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Integración básica - Ejercicios resueltos

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Academic year: 2018

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(1)

Integración básica - Ejercicios resueltos

4.6

-1

Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas:

 

) ) ) ) ) ) )

2

4

2

3 2

2

2 2 1

5

3

3

5 5

4 9 9

x

a x dx

b dx

x

x x

c dx

x

d e senx dx

e x dx

f dx

x

g dx

x

Solución

 

   

       

) 2 2 2

3 2 3

2

2 4 4 4 4

4 4 2 4

3 2 3

a x dx x x dx x dx xdx dx

x x x

x C x x C

 

     

)

3 4

4 3

1 1 1

3 3

x

b dx x dx C C

x x

   

 

 

   

)

ln

2

2

5 1 5 5 1

5 2

x x

c dx x dx xdx dx dx

x x x

x

x x C

    

) 3 x 3 x 3 x cos

d e senx dx e dx senxdx e x C

        

)

5 3

3 2 2 3 3 5 3 33 5 3 3 2

5 3 5 5 5

x

e x dx x dx C x C x C x x C

  

 

) 23 3 21 3

5 5 5 1 5

f dx dx arctagx C

x x

   

 

) 2 2

2

4 4 1 4 1 2

9 9 9 1 9 1 3

g dx dx dx arcsenx C

(2)

4.6

-2

Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de variable apropiado:

 

) )

cos )

) )

ln ) )

cos

2

3

4

4

2 1

2 3 2 1

x x

tagx

a x x dx

senx

b dx

x x

c dx

x

d e e dx

x

e dx

x x

f dx

x e

g dx

x

Solución

 

 

      

 

        

       

)

5 2 3 2

1 2 1 2 3 2 1 2

5 2 3 2

5 2 3 2

1

1 1

5 2 3 2

2 2 2 1 2 1

5 3 5 3

t x

a x x dx t tdt t tdt tdt

dt dx

t t

t t dt t dt t dt t dt C

t t C x x C

  

       

 

           

cos

)

cos

cos

1 2 1 2

1 2

1 2

1

2 2 2

1 2

senx t x dt

b dx dt t dt

dt senxdx t

x t

t

C t C t C x C

   

      

) ln ln

3 2

3

3 2

2 1 1 1

2

2 3 3 3 3

x t x dt

c dx t C x C

x dt x dx t

      

 

)

5 5

4 3 4 3

3

5 5

x x

x x

x

e

t e t

d e e dx t dt C C

dt e dx

 

  

    

)

2

2

4 2

2 1

1 2 1

x t x

e dx dt arctagt C arctag x C

x dt xdx t

 

 

    

 

 

ln ln

ln

)

2 2

1 2 2

t x

x

x t

f dx tdt C C

x dt dx

x

 

 

    

 

 

) cos

cos

2

2 1

tagx t t tagx

t tagx e

g dx e dt e C e C

x dt dx

(3)

4.6

-3

Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de integración por partes:

) ln

) ln

) ) ) ) )

2

2

x x

x

a xdx

b x xdx

c xe dx

d x e dx

e arcsenxdx

f e senxdx

g x senxdx

Solución

 

    

 

  

ln

) ln ln ln

ln

dx

u x du dx

a xdx x x x x x x dx

x

dv dx v x

x x x C

 

 

   

 

 

       

ln

) ln ln

ln ln ln

2

2 2

2 2 2 2 2

1

2 2

2

1 1

2 2 2 2 2 2 4

dx

u x du

x dx

x

b x xdx x x

x x

dv xdx v

x x x x x

x xdx x C x C

  

 

    

  

 

) x x x x x

x x

u x du dx

c xe dx xe e dx xe e C

dv e dx v e

    

  

  

 

  

 

 

  

 

      

)

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2 2 2

x x x

x x

x x x

x x

x x x x x x

u x du xdx

d x e dx x e xe dx

dv e dx v e

u x du dx

x e xe e dx

dv e dx v e

(4)

 

  

 

   

   

 

 

     

       

) 2

2

2 1 2

2

1 2 1 2

1 2

2 2

1

1

1 1

2

1 1

2 2 1 2

1 1

dx

u arcsenx du x

e arcsenxdx x xarcsenx dx

x

dv dx v x

t x

xarcsenx x x dx

dt xdx

t

xarcsenx t dt xarcsenx C

xarcsenx x C xarcsenx x C

    

   

   

 

    

  

 

   

   

  

) cos cos

cos

cos cos

cos cos

2

2

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x

u e du e dx

f e senxdx e x e xdx

dv senxdx v x

u e du e dx

dv xdx v senx

e x e senx e senxdx

e senxdx e x e senx

e senx x

e senxdx C

    

