Hidrolog´ıa: Patrones Vegetaci ´on

Texto completo

(1)

Hidrolog´ıa: Patrones Vegetaci ´on

Oscar J. Mesa S.

ojmesa@unal.edu.co

Universidad Nacional de Colombia

(2)

Introducci ´on Modelos Inestabilidad de Turing

C

ONTENIDO

Introducci ´on

Un Modelo Lineal Un Modelo Cuadr´atico

(3)

Introducci ´on Modelos Inestabilidad de Turing

C

ONTENIDO

Introducci ´on

Modelos

Un Modelo Lineal Un Modelo Cuadr´atico

(4)

C

ONTENIDO

Introducci ´on

Modelos

Un Modelo Lineal Un Modelo Cuadr´atico

(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)

M

OTIVACION

´

M

URRAY

[2008,

P

. 71]

I El Sahara tuvo un clima

mucho m´as h ´umedo hace unos 5000 a ˜nos [Tierney et al., 2013]

I Sequ´ıa del final de la

d´ecada de 1960 y

principios de los 70 en el Sahel en el norte de

´ Africa

I Amazonas

I Albedo [Charney, 1975]

I Evaporaci ´on [Makarieva

and Gorshkov, 2007]

I Patrones [Brovkin et al.,

1998, Sol´e, 2011]

I Verificar [Rietkerk et al.,

(17)

M

ODELO

L

INEAL

Una aproximaci ´on es considerar un modelo lineal para representar la interacci ´on entre la cobertura vegetal y la disponibilidad de agua sin considerar los patrones espaciales

Sol´e [2011, p. 136]. SeaSla cantidad de agua en el suelo yVla

cobertura vegetal. La lluviaPse considera constante, y que

entra directamente al suelo. Por escorrent´ıa hay una salida

proporcional aS, con constante de proporcionalidad.

(18)

Un Modelo Lineal

E

CUACIONES

De forma gen´erica este consumo se representa por la funci ´on

Γ(V). En el caso linealΓ(V) =Vy en el caso cuadr´atico

Γ(V) =V2. Las plantas crecen haciendo fotos´ıntesis, para lo

cual consumen agua en la transpiraci ´on, lo que se representa

mediante un factor de eficienciaρ. La tasa de mortalidad de las

plantas,rm, es independiente de la cobertura. Bajo estas

hip ´otesis se puede escribir un modelo din´amico en dos variables

dV

dt = ˙V=−rmV+ρSΓ(V) (1)

dS

(19)

U

NA SOLA VARIABLE

Es posible hacer una reducci ´on de este problema de dos variables a una sola variable igualando a cero el lado derecho

de la Ec. (2) para obtener una ecuaci ´on paraSque se substituye

en la Ec. (1). Esto equivale a suponer que el sistema agua tiene una escala de tiempo m´as r´apida que el sistema planta. De la

Ec. (2) se obtieneS=P/(+V)paraS˙ =0.

dV

dt =

PρΓ(V)

+ Γ(V) −rmV. (3)

Para los puntos fijos bien seaV=0 y por tantoS=P/; o

tambi´en−rm+ρS=0, es decirS=rm/ρy por tanto

rm/ρ=P/(+V), de dondeV=Pρ/rm−, para lo cual es

necesario querm/ρ≤P/. Esta condici ´on se puede expresar

(20)

Un Modelo Lineal

D

OS ESTADOS

En resumen siµ≥hay dos puntos fijos, uno correspondiente

a una situaci ´on de desierto,A= (0,P/). El otro corresponde a

una situaci ´on verde,B= (Pρ/rm−,rm/ρ). En La Figura 1 se

ilustra el diagrama de fase correspondiente. Siµ < s ´olo hay

un punto fijo,A, que corresponde a una situaci ´on de desierto,

(21)

E

STABILIDAD

La estabilidad lineal de los puntos fijos se puede estudiar mediante los valores propios de la matriz Jacobiana

