PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE – 2012 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

SEPTIEMBRE – 2012

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.

OPCIÓN A

1º) a ) Calcule todas las matrices de dimensión 2x2 de la forma       − − = a c a A 2 1 que

sa-tisfagan A2+2A+3I =O, siendo I la matriz identidad. A continuación calcule la expre-sión de c en función de α.

b ) Demostrar que las matrices del apartado anterior son invertibles y calcular su matriz inversa. --- a )       + + + − − + =       + + + − − − − + =       − −       − − = c a a c c a a a c ac c ac a a c a a c a a c a A 4 4 2 2 4 4 2 2 2 1 · 2 1 2 2 2 2 2 . ; ; 0 0 0 0 1 0 0 1 · 3 2 1 · 2 4 4 2 2 3 2 2 2 2       =       +       − − +         + + + − − + ⇒ = + + a c a c a a c c a O I A A ; ; 0 0 0 0 3 0 0 3 2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2       =       +       − − +         + + + − − + a c a c a a c c a

(

2 3

)

0 3 2 0 0 0 0 3 2 0 0 3

2 2 2

2 2 + + − = ⇒ = + + + ⇒       =       + + + + + + a a c c a a c a a c a a .

Las matrices pedidas son de la forma: 

     − − − − − = a a a a A 2 3 2 1 2 . b )

(2)

R a A

a a a a a

a a

a

A =− − + + + = ⇒ ≠ ∀ ∈

− − − − −

= 2 2 3 3 0,

2 3 2

1 2 2

2 .

Las matrices A son inversibles para cualquier valor real de α, como se pedía demostrar.

Las matrices inversas son:

   

 

+ +

− −

− =

⇒    

 

+ +

− −

− = 

  

 

− −

− − −

= −

a a

a

a A

a a

a

a A

Adj a

a a a

AT T

3 2

1 2

· 3 1 3

2

1 2

. ; ; 2

1

3 2

2 1

2 2

.

(3)

2º) Demostrar que las rectas    = − − = + + ≡ 2 1 3 2 1 z y z y x

r y

   − = + − = + + ≡ 4 2 1 2 z x z y x

r se cortan y calcular

el punto de corte.

---

Las rectas r1 y r2 determinan el sistema

       − = + − = + + = − − = + + 4 2 1 2 1 3 2 z x z y x z y z y x .

Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

            − − − − =             − = 4 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 3 2 1 ' 1 0 2 1 1 1 1 1 0 3 2 1 M y M .

En función de los rangos de las matrices M y M’, la posición relativa de las dos rectas es la siguiente:

Rango M = Rango M’ = 2 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Son rectas coincidentes.

Rango M = 2 ;; Rango M’ = 3 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Son rectas paralelas.

Rango M = Rango M’ = 3 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Las rectas se cortan en un punto.

Rango M = 3 ;; Rango M’ = 4 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Las rectas se cruzan.

Rango de M’ =

− − − − − − − ⇒       − → − → ⇒ − − − − ⇒ 2 5 4 0 0 2 1 0 2 1 1 0 1 3 2 1 2 4 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 3 2 1 1 4 4 1 3 3 F F F F F F 3 ' 0 2 16 10 4 2 5 4 0 2 1 2 1 1 2 5 4 0 2 1 2 1 1 = ⇒ = + − + = − = − − − − − −

= Rango M .

Veamos ahora cuál es el rango de M:

{

}

1 2 3 1 3 0 3

1 1 1 1 1 0 3 2 1 , , 2 3

1 ⇒ − = − − + =− ≠ ⇒ =

F F F Rango M

M

Rango .

(4)

Para hallar el punto de corte, que es la solución del sistema que determinan las dos rectas; despreciando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, y resolviendo

por Cramer el sistema

    

− = +

− = + +

= −

4 2

1 2

z x

z y x

z y

:

3 5 3

5 1

2 2

1 4 4 2

1 0 2

1 1 1

1 1 0

1 0 4

1 1 1

1 1 2

− = − = − +

+ − − = − −

=

x .

3 4 3

2 2 4 4 3

1 4 2

1 1 1

1 2 0

= − − + = −

− −

=

y .

