Modelado y Análisis de los
Sistemas Dinámicos
utilizando la
Red Generalizada
Prof. Víctor M. Alfaro
TABLA DE CONTENIDO
1. Introducción...1
2. La Red Generalizada...2
2.1 Variables generalizadas...2
2.2 Elementos generalizados...4
2.2.1 Capacitancia generalizada 4 2.2.2 Inductancia generalizada 5 2.2.3 Resistencia generalizada 6 2.2.4 Fuentes generalizadas 6 2.2.5 Transformador generalizado 7 2.2.6 Variables de estado de los elementos generalizados 9
2.3 Formación de la red generalizada...9
2.3.1 Ley de incidencia de las pervariables 9 2.3.2 Ley de contorno de las transvariables 10 2.3.3 Aplicación de las leyes de incidencia y contorno 10
3. Elementos generalizados y sistemas físicos...12
3.1 Sistemas mecánicos...12
3.1.1 Elementos mecánicos en traslación 12 3.1.2 Elementos mecánicos en rotación 15
3.2 Sistemas eléctricos...18
3.3 Sistemas fluídicos...21
3.4 Sistemas térmicos...26
3.5 Analogías entre las variables y los elementos de los sistemas...28
4. Obtención de la red generalizada...30
4.1 Sistemas mecánicos traslacionales...31
4.3 Sistemas eléctricos...33
4.4 Sistemas fluídicos (hidráulicos)...34
4.5 Sistemas térmicos...35
4.6 Sistemas híbridos...36
5. Ecuaciones y gráfica de la red...39
5.1 Ecuaciones de la red...39
5.2 Gráfica de la red generalizada...39
5.3 Pervariables de lazo...42
5.4 Transvariables entre pares de nodos...43
6. Establecimiento de las ecuaciones...45
6.1 Aplicación de la Ley de incidencia de las pervariables...45
6.2 Aplicación de la Ley de contorno de las transvariables...49
6.3 Funciones de transferencia...53
6.4 Modelos en variables de estado...54
7. El diagrama de bloques generalizado...59
7.1 Tipos de elementos generalizados...59
7.1.1 Elementos Tipo-T 59 7.1.2 Elementos Tipo-P 60 7.1.3 Elementos Tipo-D 60 7.1.4 Elementos Tipo-C 60
7.2 Bloques generalizados...61
8. Teoremas y propiedades de la Red Generalizada...63
8.1 Redes lineales...63
8.2 Teorema de superposición...65
8.3 Redes equivalentes...69
8.3.1 Teorema de Thévenin 70
8.3.2 Teorema de Norton 74
8.3.3 Transformación de fuentes 77
8.3.5 Teorema de reciprocidad 79
8.3.6 Redes equivalentes de dos puertas 82
9. Ejemplos adicionales...85
9.1 Modelado a partir de la red generalizada...85
9.1.1 Red eléctrica 85 9.1.2 Sistema mecánico 86 9.1.3 Sistema de engranes 88 9.1-4 Sistema hidráulico 89
9.2 Aplicación de las propiedades de la red generalizada...90
9.2.1 Transformación de fuentes 90 9.2.2 Equivalente de Thévenin 93 9.2.3 Redes equivalentes y reciprocidad 95 9.2.4 Teorema de Tellegen 99
10. Análisis de la respuesta temporal de la red generalizada...100
10.1 Sistemas de primer orden...100
10.2 Sistemas de segundo orden...103
11. Estudio de los sistemas de 1er y 2º orden...110
11.1 Sistemas de primer orden (en serie)...110
11.2 Sistemas de segundo orden ...111
12. Conclusiones...113
PREFACIO
Se presenta en estas notas una revisión y ampliación de varias publica-ciones anteriores realizadas, relacionadas con la utilización de la Red Generalizada para el modelado y análisis de los sistemas dinámicos, con el afán de que le sirvan de material complementario a los estudiantes de los cursos de Análisis de Sistemas y de Sistemas de Control.
El interés por la utilización de procedimientos generales para estudiar sistemas dinámicos de diferente naturaleza, surgió hace bastantes años, al tener que impartir un curso de Sistemas Dinámicos y Control a estu-diantes de ingeniería con preparación previa e intereses bastante disími-les. Se deseó ir más allá de la mera presentación de las tradicionales analogías electromecánicas y lograr al mismo tiempo el entendimiento de las similitudes en el comportamiento dinámico de los diferentes siste-mas.
Se recurrió entonces a los conceptos de transvariable y pervariable pre-sentadas por Orozco, aunque no explotados por este. Estos, junto con el tratamiento multidiciplinario de los sistemas dinámicos presentado por Shearer, Murphy y Richardson, sirvió de base. Sin embargo ninguno de ellos hacía uso completo de las propiedades de las redes lineales, ampliamente empleadas en el estudio de los sistemas eléctricos, para fa-cilitar el estudio de otros sistemas dinámicos.
El interés fue presentar una forma uniforme y única de estudiar los siste-mas dinámicos, sin necesidad de repetir una y otra vez los conceptos bá-sicos del modelado, de la asignación de estados, de la obtención de las funciones de transferencia, o de la obtención de las respuesta de los sistemas a diferentes entradas, cada vez que se estudia un sistema de di-ferente naturaleza física, como lo son los sistemas mecánicos, eléctricos, térmicos y fluídicos que se pueden encontrar en diferentes cursos en las carreras de ingeniería. Esto llevó al establecimiento de un procedimien-to de modelado y análisis que permite obtener una red formada con ele-mentos denominados generalizados, y a aplicar a esta todas las herramientas de análisis de sistemas dinámicos disponibles, inde-pendientemente de la naturaleza de las variables del sistema.
1. Introducción
Es usual que al estudiar los diferentes tipos de sistemas dinámicos como los sistemas eléctricos, los mecánicos y otros, se parta del establecimiento de las relaciones constitutivas que describen el comportamiento de cada uno de los elementos de que pueden estar constituidos, se estudien luego los procedimientos para establecer las ecuaciones de un modelo que permita determinar su comportamiento dinámico y que posteriormente se obtenga destreza en el uso de las diferentes técnicas y procedimientos para su análisis, repitiéndose esto para cada tipo de sistema.
Por ejemplo, en los sistemas eléctricos una vez establecidas las relaciones entre el voltaje y la co-rriente en los elementos como resistores, capacitores e inductores, se estudian las leyes de Kircho-ff para el modelado y análisis de las redes eléctricas. De igual forma al estudiar un sistema mecánico con masas, resortes y amortiguadores, se obtiene un modelo para el estudio del mismo a partir del establecimiento de balances de fuerzas en los cuerpos libres. Sucede algo similar con los sistemas fluícos y térmicos, dando la sensación de que cada tipo de sistema debe de analizarse empleando un conjunto de técnicas particular y que se requiere el conocimiento de estas, para po-der analizar cada uno de los diferentes sistemas.