J(V,S) = "

−rm+ρS ρV

−S −−V

#

(4)

(22)

Un Modelo Lineal

J

ACOBIANO

Es decir las matrices

J(A) = "

−rm+Pρ/ 0

−P/ −

#

(5)

J(B) = "

0 Pρ2/r

m−ρ

−rm/ρ −Pρ/rm

#

(23)

V

ALORES PROPIOS

Los valores propios correspondientes sonλ1 =−y

λ2=−rm+Pρ/para el puntoA. LuegoAes un punto de silla

siµ > , y un nodo estable en el otro caso. Para el puntoB, los

valores propios sonλ1,2={−µ±

p

µ24r

m(µ−)}/2,lo que

(24)

Un Modelo Lineal

E

SPACIO DE FASE

Figura: Espacio de fase para el sistema representado por las Ecs. (1) y

(2) para el caso en el cual la funci ´onΓes lineal. Los puntos fijosAyB

(25)

S

ISTEMA REACCION

´

-

DIFUSION

´

De la Ec. (2) se obtieneS=P/(+V2)cuandoS˙ =0. De

manera semejante igualando a cero el lado derecho de la Ec. (1)

se obtiene, bien seaV=0 y por tantoS=P/; o tambi´en

−rm+ρSV=0, es decirS=rm/(ρV)y por tanto

rm/(ρV) =P/(+V2). En esta segunda alternativa

V= (µ±pµ24)/2, para lo cual es necesario que

µ=Pρ/rm ≥2

(26)

Un Modelo Cuadr´atico

E

SPACIO DE FASE

En resumen siµ >2√hay tres puntos fijos, uno

correspondiente a una situaci ´on de desierto,A= (0,P/), un

segundo que es un punto de silla

B= ({µ−pµ24}/2,r

m{µ+

p

µ24/(2ρ))y el tercero

correspondiente a una situaci ´on verde que es una espiral estable,C= ({µ+pµ24}/2,r

m{µ−

p

µ24}/(2ρ)). En

La Figura 2 se ilustra el diagrama de fase correspondiente. Si

µ <2√s ´olo hay un punto fijo,A, que corresponde a una situaci ´on de desierto estable, lo que ocurre cuando las dos

curvas no se cortan. En el casoµ=2√las dos curvas son

tangentes, hay dos puntos fijos, el puntoAse mantiene y los

dos puntos fijosByCse juntan en uno con coordenadas

(27)

J

ACOBIANO

Para estudiar la estabilidad lineal de los puntos fijos se estudian los valores propios de la matriz Jacobiana

J(V,S) = "

2VSρ−rm V2ρ

−2VS −V2−

#

(7)

que se eval ´ua en cada uno de los puntos fijos y se comprueba

queAes un sumidero estable,Bes un punto de silla yCes una

espiral estable. En el caso tangente el puntoBes degenerado.

(28)

Un Modelo Cuadr´atico

E

SPACIO DE FASE

Figura: Espacio de fase para el sistema Ecs. (1) y (2) conΓcuadr´atica.

Los puntos fijosA,ByCrepresentan una condici ´on de desierto, un

(29)

I

NESTABILIDAD DE

T

URING

, [T

URING

, 1952]

Para usar la misma nomenclatura (vegetaci ´on y humedad del

suelo), seanVySdos variables que ahora dependen tanto del

espacio como el tiempo y que cumplen un sistema de ecuaciones diferenciales parciales.