3 2 3

4 4 2 3

4 0 2

1 1 1

2 1 0

− = + − − = −

=

z .

   

 

− −

3 2 , 3 4 , 3 5

P es corte de punto

El .

(5)

3º) Sea α un valor estrictamente positivo. Consideramos la función polinómica

depen-diente de α:

( )

= 3+ +1

ax x x

f .

a ) Demostrar que la ecuación f(x) = 0 solo puede tener como máximo una solución.

b ) Demostrar que la solución del apartado anterior existe y está entre -1 y 0.

--- a )

La función f

( )

x =x3+ax+1, por ser polinómica es continua y derivable en todo su dominio, que es R.

Por otra parte, por ser α > 0, es '

( )

=3 2 + >0

a x x

f , lo que significa que f(x) es mo-nótona creciente y, en consecuencia, solo corta al eje X en un punto y explica que

La ecuación f(x) = 0 solo tiene una solución, como teníamos que demostrar.

b )

El teorema de Bolzano dice que “si una función f es continua en un intervalo ce-rrado [α, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al

menos un valor c

(

a, b

)

tal que f

( )

c =0”.

Teniendo en cuenta la continuidad de f(x) y que α > 0, aplicando el teorema de

Bolzano en su intervalo [-1, 0]:

( ) ( )

−1 = −13−a+1=−1−a+1=−a<0

f .

( )

0 =0+0+1=1>0

f .

Lo anterior prueba que f(x) tiene la solución en (-1, 0), como debíamos demostrar.

(6)

4º) Haced un dibujo del recinto limitado por la curva

( )

2 2 + =

x x x

f entre los valores x =-1,

x = 1 y el eje OX. Calcule el área de este recinto.

---

La función f(x) es continua y derivable en su dominio, que es D

( )

fR

{ }

−2 y pasa por el origen.

Los máximos y mínimos relativos son los siguientes:

( )

(

(

)

)

(

)

(

)

2

(

(

)

2

)

2

2 2 2

2 2

2 4

2 4

2 4 2

2

1 · 2 · 2 '

+ + = +

+ = +

− + = +

− + =

x x x

x x x

x

x x x

x

x x

x x

f .

( )

(

(

)

)

0 ;;

(

4

)

0 ;; 0 ;; 4 2

4 0

' + 2 = + = 1= 2 =−

+ ⇒

= x x x x

x x x x

f .

( ) (

) (

)

(

(

)

)

(

)

(

) (

(

)

)

(

)

= +

+ − + +

= +

+ +

− + +

= 2 4 3

2

4 2 2 · 4 2 2

1 · 2 · 2 · 4 2

· 4 2 ''

x

x x x

x x

x x

x x

x x f

(

x

)

(

x

)

f

( )

x

x x x

x x

'' 2

8

2

8 2 8 4 4 2

3 3

2 2

= + = +

− − + + +

= .

( ) ( )

1 0 . 0.

( )

0 0 .

( )

0, 0 8

8 2 0

8 0

'' 3 Mín para x f Mín O

f = = > ⇒ = = ⇒ →

+

= .

( ) (

) ( )

( ) ( )

− + =− ⇒

− = − − = ⇒

< − = − = − = + − =

− 8

2 4

4 4

. 4 .

0 1 8 8 2 8 2

4 8 4

''

2 3

3 Máx para x f

f

(

4, 8

)

.→ − −

Máx P .

Para que existan puntos de inflexión es condición necesaria que se anule la

se-gunda derivada y como es

( ) ( )

x R x

x

f ≠ ∀ ∈

+

= 0,

2 8

'' 3 , f(x) no tiene puntos de inflexión.

Las asíntotas de la función son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a valer infini-to; son de la forma y = k.

( )

=∞ ⇒

+ ∞ → = ∞ → = =

2

2

x x x

lím x

f x

lím k

y No tiene asíntotas horizontales.

(7)

Oblicuas: Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador; como en nuestro caso ocurre eso, tiene asíntotas oblicuas.

( )

m

x x

x x

lím x

x x

x lím x

x f x

lím

m = =

+ ∞ → = + ∞ → = ∞

= 1

2 2

2 2 2

.

