solución que toma valores positivos y negativos entonces deben existir puntos en I donde x se anule, dada la continuidad de la función x. Como el método exige que una solución no se anule, entonces éste sólo nos va a determinar soluciones positivas o negativas.. Obsérvese el caso de la ecuación. x! = a(t)x + b(t)x2 (& = 2).. Esta tiene como solución la función nula y tiene sentido que una solución tome valores positivos, negativos o nulos. Sin embargo, el cambio a realizar en este caso para transformar nuestra ecuación. en una lineal es y(t) = 1 x(t). que impide que una solución se anule (no obstante, con este cambio. obtendremos también las soluciones negativas). Por contra, si consideramos la ecuación. x! = a(t)x + b(t). x (& = %1),. aqúı no tiene sentido que una solución se anule y, sin embargo, el cambio de función que hay. que llevar a cabo es y(t) = (x(t))2. Resulta que y(t) . 0 mientras que x(t) puede ser positiva o negativa, ¿Qué sucede? Pues que al deshacer el cambio aśı: x(t) =. 5 y(t) obtenemos las soluciones. positivas mientras que al deshacer el cambio como x(t) = % 5 y(t) tenemos las soluciones negativas.. Quizás lo más conveniente es no perderse en más detalles de este tipo e ilustrar la teoŕıa con algunos ejemplos y, como siempre, no es necesario recordar la expresión de la ecuación lineal resultante sino simplemente el cambio de función y derivar, teniendo la certeza que debe salir una ecuación lineal.. Ejemplo 4.6. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = %x(t) + tx3(t).. Es un caso de ecuación de Bernoulli donde & = 3 y las funciones definidas por a(t) = %1 y b(t) = t son continuas en J = R. Obsérvese que la función nula es solución de la ecuación en todo R y tiene sentido que una solución tome valores positivos o negativos. Téngase en cuenta que, en casos como éste, donde se ve a ojo que la función nula es solución, el método no va a proporcionar esta solución (lo mismo sucede con el programa Mathematica) y, por tanto, ésta hay que añadirla al conjunto de soluciones que obtengamos después. Sin embargo, las soluciones negativas serán obtenidas por el método con el mismo esfuerzo con el que se obtienen las positivas.. Para no olvidar el cambio a realizar (y = x1"$) sigamos la idea original de multiplicar ambos miembros de la ecuación por x"3 (para que se parezca a una lineal) y aśı queda. (4.20) x"3(t)x!(t) = %x"2(t) + t. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 89. por lo que el cambio debe ser y = x"2. Para obtener la ecuación lineal equivalente derivamos en esta expresión y aprovechamos lo anterior aśı:. y!(t) = %2x"3(t)x!(t)) = (4.20). 2x"2(t) % 2t = 2y(t) % 2t.. Por tanto, la ecuación diferencial lineal a resolver es. (4.21) y!(t) = 2y(t) % 2t. El procedimiento anterior da posiblemente la forma más eficaz de llegar a la expresión de la ecuación lineal; de no hacerlo aśı, simplemente recordamos el cambio y(t) = x1"$(t) = x"2(t) y derivamos directamente en esta expresión obteniendo:. y!(t) = %2x"3(t)x!(t)) = %2x"3(t) " % x(t) + tx3(t). # = 2x"2(t) % 2t = 2y(t) % 2t.. Vamos a resolver la ecuación lineal (4.21) por el segundo método expuesto en el tema 2, basado en la resolución de la ecuación lineal homogénea asociada y en la determinación de una solución particular de la completa mediante el método de variación de las constantes (método de Lagrange) o bien mediante el método de los coeficientes indeterminados.. La ecuación homogénea asociada es y! = 2y, cuyas soluciones son las funciones definidas por yh(t) = C e. 2t con C ) R. Sabemos que hay una solución particular de la completa (4.21) que es de la forma yp(t) = k(t) e. 2t siendo k una función de clase uno, que determinamos imponiendo que yp sea solución de (4.21).. y!p(t) = k !(t) e2t +2k(t) e2t = 2yp(t) % 2t = 2k(t) e2t %2t. lo que nos lleva a que k!