Desigualdad de Hardy Discreta y su Forma Continua
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(3) Desigualdad de Hardy discreta y su forma continua. Jose Luis Narváez Bolaños. Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tı́tulo de: Matemático. Director(a): Milton Del Castillo Lesmes Acosta. Universidad Distrital Francisco José De Caldas Facultad de Ciencias Y Educación, Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá D.C., Colombia 2017.
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(5) Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energı́a atómica: la voluntad. Albert Einstein.
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(7) Agradecimientos Primero, quiero agradecer a mis profesores, en especial a mi director Milton Lesmes y evaluador Carlos Ochoa por su apoyo y colaboración durante toda mi carrera. Quiero agradecer a mis padres Maria Bolaños y Luis Narváez, a mi novia Marcela Suarez y a mis suegros, que han sido un motor en mi vida universitaria y un apoyo incondicional, personas que me han hecho aprender de los errores y no rendirme bajo ninguna circunstancia, en especial, en éste trabajo. También agradecer a mis padrinos Arabel Garcı́a e Ignacio Realpe, quienes fueron los que creyeron en mı́ para realizar este trabajo y depositaron la confianza necesaria para la finalización de mi carrera. Finalmente agradecer a mis compañeros, mis familiares y todas las demás personas que estuvieron detrás de éste proyecto tan importante en mi vida. Todos y cada uno de los planes, proyectos a corto y largo plazo fueron fruto de su comprensión, paciencia y apoyo..
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(9) Contenido 1. Introducción 2. Preliminares 2.1. Desigualdad de Hilbert . . 2.2. Cartas: Fecha 1915-1919 . 2.3. Una contribución de Riesz 2.4. Artı́culo 3: Fecha 1920 . .. 2. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 3. Desigualdad de Hardy 3.1. Una carta de Landau a Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Artı́culo 4: Fecha 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Algunas contribuciones del artı́culo de 1925 . . . . . . . . . . 3.4. Demostraciones de Elliot e Ingham: La desigualdad de Copson 4. Conclusiones. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 5 9 11 13 15. . . . .. 17 17 19 21 23 25.
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(11) 1 Introducción El desarrollo de la famosa desigualdad de Hardy (en sus formas discreta y continua) la cual se elaboró durante el periodo de 1906-1928, tiene su propia historia; contribuciones de matemáticos como G. H. Hardy, E. Landau, G. Pólya, I. Schur y M. Riesz son importantes en su gestación. Se considera el siguiente desarrollo de la desigualdad de Hardy en forma discreta, Si p > 1 y {ak }∞ 1 es una sucesión de números reales no negativos, entonces !p p X ∞ n ∞ X 1X p ≤ ak apn (1-1) n p − 1 n=1 n=1 k=1 y su forma continua dice, si p > 1 y es f es una función p-integrable no negativa sobre (0, ∞), entonces f es integrable sobre el intervalo (0, x) para cada positivo x y p p Z ∞ Z ∞ Z x p 1 f (t)dt dx ≤ f (x)p dx. (1-2) x p − 1 0 0 0 En este trabajo se describen algunas observaciones introductorias marcadas en el siguiente orden: Las demostraciones de forma histórica de las desigualdades (1-1) y (1-2) como formas estándar de la desigualdad de Hardy. Restringiendo (1-2) a la clase de funciones a trozos se prueba fácilmente que (1-2) implica (1-1). La constante (p/(p−1))p tanto en (1-1) como en (1-2) es la mejor constante de acotación (no puede ser reemplazado con un número más pequeño de modo que (1-1) y (1-2) sigan siendo verdaderos para todas las sucesiones y funciones, respectivamente). P p Las desigualdades (1-1) y (1-2) implican las siguientes formas débiles : Si ∞ n=1 an < ∞ p R∞ P∞ 1 Pn y an ≥ 0, entonces n=1 n k=1 ak < ∞ y si 0 f (x)p < ∞ y f (x) ≥ 0, entonces p R∞ Rx f (t)dt dx < ∞, respectivamente. 0 0 Las desigualdades (1-1) y (1-2) con el desarrollo del tercer item implican la relación del operador discreto de Hardy h y el operador continuo de Hardy H definidos por h{an } = Rx P { n1 nk=1 ak }, Hf (x) = x1 0 f (t)dt con los espacios lp a lp y Lp a Lp respectivamente P p 1/p (p > 1), y cada uno tiene la norma p0 = p/(p − 1) y ||a||lp = ( ∞ < ∞, n=1 |an | ) R∞ 1/p ||f ||Lp = 0 |f (x)|p < ∞..
(12) 3 Las generalizaciones de las desigualdades (1-1) y (1-2) las cuales han sido aplicadas en análisis y teorı́a de ecuaciones diferenciales..
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(14) 2 Preliminares Para dar inicio ha este trabajo se deben tener presente conceptos básicos de análisis funcional y teorı́a de la medida. A continuación se demuestran desigualdades que significaron una revolución matemática por su importancia y desarrollos históricos tales como la desigualdad de Young, la desigualdad de Hölder y la desigualdad de Minkowski. Teorema 2.0.1 (Desigualdad de Young). Si p, q > 1 tales que cualesquier a, b ≥ 0 ap b q ab ≤ + p q Demostración. Para que. 1 p. +. 1 q. 1 p. +. 1 q. = 1, entonces para. = 1 es necesario que p > 1 y q > 1; ahora bien,. 1 1 + =1 p q p + q = pq. Multiplicando ambos lados por pq. p + q − p − q + 1 = pq − p − q + 1. Adicionando 1 − p − q a ambos lados,. 1 = (p − 1)(q − 1) 1 =q−1 p−1 En consecuencia u = tp−1 ⇐⇒ t = uq−1 . Se observa también que el área del rectángulo de base t y altura u es menor o igual que la suma de las áreas señaladas en la figura (2-1). Ası́ Z a Z b ap b q p−1 ab ≤ Área2 + Área1 = t dt + uq−1 du = + p q 0 0 Note que incluso si la gráfica interseccionó el lado del rectángulo correspondiente a t = a, esta desigualdad se mantiene. Observe también que si a = 0 o b = 0 entonces esta desigualdad se mantiene trivial..
