Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Aplicaciones de las leyes de equivalencia
Ejercicio: Establecer la equivalencia
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡p usando la tabla de equivalencias anterior.
Sol:
1 (De Morgan)
((p∨q)∧(p∨r))∧(¬(¬p∧q))≡((p∨q)∧(p∨r)∧(¬(¬p)∨¬q)
2 (Doble negaci´on)≡((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨ ¬q) 3 (Distributiva) ≡(p∨(q∧r))∧(p∨ ¬q)
4 (Distributiva) ≡p∨((q∧r)∧ ¬q)
5 (Conmutativa y asociativa)≡p∨((q∧ ¬q)∧r) 6 (Contradicci´on)≡p∨(F ∧r)
7 (Dominaci´on)≡p∨F 8 (Identidad) ≡p
Consecuencia l´
ogica
Definici´on: Supongamos que P1,P2, ...,Pt yQ son FBF’s.
Decimos queQ esconsecuencia l´ogicade P1,P2, ...,Pt si y s´olo
si el condicional (P1∧P2∧...∧Pt)⇒Q es una tautolog´ıa.
Para indicar queQ es consecuencia de{P1,P2, ...,Pt}, se utiliza la
notaci´on
{P1,P2, ...,Pt}Q. (1)
y a las FBF’sP1,P2, ...,Pt se les llama premisas.
Ejemplo: ”Todos los mi´ercoles la universidad presenta un grupo de cuenteros o un grupo musical. Adem´as, no se hace una
presentaci´on de la misma clase de grupos en dos mi´ercoles seguidos. Hoy es mi´ercoles y el pasado mi´ercoles se present´o un grupo musical”. ¿Cu´al es la consecuencia l´ogica del texto anterior? Muestre que su respuesta es, en efecto, una consecuencia l´ogica del texto anterior.
Consecuencia l´
ogica
Sol: Consideremos lo siguiente ´atomos:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
Consecuencia l´
ogica
Sol: Consideremos lo siguiente ´atomos:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
Consecuencia l´
ogica
Sol: Consideremos lo siguiente ´atomos:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
Consecuencia l´
ogica
Sol: Consideremos lo siguiente ´atomos:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
Consecuencia l´
ogica
Sol: Consideremos lo siguiente ´atomos:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
Razonamiento v´
alido
Definici´on: Sea R= ({P1,P2, ...,Pt},C) un razonamiento
deductivo de premisasP1,P2, ...,Pt y conclusi´onC.Decimos que el
razonamientoR esv´alido si y s´olo siC es consecuencia l´ogica de
P1,P2, ...,Pt.
De este modo, si un razonamiento deductivoNOes v´alido, es necesario mostrar una interpretaci´on para las premisas donde se obtenga una conclusi´on falsa. A tal interpretaci´on se le llamaun contrejemplo.
Ejercicio:Muestre que el razonamiento siguiente es v´alido: ”Si es verdad que si llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian, Si los estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o el examen es trivial. Pero si el examen es trivial, entonces los estudiantes son flojos. Y es un hecho que los
estudiantes aprueban el examen y no son flojos. En consecuencia, llueve y los estudiantes no se acuestan”.
Los ´atomos son:
p: Llueve
q: Los estudiantes se acuestan r: Los estudiantes estudian
s: Los estudiantes aprueban el examen
t: El examen es trivial
u: Los estudiantes son flojos
El argumento entonces es:
{[(p⇒q)⇒ ¬r]∧[s ⇒(r∨t)]∧(t ⇒u)∧(s∧ ¬u)} ⇒(p∧ ¬q)
Los ´atomos son:
p: Llueve
q: Los estudiantes se acuestan
r: Los estudiantes estudian
s: Los estudiantes aprueban el examen
t: El examen es trivial
u: Los estudiantes son flojos
El argumento entonces es:
{[(p⇒q)⇒ ¬r]∧[s ⇒(r∨t)]∧(t ⇒u)∧(s∧ ¬u)} ⇒(p∧ ¬q)
Los ´atomos son:
p: Llueve
q: Los estudiantes se acuestan r: Los estudiantes estudian
s: Los estudiantes aprueban el examen
t: El examen es trivial
u: Los estudiantes son flojos
El argumento entonces es:
{[(p⇒q)⇒ ¬r]∧[s ⇒(r∨t)]∧(t ⇒u)∧(s∧ ¬u)} ⇒(p∧ ¬q)
Los ´atomos son:
p: Llueve
q: Los estudiantes se acuestan r: Los estudiantes estudian
s: Los estudiantes aprueban el examen
t: El examen es trivial
u: Los estudiantes son flojos
El argumento entonces es:
{[(p⇒q)⇒ ¬r]∧[s ⇒(r∨t)]∧(t ⇒u)∧(s∧ ¬u)} ⇒(p∧ ¬q)
Los ´atomos son:
p: Llueve
q: Los estudiantes se acuestan r: Los estudiantes estudian
s: Los estudiantes aprueban el examen
t: El examen es trivial
u: Los estudiantes son flojos
El argumento entonces es:
{[(p⇒q)⇒ ¬r]∧[s ⇒(r∨t)]∧(t ⇒u)∧(s∧ ¬u)} ⇒(p∧ ¬q)
Los ´atomos son:
p: Llueve
q: Los estudiantes se acuestan r: Los estudiantes estudian
s: Los estudiantes aprueban el examen
t: El examen es trivial
u: Los estudiantes son flojos
El argumento entonces es:
{[(p⇒q)⇒ ¬r]∧[s ⇒(r∨t)]∧(t ⇒u)∧(s∧ ¬u)} ⇒(p∧ ¬q)
Reglas de inferencia. Deducci´
on natural.