(t) e2t = %2t y, por tanto, k(t) = ! %2t e"2t dt. Calculando esa primitiva,. mediante una integración por partes, obtenemos k(t) = (t + 1/2) e"2t y, consecuentemente, yp(t) = t + 1/2.. Dada la forma de la ecuación lineal (4.21), también se puede usar (y es más eficaz) el método de los coeficientes indeterminados buscando una solución particular del tipo yp(t) = At + B. Esto nos. lleva a la resolución del muy simple sistema de ecuaciones:. % A % 2B = 0 %2A = %2. de solución inmediata:. A = 1 y B = 1/2. Este pocedimiento es aqúı, y en general, más simple de cálculos que el anterior.. En definitiva, las soluciones de la ecuación lineal son las funciones dadas por. y C (t) = C e2t +t + 1/2, con C ) R,. y, como soluciones de la ecuación (4.21), son válidas en R.. Ahora tenemos que deshacer el cambio y(t) = 1 x2(t). lo cual nos llevaŕıa a dos posibles formas de. despejar x(t); concretamente: x(t) = ± 1- y(t). . Como ya advertimos con el ejemplo de la ecuación. x! = a(t)x + b(t) x lo que sucede es que de una vez obtenemos tanto las soluciones positivas como las. negativas de la ecuación de Bernoulli x! = %x + tx3. En definitiva, con este método obtenemos las siguientes soluciones:. (4.22) x C (t) =. 1 3 C e2t +t + 12. y 8x C (t) = %. 1 3 C e2t +t + 12. con C ) R,. 90 Resolución mediante cambios de variables. a las que hay que añadirles la solución nula t $! x(t) = 0 válida en todo R.. En principio, sin otro tipo de herramientas, no estamos en disposición de asegurar que hayamos obtenido todas las soluciones (caso análogo al de ciertas ecuaciones de variables separables), aunque, usando técnicas más avanzadas, podremos asegurar que efectivamente hemos obtenido todas las soluciones.. La soluciones de la ecuación lineal (4.21) són válidas en R pero esto no implica que las soluciones de la ecuación de Bernoulli (4.22) sean también válidas en R. Para un C "= 0 es muy dif́ıcil inspeccionar tal intervalo, pero en el caso C = 0, la solución positiva resultante (la correspondiente a la solución yp(t) = t +. 1 2 de la lineal) es. x(t) = 1. 3 t + 12. ,. que como se puede apreciar está definida en el intervalo I = (%12, &) y se puede comprobar fácilmente que es solución de la ecuación de Bernoulli en tal intervalo. Sin embargo, la solución yp(t) = t +. 1 2 de la ecuación lineal es válida en todo R. Esto parece una contradicción pero no es. aśı pues en la teoŕıa hemos establecido una correspondencia biuńıvoca entre las soluciones positivas x: I ! (0, &) de la ecuación de Bernoulli y las soluciones positivas y : I ! (0, &) de la ecuación lineal resultante. Obsérvese que y(t) = t+ 12 sólo toma valores positivos en el intervalo I = (%. 1 2, &). el mismo donde es válida la solución positiva de la ecuación de Bernoulli.. En este caso, la respuesta de Mathematica a nuestra ecuación diferencial es la siguiente:. DSolve ) x![t] == %x[t] + tx[t]3, x[t], t. *. %% x[t] ! %. - 2. 5 1 + 2t + 2e2tC[1]. 9 ,. % x[t] !. - 2. 5 1 + 2t + 2e2tC[1]. 99 .. Obsérvese que las dos familias de soluciones dadas son equivalentes a las que nosotros hemos obtenido, pero Mathematica no encuentra la solución nula.. C!0. C!0. C!1. C!1. Figura 4.8: Gráficas de las soluciones correspondientes a C = 0 y a C = 1.. Ejemplo 4.7. Estudio y resolución del problema (P) :. : ;. < x!(t) =. x2(t) log t % x(t) t. x(1) = 1. En principio, la ecuación diferencial puede que no se reconozca como ecuación de Bernoulli si no se escribe aśı:. x! = % 1. t x +. log t. t x2.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.4. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 91. Aqúı & = 2 y las funciones a(t) = %1t y b(t) = log t t son continuas en el intervalo J = (0, &).. No hemos establecido un resultado de existencia y unicidad para problemas de valores iniciales asociados a ecuaciones de Bernoullli (ni tampoco para las ecuaciones homogéneas y otras vistas en este tema), pero vamos a abordar este problema intentando determinar todas las soluciones de la ecuación de Bernoulli y posteriormente buscando entre las obtenidas, si es que existe, la (o las) que verifica la condición inicial x(1) = 1.. La propia ecuación nos dice que la gráficas de sus soluciones están contenidas en D = (0, &)*R y, por tanto, podemos tener soluciones que tomen valores positivos o negativos. La función nula es solución de la ecuación diferencial pero no satisface la condición inicial. Vamos pues a buscar las demás soluciones. Está claro que, al menos localmente, la solución que se busca debe ser positiva pues x(1) > 0 y x es continua. En principio, en su intervalo de definición podŕıa tomar valores negativos. Veremos finalmente que esto no sucede, es decir, que siempre es positiva. De hecho, con herramientas matemáticas que aún no se han explicado, se puede comprobar a priori que la solución (sin necesidad de conocerla) va ser siempre positiva pues, en caso contrario, su gráfica cortaŕıa a la gráfica de la solución nula y se puede probar que esto es imposible.. Escribimos la ecuación aśı:. x"2(t)x!