(15) 6. 2 Preliminares. Figura 2-1: Representación geométrica Teorema 2.0.2 (Desigualdad de Hölder). Si x1 , x2 , ..., xn , y1 , y2 , ..., yn ∈ R y p, q > 0 tales que 1/p + 1/q = 1 ! 1q ! p1 n n n X X X · |yk |q |xk yk | ≤ |xk |p k=1. k=1. k=1. Notar que si p = q = 2 se obtiene la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakowsky. , Demostración. Usando el Teorema 2.0.1 para cada i ∈ {1, 2, ..., n} y tomando a = |xi |. n X k=1. , y b = |yi |. n X. ! 1q |yk |q. da como resultado. k=1. . . . p. . q. . 1 |xi | |yi | |xi | 1 |yi | 1 1 ≤ 1 + 1 ! ! ! ! X p X q X n n n n p q p q X p q p q |xk | |yk | |xk | |yk | k=1. k=1. k=1. ⇐⇒. k=1. . . . 1 1 |xi |p |yi |q |xi yi | ! + n ! 1 1 ≤ ! ! n p X q X n n p q X X p q |xk | |yk | |xk |p |yk |q k=1. k=1. k=1. k=1. ! p1 |xk |p.
(16) 7 Sumando las desigualdades obtenidas para cada i ∈ {1, 2, ..., n} n X. |xk yk |. k=1 n X. ! p1. n X. p. |xk |. k=1. |yk |q. . . n 1 X |xk |p ! + n q X k=1 p |xk |. |yk |q ! n X q |yk |. k=1. k=1. |xk yk | 1 1 ! 1q ≤ p + q. k=1. ! p1. n X. |xk |p. |yk |q. k=1. k=1 n X. |xk yk |. k=1 n X. n X 1 ≤ ! 1q p k=1. k=1 n X. n X. . ! p1. n X. |xk |p. k=1. ! 1q ≤ 1 |yk |q. k=1 n X. |xk yk | ≤. k=1. Ocurriendo la igualdad cuando integrales (Forma continua).. n X. ! p1. n X. |xk |p. =. |xi+1 |p |yi+1 |q. |yk |q. k=1. k=1 |xi |p |yi |q. ! 1q. para i ∈ {1, 2, ..., n}, de manera análoga para. Observación. En [4] Hardy recalcó que el Teorema 2.0.2 fué debido a Hölder referido a una carta en [14] por Landau. En [10] dice ((Hölder declara el teorema en una forma menos simétrica dado un poco antes por Rogers)) y usó el nombre Desigualdad de Hölder. Se cree que estas palabras por Hardy pueden haber sido importantes cuando los matemáticos empezaron a llamar 2.0.2 la desigualdad de Hölder. El autor L. Maligranda señaló en [15] que una variante equivalente de 2.0.2 ha sido probado por Rogers en 1888, un año antes de que Hölder produjo su versión, la cual es sólo una variante equivalente de 2.0.2 y es diferente a la de Rogers. La desigualdad 2.0.2 en su forma precisa fué probada en 1910 por Riesz. Por lo tanto esta desigualdad clásica pudo haber sido denominada la desigualdad de Hölder-Rogers o la desigualdad de Hölder-Rogers-Riesz. Teorema 2.0.3 (Desigualdad de Minkowski). Supóngase h : R × R → R es Lebesgue medible y 1 ≤ p < ∞. Entonces Z. b. Z. d. p. h(x, y)dy dx a. c. !1/p. Z. d. Z. ≤ c. a. b. 1/p |h(x, y)| dx dy p.
(17) 8. 2 Preliminares. Demostración. Se asume que p > 1 (p = 1 sigue por el Teorema de Fubini), entonces Z. b. Z. p. d. b. Z. d. Z. h(x, y)dy dx. h(x, y)dy. h(x, y)dy dx = a. p−1. d. Z. Z. c. c. a. c. b. p−1. d. Z. ≤. Z. d. h(x, y)dy a. c p−1. c. Z b "Z. d. d. Z. a. Z. c. c d. "Z. b. p−1. d. Z. = a. # |h(x, y)|dx dy,. h(x, y)dy c. |h(x, y)|dy dx # |h(x, y)|dy dx. h(x, y)dy. =. . c. Lo último ocurre por el Teorema de Fubini. Si q = p/(p − 1) y aplicando el Teorema 2.0.2 (con respecto a x) se tiene Z. b. Z. p−1. d. h(x, y)dy. "Z. Z. # p 1/q. d. |h(x, y)|dx ≤. Z. 1/p. b p. |h(x, y)| dx. h(x, y)dy a. c. a. b. a. c. Reemplazando Z. b. Z. p. d. h(x, y)dy a. "Z. b. Z. ≤. Z. d. Z. a. c. hR R b d a. c. b p. |h(x, y)| dx. h(x, y)dy. c. Dividiendo ambos lados por queda demostrado.. # p 1/q. d. c. 1/p dy.. a. i1/q p y recordando que 1 − (1/q) = 1/p h(x, y)dy dx. Cabe resaltar la importancia del siguiente teorema para la convergencia de las series dobles. P Teorema 2.0.4. Una serie doble de términos no negativos ∞ n,m=1 z(n, m) converge si y sólo si el conjunto de sumas parciales [s(n, m) : n, m ∈ N] es acotado. P Demostración. Si ∞ n,m=0 z(n, m) es una serie doble con z(n, m) ≥ 0 para todo n, m ∈ N. Si P∞ n,m=0 z(n, m) converge, entonces la doble sucesión (s(n, m)) de sumas parciales converge y, por lo tanto es acotada. Se sigue que el conjunto [s(n, m) : n, m ∈ N] es acotado. Supóngase, de forma inversa, que el conjunto de sumas parciales [s(n, m) : n, m ∈ N] es acotado. Entonces la doble sucesión de sumas parciales (s(n, m)) es acotada. Ya que los términos de la serie z(n, m) son no negativos, es claro que la sucesión (s(n, m)) es creciente. Se sigue por el teorema de convergencia monótona que (s(n, m)) converge y, por tanto, P∞ n,m=1 converge..
