Tema 2 Interacción gravitatoria (1)

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TEMA 2 : INTERACCIÓN GRAVITATORIA  Leyes de Kepler

 Ley de la gravitación universal  Campo gravitatorio

 Movimientos de masas en campos de fuerzas centrales. Satélites.

LEYES DE KEPLER (1609) Primera ley:

Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos

Segunda ley :

El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales ( ley de las áreas).

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Tercera ley

Los cuadrados de los periodos P de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores a de la elipse

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL (1687)

Descubrimiento realizado por Isaac Newton en: todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros. El módulo de dicha fuerza viene dado por:

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Nota:

Puede deducirse fácilmente a partir de la tercera ley de Kepler y de la dinámica del movimiento circular uniforme ( no supone un gran error considerar las órbitas circulares). Por un lado, la acelaración centrípeta es a = R ω2 y la velocidad angular es ω = 2π/ T. Tras sustituir ω e igualar T = K (3º ley de Kepler), obtenemos

a

=

R=

R=

la cte = GM (M es la masa creadora del campo) y finalmente

F

= m a = m =

CAMPO GRAVITATORIO

Para explicar la acción de fuerzas a distancia, se introduce el conceptode campode fuerzas. El campo se caracteriza porque en cada punto se puede asignar una magnitud física que puede ser escalar o vectorial resultando el campo igualmente escalar o vectorial:

 Campo escalar: campo de temperaturas

 Campo vectorial: campo de velocidades, campo de fuerzas

El campo gravitatorio es un ejemplo de campo de fuerzas vectorial. Puede definirse como la zona del espacio perturbada por la acción de una masa.

Representación del campo gravitatorio

Los campos vectoriales se representan mediante series de líneas que señalan la trayectoria que seguirían las partículas bajo la influencia del campo. En el campo gravitatorio creado por una masa puntual, estas líneas de fuerza siguen direcciones que apuntan hacia la masa creadora del campo.

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Líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual

 La densidad de líneas nos da el módulo del campo (nº líneas por unidad de superficie)  La dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en ese punto

 El sentido viene indicado por una punta de flecha.

Intensidad de campo gravitatorio. Aceleración de la gravedad

Se denomina intensidad del campo gravitatorio, o aceleración de la gravedad g en un punto P distante r del centro del planeta de masa M, a la fuerza sobre la unidad de masa situada en el punto P:

el módulo de este vector llamado intensidad de campo, es :

Características del vector intensidad de campo gravitatorio:

 Su dirección es la de la recta que pasa por la masa M y por el punto donde se estudia dicha magnitud

 El sentido indica que va dirigido hacia la masa M ( lo cual se refleja en el signo negativo de la expresión vectorial)

 Su unidad en el SI es el N/kg, que corresponde a dimensiones de aceleración(m/s2)  Su módulo disminuye conforme nos alejamos de M

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El campo gravitatorio es central, ya que el vector que lo representa, g, está dirigido hacia la masa creadora del campo. La fuerza gravitatoria, es proporcional y del mismo signo que g, por lo que también es central. Podemos escribirla al modo de la 2º ley de la dinámica ( F= m.a)

F = m g

NOTA: las magnitudes vectoriales pueden expresarse con una pequeña flecha sobre su símbolo o bien resaltando dicho símbolo en negrita.

Principio de superposición

Cuando un cuerpo se encuentra sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto resultante es igual a la suma de los efectos individuales de cada fuerza.

gr = g1 + g2 + g3 + ….

Fr = F1 + F2 + F 3 +…

Esto no es más que la aplicación de una de las propiedades de los vectores (suma vectorial)

Campos conservativos

Supongamos que una partícula de masa m se mueve desde la posición A hasta la posición B en las proximidades de un cuerpo fijo de masa M. El trabajo realizado entre esos dos puntos es de forma general, calculable como suma de desplazamientos tan pequeños que se consideran infinitesimales:

En un campo conservativo, el trabajo realizado por las fuerzas entre dos puntos es independiente del camino seguido para llegar de un punto a otro. Por ello, el trabajo en una trayectoria cerrada es cero. Tanto el campo gravitatorio como el electrostático, son conservativos.

El trabajo en un campo no conservativo si depende de la trayectoria seguida. Son campos no conservativos el magnético y los que incluyen fuerzas de rozamiento.

Energía potencial

En un campo conservativo podemos definir una función llamada, energía potencial, en cada punto que depende de la posición con respecto a un origen. Es una magnitud escalar cuya unidad SI es el Julio.