(t) = % 1. t x"1(t) +. log t. t ,. lo que nos ayuda a recordar el cambio de función incógnita, que debe ser y(t) = 1 x(t). ( y = x1"$).. Obsérvese que en este caso no hay problemas a la hora de deshacer el cambio pues este viene dado por x(t) = 1. y(t) . Derivamos la función y y obtenemos. y!(t) = %x"2(t)x!(t) = 1. t x"1(t) %. log t. t =. 1. t y(t) %. log t. t ,. de forma que la ecuación diferencial lineal resultante es. (4.23) y! = 1. t y %. log t. t. En este caso, como buscamos la solución de un problema de Cauchy podŕıamos arrastrar la condición inicial x(1) = 1 a la nueva función incógnita para obtener y(1) = 1. x(1) = 1 y de esta. forma obtener el problema de Cauchy asociado. (Q) :. : ;. < y! =. 1. t y %. log t. t y(1) = 1. La teoŕıa vista en el tema de ecuaciones lineales nos asegura que el problema (Q) posee una única solución en el intervalo I = (0, &) y, por tanto, en cualquier intervalo I! + I. Esto nos da idea de que el problema (P) debe tener solución única pero un intervalo que no es necesariamente I = (0, &) pues esto depende de que la solución de (Q) sólo tome valores positivos I o lo contrario.. Tenemos dos formas de proceder, que prácticamente tienen la misma dificultad. Una es de- terminar la solución de (Q) y después deshacer el cambio para obtener la solución de (P) (esto conlleva determinar todas las soluciones de la ecuación lineal). La otra es determinar todas las solu- ciones de la ecuación lineal, deshacer el cambio para determinar las soluciones y. C de la ecuación de. Bernoulli, distintas de la nula, y después calcular el valor de la constante C que hace que y C (1) = 1.. De cualquier forma hay que encontrar todas las soluciones de la ecuación lineal.. 92 Resolución mediante cambios de variables. La ecuación homogénea asociada y! = 1t y tiene como soluciones yh(t) = C e !. 1 t dt = Ct. Bus-. camos una solución particular de la completa de la forma yp(t) = K(t)t, siendo k derivable. Im-. poniendo que yp sea solución de la ecuación lineal completa, llegamos a que k !(t) = % log t. t2 , y, por. tanto, mediante una integración por partes obtenemos. k(t) =. $ % log t. t2 dt =. $ log t ·. " %. 1. t2 # dt =. 1. t log t %. $ 1. t2 dt =. 1. t log t +. 1. t ,. y de esta forma resulta que yp(t) = 1 + log t. En consecuencia, las soluciones de la ecuación lineal (4.23) son las funciones. y C : (0, &) ! R, t $! y. C (t) = Ct + 1 + log t, con C ) R.. Al deshacer el cambio x(t) = 1 y(t). obtenemos las soluciones de la ecuación de Bernoulli. x C (t) =. 1. Ct + 1 + log t donde C ) R.. La solución nula no aparece aqúı pero en este caso no es necesario considerarla. Determinamos C para que se verifique la condición inicial x. C (1) = 1 y resulta trivialmente C = 0. Esto nos confirma. que la única solución del problema (P), en algún intervalo, es la definida por. x(t) = 1. 1 + log t. La pregunta que nos hacemos ahora es ¿donde es válida tal solución? Obsérvese que tal función sólo está definida en aquellos t > 0 tales que 1 + log t "= 0. Obsérvese que log t + 1 = 0 / t = 1e y dado que la función debe verificar x(1) = 1 (1e < 1), la única posibilidad es que la solución esté definida en el intervalo I = (1e , &) y, derivando, se puede comprobar que este es un intervalo válido como solución de la ecuación diferencial. En este intervalo la función x es positiva, estrictamente decreciente y verifica. lim t$1/ e. x(t) = &, lim t$%. x(t) = 0.. La solución x = x0 se ha obtenido a partir de la solución de la ecuación lineal y0(t) = yp(t) = 1+log t que, sin embargo, es válida en el intervalo (0, &). Esto no supone contradicción alguna pues véase que y0 sólo es positiva en el intervalo I = (. 1 e , &).. t! 1. ". !1, 1". 1. ". Figura 4.9: Gráfica de la solución x(t) = 11+log t.. La respuesta de Mathematica a nuestro problema de valor inicial es exactamente la misma que hemos obtenido.. DSolve. ,+ x![t] == %. x[t]. t +. Log[t]. t x[t]2, x[1] == 1. . , x[t], t. - , x[t] !. 