(18) 2.1 Desigualdad de Hilbert. 2.1.. 9. Desigualdad de Hilbert. En ésta sección se lleva ha cabo el desarrollo inicial de una desigualdad que fué descubierta a principios del siglo XX por David Hilbert y está muy relacionada con la desigualdad de Hardy en forma discreta (1-1), y en forma continua (1-2). Además, se confirma que esta desigualdad fue, de hecho, la principal fuente de motivación para Hardy. Teorema 2.1.1 (Desigualdad de Hilbert). Si (am ) y (bn ) son sucesiones de números P am bn reales de cuadrados sumables entonces la serie ∞ m,n=1 m+n es convergente y, v v u ∞ u∞ ∞ X X u uX 2 am b n 2 t t am bn . ≤C m + n m,n=1 m=1 n=1 Siendo C la mejor constante de acotación. Demostración. Aunque, ha pesar de sus similitudes la desigualdad de Hilbert no llamó para su prueba a la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakowsky; se puede probar como una aplicación apropiada de ésta. Si S es cualquier conjunto contable y {αs } y {βs } son colecciones de números reales indexados por S, la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakowsky puede ser escrita como !1/2 !1/2 X X X αs βs ≤ αs2 βs2 . (2-1) s∈S. s∈S. s∈S. Esta formulación de la desigualdad (2-1) es de gran ayuda para lograr ver de manera más clara la relación con la desigualdad de Hilbert. Un primer intento es el siguiente; se toma a S = {(m, n) : m ≥ 1, n ≥ 1}, αs y βs definidos de la siguiente manera am αs = √ m+n. y βs = √. bn m+n. con s = (m, n).. Al hacer los productos αs βs se recuperan los términos que uno encuentra en el lado izquierdo de la desigualdad de Hilbert, pero el lı́mite que se obtiene de la desigualdad (2-1) resulta ser decepcionante. Especı́ficamente da la estimación de doble suma !2 ∞ X ∞ ∞ X ∞ ∞ ∞ X X am b n a2m X X b2n ≤ m + n m + n n=1 m=1 m + n m=1 n=1 m=1 n=1 pero, desafortunadamente, los dos últimos factores resultan ser infinitos. El primer factor en el lado derecho del lı́mite diverge como una serie armónica cuando se suma en n, y el segundo factor diverge como una serie armónica cuando se suma en m, lo que la harı́a prácticamente inútil, pero se tiene en cuenta que divergen por diversas razones; como por ejemplo αs diverge porque es tan grande como una función de n, mientras que.
(19) 10. 2 Preliminares. βs diverge porque es tan grande como una función de m, ası́ que si se multiplica αs por una función decreciente de n y βs por una función decreciente de m se podrı́a discutir su divergencia considerablemente. Se toman los candidatos tales como n λ am m λ bn αs = √ y βs = √ con s = (m, n). m+n n m+n m donde λ > 0 y es una constante que se puede escoger después. Reemplazando la desigualdad (2-1) ∞ X ∞ X am b n m+n m=1 n=1. !2. ∞ X ∞ ∞ ∞ X a2m m 2λ X X b2n n 2λ ≤ , m+n n m+n m m=1 n=1 n=1 m=1. entonces, se considera el primer factor del lado derecho de la desigualdad y se observa que ∞ ∞ ∞ X ∞ X a2m m 2λ X 2 X 1 m 2λ am = m+n n m+n n m=1 n=1 m=1 n=1. para que la demostración este completa se debe mostrar que para alguna elección de λ hay una constante Bλ < ∞ tal que ∞ X n=1. 1 m 2λ ≤ Bλ m+n n. para todo m ≥ 1,. Para estimar la suma anterior se recuerda que para cualquier función decreciente no negativa f : [0, ∞) → R se tiene Z ∞ ∞ X f (n) ≤ f (x)dx. 0. n=1. En el caso especı́fico de f (x) = m2λ x2λ (m + x)−1 , de donde ∞ X n=1. 1 m 2λ ≤ m+n n. Z 0. ∞. 1 m 2λ = m+x x. Z 0. ∞. 1 1 dy, (1 + y) y 2λ. donde la última igualdad proviene del cambio de variables x = my. La integral en el lado derecho de la desigualdad es claramente convergente cuando λ satisface 0 < λ < 1/2. El problema se resolvió como se dijo, pero se debe tomar un momento para encontrar el valor de la constante C que proporciona la prueba. Cuando se examina éste argumento, realmente se encuentra que, se ha demostrado que la desigualdad de Hilbert debe mantener para cualquier C = Cλ que Z ∞ 1 1 Cλ = dy (1 + y) y 2λ 0.
(20) 2.2 Cartas: Fecha 1915-1919. 11. para 0 < λ < 1/2. Usando Mathematica o Maple se descubre que el resultado es sinπ2πλ . Como sin 2πλ es maximizada cuando λ = 1/4, se tiene que Z ∞ 1 1 C = C1/4 = √ dy = π. (1 + y) y 0 Por tanto la desigualdad de Hilbert queda expresada de la siguiente manera: v v u∞ u ∞ ∞ X X uX 2 u am b n 2 am t bn . ≤ πt m+n m=1 n=1 m,n=1. Viendo esto, se puede extender el Teorema 2.1.1 como sigue Teorema 2.1.2. Para p, q > 1 tales que 1/p + 1/q = 1 y sucesiones de números no negativos P∞ q P p (am ), (bn ) tales que ∞ n=1 bn son convergentes m=1 am !1/p ∞ !1/q ∞ ∞ X X X am b n π p ≤ a bqn . (2-2) m π m+n sin p m=1 m,n=1 n=1 Demostración. Ver la demostración y la optimización de la constante en [17].. 2.2.. Cartas: Fecha 1915-1919. En [9] Hardy fijó y aplicó el siguiente teorema, el cual tiene conexiones obvias al teorema de Hilbert: P Teorema 2.2.1. Si an ≥ 0 y An = nk=1 ak . La convergencia de cualquiera de las tres series 2 ∞ ∞ ∞ X ∞ X X X an An an am An (i) (ii) (iii) n n n+m n=1 n=1 n=1 m=1 implica la de las otras. Demostración. De (iii) a (i). P PN am an La serie N n=1 m=1 m+n es convergente si lo es la sucesión de sus sumas parciales, ası́ que N X N N X n N n X X X X am an am an am ≤2 =2 an m+n m+n m+n n=1 m=1 n=1 m=1 n=1 m=1 N X. n N X 1X An ≤2 an am = 2 an . n m=1 n n=1 n=1.
