Integración básica - Ejercicios resueltos
4.6
-1
Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas:
) ) ) ) ) ) )
2
4
2
3 2
2
2 2 1
5
3
3
5 5
4 9 9
x
a x dx
b dx
x
x x
c dx
x
d e senx dx
e x dx
f dx
x
g dx
x
Solución
) 2 2 2
3 2 3
2
2 4 4 4 4
4 4 2 4
3 2 3
a x dx x x dx x dx xdx dx
x x x
x C x x C
)
3 4
4 3
1 1 1
3 3
x
b dx x dx C C
x x
)
ln
2
2
5 1 5 5 1
5 2
x x
c dx x dx xdx dx dx
x x x
x
x x C
) 3 x 3 x 3 x cos
d e senx dx e dx senxdx e x C
)
5 3
3 2 2 3 3 5 3 33 5 3 3 2
5 3 5 5 5
x
e x dx x dx C x C x C x x C
) 23 3 21 3
5 5 5 1 5
f dx dx arctagx C
x x
) 2 2
2
4 4 1 4 1 2
9 9 9 1 9 1 3
g dx dx dx arcsenx C
4.6
-2
Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de variable apropiado:
) )
cos )
) )
ln ) )
cos
2
3
4
4
2 1
2 3 2 1
x x
tagx
a x x dx
senx
b dx
x x
c dx
x
d e e dx
x
e dx
x x
f dx
x e
g dx
x
Solución
)
5 2 3 2
1 2 1 2 3 2 1 2
5 2 3 2
5 2 3 2
1
1 1
5 2 3 2
2 2 2 1 2 1
5 3 5 3
t x
a x x dx t tdt t tdt tdt
dt dx
t t
t t dt t dt t dt t dt C
t t C x x C
cos
)
cos
cos
1 2 1 2
1 2
1 2
1
2 2 2
1 2
senx t x dt
b dx dt t dt
dt senxdx t
x t
t
C t C t C x C
) ln ln
3 2
3
3 2
2 1 1 1
2
2 3 3 3 3
x t x dt
c dx t C x C
x dt x dx t
)
5 5
4 3 4 3
3
5 5
x x
x x
x
e
t e t
d e e dx t dt C C
dt e dx
)
2
2
4 2
2 1
1 2 1
x t x
e dx dt arctagt C arctag x C
x dt xdx t
ln ln
ln)
2 2
1 2 2
t x
x
x t
f dx tdt C C
x dt dx
x
) cos
cos
2
2 1
tagx t t tagx
t tagx e
g dx e dt e C e C
x dt dx
4.6
-3
Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de integración por partes:
) ln
) ln
) ) ) ) )
2
2
x x
x
a xdx
b x xdx
c xe dx
d x e dx
e arcsenxdx
f e senxdx
g x senxdx
Solución
ln
) ln ln ln
ln
dx
u x du dx
a xdx x x x x x x dx
x
dv dx v x
x x x C
ln
) ln ln
ln ln ln
2
2 2
2 2 2 2 2
1
2 2
2
1 1
2 2 2 2 2 2 4
dx
u x du
x dx
x
b x xdx x x
x x
dv xdx v
x x x x x
x xdx x C x C
) x x x x x
x x
u x du dx
c xe dx xe e dx xe e C
dv e dx v e
)
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
u x du xdx
d x e dx x e xe dx
dv e dx v e
u x du dx
x e xe e dx
dv e dx v e
) 2
2
2 1 2
2
1 2 1 2
1 2
2 2
1
1
1 1
2
1 1
2 2 1 2
1 1
dx
u arcsenx du x
e arcsenxdx x xarcsenx dx
x
dv dx v x
t x
xarcsenx x x dx
dt xdx
t
xarcsenx t dt xarcsenx C
xarcsenx x C xarcsenx x C
) cos cos
cos
cos cos
cos cos
2
2
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x