( )

[

]

n

x x x

lím

x

x x x x

lím x

x x x

lím mx

x f x

lím

n =− =

+ − ∞ → = +

− − ∞ → =

   

 

− + ∞ → = − ∞

= 2

2 2 2

2 2

2 2 2

.

La recta y = x – 2 es asíntota oblicua de la función.

Con los datos anteriores puede hacerse una representación gráfica, aproximada, de la función, que es la siguiente:

Como se observa en la figura, en el intervalo (-1, 1) todas las ordenadas de la fun-ción son iguales o mayores que cero, por lo que el área pedida es la siguiente:

x

=

-2

2 2 + =

x x y

X Y

P y = x - 2

(8)

(

)(

)

=

  

 

+ + − = +

+ − + = +

+ − = +

=

− −

− −

1

1 1

1 1

1 2 1

1 2

· 2 4 2 ·

2 4 2 2 ·

2 4 4 ·

2 x dx x x dx

x x dx x

x dx x

x S

(

)

2 4 3 4 4

(

3 1

)

2 1 3 4 2 2 1 1 4 2 2 1 3 4 2 2 1 2

4 2 2

1

1 2

− =

− = − − + − =    

+ +

   

+ =

   

 

+ +

− =

L L

L L

L x

L x x

.

(

)

2 1 3

4 L u

S= −

(9)

OPCIÓN B

1º) Demostrar que los puntos P1(2, 1, 1), P2(5, 2, 1), P3(9, 1, 0) y P4(11, 4, 1) son copla-narios y calcular la ecuación del plano que los contiene.

---

Los puntos P1(2, 1, 1), P2(5, 2, 1), P3(9, 1, 0) y P4(11, 4, 1) determinan los si-guientes vectores:

(

5, 2,1

) (

2,1,1

) (

3,1, 0

)

1 2 2

1 = − = − =

=PP P P

u .

(

9, 1, 0

) (

2, 1, 1

) (

7, 0, 1

)

1 3 3

1 = − = − = −

=PP P P

v .

(

11, 4,1

) (

2, 1,1

) (

9, 3, 0

)

1 4 4

1 = − = − =

=PP P P

w .

Para que los puntos dados sean coplanarios el rango de los vectores

{

u, v, w

}

tiene que ser menor que tres, o sea, tiene que ser cero el valor del determinante que for-man:

{

}

0

{

3

}

{

, ,

}

2

0 3 9

1 0 7

0 1 3

,

, v w ⇒ − = ⇒ F3 = F1Rango u v w =

u

Rango .

Queda demostrado que los puntos P1, P2, P3 y P4 son coplanarios.

Los puntos P1, P2, P3 y P4 determinan el plano

(

)

0 ;;

1 0

7

0 1 3

1 1 2

, ;

1 =

− − − −

z y x

v u P

π

(

−2

) ( ) (

−7 −1 +3 −1

)

=0 ;; − +2−7 +7+3 −3=0

x z y x z y .

0 6 7

3 + − =

x y z

π

(10)

2º) Discuta el sistema de ecuaciones lineales      = − + = + + = + + 1 1 3 1 9 6 3 z y bx bz by x z y x

según los valores del

pará-metro b. Resuelva el sistema en el caso de que sea compatible indeterminado.

---

Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

          − =           − = 1 1 1 1 1 3 9 6 3 ' 1 1 3 9 6 3 b b b M y b b b M .

El rango de M en función del parámetro b es el siguiente:

; ; 0 15 2 ; ; 0 45 6 3 18 3 9 6 27 3 1 1 3 9 6 3 2 2 2

2 − − + =− − + = + − =

+ + − = −

= b b b b b b b b

b b b M 5 ; ; 3 2 8 2 2 64 2 2 60 4 2 2

1 = =−

⇒ ± − = ± − = + ± −

= b b

b . ado er Compatible incógnitas n M Rango M Rango b b

Para ' 3 º det min

5 3 ⇒ = = = ⇒       − ≠ ≠

{

3

}

' 2

1 1 1 1 1 3 3 3 3 9 6 3 '

