Se dice que l ∈ R (tambi´

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Se estudian las funciones reales de variable real.

1. Revisi´on de los conceptos de l´ımites y teoremas relacionados.

Previamente, se revisan las nociones de dominio, imagen y gr´afica, y se repasan las propiedades de las funciones y las operaciones algebraicas entre ellas.

1.1. Composici´on de funciones.

Si Imf ⊂ Domg, se define la funci´on f compuesta con gcomo: (g◦f)(x) =g(f(x)), ∀x∈ Dom f.

1.2. L´ımite de una funci´on f en un punto a. Ejemplos.

Se dice que l es el l´ımite de f en el punto a y se escribe l = limx7→af(x) si f

est´a definida en un entorno reducido de a y se verifica que ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que si 0<|xa|< δ, entonces |f(x)−l|< ; tambi´en, si para toda sucesi´on {xn} de puntos

de ese entorno reducido convergente hacia a, se tiene que limf(xn) =l.

1.3. L´ımites en el infinito. Ejemplos.

Se dice que l es el l´ımite de f cuando x tiende a +∞ (resp. −∞) si f est´a definida para cada x tal que x > K > 0 (resp. x < K < 0) y se verifica que ∀ > 0, ∃M > K (resp. M < K) tal que si x > M (resp. x < M), entonces |f(x)−l|< .

1.4. Propiedades de los l´ımites.

1.5. Infinitos en aR,a= +∞ ´o a=−∞. Comparaci´on de infinitos. Se dice que la funci´on f es un infinitoen asi su l´ımite es ∞ en a.

limx7→af(x) = +∞ (resp. limx7→af(x) = −∞) si existe un entorno reducido de a

donde f est´a definida y para cada M > 0 (resp. M < 0), existe otro entorno reducido de a dondef(x)> M (resp. f(x)< M).

El infinito logar´ıtmico es menor que el potencial, ´este que el exponencial, que a su vez es menor que el potencial-exponencial.

1.6. Infinit´esimos. Infinit´esimos equivalentes.

Se dice que la funci´on f es un infinit´esimo en asi limx7→af(x) = 0.

Se dice que los infinit´esimos f y g son equivalentes en a si limx7→a

f(x) g(x) = 1.

Un infinit´esimo f en a es equivalente a: senf(x), ln(1 +f(x)), tagf(x) y ef(x)−1; (cosf(x)−1) lo es a f(x)2/2.

1.7. Propiedades de los infinitos y los infinit´esimos. Ver lista de indeterminaciones del tema 2.

1.8. L´ımites laterales de una funci´on en un punto. Ejemplos.

Se dice que lR (tambi´en +∞ ´o −∞) es el l´ımite lateral por la derecha (resp. izquierda) de la funci´on f en el puntoaR si f est´a definida en un entorno reducido deapor la derecha (resp. izquierda) y para cada entornoV del l´ımite, existe un entorno reducido de a por la derecha (resp. izquierda) U tal que f(U) ⊂ V. Se denota por limx7→a+f(x) (resp. limx7→af(x)).

La condici´on necesaria y suficiente para la existencia de l´ımite de una funci´on en un punto es que existan ambos l´ımites laterales y coincidan; en tal caso, el l´ımite de la funci´on es ese valor com´un de los laterales.

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2. Revisi´on del concepto de continuidad y teoremas asociados. 2.1. Funci´on continua en un punto. Ejemplos.

Se dice que la funci´on f es continua en el punto asi:

∃ lim

x7→af(x),

f(a) y lim

x7→af(x) =f(a).

2.2. Tipos de discontinuidad de una funci´on f en un punto a.

Evitable: existe l´ımite de la funci´onf ena, pero no existef(a) o si existe, no coinciden. De salto: existen los l´ımites laterales def en a, pero no coinciden.

Infinita: no existe alguno de los l´ımites laterales por ser ∞. Esencial: no existe alguno de los l´ımites laterales y no es ∞. 2.3. Propiedades de las funciones continuas.

2.4. Continuidad lateral.

Se dice que la funci´on f es continua por la derecha (resp. izquierda) en el punto a si limx7→a+f(x) =f(a) (resp. limx7→af(x) =f(a)).

Un funci´on es continua en un punto si y s´olo si lo es por ambos lados.

2.5. Funci´on continua en un intervalo.

Se dice que la funci´onf es continua en (a, b) si es continua en cada punto x∈(a, b); f es continua en [a, b] si, adem´as de serlo en (a, b), lo es por la derecha en a y por la izquierda en b.

2.6. Teorema de Bolzano.

”Sif es continua en [a, b] yf(a)·f(b)<0, entonces existec∈(a, b) tal quef(c) = 0.”

2.7. Conscecuencias del teorema de Bolzano.

”Todo polinomio de grado impar tiene al menos una ra´ız real.”

Teorema de los valores intermedios: ”Sif es continua en [a, b] yf(a)6=f(b), entonces f toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).”

”Todo n´umero positivo tiene una ´unica ra´ız n-´esima positiva.” 2.8. Teorema de Weierstrass.