∂V

∂t =νf(V,S) +dV∆V ∂S

(30)

Reacci ´on Difusi ´on

S

ISTEMA REACCION

´

-

DIFUSION

´

Las funcionesf ygson no lineales y corresponden a la parte

reactiva del sistema, mientras que los otros t´erminos de la

derecha, los que contienen el Laplaciano (∆) corresponden a la

parte difusiva. La constanteνpuede interpretarse como un

par´ametro de escala entre los t´erminos reactivos y difusivos, o tambi´en como una medida de la escala del dominio. Las

(31)

M

OTIVACION

´

(32)

Reacci ´on Difusi ´on

M

ORFOGENESIS

´

En qu´ımica hay ejemplos con comprobaci ´on experimental que dan origen a patrones descritos por este tipo de ecuaciones, como se dijo primero introducidas por Turing [1952] para explicar la morfog´enesis en biolog´ıa. Entre los ejemplos de aplicaci ´on est´an los patrones de manchas en la piel de animales como las jirafas, los tigres o los leopardos. Como se vera, para la aparici ´on de estos patrones se deben cumplir ciertas

condiciones. En principio se habla de patrones de Turing

cuando el sistema sin difusi ´on (dV=dS=0) tiene una soluci ´on

homog´enea estable y como resultado de introducir la difusi ´on se presenta inestabilidad a ciertas escalas que dan origen al patr ´on espacial. Normalmente la difusi ´on se piensa suaviza y por tanto suena a primera vista extra ˜no que produzca

(33)

C

ASO HOMOGENEO EN EL ESPACIO

´

Note que para el caso no difusivo, aunqueVySdependen de

las variables espaciales, el sistema resultante se puede tratar con las herramientas de los sistemas din´amicos resultantes de ecuaciones diferenciales ordinarios. Simplemente la soluci ´on se interpreta como una soluci ´on homog´enea en el espacio. En general una funci ´on es homog´enea si es invariante ante desplazamientos. En este caso significa que es constante. Suponga que existe un punto fijo estable del sistema no difusivo, que denotamos porV¯,¯S. es decirf( ¯V,¯S) =0 y

g( ¯V,¯S) =0. La condici ´on de estabilidad significa que la matriz

(34)

Reacci ´on Difusi ´on

C

ONDICION ESTABILIDAD COMPONENTE REACTIVA

´

A=

"

fV( ¯V,¯S) fS( ¯V,¯S)

gV( ¯V,¯S) gS( ¯V,¯S)

#

tiene valores propios con parte real negativa. De ahora en adelante para simplificar la escritura se van a omitir los argumentos que se deben sobre entender. Esta condici ´on se puede escribir como

(35)

P

ERTURBACION

´

Para estudiar la estabilidad del sistema completo Ecs. (8),

considere una soluci ´on( ¯V,¯S) +Wcercana a la soluci ´on

homog´enea estable. La aproximaci ´on lineal es

W

∂t =νAW+DW, conD= "

dV 0

0 dS

(36)

Reacci ´on Difusi ´on

S

OLUCIONES EXPONENCIALES

Si se buscan soluciones de la forma

X

j

eλjtW

j(x,y) =

X

j

(c1,j,c2,j)exp{λjt+i(kx,jx+ky,jy)},

se obtiene para cadaj

λjWj=νAWj−k2jDWj,

dondek2

j =k2x,j+k2y,j es el cuadrado de la magnitud del vector

de onda. Como se quieren soluciones no triviales, los autovalores deben cumplir

(37)

C

ONDICION ESTABILIDAD

´

En t´erminos de las variables originales esto significa

λ2+λ[k2(dV+dS)−ν(fV+gS)] +h(k2) =0, (10)

(38)

Reacci ´on Difusi ´on

C

ONDICION ESTABILIDAD

´

(

CONT

.)

La soluci ´on homog´enea( ¯V,S)¯ es estable siR(λ)<0. Para que los t´erminos difusivos produzcan desestabilizaci ´on se requiere

que para alg ´unk6=0 alguna de la dos ra´ıces de Ec. (10) sea

positiva. Esto puede suceder si el coeficiente deλen Ec. (10) es

negativo, o sih(k2)<0. Como de Ec. (9) se tiene quef

V+gS<0

yk2(dV+dS)>0 para todok6=0, el coeficiente deλen Ec. (10)

es positivo. Por lo tanto, la ´unica manera en queR(λ)>0 es

cuandoh(k2)<0 para alg ´unk. Ahora, como de Ec. (9) se tiene

que det(A)>0 la ´unica posibilidad para queh(k2)sea negativa

es que(dSfV+dVgS)>0. Pero por Ec. (9) se tiene que

fV+gS<0, lo que implica quedV=6 dSy quefVygSdeben

(39)

C

ONDICION ESTABILIDAD

´

(

CONT

.)

