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UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Junio 2011

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(1)

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID

PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)

FÍSICA

Junio 2011

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN.

La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas. El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable.

CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas' que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos.

TIEMPO: Una hora treinta minutos.

OPCIÓN A

Cuestión 1.- Un satélite que gira con la velocidad angular de la tierra (geoestacionario) de masa m = 5×103

kg, describe una órbita circular de radio r = 3,6×107

m. Determine: a) La velocidad areolar del satélite.

b) Suponiendo que el satélite describe una órbita en el plano ecuatorial de la tierra, determine el módulo, la dirección y el sentido del momento angular respecto de los polos de la Tierra.

Dato: Periodo de rotación terrestre= 24 h Solución.

ACLARACIONES PREVIAS: En el enunciado del problema no coincide el dato del radio de la orbita del

satélite con su condición de geoestacionario (R(Geoestacionario) = 4,23×107 m). A un radio de 3,6×107 m le corresponde un periodo de 18 horas 53 minutos aproximadamente. Tampoco aparece entre los datos del enunciado el radio de la tierra, imprescindible para calcular la distancia del satélite al Polo.

En nuestra opinión, el alumno debe usar el dato del radio terrestre que dan en el problema 1b, y no cuestionar la viabilidad de los datos del enunciado, utilizándolos sin ningún problema.

a. Velocidad areolar ≡ área barrida por el radiovector en la unidad de tiempo.

dt s d va

r r

=

Para una órbita circular, será el área barrida en un ciclo completo dividida por el período:

(

)

s m 10 71 , 4 3600 24

10 6 , 3

π

T R

π

T A

V 10 2

2 7 ORB

2

a = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= =

b. Momento angular respecto de los Polos:

v m r Lr=r× ⋅r

  

≡ ≡

lineal velocidad v

Polo al satélite del distancia r

(2)

El valor de r se obtiene del triángulo rectángulo que forman el radio de la Tierra (RT), el radio de la

órbita (RO) y el radiovector (r).

(

6,37 10

) (

3,6 10

)

3,65 10 m r

R R

r2 = T2+ O2 ⇒ = ⋅ 2 2+ ⋅ 7 2 = ⋅ 7

La velocidad del satélite se calcula a partir del periodo orbital y el radio de la órbita.

s m 2620 10

6 , 3 3600 24

π

2 R

T

π

2 R w

v O O ⋅ ⋅ 7 =

⋅ = =

⋅ =

Sustituyendo en la expresión se obtiene el modulo del momento angular

1 2 14 7

s m kg 10 78 , 4 2620 5000 10 65 , 3

L= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ −

La dirección será perpendicular al plano determinan rr y vr, siendo α el ángulo que formará la dirección de Lr con el eje de la Tierra.

0 7

6

O

T 10

10 6 , 3

10 37 , 6 arctg

α

R R

α

tg =

⋅ ⋅ =

⇒ =

El sentido lo marca la regla del sacacorchos.

Cuestión 2.- Una onda transversal de amplitud A = 5 cm que se propaga por un medio material tarda 2 s en recorrer una distancia de 50 cm, y sus puntos más próximos de igual fase distan entre si 25 cm. Determine:

a) la expresión matemática de la función de onda si en el instante t = 0, la elongación es el origen, x = 0, es nula.

b) La aceleración de un punto de la onda situado en x = 25 cm, en el instante t = 1 s. Solución.

a. Tomando como positivo el sentido de desplazamiento de la onda:

( )

x,t Asen

(

ω t k x φo

)

f

y= = − +

• Amplitud: A = 5×10‒2

m

• ϕo (desfase inicial): Para t = 0, x = 0 ⇒ y = 0

( )

0,0 Asen

(

ω 0 k 0 φ

)

0 f

y= = ⋅ − ⋅ + o = ;

  

= = =

rad

π φ

rad 0

φ

: 0

φ

sen

o o o

• Número de ondas (k): número de longitudes de onda que hay en una distancia 2π. Entre dos puntos en igual fase, es decir, con igual elongación, velocidad y aceleración, la distancia mínima entre ellos es la longitud de onda (λ).

m rad

π

8 10 25

π

2

λ π

2 k

2 =

× =

=

• Velocidad angular (ω): se puede obtener de su relación con el numero de ondas.

k v

ω

: v

ω

k :

ω π

2 v

π

2 k T

v

π

2 k : T v

λ λ

π

2

k ω

π

2 T

⋅ = =

⋅ =   →  ⋅ =    

⋅ =

= =

s rad

π

2 m rad

π

8 s 2

m 10 50

ω

2

= ⋅

×

= −

Sustituyendo los datos en la expresión, se obtiene la ecuación de la onda.

