SEMANA 9
TEORÍA DE LOS NÚMEROS
NÚMEROS PRIMOS
1. Sea A=32000...00( )6 n cifras
Calcule “n” si A tiene 444 divisores compuestos.
A) 13 B) 11 C) 12 D) 15 E) 16
RESOLUCIÓN
( ) n n
A
=
32
6×
6
=
20
×
6
n n
A=22×5×2 ×3
5 3 2 2× ×
= n+ n
A
( )A
CD = 444+4
no compuestos ( )A
CD =448
( )A
(
)
CD = n+ × +3 (n 1) (1 1)+ =448
( )A
(
)
(
)(
)
CD = +n 3 (n 1)+ =224= 13 3 13 1+ + ∴n = 13
RPTA.: A
2. En el número N =30a, la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores compuestos de N.
A) 23 B) 22 C) 21 D) 32 E) 14
RESOLUCIÓN
a a a
N =2 ×3 ×5
a 1 a a
N =2(2 − ×3 ×5 )
+ +
−
−
−
= ×
×
×
=
º
a a 1 a 1
N,2
2
1 3
1 5
1
SD
2
2418
1
2
4
Divisores 2 º
(
)(
)(
)
º
a a 1 a 1 N,2
SD 2 1 3+ 1 5+ 1 3 26 124
= − − − = × ×
Sólo cumple para a = 2 2
2 2
5 3 2 × ×
=
N
( )
= × × =CD N 3 3 3 27
Divisores compuestos de N: 27 – 4 = 23
RPTA.: A
3. Si: M=20 30xi x 2+ ; tiene 48 divisores positivos múltiplos de 5 y además impares. Halle “x”
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
x x 2
M =20 30i +
2x x x 2 x 2 x 2
M =2 i5 2i + ×3 + ×5 + 2
2 2 2 3
5 3
2 + × + × +
= x x x
M
[
2 2 1]
3 2 2 53
5 + × + × +
= x x x
M
Divisores impares 0 5
(
)(
)
= = + +
0
5 impares
CD 48 x 3 2x 2
(
)(
)
= = + +
0
5 impares
CD 24 x 3 x 1
(
)(
)
= × = + +
0
5 impares
CD 6 4 3 3 3 1
x =3
RPTA.: C
4. Halle un número divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores.
A) 552 B) 576 C) 522 D) 288 E) 342
RESOLUCIÓN
0
x y
M = abc = =6 2 ×3
= = ×
(M)
CD 21 7 3
Solo cumple: x = 6; y =2
6 2
M =2 ×3 = 64 9× =576
5. Si N =2 .5 .3α β tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cúbicos de N.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
N =2 .5 .3α β
.
(
)
(
)
0
1
15
N 3 5 2 5= × αi β− →CD = α + β =1 16
.
(
)
0(
)
2 2 1
20
N 2 5 2= i α− i5β−i3 →CD = α− β =1 i2 16
De donde α =3 4
β =
Luego:
( ) ( )
1 13 4 3 3
N =2 i 5 3i = 2 i 5 i 5 3i
(
)(
)
cubi cos
CD
=
1 1 1 1
+
+
=
4
RPTA.: D
6. Halle cuántos números de la forma
abab
existen, tales que poseen 6 divisores.A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
RESOLUCIÓN
Efectuando la descomposición polinómica se obtendrá:
N = abab =101 ab Además:
(
) (
)
N
CD = 1 1 2 1+ + Como 101 es primo
⇒ ab = primo² Solo cumple: ab = 5² ó 7²
⇒ Hay 2 números
RPTA.: E
7. Si a2×b3 posee 35 divisores y
(
)
na b× posee p9 divisores; halle (n + p)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10
RESOLUCIÓN
2 3
N = a ×b →35 divisores
Como:
35
= × =
5
7
(
4 1 6 1
+
)(
+
)
Dando forma N=
( ) ( )
x2 2 y2 3 =x y4 6i
Donde: a = x² ; b = y²
(
)
n(
2 2)
n 2n 2na b× = x yi = x iy
Posee:
(
2n+1 2n)(
+1)
= p9(
)
22n+1 =p9 = 49 2n 1+ =7 ⇒n =3
p = 4 piden: n+ =p 7
RPTA.: C
8. Sea N = 128 ab, determine (a + b) si la suma de divisores de N,
es los 28 85
de N (a y b primos).
