Arias Arias Claudia María Tamayo Cárdenas Julieth Marcela
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
BOGOTÁ, D. C.
Obstáculos en la búsqueda del conocer reflexivo en el grupo EMA a través de un ambiente de modelación matemática desde la perspectiva socio crítica.
Arias Arias Claudia María Tamayo Cárdenas Julieth Marcela
Trabajo de grado para optar al título de Magíster en Educación
ASESOR
Francisco Javier Camelo Bustos Doctor en Educación
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
BOGOTÁ D.C.
A mi hijo Santiago por su comprensión y paciencia, a mi Victicor por su apoyo incondicional, a mi familia por su confianza y ánimo, a mi compañera Claudia por la perseverancia y el empuje que me brindó.
Julieth.
A mi hijo Diego por ser mi apoyo, por su paciencia y amor, a mis padres por sus sacrificios y consejos, gracias a ellos he llegado hasta aquí y me he convertido en lo que soy. A mis hermanos por apoyarme en las buenas y malas, y a los amigos que me ha dejado la vida por estar siempre a mi lado, especialmente a Julieth por su autenticidad y por compartir conmigo este camino.
AGRADECIMIENTOS
Muchos de nosotros somos más capaces que algunos de nosotros, pero ninguno de nosotros somos tan capaces como todos nosotros. Tom Wilson
En el transcurso de la vida, vamos consolidado nuestra personalidad, carácter, identidad,
visión y saber, que aunque pareciese un constructo individual, en realidad se constituye por y
con otros aprendiendo a vivir en comunidad. Es por ello que tras un gran logro hay una enorme
historia. Llevadas de la mano de Dios queremos reconocer a cada uno de los que hicieron posible
este proyecto:
Al Colegio Sierra Morena IED por inspirarnos a querer cambiar el mundo de aquellos
quienes lo rodean, a Rosalina y Germán (directivos docentes) por su apoyo y acompañamiento;
al grupo EMA, especialmente a Gina, Nina, Deisy, Laura, Yurani, Luis Ángel y Cristian por
haber aceptado la invitación a ser parte de los encuentros alternativos donde el único límite fue
la imaginación.
A la Universidad Distrital por abrir sus puertas y permitirnos encontrar la sabiduría de
profesionales en la educación matemática, en particular a los profes Pedro Javier, Rodolfo, Julio
y Orlando por la exigencia, las charlas y sus consejos; a los compañeros de la maestría 2018- I
Rocío, Nancy, Adriana, Ana María, Miguel, Hernán, Angie, y demás por sus contribuciones
durante los encuentros de los seminarios.
Al “Pro Francisco” por su elocuencia, por sus palabras de apoyo que mantenían vivo el
horizonte y el camino investigativo pese a las adversidades, por mostrarse orgulloso ante los
demás de estas niñas que asesoraba, por la lectura meticulosa, por la dedicación y por sus
anécdotas que nos hacía conocer un poco más sobre su historia y a la vez abría nuestro panorama
a nuevas posibilidades.
Finalmente, agradecemos a nuestros hijos por su paciencia, por dar parte de su tiempo,
por comprender que el alcance de este logro es también logro de ellos y el reflejo de una lucha
compartida, a “Víc.” por su disposición, por su sazón y paciencia en las largas jornadas de
estudio en las que dedicamos todo nuestro esfuerzo para alcanzar esta meta tanto personal como
C
ONTENIDOAGRADECIMIENTOS ... 3
LISTA DE IMÁGENES ... 6
LISTA DE FIGURAS ... 7
LISTA DE TABLAS ... 8
INTRODUCCIÓN ... 9
Capítulo I: REFLEXIONANDO DESDE LA MONTAÑA ... 11
Capítulo II: EXPERIENCIAS QUE NUTREN NUESTRO CAMINO INVESTIGATIVO ... 17
I. ¿Qué importancia tiene involucrar situaciones del contexto de los estudiantes en las clases de matemáticas? ... 17
II. ¿Qué aportes ha dado la modelación matemática desde un enfoque socio crítico? ... 18
III. ¿Cómo en las clases de matemáticas se considera una educación donde no solo se privilegie los contenidos matemáticos? ... 19
¿A DÓNDE QUEREMOS LLEGAR? ... 22
Objetivo General ... 22
Objetivos Específicos ... 22
Capítulo III: NUESTRAS BASES TEÓRICAS ... 23
Hacia una Educación Matemática Crítica ... 23
Modelación Matemática desde la perspectiva socio crítica ... 28
Características de los MM. 31
El conocer reflexivo. ... 33
¿Cómo vamos a describir el conocer reflexivo desarrollado por los estudiantes? 34 Capítulo IV: EL CAMINO METODOLÓGICO QUE NOS ORIENTA ... 38
En búsqueda de asumir un paradigma de investigación ... 38
La educación matemática crítica como práctica social ... 40
La investigación crítica ... 41
¿En qué situación estamos? ... 44
La libertad de la imaginación pedagógica ... 45
El camino investigativo ... 46
Técnicas e instrumentos de producción de información. 47
Discusiones y diálogo como categorías de análisis. ... 50
Capítulo VI: LA SITUACIÓN DISPUESTA: UN ENCUENTRO MATEMÁTICO
ALTERNATIVO ... 52
Explorando las disposiciones e intenciones del Grupo EMA. ... 52
Las memorias del grupo EMA. ... 54
Situación 1: El aprovechamiento del tiempo libre en el descanso 55
Situación 2: Desperdicio de comida en el comedor escolar. 58
Situación 3: Uso de las canecas de la basura del Colegio. 60
Obstáculos: categoría de análisis emergente ... 61
Capítulo VII: RAZONANDO CRÍTICAMENTE... 64
En búsqueda de las categorías de análisis durante el desarrollo del MM. ... 65
Reconocimiento de las situaciones socialmente relevantes de los estudiantes a partir
de sus experiencias. 66
Procesos exploratorios en el MM por parte del grupo EMA 71
Experiencias del grupo EMA en el levantamiento de datos. 74
Re Interpretando y analizando las situaciones del MM 80
Capítulo VIII: ...Y FINALMENTE A QUÉ LLEGAMOS. ... 95
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 99
Anexos ... 108
Anexo 1: Matrices de organización, sistematización y categorización de la
información producida. ... 108
LISTA DE IMÁGENES
Imagen 1. Foto del Colegio Sierra Morena IED, sede A, tomada del manual de convivencia
2018-2019 ... 11
Imagen 2. Sedes Colegio Sierra Morena IED tomadas de Google maps. ... 24
Imagen 3. Fotografías primeros encuentros del grupo EMA ... 53
Imagen 4. Fotografías de Noticias City tv. ... 53
Imagen 5. Formato de diarios de campo para los encuentros del grupo EMA. ... 55
Imagen 6. Diseño y sistematización de encuesta elaborada por el grupo EMA... 57
Imagen 7. Plano antiguo (tomado del comité de prevención de riesgos y desastres) y nuevo respectivamente del Colegio Sierra Morena IED. ... 57
Imagen 8. Análisis a la relación metro cuadrado del aula de clase por cada estudiante. ... 58
Imagen 9. Desperdicio de comida, fotografía tomada por el grupo EMA ... 59
Imagen 10. Tipos de plato y cantidades en el Colegio Sierra Morena IED. Producciones de los estudiantes. ... 60
Imagen 11.Tablas nutricionales propuestas por el ICBF ... 60
Imagen 12. Diario de campo No. 1. Elaboración propia. ... 68
Imagen 13. Diario de campo No. 2. Elaboración propia ... 69
Imagen 14. Cancelación del Encuentro No. 1. Fotografía propia. ... 70
Imagen 15. Cartografía social. Producciones de los estudiantes. ... 70
Imagen 16. Diario de campo No.5 y No. 6. Elaboración propia. ... 72
Imagen 17. Producciones escritas grupo EMA. ... 73
Imagen 18.Diarios de Campo No. 8 y No. 10. Elaboración propia ... 76