Si bien es necesario conocer la naturaleza de las variables involucradas en los distintos sistemas dinámicos, es conveniente mostrar que el comportamiento de los mismos se puede estudiar con un conjunto de herramientas comunes, que son independientes de la naturaleza física de los mismos.
La extensión de las propiedades y teoremas de las redes eléctricas a lo que se denominará Red Generalizada[1,2,3], permite seguir procedimientos generales a la hora de obtener un modelo para sistemas de muy diferente naturaleza, como lo son los sistemas mecánicos, eléctricos, fluídicos, térmicos u otros como los sistemas socioeconómicos o biológicos.
Se presentarán más adelante los elementos que constituyen esta Red Generalizada, la relación de los mismos con los elementos de los diferentes sistemas físicos, la forma de obtener un modelo para representarla, los teoremas y propiedades que permiten el estudio sistematizado de sus ca-racterísticas y se analizará el comportamiento dinámico de las redes simples.
No se hace una presentación, ni extensa ni rigurosa, de las relaciones constitutivas de los diferen-tes sistemas físicos presentados, ya que se presupone que el estudiante ya los ha visto en los cur-sos de física o otros más especializados. También se supone que el estudiante conoce la transformada de Laplace, el álgebra de matrices, las ecuaciones diferenciales y los conceptos de variables de estado, por lo que no se detalla el procedimiento para la solución de la ecuación de estado.
2. La Red Generalizada
Una red generalizada está formada por la interconexión de elementos y fuentes generalizadas, que representan a las diferentes clases de elementos físicos, y las variables en ella permitirán la obtención de las cantidades que describen el comportamiento dinámico de los mismos.
2.1 Variables generalizadas
En esta red se tienen dos tipos de variables, las transvariables y las pervariables[9,11]. Las
transvariables (v) son aquellas variables que requieren de dos puntos para medirse y que se obtie-nen a través de los elementos, las pervariables (f) son aquellas variables que se propagan por los elementos y para cuya medición se requiere solamente de un punto.
En la Figura 2.1-1 se muestra una adaptación del Tetraedro de estado de Paynter1. en el cual se in-cluyen también las variables x y h que son la integral de la transvariable y de la pervariable respectivamente. El tránsito de un nodo a otro del Tetraedro, indicará la relación constitutiva existente entre las variables en cada uno de los tres elementos básicos de que podrá estar consti-tuida una red generalizada.
Los elementos generalizados enumerados en la Figura 2.1-1 (resistor, inductor y capacitor) son todos elementos generalizados de una puerta de energía o de dos terminales como se muestra en la Figura 2.1-2. Estos elementos reciben o entregan energía por dicha puerta. Asociado a cada uno de estos elementos generalizados, está el parámetro que cuantifica su característica, denomi-nado resistencia, capacitancia e inductannciageneralizada respectivamente. Perdiendo un poco de rigurosidad, se utilizará el mismo término para hacer referencia al elementos o a su parámetro en forma indistinta.
Los dos terminales del elemento representan entonces una puerta, por la cual el elemento recibe o entrega energía. La convención de notación será que v21 representa la transvariable entre el par de
terminales, siendo positivo el terminal 2 con respecto al 1 y que f21 representa la pervariable que
fluye del terminal 2 al 1.
Las relaciones entre las variables del elemento generalizado son entonces
v21t=Zgpf21t (2.1-1)
f21t=Ygpv21t (2.1-2) donde Zgp es el operador impedancia generalizado, Ygp el operador admitancia
Se ha definido además a x como la integral de la transvariable y a h como la integral de la perva-riable, o sea que:
v21t=p x21t (2.1-3)
f21t=p h21t (2.1-4)
Figura 2.1-1 – Relación entre las variables de la Red Generalizada
Figura 2.1-2 – Elemento de una puerta de energía
El flujo de potencia entrando al elemento a través de los puntos 1 y 2 o sea por la puerta, es en ge-neral
Pt=f tv t (2.1-5)
Inductancia
Resistencia
Capacitancia
Pervariable
Transvariable
Integral de la transvariable Integral de la
pervariable
f
v
h x
p p
1/p
1/p
x = Igf
f = x / Ig
v = Rgf
f = v / Rg
v = h / Cg
h = Cgv
2
1 v21
f21
elemento
y la energía entregada al elemento en un cierto intervalo de tiempo será:
Et=
∫
0
t
f21v21d (2.1-6)
Se han establecido las relaciones constitutivas entre las variables de los elementos de la red gene-ralizada en el dominio del tiempo, con las cuales se podrán establecer las ecuaciones diferenciales o algebraicas de la misma. En ocasiones podría ser más conveniente el trabajar con la transformada de Laplace de las variables y las funciones de transferencia de los elementos o sea en el dominio de la variable compleja, o en el dominio de la frecuencia para analizar el comporta-miento de la red a entradas periódicas, en estos casos las relaciones se obtienen sustituyendo el operador derivada p por s y j respectivamente.
2.2 Elementos generalizados
Para asociar posteriormente los elementos físicos con los elementos generalizados y poder esta-blecer la analogía entre las variables y los elementos de los diferentes sistemas, se definirán las relaciones constitutivas de los cuatro tipos de elementos generalizados que normalmente se utili-zan.
