Espacio de sucesos
Rafael Matas S´anchez
16 de Junio de 2011
´Indice General
1 Operaciones y propiedades de los conjuntos 2
2 Experimento aleatorio y espacio muestral 6
3 Espacio de sucesos 7
4 Operaciones con sucesos 10
5 Propiedades de las operaciones con sucesos 12
6 Analog´ıas entre conjunto y espacio muestral 13
Los eruditos en c´alculo de probabilidades hacen siempre la precisi´on que los conjuntos y sus operaciones y los sucesos y sus operaciones no deben con-fundirse puesto que el espacio de sucesos no tiene porqu´e coincidir con las partes de un conjunto.
En cambio, si nos fijamos solamente en la observaci´on del experimento que queremos realizar las dos estructuras son id´enticas.
Como ejemplo, pongamos el lanzamiento de un dado y el anotar la pun-tuaci´on de la cara superior. No obstante, el experimento consiste en sacar un cinco o no sacarlo ( jugando al parch´ıs, es importante el salir de casa ).
En principio, los resultados que se pueden obtener son seis, y las partes del conjunto estar´a formado con 64 elementos que no coincide con el espacio de sucesos.
Pero el experimento, verdaderamente, da solamente dos resultados; sacar un cinco o no sacarlo. Las partes de este conjunto est´a formado por cuatro elementos y si coincide con el conjunto de 2 elementos.
Por tanto, a´un sabiendo que los dos conceptos no son iguales usaremos la nomenclatura conjuntista y haremos coincidir las partes de un conjunto con el espacio de sucesos asociado a un experimento con las aclaraciones anterio-res.
As´ı, conviene repasar las nociones b´asicas que ya conoc´ıamos de la teor´ıa de conjuntos.
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Operaciones y propiedades de los conjuntos
Uni´on de conjuntos
Intersecci´on de conjuntos
A∩B = {x ∈ A y x ∈ B}
Diferencia de conjuntos
A−B = {x ∈ A y x 6∈ B}
Conjunto complementario
Ac = {x ∈ X y x 6∈ A} = X−A
Por tanto
A−B = A∩Bc
Diferencia sim´etrica de conjuntos
A4B = (A−B)∪(B−A)
Conjuntos disjuntos
Definici´on: Dos conjuntos A y B son disjuntos si
A∩B = ∅
Es importante destacar que los conjuntos A−B, B − A y A∩B son conjuntos disjuntos dos a dos.
Producto cartesiano de conjuntos
Definici´on: SeaX eY dos conjuntos. Elproducto cartesianoes el conjunto de todas las parejas formadas de elementos de X, como primer elemento de la pareja, y elementos de Y, como segundo elemento de la pareja; esto es:
Otras propiedades
Leyes de Morgan
(A∪B)c = Ac ∩Bc
y
(A∩B)c = Ac ∪Bc
Partes de un conjunto
Llamaremos partes de un conjunto, denotado por P(X), a todos los subcon-juntos que se puedan formar con los elementos de X.
Si el conjunto X es finito, #X, el conjunto de las partes de X, P(X), tambi´en es finito y su n´umero es
2#X
Ejemplos
1. Consideremos una clase de 30 alumnos donde 12 alumnos tienen gafas, 16 son rubios y 4 alumnos son rubios y tienen gafas. Calcula
(a) el n´umero de alumnos que no llevan gafas,
(b) el n´umero de alumnos que llevan gafas y no son rubios, (c) el n´umero de alumnos que son rubios y no llevan gafas, (d) el n´umero de alumnos que son rubios o llevan gafas
(e) el n´umero de alumnos que ni son rubios ni llevan gafas, (f) el n´umero de alumnos que ni son rubios o no llevan gafas y (g) el n´umero de alumnos que ´unicamente son rubios o llevan gafas
Consideremos el conjunto R al conjunto de alumnos que son rubios y a Gal conjunto de alumnos que llevan gafas. Tendremos entonces:
(a) Hay que calcular #Rc quedando
(b) De los 16 alumnos que llevan gafas hay 4 que son rubios, los co-munes en ambos conjuntos, por tanto el n´umero es 12 alumnos.