( )

x,t 5 10 sen

(

2π t 8π x

)

f

(3)

b. Por definición, la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto al tiempo.

( )

x,t Asen

(

ω t k x φo

)

y = − +

( )

x,t Aωcos

(

ω t k x φo

)

y′ = − +

( )

x,t Aω sen

(

ω t k x φ

)

ω Asen

(

ω t k x φ

)

ω y

y 2

y

o 2

o

2 + = + =

= ′′

4 4

4 3

4 4

4 2

1

(

1s,0'25m

)

y

(

1,0'25

)

ω y

(

1 ,0'25

)

a = ′′ = 2

(

1 ,0'25

)

5 10 sen

(

2π 1 8π 0'25

)

5 10 sen 0 0

y = × −2 ⋅ − ⋅ = × −2 =

(

1s,0'25m

)

ω y

(

1 ,0'25

)

ω 0 0

a = 2⋅ = 2⋅ =

Utilizando la otra expresión se obtiene idéntico resultado.

Cuestión 3.- Considérese un haz de luz monocromática, cuya longitud de onda en el vacio es λo = 600 nm.

Este haz incide, desde el aire, sobre la pared plana de un vidrio de un acuario con un ángulo de incidencia de 30º. Determine:

a) El ángulo de refracción en el vidrio, sabiendo que su índice de refracción es n1 = 1,5.

b) La longitud de onda de dicho haz en el agua, sabiendo que su índice de refracción es n2 = 1,33.

Dato: Índice de refracción en el aire n = 1. Solución.

a. Aplicando la ley de Snell:

2 1 osen i n sen α

n )= )

2

α

sen 1,5 30º sen

1⋅ = ⋅

33 , 0

α

sen 2 = ; α2 =19'5º

b. Los índices de refracción de dos medios distintos son inversamente proporcionales a las velocidades de la luz en esos medios y a las longitudes de onda.

1 2

2 1

λ λ

n n

= ; n1⋅λ1=n2⋅λ2

Extendiendo la igualdad: n0⋅λ0 =n1⋅λ1=n2⋅λ2

nm 451 33 , 1

1 600 n

n

λ λ

1 o 0

2 = ⋅ = ⋅ =

Problema 1.- Se tiene una masa m = 1 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle, de masa despreciable, fijo por su extremo a la pared, Para mantener estirado el muelle una longitud de x = 3 cm, respecto de su posición en equilibrio, se requiere una fuerza de F = 6 N. Si de deja el sistema masa-muelle en libertad:

a) ¿Cuál es el periodo de oscilación de la masa?

b) Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posición inicial, x = 3 cm, hasta su posición de equilibrio, x = 0.

c) ¿Cuál será el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm de su posición de equilibrio?

d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm, ¿cuál sería su frecuencia de oscilación? Solución.

(4)

La constante k se obtiene aplicando la ley de Hooke

(

F=−k⋅x

)

a los datos el enunciado. Usando la expresión en módulo:

x k

F = ⋅ ; 200Nm

m 10 3

N 6 x

F k

2

- =

× = =

Conocido el valor de K y la masa se calcula el periodo.

s 44 , 0 200

1

π

2 k m

π

2

T= = =

b.