u e du e dx
f e senxdx e x e xdx
dv senxdx v x
u e du e dx
dv xdx v senx
e x e senx e senxdx
e senxdx e x e senx
e senx x
e senxdx C
) cos cos
cos
cos cos
cos cos
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
u x du xdx
g x senxdx x x x xdx
dv senxdx v x
u x du dx
dv xdx v senx
x x xsenx senxdx
4.6
-4
Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales:
) ) ) ) ) ) )
x
a dx
x x x
x
b dx
x x x
c dx
x x x
x x
d dx
x
x x
e dx
x x
x x
f dx
x x
x x x
g dx
x
2
3 2
2
3 2
3 2
2
2
2
3 2
2
2
4 3 2
1 2
1
6 12 8
4
5 7 3
3 2
9 8 4
2 1
8 16
3 2 1
5
Solución
)
2
3 2 2
3 2
1
2 2 1 2
2
x
a dx x x x x x x x x x
x x x
2
3 2
1
2 1 2
x A B C
x x x x x x
2 1 1 2 2 1
x A x x Bx x Cx x
: : :
0 1 2 1 2
1 2 3 2 3
2 5 6 5 6
x A A
x B B
x C C
ln ln ln
2
3 2
1 1 2 5
2 2 3 1 6 2
1 2 1 5 2
2 3 6
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x x x C
)
2
3
3 2
3 2
1 6 12 8 2
6 12 8
x
b dx x x x x
x x x
2
3 2 3
1
2
2 2 2
x A B C
x
x x x
2
2 1 2 2 2 4 4 2
: : :
2
1
0
1 1
0 4 4
1 4 2 5
x A A
x A B B
x A B C C
ln
2
2 3
3 2
2
1 4 5
6 12 8 2 2 2
4 5
2
2 2 2
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x C
x x
)
c dx x x x x x
x x x
3 2 23 2
4 5 7 3 1 3
5 7 3
A B C
x x
x 2 x x 2
4
1 3
1 3 1
A x x B x C x
2
4 1 3 3 1
: : :
x B A
x C B
x A B C C
1 4 2 1
3 4 4 2
0 4 3 3 1
ln ln
dx dx dx
dx
x x x x x x
x x C
x
3 2
2
4 2
5 7 3 1 1 3
2
1 3
1
) x x
d dx x x x x
x
2 2 22
3 2
3 2 1 9 3 11
9
x x x
dx dx dx x x x
x x
2
22 2
3 2 3 11 9 3 3
9 9
x A B
x x x
2
3 11
9 3 3 3x11 A x
3
B x
3
: :
x A A
x B B
3 2 6 1 3
3 20 6 10 3
ln ln
x x x dx dx
dx dx dx x
x x x x
x x x C
2 2
2
3 2 3 11 1 10
9 9 3 3 3 3
1 3 10 3
) x x
e dx x x x x
x x
2 3 2 23 2
8 4 4
4
x x A B C
x x x x x
2
3 2 2
8
4 4
x2 x 8 Ax x4 B x4 Cx2 Ax24AxBx4BCx2
: : :
x A C A
x A B B
x B C
2
1
0
1 1 4
1 4 2
8 4 3 4
ln ln
x x
dx dx dx dx
x x x x x
x x C
x
23 2
2
8 1 1 2 1 3 1
4 4 4 4
1 2 3 4
4 4
) x x
f dx x x x x x
x x
2 2 22
2 1 2 1 2 8 16 17 31
8 16
x x x
dx dx dx x x x
x x x x
2
2 22 2
2 1 2 17 31 8 16 4
8 16 8 16
x A B
x
x x
2 2
17 31
4
4 4 17x31A x
4
B: :
A
x A
B
x A B
1
0
17 17
37 31 4
ln
x x
dx dx dx dx
x x x x
x x C
x
2 2
22 1 2 17 1 37 1
8 16 4 4
37
2 17 4
4
) x x x
g dx
x
4 3 3 52 2 1
x43x32x2 1 x32x28x40 x 5 201
ln
x x x
dx x x x dx dx
x x
x x x
x x C
4 3 2
3 2
4 3 2
3 2 1 2 8 40 201
5 5
2 8 40 201 5