Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

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BL

OQUE

Competencias a desarrollar

OBJE

TO

S DE

APRENDIZAJE

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE

4

Tiempo asignado: 10 horas

Utilizas funciones

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BL

OQUE

Competencias a desarrollar

OBJE

TO

S DE

APRENDIZAJE

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE

Reconoce el patrón de

comportamiento gráfico de las

funciones polinomiales de grados

tres y cuatro.

Describe las propiedades

geométricas de las funciones

polinomiales de grados tres y

cuatro.

Utiliza transformaciones

algebraicas y propiedades

geométricas para obtener

la solución de ecuaciones

factorizables y representar

gráficamente las funciones

polinomiales de grados tres

y cuatro en la resolución de

problemas.

Modelo matemático de las

funciones polinomiales de

grados: tres y cuatro.

Propiedades geométricas de

las funciones polinomiales de

grados: tres y cuatro.

Métodos de solución de las

ecuaciones factorizables

asociadas a una función

polinomial de grados: tres y

cuatro.

Comportamiento de la gráfica

de una función polinomial

en función de los valores que

toman sus parámetros.

Representación gráfica de

funciones polinomiales de

grados: tres y cuatro

Construye e interpreta modelos matemáticos •

Construye e interpreta modelos matemáticos •

mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Fromula y resuelve problemas matemáticos, •

aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos •

mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumenta la solución obtenida de un •

problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación.

Analiza las relaciones entre dos o más variables •

de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y •

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B4

INTRODUCCIÓN

En este bloque estudiarás las características principales de las funciones de grado tres y cuatro, también conocerás sus gráficas y las generalizaciones que nos permiten en forma rápida determinar sus principales elementos.

I. Áreas de oportunidad: (temario en donde se encontró la mayor cantidad de dificultades). ___________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

(Gráfica punto a punto de una función)

II. Grafica en hojas milimétricas las siguientes funciones en el intervalo de [-6,6].

3

4

1. - 4

2. ( ) - 2 1

3. ( - 3)( 2)

y x

f x x x y x x x

=

= +

= +

II. Contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es el dominio de las funciones polinomiales?

2. ¿Cómo se determina el rango de una función?

3. ¿Cómo se determina la intersección con el eje y?

4 12 3 9 10

3 4 2 4

25 16 7

    + 

   

 

 

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Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

4. ¿Una función de grado tres es invertible?

5. ¿Una función de grado cuatro es invertible?

La función de grado tres es una función polinomial. Tiene la forma:

3 2 1 0

1 2 3

( ) n n n n

f x =a x +a x− +a x− +a x

De forma general:

3 2

( )

f x =ax +bx + +cx d, donde a≠0

La función de grado cuatro tiene la forma:

4 3 2 1 0

1 2 3 3

( ) n n n n n

f x =a x +a x− +a x− +a x− +a x

Y su forma general es:

4 3 2

( )

f x =ax +bx +cx +dx e+

0

a

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B4

El dominio de ambas está definido así:

{

}

dominio= x R∈ /−∞ < < ∞x

El rango de la función de grado tres es:

{

/

}

rango= y R∈ −∞ < < ∞y

El rango de la función de grado cuatro se comportará de manera similar al de la función cuadrática, con la variante de que siempre se tomará el punto más bajo de las ordenadas y hacia las ordenadas positivas, tal y como lo muestra la siguiente gráfica. La flecha indica el rango:

Si su coeficiente principal es negativo, su rango comprenderá desde su punto más alto localizado en las ordenadas hacia las ordenadas negativas. Como se muestra en la figura, la flecha indica el rango.

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Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Ejemplo

Dada la gráfica de la siguiente función de grado cuatro, determina su dominio y su rango, señala su rango con color rojo.