#(G∩Rc) = 12
(c) De los 12 alumnos que son rubios hay 4 que llevan gafas, los co-munes en ambos conjuntos, por tanto el n´umero es 8 alumnos.
#(R∩Gc) = 8
(d) Podemos contar el n´umero de chicos rubios y el n´umero de alum-nos que llevan gafas pero como hay cuatro comunes los hemos contado dos veces, luego los comunes hay que restarlos quedando 16 + 12−4 = 24.
#(R∪G) = #R + #G − #(R∩G) = 16 + 12−4 = 24
(e) Tendremos que calcular #(Rc∩Gc) aplicando las leyes de Morgan queda
#(Rc∩Gc) = #(R∪G)c = 30−24 = 6
(f) Tendremos que calcular #(Rc∪Gc) aplicando las leyes de Morgan
queda
#(Rc∪Gc) = #(R∩G)c = 30−4 = 26
(g) Tendremos que calcular #(R 4G) = #(R −G) + #(G−R) puesto que R−G y G−R son conjuntos disjuntos ( no hay que restar la parte com´un ) quedando
#(R4G) = #(R−G) + #(G−R) = 12 + 8 = 20
2. Consideremos el ejemplo anterior.Este ejemplo se puede resolver de otro modo: construyendo la siguiente tabla con los datos que tenemos:
G Gc X
R 4 16
Rc
rellenando los huecos con l´ogica nos quedar´ıa la tabla
G Gc X
R 4 12 16
Rc 8 6 14
X 12 18 30
y basta saber que los cuadrados interiores es la intersecci´on de los con-juntos de las cabeceras.
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Experimento aleatorio y espacio muestral
Unexperimento es un conjunto de operaciones aplicadas a ciertos fen´omenos para estudiarlos. Sus clases son dos: experimentos determinados y experi-mentos aleatorios.
Los experimentos determinados son los que se pueden predecir antes de realizar dichos experimentos.
Los experimentos aleatorios o estoc´asticos son los experimentos que se caracterizan en no poder conocer el resultado al repetir el experimento en las mismas condiciones.
Cada vez que se realiza un experimento se dice que se ha hecho unaprueba.
Al conjunto de todos los resultados que se pueden obtener de un expe-rimento se le llama espacio muestral denotado por Ω y a cada uno de estos resultados es un suceso elemental.
Ejemplos
(1) Consideremos el experimento de lanzar un dado c´ubico y anotar la pun-tuaci´on de la cara superior.
Es un experimento aleatorio de espacio muestral
Si lanz´aramos el dado dos veces dir´ıamos que hemos realizado dos prue-bas del experimento antes mencionado.
(2) Consideremos el experimento de lanzar un dado c´ubico y anotar la suma de las puntuaciones de la cara superior e inferior.
Es un experimento determinado de espacio muestral
Ω = {7}
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Espacio de sucesos
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral Ω y por tanto el espacio de sucesos, que llamaremos S, es P(Ω).
Si el espacio muestral es finito tendremos que
#(S) = 2#(Ω)
Decimos que se realiza un suceso A si al realizar una prueba del expe-rimento obtenemos un resultado de A. Tambi´en se dice que se realiza o se presenta el suceso A.
Ejemplo
(1)Consideremos el experimento de lanzar una moneda y anotar la puntua-ci´on de la cara superior.
El espacio muestral es
Ω = {C, +} y #Ω = 2
y el espacio de sucesos es
Suceso elemental
Llamamos a un suceso elemental a cualquier resultado del espacio muestral.
Sacar un 5 al lanzamiento de un dado es un suceso elemental y sacar un n´umero par al lanzamiento de un dado no lo es por estar formado por tres resultados, a saber, 2, 4 y 6.
Suceso compuesto
Un suceso compuesto es un suceso formado por varios sucesos elementales.
Sacar un un n´umero par al lanzamiento de un dado es un suceso com-puesto por estar formado por tres resultados, a saber, 2, 4 y 6.
Suceso seguro
Un suceso es seguro si contiene a todos los posibles resultados del espacio muestral.