Imagen 19. Lo encontrado respecto al encuentro No. 4. Tomado del diario de campo No. 4. 77 Imagen 20. Correo electrónico, entre-vista y diario de campo con respecto a la no entrega de materiales para la construcción de juegos. ... 78
Imagen 21. Secuencia de gestos de Nina. Tomado del encuentro No. 11. ... 86
Imagen 22. Cálculo de área total del salón. Producción de los estudiantes. ... 88
Imagen 23. Relación de Número de personas, baldosas y metro cuadrado por parte del grupo EMA. ... 90
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Esquema tomado de Guerrero (2008). ... 27
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Casos de problemáticas en los MM. Tomada de Barbosa (2004). ... 32
Tabla 2. Actos dialógicos basados en Alrø y SKovsmose (2012), elaboración propia. ... 36
Tabla 3. Elementos que permiten describir el conocer reflexivo, elaboración propia. ... 51
Tabla 4. Obstáculos en el MM, elaboración propia... 63
Tabla 5. Atributos de matriz utilizada para la sistematización de la información producida con el grupo EMA, elaboración propia. ... 64
Tabla 6. Colores asignados para los actos dialógicos. Elaboración propia ... 65
Tabla 7. Episodios de situaciones que movilizan el MM. Elaboración propia. ... 66
Tabla 8. Episodios del proceso exploratorio en el MM. Elaboración propia. ... 71
Tabla 9. Episodios del levantamiento de datos en el MM. Elaboración propia. ... 75
Tabla 10. Episodios para la reinterpretación y análisis en el MM. Elaboración propia. ... 81
Tabla 11. Conversación alrededor del plano antiguo por parte del grupo EMA. Elaboración propia. ... 83
INTRODUCCIÓN
En nuestra práctica educativa constantemente surgen cuestionamientos como: ¿qué
pasaría si el proceso de enseñanza - aprendizaje de las matemáticas se pensara de otra manera?,
¿cómo darle un giro a la enseñanza de las matemáticas para que promueva el pensamiento
crítico?, ¿de qué manera involucrar el contexto socio cultural de los estudiantes en la enseñanza
de las matemáticas?
El presente texto describe una propuesta investigativa, cuyo objeto de estudio gira en
torno a contribuir en el desarrollo de una actitud crítica y reflexiva en un grupo de estudiantes,
mediante el reconocimiento y abordaje de situaciones traídas de su contexto, a través de la
modelación matemática desde la perspectiva socio crítica.
Aquí estructuramos un proyecto en ocho capítulos, orientados bajo los planteamientos
teóricos de la Educación Matemática Crítica y con el marco metodológico de la Investigación
Crítica (Vithal, 2000; Skovsmose & Borba, 2004), los cuales se consolidaron a partir de una
versión plasmada en dos artículos presentados en eventos académicos de educación matemática
—XV Conferencia Interamericana de Educación Matemática [XV CIAEM] y en el VI
Encuentro Distrital de Educación Matemática [EDEM VI]—.
En el capítulo I, contextualizamos el lugar donde trabajamos, con quienes compartimos
y las particularidades que nos inspiraron a realizar este proyecto en búsqueda de describir los
elementos del conocer reflexivo que lo caracterizan, según Skovsmose (1999), como
competencia que constituye en los estudiantes una actitud crítica.
En consecuencia, evidenciamos en el capítulo II los antecedentes y el recorrido
documental que realizamos para justificar el porqué de nuestro problema de investigación
basados en experiencias de aula acerca del contexto visto como una oportunidad para el diseño
de ambientes de aprendizaje sobre modelación matemática como una estrategia que posibilita
en los estudiantes asumir una postura crítica, evidenciando sus acciones, inquietudes,
planteamientos y discusiones.
En los capítulos III y IV suministramos los referentes teóricos y metodológicos que
se materialicen en nuestro proyecto investigativo dando cuenta de cómo la investigación crítica
se desarrolla en el marco de la Educación Matemática Crítica describiendo el ambiente de
modelación matemática alrededor de tres situaciones socialmente relevantes del micro contexto
de los estudiantes.
Finalmente, en el capítulo VII y VIII destacamos el proceso de razonamiento crítico1 a la luz de las categorías de análisis —discusiones, diálogo y obstáculos— que nos llevó a
mencionar algunos elementos que contribuyen a la descripción del conocer reflexivo y la
aparición de tres tipos obstáculos —sociales, políticos y comunicativos—presentes en un
ambiente de aprendizaje.
1Nos referimos a razonamiento crítico como un proceso de análisis que se efectúa dentro de la Investigación Crítica y del
CAPÍTULO I: REFLEXIONANDO DESDE LA MONTAÑA2
Enseñar exige saber escuchar. Paulo Freire.
En la localidad de Ciudad Bolívar en Bogotá —Colombia— se concentra el 9,1% de la
población del Distrito Capital, la cual proviene de diferentes lugares del país (Secretaría de
Planeación Distrital, 2015). Allí existe una alta percepción de pobreza, donde los ingresos no
superan el valor de la canasta básica familiar3 y algunas viviendas no cuentan con los servicios públicos elementales —agua, alcantarillado, gas y energía— incluso, menos de la mitad de los
hogares posee computador y acceso a internet.
En el año 2015, comenzamos la experiencia de ser docentes en el Colegio Sierra Morena
IED, ubicado en esta localidad. Allí, se acoge a más de 4000 estudiantes distribuidos en tres
jornadas —Mañana, Tarde y Fin de Semana— y cuatro sedes educativas localizadas en barrios
aledaños —Santo Domingo, Santa Viviana, Potosí y Divino Niño—.
2Algunos fragmentos de este capítulo hacen parte del artículo escrito por Arias, Tamayo y Camelo-Bustos (2019).
3Según el portal web Finanzas Personales, en Colombia la canasta familiar está compuesta por los bienes y servicios básicos
que necesita una familia de forma habitual. Para el año 2017, el DANE publicó que un hogar compuesto por 4 p ersonas está fuera de la escala de la pobreza si sus ingresos son iguales o mayores a $1´002.480 para que garanticen una canasta básica de bienes alimentarios y no alimentarios, lo que significa que una persona podría sobrevivir al día mínimo con $8.354 (V ale la
La jornada comienza a las 12:15 pm y termina a las 6:15 pm en la sede A del barrio
Santa Viviana, construido en la cima de una montaña —ver imagen 1— con climas variados y
oleadas de viento que se combinan con un frío pellizcador. La ruta de acceso al colegio depende
del transporte público en Bogotá. El tiempo de trayecto desde la intersección de la avenida Jorge
Gaitán Cortés con la avenida Villavicencio — más conocida como “El cruce”— a la entrada de
la institución es incierto, puesto que el Sistema integrado de Transporte Público [SITP] es escaso
para el sector. Por tanto, coexisten transportes informales de los que hacemos uso
frecuentemente —pequeños automóviles con 5 pasajeros —sin sumar al conductor— a una
tarifa de $1500.
Día a día hemos presenciado hurtos, agresiones entre estudiantes y consumo de
sustancias psicoactivas que difícilmente la policía consigue evitar, a pesar de realizar el
acompañamiento ante los llamados de los miembros de la institución educativa. No obstante,
desde la cima de la montaña contamos con una hermosa vista de la ciudad, los arcoíris se
observan en todo su esplendor y las puestas del sol hacen parte de toda una gama de colores.