Por ser una función polinomial su dominio es:

{

}

dominio= x R∈ /−∞ < < ∞x

Si observas la gráfica puedes darte cuenta de que el dominio (el punto más bajo de la gráfica de la función) está localizado en y≈-160; más adelante, calcularemos los valores exactos, por lo que el rango queda definido:

{

/ 160

}

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B4

Ejemplo:

Dada la gráfica de la función de grado tres determina su dominio y su rango, señala con color rojo el rango en la gráfica:

Por ser una función polinomial sabemos que su dominio es:

{

}

dominio= x R∈ /−∞ < < ∞x

Si analizamos las características de esta gráfica y con el apoyo de la generalización sobre el rango de las funciones cúbicas o de grado tres es:

{

/

}

rango= y R∈ −∞ < < ∞y

Funciones cúbicas y de grado cuatro

Dadas las siguientes gráficas de funciones cúbicas y de grado cuatro, determina su dominio y su rango, y escríbelo en la línea de abajo. También señala su rango sobre la gráfica con color rojo.

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Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

1. _____________________________________________________

2. ___________________________________________________

Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en relación con los valores que toman sus parámetros.

En su forma más simple, su expresión algebraica y su gráfica toman la forma:

3

( )

f x =x

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B4

El comportamiento general de todas las funciones de grado tres, en cuanto a su rango se refiere, está basado es este caso particular.

Ejemplo

Traslada la gráfica de la función f x( )=x3

tres unidades a la derecha y dos unidades hacia abajo:

Como recordarás, para trasladar cualquier función hacia la derecha deberás restar a la variable dependiente el número de unidades que quieres desplazar la función, de tal manera que le restaremos tres unidades:

3

3

( )

( 3)

f x x y x

= = −

Verificamos que realmente se desplace la gráfica:

3 3

( ) ( ) ( 4)

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Efectivamente, se desplazó hacia donde queríamos.

Ahora, lo desplazamos dos unidades hacia abajo.

3

3

( )

( 3) 2

f x x y x

= = − −

Comprobando:

En efecto se realizaron los desplazamientos deseados.

Desarrollemos la función obtenida para ver su expresión completa.

3

3 2

3 2

( ) ( 3) 2

( ) 9 27 27 2

( ) 9 27 29

f x x

f x x x x f x x x x

= − −

= − + − − = − + −

Ahora, si quisiéramos que se invirtiera nuestra función, le cambiamos el coeficiente principal y se lo ponemos negativo.

Quedaría:

3

( ) ( 3) 2

f x = − −x

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B4

Claramente se observa que se invierte.

Desplazamiento de funciones

I. Dadas las siguientes funciones realiza lo que se te pide:

f(x) = x2, 3 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba.

f(x) = x3, 5 unidades a la derecha y 3 unidades hacia abajo.

f(x) = x4, 1/2 unidad a la izquierda y 3.5 unidades hacia abajo.

II. Construye la ecuación de una caja abierta de base cuadrada

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Gráficas de funciones cúbicas con coeficiente positivo

Gráficas de funciones cúbicas con coeficiente negativo

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B4

Función de grado cuatro

En su forma más simple, la función de grado cuatro es: f x( )=x4 y su gráfica es

similar a la de la función cuadrática:

La diferencia entre la gráfica de la función cuadrática y la de la función grado cuatro radica, principalmente, en que los valores de las ordenadas en el intervalo [-1 y 1] "crecen" muy lento, pero antes y después de estos valores decrecen y crecen más “rápidamente” que en la de grado dos.

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mismo lado, es decir, hacia las ordenadas positivas, tal y como se observa en las siguientes gráficas:

Gráficas de funciones de grado cuatro, con coeficiente positivo

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Graficas de funciones de grado cuatro, con coeficiente negativo

Verificando tus desempeños.

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que implique una dificultad es un área de oportunidad en la que deberás de centrar tu atención y tus estudios.

Con ayuda de tu maestro, escribe aquí tus áreas de oportunidad:

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

Reconoce el patrón de comportamiento gráfico de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

I. Escribe en la parte inferior de cada gráfica si corresponde a una función de grado tres o de grado cuatro:

1. __________________________ 2.___________________________

Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

II. Describe la gráfica de una función de grado tres cuyo coeficiente es negativo.

Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener la solución de ecuaciones factorizables y representar gráficamente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas.

3

( ) ( 4) 2

f x = +x − . Traza la gráfica de la función cúbica en color rojo y traslada la función siete unidades hacia la derecha a partir del eje y dos unidades hacia arriba de la posición actual.

Figure

Actualización...

Referencias