1. 1 + Log[t] .. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 93. Sin embargo, si le proponemos a Mathematica que resuelva el problema de valor inicial. (P) :. : ;. < x!(t) =. x2(t) log t % x(t) t. x(1) = 0. nos contesta diciendo que le es imposible encontrar una solución. ¿Porqué sucede eso cuando tri- vialmente la función nula es solución de (P) (de hecho es la única solución definida en I = (0, &))? Porque Mathematica determina primero todas las soluciones de la ecuación diferencial (como hemos hecho nosotros) y después busca una solución que verifique la condición inicial. Pero, como el programa no determina la solución nula (como tampoco determina las posibles soluciones constantes de una ecuación de variables separables), no es capaz de dar una solución; sucede exactamente lo mismo que vimos en el tema anterior con el problema autónomo: x! = x2, x(0) = 0.. 4.5 Ecuaciones diferenciales de Riccati. Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), matemático italiano, introdujo un tipo de ecuación diferen- cial, muy especial por diversas razones.. Definición 4.3. Una ecuación diferencial de Riccati es una ecuación de la de la forma. (4.24) x!(t) = a(t)x2(t) + b(t)x(t) + c(t). donde las funciones a, b, c: J ! R son conocidas.. Supondremos siempre que las tres funciones a, b y c son continuas sobre el intervalo J.. En forma abreviada la ecuación la escribiŕıamos aśı:. x! = a(t)x2 + b(t)x + c(t).. Esta forma de escribir las ecuaciones de Riccati es posiblemente la que menos se olvida pues el. segundo miembro de la ecuación recuerda a la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. De hecho, cuando las funciones a, b y c sean constantes tal ecuación de segundo grado va a intervenir en la búsqueda de soluciones para la correspondiente ecuación de Riccati (que en este caso seŕıa también una ecuación autónoma). Si escribimos la ecuación de Riccati como x! = c(t)+b(t)x+a(t)x2. vemos mejor la similitud con las ecuaciones de tipo Bernoulli, porque si no apareciese el sumando c(t) tal ecuación seŕıa de Bernoulli con & = 2.. Tenemos obviamente unos casos impropios:. 1. Si la función c es nula en J la ecuación es del tipo Bernoulli.. 2. Si la función a es nula en J la ecuación es lineal completa.. 3. Si las funciones a, b y c son constantes en J la ecuación es autónoma.. En el tercer caso es más conveniente a veces resolver la ecuación con el método de Riccati que como ecuación autónoma.. La función b śı podŕıa ser nula en J. Por ejemplo, una ecuación como. (4.25) x! = x2 + t. 94 Resolución mediante cambios de variables. es una ecuación de Riccati y, de hecho, es una ecuación muy especial. Se puede probar que si a(t) "= 0 para cada t ) J, se puede llevar a cabo un cambio de función incógnita de tal forma que la ecuación de Riccati x! = a(t)x2 +b(t)x+c(t) se transforma en una ecuación, también de Riccati, aparentemente más simple, del tipo. (4.26) y! = y2 + C(t) siendo C una función continua en J.. De hecho, para ciertos estudios teóricos sobre las ecuaciones de Riccati es suficiente con considerar las del tipo (4.26).. Desde un punto de vista teórico estas ecuaciones presentan un doble interés. Uno es que existe una relación muy estrecha entre las ecuaciones de Riccati (que son de primer orden) y las ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas (que serán tratadas en el tema 8). Otro interés matemático, muy relevante, es que estas ecuaciones constituyen un ejemplo simple (históricamente el primero) de ecuaciones diferenciales de primer orden que, en muchos casos, no se saben resolver; es más, no admiten “soluciones elementales”. Está probado que en muchos casos es imposible resolver la correspondiente ecuación de Riccati mediante técnicas de integración elemental que conduzcan a fórmulas en términos de funciones expĺıcitamente conocidas, ni siquiera se pueden escribir sus solu- ciones en términos de primitivas como. ! e"t. 2 dt, que ya de por śı no se sabe determinar y no es una. función elemental. Un caso notable donde se da esta situación es la simple ecuación(4.25). Todas estas cuestiones fueron probadas por el matemático Liouvillle en 1841, en un estudio muy complejo. El probó que la mayoŕıa de las ecuaciones del tipo (4.26) no son resolubles elementalmente. Por ejemplo, si consideramos el caso especial. (4.27) x! = x2 + ktm donde k, m ) R,. Liouvillle probó que sólamente son resolubles elementalmente los casos donde. m = 0, % 4. 