   

   

 

  

 

  

 

    

    

) cos cos

cos

cos cos

cos cos

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

u x du xdx

g x senxdx x x x xdx

dv senxdx v x

u x du dx

dv xdx v senx

x x xsenx senxdx

(5)

4.6

-4

Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales:

) ) ) ) ) ) )

x

a dx

x x x

x

b dx

x x x

c dx

x x x

x x

d dx

x

x x

e dx

x x

x x

f dx

x x

x x x

g dx

x

  

  

  

    

    

  

2

3 2

2

3 2

3 2

2

2

2

3 2

2

2

4 3 2

1 2

1

6 12 8

4

5 7 3

3 2

9 8 4

2 1

8 16

3 2 1

5

Solución



        

 

)

2

3 2 2

3 2

1

2 2 1 2

2

x

a dx x x x x x x x x x

x x x

   

2

3 2

1

2 1 2

x A B C

x x x x x x



       

2 1 1 2 2 1

x A x x Bx x Cx x

      

   

  

: : :

0 1 2 1 2

1 2 3 2 3

2 5 6 5 6

x A A

x B B

x C C

 

   

      

ln ln ln

2

3 2

1 1 2 5

2 2 3 1 6 2

1 2 1 5 2

2 3 6

x dx dx dx

dx

x x x x x x

x x x C

 

  

)

2

3

3 2

3 2

1 6 12 8 2

6 12 8

x

b dx x x x x

x x x

 

  

  

2

3 2 3

1

2

2 2 2

x A B C

x

x x x

   2        

2 1 2 2 2 4 4 2

(6)

 

    

  

: : :

2

1

0

1 1

0 4 4

1 4 2 5

x A A

x A B B

x A B C C

   

    

ln

2

2 3

3 2

2

1 4 5

6 12 8 2 2 2

4 5

2

2 2 2

x dx dx dx

dx

x x x x x x

x C

x x

 

)

c dx x x x x x

xxx       

3 2 2

3 2

4 5 7 3 1 3

5 7 3

 

A B C

x x

x 2 x    x 2  

4

1 3

1 3 1



A x x B x C x

       2

4 1 3 3 1

: : :

x B A

x C B

x A B C C

     

    

   

1 4 2 1

3 4 4 2

0 4 3 3 1

ln ln

dx dx dx

dx

x x x x x x

x x C

x

    

   

      

3 2

2

4 2

5 7 3 1 1 3

2

1 3

1

) x x

d dx x x x x

x

 

         

2 2 2

2

3 2

3 2 1 9 3 11

9



x x x

dx dx dx x x x

x x

     

 

2

2

2 2

3 2 3 11 9 3 3

9 9

x A B

x x x

 

 

  

2

3 11

9 3 3  3x11 A x

 3

B x

3

: :

x A A

x B B

  

     

3 2 6 1 3

3 20 6 10 3

ln ln

x x x dx dx

dx dx dx x

x x x x

x x x C

   

     

   

     

2 2

2

3 2 3 11 1 10

9 9 3 3 3 3

1 3 10 3

(7)

) x x

e dx x x x x

x x

 

   

2 3 2 2

3 2

8 4 4

4

x x A B C

x x x x x

 

 

2

3 2 2

8

4 4

x2  x 8 Ax x4 B x4 Cx2 Ax24AxBx4BCx2

: : :

x A C A

x A B B

x B C

  

     

  

2

1

0

1 1 4

1 4 2

8 4 3 4

ln ln

x x

dx dx dx dx

x x x x x

x x C

x

 

 

    

23 2

2

8 1 1 2 1 3 1

4 4 4 4

1 2 3 4

4 4

) x x

f dx x x x x x

x x

       

 

2 2 2

2

2 1 2 1 2 8 16 17 31

8 16

x x x

dx dx dx x x x

x x x x

   

      

   

2

2 2

2 2

2 1 2 17 31 8 16 4

8 16 8 16

x A B

x

x x

 

 2  2

17 31

4

4 4  17x31A x

4

B

: :

A

x A

B

x A B

  

 

     

1

0

17 17

37 31 4

ln

x x

dx dx dx dx

x x x x

x x C

x

 

  

    

2 2

2

2 1 2 17 1 37 1

8 16 4 4

37

2 17 4

4

) x x x

g dx

x

  

4 3 3 52 2 1

x43x32x2 1 x32x28x40  x 5 201

ln

x x x

dx x x x dx dx

x x

x x x

x x C

  

 

      

4 3 2

3 2

4 3 2

3 2 1 2 8 40 201

5 5

2 8 40 201 5

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