Es decir, adicional a la condici ´on (9), para que haya inestabilidad de Turing es necesario que

dSfV+dVgS>0 ydV6=dS. (11)

Pero la Ec. (11) no es una condici ´on suficiente. Para queh(k2)

sea negativa, el m´ınimo dehdebe ser negativo. Tomando

derivadas con respecto ak2e igualando a cero se tiene que

hmin=ν2

"

det(A)−(dSfV+dVgS)

2

4dSdV

#

para

k2=kmin2 =νdSfV+dVgS

2dSdV

(40)

Reacci ´on Difusi ´on

C

ONDICION DE INESTABILIDAD

´

Por lo tanto la condici ´on para queh(k2)<0 para alg ´unk6=0 es

(dSfV+dVgS)2

4dSdV

>det(A), (12)

y en la bifurcaci ´onhmin=0, es decir

det(A) = (dSfV+dVgS)2/4dSdVlo que significa que en el punto

cr´ıtico, si la matrizAest´a fija, hay una relaci ´on cr´ıtica entre los

coeficientes de difusi ´onrc=dS/dVque cumple

(41)

N ´

UMERO DE ONDA CR

´

ITICO

y el n ´umero de onda cr´ıtico cumple

k2c =νrcfV+gS

2rc

=ν s

det(A) rc

=ν s

fVgS−fSgV

rc

.

En resumen las condiciones para la generaci ´on de patrones por el mecanismo de inestabilidad de Turing son Ecs. (9), (11) y (12),

fV+gS<0,

fVgS−fSgV>0,

dSfV+dVgS>0,

(42)

Reacci ´on Difusi ´on

A

CTIVADOR

Los coeficientes de difusi ´on deben ser diferentes y las

derivadasfVygSdeben tener signo distinto, y los t´erminos

cruzadosfSygVtambi´en deben tener signo diferente para que

el determinante sea positivo. Para esto hay dos posibilidades. Con la terminolog´ıa de reacci ´on-difusi ´on, el reactivo que promueve el crecimiento del otro se denomina activador y el que promueve el decrecimiento es el inhibidor. En el caso

ilustrado en la parte superior de la Figura 3,Ves activador de

(43)

I

NHIBIDOR

Para que se desarrolle un patr ´on en este caso el inhibidor debe difundirse m´as r´apido. En el caso ilustrado en la parte inferior

de la figura,Sactiva aVpero se auto-inhibe y se difunde m´as

(44)

Reacci ´on Difusi ´on

C

ASOS DE INESTABILIDAD DE

T

URING

" fV fS

gV gS

# = " + − + − # -­‐1 .3 0 .7 0 V S " fV fS

gV gS

# = " + + − − #

-­‐1.3  

0.7  

0  

 V    S  

Figura: Arriba la variableVes activador deSy tambi´en se autoactiva,

mientas queSes inhibidor de ambos. Abajo la variableVse

(45)

D

ETALLE DE CONDICION DE

´

T

URING

-­‐2   -­‐1   0   1   2   3   4   5  

0   0.02   0.04   0.06   0.08   0.1   0.12   0.14   0.16   0.18  

h(k2)  

k2  

   r_c      r  <  r_c      r  >  r_c  

-­‐0.16   -­‐0.14   -­‐0.12   -­‐0.10   -­‐0.08   -­‐0.06   -­‐0.04   -­‐0.02   0.00   0.02   0.04  