Teorema de la energía potencial

: en un campo conservativo, el trabajo realizado por las fuerzas del campo en un desplazamiento entre dos puntos, es igual la variación de energía potencial cambiada de signo.

Wfc = - ΔEp

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Wnc = ΔE

M

Si el cálculo de Wfc nos sale negativo quiere decir que el trabajo nolo realizan las fuerzas del campo sino otra exterior. Un valor positivo por el contrario nos dice que el trabajo lo realizan las fuerzas del campo.

La energía potencial gravitatoria responde a la siguiente ecuación:

A señalar:

 El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0  La energía potencial gravitatoria es siempre negativa. Esto significa que a medida que

la fuerza gravitatoria realiza el trabajo de aproximar masas, la energía potencial

disminuye. Por el contrario, si separamos dos masas hay que aplicar una fuerza exterior al sistema y la energía potencial aumentará,

 La expresión anterior es válida siempre pero si nos movemos cerca de la superficie terrestre, consideramos que la gravedad es constante y podemos utilizar la fórmula :

ΔE = mg Δh

Teorema de conservación de la energía mecánica

: en un campo conservativo, la suma de la energía cinética y potencial (energía mecánica) para un cuerpo siempre es constante.

Potencial gravitatorio

: magnitud escalar que se define como la energía potencial por unidad de masa en un punto del campo. Su unidad es el J/kg

El conjunto de todos los puntos del espacio que poseen un mismo potencial gravitatorio se denomina superficie equipotencial

Relación entre el potencial y el trabajo: el trabajo realizado para desplazar una masa entre dos puntos del campo puede calcularse a través de la diferencia de potencial entre esos puntos:

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MOVIMIENTOS DE MASAS EN CAMPOS CENTRALES.

Un caso típico de movimiento orbital en un campo central es el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, o de los satélites (la Luna o satélites artificiales) en torno a ella. Aunque las órbitas descritas son elípticas, su excentricidad es tan baja que pueden considerarse circulares.

Velocidad orbital

: sea M la masa que crea el campo y R la distancia a la que orbita el cuerpo sometido al mismo, siendo G la constante de gravitación universal, el módulo de la velocidad de dicho cuerpo es el siguiente:

Puede deducirse fácilmente a partir de la tercera ley de Kepler y de la dinámica del movimiento circular uniforme: la fuerza centrípeta que mantiene en órbita al planeta es la fuerza gravitatoria del cuerpo que genera la atracción. Igualamos Fc=Fg y despejamos V:

= m

Satélite geoestacionario (geosíncrono)

:

tiene el mismo periodo de revolución que el periodo de rotación que la Tierra y por tanto, por lo que está siempre en la misma vertical. El satélite de una vuelta completa a su órbita alrededor de la tierra en el mismo tiempo en que la tierra da una vuelta completa sobre su eje.

Los satélites geosíncronos giran en círculo directamente sobre el ecuador a 35.000 km sobre la superficie de la Tierra a una velocidad de 11.000 km/h.

Energía orbital ( o de enlace)

: es la energía mecánica en la órbita en cuestión.

Ee = −

El signo menos nos dice que la órbita es cerrada.

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Esat

= GMm ( – )

Velocidad de escape

: es la velocidad que debe adquirir un cuerpo en su lanzamiento para que pueda escapar del campo gravitatorio en el que se encuentre. Aplicando el principio de

conservación de la energía e imponiendo la condición de que el objeto se aleje hasta una distancia infinita y quede en reposo, nos permite escribir:

Nos queda: Ve

=

Adaptándola a la Tierra, como go = GM/R2 , Ve = (g=9,8m/s2)

Nota: recordar siempre que R es la distancia medida desde el centro de la Tierra hasta el punto en cuestión.

Forma de las trayectorias

Si la energía mecánica total de un sistema celeste es menor que cero, la trayectoria descrita es una elipse. Tal es el caso de los planetas que giran alrededor del Sol y de los satélites que orbitan en torno a los cuerpos planetarios (por ejemplo, la Luna).

Cuando la energía mecánica es mayor que cero, el movimiento de la masa celeste es abierto y su distancia al centro de la órbita tiene sólo un límite inferior. Por tanto, el cuerpo describirá una trayectoria hiperbólica con el foco de la hipérbola en el centro del campo (por ejemplo, el Sol). Éste es el movimiento de la mayoría de los cometas en el Sistema Solar.

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