”Sif es continua en [a, b], entonces est´a acotada superiormente, es decir, existeM >0 tal que |f(x)| ≤M, ∀x∈[a, b].”

2.9. Consecuencias del teorema de Weierstrass.

”Si f es continua en [a, b], entonces existen x1, x2 ∈ [a, b] tales que f(x) ≤ f(x1)

x ∈ [a, b] (a x1 se le llama el m´aximo absoluto de f) y f(x2)≤ f(x) ∀x ∈ [a, b] (a x2

se le llama el m´ınimo absoluto de f).”

”Si f es continua en [a, b], entonces Im f = [minx∈[a,b]f(x),maxx∈[a,b]f(x)].”

2.10. Funci´on inversa. Propiedades. Ejemplos. Un m´etodo para calcularla.

Sifes una funci´on inyectiva, se define la funci´on inversaf−1en Imf como:f−1(f(x)) = x.

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2.11. Teorema de continuidad de la inversa.

”Si f es continua e inyectiva en un intervalo I = [a, b], entonces f−1 es continua en el intervalo f(I).”

Observaciones: si f es estrictamente mon´otona en I, entonces es inyectiva en I; si f es continua e inyectiva en I, entonces es estrictamente mon´otona en I.

3. Continuidad uniforme.

Se dice que la funci´on f es uniformemente continua en AR si ∀ > 0, ∃δ() tal que si x, yA y|xy|< δ(), entonces |f(x)f(y)|< .

La diferencia con la continuidad es que ahora no hay unδ para cada punto deA, sino que hay uno que sirve para todos los puntos. Es evidente que la continuidad uniforme implica la continuidad, pero no al rev´es, como muestra la funci´on f(x) = 1/x, que es continua en (0,+∞), pero no es uniformemente continua en dicho intervalo.

Si f es una funci´on continua sobre [a, b], entonces es uniformemente continua. Se dice que la funci´onf es de Lipshcitz enAsi∃K >0 tal que|f(x)−f(y)| ≤K|xy| ∀x, yA. Las funciones de Lipschitz son uniformemente continuas.

4. Revisi´on del concepto de derivabilidad y teoremas asociados. 4.1. Derivada de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica. Se dice que la funci´on f es derivable en el punto x0∈R si existe:

f0(x0) = lim h7→0

f(x0+h)f(x0)

h = limx7→x0

f(x)−f(x0)

xx0

.

La derivada de una funci´on en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en ese punto (tangente del ´angulo que forma la recta tangente con el eje de abcisas).

4.2. Ejemplos de funciones derivables y no derivables. f(x) =|x| no es derivable en x0 = 0.

4.3. Relaci´on de la derivabilidad con la continuidad. f derivable en x0 ⇒ f continua en x0.

4.4. Propiedades algebraicas de las funciones derivables.

4.5. Regla de la cadena. Ejemplos.

Sif es de derivable enx0 yg es derivable en f(x0), entonces gf es derivable en x0

y (g◦f)0(x0) =g0(f(x0))·f0(x0).

4.6. Derivada de la inversa. Ejemplos.

Sif es inyectiva, derivable enx0yf0(x0)6= 0, entoncesf−1es derivable eny0 =f(x0)

y

(f−1)0(y0) =

1 f0(f−1(y

0))

.

4.7. Recta tangente y normal a la gr´afica de una funci´on f en un punto (x0, y0).

Son: yy0 =f0(x0)(x−x0) y yy0 =−

1 f0(x

0)

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4.8. Crecimiento local de una funci´on.

Si f0(x0) > 0 (resp. f0(x0) < 0), entonces f es estrictamente creciente (resp.

decre-ciente) en un entorno de x0.

4.9. Teorema de Rolle. Interpretaci´on geom´etrica. Aplicaci´on a la localizaci´on y al n´umero de ra´ıces de una funci´on.

”Sif es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) =f(b), entonces existe c∈(a, b) tal que f0(c) = 0”.

4.10. Teorema del valor medio de Lagrange. Interpretaci´on geom´etrica. Aplicaci´on a los c´alculos aproximados y a las desigualdades entre funciones.

”Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que:

f0(c) = f(b)−f(a) ba .”

4.11. Corolario del teorema del valor medio de Lagrange.

”Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f0(x) = 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f es constante en [a, b].”

4.12. Teorema del valor medio de Cauchy.

”Sif yg son continuas en [a, b], derivables en (a, b) yg0(x)6= 0 ∀x ∈(a, b), entonces

existe c∈(a, b) tal que: f(b)−f(a) g(b)g(a) =

f0(c) g0(c).”

4.13. Teorema de monoton´ıa en un intervalo.

”Sif es derivable en [a, b], entonces f es creciente (resp. decreciente) en [a, b] si y s´olo si f0(x)≥0 (resp. f0(x)≤0), ∀x∈[a, b].”

4.14. Extremos relativos (o locales).

f : [a, b] → R tiene un m´aximo (resp. m´ınimo) relativo en c ∈ [a, b] si existe un entorno U de ctal que f(x)f(c) (resp. f(c)≤f(x)), ∀xU ∩[a, b].