Sacar un un n´umero inferior al n´umero 7 al lanzamiento de un dado es un suceso seguro puesto que cualquier resultado del espacio muestral es inferior a 7.
Suceso imposible
Un suceso esimposiblesi no contiene a ning´un resultado del espacio muestral.
Sacar un un n´umero superior al n´umero 7 al lanzamiento de un dado es un suceso seguro puesto que cualquier resultado del espacio muestral es inferior a 7.
Sucesos compatibles
Los sucesos “sacar un n´umero m´ultiplo de 3” y “sacar un n´umero par” son dos sucesos compatibles pues tienen el n´umero 6 como resultado com´un a ambos.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos sonincompatiblessi no existe ning´un resultado del espacio mues-tral com´un a los dos sucesos.
Los sucesos “sacar un n´umero impar” y “sacar un n´umero par” son dos sucesos incompatibles pues no tienen ning´un resultado en com´un.
Suceso contrario a un suceso dado
Un suceso es contrario a un suceso dado A si se presenta el suceso precisa-mente cuando no ocurre A.
El suceso “sacar un n´umero impar” es el suceso contrario al suceso “sacar un n´umero par” porque ocurre precisamente cuando no se saca un n´umero par.
Un dato a destacar son los sucesos contrarios al suceso imposible y al suceso seguro:
∅c = Ω y Ωc = ∅
Implicaci´on de sucesos
Un suceso A implica otro suceso B si se presenta el suceso A entonces se presenta el suceso B.
El suceso “sacar un rey” implica ”sacar una figura” en el experimento que consiste en extraer una carta de la baraja espa˜nola. Puesto que un rey es evidentemente una figura.
Igualdad de sucesos
Los sucesos “sacar un n´umero par” y “no sacar un n´umero impar” son iguales porque de forma obvia uno implica el otro y viceversa.
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Operaciones con sucesos
El espacio de sucesos posee dos operaciones naturales:
(a) La uni´on: Dados dos sucesos, la uni´on de dos sucesos es el suceso que se presenta cuando lo hace el primero o el segundo.
(b) La intersecci´on: Dados dos sucesos, la uni´on de dos sucesos es el suceso que se presenta cuando lo hace el primero yel segundo.
(c) Diferencia de sucesos: La diferencia de un suceso con otro segundo es el suceso que se presenta cuando sucede el primero pero no el segundo.
(d) Diferencia sim´etrica de sucesos: La diferencia sim´etrica de dos sucesos es el suceso que se presenta cuando se presenta solamente uno de los dos.
Estas operaciones se denota de forma conjuntista de la siguiente forma:
Sean A y B dos sucesos de un espacio de sucesosS
Uni´on de sucesos
A∪B = {x ∈ A o x ∈ B}
Intersecci´on de sucesos
A∩B = {x ∈ A y x ∈ B}
Ahora podemos decir que dos sucesos son incompatiblessi
A∩B = ∅
Bi∩Bj = ∅ si i 6= j y B1∪B2∪ · · · ∪Bn = Ω
Diferencia de sucesos
A−B = {x ∈ A y x 6∈ B}
Tambi´en podemos definir el contrario de un suceso A de las siguientes formas:
Es un suceso B que cumple:
A∩B = ∅ y A∪B = Ω o B = Ω−A Diferencia sim´etrica de sucesos
A4B = (A−B)∪(B−A)
Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar un dado c´ubico y anotar la puntua-ci´on de la cara superior.
Adem´as sean los sucesos
A = {1,2,3,5,6}, B = {3,5}, C = {1,3,5},
D = {2,4}, E = {2,4,6} y F = {1,2,4,6}
.