0   0.02   0.04   0.06   0.08   0.1   0.12   0.14   0.16   0.18  

λ(k2)  

k2  

   r_c      r  <  r_c      r  >  r_c  

Figura: Esquema de dependencia deh(k2)(izquierda) yλ(k2)

calculadas de acuerdo a Ec. (10) para el ejemplo del modelo cuadr´atico con los par´ametros indicados en el texto para 3 casos de

(46)

Modelo de Klausmeier

M

ODELO DE

K

LAUSMEIER

[1999]

La parte no difusiva es el modelo cuadr´atico:f ygen (8) dados

por Ecs. (1) y (2). Se fijaP=16,=4,rm =0,2, yρ=1/16. Para

el equilibrio verdeV=4 yS=0,8, y

A=

"

0,2 1

−6,4 −20

# ,

con traza−19,8 y determinante 2,4, cumple la condici ´on de

estabilidad. De la Ec. (13) la relaci ´on cr´ıtica entre los coeficientes de difusi ´on esrc=ds/dv=415,96. Condici ´on

necesaria para Ec. (11).

En la Figura 4 se ilustrah(k2)yλ(k2). Claramente parar>r

c

hay un rango de n ´umeros de onda para los cualesh<0 y por

(47)

V

ARIANTE ADVECTIVA

Klausmeier [1999] presenta una variaci ´on al modelo donde la

ecuaci ´on para la humedad del sueloS, en lugar de un t´ermino

difusivo hay uno advectivo. El ´ultimo t´ermino de Ec. (8) se

reemplaza pora∂S/∂x.

Los resultados presentan bandas de vegetaci ´on entre

mezcladas con bandas de suelo desnudo, el agua no se infiltra en las zonas desnudas, sino que fluye aguas abajo hasta la pr ´oxima banda vegetada donde se infiltra y soporta

(48)

Modelo de Rietkerk

M

ODELO DE

R

IETKERK ET AL

. [2002]

Variables: densidad de vegetaci ´onV[g m−2], la humedad del

sueloS[mm]y la escorrent´ıa superficialQ[mm].

I El primer t´ermino de la derecha de la Ec. (14) representa el

uso del agua por la vegetaci ´on. Se usa la llamada funci ´on de Monod creciente con la humedad del suelo, con un tasa m´axima de saturaci ´on que es proporcional a la vegetaci ´on presente. El siguiente t´ermino se debe a la mortalidad de la vegetaci ´on y el ´ultimo corresponde a la dispersi ´on que se representa con el laplaciano.

I La Ec. (15) corresponde al balance de agua en el suelo, el

primer t´ermino se debe a la infiltraci ´on que proviene del

flujo superficialQ, el segundo corresponde al uso por las

(49)

E

CUACIONES

I La Ec. (16) es el balance del agua superficial, tiene la

precipitaci ´on (constante), la infiltraci ´on y la difusi ´on lateral. Es clave la representaci ´on de la infiltraci ´on con una ecuaci ´on de Monod modificada, con una tasa m´axima proporcional a la vegetaci ´on presente.

∂V

∂t =cgxV S S+r1

−rmV+cV∆V (14)

∂S ∂t =αQ

V+r0r2

V+r2

−gxV S

S+r1

−reS+cS∆S (15)

∂Q

∂t =P−αQ

V+r0r2

V+r2

(50)

Modelo de Rietkerk

P

ARAMETROS

´

I Factor de conversi ´on de agua a masa de vegetaci ´on,

c=10 g mm−1m−2.

I La m´axima absorci ´on espec´ıfica de agua,

gx =0,05 mm g−1m2d−1.

I La mitad de la constante de saturaci ´on de crecimiento de la

planta y absorci ´on de agua,r1=5 mm.

I La tasa de mortalidad de las plantas (var´ıa entre 0 y 0,5),

rm=d−1.