(21) 12. 2 Preliminares. Por tanto. P∞. n=1. an An n. converge.. De (i) a (ii). P Se sabe que an ≤ nk=1. ak n. =. An , n. multiplicando por an An ≤ n. . An n. An n. en ambos lados. 2. Luego, ∞ X an An n=1. Ası́. P∞. n=1. An 2 n. n. ≤. 2 ∞ X An n=1. n. converge.. De (ii) a (iii), para la demostración de este caso, se requiere el siguiente teorema; el cual puede considerarse como un precursor de la desigualdad de Hardy para el caso p = 2 que incluso da como mejor constante 4, a pesar de que Hardy no hizo una mención explicita de éste hecho. P P An 2 a2n con an ≥ 0 implica la de ∞ , Teorema 2.2.2. La convergencia de las series ∞ n=1 n=1 n Pn donde An = k=1 ak . Probablemente la contribución más importante de [5] fué la demostración del Teorema 2.2.2 que contenı́a. Demostración. Es claro que . An n. 2. 2 2 An An 2 − an ≤ 2an + 2 − an = an + n n 2 An an An 2 = 4an + 2 −4 . n n . Por lo tanto, 2 N X An n=1. n. ≤4. N X n=1. a2n. +2. 2 N X An n=1. n. −4. para cada N . Además se tiene (An − an )2 = A2n − 2an An + a2n Ahora bien, A2n = a2n + A2n−1 , luego A2n−1 = A2n − 2an An + a2n. N X n=1. an A n. (2-3).
(22) 2.3 Una contribución de Riesz. 13. Por lo que, −2an An = −(A2n − A2n−1 ) − a2n ≤ −(A2n − A2n−1 ). Entonces −2. N X an An n=1. n. ≤−. N X (A2n − A2n−1 ). n. n=1 A21. A2N −1 A22 A2N − − ... − − −− =− 1·2 2·3 (N − 1) · N N N X 1 ≤− A2n . n(n + 1) n=1 Sustituyendo en (2-3) se obtiene 2 N X An n=1. n. ≤4. =4. N X n=1 N X. a2n. +2. a2n + 2. 2 N X An. n=1. n=1. n. n=1 N X. −2. N X n=1. 1 A2 n(n + 1) n. 1 A2 , + 1) n. n2 (n. Cuyos resultados son N X 1− n=1. 2 n+1. . An n. 2 ≤4. N X. a2n. (2-4). n=1. Que (2-4) implica lo enunciado en el Teorema.. Observación. En [2] Hardy también fijo algunos resultados para el caso continuo. Sin embargo, el punto más importante para la historia de la desigualdad de Hardy fué su petición de que Z ∞ Z x Z ∞ 1 f (t)dt ≤ 4 f 2 (x)dx x a a a cuando a > 0 y 4 es la mejor constante. En efecto, puede mostrarse que su estimación implica la desigualdad (1-1) para el caso continuo con p = 2. Hardy no dio una demostración de su afirmación pero sólo referió a la demostración en su caso discreto que es la que se está presentando.. 2.3.. Una contribución de Riesz. En su artı́culo [4] de 1920 Hardy se refirió a una artı́culo de Marcel Riesz y escribió.
(23) 14. 2 Preliminares. Dr. M. Riesz a quién recientemente le comuniqué el Teorema 2.2.2 y de inmediato encontró otra demostración, la cual es igual a la mı́a en simplicidad y la cual nos parece más natural y por lo tanto preferible. Su demostración naturalmente sugiere una generalización interesante.. Hardy procede a formular el resultado de Riesz en la siguiente forma débil: P∞ p Teorema 2.3.1 (M. Riesz). Si p > 1, an ≥ 0, y n=1 an es convergente, entonces P∞ Pn p n=1 (An /n) es convergente, donde An = k=1 ak . Demostración. Si Φn = n−p + (n + 1)−p + (n + 2)−p + · · · . Entonces, por sumas parciales, para cada N (con A0 = 0) p N X An. =. n. n=1. N X. Apn (Φn. N X (Apn − Apn−1 )Φn − ApN ΦN +1 − Φn+1 ) = n=1 N X. n=1. ≤. N X. (Apn − Apn−1 )Φn ≤ p. n=1. Además −p. Φn < n. n=1. ∞. Z. x−p dx = n−p +. +. an Anp−1 Φn .. n. p n−(p−1) ≤ n−(p−1) . p−1 p−1. De estas estimaciones y el Teorema 2.0.2, ∞ X. an b n ≤. n=1. ∞ X. !1/p. ∞ X. apn. n=1. !1/p bqn. n=1. 1 1 p > 1, + = 1 , p q. Se sigue que p N X An n=1. n. N. p2 X an ≤ p − 1 n=1 p2 ≤ p−1. ∞ X. p−1 An n !1/p ∞ !1−(1/p) X An p. . apn. n=1. n=1. n. .. Por lo tanto p N X An n=1. n. ≤. p2 p−1. p X N. apn. (2-5). n=1. Observación. El argumento de Riesz actualmente rinde más de lo que Hardy formuló en el Teorema 2.3.1; esto es, (2-5) implica la exactitud de (1-1) con la constante (p2 /(p − 1))p en lugar de (p/(p − 1))p ..