2.2.1 Capacitancia generalizada
La capacitancia generalizada Cg, mostrada en la Figura 2.2-1, representará a todos aquellos
ele-mentos almacenadores de energía cuyas relaciones constitutivas sean de la forma
Cg p v21=f21 (2.2-1)
Cgv21=h21 (2.2-2)
La capacitancia generalizada almacena energía en función de su transvariable siendo esta
E=1
2Cgv21
2
=1
2
h21 2
Cg
(2.2-3) La impedancia y admitancia de la capacitancia generalizada son entonces:
Zcp=C1
g p
(2.2-4)
Figura 2.2-1 – Capacitancia generalizada
2.2.2 Inductancia generalizada
La inductancia generalizada Ig, mostrada en la Figura 2.2-2, representará a aquellos elementos
almacenadores de energía cuyas relaciones constitutivas sean de la forma
Ig p f21=v21 (2.2-6)
Ig f21=x21 (2.2-7)
La inductancia generalizada almacena energía en función de su pervariable siendo esta
E=12Ig f212 =1
2
x212 Ig
(2.2-8) La impedancia y admitancia de la inductancia generalizada son entonces:
Zip=Ig p (2.2-9)
Yip=I1
g p
[image:11.612.90.546.84.689.2](2.2-10)
Figura 2.2-2 – Inductancia generalizada
2
1
v
21f
21C
gI
g2
1
2.2.3 Resistencia generalizada
La resistencia generalizada Rg, mostrada en la Figura 2.2-3, representará a los elementos
disipa-dores de energía cuya relación constitutiva es
v21=Rg f21 (2.2-11)
La potencia disipada por la resistencia generalizada es
P=v21 2
Rg=
Rg f21
2 (2.2-12)
La impedancia y admitancia de la resistencia generalizada son entonces:
Zrp=Rg (2.2-13)
Yrp=R1
g
[image:12.612.91.551.114.508.2](2.2-14)
Figura 2.2-3 – Resistencia generalizada
2.2.4 Fuentes generalizadas
Existen también otros elementos de dos terminales como son las fuentes, teniéndose entonces dos tipos de fuentes, las fuentes de pervariable y las fuentes de transvariable.
La fuente generalizada de transvariable se muestra en la Figura 2.2-4 y consiste de una fuente ide-al de transvariable vi en serie con su impedancia interna.
La fuente generalizada de pervariable por su parte, Figura 2.2-5, consiste de una fuente ideal de pervariable fi en paralelo con su impedancia o admitancia interna.
2
1
v
21f
21Figura 2.2-4 – Fuente de transvariable
Figura 2.2-5 – Fuente de pervariable
2.2.5 Transformador generalizado
Los elementos de una puerta de energía reciben o entregan energía por la misma puerta, otros ele-mentos sin embargo permiten el recibir energía por una puerta y entregarla por otra, estos son los elementos de dos puertas de energía o elementos de cuatro terminales como se muestra en la Fi-gura 2.2-6.
Las relaciones entre las variables de un elemento de dos puertas de energía se pueden obtener fá-cilmente suponiendo, para el caso ideal, que no hay disipación ni producción de energía dentro del elemento, por lo que la energía recibida por la puerta de entrada es igual a la entregada por la puerta de salida, o lo que es lo mismo que la potencia instantánea recibida es igual a la entregada, esto es que:
v21 f21=v43 f34 (2.2-15)
v21 v43=
f34
f21=a (2.2-16)
en donde a es la relación de transformación.
Z
i(p)
+
-v
iFigura 2.2-6 – Transformador generalizado
Figura 2.2-7 – Causalidad de los elementos generalizados
Como se verá más adelante, los elementos de dos puertas de energía son todos aquellos como pa-lancas, engranes, transformadores eléctricos, etc., los cuales permiten cambiar la relación entre las pervariables y las transvariables sin alterar la potencia transmitida.
2
1
v
21f
214
3
f
34v
43a : 1
Elemento capacitivo p
1
g C
1
f
21(entrada)
h
21v
21(salida)
(estado)
Elemento inductivo p
1
g I
1
f
21(entrada)
x
21v
21(salida)
(estado)
Elemento resitivo g
R
1
f
21(entrada)
v
212.2.6 Variables de estado de los elementos generalizados
En la Figura 2.2-7 se muestra la causalidad de los tres elementos generalizados básicos. Los almacenadores de energía, capacitancia e inductancia, tienen una causalidad natural de tipo inte-gral, un cambio finito en la variable de entrada produce una acumulación en la variable de salida la cual representa su estado.
Por esta razón la variable de estado asociada a los capacitores generalizados es su transvariable y la asociada a los inductores generalizados es su pervariable.
La red generalizada permite entonces representar una gran variedad de sistemas energéticos con base en el comportamiento de las variables y elementos de cada uno de ellos, empleando varia-bles y elementos generalizados.
2.3 Formación de la red generalizada
Como se ha indicado, la red generalizada esta formada entonces por la interconexión de elemen-tos y fuentes generalizadas y cada punto de interconexión de dos elementos o “nodo”, tendrá aso-ciada una transvariable con respecto al modo o punto de referencia, y cada elemento entre dos no-dos o “rama”, tendrá asociada una pervariable.
[image:15.612.91.551.279.559.2]Un ejemplo de una red generalizada se muestra en la Figura 2.3-1 la cual tiene cuatro nodos y ocho elementos.
Figura 2.3-1 – Red generalizada
Como se verá más adelante, en la red generalizada se conserva la potencia, de manera que la suma de todas las potencias consumidas o suministradas por los elementos de la red en cualquier instante de tiempo, debe ser cero. Para que se conserve la energía es necesario y suficiente que se cumplan lo indicado por las siguientes dos leyes:
2.3.1 Ley de incidencia de las pervariables
La Ley de incidencia de las pervariables establece que:
Z
1Z
2Z
3Z
4Z
5Z
61 2 3
0
f
1f
2f
3f
4f
5f
6f
7f
iv
10v
20v
32 +v
i-“La suma de todas las pervariables que inciden en un nodo cualquiera de la red generalizada es cero”
Si se aplica la ley de incidencia de las pervariables en los nodos 1, 2 y 3 de la red de la Figura 2.3-1. se tiene
Nodo 1 fi−f1−f2−f3=0
Nodo 2 f2f3−f4−f5−f6=0
Nodo 3 f6−f7=0
2.3.2 Ley de contorno de las transvariables
La Ley de contorno de las transvariables establece que:
“La suma de todas las transvariables tomadas alrededor de cualquier contorno cerrado de la red generalizada es cero”
Si se aplica la ley de contorno de las transvariables a la red de Figura 2.3-1 se tiene que
Contorno 1 v10v21−v20=0
Contorno 2 v20v32−vi=0
Los dos enunciados anteriores pueden considerarse como una generalización de las leyes de Kirchhoff utilizadas en los sistemas eléctricos.
2.3.3 Aplicación de las leyes de incidencia y contorno
Normalmente para aplicar la ley de incidencia de las pervariables en los nodos, es conveniente re-presentar todos los elementos por su admitancia generalizada y las fuentes como fuentes de pervariable, más adelante se verá que es posible transformar una fuente de transvariable en una fuente de pervariable y viceversa.
Si por ejemplo se tiene la red de la Figura 2.3-2, utilizando la ley de incidencia de las pervariables se puede escribir las ecuaciones
Nodo 1 Y1Y2Y3v1−Y2Y3v2=fi1
Nodo 2 −Y2Y3v1Y2Y3Y4Y5v2=−fi2
con las que se puede calcular el valor de las transvariables en los nodos 1 y 2.