(

(

)

(

)

)

=

  

 

⋅ − ⋅ − = −

− = ∆ −

= 2

i 2

f p

p

p k x

2 1 x k 2 1 inicial

E final E E W

(

3 10

)

0,09J 200

2 1 0 200 2

1 2 2 2

=    

 

× ⋅ − ⋅

− −

c. Conocida la energía mecánica 

  

 

= 2

m k A

2 1

E y la posición (Energía potencial), se puede calcular

la energía cinética y de esta obtener la velocidad

c p

m E E

E = +

2 2

2 m v

2 1 x k 2 1 A k 2 1

⋅ + ⋅ = ⋅

2 2

2

v 1 2 1 01 , 0 200 2 1 03 , 0 200 2 1

⋅ + ⋅

= ⋅

16 , 0 v2 = ;

s m 4 , 0 16 , 0

v= =

d. Según pone de manifiesto la relación utilizada en el apartado a    

  

= k m

π

2

T , el periodo, y por

tanto la frecuencia depende de k y m, y no de la amplitud.

Problema 2.- Un electrón que se mueve con velocidad v = 5×103

m/s en el sentido positivo del eje X entra en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme B = 10‒2 T dirigido en el sentido positivo del eje Z.

a) Calcule la fuerza Fr que actúa sobre el electrón.

b) Determine el radio de la órbita circular que describirá el electrón. c) ¿Cuál es la velocidad angular del electrón?

d) Determine la energía del electrón antes y después de penetrar en la región del campo magnético. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,60×10‒19C; masa del electrón = 9,11×10‒31 kg. Solución.

a. Según la ley de Lorentz:

( )

v B q

Fr= ⋅ r×r

(

vi Bk

)

q v B

( )

i j q

Fr= e ⋅ r× r = e ⋅ ⋅ ⋅ r×r

(

) (

)

(

0, 1,0

)

j

1 0 0

0 0 1

j j i

1 , 0 , 0 0 , 0 , 1 k

i r

r r r

r r

− = − = =

× =

×

( )

j 8 10 jN 10

10 5 10 6 , 1

(5)

b. Si el electrón describe una trayectoria circular se debe cumplir:

c

F

F r

r =

La única fuerza que actúa sobre el electrón es la que genera el campo magnético (FB), trabajando en módulo:

c

B F

F = ;

R v m F

2

B =

(

)

2,85 10 m

10 8

10 5 10 11 , 9 F mv

R 6

18 2 3 31

B 2

− −

× = ×

× ⋅ × = =

c. 1,75 10 rads

rad m 10 85 , 2

s m 10 5

R v

ω 9

6 3

× = ×

× =

=

d. El trabajo realizado por el campo magnético sobre el electrón es nulo debido a que la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares y por tanto la energía que tiene el electrón es debida a su velocidad (energía cinética).

(

5 10

)

1,4 10 J 10

11 , 9 2 1 v m 2 1 E

(6)

OPCIÓN B

Cuestión 1.- Se sitúa un objeto de 3,5 cm delante de una superficie cóncava de un espejo esférico de distancia focal 9,5 cm, y se produce una imagen de 9,5 cm.

a) Calcule la distancia a la que se encuentra el objeto de la superficie del espejo. b) Realice un trazado de rayos y determine si la imagen formada es real o virtual. Solución.

a. Se pide calcular la posición de un objeto (s) conocida su altura (y), la altura de la imagen (y’) y la distancia focal del espejo (f). Se resuelve planteando un sistema de ecuaciones entre la ecuación fundamental

de los espejos esféricos    

 

= +

′ f

1 s 1 s 1

y la relación entre el aumento lateral    

− = ′ =

s s y y

ML .

y = 3,5 cm; y’ = 9,5 cm; f = ‒9,5 cm.

5 , 9

1 s

5 , 9

5 , 3 5 , 9 : 5 , 9 1 s 5 , 9

5 , 3 s 1 : 5 , 9 1 s 1

s 5 , 3

5 , 9

1 : s 5 , 3

5 , 9 s

5 , 9 1 s 1 s 1

:

s s 5 , 3

5 , 9

5 , 9

1 s 1 s 1

− = − −

= − −

= + − 

    

− = ′

− = + ′

     

′ − =

= + ′

cm 16,3 s ; cm 6

s=− ′≈

b. El trazado de rayos se puede hacer de dos formas distintas, elegir la que os resulte mas sencilla.