(24) 2.4 Artı́culo 3: Fecha 1920. 2.4.. 15. Artı́culo 3: Fecha 1920. En [4] Hardy observó que las estimaciones en la demostración del Teorema 2.3.1 fueron bastante rigorosas y que la constante Cp = (p2 /(p − 1))p puede ser mejorada refinando las estimaciones de Riesz. En particular, el señaló que Cp puede ser reemplazado con la constante estrictamente más pequeña (pζ(p))p , con ζ(p) la función zeta de Riemann. El argumento que confirma este hecho lo recibió en una carta de Schur [11]. Obviamente, Hardy ya creı́a por ese entonces que (p/(p − 1))p era la mejor constante, incluso si él no lo hubiera reclamado tan explı́citamente (Ver [8, p 154]). Una razón para que Schur resaltara seguramente esto en el misma artı́culo fue que era al menos cierto para p = 2. Hardy directamente no observó que la desigualdad (2-4) de su artı́culo en 1919 podı́a ser usada actualmente para derivarse de la desigualdad (1-1) para p = 2 con la mejor constante C = 4 y no se sabe ciertamente cuál fue el argumento de Schur, pero la información en la siguiente sección convence que aproximadamente citaba lo siguiente: Si cn = 1 − 2/(n + 1) y para m = 2, 3, ... si a1 = a2 = · · · = am = b1 , am+1 = am+2 = · · · = a2m = b2 , · · · , a(N −1)m+1 = a(N −1)m+2 = · · · = aN m = bN . Entonces de la desigualdad (2-4) con N m en lugar de N se obtiene 4m. N X. b2n. ≥ (c1 +· · ·+cm ). n=1. Donde Bn =. Pn. k=1 bk .. B1 1. 2. +(cm+1 +· · ·+c2m ). B2 2. 2. +· · ·+(c(N −1)m+1 +· · ·+cN m ). BN N. Dividiendo por m y dejando m → ∞, se encuentra que (c1 + c2 + · · · + cm )/m → 1, (cm+1 + cm+2 + · · · + c2m )/m → 1, .. .. En consecuencia, 2 N X Bn n=1. n. ≤4. N X. b2n ,. n=1. Lo cual, en particular, implica (1-1) para p = 2 con la mejor constante. Un elemento significativo en el artı́culo es la siguiente versión preliminar de (1-2) (Ver [5, p. 150]): R∞ Teorema 2.4.1. Si p > 1, a > 0, f (x) ≥ 0, y a f (x)p dx es convergente, entonces p p Z ∞ Z ∞ R x f (t)dt p a dx ≤ f (x)p dx. (2-6) x p − 1 a a Y la constante (p/(p − 1))p es la mejor.. 2 ,.
(25) 16. 2 Preliminares. Hardy no demostró la desigualdad (2-6) en el artı́culo de 1920. Sin embargo, señaló el hecho que se considerara la función f (x) = x−(1/p)− , donde es una constante positiva lo suficientemente pequeña, se sigue que la constante (p/(p − 1))p es la mejor. También pudo probar que, la mejor constante correspondiente en el caso discreto no puede ser estrictamente menor que (p/(p − 1))p , pero dudó por el momento de afirmar que (1-1) sea tenida en cuenta con la constante (p/(p − 1))p ..
(26) 3 Desigualdad de Hardy 3.1.. Una carta de Landau a Hardy. La carta [2] de Landau a Hardy data del 21 de Junio de 1921. Es sorprendente que esta carta fuése oficialmente publicada en [1] 5 años después que la carta de Laundau a Schur. La razón de éste largo retraso no es obvia, pero es claro que el contenido de la carta [2] es de mucho interés, para dar una demostración de (1-1) con la mejor constante (p/p − 1))p y éste no ha sido publicado antes de ese tiempo. El resultado principal demostrado en ésta carta es: P Teorema 3.1.1. Si p > 1, an ≥ 0, y An = nk=1 ak . Entonces p N X An n=1. n. ≤. p p−1. p X N. apn. (3-1). n=1. para todo N en N ó N = ∞. Además, la constante es la mejor para N = ∞. A (3-1) se le llama desigualdad de Hardy-Landau (Ver [16, p. 188]). Demostración. Para y ≥ 0 se tiene y p − py + p − 1 ≥ 0. Esto se conoce como la desigualdad de Bernoulli cuando se escribe en la forma y p ≥ 1 + p(y − 1). Usando ésta desigualdad elemental con y = y1 /y2 se encuentra que y1p − py1 y2p−1 + (p − 1)y2p ≥ 0. P Escribiendo y1 = bn y y2 = (p − 1)Bn /(pn), donde Bn = nk=1 bk , se obtiene p−1 p p − 1 Bn p − 1 Bn p bn − pbn + (p − 1) ≥ 0, p n p n p p Además, pbn Bnp−1 = pBnp−1 (Bnp − Bn−1 ) ≥ Bnp − Bn−1 , de dónde por sumas parciales N X n=1. pbn. Bn n. p−1 ≥ ≥. N X n=1 N X n=1. p (Bnp − Bn−1 ). Bnp. . 1 np−1. 1 np−1. 1 − (n + 1)p−1. ≥ (p − 1). N X n=1. Bnp. 1 . (n + 1)p.
(27) 18. 3 Desigualdad de Hardy. Combinando las dos desigualdades se encuentra que p N p N p N X p−1 X p p p−1 X Bn p−1 p bn ≥ Bn = cn , − p p p (n + 1) n p n n=1 n=1 n=1 donde cn = p(1 + n1 )−p − p + 1 → 1 cuando n → ∞. Se sigue que usando el argumento de la sección 2.4, poniendo b 1 = b 2 = · · · = b m = a1 ,. bm+1 = bm+2 = · · · = b2m = a2 , · · · ,. b(N −1)m+1 = b(N −1)m+2 = · · · = bN m = aN y reemplazando N con N m se concluye que p N p p−1 X p A1 m an ≥ (c1 + c2 + · · · + cm ) p 1 n=1 p A2 + (cm+1 + cm+2 + · · · + c2m ) 2 + · · · + (c(N −1)m+1 + c(N −1)m+2 + · · · + cN m ). AN N. p .. Dividiendo por m y dejando a m → ∞ se nota que (c1 + c2 + · · · + cm )/m → 1, (cm+1 + cm+2 + · · · + c2m )/m → 1, y asi sucesivamente, lo cual significa que (3-1) se tiene para todo N (sigue siendo válido cuando N → ∞). Para probar que (p/(p − 1))p es la mejor constante para N = ∞ se considera an = n−1/p− (0 < < 1 − 1/p). Para esta elección de an Z n n X −1/p− x−1/p− dx An = k > 1. k=1. =. p 1 (n1−1/p− − 1) > (n1−1/p− − 1), 1 − 1/p − p−1. Implica que . An n. p. p p p 1 −1−p > n 1 − 1−1/p− p−1 n p p p ≥ n−1−p 1 − 1−1/p− p−1 n p p (n−1−p − pn−2+1/p+−p ). = p−1 . Además p N X An n=1. n. > =. p p−1. p. N X. p p−1. p. n=1 N X n=1. apn − p. N X. 1. n=1. n2−1/p−+p !. apn − pCN, ,. !.