I El coeficiente de dispersi ´on (difusi ´on) de las plantas,

(51)

P

ARAMETROS

´

(

CONT

.)

I El correspondiente del agua en el suelo escS=0,1 m2d−1.

I el correspondiente para el agua superficial es

cQ =100 m2d−1.

I La m´axima tasa de infiltraci ´on esα=0,2 d−1,

I la tasa de infiltraci ´on saturada esr2=5 g m−2

I la tasa de infiltraci ´on sin vegetaci ´on esr0=0,2.

I La tasa espec´ıfica de p´erdida de agua por evaporaci ´on y

drenaje,re=0,2 d−1.

(52)

Modelo de Rietkerk

F

UNCION DE

´

M

ONOD

ymax

k ymax/2

0   0.3   0.6   0.9   1.2  

0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  

y

x ymax

k1

k2-2k1k2

ymax/2

0   0.3   0.6   0.9   1.2  

0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  

y

x

Figura: Funci ´on de Monody=ymaxx/(x+r)(izquierda) y funci ´on de

(53)

¿P

ATRONES

?

Dicen Rietkerk et al. [2002] que los patrones en zonas planas

cambian a medida que se aumenta la precipitaci ´onP. Para

P=0,75 mm d−1la vegetaci ´on se concentra en puntos

regularmente espaciados. El patr ´on cambia a laberintos para

P=1 mm d−1, y a vac´ıos conP=1,25 mm d−1. Estos ´ultimos se

(54)

Modelo de Rietkerk

C

ONDICIONES INESTABILIDAD DE

T

URING

Lo primero es buscar los puntos fijos para la componente de

reacci ´on (los coeficientes de difusi ´oncV=cS=cQ =0). Esto

corresponde al llamado estado estacionario, aunque los coeficientes de difusi ´on no sean cero, tal estado si es homog´eneo es un punto fijo del sistema. La raz ´on es que el laplaciano de un campo homog´eneo es cero. El estado estacionario homog´eneo puede ser estable o inestable, pero incluso en el caso estable la difusi ´on puede amplificar cualquier imperfecci ´on aleatoria, para lo cual es necesario que los

coeficientes de difusi ´on sean diferentes entre si. De la Ec. (14) se obtiene que oV∗1 =0 oS∗2=rmr1/(cgx−rm). Se ve facilmente

que los compa ˜neros del primer punto, sin vegetaci ´on, son

V1∗=0, Q∗1 = P αr0

, S∗1 = P re

(55)

C

ONDICIONES INESTABILIDAD DE

T

URING

(

CONT

.)

Para el segundo caso, de la Ec. (16) se obtiene que

P=α(V+r0r2)/(V+r2)que en Ec. (15) lleva a una expresi ´on

para la vegetaci ´on el segundo punto verdeV∗2 >0, y la Ec. (16)

proporciona una paraQ∗2

V2∗= c(P−reS

2)

rm

, Q∗2= P(V

2+r2)

α(V2∗+r0r2)

, S∗2= rmr1 cgx−rm

.

(56)

Modelo de Rietkerk

S

IMULACIONES

Las simulaciones no reproducen los resultados reportados. Adem´as, la reducci ´on del problema a dos variables no cumple las condiciones necesarias para la existencia de patrones, contrario a lo reportado por HilleRisLambers et al. [2001]. Para

esto se iguala a cero la derivada deQrespecto al tiempo, con la

(57)

B

IBLIOGRAF

´

IA

I

V. Brovkin, M. Claussen, V. Petoukhov, and A. Ganopolski. On the stability of the atmosphere-vegetation system in the sahara/sahel region.Journal of Geophysical Research-Atmospheres, 103(D24):31613–31624, 1998.

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(58)

Modelo de Rietkerk

B

IBLIOGRAF

´

IA

II

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(59)

B

IBLIOGRAF

´

IA

III

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(60)

Modelo de Rietkerk

B

IBLIOGRAF

´

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