Tendremos
A∪B = {1,2,3,5,6}, C∪D = {1,2,3,4,5}, E∪F = {1,2,4,6}
A∩B = {3,5}, C∩D = ∅, E∩F = {2,4,6}
A−B = {1,2,6}, C−D = {1,3,5}, E−F = ∅
A4B = {1,2,6}, C4D = {1,2,3,2,5}, E4F = {1}
Ω
A B
A∩B A−B B−A
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Propiedades de las operaciones con sucesos
Conmutativa
A∩B = B ∩A Distributiva
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
Elemento neutro
A∩ ∅ = A Idempotencia
A∩A = A Simplificaci´on
A∩(A∪B) = A Asociativa
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C Leyes de Morgan
Se pueden cambiar las operaciones intersecci´on por uni´on y∅por Ω cum-pli´endose otra vez todas las propiedades.
Propiedad del contrario
(Ac)c = A
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Analog´ıas entre conjunto y espacio
mues-tral
Las analog´ıas entre un conjunto y un espacio muestral o las partes de un con-junto y un espacio de sucesos quedan suficientemente claras con la siguiente tabla:
Conjunto X Espacio muestral Ω Elemento de X suceso elemental de Ω Subcobjunto de X suceso de S
Conjunto vacio Suceso imposible Conjunto total Suceso seguro
Partes de X Espacio de sucesos SS
Uni´on de conjuntos Uni´on de sucesos Intersecci´on de conjuntos Intersecci´on de sucesos Subconjuntoa disjuntos Sucesos incompatibles Inclusi´on de conjuntos Inclusi´on de sucesos Conjunto complementario suceso contrario
Propiedades de conjuntos Propiedades de sucesos
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Ejercicios
1. Se considera el experimento lanzar una moneda y anotar la cara supe-rior. Se pide:
2. Se considera el experimento lanzar un dado de quinielas (dado c´ubico con tres resultados 1, X y 2) y anotar el resultado que aparece en la cara superior. Se pide:
(a) El espacio muestral. (b) El espacio de sucesos.
3. Se considera el experimento lanzar un dado y anotar el n´umero que aparece en la cara superior se pide:
(a) El espacio muestral.
(b) El suceso “sacar un n´umero par”. (c) El suceso “sacar un n´umero primo”. (d) El suceso “sacar un m´ultiplo de 3”.
4. Se considera el experimento de lanzar dos monedas y anotar los resul-tados de las dos caras superiores. Halla el espacio muestral, su espacio de sucesos y los cardinales de los dos espacios.
5. Se considera el experimento de lanzar dos dados y anotar los resultados de las dos caras superiores. Di de cu´antos sucesos elementales est´an compuestos los siguientes sucesos:
(a) A el suceso de obtener 10 puntos. (b) B el suceso de obtener 6 puntos.
(c) C el suceso de obtener 11 puntos.
6. Interpreta el experimento de lanzar dos dados y anotar los resultados de las dos caras superiores desde el punto de vista del concepto de producto cartesiano de conjuntos.
7. Se considera el experimento de lanzar tres dados y anotar los resultados de las caras superiores. Se pide:
(a) El espacio muestral
(b) El n´umero del espacio de sucesos
8. Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar simult´aneamente 4 monedas.
9. ¿Cu´ales son los elementos que constituyen el suceso “sacar una puntua-ci´on mayor o igual a 17 puntos” si dichos puntos son los que aparecen en las caras superiores al lanzar tres dados simult´aneamente?
10. Determ´ınese los suceso elementales de los siguientes experimentos alea-torios:
(a) Extracci´on al azar de dos bolas sin reposici´on de una urna que contiene 3 bolas blancas y dos bolas negras.
(b) El d´ıa de la semana en el que se produce alg´un accidente.
11. Argentina y Brasil disputan una serie de partidos de forma que se proclama campe´on el primero que gana tres partidos. Calcula el espacio muestral.
12. Consideremos el experimento consistente en extraer tres tornillos y ave-riguar cu´ales de ellos son defectuosos y cu´ales correctos. Se pide:
(a) Espacio muestral Ω y el n´umero de que consta.
(b) Elementos del suceso “el ´ultimo tornillo es defectuoso”. (c) Elementos del suceso “hay dos tornillos defectuosos”.
13. Se considera una urna que contiene al menos tres bolas de bolas blancas y bolas negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Se pide:
(a) El espacio muestral del experimento.