Si lo que se desea es aplicar la ley de contorno de las transvariables, es conveniente mas bien re-presentar los elementos generalizados por sus impedancias y las fuentes como fuentes de transva-riable.
Si se considera como ejemplo la red de la Figura 2.3-3, se pueden establecer las siguientes ecua-ciones aplicando la ley de contorno de las transvariables
Contorno 3 −Z4 f2Z4Z5f3=−vi2
[image:17.612.106.544.132.470.2]con las cuales se obtendrían los valores de las pervariables en cada uno de los contornos cerrados.
Figura 2.3-2 – Red generalizada para realizar un análisis de nodos
Figura 2.3-3 – Red generalizada para realizar un análisis de contornos
Y
1Y
2Y
3Y
4Y
5Y
6v
1f
i1f
i2v
2Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
f1 f2 f3
+ +
-
3. Elementos generalizados y sistemas físicos
Se han definido ya las relaciones constitutivas de los elementos generalizados que pueden formar una red, se verá ahora la relación existente entre estos elementos, su pervariable y transvariable, con los elementos y variables de los sistemas eléctricos, mecánicos, fluídicos y térmicos.
3.1 Sistemas mecánicos
En los sistemas mecánicos se estudiarán los sistemas traslacionales y los rotacionales, para esta-blecer cuales son las pervariables y transvariables en este tipo de sistemas y cual elemento gene-ralizado representa a cada uno de los elementos mecánicos.
3.1.1 Elementos mecánicos en traslación
Para el análisis de los sistemas mecánicos traslacionales se hará uso de tres elementos mecánicos ideales, la masa, el resorte y el amortiguador. Estos elementos representan tres fenómenos esen-ciales que ocurren de diferente manera en los sistemas mecánicos.
En la Figura 3.1-1 se muestran los elementos mecánicos traslacionales.
1. Masa traslacional pura
Las partes integrantes de cualquier sistema mecánico están compuestas de materiales que tienen
masa. Estas partes se resisten al cambio de velocidad.
Se definirá la cantidad de movimiento Pc de la masa m como:
dPc
dt =pPc=Ft (3.1-1)
de conformidad con la ley de la conservación de la cantidad de movimiento.
La masa m se mueve solamente en la dirección x y su cantidad de movimiento es Pc=mV21 , entonces:
dPc
dt =
d mV21
dt =Ft (3.1-2)
Para una masa constante m se tiene que:
md V21
dt =Ft (3.1-3)
lo cual corresponde a la segunda ley de Newton.
Se puede escribir la relación constitutiva entre las variables en la masa como
Ft=m pV21t=m p2X
21t (3.1-4)
La masa almacena energía cinética en función de su velocidad. Como la potencia es
Pot=FtVt y la energía es la integral de la potencia, la energía cinética Ec está dada por
la ecuación
Ec=
∫
ta tb
F V dt=
∫
0
Pcb
V dPc (3.1-5)
Para una masa newtoniana la energía cinética es entonces
Ec=1
2mV21 2
(N m) (3.1-6)
2. Resorte traslacional puro
Se definirá como resorte traslacional a un elemento de masa cero, el cual se deforma cantidades constantes y estacionarias cuando se carga con fuerzas constantes. Como por definición el resorte puro no tiene masa, las fuerzas actuando en el elemento deben de estar balanceadas. Por lo tanto si F actúa en el extremo 2 del resorte, una fuerza igual y opuesta F debe de actuar en 1. La fuerza
F debe de hecho fluir a través del elemento.
Un resorte ideal tiene una relación constitutiva de la forma
1 k
dF
dt=V21t (3.1-7)
en donde k (N/m) es la constante de rigidez del resorte. De (3.1-7) se obtiene que:
Ft=k X21t (3.1-8) donde X21 es la deformación neta del resorte.
El resorte almacena energía asociada con la deformación de sus partículas. Esta energía almace-nada se denomina energía potencial traslacional Ep y está dada por la ecuación:
Ep=
∫
ta tb
F V dt (3.1-9)
Como para un resorte ideal de (3.1-7) se tiene que
d X21=1
kdF (3.1-10)
se puede obtener que la energía potencialEp almacenada en el resorte es
Un amortiguador traslacional puro, el cual no tiene masa o efectos de resorte, representa sola-mente los efectos de la resistencia a la razón de deformación. Como el amortiguador no tiene masa, las fuerzas que actúan en el, deben de estar balanceadas. En el amortiguador ideal la rela-ción entre la fuerza F y la razón de extensión o contracción V21 es lineal
Ft=bV21t=b p X21t (3.1-12)
en donde b es el coeficiente de amortiguamiento del amortiguador (N/m/s).
El amortiguador consiste de un cilindro y un pistón relleno de aceite, proveyendo una fricción viscosa.
Cuando a un amortiguador se le da una razón de extensión o compresión, por medio de fuerzas iguales y opuestas aplicadas a sus extremos, se hace un trabajo. El amortiguador disipa el trabajo o energía entregada a el y por lo tanto es diferente de la masa y el resorte que almacenan y pueden entregar la energía suplida a ellos.
La potencia entregada al amortiguador es
Pot=FtV21t (3.1-13) por lo que para un amortiguador ideal, se tiene que la potencia disipada es:
Pot=b V212 t=1
bF
2
t (W = N m/s) (3.1-14)
4. Transformador traslacional puro (Palanca)
Un transformador traslacional puro está tipificado por una palanca. En ella, la relación entre las velocidades de los puntos 1 y 2, relativas a la velocidad del pivote, es:
V10 V20=
L1
L2=a (3.1-15)
Como la palanca sin masa no tiene cantidad de movimiento, la suma de fuerzas en cualquier di-rección y la de momentos de las fuerzas sobre el pivote, deben ser cero
F1tL1=F2tL2 (3.1-16)
V2t
V1t=
F1t
F2t=
1
a; a= L1
L2 (3.1-17)
De lo anterior se puede deducir que en los sistemas mecánicos traslacionales, la pervariable o va-riable que fluye por los elementos es entonces la fuerza y la transvarible o variable a través de ellos es la velocidad.
La masa y el resorte almacenan energía. La masa almacena energía cinética en función de la transvarible (velocidad) y el resorte almacena energía potencial en función de la pervariable (fuerza), el amortiguador por el contrario es un elemento disipador de energía.
constante del resorte y un amortiguador por una resistencia con valor igual al inverso del coefi-ciente de amortiguamiento. Una palanca estará representada por un transformar generalizado con una relación de transformación a igual al cociente de los largos de los brazos de la palanca.