Definici´on: Unaregla de inferencia es un esquema deductivo cuya validez se acepta sin discusi´on ya que corresponden a estructuras simples de razonamientos v´alidos.
Definici´on: Ladeducci´on natural es un m´etodo para establecer la validez de un argumento donde se obtiene la conclusi´on usando reglas de inferencia.
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C 4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C 4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C
4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C
4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C
4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C
4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C
4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Reglas de inferencia
Las reglas de inferencia son las siguientes:
1 Modus ponens (MP):{A,A⇒B}B 2 Modus tollens (MT):{A⇒B,¬B}¬A
3 Silogismo hipot´etico (SH):{A⇒B,B ⇒C}A⇒C
4 Silogismo disyuntivo (SD): {A∨B,¬A}B o
{A∨B,¬B}A
5 Dilema constructivo (DC):
{(A⇒B),(C ⇒D),A∨C}(B∨D)
6 Simplificaci´on (Sim):{A∧B}A o{A∧B}B 7 Conjunci´on (Con): {A,B}A∧B
8 Adjunci´on (Adj): {A}(A∨B) o{A}(B∨A)
Ejemplo: Usar deducci´on natural para establecer la validez del razonamiento: ”Todos los mi´ercoles la universidad presenta un grupo de cuenteros o un grupo musical. Adem´as, no se hace una presentaci´on de la misma clase de grupos en dos mi´ercoles seguidos. Hoy es mi´ercoles y el pasado mi´ercoles se present´o un grupo musical. Por lo tanto, la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros”.
Los s´ımbolos que se usaron son:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros. r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
El argumento es entonces:
[(p ⇒(q∨r))∧(s ⇒ ¬q)∧(t ⇒ ¬r)∧(p∧t)]⇒q
Ejemplo: Usar deducci´on natural para establecer la validez del razonamiento: ”Todos los mi´ercoles la universidad presenta un grupo de cuenteros o un grupo musical. Adem´as, no se hace una presentaci´on de la misma clase de grupos en dos mi´ercoles seguidos. Hoy es mi´ercoles y el pasado mi´ercoles se present´o un grupo musical. Por lo tanto, la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros”.
Los s´ımbolos que se usaron son:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
El argumento es entonces:
[(p ⇒(q∨r))∧(s ⇒ ¬q)∧(t ⇒ ¬r)∧(p∧t)]⇒q
Ejemplo: Usar deducci´on natural para establecer la validez del razonamiento: ”Todos los mi´ercoles la universidad presenta un grupo de cuenteros o un grupo musical. Adem´as, no se hace una presentaci´on de la misma clase de grupos en dos mi´ercoles seguidos. Hoy es mi´ercoles y el pasado mi´ercoles se present´o un grupo musical. Por lo tanto, la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros”.
Los s´ımbolos que se usaron son:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
El argumento es entonces:
[(p ⇒(q∨r))∧(s ⇒ ¬q)∧(t ⇒ ¬r)∧(p∧t)]⇒q
Ejemplo: Usar deducci´on natural para establecer la validez del razonamiento: ”Todos los mi´ercoles la universidad presenta un grupo de cuenteros o un grupo musical. Adem´as, no se hace una presentaci´on de la misma clase de grupos en dos mi´ercoles seguidos. Hoy es mi´ercoles y el pasado mi´ercoles se present´o un grupo musical. Por lo tanto, la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros”.
Los s´ımbolos que se usaron son:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
El argumento es entonces:
[(p ⇒(q∨r))∧(s ⇒ ¬q)∧(t ⇒ ¬r)∧(p∧t)]⇒q
Ejemplo: Usar deducci´on natural para establecer la validez del razonamiento: ”Todos los mi´ercoles la universidad presenta un grupo de cuenteros o un grupo musical. Adem´as, no se hace una presentaci´on de la misma clase de grupos en dos mi´ercoles seguidos. Hoy es mi´ercoles y el pasado mi´ercoles se present´o un grupo musical. Por lo tanto, la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros”.
Los s´ımbolos que se usaron son:
p: Es mi´ercoles.
q: La universidad presenta hoy un grupo de cuenteros.
r: La universidad presenta hoy un grupo musical.
s: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo de cuenteros.
t: El mi´ercoles pasado la universidad present´o un grupo musical.