1 , %. 4. 3 , %. 8. 3 , %. 8. 5 , %. 12. 5 , %. 12. 7 , %. 16. 7 , %. 16. 9 , · · ·. Para m = 0 la ecuación es autónoma, el caso m = %4 se sigue del caso m = 0, el caso m = %4/3 se sigue del caso m = %4, el caso m = %83 se obtiene de lo obtenido en el caso m = %4/3 y aśı sucesivamente. En muchos de estos casos las expresiones que se obtienen para las soluciones son tan complicadas que puede ser preferible estudiar el comportamiento de las soluciones a partir de la ecuación diferencial antes que hacerlo directamente de las expresiones obtenidas.. Según lo dicho anteriormente, la simple ecuación de Riccati (4.25): x! = x2 + t no es resoluble elementalmente. Véase la respuesta que da el programa Mathematica a esta ecuación.. DSolve ) x![t] == x[t]2 + t, x[t], t. *. x[t] ! %BesselJ. = %1. 3 , 2t. 3/2. 3. > C[1] + t3/2. 1 %2BesselJ. = %2. 3 , 2t. 3/2. 3. > % BesselJ. = %4. 3 , 2t. 3/2. 3. > C[1] + BesselJ. = 2 3 , 2t. 3/2. 3. > C[1]. 2. 2t 1 BesselJ. = 1 3 , 2t. 3/2. 3. > + BesselJ. = %1. 3 , 2t. 3/2. 3. > C[1]. 2. Obsérvese que da las soluciones en términos de unas funciones notadas por “BesselJ”, las llamadas funciones de Bessel de primera especie, importantes funciones que aparecen en muchas proble- mas matemáticos, pero que no se conocen expĺıcitamente (aunque se conocen muchas propiedades importantes sobre ellas) y que en, general, se definen como ciertas soluciones de determinadas ecua- ciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables (que no se saben resolver elementalmente). En algunos casos muy concretos se conoce una función de Bessel mediante su serie de Taylor y en esa expresión aparece otra función especial, conocida como función Gamma de Euler (una generalización del factorial para números complejos).. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 95. Según lo dicho anteriormente, no existe un método general para resolver una ecuación de Riccati, pero, sin embargo, śı existe un método de resolución, muy simple, cuando se conoce una solución (solución particular) xp, pues conociendo una solución se pueden conocer todas las demás. La idea es, mediante esta solución particular, hacer un cambio de función incógnita que transforme la ecuación de Riccati (4.24) en una ecuación de Bernoulli con & = 2; es decir, del tipo y! = 8a(t)y + 8b(t)y2; dicho de otra forma, con este cambio intentamos suprimir el sumando c(t), que es justamente lo que hace que la ecuación de Riccati no sea de Bernoulli.. Lo ideal seŕıa que la solución conocida xp estuviese definida en todo el intervalo J donde están definidas y son continuas las funciones a, b y c pues si xp es únicamente válida en un intervalo J! ! J, entonces sólo obtendŕıamos las soluciones de (4.24) con gráficas contenidas en J! * R (en muchos casos las soluciones conocidas son polinómicas y esto no plantea problemas).. En efecto, supongamos que conocemos una solución xp : J ! ! R de la ecuación (4.24) y sea. x: I ! R, donde I 0 J!, cualquier solución de esta ecuación. Consideremos la nueva función incógnita:. (4.28) y : I ! R, t $! y(t) = x(t) % xp(t). Es evidente que el cambio de función incógnita se deshace sin problemas aśı:. (4.29) x(t) = y(t) + xp(t). La función y es derivable en I y verifica. y! = x!%x!p = (ax 2+bx+c)%(ax2p+bxp+c) = a(x. 2%x2p)+b(x%xp) = a " y2+2yxp. # +by =. " 2axp+b. # y+ay2. (obsérvese que ha desaparecido la función c, que es la que molestaba) y, consecuentemente, la función y : I ! R es solución de la ecuación de Bernoulli. (4.30) y!(t) = 1 b(t) + 2a(t)xp(t). 2 y(t) + a(t)y2(t). Rećıprocamente, supongamos que y : I ! R, donde I 0 J!, es solución de la ecuación (4.30) y consideramos x: I ! R definida por (4.29). Esta función x verifica lo siguiente:. x! = y! + x!p = =" b + 2axp. # y + ay2. > + (ax2p + bxp + c). = b(y + xp) + a " y2 + x2p + 2yxp. # + c = b(y + xp) + a(y + xp). 