Valores propios y Vectores propios de las Matrices

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Valores propios y Vectores propios de las Matrices

Material didáctico elaborado por: Lic. Pedro González Cordero 07/04/2012 Dicta las cátedras de Física y Matemática para el Dpto. de Procesos Químicos En el Instituto Universitario de Tecnología “Dr. Federico Rivero Palacio”. Caracas-Venezuela Este tema es un preámbulo como base fundamental para sistemas de ecuaciones

diferenciales.

1. Definición: Matriz

Es un arreglo rectangular de números o funciones (

) (1)

Si una matriz tiene m renglones y n columnas. Su tamaño es de m por n (se escribe m x n). Una matriz de n x n se llama matriz cuadrada de orden n. El elemento neutro del i-ésimo renglón y la j-ésima columna de una matriz A de m x n se representa por . Con ello, una

matriz A de m x n se representa en la forma A= ( ) o simplemente A = . Una

matriz de 1 x 1 es solo una constante o función. 2. Definición: Igualdad de matrices

Dos matrices A y B de m x nson iguales si para toda i y j.

3. Definición: Matriz Columna

Una matriz columnaX es cualquier matriz que tenga n renglones y una columna. (

) ( )

Una matriz columna también se llama vector columna o simplemente vector. 4. Definición: Múltiplos de matrices

Un múltiplo de la matriz A se define como sigue: (

) ( )

En donde K es una constante o una función. Ejemplo1: Múltiplo de matrices

(a) (

) (

),  en la matrices se cumple la propiedad conmutativa

(b) ( ) (

(2)

5. Definición: Suma de matrices

La suma de dos matrices A y B de m x n se define como la matriz A + B=( )

En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementos correspondientes.

Ejemplo2: Suma de matrices La suma de (

) y (

) es

(

( )

( ) ) (

) 

Ejemplo 3: Matriz expresada en forma de suma de matrices columnas Exprese la sola matriz (

) como suma de vectores columna:

(

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( )  La diferencia de dos matrices de m x n se define de la forma acostumbrada:

A –B = A + ( – B ) =, en donde – B=( –1) B. 6. Definición: Multiplicación de matrices

Sea A una matriz con m renglones y n columnas, y B otramatrizcon n renglones y p

columnas. El producto A.B se define como la matriz m x p dada por (

) (

)

(

)

=

Observe detenidamente la definición 6, que el producto de A.B =C está definido por sólo cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de renglones en B. El tamaño del producto se determina con

A

m x n

B

n x p=

C

m x p

(3)

Ejemplo 4: Multiplicación de matrices

(a) Si ( ) y ( ), Calcular A.B

( ( ) ( ) ) ( ) 

(b) Si (

) y ( ), Calcular A.B

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) (

) 

En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es, A.B B.A. Observe, en la parte (a) del ejemplo 4, que B.A=( ), mientras que en la parte (b) el producto B.A no está delimitado por la definición se pide que la primera matriz tenga mismo número de columnas que los renglones de la segunda matriz.

No interesa mucho el producto de una matriz cuadrada y un vector columna. Ejemplo 5: Multiplicación de matrices.

(a) (

) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) (

) 

(b) ( ) ( ) ( )

(c) Exprese la respuesta del ejemplo 3 en forma de multiplicación ( ) ( ) ( ) (

) ( ) 

Identidad multiplicativa

I

=

la matriz identidad multiplicativa para toda

A.

I.A = A.I = A

Determinante de una matriz1: un concepto muy elaborado es una forma multilineal alternada de un cuerpo. Explico cada palabra lo de multilineal son n dimensiones de un espacio Vn , una forma

(4)

lineal será alternada si se anula cuando dos al menos dos de sus argumentos son iguales, es decir, , En álgebra abstracta, un cuerpo cumple con las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las

propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo. Determinante de una matriz en palabras más simples, para toda matriz A de constantes, hay un número asociado, llamado determinante de la matriz, que se representa mediante detA.

