I
I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE BALEARES
SEPTIEMBRE – 2012
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
OPCIÓN A
1º) a ) Calcule todas las matrices de dimensión 2x2 de la forma − − = a c a A 2 1 que
sa-tisfagan A2+2A+3I =O, siendo I la matriz identidad. A continuación calcule la expre-sión de c en función de α.
b ) Demostrar que las matrices del apartado anterior son invertibles y calcular su matriz inversa. --- a ) + + + − − + = + + + − − − − + = − − − − = c a a c c a a a c ac c ac a a c a a c a a c a A 4 4 2 2 4 4 2 2 2 1 · 2 1 2 2 2 2 2 . ; ; 0 0 0 0 1 0 0 1 · 3 2 1 · 2 4 4 2 2 3 2 2 2 2 = + − − + + + + − − + ⇒ = + + a c a c a a c c a O I A A ; ; 0 0 0 0 3 0 0 3 2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 = + − − + + + + − − + a c a c a a c c a
(
2 3)
0 3 2 0 0 0 0 3 2 0 0 3
2 2 2
2 2 + + − = ⇒ = + + + ⇒ = + + + + + + a a c c a a c a a c a a .
Las matrices pedidas son de la forma:
− − − − − = a a a a A 2 3 2 1 2 . b )
R a A
a a a a a
a a
a
A =− − + + + = ⇒ ≠ ∀ ∈
− − − − −
= 2 2 3 3 0,
2 3 2
1 2 2
2 .
Las matrices A son inversibles para cualquier valor real de α, como se pedía demostrar.
Las matrices inversas son:
+ +
− −
− =
⇒
+ +
− −
− =
− −
− − −
= −
a a
a
a A
a a
a
a A
Adj a
a a a
AT T
3 2
1 2
· 3 1 3
2
1 2
. ; ; 2
1
3 2
2 1
2 2
.
2º) Demostrar que las rectas = − − = + + ≡ 2 1 3 2 1 z y z y x
r y
− = + − = + + ≡ 4 2 1 2 z x z y x
r se cortan y calcular
el punto de corte.
---
Las rectas r1 y r2 determinan el sistema
− = + − = + + = − − = + + 4 2 1 2 1 3 2 z x z y x z y z y x .
Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:
− − − − = − = 4 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 3 2 1 ' 1 0 2 1 1 1 1 1 0 3 2 1 M y M .
En función de los rangos de las matrices M y M’, la posición relativa de las dos rectas es la siguiente:
Rango M = Rango M’ = 2 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Son rectas coincidentes.
Rango M = 2 ;; Rango M’ = 3 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Son rectas paralelas.
Rango M = Rango M’ = 3 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Las rectas se cortan en un punto.
Rango M = 3 ;; Rango M’ = 4 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Las rectas se cruzan.
Rango de M’ =
− − − − − − − ⇒ − → − → ⇒ − − − − ⇒ 2 5 4 0 0 2 1 0 2 1 1 0 1 3 2 1 2 4 1 0 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 3 2 1 1 4 4 1 3 3 F F F F F F 3 ' 0 2 16 10 4 2 5 4 0 2 1 2 1 1 2 5 4 0 2 1 2 1 1 = ⇒ = + − + = − = − − − − − −
= Rango M .
Veamos ahora cuál es el rango de M:
{
}
1 2 3 1 3 0 31 1 1 1 1 0 3 2 1 , , 2 3
1 ⇒ − = − − + =− ≠ ⇒ =
⇒ F F F Rango M
M
Rango .
Para hallar el punto de corte, que es la solución del sistema que determinan las dos rectas; despreciando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, y resolviendo
por Cramer el sistema
− = +
− = + +
= −
4 2
1 2
z x
z y x
z y
:
3 5 3
5 1
2 2
1 4 4 2
1 0 2
1 1 1
1 1 0
1 0 4
1 1 1
1 1 2
− = − = − +
+ − − = − −
−
−
=
x .
3 4 3
2 2 4 4 3
1 4 2
1 1 1
1 2 0
= − − + = −
− −
=
y .