Durante estos cuatro años de prácticas educativas hemos identificado en las aulas diversidad de
estudiantes provenientes de distintos lugares del país o de países vecinos —Ecuador y
Venezuela, principalmente—, cada uno de ellos con estilos de vida propios y particulares que
nos han impulsado el pensar y reflexionar en una enseñanza y aprendizaje más humanizada, más
atento al contexto, basado en el afecto y en la esperanza de apoyar la construcción de un proyecto
de vida en nuestros estudiantes.
El Colegio Sierra Morena IED propende por una educación acorde a las condiciones del
contexto y a las necesidades de su realidad, así se visualiza en el Proyecto Educativo
Institucional [PEI] para el año 2018-2019, donde se plantea el fomento de una formación
integral que facilite la convivencia participativa, que promueva la autonomía, el trabajo en
equipo, el liderazgo y la proyección social (Colegio Sierra Morena IED, 2018-2019).
Nosotras como docentes de matemáticas, sabemos que las acciones orientadas a alcanzar
los objetivos del PEI deben articularse con aspectos planteados por el MEN (2006) en
competencias matemáticas que se relacionan principalmente con el desarrollo de habilidades de
tipo comunicativo, científico, tecnológico, de visión política y social, que favorezcan el
Ante los aspectos del contexto mencionados en los párrafos anteriores y con los
propósitos formativos de la institución y de la nación, se percibe que la propuesta educativa que
se le ofrece a los estudiantes de la IED no contribuye a que ellos reconozcan y valoren su
contexto como una oportunidad de establecer una actitud crítica que les permita interpretarlo y
transformarlo. Esto es, debido a que en las reflexiones que se suscitan en las reuniones de área
o de nivel, en comisiones de evaluación y promoción, en los análisis a los resultados de las
pruebas SABER, entre otros, se discute acerca de causas por las que los estudiantes presentan
aparentemente bajo desempeño en diferentes áreas, pero específicamente en las matemáticas
resaltamos que:
● Existen algunas características particulares del contexto que desde nuestra labor
educativa consideramos como preocupaciones que podrían convertirse en situaciones
socialmente relevantes4; como por ejemplo: el poco acompañamiento de los padres de familia; el mal manejo de las tecnologías; la presencia de microtráfico, pandillas y
grupos al margen de la ley; o los recursos económicos de las familias que se convierten
en obstáculos para el “buen” desarrollo de las actividades escolares.
● El aprendizaje de las matemáticas adquiere un sentido y significado alrededor de un
proceso instrumental (Skovsmose, Scandiuzzi, Valero & Alrø, 2011), por lo que es poco
probable que los estudiantes relacionen sus actividades en el aula de matemáticas con
características específicas de su contexto y sus porvenires, esta declaración se evidencia
en:
o La mayoría de los estudiantes limitan su percepción de las matemáticas a la
realización de algoritmos básicos. En este sentido, las clases de matemáticas no
llegan a ser parte de los intereses de los estudiantes, ni a sensibilizar en ellos que
las matemáticas son útiles para participar activamente en la vida y en la sociedad.
4Situaciones que son socialmente relevantes se refiere a privilegiar las situaciones cercanas a la vida [...] que son de orden social,
político y económico con sus procesos históricos que le otorgan significado (García, Valero, Salazar, Mancera, Camelo & Romero, 2013).
o Dentro de las planeaciones del área, no se evidencia en el docente un interés por
articular el desarrollo de situaciones que partan de las intenciones de los
estudiantes considerando sus antecedentes y porvenires, por ejemplo, la
enseñanza de la geometría se encuentra de manera aislada desarrollándose en 55
minutos semanalmente y abordando contenidos netamente geométricos.
Por todo lo anterior, nos cuestionamos ¿qué sucedería si en las clases de matemáticas
propendamos por una educación matemática que involucre situaciones del contexto de los
estudiantes, que articule sus experiencias y sentimientos con los contenidos de la disciplina y
que posibilite en ellos desarrollar una postura reflexiva, crítica y propositiva frente a su realidad?
En el transcurso de las clases desarrolladas en la maestría, mediante la reflexión de la
practica educativa y pedagógica, vimos la necesidad entonces, de conocer más a profundidad
esas características del contexto que vivencian los estudiantes del colegio Sierra Morena IED.
Por ello, desde el año 2018 surgió el grupo de Encuentros Matemáticos Alternativos [EMA],
donde cada viernes, dos horas antes de iniciar la jornada escolar (12:15 pm a 6:15 pm)
esperamos en la puerta del colegio a los estudiantes que en su momento se encontraban en grado
séptimo, para participar de manera voluntaria en encuentros alrededor de juegos o actividades
como pretexto para dar paso a la interacción y a la conversación. Nuestro propósito, ha sido
reconocer en ellos los aspectos que los interesaron a vincularse al grupo y negociar un camino
de construcción colectiva del conocimiento soportado en las matemáticas a partir de sus
intenciones y antecedentes —y no con el propósito de abordar las dificultades académicas que
presentan durante las clases de matemáticas habituales—.
Se hace entonces, importante y pertinente aprovechar las problemáticas sociales y
educativas para el empoderamiento de los estudiantes con base en conocimiento matemático,
entre otros; pues como lo afirma Valero (2006), el aprendizaje de las matemáticas debe verse
como una práctica social entendida como una actividad que se realiza colectivamente en tiempos
y espacios determinados, que proporciona hechos significativos para tal acción. Es así, que
establecer un conocer reflexivo5 a partir de las vivencias de los estudiantes, quienes reconocen
5 “Competencia de la Educación Matemática Crítica que se necesita para tomar una posición justificada en una discusión”
unas situaciones relevantes para su intervención reflexiva, dan cuenta posiblemente de una
Educación Matemática Crítica [EMC] (Skovsmose, 1999).
Adoptar los planteamientos de la EMC como la lectura y escritura del mundo soportado
en unas matemáticas que toman situaciones de la cotidianidad en diferentes grupos de
estudiantes —con riesgo social, con puestos cómodos, adultos, universitarios, entre otros—,
muestra la gama de interpretaciones que lleva a la EMC a pensar en la diversidad y en la
necesidad de empoderamiento, justicia social y autonomía que no debe interpretarse únicamente
en términos sociopolíticos sino también en términos de experiencias personales (Skovsmose,
2016). Esto es, interpretar y reconocer como docentes de un colegio del sector público de Bogotá
—Colombia—, características particulares del contexto que involucren experiencias, sentires y
porvenires de los estudiantes.
A partir de aspectos que hemos evidenciado del contexto de los estudiantes
pertenecientes al Colegio Sierra Morena IED, vemos condiciones y características que son
similares a los que denominamos como situación de frontera, en el sentido planteado por
Skovsmose et al. (2011), quienes lo discuten como “el espacio relacional en el que los individuos
ven claramente su entorno social y donde, dada su posición en tal entorno, tienen que encarar
las múltiples encrucijadas y dilemas que la diversidad cultural y económica les presentan y les
hacen evidente” (p. 103). Estos autores destacan, a través de entre-vistas6, como este tipo de
encrucijadas son motivos que influyen en el aprendizaje de las matemáticas y en los sentires de
los estudiantes que viven en las favelas de la ciudad de Säo Paulo, Brasil.