2 + c. = ax2 + bx + c.. De esta forma, al deshacer el cambio, la función resultante x: I ! R es solución de la ecuación de Riccati.. En definitiva, hemos obtenido el siguiente resultado.. Proposición 4.4. Si xp es una solución particular de la ecuación de Riccati (4.24), entonces x: I ! R es solución de (4.24) si, y sólo si, y : I ! R, y = x % xp, es solución de la ecuación de Bernoulli (4.30).. Una vez más se insiste en que no es necesario memorizar la expresión de la ecuación (4.30); simplemente hay que derivar en la expresión del cambio (4.28) y tener la certeza de que debe. 96 Resolución mediante cambios de variables. aparecer una ecuación de Bernoulli con & = 2. Se resuelve tal ecuación y se obtienen las soluciones de la ecuación de Riccati deshaciendo el cambio.. Según lo visto en la sección anterior, una ecuación de Bernoulli con & = 2, como (4.30), se transforma en una ecuación lineal con el cambio de función incógnita z(t) = 1. y(t) con la que. obtendŕıamos todas las soluciones de (4.30) salvo la función nula (obsérvese que la función nula de de la ecuación de Bernoulli se corresponde con la solución xp de la ecuación de Riccati). Por tanto, componiendo ambos cambios, podemos afirmar que el cambio de función dado por. (4.31) z(t) = 1. x(t) % xp(t). transformaŕıa la ecuación de Riccati (4.24) en una ecuación diferencial lineal. El cambio dado en (4.31) plantea aparentemente una restricción; con él sólo obtendŕıamos las soluciones x de (4.24) tales que x(t) "= xp(t), para cada t ) I. Realmente no es aśı, pues se puede probar, con técnicas más avanzadas, que dos soluciones de la ecuación de Riccati no pueden coincidir en ningún punto; es decir, si x1 : I1 ! R y x2 : I2 ! R son dos soluciones de (4.24) tales que x1(t0) = x1(t0) en un punto t0 ) I1 1 I2, entonces, x1(t) = x1(t) para cada t ) I1 1 I2. De esta forma, con el cambio dado por (4.31) y la resolución de una ecuación lineal obtendŕıamos todas las soluciones de (4.24) salvo la solución particular xp usada para hacer el cambio (no se olvide añadir esta solución). Lo usual es hacer directamente el cambio (4.31) para llegar a una lineal aunque el proceso se puede hacer en dos etapas: pasar primero de la ecuación de Riccati a la de Bernoulli y depués pasar la de Berniullli a una lineal. De hacer directamente el cambio (4.31), este se deshace aśı:. (4.32) x(t) = xp(t) + 1. z(t). Está claro que no puede existir un método general que permita obtener soluciones particulares, aśı que debemos proceder por tanteo, lo cual es un problema; no digamos si nos encontramos con una de las ecuaciones de Riccati irresolubles. Hay un caso donde puede ser fácil encontrar una solución particular, que es cuando las funciones a, b y c son constantes. Como ya hemos advertido, en este caso la ecuación de Ricccati. (4.33) x! = ax2 + bx + c con a, b, c ) R,. es también una ecuación autónoma y como tal, aparte de tener que determinar los x tales que. (4.34) ax2 + bx + c = 0. para encontrar las posibles soluciones constantes, las demás soluciones se obtendŕıan impĺıcitamente de ecuaciones del tipo $. 1. ax2 + bx + c dx = t + K con K ) R.. Pero a veces estas primitivas se complican mucho y después viene el problema de despejar x de la ecuaciones obtenidas, por lo que puede ser más rentable resolver la ecuación (4.33) como una ecuación de Riccati resolviendo previamente la ecuación de segundo grado (4.34) (esto hay que hacerlo de todas formas al considerarla como autónoma) y determinando aśı una solución particu- lar que es constante. Podemos tener la suerte de determinar dos soluciones constantes a partir de (4.34), lo cual facilita aún más los cálculos (véase el ejemplo 4.9). El único problema es que la ecuación (4.34) no posea soluciones reales. En este caso tendŕıamos que resolverla como autónoma.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 97. En general, cuando las funciones a, b y c sean polinómicas se intenta comprobar si hay una solución polinómica. Esto no está asegurado (véase el caso de la ecuación (4.25) y, en general de las ecuaciones (4.27)). A veces sucede que las funciones a, b y c no son polinómicas y, sin embargo,hay. soluciones polinómicas. Siempre podemos intentar ver si hay una solución del tipo xp(t) = At + B. imponiendo que esta sea solución de la ecuación y viendo si sale un sistema compatible en A y B (algo aśı como en el método de los coeficientes indeterminados para ecuaciones diferenciales lineales).. Ejemplo 4.8. Resolución de la ecuación de Riccati x!