3 ⇒ 1= 4 ⇒ =

          − = ⇒

= M C C Rango M

b Para . ado er in Compatible incógnitas n M Rango M Rango b

Para =3 ⇒ = '=2< º ⇒ det min

{

}

= − − ⇒ ⇒ ⇒           − − − − = ⇒ − = 1 1 5 1 5 3 1 6 3 , , ' 1 1 1 1 1 5 5 5 3 9 6 3 '

5 M Rango M C1 C2 C4

b Para 3 ' 0 28 61 33 18 3 25 30 3

15+ + − − − = − =− ≠ ⇒ =

= Rango M .

le Incompatib M Rango M Rango b

Para =−5 ⇒ =2 ;; '=3 ⇒

Resolvemos para b = 3. El sistema resulta

     = − + = + + = + + 1 3 1 3 3 3 1 9 6 3 z y x z y x z y x

, que es compatible

(11)

Despreciando una ecuación, por ejemplo la primera, y parametrizando una de las incógnitas, por ejemplo, z=λ, resulta:

; ; 1 3

; ; 2 ;

; 4 2 1

3

3 1 3 3 1

3

3 1 3 3

λ λ

λ λ

λ λ

λ = = + = +

   − − = − −

− = + 

  + = +

− = +

y x y

y y

x y x y

x y x

λ λ

λ λ

λ− = + + = + = +

+

= 3

1

; ; 3 1 2 1 1

3x y x .

R z

y x

Solución ∀ ∈

    

= − =

+ =

λ λ

λ λ

; 2 :

3 1

(12)

3º) Determine los máximos y mínimos de la función

( )

2 1 1 x x x x f + + + = . ---

La condición necesaria para que una función tenga un máximo o un mínimo rela-tivo es que se anule su primera derivada:

( )

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

2

)

2

(

(

2

)

)

2

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 · 1 ' x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f + + + − = + + − − = + + − − − − + + = + + + + − + + = .

( )

(

)

(

)

0 ;;

(

2

)

0 0 ;; 2

1

2 0

' 2 1 2

2 = − + = ⇒ = =−

+ +

+ − ⇒

= x x x x

x x x x x f .

Para diferenciar los máximos de los mínimos relativos se recurre a la segunda de-rivada; si es positiva para los valores que anulan la primera, se trata de un mínimo y si es negativa, de un máximo.

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

+ +

)

= + + + + + + + − − = 4 2 2 2 2 1 2 1 · 1 2 · 2 1 · 2 2 '' x x x x x x x x x x x f

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

+ +

)

(

)

= + + + + − − − − − − = + + + + + + + − −

= 2 3

2 2 3 2 3 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 · 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

(

)

(

)

(

(

)

)

f

( )

x

x x x x x x x x x x x x x x x '' 1 1 3 2 1 2 6 1 8 4 2 2 2 4 4 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 = + + − = + + − = + + + + + + − − − − = .

( )

=

( )

( )

− = − =−2<0 ⇒ 1 2 1 1 · 2 0 '' 3

f Máximo relativo par x = 0.

( )

1 :

( )

0, 1 1

1

0 Máximo relativo A

f = = ⇒ .

( )

[

( )

]

( )

[

]

(

(

+

)

)

= > ⇒

− = − + − − − = − 0 3 30 4 1 1 16 2 2 2 1 1 2 · 3 2 2

'' 3 3 3

2 2

f Mínimo relativo para x = -2.

( )

( )

3 1 4 1 1 2 2 1 2 1

2 2 =−

(13)

4º) Calcule la siguiente integral indefinida:

+

= dx

x

I ·

4 2

1

2 .

---

⇒     

    

= =

+

     

=

   

 

+ =

+

=

dt dx

t x

dx x

dx x

dx x

I

2 2 ·

1 2

1 ·

4 1 · 1 2 4

1 ·

4 2

1

2 2

2

C x tag arc C

t tag arc dx

t dx

t

I = + = +

+ =

+ =

2 ·

4 2 ·

4 2 ·

1 1 · 4

2 ·

2 · 1 1 · 4 1

2

2 .

C x tag arc dx

x

I = +

+ =

2 ·

4 2 ·

4 2

1 2

Figure

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