(b) Elementos del suceso “sacar al menos una bola negra”. (c) Elementos del suceso “sacar tres bolas del mismo color”.
14. Antonio y Basilio son los finalistas de un torneo de tenis en el que gana el que hace dos juegos consecutivos o tres alternos. Halla el espacio muestral de los resultados posibles.
16. Se considera el experimento lanzar un dado y anotar el n´umero que aparece en la cara superior. Sean los sucesos A “sacar un m´ultiplo de tres”, B “sacar un n´umero primo” y C “sacar un n´umero par”. ¿Son compatibles los sucesos dos a dos?
17. Consideremos los sucesos A,B y C de un espacio de sucesos SS. Ex-presa en funci´on de A,B y C y sus contrarios los siguientes sucesos:
(a) Se realiza A y C pero noB.
(b) Se realiza al menos uno de los tres.
(c) Se realiza al menos dos sucesos de los dados. (d) No se realiza ninguno de los tres sucesos.
(e) Se realiza A pero no se realiza B y C.
18. Se considera el experimento lanzar un dado y anotar el n´umero que aparece en la cara superior. Se pide:
(a) Un sistema completo del espacio de sucesos. (b) Los sucesos contrarios al sistema anterior.
(c) ¿Los sucesos del apartado anterior forman un sistema completo?
19. Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de la baraja espa˜nola. SeanAel suceso “extraer un rey”,Bel suceso “extraer una figura”. ¿Qu´e sucesos est´a incluido en el otro? Razona la respuesta.
20. Se realiza el experimento de elegir una ficha del domin´o y sumar los puntos de la ficha. Calcula el espacio muestral.
21. Consideremos el experimento consistente en extraer tres cartas de la baraja espa˜nola. Sean A el suceso “extraer un rey en la primera ex-tracci´on”,B el suceso “extraer un rey en la segunda extracci´on” yC el suceso “extraer un rey en la tercera extracci´on”. Explica el significado de los siguientes sucesos:
a) A∩Bc b) A∪B c) Ac ∩Bc
22. Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de la baraja espa˜nola. SeanAel suceso “extraer un as”,B el suceso “extraer un oro” y C el suceso “extraer el as de oros”. Explica el significado de los siguientes sucesos:
a) Ac b) Bc c) Cc
d) A∪B e) A∩B f) Ac∪Bc
g) A∩C h) A∩Cc i) A∩B∩C
j) (A∩B∩C)c k) (A∪B)c ∩C l) A∩(B∪C)c
23. Se ha observado la distribuci´on de sexos en las familias de tres hijos. Sea A el suceso“el hijo mayor es var´on” y B el suceso “los dos hijos menores son varones”. ¿Cu´ales son los elementos de los sucesosAyB?
24. Simplifica la siguiente expresi´on:
(A∪B)∩(A∪Bc)∩(Ac∪B)
25. Simplifica la siguiente expresi´on:
((A∪B)∩(A∪Bc))∪((A∩B)∪(Ac ∩B))
26. Demuestra la siguiente identidad entre sucesos:
A4B = (A∪B)−(A∩B)
27. Establece un orden de implicaci´on con los siguientes sucesos de cual-quier espacio de sucesos conociendo que A ⊂ B:
Ac, Ac∩Bc, Ac∪Bc, Bc
28. Establece un orden de implicaci´on con los siguientes sucesos de cual-quier espacio de sucesos:
29. El 80% de mi colegio estudian ingl´es y el 30 % franc´es. Adem´as solo el 15 % combinan los dos idiomas. Calcula:
(a) Porcentaje de alumnos que no estudia ninguno de los dos idiomas. (b) Porcentaje de alumnos que solamente estudia un idioma.
Soluci´on: Llamaremos I a los alumnos que estudian ingl´es y F a los alumnos que estudian franc´es. Se puede construir la siguiente tabla:
I Ic X
F 15 15 30
F c 65 5 70
X 80 20 100
(a) Hay que calcular el cardinal de Ic∩F c. Por tanto
#(Ic∩F c) = 5%
(b) Hay que calcular el cardinal de I 4F = (I∩F c)∪(Ic ∩F). Por
tanto