Figura 3.1-1 – Elementos mecánicos en translación
3.1.2 Elementos mecánicos en rotación
En forma similar a como se hizo con los elementos mecánicos traslacionales, se establecerán las ecuaciones constitutivas de los elementos mecánicos rotacionales mostrados en la Figura 3.1-2, para determinar su relación con los elementos y variables generalizadas.
Estos elementos rotacionales son la masa rotacional o inercia, el resorte rotacional y el amorti-guador rotacional. Los fenómenos físicos en este caso son los mismos que en los sistemas trasla-cionales, pero ahora en términos de pares y velocidades angulares.
1. Masa rotacional pura (inercia)
El momento de inercia J de una masa puntual m rotando a un radio r de un eje de rotación, es por definición J=m r2 (kg m2 = N m s2).
Se define ahora la cantidad de movimiento angular h como:
m
F
X
21V
2V
1- const.
F
F
V
2V
1X
2X
1k
1 2
F
F
V
2V
1X
2X
1b
1
2
V
1V
2F
1F
2l
1l
2dh
dt=Tt (3.1-18)
Se se define la masa rotacional ideal como una colección o distribución de masas conectadas jun-tas rígidamente y restringidas a rotar a una velocidad sobre un eje, su cantidad de movimien-to es h=J , entonces la relación constitutiva para la inercia está dada por:
J d
dt =Tt (3.1-19)
Tt=J p21t=J p 2
21t (3.1-20)
Cuando una inercia pura es acelerada, la energía se almacena en forma de energía cinética Ec,
como Po=T21
Ec=
∫
0
t
T21d=
∫
0hb
21dh (3.1-21)
Ec=1
2J21 2 =1
2
h2
J (N m) (3.1-22)
La energía cinética rotacional se almacena en virtud de su velocidad angular y es independiente del par.
2. Resorte rotacional puro (Barra de torsión)
Un resorte rotacional puro no tiene masa, por lo que el par aplicado en un extremo fluye a través del resorte. La relación entre el par y la velocidad angular para un resorte rotacional ideal es
21t=
1 K
dT
dt (3.1-23)
donde K es la rigidez del resorte rotacional (N m / rad).
Como 21=d21/dt , la diferencia de deformación angular entre los extremos del resorte es:
21t=
1
KTt (3.1-24)
El resorte rotacional almacena energía potencialEp, a medida que se deforma, dada por:
Ep=
∫
0
t
Td=
∫
0 b
T d21 (3.1-25)
Si el resorte es ideal 21t=Tt/K y la energía almacenada será:
Ep=12TK2=1over2K21 2
(N m) (3.1-26)
3. Amortiguador rotacional puro
Tt=B21t=B p21t (3.1-27)
donde B es el coeficiente de amortiguamiento (N m/ rad/s).
En forma similar al amortiguador traslacional, el amortiguador rotacional disipa energía cuando la velocidad angular 21 es distinta de cero. La razón de flujo de energía en un amortiguador
rotacional lineal es
Po=B21 2=1
BT
2
, vatios (3.1-28)
4. Transformador mecánico rotacional (Engranes)
El transformador ideal no almacena ni disipa energía, simplemente la transforma.
En un tren de engranes, el número de dientes en cada uno es proporcional al radio del mismo
n2 n1=
r2
r1=a (3.1-29)
siendo entonces a la razón de transformación.
Como se supone que los engranes giran sin deslizamiento, la distancia del arco r11dt en el
engrane 1, debe ser igual a la distancia del arco r22dt en el engrane 2. Entonces
2
1
=r1
r2=
1
a (3.1-30)
en donde 2 es en el sentido contrario a 1 .
Para determinar la relación entre los pares T1 y T2, se supondrá que todas las fuerzas de fricción
son cero, o sea que no hay disipación de energía. El trabajo hecho en un engrane debe ser igual al que hace el otro, o sea
T1t1t=T2t2t (3.1-31)
T1t
T2t= 2t
1t
=1
a (3.1-32)
En los sistemas mecánicos rotacionales la pervariable o variable puntual es entonces el par y la transvariable o variable de dos puntos la velocidad angular.
Figura 3.1-2 – Elementos mecánicos rotacionales
3.2 Sistemas eléctricos
Como se verá a continuación, la relación entre los elementos de los sistemas eléctricos mostrados en la Figura 3.2-1 y los de la red generalizada es directa, lo que permitirá aplicar posteriormente los teoremas y procedimientos de análisis de las redes eléctricas a las redes generalizadas.
Los elementos que se emplearán serán el capacitor (que almacena energía en un campo eléctrico), el inductor (que almacena energía en un campo magnético), la resistencia (que disipa energía) y el transformador.
1. Capacitor eléctrico puro
Si se arreglan dos piezas de un material conductor de manera que ellas estén separadas por un material dieléctrico (un material en el cual se puede establecer un campo eléctrico sin permitir un flujo significante de carga a través de el), se establece un campo eléctrico entre los conductores cuando fluye una carga hacia un conductor saliendo del otro. Este campo eléctrico da como re-sultado una diferencia de potencial entre los dos conductores, la cual depende de la cantidad de cargas localizada entre los conductores.
Los dispositivos físicos que exhiben este tipo de relación de carga y voltaje se dicen que tienen
capacitancia.
Una capacitancia ideal tienen una carga proporcional a la diferencia de potencial
qt=C v21t (3.2-1) donde C es la capacitancia del elemento en faradios (F = A s / V).
La ecuación elemental para un capacitor ideal es
J
T w2 w1 - const. T w2 w1 T
K
T w2 w1 T
B
T2 w2
w1 T1
r1
r2
a=r2/r1=n2/n1
Cdv21
dt =i21t (3.2-2)
i21t=C p v21 (3.2-3) Cuando se hace fluir una carga dentro de un capacitor se transfiere energía Ee al elemento, la cual está dada por
Ee=
∫
0
qb
v21dq (3.2-4)
Un capacitor almacena energía en su campo electrostático, por lo tanto Ee se llama energía de
campo eléctrico.
La energía almacenada en un capacitor ideal es
Ee=12C v212 =1
2
q2
C , J (3.2-5)
2. Inductor eléctrico puro
Cuando la corriente fluye a través de una estructura conductora, se establece un campo magnético en el espacio o material alrededor de la estructura. Si esta corriente cambia como una función del tiempo, la intensidad del campo magnético variará también con el tiempo. De acuerdo con la ley de Lenz, este campo cambiante inducirá diferencias de potencial en la estructura conductora las cuales tenderán a oponerse al cambio de la corriente- La característica básica por la cual un ele-mento eléctrico resiste con una diferencia de potencial al razón de cambio del flujo de corriente a través de el se llama inductancia.