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
RESOLUCIÓN
7
N = 2 a bi i ; aplicando el método y simplificando
(
)
(
)(
)
= 8 − + + =
N
SD 2 1 a 1 b 1
(
7)
585 17 5
2 ab 2 ab
28 = 7
i
i i
⇒
7 255 a 1 b 1
(
+
)(
+
)
=
17 5 2 ab
5i
i
i
⇒ a y b son 3 y 7
⇒ a b+ =10
RPTA.: A
9. Halle el promedio aritmético de los divisores del número 360.
RESOLUCIÓN
3 2 1
360 =2 ×3 ×5
Calcule de la suma de divisores de 360:
( )
4 3 2
360
2
1
3
1
5
1
SD
1170
2 1
3 1
5 1
−
−
−
=
×
×
=
−
−
−
(360)
(
)(
)(
)
CD = 3 1 2+ +1 1 1+ = 24
Promedio aritmético = 1170 24
Divisores
PA = 48,75
RPTA.: B
10. Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32!?
A) 33 n
28 B)
31 n 27
C) 32n
27 D) 32
n 25
E) 33n 31
RESOLUCIÓN
26
31!
31! = 2 iN →CD =27n=n
divisiones sucesivas para obtener la descomposición del primo 2 en 31!
( )
3132!
32!
=
31! 32
=
2 N
→
CD
=
32n
( )
3132!
32n
32!
31! 32
2 N
CD
27
=
=
→
=
RPTA.: C
11. Un número tiene 24 divisores y el triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos divisores tiene el triple del cuadrado del mismo?
A) 80 B) 90 C) 100 D) 120 E) 140
RESOLUCIÓN
El número entero considerado admite como factor primo a tres:
a p p
N
N
=
3
i
m
i
n ....
⇒
C D
=
(
a 1 p 1 q 1 ....
+
)(
+
)(
+
)
=
24
...(1)(a 1) p q
3
×
N
=
3
+i
m
i
n ....
N CD
⇒ =
(
a 2 p 1 q 1 ... 30
+
)(
+
)(
+
)
=
...(2)De (1) y (2), a =3 Reemplazando en (1) p = 1, q = 2
3 1 2
N =3 i m i n ⇒3N2 =3 m n7 2 4
i i
(
)(
)(
)
2
3N
CD
=
7 1 2 1 4 1
+
+
+
=
120
2
3N
CD =120
RPTA.: D
12. En el número 226800, ¿determine cuántos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 ó 9?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
RESOLUCIÓN
4 4 2 1
226 800 = 2 3 5 7i i i
(
)(
)(
)(
)
226800
CD
=
4 1 4 1 2 1 1 1
+
+
+
+
=
150
(
)(
)(
)(
)
0
2
CD
=
3
+
1 4
+
1 2
+
1 1 1
+
=
120
(
)(
)(
)(
)
0
5
CD
=
4
+
1 4
+
1 1 1 1 1
+
+
=
100
(
)(
)(
)(
)
0
10
CD
=
3
+
1 4
+
1 1
+
1 1
+
1
=
80
CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 =
10
0 0 0
10 5
2 800
226 =
+ −
− CD CD CD
CD
∴ Son 10 divisores
RPTA.: C
13. Si el número. M =10 15xi 2y; tiene el quintuple del número de divisores de
x 2y
P =3 i 6 y este tiene 3 divisores más que R =32xi 7y. Halle (x + y).