Desde el enfoque socio crítico de la educación matemática, varios autores han destacado
la modelación matemática como medio para aprovechar aspectos del contexto de los estudiantes
en el aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, Villa-Ochoa (2010, citando a Blum y
Borromeo-Ferri, 2009, p. 167) resalta que "los modelos y la modelación permiten preparar a los
estudiantes para ejercer una ciudadanía responsable y para participar de los desarrollos de una
sociedad que cada vez requiere de mayores competencias en modelación". Araújo (2012)
menciona que la modelación desde la EMC se enfoca en el trabajo en grupos a partir de un
problema con origen en la realidad, en el día a día, cuya forma de solución sea cuestionada y
6
reflexionada. Estos dos aportes sobre modelación llevan a pensar en recrear ambientes de
aprendizaje para promover la participación de los estudiantes como ciudadanos, cuestionando
aspectos políticos, económicos y/o ambientales que influyen en su contexto y el papel que toma
las matemáticas en la sociedad.
Igualmente, para Valero (2002) el contexto proporciona a los estudiantes la necesidad
de afrontar los problemas y establecer conexiones con lo que ya conocen (conocimiento
matemático u otro) que les permita aumentar las posibilidades de asimilar y reorganizar su
pensamiento. Ahora bien, el reto se convierte en explorar y caracterizar situaciones sociales que
los estudiantes perciban en su contexto, que sientan que podrían influir en sus vidas y que se
relacionen con la modelación matemática desde una mirada crítica y reflexiva.
En este sentido, nos preguntamos ¿Qué elementos del conocer reflexivo evidenciamos
en un ambiente de modelación matemática al abordar y estudiar situaciones del contexto que
son socialmente relevantes para un grupo de estudiantes del Colegio Sierra Morena IED? Por
todo lo anterior, es necesario desarrollar un trabajo arduo en la búsqueda de referentes teóricos,
CAPÍTULO II: EXPERIENCIAS QUE NUTREN NUESTRO CAMINO INVESTIGATIVO
Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo. Benjamín Franklin
En nuestro camino investigativo debemos incorporar los aportes que ya se han
consolidado desde diversas fuentes de investigación, por lo que identificamos sus
particularidades en aspectos sociales, culturales, metodológicos y teóricos, agrupados con el
propósito de contribuir a dar respuesta a tres preguntas orientadoras. Esto, nos permiten
visualizar y distinguir las características propias de nuestro trabajo investigativo. Veamos
algunas contribuciones al respecto.
I. ¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE INVOLUCRAR SITUACIONES DEL CONTEXTO DE LOS ESTUDIANTES EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS?
Estudios realizados por Skovsmose (2000) a partir de observaciones desarrolladas en el
aula (Cotton, Inglaterra) con escenarios de investigación, evidencia cómo situaciones
particulares de la "realidad" tienen la potencialidad de promover un trabajo de indagación y
exploración, ofrece recursos para la reflexión sobre las matemáticas y sus aplicaciones, y donde
los estudiantes son sujetos activos de su propio aprendizaje.
Además, Villa-Ochoa, Rojas y Cuartas (2010) exponen los puntos de vista de dos
profesores pertenecientes al grupo de investigación de Educación Matemática e Historia de la
Universidad de Antioquia, para afirmar que a pesar que las funciones sociales de las
matemáticas escolares dan un significado a la noción de “realidad” e involucran contextos
asociados a la cotidianidad de los estudiantes, existen diversas interpretaciones del maestro que
de una u otra forma inciden en la concepción sobre lo que es la modelación y por tanto su papel
en las aulas de clase.
Ángel y Camelo (2010), en un reporte parcial del proyecto investigativo desarrollado en
la IED Paulo Freire, mencionan que es importante identificar problemáticas desde la realidad.
Esto fue hecho con un grupo de estudiantes de grado séptimo con el fin de orientar en ellos una
postura crítica desde las matemáticas para comprender la situación de su realidad social y
Por todo lo anterior, vemos que el contexto ha empezado a considerarse
fundamentalmente como propósito en la formación de ciudadanos reflexivos de su realidad,
articulando las matemáticas como herramienta para abordar y plantear posibles alternativas de
transformación. Esto nos genera la necesidad de establecer ambientes de modelación e
identificar una herramienta como mecanismo de indagación y análisis de situaciones
socialmente relevantes del contexto de nuestros estudiantes.
II. ¿QUÉ APORTES HA DADO LA MODELACIÓN MATEMÁTICA DESDE UN ENFOQUE SOCIO CRÍTICO?
Barbosa (2006) mediante una experiencia de aula con grado séptimo en una escuela
pública en la región rural de Feira de Santana (interior de Brasil), expone un ambiente de
modelación en el que las actividades no son un ejercicio para los estudiantes sino se desarrollan
en torno a una problemática extraída de la cotidianeidad y de las ciencias (no exclusivamente la
matemática), que permiten propiciar discusiones reflexivas y percibir la naturaleza no neutral
de la matemática en la sociedad.
Dentro de esta perspectiva, Araujo (2012) menciona lo importante que es la actitud
crítica en proyectos de modelación matemática que surgen a partir de preocupaciones por el
bienestar social y como esta se convierte en un reto para la Educación Matemática. Esto es
precisamente, por una experiencia que llevó a cabo con estudiantes de Geografía, de la
Universidad UFMG, en Belo Horizonte, Brasil, durante el primer semestre del año 2006. Uno
de los grupos de su clase, se interesó en analizar el impacto socioeconómico de la construcción
de un Viaducto por parte del Gobierno Brasileño, de donde Araujo, destaca los procesos de
negociación, la orientación por parte del docente, la socialización y no dejarse llevar por la
certeza del modelo matemático.
En Colombia, como lo muestra el estudio documental realizado a los archivos reportados
en la plataforma Colciencias por Gómez, Correa, Marín, Mesa y Villa-Ochoa (2015) se han
desarrollado algunos trabajos que implementan la modelación matemática dando cuenta que se
fomenta en los estudiantes “una apropiación de las problemáticas del entorno, una reflexión
sobre su papel en la sociedad y la (re)construcción de modelos matemáticos para contrastar con
Sin embargo, esto mismos autores mencionan que hace falta un “mejoramiento de las
prácticas educativas especialmente desde aquellas perspectivas de tipo socio crítico, que
vinculan nociones de realidad y contextos socio culturales necesarios para pensar el uso del
conocimiento matemático en una formación social, crítica y práctica” (p. 355).
Efectivamente, algunos investigadores se han preocupado por vincular la Educación
Matemática con contextos socioculturales desde una perspectiva socio crítica. Camelo (2017)
contribuye a la constitución de la subjetividad política a partir de una experiencia desarrollada
en un colegio público (Bogotá) con estudiantes de grado undécimo, quienes plantearon
problemáticas sobre impuesto predial, microtráfico, corrupción, conductores ebrios, entre otros,
y que permitió la creación de un ambiente de modelación matemática y su análisis en relación
con la subjetividad política.
Esto se reafirma por Martínez, Páez y García (2013), quienes reconocen las dificultades
que se presentan al llevar actividades de modelación matemática al aula, debido al
desconocimiento de los profesores y la vinculación de otras temáticas distintas a las del currículo
que ya está establecido. Sin embargo, este estudio realizado en grado octavo que se desarrolla
en tres momentos —Identificación de prácticas sociales, realización de actividades con relación
a la modelación matemática y registro de las reflexiones y discusiones que surgen de los
estudiantes con respecto al consumo de celular— muestra que la modelación matemática desde
una perspectiva crítica concede un nuevo camino entre la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas con el contexto.
De esta manera, reconocemos que la modelación matemática desde un enfoque socio
crítico que se ha implementado en el aula, muestra la naturaleza no neutral de las matemáticas,
orienta una educación matemática crítica para que los estudiantes se apropien de las
problemáticas sociales y se promuevan espacios de discusión y construcción colectiva de
saberes matemáticos.
III. ¿CÓMO EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS SE CONSIDERA UNA EDUCACIÓN DONDE NO SOLO SE PRIVILEGIE LOS CONTENIDOS MATEMÁTICOS?