Se obtiene una IMAGEN VIRTUAL DERECHA y de mayor tamaño que el objeto

Cuestión 2.- Un altavoz emite con una potencia de 80 W. Suponiendo que el altavoz es una fuente puntual y sabiendo que las ondas sonoras son esféricas, determine:

a) La intensidad de una onda sonora a 10 m del altavoz.

b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 60 dB? Dato: Intensidad umbral Io = 10

‒12

W m‒2. Solución.

a. La intensidad de una onda sonora viene determinada por la potencia y la posición.

2 2

2 m

W 064 , 0 10

π

4 80

R

π

4 P S P

I =

⋅ = =

(7)

b. El nivel de intensidad sonora es:

o

I I log 10

β= ;

12

-10 I log 10

60= ;

2 6

m W 10 I= −

Conocida la intensidad y la potencia se calcula la posición (R).

2

R

π

4 P S P

I= = ; 2523m

0 1

π

4 80 I

π

4 P R

6 - =

= =

Cuestión 3.- Se tiene una muestra de 80 mg del isótopo 226Ra cuya vida media es de 1600 años. a) ¿Cuánta masa del isótopo quedará al cabo de 500 años?

b) ¿Qué tiempo se requiere para que su actividad se reduzca a la cuarta parte? Solución.

a. Ecuación fundamental de la radioactividad:

t

λ

oe

N

N= −

Donde:

- N ≡ nº de núcleos radioactivos que quedan sin desintegrar - No ≡ nº de núcleos radioactivos iniciales

- λ ≡ constante de desintegración - t ≡ tiempo

Esta ecuación también se puede expresar en función de las masas.

t

λ

oe

m

m= −

La constante de desintegración se calcula a partir del dato de vida media, tiempo necesario que por término medio tardará un núcleo en desintegrarse. La vida media (τ) es el inverso de la constante de desintegración.

λ

1

τ= ; a 1

1600 1

τ

1

λ= = −

Aplicando los datos a le ecuación general, se calcula la masa de isótopo radioactivo que quedará 500 años después.

mg 9 , 58 e

80

m 1600500

1

=

= − ⋅

b. Se define actividad (A) de una sustancia radioactiva como el número de desintegraciones que se producen en la unidad de tiempo. La actividad de una sustancia se puede expresar en función de la actividad inicial.

t

λ

oe

A

A= −

Si la actividad se reduce a la cuarta parte de la inicial Ao 4 1 A=

t

λ

o o A e

A 4

1 =

; e λ t 4 1=

; λ t

4 1

Ln =− ; 2218años

1600 1

4 Ln

λ

4 Ln

(8)

Problema 1.- Sabiendo que el periodo de revolución lunar es de 27,32 días y que el radio de su órbita es RL = 3,84×10

8

m, calcule:

a) La constante de gravitación universal, G (obtener un valor a partir de los datos del problema). b) La fuerza que la luna ejerce sobre la tierra y la de la tierra sobre la Luna.

c) El trabajo necesario para llevar un objeto de 5000 kg desde la Tierra hasta la luna. (Despreciar los radios de la tierra de la Tierra y de la Luna, en comparación con su distancia)

d) Si un satélite se sitúa entre la tierra y la Luna a una distancia de la tierra de RL/4, ¿Cuál es la

relación de fuerzas debidas a la Tierra y a la Luna? Datos: Masa de la Tierra MT = 5,98×10

24

kg; masa de la Luna ML = 7,35×10 22

kg: Radio de la tierra 6,37×106 m; radio de la Luna 1,74×106 m.

Solución.

a. Para que la Luna orbité alrededor de la Tierra, se debe cumplir:

C G F F = r v m r m M G 2 L 2 L

T ⋅ = ;

( )

r r ω r M G 2 2

T = ; ω r

r M

G 2

2

T = ;

T 3 2 M r ω

G= ;

T 2 3 2 M T r π 4 G=

(

)

(

)

2 24 11 2 2

3 8 2 kg m N 10 71 , 6 10 98 , 5 3600 24 32 , 27 10 84 , 3 π 4

G = × − −

× ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

b. Las dos fuerzas son de igual módulo dirección y sentidos opuestos, son parejas de fuerza de acción-reacción.

