I.E.S. “CASTELAR” BADAJOZ I.E.S. “CASTELAR” BADAJOZ
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
SEPTIEMBRE - 1999
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo de ellos una sola de las dos opciones, A o B. Debe expresarse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.
BLOQUE 1
1-A) Sea la función . Se pide:
a ) Determinar los máximos y mínimos relativos de f(x) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b ) Calcular los valores máximo y mínimo que toma la función f(x) en el intervalo .
---a )
Para que una función tenga un máximo o un mínimo relativo es condición necesaria que se anule su primera derivada:
. Para diferenciar los máximos de los mínimos relativos se recurre a la segunda derivada: si es positiva para los valores que anulan la primera, se trata de un mínimo relativo y, si es negativa, de un máximo.
.
.
.
Teniendo en cuenta que la función es continua en su dominio, que es R, para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento tenemos en cuenta los puntos máximo y mínimo ya determinados.
b )
Nótese que las abscisas de los puntos máximo y mínimo relativo pertenecen al
intervalo .
, por ser f(x) creciente en , lo que implica que el punto
mínimo del intervalo se produce para x = 0 o bien para , que es la abscisa del punto mínimo relativo de la función.
Siendo f(0) = -4, basta comparar este valor con la ordenada del mínimo:
Teniendo en cuenta que y que f(x) es creciente en , el punto
máximo del intervalo se produce para f(3): .
1-B) Si y :
a ) Dibujar las dos gráficas en un mismo plano y calcular sus puntos de intersección.
b ) Determinar el área del recinto encerrado entre ambas gráficas.
---a )
La función puede redefinirse de la forma: .
El dominio de f(x) es y el dominio de g(x) es R.
Los puntos de corte se encuentran en las soluciones de las ecuaciones que se obtienen al igualar las funciones en sus dominio de definición.
.
.
La representación gráfica de la situación es, aproximadamente, la que indica la figura adjunta.
b )
De la observación de la figura se deduce el área a calcular, que es la siguiente: Y O
S
2 2 X B Ag(x) = | x – 1|
.
BLOQUE 2
2-A) Se considera el sistema de ecuaciones :
a ) Resolver el sistema S.
b ) Añadir al sistema S una ecuación de la forma y discutir el sistema obtenido según los valores de α.
c ) Añadir al sistema S una ecuación de forma que se obtenga un sistema compatible determinado con solución (2, -1, -3).
---a )
La matriz de coeficientes del sistema es , cuyo rango, igual que el de la matriz ampliada, es dos. Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado y cuyas soluciones son las siguientes:
.
b )
El sistema resulta . Las matrices de
coeficientes y ampliada son las siguientes: .
El rango de la matriz de coeficientes es el siguiente:
Rango M = 2.
El rango de la matriz de coeficientes en función de α es el siguiente:
c )
Dando por supuesto que la solución dada satisface al sistema , basta con añadir una ecuación que satisfaga a las soluciones dadas (2, -1, -3); por ejemplo, la ecuación .
El sistema pedido es, por ejemplo: .
2-B) a ) Si A es una matriz regular de orden n y existe una matriz B tal que
, probar que .
b ) Si , determinar una matriz B, distinta de O, tal que .
---a )
Multiplicando por la izquierda y por la derecha cada uno de los sumandos de la
expresión por :
, como teníamos que probar.
b )
Sea la matriz pedida .
Sería: .
.
A modo de comprobación: sea :
.
BLOQUE 3
3-A) Dadas las rectas y :
a ) Averiguar si existe algún valor de α para el cual las rectas están contenidas en un plano. En caso afirmativo, calcular la ecuación de dicho plano.
b ) Determinar, cuando sea posible, los valores de α para los cuales las rectas son paralelas y los valores de α para los que las rectas se cruzan.
---a )
Para que las rectas r y s estén en un mismo plano tienen que ser paralelas o tienen que cortarse en un punto.
Para determinar un punto y un vector de las rectas se expresan mediante ecuaciones paramétricas:
.
Un punto de r es A(0, 2, 1) y un vector director .
.
Un punto de s es B(1-4α, 0, -4) y un vector director .
Para que las rectas r y s sean paralelas tienen que ser linealmente dependientes sus vectores directores, es decir: tienen que tener proporcionales sus componentes:
Las rectas r y s no pueden ser paralelas.
Según lo dicho con anterioridad, las rectas r y s tienen que ser secantes, es decir: tienen que tener un punto en común, que tiene que ser la solución del sistema de ecuaciones lineales que forman las ecuaciones de las dos rectas dadas por ecuaciones implícitas, que tiene que ser compatible determinado, lo que implica que el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada tienen que ser iguales a tres. Para que el rango de la matriz ampliada sea tres, tiene que ser cero el valor de su determinante.
Las rectas forman el sistema , cuya
.
Las rectas r y s están contenidas en el mismo plano cuando α = 1.
Resolvemos para α = 1 el sistema .
.
El punto de corte de las rectas r y s es P(3, 3, 2).
El plano π que contiene a r y s tiene la siguiente expresión general:
.
b )
Como se ha probado en el apartado anterior:
Las rectas r y s no pueden ser paralelas para ningún valor real de α.
3-B) Se consideran los puntos P(2, 1, -1), Q(1, 4, 1) y R(1, 3, 1).
a ) Comprobar que no están alineados y hallar el área del triángulo que determinan.
b ) Si desde el punto A(1, 1, -1) se trazan rectas a cada uno de los puntos P, Q y R, se obtiene una pirámide. Hallar la altura de dicha pirámide y su volumen.
---a )
Los puntos P(2, 1, -1), Q(1, 4, 1) y R(1, 3, 1) determinan los vectores:
.
.
Los vectores y son linealmente independientes
por no ser proporcionales sus componentes y, en consecuencia:
El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo que determinan los vectores . Debe saberse que el área del paralelogramo es igual que el módulo del producto vectorial de los vectores que lo determinan, por lo tanto:
.
b )
Los puntos P, Q y R determinan el plano
.
La altura de la pirámide es la distancia del punto A al plano π. La distancia de un
punto a un plano viene dada por la fórmula .
Aplicando la fórmula al punto A(1, 1, -1) y al plano :
.