(28) 3.2 Artı́culo 4: Fecha 1925. 19. donde CN, → C cuando N → ∞ para cualquier > 0 porque 2 − 1/p − + p > 1. Entonces p N X An n=1 N X. . n. >. apn. p p−1. . p p p 1 − pCN, → , N p−1 X apn. n=1. n=1. P PN p −1−p ya que N → ∞ cuando N → ∞ y → 0+ . La fuerte aserción está de n=1 an = n=1 n este modo establecida. Tenga en cuenta que el cálculo anterior funciona cuando = 0. Observación. En su carta [2] Landau también menciona la igualdad en (3-1) (Consecuentemente, en la desigualdad discreta de Hardy (1-1)) ocurre sı́ y solo sı́ an = 0 para todo n. Observación. No es evidente como la carta [2] de Landau a Hardy (data del 21 de Junio de 1921) y el artı́culo [1] de Landau a Schur (data del 22 de Junio de 1921) están relacionadas, pero a juzgar por la información que Hardy proporcionó en [5] y la forma publicada que apareció en [1], deberı́a ser similar, por no decir lo mismo.. 3.2.. Artı́culo 4: Fecha 1925. En la introducción a [6] Hardy formuló primero el Teorema 2.4.1 y escribió lo siguiente: No doy una demostración, principalmente estoy ocupado con el teorema correspondiente para series infinitas, y no indico en que sentido se realizan las integraciones. Prof. E. Landau recientemente ha llamado mi atención a esta nota y doy aquı́ una demostración del teorema en una forma más precisa.. Más tarde en el artı́culo también añadió la siguiente información [4, p. 154]: En la carta [2] que data del 21 de Junio de 1921, Prof. E. Landau me comunicó una demostración directa de (1-1), la cual dá el valor exacto (p/(p − 1))p de la constante. También que si el teorema integral se extendió para el caso a = 0, entonces el teorema para series, con el valor exacto de la constante, debe deducirse a la vez tomado f (x) = a1 , 0 ≤ x < 1, f (x) = a2 , 1 ≤ x > 2, .... En efecto, se asume, sin pérdida de generalidad, que se está tratando con una función decreciente f o, de forma equivalente, una sucesión decreciente a1 ≥ a2 ≥ · · · y observando que la función Pn−1 Z ak + an (x − n + 1) 1 x f (t)dt = k=1 x 0 x.
(29) 20. 3 Desigualdad de Hardy. es decreciente en el intervalo [n − 1, n], se obtiene ∞ Pn X. k=1 ak n. n=1. p. !p a + a (x − n + 1) k n k=1 ≤ dx x n−1 n=1 p p Z ∞ Z ∞ Z x 1 p f (t)dt dx ≤ f (x)p dx = x p − 1 0 0 0 p X ∞ p = apn . p − 1 n=1 ∞ Z X. n. Pn−1. Hardy añadió un comentario sobre un artı́culo diferente [6, p.154]: En una carta más reciente (13 de Diciembre de 1924)[3], expuso como deducir el teorema integral para a = 0 a partir de a > 0 (por el método parecido al del Prof. Pólya) y ası́ se redujo el teorema de series poniendolo a depender de este último artı́culo.. Con ésta información en mente, Hardy formuló y probó su famosa desigualdad (1-2) en la siguiente forma: Teorema 3.2.1. Si p > 1 y si f (x) ≥ 0 es p-integrable sobre (0, ∞). Entonces F (x) = Rx f (t)dt < ∞ para todo x > 0 y 0 Z 0. ∞. . F (x) x. p. dx ≤. p p−1. p Z. ∞. f (x)p dx.. 0. Entonces (p/(p − 1))p es la mejor constante de acotación. Hardy subrayó en [6, p. 150] que si f (x) = 0 cuando x < a, entonces su versión previa en [4] (Teorema 2.4.1) se sigue del Teorema 3.2.1. La demostración original de Hardy contiene bastantes detalles técnicos y explicaciones, pero en una posdata a la demostración señala una simplificación esencial sugerida por Pólya. Se presentará aquı́ una demostración que sigue de cerca a las ideas originales de Hardy pero evita muchos detalles técnicos por la simplificación atractiva de Pólya. Demostración. Usando integración por partes y la identidad d/dx(F (x)p ) = pF (x)p−1 f (x), el cual se sostiene para casi todo x en (0, ∞), se obtiene para arbitrarios α y A con 0 < α < A < ∞: p Z A Z A 1 d F (x) dx = − F (x)p (x1−p )dx x p−1 α dx α Z A α1−p A1−p 1 d p p = F (α) − F (A) + x1−p (F (x)p )dx p−1 p−1 p−1 α dx p−1 Z A 1−p α p F (x) ≤ F (α)p + f (x)dx. p−1 p−1 α x.