Gottfried Wilhelm Leibniz, von Leibniz (1-7-1646 /14-11-1716) filósofo, matemático, abogado y bibliotecario alemán. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Realizó una máquina calculadora que había diseñado y construyo alrededor de 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas. En conjunto a Johan Bernoulli hallan el área de bajo de la curva de un exponencial entre x=0 y x=1, aunque se le atribuye a Johan Bernoulli por carta a Leibniz de 1694; no obstante Leibniz responde tiempo después con un análisis de cálculo de logaritmos de números negativos e imaginarios, por series alternantes. Tras la muerte de Leibniz Johan Bernoulli continua sus estudios sobre logaritmos con su estudiante Euler, quien dio pie al estudio de los logaritmos y su forma de números complejos a Moivre y Cotes.

Para calcular ese número asociado se utilizan varios métodos, si es una matriz (cuadrada de orden 2 o 3) 2x2 o 3x3, se multiplica la diagonal principal menos la multiplicación de la diagonal

secundaria, regla de Sarrus (Pierre Fédéric Sarrus) también conocido método de la lluvia detA (

)

detA (

) =

También se puede desarrollar por el método de los cofactores, elijo usar el primer renglón Observe lo alternante del signo

detA (

) |

| |

| |

(5)

Ejemplo 6: Determinante de una matriz

(

) Calcular su determinante

1er Cofactor|

| | | el 2do Cofactor |

| | |

3er Cofactor |

| |

| Note que los signos se alternan, 1er y 3er positivo, 2do es negativo

Det A |

| |

| | | | | ( ) ( ) ( )=18 

(

) Calcular su determinante

7. Definición 7: Transpuesta de una matriz, de (1) de m x n es la matriz ATde n x m

representada por:

(

)

En otras palabras, los renglones de una matriz A se convierten en las columnas de su traspuesta AT.

Ejemplo 7: Transpuesta de una matriz (a) A=(

), (

)  (b) X ( ) ( )

8. Definición 8. Inversa multiplicativa de una matriz

Es cuando una matriz A de n x n, al multiplicarse por su inversa de n x n, resulta la matriz identidad tal que , siendo la matriz inversa multiplicativa de A. Las operaciones de matrices no aceptan la división entre matrices, pero si acepta la multiplicación de inversa de matrices

9. Definición 9. Matrices no singulares y singulares.

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10. Definición 10. Adjunta de una matriz.

Se define como los cofactores de signo alternante de tal manera que se cumple que dada una matriz A de n x n, no singular se construye con ( ) , donde es el

determinante de la matriz de (n – 1) x (n – 1) obtenido al eliminar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A. Como se explica a continuación:

Dada una matriz no singular de 2 x 2

(

)

La matriz adjunta de A es

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )

De donde , , , Resulta la adjunta: ( ) (

)

Dada una matriz no singular de 3 x 3

(

)

La matriz adjunta de B es ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

De donde |

(7)

11. Definición 11. Inversa de una matriz.

Se define la inversa de una matriz A de n x n, como otras matriz que se denota con el exponente de n x n cumple la siguiente operación

( )

Ejemplo 8. Calcular la inversa de la matriz 2 x 2. (

) Solución Como detA= 10 – 8 = 2 ≠ 0, A es singular

(

) (

)

No toda matriz tiene inversa. La matriz ( ) es singular porque su determinante es nulo, detA=0. Por consiguiente A-1no existe

Ejemplo 9. Inversa de una matriz 3 x 3. Calcular la inversa de la matriz (

)

Solución Como primer paso calculamos todos lo cofactores

| | , | | , | | , | | ,

| | , | | , | | , | | , ,

| | ,

Como el detA= . + . + . ( )

(

)

(

)

Compruebe que . El lector interesado puede consultar cualquier libro de algenra lineal.