3 2 3
4 4 2 3
4 0 2
1 1 1
2 1 0
− = + − − = −
−
=
z .
− −
3 2 , 3 4 , 3 5
P es corte de punto
El .
3º) Sea α un valor estrictamente positivo. Consideramos la función polinómica
depen-diente de α:
( )
= 3+ +1ax x x
f .
a ) Demostrar que la ecuación f(x) = 0 solo puede tener como máximo una solución.
b ) Demostrar que la solución del apartado anterior existe y está entre -1 y 0.
--- a )
La función f
( )
x =x3+ax+1, por ser polinómica es continua y derivable en todo su dominio, que es R.Por otra parte, por ser α > 0, es '
( )
=3 2 + >0a x x
f , lo que significa que f(x) es mo-nótona creciente y, en consecuencia, solo corta al eje X en un punto y explica que
La ecuación f(x) = 0 solo tiene una solución, como teníamos que demostrar.
b )
El teorema de Bolzano dice que “si una función f es continua en un intervalo ce-rrado [α, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al
menos un valor c∈
(
a, b)
tal que f( )
c =0”.Teniendo en cuenta la continuidad de f(x) y que α > 0, aplicando el teorema de
Bolzano en su intervalo [-1, 0]:
( ) ( )
−1 = −13−a+1=−1−a+1=−a<0f .
( )
0 =0+0+1=1>0f .
Lo anterior prueba que f(x) tiene la solución en (-1, 0), como debíamos demostrar.
4º) Haced un dibujo del recinto limitado por la curva
( )
2 2 + =
x x x
f entre los valores x =-1,
x = 1 y el eje OX. Calcule el área de este recinto.
---
La función f(x) es continua y derivable en su dominio, que es D
( )
f ⇒R−{ }
−2 y pasa por el origen.Los máximos y mínimos relativos son los siguientes:
( )
(
(
)
)
(
)
(
)
2(
(
)
2)
22 2 2
2 2
2 4
2 4
2 4 2
2
1 · 2 · 2 '
+ + = +
+ = +
− + = +
− + =
x x x
x x x
x
x x x
x
x x
x x
f .
( )
(
(
)
)
0 ;;(
4)
0 ;; 0 ;; 4 24 0
' + 2 = + = 1= 2 =−
+ ⇒
= x x x x
x x x x
f .
( ) (
) (
)
(
(
)
)
(
)
(
) (
(
)
)
(
)
= ++ − + +
= +
+ +
− + +
= 2 4 3
2
4 2 2 · 4 2 2
1 · 2 · 2 · 4 2
· 4 2 ''
x
x x x
x x
x x
x x
x x f
(
x)
(
x)
f( )
xx x x
x x
'' 2
8
2
8 2 8 4 4 2
3 3
2 2
= + = +
− − + + +
= .
( ) ( )
1 0 . 0.( )
0 0 .( )
0, 0 88 2 0
8 0
'' 3 Mín para x f Mín O
f = = > ⇒ = = ⇒ →
+
= .
( ) (
) ( )
( ) ( )
− + =− ⇒− = − − = ⇒
< − = − = − = + − =
− 8
2 4
4 4
. 4 .
0 1 8 8 2 8 2
4 8 4
''
2 3
3 Máx para x f
f
(
4, 8)
.→ − −
⇒ Máx P .
Para que existan puntos de inflexión es condición necesaria que se anule la
se-gunda derivada y como es
( ) ( )
x R xx
f ≠ ∀ ∈
+
= 0,
2 8
'' 3 , f(x) no tiene puntos de inflexión.
Las asíntotas de la función son las siguientes:
Horizontales: son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a valer infini-to; son de la forma y = k.
( )
=∞ ⇒+ ∞ → = ∞ → = =
2
2
x x x
lím x
f x
lím k
y No tiene asíntotas horizontales.
Oblicuas: Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador; como en nuestro caso ocurre eso, tiene asíntotas oblicuas.
( )
mx x
x x
lím x
x x
x lím x
x f x
lím
m = =
+ ∞ → = + ∞ → = ∞
→
= 1
2 2
2 2 2
.