(t) = 1 + t2 % 2tx(t) + x2(t).. Observemos que aqúı las funciones definidas por a(t) = 1, b(t) = %2t y c(t) = 1 + t2 están definidas y son continuas en R; de hecho son funciones polinómicas. Como dećıamos anteriormente esto no asegura que exista una solución polinómica. Podŕıamos inspeccionar a ojo o comprobar si existe una solución del tipo xp(t) = At + B con A, B ) R. Tanto de una forma como de otra se ve que xp(t) = t es solución en el intervalo R de la ecuación diferencial. Luego el cambio de función y(t) = x(t) % t la transforma en una ecuación de Bernoullli con & = 2 o bien directamente el cambio de función. y(t) = 1. x(t) % t la transfoma en una ecuación lineal. Lo más directo es hacer este último cambio pero por ilustrar. mejor lo que se ha visto en teoŕıa, en este primer ejemplo vamos a realizar el cambio y(t) = x(t) % t para transformarla en una de Bernoulli. Véase que al deshacer el cambio tenemos x(t) = y(t) + t. En efecto, derivando en la expresión de la función y obtenemos. y!(t) = x!(t) % 1 = t2 % 2tx(t) + x2(t) = (t % x(t))2 = y2(t).. La ecuación resultante y! = y2 no solamente es de Bernoulli, es también autónoma. Tratándola como ecuación de Bernoulli, aparte de la solución nula, las demás soluciones las obtendŕıamos de una ecuación lineal mediante el cambio de función incógnita z(t) = 1. y(t) . Derivando z se obtiene. la ecuación trivial z!(t) = % y !(t). y2(t) = %1, cuyas soluciones son z. C (t) = %t + C con C ) R. De esta. forma las soluciones de la ecuación de Bernoulli son las dadas por. y(t) = 0, y C (t) =. 1. C % t , con C ) R.. Al deshacer el cambio hecho en la ecuación de Riccati obtenemos las siguientes soluciones:. x(t) = t, x C (t) = t +. 1. C % t , con C ) R.. Obsérvese que la primera es la particular que hemos usado para hacer el cambio que nos ha llevado a la resolución de la ecuación. La primera solución es válida en R pero las soluciones x. C están. definidas únicamente es los intervalos I = (%&, C) e I = (C, &). En estos intervalos son soluciones de la ecuación de Riccati. Véase que. lim t$C". x C (t) = +&, lim. t$C+ x. C (t) = %&. y que las gráficas de todas las soluciones x C tienen a la gráfica de xp como aśıntota oblicua.. Una vez más tenemos una ecuación diferencial donde los coeficientes a, b y c son polinómicos y, por tanto, están definidos en R y, sin embargo, solo una de las soluciones es válida en R.. 98 Resolución mediante cambios de variables. xp!t"! t. C!2. C!2. C!1. C!1C!"1. C!"1. C!"2. C!"2. "3 "2 "1 1 2 3. "5. 5. Figura 4.10: Gráficas de la solución particular xp y de las soluciones xC para C = %2, %1, 1, 2.. Observación: La ecuación dada se puede escribir aśı: x! = 1 + (t % x)2 o bien x! = 1 + (x % t)2. por lo que es del primer tipo de ecuaciones estudiada en este tema:. x!(t) = !(at + bx(t) + c). y, por, tanto, con el cambio y(t) = x(t) % t teńıamos asegurado que se transformaŕıa en una ecuación autónoma. Véase que es el mismo cambio que se ha llevado a cabo como ecuación de Riccati.. En este caso, Mathematica, como es de esperar, no proporciona la solución particular xp(t) = t, usada para hacer el cambio de función incógnita.. DSolve ) x![t] == 1 + t2 % 2tx[t] + x[t]2, x[t], t. * , x[t] ! t +. 1. %t + C[1] .. Ejemplo 4.9. Soluciones de la ecuación diferencial x! = x. t + t3x2 % t5.. Escribiéndo la ecuación aśı:. x! = t3x2 + 1. t x % t5. se aprecia mejor que es tipo Riccati, donde las funciones definidas por a(t) = t3, b(t) = 1t y c(t) = %t5 no son todas polinómicas y están definidas y son continuas en los intervalos J = (%&, 0) e J = (0, &). Sin embargo, la ecuación posee soluciones polinómicas como vamos a ver a continuación.. Vamos a comprobar que existen soluciones del tipo xp(t) = At + B. Suponiendo que esto sea cierto, es decir imponiendo que xp sea solución de la ecuación, vamos a llegar a un sistema. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 4.5. Ecuaciones diferenciales de Riccati 99. compatible de ecuaciones en las incógnitas A y B.. xp(t). t + t3x2p(t) % t. 5 = At + B. t + t3(At + B)2 % t5 = A + B. 1. t + t3(A2t2 + B2 + 2ABt) % t5 =. = A + B 1. t + A2t5 + B2t3 + 2ABt4 % t5 = (A2 % 1)t5 + 2ABt4 + B2t3 +. +B 1. t + A.. Como lo anterior debe coincidir con x!p(t) = A en todos los t de un cierto intervalo, la única posibilidad de que esto suceda es que se verifique:. A2 % 1 = 0, 2AB = 0, B2 = 0 y B = 0,. lo cual sucede si A2 % 1 = 0 y B = 0, dando lugar a la existencia de dos soluciones en este caso: las correspondientes a A = 1, B = 0 y A = %1, B = 0. Por tanto, tenemos dos soluciones de la ecuación de Riccati del tipo indicado que son:. x1(t) = t y x2(t) = %t. Podemos elegir cualquiera de las dos para realizar el cambio de función incógnita, pero posterior- mente apreciaremos que el haber obtenido dos soluciones particulares facilita, en general, mucho los cálculos.. Si elegimos la primera para realizar el cambio, sabemos que directamente el cambio de función incógnita dado por. (4.35) y(t) = 1. x(t) % t (el cambio se deshace obviamente aśı: x(t) = t +. 1. y(t) ). transforma nuestra ecuación de Riccati en una ecuación lineal. Para llegar a esta ecuación lineal basta con derivar la expresión de la función y dada en (4.35) y eliminar x, tal como se indica en (4.35), de la siguiente forma:. y!(t) = % x!(t) % 1 " x(t) % t. #2 = %y 2(t). " x!(t) % 1. # = y2(t). 1 1 %. x(t). t % t3x2(t) + t5. 2 =. eliminando x(t). = y2(t). & 1 %. 1. t. 1 t +. 1. y(t). 2 % t3. 1 t +. 1. y(t). 22 + t5. ' =. = % 1. t y(t) % t3 % 2t4y(t),. por lo que finalmente la ecuación diferencial lineal resultante (en forma abreviada) es. (4.36) y! = % 11 t + 2t4. 2 y % t3. La ecuación lineal homogénea asociada a (4.36) tiene por soluciones las funciones definidas por. yh(t) = Ce ! "(1/t+2t4)dt = Ct e. " 25 t 5. con C ) R.. Aqúı no se puede aplicar el método de los coeficientes indeterminados. Según la conjetura de Lagrange debe existir una solución particular de la completa de la forma. yp(t) = k(t). t e". 2 5 t. 5 , donde k es una función derivable.. 100 Resolución mediante cambios de variables. La determinación de la función k se lleva a cabo imponiendo que yp sea solución de (4.36). Esto. acarrea, en este caso, muchos cálculos, llegándose finalmente a que k!(t) = %t4e(2/5)t 5 , por lo que. podemos tomar como k la función dada por k(t) = %12e (2/5)t5 y, por tanto, la solución particular. obtenida seŕıa yp(t) = %1/(2t). Todos los cálculos anteriores se pueden evitar en este caso si reparamos en el siguiente detalle. Según la teoŕıa que hemos visto en esta sección, al ser xp(t) = t una solución particular de la ecuación de Riccati, si x: I ! R es otra solución de tal ecuación, la función y : I ! R definida por y(t) = 1. x(t)"t es solución de la ecuación lineal (4.36). Como resulta. que la función definida por x(t) = %t también es solución de la ecuación de Riccati, entonces, la función y definida por. y(t) = 1. %t % t = %. 1. 2t. debe ser solución de la ecuación lineal. Obsérvese que hemos obtenido la misma que mediante el método de Lagrange pero los cálculos, ahora, han sido inmediatos. Esta es la gran ventaja que, en general, supone encontrar dos soluciones particulares de la ecuación de Riccati; con estas dos determinamos inmediatamente una solución particular de la ecuación lineal asociada.. En definitiva, las soluciones de la ecuación lineal (4.36) son las funciones definidas por. y C (t) =. Ce"(2/5)t 5 % 12. t con C ) R,. y, deshaciendo el cambio, obtenemos las siguientes soluciones de la ecuación de Riccati. (4.37) x C (t) = t +. t. Ce"(2/5)t 5 % 1/2. con C ) R,. a la cual hay que añadir la solución xp(t) = t usada para realizar el cambio de función incógnita.. Obsérvese que para C = 0 obtenemos de (4.37) la solución x(t) = %t. Estas dos son las únicas soluciones polinómicas. El resto de las soluciones no están definidas en R. Si C > 0 no tienen. sentido en t0 = 1 5 2 log(2C). 21 5 .. Curiosamente, salvo para el caso C = 1/2, las demás soluciones obtenidas en (4.37) están definidas en t = 0 cuando esto está prohibido en nuestra ecuación diferencial. Una explicación de esto podŕıa ser que las soluciones obtenidas son realmente soluciones de la EDO impĺıcita. tx! = x + t4x2 % t6. obtenida de nuestra ecuación original, sin mas que multiplicar ambos miembros de la ecuación de Riccati por t.. La respuesta de Mathematica a esta ecuación diferencial es. DSolve. , x![t] ==. x
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