(30) 3.3 Algunas contribuciones del artı́culo de 1925. 21. Además, invocando la versión continua de la desigualdad de Hölder (Teorema 2.0.2), se ve que p−1 1/p Z A p (p−1)/p Z A Z A F (x) F (x) p f (x) f (x)dx ≤ dx , x x α α α escogiendo β tal que α ≤ β ≤ A y aplicando las dos precedentes desigualdades a F (x)−F (α) en lugar de F (x), se encuentra que Z. ∞. α. . F (x) − F (α) x. p. p dx ≤ p−1 p ≤ p−1. A. . F (x) − F (α) x α Z A 1/p Z f (x)p Z. α. p−1 f (x)dx A. . α. F (x) − F (α) x. Por lo tanto Z. ∞. . α. F (x) − F (α) x. 1/p. p dx. p ≤ p−1. Z. A p. (p−1)/p. p dx. 1/p. f (x) α. y con mayor razón Z. ∞. β. . F (x) − F (α) x. 1/p. p dx. p ≤ p−1. Z. ∞ p. f (x). 1/p .. 0. En esta desigualdad, si α → 0+ entonces F (x) − F (α) incrementa a F (x). Para terminar la demostración, se deja a A → ∞ y β → 0+ . Observación. A Hardy ya le habı́a llamado la atención el rigor de la constante (p/(p − 1))p en su artı́culo de 1920. En ese artı́culo no decidió hacer mención como parte del teorema que él fijó, pero incluyó los detalles de la demostración del rigor (usando una forma modificada del ejemplo que habı́a considerado en el artı́culo de 1920).. 3.3.. Algunas contribuciones del artı́culo de 1925. Añadiendo al resultado principal (Teorema 3.2.1), el artı́culo de 1925 incluı́a un número de resultados interesantes que han ejercido una influencia significativa sobre la investigación relacionada a las desigualdades tipo Hardy. En particular, Hardy probó que la siguiente vaP riante de (1-1) sostiene incluso si la media aritmética estándar (1/n) nk=1 ak es reemplazada con una media aritmética general. Teorema 3.3.1. Suponga que an ≥ 0 y λn > 0, que An = λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an y P p Λn = λ1 + λ2 + · · · + λn para n = 1, 2, ..., y que ∞ n=1 λn an es convergente. Entonces ∞ X n=1. λn. An Λn. p. ≤. p p−1. p X ∞ n=1. λn apn .. (3-2).
(31) 22. 3 Desigualdad de Hardy. Hardy demostró éste teorema mediante la aplicación del Teorema 3.2.1 para funciones a trozos (Ver la observación de Landau que fué mencionado justo antes del Teorema 3.2.1). 1/p Hardy también notificó que si se reemplaza an con an en la desigualdad (3-2) y si p → ∞, entonces (p/(p − 1))p → e y ! 1/p 1/p 1/p p λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an lı́m = (aλ1 1 aλ2 2 · · · aλnn )1/Λn . p→∞ λ1 + λ2 + · · · + λn La escala de media de potencias decrece a la media geométrica. Por lo tanto Hardy llegó al siguiente resultado lı́mite de su Teorema 3.3.1: P Teorema 3.3.2. Si ∞ n=1 λn an es convergente, entonces ∞ X. λn (aλ1 1 aλ2 2. · · · aλnn )1/Λn. ≤e. n=1. ∞ X. λn an ,. (3-3). n=1. y la constante e es la mejor constante de acotación. En el caso estándar donde cada λn = 1, (3-3) se convierte en ∞ ∞ X X an , (a1 a2 · · · an )1/n ≤ e n=1. (3-4). n=1. el cual es el lı́mite de la desigualdad natural de (1-1). La desigualdad (3-4) fué probada primeramente por Carleman en 1922 (Ver [18]), de donde su nombre: La desigualdad de Carleman. Su desigualdad ha sido generalizada y aplicada en varias maneras y ésta tiene su propia historia interesante. la demostración original de Carleman, la cual fué bastante larga, invocó multiplicadores de Lagrange. Tuvo que ser una gran sorpresa para él al ver la simple demostración que se derivó de las desigualdades de Hardy. Sin duda se enteró rápidamente, porque Hardy estuvo comprometido en una colaboración con Carleman al mismo tiempo (Ver, por ejemplo, su artı́culo conjunto [19]). Realizando un proceso similar en (1-2) se obtiene la siguiente desigualdad: Z x Z ∞ Z ∞ 1 lnf (t)dt dx ≤ e f (x)dx, (3-5) exp x 0 0 0 donde f (x) es estrictamente positiva y medible en cada intervalo finito (0, ∞). Se debe mencionar que en el artı́culo original [6], la desigualdad (3-5) aparece sin la constante e y con exp f (x) en lugar de f (x). Hardy admitió que fue Pólya quién lo concientizó del argumento limitante que implicaba directamente las desigualdades (3-3), (3-4), y (3-5). Algunas veces (3-5) se denomina la desigualdad de Knoop, por la artı́culo de Knopp sobre los datos sujetos de 1928. El nombre desigualdad de Pólya-Knopp se ve ahora que ha ganado aceptación en la literatura (Ver [7.] y las referencias que este da)..
(32) 3.4 Demostraciones de Elliot e Ingham: La desigualdad de Copson. 3.4.. 23. Demostraciones de Elliot e Ingham: La desigualdad de Copson. En 1926 Elliot [8.] dió una simple y muy elegante demostración de (1-1): Si se establece αn = An /n y α0 = 0, entonces de la desigualdad del Teorema 2.0.1 se obtiene. Demostración. αnp −. p p αnp−1 an = αnp − [nαn − (n − 1)αn−1 ]αnp−1 p−1 p−1 np (n − 1)p p−1 p = αn 1 − + α αn−1 p−1 p−1 n (n − 1) np p p ≤ αn 1 − + [(p − 1)αnp + αn−1 ] p−1 p−1 1 p = [(n − 1)αn−1 − nαnp ]. p−1. Sumando de 1 a N da p N X An n=1. n. N. p X − p − 1 n=1. . An n. p−1 an ≤ −. p N αN ≤ 0, p−1. De la desigualdad del Teorema 2.0.2 se infiere que p N X An n=1. n. ≤. p p−1. p−1 N X An n=1. n. an ≤. p p−1. N X. !1/p apn. n=1. p N X An n=1. !1/p0. n. Dividiendo por el último factor da (1-1). Dos años después Grandjot [12.] derivó la identidad 2 2 N N N X X An A n an A2N X An An−1 −2 =− − (n − 1) − n n N n n−1 n=1 n=1 n=2 Observando que 2an An − n. . An n. 2. A2 A2 = n − n−1 + (n − 1) n n−1. . An An−1 − n n−1. 2. cuando n ≥ 2. Esto da lugar a otra demostración de (1-1) en el caso p = 2. Ingham también encontró una demostración simple de la desigualdad de Hardy en forma continua (Ver [10., p. 243]). Cabe resaltar el enunciado, si p > 1 y es f es una función p-integrable no negativa sobre (0, ∞), entonces f es integrable sobre el intervalo (0, x) para cada positivo x y p p Z ∞ Z ∞ Z x 1 p f (t)dt dx ≤ f (x)p dx. x 0 p−1 0 0.