( )
[
]
nx x x
lím
x
x x x x
lím x
x x x
lím mx
x f x
lím
n =− =
+ − ∞ → = +
− − ∞ → =
− + ∞ → = − ∞
→
= 2
2 2 2
2 2
2 2 2
.
La recta y = x – 2 es asíntota oblicua de la función.
Con los datos anteriores puede hacerse una representación gráfica, aproximada, de la función, que es la siguiente:
Como se observa en la figura, en el intervalo (-1, 1) todas las ordenadas de la fun-ción son iguales o mayores que cero, por lo que el área pedida es la siguiente:
x
=
-2
2 2 + =
x x y
X Y
P y = x - 2
(
)(
)
=
+ + − = +
+ − + = +
+ − = +
=
∫
∫
∫
∫
− −
− −
1
1 1
1 1
1 2 1
1 2
· 2 4 2 ·
2 4 2 2 ·
2 4 4 ·
2 x dx x x dx
x x dx x
x dx x
x S
(
)
2 4 3 4 4(
3 1)
2 1 3 4 2 2 1 1 4 2 2 1 3 4 2 2 1 2
4 2 2
1
1 2
− =
− = − − + − =
+ + −
− + =
+ +
− =
−
L L
L L
L x
L x x
.
(
)
2 1 34 L u
S= −
OPCIÓN B
1º) Demostrar que los puntos P1(2, 1, 1), P2(5, 2, 1), P3(9, 1, 0) y P4(11, 4, 1) son copla-narios y calcular la ecuación del plano que los contiene.
---
Los puntos P1(2, 1, 1), P2(5, 2, 1), P3(9, 1, 0) y P4(11, 4, 1) determinan los si-guientes vectores:
(
5, 2,1) (
2,1,1) (
3,1, 0)
1 2 2
1 = − = − =
=PP P P
u .
(
9, 1, 0) (
2, 1, 1) (
7, 0, 1)
1 3 3
1 = − = − = −
=PP P P
v .
(
11, 4,1) (
2, 1,1) (
9, 3, 0)
1 4 4
1 = − = − =
=PP P P
w .
Para que los puntos dados sean coplanarios el rango de los vectores
{
u, v, w}
tiene que ser menor que tres, o sea, tiene que ser cero el valor del determinante que for-man:
{
}
0{
3}
{
, ,}
20 3 9
1 0 7
0 1 3
,
, v w ⇒ − = ⇒ F3 = F1 ⇒ Rango u v w =
u
Rango .
Queda demostrado que los puntos P1, P2, P3 y P4 son coplanarios.
Los puntos P1, P2, P3 y P4 determinan el plano
(
)
0 ;;1 0
7
0 1 3
1 1 2
, ;
1 =
− − − −
≡
z y x
v u P
π
(
−2) ( ) (
−7 −1 +3 −1)
=0 ;; − +2−7 +7+3 −3=0− x z y x z y .
0 6 7
3 + − =
−
≡x y z
π
2º) Discuta el sistema de ecuaciones lineales = − + = + + = + + 1 1 3 1 9 6 3 z y bx bz by x z y x
según los valores del
pará-metro b. Resuelva el sistema en el caso de que sea compatible indeterminado.
---
Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:
− = − = 1 1 1 1 1 3 9 6 3 ' 1 1 3 9 6 3 b b b M y b b b M .
El rango de M en función del parámetro b es el siguiente:
; ; 0 15 2 ; ; 0 45 6 3 18 3 9 6 27 3 1 1 3 9 6 3 2 2 2
2 − − + =− − + = + − =
+ + − = −
= b b b b b b b b
b b b M 5 ; ; 3 2 8 2 2 64 2 2 60 4 2 2
1 = =−
⇒ ± − = ± − = + ± −
= b b
b . ado er Compatible incógnitas n M Rango M Rango b b
Para ' 3 º det min
5 3 ⇒ = = = ⇒ − ≠ ≠
{
3}
' 21 1 1 1 1 3 3 3 3 9 6 3 '
3 ⇒ 1= 4 ⇒ =
− = ⇒
= M C C Rango M
b Para . ado er in Compatible incógnitas n M Rango M Rango b
Para =3 ⇒ = '=2< º ⇒ det min
{
}
= − − ⇒ ⇒ ⇒ − − − − = ⇒ − = 1 1 5 1 5 3 1 6 3 , , ' 1 1 1 1 1 5 5 5 3 9 6 3 '5 M Rango M C1 C2 C4
b Para 3 ' 0 28 61 33 18 3 25 30 3
15+ + − − − = − =− ≠ ⇒ =
−
= Rango M .