Desde una experiencia de aula con un grupo de estudiantes de grado undécimo en un
matemática desde un enfoque socio crítico, Mancera, Perilla y Camelo (2017) dan a conocer
que el trabajo en grupos por parte de los estudiantes puede llevarlos a tomar posicionamientos
críticos, actitudes democráticas y posturas reflexivas, características propias de un conocer
reflexivo. Sus afirmaciones son constatadas mediante el reconocimiento y análisis de ocho actos
dialógicos (entrar en contacto, localizar, identificar, defender, pensar en voz alta, reformular,
controvertir y evaluar) en las interacciones entre los estudiantes y el docente.
Camelo, Perilla y Mancera (2016) mencionan, además, que la modelación matemática
posee potencial para empoderar a los estudiantes como ciudadanos autónomos e independientes
de la sociedad proporcionando herramientas para una reflexión crítica sobre los problemas
sociales en situaciones de la vida real. Lo anterior, lo afirman a partir de un estudio realizado en
grado Undécimo en un colegio público de Bogotá, donde los estudiantes deben afrontar una
serie de contradicciones de tipo social y cultural en una escuela que se preocupa únicamente por
presentar un listado de contenidos matemáticos como herramienta para afrontar las situaciones
del contexto socialmente relevante.
Barrios-Candil y Galvis-Bejarano (2016) resaltan de las interacciones dadas en un
escenario de investigación con estudiantes de grado décimo en Bogotá, que en el proceso de
modelación matemática desde una perspectiva socio crítica las discusiones son base
fundamental para empoderar a los estudiantes. Reconociendo que el planteamiento de una
actividad debe contar con la participación de los estudiantes, lo que permite la exploración de
sus intenciones y disposiciones partiendo de las características de los diferentes contextos en
que viven y sus perspectivas de futuro, convirtiéndose en sujetos activos que reflexionan,
interpretan, proponen y evalúan las posibles soluciones demostrando que toman una posición
frente a la situación modelada.
En Medellín —Antioquia—, a partir de un estudio realizado en la Fundación Educativa
San Juan de Eudes, se resalta el rol de la participación en ambientes sociales, en particular con
la modelación matemática. Desde una perspectiva socio crítica se desarrolla una investigación
que destaca el contexto sociocultural de un grupo de 27 estudiantes de grado quinto de primaria
quienes conforman un semillero matemático de la fundación, para crear ambientes de
comprensión y empoderamiento de conceptos matemáticos relacionados con el cálculo y el
análisis del índice de masa corporal (IMC) (Parra, 2015).
Ciertamente la modelación matemática es un vehículo que permite generar prácticas
reflexivas y discursivas en torno al contexto donde no sólo se privilegia lo matemático. Otro
ejemplo de ello es el estudio realizado en la institución San Juan de los Andes en el eje cafetero
con cinco estudiantes de grado décimo, cuya actividad económica de las familias tienen como
base el sector caficultor. Este estudio se realiza mediante la observación directa, diarios de
campo, entrevistas y diálogos que evidencia la responsabilidad que posee la modelación
matemática para dar significado matemático a un contexto a partir del conocimiento del
estudiante y que constituye al estudiante como un sujeto social consciente de su realidad que le
posibilita ver la modelación más allá que una aplicación matemática (Sánchez, Obando, Muñoz
& Villa-Ochoa, 2013).
En estudios realizados en Brasil se resalta el interés de promover escenarios de
investigación donde se visualice la equidad y la justicia social. Silva, Marcone, Felix, y
Kistemann (2017) destacan la educación matemática como una herramienta para alcanzar un
cambio social en un contexto influenciado social e históricamente.
Es así que evidenciamos en las anteriores investigaciones, cómo la modelación
matemática podría promover en los estudiantes una actitud crítica ante los aspectos sociales
problémicos, la construcción de posibles mecanismos de solución al afrontarlos a partir de la
interacción y del discurso, la formación de sujetos empoderados de conocimiento matemático y
la posibilidad de establecer ambientes de aprendizaje en las clases de matemáticas que prioricen
el contexto social de los estudiantes, ya que los lleva a indagar y reflexionar su contexto
¿A DÓNDE QUEREMOS LLEGAR?
OBJETIVO GENERAL
Describir los elementos del conocer reflexivo que emerge en el grupo EMA7 para dar cuenta de la existencia de actitudes críticas en los estudiantes, gracias a las discusiones y el diálogo durante el desarrollo de un ambiente de modelación matemática desde el enfoque socio crítico.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
❖ Reconocer las disposiciones y acciones de los estudiantes que dinamicen el desarrollo de ambientes de modelación matemática desde el enfoque socio crítico al propiciar espacios de interacción entre los participantes del grupo EMA.
❖ Identificar las discusiones y el diálogo, como elementos suscitados en los espacios de interacción del grupo EMA propiciados por el ambiente de modelación matemática.
❖ Analizar los obstáculos que se presentan durante el desarrollo del ambiente de modelación matemática con el grupo EMA que emergen como elementos disruptivos influyentes en el conocer reflexivo de los estudiantes.
CAPÍTULO III: NUESTRAS BASES TEÓRICAS
“...algo andaba mal en la manera como la educación matemática silenciaba y suprimía a las personas.”
Skovsmose (1999, p. 9)
En el transcurso del tiempo, el acto de educar ha mostrado características que no son
ajenas a los hechos históricos, sociales y culturales que vivencia la sociedad. De esta manera,
Carranza (2009) destaca que, durante más de cuatro siglos la educación se preocupó netamente
por establecer una dominancia de la razón instrumental, respaldada por una pedagogía empírica
y experimental. Este mismo autor, menciona que este tipo de educación mecanicista se guio por
objetivos instruccionales, operacionales, medibles y observables. Todo lo anterior evidencia que
la educación se desarrollaba bajo un paradigma positivista.
Entonces se hace necesario considerar los aspectos socio culturales para replantear la
educación, y es así, que reconocemos la subjetividad de cada ser humano no como algo interno,
sino que se constituye a través de los sentires, experiencias y vivencias que se construyen al lado
del otro —tanto individual como en colectivo— (Camelo, 2017). La subjetividad permite
visualizar a cada sujeto como único y diferente de los demás, que con su propia historia y
determinación contribuye a dar sentido a la realidad de sí mismo y de otros dentro de una red
de interacciones.
Por tanto, ¿por qué no pensar en una educación que además de centrarse en lo cognitivo,
reúna de los seres humanos sus aspectos emocionales, sociales, históricos, culturales y políticos?
Muchos pedagogos se han replanteado el acto de educar desde otros puntos de vista, uno de
ellos es la perspectiva crítica, que significa pensarse una educación que atienda a las necesidades
de una sociedad cambiante, una educación que sea humanizante, emancipadora y
transformadora, que haga resistencia a los agentes externos en su pretensión por dominar a la
sociedad y que tome un distanciamiento crítico ante sus múltiples realidades (Carranza, 2009).
HACIA UNA EDUCACIÓN MATEMÁTICA CRÍTICA
En algunas ocasiones “Una imagen dice más que mil palabras (ver imagen 2)”, para
nuestro caso, la imagen dos es una composición de fotografías tomadas desde distintos lugares
vulnerables, siendo este un ejemplo de lo que se vive en varios lugares de Colombia. Este
contexto tan cercano al Colegio Sierra Morena IED nos impulsó la idea de pensar en una
Educación Matemática que despierte en nuestros estudiantes, desde las características del
contexto, la conciencia y sensibilidad social en pro de promover cambios y tomar una postura
frente a situaciones del entorno.
Imagen 2. Sedes Colegio Sierra Morena IED tomadas de Google maps.