(33) 24. 3 Desigualdad de Hardy. Ya que 1 Hf (x) = x. Z. 1/p Z H(f (x)) dx = ||Hf ||p = ||. 1. x. Z f (t)dt =. 0. 1. f (tx)dt, 0. Se sigue que; Z. ∞. p. f (tx)dt||p. 0. 0. Z. 1. Z. 1. Z. ||f (tx)||p dt =. ≤ 0. Z. 1. Z. ∞. f (s)p. = 0. 0. p = p−1. Z. ∞. ds t. ∞ p. f (tx) dx 0 1/p. 1/p dt Usando el Teorema 2.0.3. 0. dt. 1/p . f (s) ds p. 0. En 1927 Copson [7.] demostró el Teorema 3.3.1 adaptando la demostración de Elliot poniendo a jugar el dual de la desigualdad de Hardy, obtuvo un resultado conocido como La P p desigualdad de Copson: Si p > 1, an ≥ 0, λn > 0, y ∞ n=1 λn an es convergente, entonces !p ∞ ∞ ∞ X X X λk ak p λn ≤p λn apn , (3-6) Pk m=1 λm n=1 n=1 k=n y la constante pp es la mejor posible. La desigualdad de Copson en el caso donde λn = 1 para cada n afirma que !p ∞ ∞ ∞ X X X ak p ≤p apn (3-7) k n=1 n=1 k=n cuando p > 1 y que la constante pp es la de mejor constante. Hardy [5] habı́a declarado anteriormente una versión más débil de (3-7) en el caso p = 2, y por consiguiente (3-6) es algunas veces llamada la desigualdad Copson-Hardy. Hardy fué el primero en subrayar la dualidad entre (3-6) y (3-2)..
(34) 4 Conclusiones Usualmente los matemáticos presentan resultados de una forma clara y cuidadosa que son bien adecuadas para aplicaciones e investigaciones. No obstante, también son conocidos por su trabajo creativo, cuestionamiento, colaboración, y algunas veces incluso del fracaso, levantandose después de un duro proceso de llegada a los resultados y formulaciones finales. Mediante ésta comprensión ha sido claro que G. H. Hardy a) tiene buenos contactos con otros matemáticos que estuvieron interesados en el tema y quienes le suministraron información significativa en varias formas, b) tuvo un dominio en las partes importantes del desarrollo de su teorı́a, c) fué muy claro, sintetizando un conocimiento adquirido, de numerosos recursos y d) jugó un rol central en los desarrollo descritos en su trabajo. Los aportes generados por ésta desigualdad recalcan una importancia considerable para contribuciones que significaron un gran avance matemático tanto en el campo del análisis como en el de las ecuaciones diferenciales tales como: La función maximal de Hardy-Littlewood, el teorema de diferenciacón de Lebesgue, el teorema de Fatou, el teorema de diferenciación de Rademacher, entre otras..
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(36) Bibliografı́a [1] ——, A note on a theorem concerning series of positive terms: Extract from a letter of Prof. E. Landau to Prof. I. Schur,J. London Math. Soc.1 (1926) 38-39. [2] ——, Letter to G. H. Hardy, June 21, 1921. [3] ——, Letter to G. H. Hardy, December 13, 1924. [4] ——, Notes on a theorem of Hilbert, Math. Z. 6(1920) 314-317. [5] ——, Notes on some points in the integral calculus, LI. On Hilbert’s double-series theorem, and some connected theorems concerning the convergence of infinite series and integrals, Messenger of Math. 48(1919) 107-112. [6] ——, Notes on some points in the integral calculus, LX. An inequality between integrals, Messenger of Math. 54(1925) 150-156. [7] A. Kufner and L. E. Persson,Weighted Inequalities of Hardy Type, World Scientific, Singapore, 2003. [8] E. B. Elliott, A simple exposition of some recently proved facts as to convergency, J. London Math. Soc.1(1926)93-96. [9] G. Hardy, Notes on some points in the integral calculus, XLI. On the convergence of certain integrals and series, Messenger of Math. 45(1915) 163-166 [10] Hardy G.H, Littlewood J.E. y Pólya G.. Inequalities. Cambridge University Press. 1934. [11] I. Schur, Letter to G. H. Hardy, 1918 or 1919. [12] K.Grandjot, On some identities relating to Hardy’s convergence theorem, J. London Math. Soc. 3 (1928) 114-117. [13] Kufner Alois, Maligranda Lech y Persson Lars-Erik. The prehistory of the Hardy Inequality. The American Mathematical Monthly. Vol 113, pp 715-732. [14] Landau, Über einen Konvergenzsatz, Göttingen Nachr. (1907) 25-21..
(37) 28. Bibliografı́a. [15] L. Maligranda, Why Holder’s inequality should be called Rogers’ inequality, Math. Inequal. Appl. 1(1998)69-83. [16] M. Makarov, M. G. Goluzina, A. A. Lodkin, and A. N. Podkorytov, Selected Problems in Real Analysis, Transl, of Math. Monographs, American Mathematical Society, Providence, 1992. [17] Oleszkiewicz, K. (1993). An Elementary Proof of Hilbert’s Inequality. The American Mathematical Monthly, 100(3), 276-280. doi:10.2307/2324462 [18] T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, in Fifth Scandinavian Congress of Mathematicians(Helsinki, 1922), Akadem. Buchh., Helsinki, 1923, pp. 181-196. [19] T. Carleman and and G. H. Hardy, Fourier series and analytic functions, Proc. Royal Soc. A 101 (1922) 124-133..
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