El argumento es entonces:
[(p ⇒(q∨r))∧(s ⇒ ¬q)∧(t ⇒ ¬r)∧(p∧t)]⇒q
1 p ⇒(q∨r) (Premisa) 2 s ⇒ ¬q (Premisa) 3 t ⇒ ¬r (Premisa) 4 p∧t (Premisa) 5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5) 7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa) 4 p∧t (Premisa) 5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5) 7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa)
4 p∧t (Premisa) 5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5) 7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa)
4 p∧t (Premisa) 5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5) 7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa)
4 p∧t (Premisa)
5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5) 7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa)
4 p∧t (Premisa)
5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5)
7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa)
4 p∧t (Premisa)
5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5)
7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa)
4 p∧t (Premisa)
5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5)
7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 p ⇒(q∨r) (Premisa)
2 s ⇒ ¬q (Premisa)
3 t ⇒ ¬r (Premisa)
4 p∧t (Premisa)
5 t (Sim en 4)
6 ¬r (MP entre 3 y 5)
7 p (Sim en 4)
8 q∨r (MP entre 1 y 7) 9 q (SD entre 6 y 8)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa) 3 t ⇒u (Premisa) 4 s∧ ¬u (Premisa) 5 s (Sim en 4) 6 ¬u (Sim en 4) 7 r∨t (MP 2 y 5) 8 ¬t (MT 3 y 6) 9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa) 3 t ⇒u (Premisa) 4 s∧ ¬u (Premisa) 5 s (Sim en 4) 6 ¬u (Sim en 4) 7 r∨t (MP 2 y 5) 8 ¬t (MT 3 y 6) 9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa) 5 s (Sim en 4) 6 ¬u (Sim en 4) 7 r∨t (MP 2 y 5) 8 ¬t (MT 3 y 6) 9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4) 6 ¬u (Sim en 4) 7 r∨t (MP 2 y 5) 8 ¬t (MT 3 y 6) 9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4) 7 r∨t (MP 2 y 5) 8 ¬t (MT 3 y 6) 9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5) 8 ¬t (MT 3 y 6) 9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5)
8 ¬t (MT 3 y 6) 9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5)
8 ¬t (MT 3 y 6)
9 r (SD 7 y 8) 10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5)
8 ¬t (MT 3 y 6)
9 r (SD 7 y 8)
10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5)
8 ¬t (MT 3 y 6)
9 r (SD 7 y 8)
10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5)
8 ¬t (MT 3 y 6)
9 r (SD 7 y 8)
10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5)
8 ¬t (MT 3 y 6)
9 r (SD 7 y 8)
10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional) 13 p∧ ¬q (DN 12)
1 (p⇒q)⇒ ¬r (Premisa) 2 s ⇒(r∨t) (Premisa)
3 t ⇒u (Premisa)
4 s∧ ¬u (Premisa)
5 s (Sim en 4)
6 ¬u (Sim en 4)
7 r∨t (MP 2 y 5)
8 ¬t (MT 3 y 6)
9 r (SD 7 y 8)
10 ¬(¬r) (DN 9)
11 ¬(p⇒q) (MT 1 y 10)
12 ¬(¬(p∧ ¬q)) (Definici´on condicional)
13 p∧ ¬q (DN 12)
Utilizar deducci´on natural para deducir que ¬r es consecuencia l´ogica del siguiente conjunto de premisas
{p ⇒ ¬q,¬p⇒(r⇒ ¬q),(¬s ∨ ¬r)⇒ ¬¬q,¬s}.
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa) 3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa) 4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4) 6 ¬¬q (MP 3 y 5) 7 ¬p (MT 1 y 6) 8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7) 9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa) 4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4) 6 ¬¬q (MP 3 y 5) 7 ¬p (MT 1 y 6) 8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7) 9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa) 4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4) 6 ¬¬q (MP 3 y 5) 7 ¬p (MT 1 y 6) 8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7) 9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa)
4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4) 6 ¬¬q (MP 3 y 5) 7 ¬p (MT 1 y 6) 8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7) 9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa)
4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4)
6 ¬¬q (MP 3 y 5) 7 ¬p (MT 1 y 6) 8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7) 9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa)
4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4)
6 ¬¬q (MP 3 y 5)
7 ¬p (MT 1 y 6) 8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7) 9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa)
4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4)
6 ¬¬q (MP 3 y 5)
7 ¬p (MT 1 y 6)
8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7) 9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa)
4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4)
6 ¬¬q (MP 3 y 5)
7 ¬p (MT 1 y 6)
8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7)
9 ¬r (MT 6 y 8)
1 p ⇒ ¬q (Premisa)
2 ¬p ⇒(r ⇒ ¬q) (Premisa)
3 (¬s∨ ¬r)⇒ ¬¬q (Premisa)
4 ¬s (Premisa)
5 ¬s∨ ¬r (Adj 4)
6 ¬¬q (MP 3 y 5)
7 ¬p (MT 1 y 6)
8 r ⇒ ¬q (MP 2 y 7)
9 ¬r (MT 6 y 8)