Este desafío por pensar en una educación matemática que reúna aspectos sociales,
políticos y culturales de nuestros estudiantes, nos llevó a indagar en referentes teóricos que dan
cuenta que ha existido una evolución respecto a las perspectivas de la educación matemática.
Gutiérrez (2013) ha reunido estas intenciones al considerar que la enseñanza y el aprendizaje de
las matemáticas no son actividades políticamente neutrales, ya que se busca el empoderamiento
dado un giro sociopolítico y que se han desarrollado bajo tres perspectivas: Educación
Matemática Crítica con la Escuela de Frankfurt, la teoría Latcrit con base a los ideales de
investigadores latinoamericanos y el post estructuralismo que profundiza en las formas de
interactuar y que constituye la identidad y la subjetividad.
Un ejemplo del párrafo anterior se evidencia en prácticas educativas que buscan la
justicia y la equidad social desde la educación matemática. Gutstein (2006) ha desarrollado su
investigación a partir de la premisa de posibilitar a los estudiantes leer y escribir el mundo con
las matemáticas. Desde sus experiencias de aula en Estados Unidos —a partir del
cuestionamiento de hechos reales a lo que denominó “Proyectos Matemáticos del mundo real”— teorizó que “[la lectura del] mundo es entender las condiciones sociopolíticas, culturales
e históricas de la vida, la comunidad, la sociedad y el mundo; y [la escritura del mundo] es
efectuar un cambio en él (p. 4). Además, mencionó que sus ideas han sido influenciadas en parte
por la Educación Matemática Crítica planteada por Ole Skovsmose basado en investigaciones
en Europa, Sudáfrica y América del sur, puesto que establece la necesidad de una alfabetización
matemática con relación a la alfabetización Crítica —citando a Frankenstein (1990)—y a la
pedagogía liberadora propuesta por Paulo Freire.
Aun así, como lo menciona Valero y Skovsmose (2012) no existen suficientes
investigaciones que teoricen la Educación Matemática Crítica en el habla hispana como fuente
para futuras investigaciones que evidencien “el poder de las matemáticas en la sociedad”.
Respecto a la práctica, las dimensiones sociales y políticas de la educación
matemática se han abordado en estudios empíricos en aulas y escuelas
principalmente de países desarrollados y de habla inglesa. En la literatura
disponible internacionalmente existen pocos estudios de investigación en países
en vías de desarrollo que adopten tal perspectiva. [...] En países de habla
hispana se han realizado pocos estudios de este tipo y se conoce poco sobre lo
que las ideas teóricas mencionadas significan en la vida diaria de estudiantes,
maestros y directivos docentes. Algunos de estos estudios empíricos se han
desarrollado en países como Colombia (Jaramillo, Torres y Villamil, 2006;
García et al., 2010), Guatemala (Kitchen, 2001), Perú (Secada, Cueto y
Esta perspectiva de la Educación Matemática “privilegia la conceptualización del
aprendizaje y enseñanza de las matemáticas como prácticas sociopolíticas” (Valero y
Skovsmose, 2012, p. XI). Por tanto, el pensar en una educación matemática crítica [EMC], nos
lleva a profundizar en los documentos que ha elaborado uno de sus principales precursores, Ole
Skovsmose. En su libro, Hacia una Filosofía de la Educación Matemática Crítica —traducido
al español por Paola Valero en 1999—, muestra el andamiaje que ha consolidado esta teoría y
sus inspiraciones desde la Escuela de Franfurkt —S. XX después de la segunda guerra
mundial— con los ideales de Habermas, Adorno, Lorenzen, Schwemer, entre otros, que
impulsaron la idea de pensar la teoría vinculada a la práctica en materias escolares. De igual
forma, los planteamientos de D´Ambrosio y la etnomatemática, le mostraron a Skovsmose otra
perspectiva con la misma intención de fondo. Además, su colaboración en investigaciones
suscitadas en otros países como Brasil, Colombia, Grecia y Sudáfrica abrieron el panorama para
pensar en una educación matemática que permita al estudiante ejercer una conciencia social y
responsable como ciudadano.
Ole Skovsmose, es matemático y filósofo danés que se interesó por llevar al aula de
matemáticas posibilidades distintas en un país donde la sociedad está altamente tecnologizada
y las condiciones sociales y económicas conservan un equilibrio para todos sus habitantes (los
índices de pobreza son bajos, los casos de corrupción, de injusticias o de desigualdad social son
casi inexistentes, etc.). En consecuencia, se preocupa por generar reflexión sobre las acciones
que realiza cada sujeto frente a las características de su contexto, y establece como prioridad
educar con el fin de no perder esas condiciones privilegiadas de vida y así fortalecer la
democracia a través de las matemáticas para que sus estudiantes ejerzan una ciudadanía crítica.
Pero ¿Qué significa la crítica para la educación matemática?
Para la escuela de Frankfurt, la teoría crítica presupone un espacio de reacción y
resistencia (Skovsmose, 1999), la crítica nace cuando participamos de una situación que está en
crisis y que de cierto modo nos incomoda o nos afecta. Skovsmose la señala como un concepto
epistémico, como una actividad abierta de pensamiento y de reacción frente a una situación de
crisis que pone en interacción a un sujeto y a un objeto, de donde identificamos alternativas
posibles para emprender acciones con un compromiso ético. “Ser Crítico significa prestar
atención a una situación crítica, identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar frente
Skovsmose ha propendido por una Educación Matemática en Dinamarca que permita a
sus estudiantes analizar con las matemáticas los beneficios ya adquiridos en su país y así
conservarlos, ejerciendo una ciudadanía comprensiva y crítica frente a los modelos económicos
y tecnológicos que se les presenten. En Latinoamérica, autores como Guerrero (2008) y Mora
(2005) han hecho explícitos aquellos aportes e influencias que articulan los planteamientos de
Skovsmose, Paulo Freire con su educación problematizadora y liberadora, y la etnomatemática
de Ubiratan D´Ambrosio en la reflexión de las relaciones existentes entre la cultura y la
matemática.
Figura 1. Esquema tomado de Guerrero (2008).
De la misma manera, Becerra y Moya (2008) destacan cinco principios que son acordes
a la EMC —citando a Becerra (2005)— y que interpretamos de la siguiente manera:
i. Al actuar en el aula de matemáticas se debe propender por la reflexión constante ya
que este tipo de razonamiento da cuenta de un aprendizaje.
ii. Es importante propiciar el diálogo y la interacción, de tal manera que los estudiantes
expongan sus argumentos y así, se estimule la negociación y el pensamiento crítico.
iii. El rol del docente es orientar las matemáticas como una herramienta que otorga un
iv. Se reconoce al estudiante de forma colectiva como un sujeto crítico, reflexivo,
participativo, deliberante y argumentativo.
v. El desarrollo de prácticas investigativas da cuenta de las acciones que tienen como
propósito la emancipación de los actores y la transformación de su entorno.
Por tanto, para evidenciar que existe una EMC, es necesario crear espacios de discusión
y reflexión mediante ambientes de aprendizaje en donde se conectan los aspectos del contexto
desde el conocer reflexivo y mediante un modelaje matemático (Skovsmose, 1999), a través de
la interacción con el otro; ya que, el conocer reflexivo ofrece potencial importante para el
desarrollo de la práctica educativa alrededor del reconocimiento de problemas, incertidumbres
o cuestionamientos de tipo social, cultural o político.
A continuación, desarrollaremos teóricamente la idea de ambientes de modelación
matemática y del conocer reflexivo considerándolos como elementos esenciales para nuestro
proyecto investigativo.