RESOLUCIÓN
x 2y x x 2y 2y
M
=
10
i
15
=
2 5 3
i
i
i
5
=
x 2y 2y x
2 3i i 5 +
x 2y x 2y 2y x 2y 2y
P
=
3 6
i
=
3 2
i
i
3
=
3
+i
5
2x y
R =3 i7
Cd (M)
=
5 Cd(P)
(
x 1 2y 1 2y x 1
+
)(
+
)(
+ + =
)
5 x 2y 1 2y 1
(
+ +
)(
+
)
x + 1 = 5; x =4Cd(P)
=
Cd(R) 3
+
(
x 2y 1 2y 1
+
+
)(
+ =
) (
x 1 y 1
+
)(
+ +
)
3
(
5
+
2y 2y
)(
+
1
)
=
9 y
(
+
1
)
+
3
y = 1x + y = 5
RPTA.: A
14. Determine la suma de las cifras del menor número tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su número de divisores; y si su cuadrado tiene 21 divisores.
A) 5 B) 13 C) 9 D) 10 E) 12
RESOLUCIÓN
2 x y
M = a × b ; a y b primos 2
Cd(M )= 21= ×7 3 = (x + 1)(y+1) x = 6; y = 2
Extraigo su raíz cuadrada.
3 1
M = a × b →Cd(M)= × =4 2 8
3 3 3
8M
=
2
×
M
=
2
×
a
× →
b
Cd(8M)
=
32
32 = 4 x 4 x 2 (cumple).Luego M no contiene potencia de 2 a, b mínimos
3 1
M =3 × 5
M =27 × =5 135 1 + 3 + 5 = 9
RPTA.: C
15. Sabiendo que 35n tiene
a4
divisores. ¿Cuántos divisores tendrán a
E =33 −33 ?
A) 238 B) 272 C) 298 D) 294 E) 296
RESOLUCIÓN
n n n
N = 35 =5 7i
( )N
(
) (
)
CD
=
n
+
1
×
n
+
1
=
a4
=
64
( )N
(
)
CD = n +1 = 8 ⇒n = 7
a = 6
7 7 6 6
E =3 × 11 −3 ×11
6 6 6 6 5
E 3= ×11 (3×11 1) 3− = ×11 ×2
(
)(
)(
)
=
+
+
+
=
CD(E)
6
1 6
1 5
1
294
RPTA.: D
16. Se tiene un número divisible por 15, el cual posee tres divisores simples y además sabemos que cuando se multiplica por 27, el número de sus divisores se duplica y cuando se multiplica por 625 su cantidad de divisores se triplica. Determinar la suma de cifras de dicho número.
A) 9 B) 18 C) 27 D) 36 E) 15
RESOLUCIÓN
0 0
N =15= ×3 5
=
simples
CD (N) 3 ; CDprimos (N) = 2
a b
N = 3 × 5
a 3 b
27 Ni =3 + ×5
a b 4
625 N× =3 ×5 +
(
a 1 b
+
)(
+ ×
1
)
2
=
(
a
+
4 b
)(
+
2
)
a = 2
(
a
+
1
)( )
b
+
1
x
3
=
(
a
+
1
)(
b
+
5
)
b =12
N =3 × =5 45 4 + 5 = 9
RPTA.: A
17. Si: 210n 1− tiene ab 0 divisores compuestos. Halle el valor de (a + b + n);
RESOLUCIÓN
(impuestos)
=
CD
ab0
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
210− =2 − × 3 − ×5− ×7− CDcompuestos = ab0 y CDnocompuestos = 5
4
CD
=
n
=
abo
+
5
4n
=
ab5
=
625
n = 5 a = 6 b = 2 a + b + n = 13
RPTA.: D
18. Se tiene un número “W” cuya taba de divisores es una matriz 3 x 3; si se observa que el producto de los divisores que componen una de las diagonales es 9261. Halle la suma de cifras de “W”.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
9261 = 33 . 73
Luego los factores de W son 3 y 7
2 2
W = 441 =3 ×7 4 + 4 + 1 = 9
RPTA.: E
19. La suma de los divisores del número
3a 1 a
6 + × 8 es 17 veces la suma de los divisores del número 8a ×33a 1+ . Calcule a.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
3a 1 a 6a 1 3a 1
N = 6 + × 8 =2 + × 3 +
6a 2 3a 2
N
2 1 3 1
SD
2 1 3 1
+ − + −
= ×
− −
3a 3a 1
M =2 × 3 +
2a 1 3a 2
M
2 1 3 1
SD
2 1 3 1
+ − + −
= ×
− −
Luego: SDN = 17SDM
6a 2 3a 2 3a 1 3a 2
2 1 3 1 2 1 3 1
x 17
1 2 1 2
+ − + − + − + −
= × ×
(
23a 1+ −1 3)(
3a 1+ +1)
=17×(
23a 1+ −1)
3a 1 3a 1 4
2 + + =1 17⇒2 + =16 = 2 a = 1
RPTA.: A
20. Si los números enteros P y Q son los menores posibles que tienen los mismos divisores primos, si se cumple que P tiene 35 divisores y Q tiene 39 divisores, determinar ¿cuántos divisores compuestos tendrá (P x Q)?