Arthur Cayley

(16 -08-1821 / 26 - 01- 1895) fue un matemático y abogado británico. Graduado con honores en el Trinity College Cambridge en 1848 de temperamento dulce y juicio sobrio, prolifero en sus 200 publicaciones sobre matemática. En ellas temas como matrices de “n” dimensiones, transformaciones lineales que son el origen a su teoría de matrices, la teoría de superficies y la de determinantes. Colaboró con la teoría de invariantes y algebra de dimensión finita. Introduce el concepto de matriz nula como resultado de vectores matrices horizontales nulos y el concepto de matriz identidad, para luego postular la adición de matrices como hoy día. Sus investigaciones dieron fruto al estudio de la norma de Vectores de ocho términos que son valores reales resulta

(8)

12. Definición 12: valores propios y vectores propios

Sea A una matriz n x n. se diceque un número es un valor propio de A si existe un vector solución Kno cero del sistema lineal

A.K = .K (2)

El vector solución K es un vector propio que corresponde al valor propio Se usan también las palabras eigenvalor y eigenvector, combinaciones en español adaptadas de las palabras alemanas eigenwert que traducida literalmente es “valor propio”. A los valores propios y vectores propios se les llaman también valores característicos y vectores característicos, respectivamente.

Ejemplo 8: Vector propio de una matriz

Compruebe que ( ) es un vector propio de la matriz (

)

Solución: Al efectuar la multiplicación A.K vemos que

(

) ( ) (

) ( ) ( ) ( )

De acuerdo a la definición 8 y el renglón precedente, vemos que es un valor propio de A.

Aplicando las propiedades del algebra de matrices, podemos expresar la ecuación (2) en la forma alternativa

(A .I).K = 0 (3) Donde I es la identidad multiplicativa. Si definimos

K ( )

Entonces la ecuación (3) es equivalente a

( )

( ) (4)

( )

Aunque una solución obvia de (4) es sólo interesan las soluciones no triviales. Se sabe que un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo, es decir que el sistema de los vectores que la conforman son linealmente independientes si su determinante es igual a cero.

( ) (5)

Al examinar (4) se ve que el desarrollo del ( ) por cofactores da como resultado un polinomio en de grado n. la ecuación (5) se llama ecuación característica de A. Así, los valores propios deA son las raíces de la ecuación característica. Para determinar un vector propio que

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corresponde al valor propio , solo se resuelve el sistema de ecuaciones (A .I).K = 0 aplicando la eliminación Gauss Jordan a la matriz aumentada (A .I|0).

Ejemplo 9: Valores propios y vectores propios

Determinar los Valores propios y vectores propios de (

)

Solución:

( ) |

|

( ) ( ) vemos entonces que los valores propios son

Para

(A .I|0) (

| )

→ ( | )→ (

| )

→ (

| ) entonces y . Le damos cualquier valor a

distinto de cero, para este caso , obtenemos el vector propio

(

) 

Para

(A .I|0) (

| )

→ (

| )

→ (

| )

→ (

| )

→ (

| ) queda y . Con la opción

(10)

Para el último

(A .I|0) (

| )

→ (

| )

Así, y . La opción que , se obtiene el tercer vector propio

(

) 

Ejemplo 10: Valores propios y vectores propios

Determinar los Valores propios y vectores propios de ( )

Solución:

( ) | | ( )

vemos entonces que los valores propios son es un valor propio de multiplicidad dos. En el caso de una matriz 2x2 no se necesita usar la eliminación Gauss – Jordan. Para determinar el o los valores propios que corresponde , recurriremos al sistema (A .I|0) en su forma equivalente

De aquí se deduce . Le asignamos valor de y obtenemos , llegamos a un solo vector propio

( ) 

Ejemplo 11: Valores propios y vectores propios

Determinar los Valores propios y vectores propios de (

)

Solución:

( ) |

| ( ) ( )

(11)

Para

(A .I|0) (

| )

→ (

| )

quedando y . Con la opción que , se obtiene el segundo vector propio ( )

cuando

(A .I|0) (

| )

→ (

| ) en la ecuación

elegiremos libremente a dos de las variables.

Si por una parte optamos por , por otra parte optamos por obtendremos dos vectores linealmente independientes:

( ) y (

)

DETERMINE LOS VALORES PROPIOS Y LOS VECTORES PROPIOS DE CADA MATRIZ DADA: 1. ( ) Respuesta: y ( ), ( )

2. ( )

3. ( ) Respuesta: ( ) 4. ( )

5. (

) Respuesta: ; ; (

), ( ); ( )

6. (

)

7. (

) Respuesta: ( ), ( )

8. (

)

Figure

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Referencias