MODELACIÓN MATEMÁTICA DESDE LA PERSPECTIVA SOCIO CRÍTICA
En nuestra práctica docente hemos desarrollado en el aula de matemáticas procesos que,
desde nuestras concepciones, considerábamos “modelación matemática”. Esto referenciados en
lo propuesto por documentos nacionales que orientan la educación colombiana, donde la
modelación es considerada como una estrategia que se utiliza en las clases para acercar al
estudiante a problemáticas del mundo real desde las matemáticas con la creación de esquemas,
fórmulas y procedimientos. Como vemos en los Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas: “La matematización o modelación puede entenderse como la detección de
esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas, científicas y matemáticas para
reconstruirlas mentalmente” (MEN, 2006, p. 53).
Así mismo, los Lineamientos Curriculares en Matemáticas mencionan la modelación
como uno de los procesos generales que hacen parte de la actividad matemática, enfocada hacia
la resolución de problemas mediante una conexión entre las aplicaciones y la modelación, “la
forma de describir ese juego o interrelación entre el mundo real y las matemáticas es la
Sin embargo, en la revisión de antecedentes con el propósito de vincular la modelación
matemática a la EMC, observamos que aquellos planteamientos del Ministerio de Educación
Nacional no arrojan información suficiente acerca de la modelación mostrando una visión
restringida o parcial. Es así, que analizamos los resultados de investigaciones en donde se han
desarrollado ambientes de modelación matemática, destacando en el ámbito nacional e
internacional que la modelación ha sido utilizada para orientar proyectos en donde: se formulan
modelos matemáticos abordando situaciones del entorno, se estudian las matemáticas a partir
de una problemática, se cuestionan modelos ya establecidos a partir de situaciones del contexto,
entre otros.
En consecuencia, rescatamos que existen investigaciones que involucran a la modelación
matemática mostrando que no hay una definición global para ella, lo que ha generado en muchos
investigadores la necesidad de analizar los enfoques en los cuales han sido desarrollados estos
trabajos de modelación matemática. Esta labor muestra evidencias en los escritos desarrollados
por Kaiser y Sriraman (2006) y Blomhøj (2009), quienes mediante el análisis y clasificación a
los trabajos propuestos en dos eventos de educación matemática dan cuenta de distintas
perspectivas de la modelación.
Kaiser y Sriraman (2006), vislumbran seis perspectivas de la modelación matemática a
partir de una comprensión hermenéutica de las ponencias en la International Conference On the
Teaching of Mathematical Modelling and Aplication [ICTMA] y en el International Congress
on Mathematics Education [ICME] del 2002 y destacan algunas de sus características:
❖ Realista: Dan cuenta de la modelación con fines prácticos y utilitarios en la resolución
de problemas reales apoyado en la tecnología.
❖ Contextual: A partir de las teorías psicológicas, la modelación matemática promueve la
enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos.
❖ Educacional: El papel de la modelación tiene como finalidad en el proceso de la
enseñanza y aprendizaje integrar los contenidos matemáticos a partir de modelos.
❖ Socio crítica: La enseñanza de las matemáticas está basada en la reflexión sobre la
naturaleza, construcción e impacto de modelos matemáticos dentro de la sociedad para
❖ Epistemológica: Destaca la modelación como un medio para promover la teoría de los
contenidos matemáticos.
❖ Cognitiva: Considerada como una metaperspectiva debido a que se analizan y se
comprenden los procesos cognitivos que se desarrollaron dentro del proceso de
modelado.
Así mismo, Blomhøj (2009) reafirma estas seis perspectivas en el análisis a los
documentos del grupo TSG - 21 PAPERS pertenecientes al ICME realizado en el año 2008 en
la ciudad de Monterrey (México), y resalta que:
El uso extensivo de modelos matemáticos en la sociedad contribuye a establecer las
matemáticas como un lenguaje de poder. Por lo tanto, la educación matemática y
especialmente la enseñanza de modelos matemáticos y sus aplicaciones, posee un
potencial para empoderar a los estudiantes como ciudadanos autónomos e
independientes en la sociedad8 (p.15).
A partir de las anteriores perspectivas nos identificamos con la socio crítica ya que se
enfoca en analizar el papel y la función de las matemáticas en la sociedad, la naturaleza de los
modelos matemáticos y promover discusiones reflexivas donde el objetivo central de la
enseñanza es propiciar el pensamiento crítico. Aclaramos, que en este proyecto investigativo
destacamos el planteamiento de Villa-Ochoa (2008) al mencionar que un modelo matemático
es el conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que intentan explicar, predecir y evaluar
algunos aspectos de un fenómeno o situación, y del cual consideramos desde la perspectiva
crítica que dicho modelo está presente en el momento de tomar una posición justificada.
Retomando, en Latinoamérica ya se han desarrollado ambientes de modelación
matemática bajo la perspectiva socio crítica, por ejemplo en Brasil, Araujo (2012) y Barbosa
(2004, 2006); en Colombia, Camelo (2017), Barrios y Galvis (2015) y Gutiérrez y Rodríguez
(2015) muestran el ambiente de modelación como un medio para propiciar una actitud reflexiva
mediante los procesos de interacción y de discusión al abordar problemáticas de la realidad que
los estudiantes identifican y que poseen un interés por estudiarlas. Aun así, nos preguntamos
¿qué características debemos considerar al crear un ambiente de modelación matemática desde
la perspectiva socio crítica [MM]?
Características de los MM.
En la IX conferencia nacional realizada en el año 2015 en Säo Paulo sobre modelación
en la educación matemática, Caldeira, Magnus y Cambi (2018) problematizan los siguientes
enunciados con relación a las actividades de la modelación, pues estas:
❖ Despiertan el interés y la motivación en los estudiantes por el aprendizaje de los
conceptos matemáticos.
❖ Hacen que los alumnos sean más activos y corresponsables por el aprendizaje.
❖ Dan visibilidad a los contenidos matemáticos.
De estos tres aspectos, los autores determinan que la modelación es el objeto de las
prácticas discursivas como mecanismo de articulación entre las matemáticas con otras áreas de
la realidad del alumno.
A su vez Barbosa (2004) destaca la modelación matemática —desde la perspectiva socio
crítica— como “un ambiente de aprendizaje donde los sujetos son invitados a problematizar e
investigar, por medio de las matemáticas situaciones con referencia en la realidad” (p. 75). El
desarrollo de tales ambientes de aula, según ese mismo autor, puede darse a partir de tres
maneras —CASO 1: problemáticas propuestas por el profesor y cuya información y modelos
explicativos se llevan en su totalidad; CASO 2: problemáticas planteadas por los estudiantes en
un marco general que es formulado por el profesor; y CASO 3: problemáticas propuestas por
los estudiantes donde las tareas se delegan entre ellos y el profesor acompaña el trabajo realizado
(ver tabla 1)— mostrando así, lo flexible que llega a ser la modelación matemática.
CASO 1 CASO 2 CASO 3
Formulación del problema
Profesor Profesor Profesor/Alumno
Simplificación Profesor Profesor/Alumno Profesor/Alumno
datos
Solución Profesor/Alumno Profesor/Alumno Profesor/Alumno
Tabla 1. Casos de problemáticas en los MM. Tomada de Barbosa (2004).
Para el caso 3, se hace necesario por parte del profesor y de los estudiantes: comprender
las causas de la problemática a partir de la indagación; proponer y negociar estrategias de
solución mediante modelos matemáticos; reflexionar colectivamente sobre el uso de estos
modelos en la sociedad y los criterios de su construcción. En consonancia, Araujo (2012) hace
la invitación a pensar en promover actividades en grupo para resolver problemas del día a día y
cuyos mecanismos de solución sean sometidos a cuestionamientos reflexivos, de tal forma que
la actitud crítica se evidencie en las acciones y preocupaciones que emergen en el grupo por el
bienestar social, cuestionando los modelos y su uso dentro de la sociedad, desafiando lo que se
denomina “la certeza de las matemáticas”.