Se definirá la cantidad de acople de flujo como
v21t=d21
dt (3.2-6)
Un inductor puro o ideal tiene un acople de flujo proporcional a la corriente
21t=L i21t (3.2-7)
donde la inductanciaL está medida en henrios (h = V s / A). La ecuación elemental para un inductor ideal con L constante es
v21t=Ldi21
dt =L p i21t (3.2-8)
Un inductor almacena energía en el campo magnético asociado con la corriente. La energía eléctrica almacenada en un inductor puro se llama energía del campo magnético Em y está dada por
Em=
∫
t tb
Si el inductor es ideal, entonces
Em=1
2L i21 2 t
[image:26.612.108.545.79.430.2], J (3.2-10)
Figura 3.2-1 – Elementos eléctricos
3. Resistor eléctrico pura
Todos los materiales ordinarios exhiben resistencia al flujo de carga eléctrica. Los materiales en los cuales esta resistencia es pequeña, se llaman conductores y aquellos en que esta resistencia es alta se llaman aislantes. Al elemento que presenta esta resistencia al flujo de carga eléctrica se le llamará simplemente resistor.
Un resistor puro o ideal presenta una resistencia lineal, con la ecuación elemental
v21t=R i21t (3.2-11) donde su resistenciaR está dada en ohmios =V/A .
La energía entregada al resistor es disipada y está dada por
Po=1
RV21 2 =
R i212 (3.2-12)
4. Transformador eléctrico ideal
En un transformador ideal la potencia entregada al arrollado primario es la misma que la que este entrega en el arrollado secundario, no hay pérdidas internas, entonces:
v21ti21t=v34ti43t (3.2-13)
C
L
R
V
1V
1V
1V
2V
2V
2V
21V
43 12 1
1
2
2
4 2
1 3
i
21i
21i
21i
21 a : 1i
34v34t
v21t=
i21t
i43t=
1
a (3.2-14)
donde a será la razón de transformación.
En los sistemas eléctricos la corriente por los elementos es la prevariable y la diferencia de po-tencial a través de ellos la transvariable.
Los nombres de los elementos generalizados asociados con los elementos eléctricos son los mismos. Un capacitor eléctrico almacena energía en forma de campo eléctrico debido a la transvariable (diferencia de potencial), un inductor eléctrico almacena energía en forma de campo magnético en virtud de la pervariable (corriente) y un resistor eléctrico disipa energía. Un transformador eléctrico estará representado por un transformador generalizado con una relación de transformación a igual al cociente de las diferencia de potencial de entrada y de salida.
3.3 Sistemas fluídicos
La razón de flujo de un fluido, o caudal, es la variable que mide la cantidad de fluido pasando por un área dada por unidad de tiempo. Como normalmente se trabaja con tuberías, el área de flujo será la sección transversal del tubo.
Si en el tiempo dt una cantidad (volumen) de fluido dV atraviesa un área A, entonces la razón de flujo volumétrico Q está definida como:
Qt=dV
dt , m3/s (3.3-1)
Si el fluido es incompresible y la tubería es rígida, el caudal Q2 entrado en un punto 2 de la
tube-ría debe ser igual al caudal Q1 saliendo de la sección 1 y es apropiado hablar del caudal a través
del tubo
Qt=Q2t=Q1t (3.3-2) Como la potencia es la razón de flujo de trabajo, entonces
Po=dW
dt =P A dx dt=P
dV
dt=PQt , W (3.3-3)
La potencia neta entregada a un elemento de dos terminales que tiene el caudal entrante igual al caudal saliente es
1. Capacitor fluídico puro (tanque)
Un elemento fluídico en el cual se almacena energía como una función de la presión se puede lla-mar capacitor fluídico, análogo al capacitor eléctrico el cual almacena energía como función del voltaje. Uno de los ejemplos más simples de capacitor fluídico es un tanque abierto.
Cuando hay un caudal Q que entra al tanque, la energía es almacenada en virtud de que las partí-culas de fluido dentro del recipiente son elevadas en el campo gravitacional de la tierra. La ley de la conservación de la masa para el recipiente establece que
Qt=d[A Hdt t] (3.3-5) en donde:
- densidad de la masa del fluido, kg/m3
Q - caudal, m3/s
A - área de sección del tanque, m2
H - altura del nivel de fluido en el tanque, m
Si el fluido es incompresible ( - constante) y las paredes del recipiente son rígidas con un área de sección constante, entonces
Qt=Ad Ht
dt (3.3-6)
La diferencia de presión P21=P2−P1 entre la parte superior e inferior del recipiente, debe de soportar el peso del líquido (se supone Po como la presión ambiente constante).
La presión en el fondo del recipiente es
P2=P1g H (3.3-7)
entonces
P21=P2−P1=g H (3.3-8) donde g es la aceleración debida a la gravedad ( g=9.86 m/s2).
Se obtiene entonces que
Qt= A g
d P21
dt (3.3-9)
Debido a la analogía directa del recipiente con un capacitor eléctrico, cuando el caudal se consi-dera análogo a la corriente eléctrica y la presión análoga a la diferencia de potencial, la cantidad
A/g puede considerarse como la capacitancia fluídicaCf del recipiente.
Como el volumen de fluido en el tanque V es AH se puede escribir
V= A
La ecuación elemental para un capacitor fluídico ideal es
Cf
dP21
dt =Qt; Cf= A
g (3.3-11)
Qt=Cf p P21t (3.3-12) En el capacitor fluídico se almacena energía en virtud de la presión y se denomina energía poten-cial fluídica Ep.
Ep=
∫
ta tb
Podt=
∫
ta tb
P21Qtdt=
∫
V1
V2
P21dV (3.3-13)
como dV=cfdP21
Ep=
∫
0
P21
CfP21dP21=Cf P21 2
2 =
V2
2Cf
(3.3-14)
2. Inductor fluídico puro
El elemento fluídico cuya característica es análoga al inductor eléctrico tiene una propiedad que se llamará inercia fluídica, porque se deriva de las fuerzas de inercia requeridas para acelerar un fluido en una tubería. Se considerará en adelante el flujo sin fricción y estacionario de un fluido incompresible en una tubería no acelerada.
Si el fluido es incompresible, el caudal en cualquier sección de la tubería es el mismo. Si la tube-ría tiene un área constante y la velocidad del fluido es uniforme a través de cualquier sección transversal de la tubería, se puede decir que toda partícula de fluido tiene la misma velocidad y por lo tanto la misma aceleración.