le Incompatib M Rango M Rango b
Para =−5 ⇒ =2 ;; '=3 ⇒
Resolvemos para b = 3. El sistema resulta
= − + = + + = + + 1 3 1 3 3 3 1 9 6 3 z y x z y x z y x
, que es compatible
Despreciando una ecuación, por ejemplo la primera, y parametrizando una de las incógnitas, por ejemplo, z=λ, resulta:
; ; 1 3
; ; 2 ;
; 4 2 1
3
3 1 3 3 1
3
3 1 3 3
λ λ
λ λ
λ λ
λ ⇒ =− =− + = +
− − = − −
− = +
+ = +
− = +
y x y
y y
x y x y
x y x
λ λ
λ λ
λ− = + + = + = +
+
= 3
1
; ; 3 1 2 1 1
3x y x .
R z
y x
Solución ∀ ∈
= − =
+ =
λ λ
λ λ
; 2 :
3 1
3º) Determine los máximos y mínimos de la función
( )
2 1 1 x x x x f + + + = . ---La condición necesaria para que una función tenga un máximo o un mínimo rela-tivo es que se anule su primera derivada:
( )
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
2)
2(
(
2)
)
22 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 · 1 ' x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f + + + − = + + − − = + + − − − − + + = + + + + − + + = .
( )
(
)
(
)
0 ;;(
2)
0 0 ;; 21
2 0
' 2 1 2
2 = − + = ⇒ = =−
+ +
+ − ⇒
= x x x x
x x x x x f .
Para diferenciar los máximos de los mínimos relativos se recurre a la segunda de-rivada; si es positiva para los valores que anulan la primera, se trata de un mínimo y si es negativa, de un máximo.
( ) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
+ +)
= + + + + + + + − − = 4 2 2 2 2 1 2 1 · 1 2 · 2 1 · 2 2 '' x x x x x x x x x x x f(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
+ +)
(
)
= + + + + − − − − − − = + + + + + + + − −= 2 3
2 2 3 2 3 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 · 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
(
)
(
)
(
(
)
)
f( )
xx x x x x x x x x x x x x x x '' 1 1 3 2 1 2 6 1 8 4 2 2 2 4 4 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 = + + − = + + − = + + + + + + − − − − = .
( )
=( )
( )
− = − =−2<0 ⇒ 1 2 1 1 · 2 0 '' 3f Máximo relativo par x = 0.
( )
1 :( )
0, 1 11
0 Máximo relativo A
f = = ⇒ .
( )
[
( )
]
( )
[
]
(
−(
+)
)
= > ⇒− = − + − − − = − 0 3 30 4 1 1 16 2 2 2 1 1 2 · 3 2 2
'' 3 3 3
2 2
f Mínimo relativo para x = -2.
( )
( )
3 1 4 1 1 2 2 1 2 12 2 =−
4º) Calcule la siguiente integral indefinida:
∫
+= dx
x
I ·
4 2
1
2 .
---
⇒
= =
⇒
+
=
+ =
+
=
∫
∫
∫
dt dx
t x
dx x
dx x
dx x
I
2 2 ·
1 2
1 ·
4 1 · 1 2 4
1 ·
4 2
1
2 2
2
C x tag arc C
t tag arc dx
t dx
t
I = + = +
+ =
+ =
⇒
∫
∫
2 ·
4 2 ·
4 2 ·
1 1 · 4
2 ·
2 · 1 1 · 4 1
2
2 .
C x tag arc dx
x
I = +
+ =
∫
2 ·
4 2 ·
4 2
1 2