Es así como los MM promueven un aprendizaje a partir del cuestionamiento de modelos
matemáticos mediante la indagación, la problematización, la negociación y la reflexión
permitiéndonos “capacitar a los sujetos para actuar activamente en la sociedad” (Barbosa, 2004).
Salazar, Mancera, Camelo y Perilla (2017) mencionan que las prácticas de modelación
matemática bajo la perspectiva socio crítica se desarrollan intrínsecamente bajo cinco etapas
que no son subordinadas y que interpretamos de la siguiente manera:
❖ Escogencia de la situación problémica: Surge del macro o micro contexto de los
participantes y sus intereses, esto es involucrar sus antecedentes, porvenires e
intenciones desde la interpretación de sus discursos.
❖ Desarrollo de una labor exploratoria: Búsqueda de información para comprender e
interpretar la situación a estudiar, es decir se establece un proceso de indagación e
investigación.
❖ Producción de datos y rutas de acción: Delimitar la información encontrada y planear
colectivamente líneas de acción que permitan alcanzar los objetivos frente a la situación
❖ Reflexión y reinterpretación de la situación abordada desde las matemáticas: Discutir
los conceptos o modelos matemáticos que emergen en el ambiente de modelación y que
permiten una comprensión del papel de las matemáticas en la situación.
❖ Análisis crítico de los alcances producidos: Dar a conocer un posicionamiento crítico a
partir del diálogo, con el fin de analizar retrospectivamente la situación problemática
con relación a los datos producidos y las rutas de acción implementados.
EL CONOCER REFLEXIVO.
Al interesarnos en esta investigación por describir el conocer reflexivo en un ambiente
de modelación matemática desde la perspectiva socio crítica, asumimos que “el conocer
reflexivo en conexión con la crítica, no sólo debe relacionarse con un proceso mental de
pensamiento, sino también con una acción y reacción” (Skovsmose, 1999, p. XVI), de esta
manera, existen elementos que dan cuenta del conocer reflexivo sin la pretensión de indagar en
el proceso psicológico de las abstracciones mentales del ser humano.
De la misma manera que Skovsmose (1999) nos ilustra a través de un ejemplo para
destacar aspectos relacionados con el conocer tecnológico, matemático y reflexivo,
describiremos una situación similar, a manera de metáfora, desde nuestro punto de vista para
contextualizar al lector:
Actualmente, en Bogotá (Colombia) vemos en noticias, la problemática que está
generando la movilidad en la ciudad con respecto a los tiempos tan amplios para llegar
a un lugar de destino. Los sistemas de gobierno han intentado implementar distintos
mecanismos para afrontar esta problemática: promocionar el uso de la bicicleta;
restringir el tránsito de vehículos pesados en vías arteriales durante los horarios de mayor
afluencia vehicular; implementar el “pico y placa” como medida para disminuir el flujo
de vehículos particulares, entre otras. Estas estrategias dan cuenta de soluciones que
intentan descongestionar las vías y van más allá de conducir o saber de mecánica
(conocer tecnológico y conocer matemático), puesto que esta situación al vincular
aspectos sociológicos, ecológicos y éticos favorecen una comprensión más profunda del
tráfico vehicular (conocer reflexivo). Aclaramos que no pretendemos ahondar en esta
como ejemplo para dar cuenta que el conocer reflexivo potencializa interpretaciones que
se extraen de la problemática para reaccionar frente a las causas y consecuencias del
tráfico vehicular.
Con lo anterior, el conocer reflexivo posibilita a los sujetos comprender, evaluar y
discutir para tomar una posición justificada y reaccionar frente a lo que genera los conocimientos
tecnológico y matemático, tanto ética como socialmente (Skovsmose, 1999). Esto es, abrir
espacios para que los sujetos analicen y actúen con responsabilidad social frente a hechos que
son resultado de la implementación de modelos matemáticos, “reaccionar como ciudadanos críticos en la sociedad de hoy en día” (p. 111) y además, otorga a la alfabetización matemática,
dentro la EMC, ese carácter potenciador que se requiere en el aula de matemáticas —recordemos
que la alfabetización matemática reúne las tres competencias que debe adquirir un estudiante:
matemática, tecnológica y reflexiva (p. 130)—.
Por tanto, Skovsmose (1999) menciona que en el aula de matemáticas se debe accionar
sobre ciertas consideraciones para reconocer el carácter formativo de las matemáticas en la
sociedad, estas preguntas consisten en reconocer no solo el sentido y el significado al uso de las
herramientas matemáticas, sino su relación con el objetivo de la tarea y las consecuencias sobre
el uso de procedimientos y técnicas, además de reflexionar sobre las reflexiones mismas —
metarreflexión—. Lo anterior confiere al individuo, gracias al conocer reflexivo, la posibilidad
de posicionarse frente a situaciones abiertas, produciendo procesos dialógicos que permiten una
riqueza semántica en las discusiones alrededor de dichas reflexiones.
¿Cómo vamos a describir el conocer reflexivo desarrollado por los estudiantes?
Barbosa en colaboración con otros investigadores han analizado en los espacios de
interacción generados por tales ambientes de modelación matemática desde la perspectiva socio
crítica el discurso y las discusiones como indicadores de la existencia del conocer reflexivo,
debido a que en las actividades se discute la naturaleza y criterios utilizados en los modelos
matemáticos al abordar problemáticas sociales.
En una revisión sobre el discurso y las discusiones (Barbosa, 2006, 2008; Silva &
Barbosa, 2011; Santana & Barbosa, 2012; Oliveira & Barbosa, 2013; y Souza & Barbosa, 2014)
Lerman (2001) — se refiere a todo tipo de lenguaje verbal o escrito incluyendo signos, gestos y
artefactos. El discurso tiene como propósito comunicar algo de quien lo expresa estableciendo
su posición dentro de un contexto social.
En consecuencia, dentro de los espacios de participación e interacción cuando las
producciones discursivas se comparten y se configuran como interacciones verbales en los
procesos de negociación y de modificación de significados, se desarrollan las discusiones.
Entendiendo, en segundo lugar, una discusión como un enunciado oral dirigido a alguien en las
reuniones durante el proceso de indagación, problematización e investigación que se da en el
ambiente de modelación y que lo invita a asumir la misma actitud (Silva & Barbosa, 2011).
Estas discusiones brindan información sobre lo que expresan los estudiantes, sobre la
perspectiva utilizada de los comentarios compartidos —y su naturaleza— (Barbosa, 2006, p.
298), además, establecen unas rutas de modelado que en palabras de este autor hacen parte de:
❖ Las discusiones matemáticas, que se refieren a los conceptos y procedimientos de la
disciplina matemática pura;
❖ Las discusiones técnicas, que se refieren a la traducción del fenómeno elegido para
estudiar en términos matemáticos;
❖ Las discusiones reflexivas, que se refieren a la conexión entre los supuestos utilizados
en la construcción del modelo matemático y los resultados, así como su uso en la
sociedad.
(Barbosa, 2011, p. 200).
Además, este interrogante ya ha sido planteado por Mancera, Perilla y Camelo (2017),
quienes conciben el conocer reflexivo, citando a Skovsmose (2013), como “la competencia de reflexionar sobre el uso de la matemática y su evaluación” (pp. 3-4). En su publicación,
caracterizan el conocer reflexivo en un ambiente de modelación matemática, centrando su
mirada en el diálogo como una forma de comunicación e interacción dentro del trabajo en
grupos, e introducen los planteamientos de actos dialógicos basados en Alrø y Skovsmose
(2012) quienes los definen como formas particulares del acto de hablar que posibilitan visualizar