(

)

2 10 N

10 84 , 3 10 35 , 7 10 98 , 5 10 71 , 6 d m M G F 20 2 8 22 24 11 2 L

T = ×

× × ⋅ × × = ⋅ = −

c. Por tratarse de fuerzas conservativas:

( )

( )

(

E L E T

)

E

W=−∆ P =− PP

Para calcular la energía potencial en la superficie de la Luna y en la superficie de la tierra habrá que sumar los potenciales que genera cada masa en esos puntos.

( )

=      + − =       − + ⋅ − = −

− T L

T L L L T T L L P d M R M Gm d m M G R m M G L E J 10 93 , 1 10 84 , 3 10 98 , 5 10 74 , 1 10 35 , 7 5000 10 71 , 6 10 8 24 6 22

11 = ×

        × × + × × ⋅ ⋅ × − = −

( )

=      + − =       − + ⋅ − = −

− T L

L T T L T L T T P d M R M Gm d m M G R m M G T E J 10 15 , 3 10 84 , 3 10 35 , 7 10 37 , 6 10 98 , 5 5000 10 71 , 6 11 8 22 6 24

11 = ×

        × × + × × ⋅ ⋅ × − = −

(

)

(

1,93 10 3,15 10

)

2,96 10 J E

W=−∆ P =−− × 10 − − × 11 =− × 11

El signo negativo indica que para llevar el objeto de la superficie terrestre a la superficie lunar habrá que realizar un trabajo de 2,96×1011

J.

d. Se pide comparar (dividir) la fuerza que ejerce la Tierra sobre el satélite con la que ejerce la Luna.

(9)

d1 = distancia del satélite a la Tierra

4 RL =

d2≡ distancia del satélite a la Luna =

4 R 3 L =

732 10

35 , 7

10 98 , 5 9 M M 3

4 R M

4 R 3 M

F F

22 24

L T 2 2 L L

2 L T

L

T

× × ⋅ = =

      ⋅

   

  ⋅ =

La fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre el satélite es 732 veces mayor que la que ejerce la luna sobre él.

Problema 2.- Considérese un conductor esférico de radio R = 10 cm, cargado con una carga q = 5 nC. a) Calcule el campo electrostático creado en los puntos situados a una distancia del centro de la esfera

de 5 y 15 cm.

b) ¿A qué potencial se encuentran los puntos situados a 10 cm del centro de la esfera? c) ¿Y los situados a 15 cm del centro de la esfera?

d) ¿Qué trabajo es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito a una distancia de 10 cm del centro de la esfera?

Dato: Constante de Coulomb K = 1/(4π εo) = 9×10 9

N m2 C2. Solución.

a. El campo eléctrico creado por un conductor esférico se calcula mediante el teorema de Gauss. Teniendo en cuenta que la dirección del campo eléctrico es radial y que la dirección del campo es

perpendicular a la superficie esférica y su módulo es constante en toda la superficie, el flujo a través de la superficie es:

2 SE•dS= EdS=E dS=E⋅4πR

=

Φ

r r

Según el teorema de Gauss el flujo es igual a la carga encerrada dividida por εo.

o

ε

q = Φ

Igualando

2

o

R

π

4 E

ε

q =

;

2 o R

q

ε π

4 1

E= ⋅

En un conductor esférico, la carga se encuentra en la superficie y por tanto la carga en el interior de una esfera de radio menor al de la esfera conductora es cero, por lo que el campo será nulo.

• Para r = 5 cm: q = 0; E = 0 • Para r = 15 cm: q= 5×10‒9

C;

C N 2000 15

, 0

10 5 10 9 E

2 9

9 × =

×

= −

b. Para r = 10 cm: 450V

1 , 0

10 5 10 9 R

q K V

9

9 × =

× = ⋅

= −

c. Para r = 15 cm: 300V

15 , 0

10 5 10 9 R

q K V

9

9 × =

× = ⋅

= −

d. Por ser un campo conservativo:

(

) (

)

(

= =

)

= × 9

(

)

= × −7

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