A) 74 B) 90 C) 120 D) 125 E) 130
RESOLUCIÓN
Como P y Q son los menores números enteros, se cumplirá que:
(
)(
)
6 4P
CD
=
35
=
6 1 4 1
+
+
⇒
P
=
2
×
3
(
)(
)
12 2Q
CD
=
39
=
12 1 2 1
+
+
⇒
Q 2
=
×
3
(
P x q
)
=
2
18×
3
6(P Q)
(
)(
)
CD × = 18+1 6+1 =133
CD compuestos =130
RPTA.: E
21. Si
aaa
posee 8 divisores pero al restarle “a” unidades el número de sus divisores se duplica. Halle la cantidad de divisores de(
a 1 a 1+)(
+)
.A) 24 B) 12 C) 90 D) 8 E) 16
RESOLUCIÓN
aaa = ×3 37 × a
8 divisores 2
a=2 ó 5 ó 7 ó 3
Restándole “a” unidades aao = ×2 5 ×11 a×
16 divisores de los valores anteriores
se pide (a 1) a 1+
(
+ =)
88 2= ×3 11( )N
(
)(
)
CD = 3+1 1+1 = 8
RPTA.: D
22. Sea N =
(
a 1−)
a×ab 1+ ×ba, dondeD.C
N tiene 108 divisores compuestos. Calcule la suma de los divisores cuadrados perfectos de
cd
siimpares cd =(CD de
( )600
N) (CD
+
de N).A) 32 B) 48 C) 85 D) 56 E) 68
RESOLUCIÓN
( )N = C + P +
CD CD CD 1
( )N = + + =
CD 108 3 1 112
( )N
(
)(
)(
)
CD = a+1 b +2 a+1 =112
( ) =
(
+) (
+)
= × = ×2 2
N
CD a 1 b 2 16 7 4 7
De donde a = 3 b =5
3 6 3
N = 2 × 3 ×5
(
)
01 5 2
N,60
N 60 2 3
5
CD
2 6 3 36
=
× ×
⇒
= × × =
(
)
= 3 6 3 ⇒ = × =
IMPARES
N 2 3 x 5 CD 7 4 28
= + =
cd 36 28 64
Suma de divisores cuadrados perfectos de 64:
1 + 4 + 16 + 64 = 85
RPTA.: C
23. Halle la suma de cifras del número N = 32 ab sabiendo que a y b son primos absolutos y la suma de los divisores de N es el triple de N.
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
RESOLUCIÓN
5 N = 2 a bi i
⇒ SDN =3N
(
26 −1 a 1 b)
(
+)(
+1)
= 3 2 ab5i i
(
)(
)
57 3 a 1 b
i
+
+
1
=
2 ab
⇒
a y b son7y3
⇒
a
=
7
b
=
3
⇒ N = 672
⇒
∑
CIFRAS=
15
RPTA.: E
24. Halle ( a +b ) si:
ab
tiene 12 divisores yab
2 tiene 33 divisores.A) 12 B) 15 C) 14 D) 13 E) 18
RESOLUCIÓN
Se verifica =
ab
CD 12 = (5+1) (1 +1) =
2
ab
CD 33 = (2.5 + 1)(2.1+1) Luego: ab =25 i3 1
Son los únicos números que cumplen:
Luego ab = 96
⇒ a + b = 9 + 6 = 15