La fuerza necesaria para producir una aceleración dv/dt de la masa de fluido en la tubería es
F=AP2−P1=A ldv
dt (3.3-15)
Como la velocidad es vt=Qt/A entonces se puede escribir
P21t=If
dQ
dt ; If= l
A (3.3-16)
P21t=If p Qt (3.3-17) siendo la cantidad If=l/A es la inercia fluídica del caudal en la tubería. Como este elemento es análogo a un inductor eléctrico, se le llamará a Ifinductancia fluídica del elemento.
Definiendo a la cantidad 21 , llamada diferencia de momento de presión, como
P21=d21
dt (3.3-18)
21t=IfQt , N s /m2 (3.3-19)
La energía almacenada en un inductor puro está dada por
E=
∫
t1
tb
QtP21tdt=
∫
ab
Q d21 (3.3-20)
Para una inductancia fluídica ideal se tiene entonces que
Ek=
1 2IfQ
2
=12 21 2
If
(3.3-21)
3. Resistencia fluídica
Existen cuatro tipos de elementos básicos que presentan resistencia al flujo de un fluido que pue-den encontrar en los sistemas fluídicos:
• medio o tapón poroso • tubo capilar largo
• flujo turbulento en una tubería
• flujo a través de una restricción (orificio, válvula)
Cuando se usan presiones diferenciales pequeñas en comparación con la presión estática promedio, las características de resistencia de estos elementos son similares para fluidos lí-quidos y gaseosos.
Una expresión aproximada para la caída de presión a través de un orificio es
P21t=a0Qt∣Qt∣ (3.2-22) donde
a0=
2 Cd
2A 0
2 (3.3-23)
Cd es un coeficiente de descarga y A0 el área del orificio.
Como se aprecia en (3.3-22) la relación entre la caída de presión y el caudal en una restricción fluídica es cuadrática (no lineal).
Se definirá una resistencia fluídica ideal al elemento cuya relación constitutiva es de la forma
Qt=P21t
Rf (3.3-24)
donde Rf es la resistencia fluídica del elemento.
P=P21Qt=RfQt=P21t
Rf (3.3-25)
4. Transformador fluídico ideal
Un elemento que permita cambiar la relación entre el caudal y la presión en un sistema fluídico sin disipar energía, en forma análoga a un transformador eléctrico ideal se denominará
transformador fluídico. En este la relación entre sus entradas y salidas está dada por
Q1tP10t=Q2tP20t (3.3-6)
Q1t
Q2t=
P20t
P10t=
1
a; a= A2
[image:31.612.101.543.179.550.2]A1 (3.3-7)
Figura 3.3-1 – Elementos fluídicos (hidráulicos)
En los sistemas fluídicos la pervariable es el caudal y la transvariable la presión. Un tanque es una capacitancia fluídica que almacena energía en virtud de la transvariable (presión), una tubería larga es una inductancia fluídica ideal que almacena energía en virtud de la pervariable (caudal) y una válvula u orificio, considerados lineales en este análisis, son una resistencia fluídica que disi-pa energía. Una bomba de pistón es un transformador fluídico que estará representado por un transformador generalizado con una relación de transformación a igual al cociente inverso de las áreas de los pistones.
P
1P
2A
Q
P
0P
2P
1Q
Q
l
A
P
2P
1Q
Q
R
fP
1P
2Q
1Q
2P
0P
0P
0A
1A
23.4 Sistemas térmicos
En el caso de los sistemas térmicos mostrados en la Figura 3.4-1, se verá que solamente existe un elemento almacenador de energía, el cual la almacena en función de la temperatura, y un elemen-to disipador de energía.
1. Capacitor térmico ideal
La capacidad de un material o combinación de materiales dados de almacenar energía interna, en virtud de un incremento en la temperatura, cuando recibe un flujo neto de calor, está determinado por su masa y su llamado calor específico Cp. Este fenómeno de almacenar energía puede
descri-birse por medio de un capacitor térmico.
Cuando tiene lugar un flujo de calor q dentro de un sistema que tiene temperatura uniforme T2
re-lativa a la temperatura de referencia constante T1, estos están relacionados por
qt=CpmdT2
dt =Cpm
dT21
dt (3.4-1)
donde
Cp - calor específico, J/(kg ªC)
m - masa, kg
En un capacitor térmico ideal, el contenido de calor H y la temperatura T2 son proporcionales
Ht=CtT2t (3.4-2) donde Ct es la capacitancia térmica (J/ºC).
Como H es la integral en el tiempo del flujo de calor q, se tiene que:
CtdT21
dt =qt; Ct=Cpm (3.4-1)
qt=CtpT21t (3.4-2)
2. Inductor térmico
Un segundo elemento térmico debería ser un elemento almacenador de energía, el cual la almace-naría en virtud del flujo de calor a través de el, en forma distinta del capacitor térmico, el cual almacena energía en virtud de la temperatura. Sin embargo no se conoce un fenómeno térmico a temperaturas ordinarias de actúe de esta manera, por lo tanto no hay un elemento térmico al cual se podría llamar inductor térmico en analogía con el inductor eléctrico.
2. Resistencia térmica pura
Todos los materiales ofrecen alguna resistencia al flujo de calor, lo cual es evidente del hecho de que la temperatura desciende en la dirección del flujo de calor a través del material.
El flujo de calor a través de un material sólido ocurre por conducción, esto es, por la transferencia de energía cinética de átomo a átomo dentro del material. Este tipo de flujo de calor está descrito por la ecuación de Fourier
qt=cAT2−T1
l (3.4-3)
donde A es el área normal a la dirección del flujo de calor, l es el largo en la dirección del flujo y
T2−T1 es el gradiente de temperatura, T2T1 y c es la conductividad térmica (J/s m ºC).
Figura 3.4-1 – Elementos térmicos
Por analogía con los elementos ideales anteriores, la relación constitutiva de la resistencia térmi-ca es
qt=1
RtT21t (3.4-4)
donde Rt=l/cA es la resistencia térmica del material (ºC s/J).
En la realidad, toda masa tiene capacidad calórica y conductividad térmica, por lo que se puede representar en una mejor forma con una red que convine un capacitor térmico y resistencias térmicas.
Además de la conducción térmica, el calor se puede transmitir por convección y por radiación térmica.
Ct T2
T1 - const
T2 T1 q
q q
l
A
q q
T2 T1
T2 T1
A
h A2 A1
d
h2 h1
(U)
Capacitancia térmica
Resistencia térmica
q = T21 / Rt
Rt = 1/(ct A) Rt = 1/(h A) Rt = 1/(U A)
ct - conductividad térmica
h - coeficiente
de película U - coeficiente global de
En general se puede considerar la ecuación de una resistencia térmica ideal donde
qt=T21t Rt ; Rt=
1
ctA , Rt= 1
h A , Rt= 1
U A (3.4-5)
En los sistemas térmicos la pervariable es el flujo de calor y la transvariable la temperatura. El único elemento térmico que almacena energía es el capacitor térmico, que la almacena en virtud de la transvariable (temperatura), la resistencia térmica la disipa.
3.5 Analogías entre las variables y los elementos de los sistemas
Las relaciones constitutivas encontradas anteriormente para los distintos sistemas energéticos, permiten establecer las analogías existentes entre las diferentes pervariables y transvariables, las cuales se resumen en la Tabla 3.5-1. En la Tabla 3.5-2 se muestran los elementos generalizados que representan a los elementos físicos de los sistemas estudiados.
SISTEMA Pervariable(f) Integral de la pervariable
(h) Transvariable (v)
Integral de la transvariable (x) Mecánico trans-lacional Fuerza F Cantidad de movimiento p
Diferencia de ve-locidad V Diferencia de desplazamiento X Mecánico
rotacional ParT
Cantidad de movimiento
angular
h
Diferencia de ve-locidad angular Diferencia de desplazamiento angular
Eléctrico Corrientei Cargaq
Diferencia de po-tencial
V
Ligamento de flu-jo
L
Fluídico CaudalQ VolumenV
Diferencia de pre-sión P Cantidad de movimiento de presión
Térmico Flujo de calorq CalorH
Diferencia de temperatura
T
Sistema generalizadoInductor Ig Capacitor generalizado Cg Resistor generalizado Rg Transformador generalizado Mecánico trans-lacional resorte 1 k masa m amortiguador 1 b palanca Mecánico rotacional
barra de torsión 1 K volante J amortiguador rotacional 1 B engranes bandas Eléctrico inductor L capacitor C resistor R transformador eléctrico
Fluídico tubería largaI f tanque Cf válvula (restricción) Rf bomba
Térmico (*) - capacitortérmico
Ct
resistor térmico
Rt
-(*) El sistema térmico no cumple con las ecuaciones de energía o potencia de los elementos generalizados.
4. Obtención de la red generalizada
El primer paso en el análisis de un sistema dinámico es la obtención de la red generalizada que lo representa. Esta red tendrá asociada con cada nodo una transvariable y por cada lado una perva-riable, entendiéndose por nodo el punto de interconexión de dos o más elementos generalizados y por lado al elemento generalizado que representa a un elemento físico.
Por lo tanto, la red generalizada tendrá tantos nodos como transvariables diferentes se puedan establecer en el sistema y tantos lados como elementos tenga. Normalmente se selecciona uno de estos nodos como nodo de referencia, de manera que las transvariables de los demás nodos son relativas a este.
Una red que representa a un sistema mecánico tendrá entonces tantos nodos como velocidades li-neales, o angulares, diferentes se puedan establecer y las pervariables serán las fuerzas, o pares, por los elementos.
Para un sistema eléctrico la red equivalente tendrá tantos nodos como puntos con diferencia de potencial distinta existan en el circuito y las pervariables por los elementos serán las corrientes. Como la transvariable en un sistema fluídico es la presión, la red generalizada equivalente tendrá tantos nodos como puntos con presión diferente existan en el sistema y las pervariables por los elementos serán los caudales.
Para representar a un sistema térmico la red generalizada equivalente tendrá tantos nodos como puntos con temperatura diferente existan y los lados tendrán una pervariable que será el flujo de calor.
El dibujo de la red generalizada se inicia por lo tanto estableciendo el número de nodos necesa-rios, identificándolos, y representando a cada componente del sistema físico, por su equivalente generalizado entre los pares de nodos correspondientes. Como las velocidades de las masas y vo-lantes en un sistema mecánico, las presiones en el fondo de los tanques de un sistema fluídico y las temperaturas de las capacitancias térmicas de los sistemas térmicos, siempre se miden con respecto a un punto de referencia, los capacitores generalizados que representan a estos elementos tendrán un terminal conectado al nodo de referencia.
Como se verá más adelante, los elementos podrán representarse por su impedancia o admitancia generalizada dependiendo del tipo de análisis que se quiera realizar.
En la Figura 4.0-1 se muestra la simbología empleada en el dibujo de la red generalizada equiva-lente.
Figura 4.0-1 – Simbología para los elementos de la red generalizada
4.1 Sistemas mecánicos traslacionales
Considérese como ejemplo el sistema mecánico de la Figura 4.1-1. Normalmente se desea encon-trar la expresión que representa el movimiento de las masas, su posición y velocidad. En este caso en particular se tienen solamente dos puntos con velocidades diferentes, por lo que la red ge-neralizada equivalente tendrá dos nodos asociados con estas transvariables. Como el modelo se planteará para obtener las transvariables en los nodos de la red generalizada se dibujará ésta re-presentando los elementos por sus admitancias.
Aplicando la ley de incidencia de las pervariables se obtienen las ecuaciones
Nodo 1
m1 pb1k1p k2
p
V1−
k2p
V2=F1Nodo 2 −
k2p
V1
m2 p k2p
V2=F2 2 1f
21v
21C
g 2f
21I
gv
21 1 1 2f
21v
21R
g Capacitor generalizado Inductor generalizado Resistencia generalizadav
i+
f
i-Fuente ideal de transvariable Fuente ideal de pervariable 3 2 1 4 a : 1
f
21f
34v
43v
21Figura 4.1-1 – Ejemplo, sistema mecánico traslacional las cuales se puede escribir como:
m
1p
2
b
1p
k
1
k
2
X
1−
k
2X
2=
F
1−
k
2X
1
m
2p
2
k
2
X
2=
F
2en término de las integrales de las transvariables, que en un sistema mecánico son las posiciones.
4.2 Sistemas mecánicos rotacionales
Para un sistema mecánico rotacional como el mostrado en Figura 4.2-1, se puede dibujar la red generalizada en forma similar a como se hizo en el caso traslacional y escribir las ecuaciones
Nodo 1 K1
p 1−
K1 p 2=T
Nodo 2 −K1
p 1
J1 pB1B2K1
p
2−B23=0Nodo 3 −B22
J2pB2B3K2p
3=0F1
F1 F2
F2 b1
b1 k1
k2
m2 m1
k1/p k2/p
m1 p m2 p