4.15. Teorema del extremo relativo interior.

”Sif : [a, b]→R tiene un extremo relativo enc∈(a, b) y es derivable en c, entonces f0(c) = 0.”

4.16. Criterio de la primera derivada para extremos relativos interiores.

Seaf continua en [a, b],c∈(a, b) yf derivable en (a, c) y (c, b). Si existe un entorno (c−δ, c+δ)⊆[a, b] tal quef0(x)≥0 (resp. f0(x)≤0) ∀x ∈(c−δ, c) y f0(x)≤0 (resp. f0(x)≥0) ∀x∈(c, c+δ), entonces f tiene un m´aximo (resp. m´ınimo) relativo enc.

4.17. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos interiores.

Sif0(c) = 0 yf00(c)>0 (resp.f00(c)<0), entoncesf tiene un m´ınimo (resp. m´aximo) relativo en c.

4.18. Ejemplos de c´alculo de extremos.

4.19. Reglas de l’Hˆopital. Ejemplos de aplicaci´on.

Sean f y g derivables en (a, b), −∞ ≤a < b≤+∞, tales que g0(x)6= 0 ∀x∈(a, b) y

limx7→a

f0(x)

g0(x) = l (l ∈ R, l =∞ o l = −∞). Si limx7→af(x) = limx7→ag(x) = 0, o bien

limx7→ag(x) = +∞ (o −∞), entonces limx7→a

(5)

4.20. Convexidad-concavidad de una funci´on en un intervalo. Interpretaci´on geom´ e-trica. Ejemplos. Caracterizaci´on.

Se dice quef : [a, b]→R es convexa (resp. c´oncava) en [a, b] si ∀t∈[0,1] y∀x1, x2 ∈

[a, b], se tiene f((1−t)x1 +tx2) ≤ (1−t)f(x1) +tf(x2) (resp. f((1−t)x1 +tx2) ≥

(1−t)f(x1) +tf(x2)).

4.21. Puntos de inflexi´on. Ejemplos. Criterio.

Se dice que x0 es un punto de inflexi´on de una funci´on f si ´esta es continua en x0 y

existe >0, tal que f es c´oncava en (x0−, x0) y convexa en (x0, x0+), o al rev´es.

5 Teorema de Taylor. Aplicaciones.

”Sea f : I 7→ R una funci´on n+ 1 veces derivable en el intervalo abierto I. Para a, xI se cumple:

f(x) =f(a) + f

0

(a)

1! (x−a) + f00(a)

2! (x−a)

2

+ f

000

(a)

3! (x−a)

3

+· · ·+

+f

n)(a)

n! (x−a)

n+ f

n+1)(c)

(n+ 1)!(x−a)

n+1, cint(a, x).”

Esta es la f´ormula de Taylor de ordennde la funci´onf en el punto a. El ´ultimo sumando se llama resto de Lagrange. Ejemplos:

ex = 1 +x+ x

2

2! + x3

3! · · ·+ xn

n! +

ecxn+1

(n+ 1)!, c∈int(0, x).

sen x=xx

3

3! + x5

5! − · · ·+

(−1)n+1x2n−1 (2n−1)! +

(−1)ncosc x2n+1

(2n+ 1)! , c∈int(0, x).

cosx= 1− x

2

2! + x4

4! +· · ·+

(−1)n+1x2n−2 (2n−2)! +

(−1)ncosc x2n

(2n)! , c∈int(0, x).

ln(1 +x) =xx

2

2 + x3

3 − x4

4 +· · ·+

(−1)n−1xn

n +

(−1)nxn+1

(n+ 1)(1 +c)n+1, c∈int(0, x).

Ejemplos de aplicaci´on de la f´ormula a c´alculos aproximados. ln 1.5 con un error menor que una cent´esima:

| (−1)n

(n+1)(1+c)n+1(

1 2)

n+1| ≤ 1

(n+1)2n+1 ≤10−2 ⇒n= 4⇒ln 1.5 = 0.5−

0.52 2 + (0.5)3 3 − 0.54 4 . 3 √

e con un error menor que una diezmil´esima:

ec (n+1)!(

1 3)

n+1 2

(n+1)! 3n+1 ≤10−4 ⇒n= 4⇒ 3 √

e = 1 + 13 + (13) 2 2! + (1 3) 3 3! + (1 3) 4 4! .

Ejemplo de aplicaci´on de la f´ormula al c´alculo de l´ımites. Si f(x) es tal que limx7→a

f(x)

xp = 0, se dice que f(x) =o(x

p) cuando x7→a.

limx7→0 x−senx3 x = limx7→0

x−(x−x3

3!+o(x 3))

x3 = limx7→0 3!1 + o(x3)

x3 =

1 6.

Ejemplo de aplicaci´on de la f´ormula para obtener desigualdades. Para x > 0: ln(1 +x) = x− x2

2 + x3

3(1+c)3 ≥ x

x2

2 y ln(1 + x) = x− x2

2 + x3

3 -x4

4(1+c)4 ≤x

x2 2 +

(6)

Teorema general de extremos relativos y puntos de inflexi´on.

”Sea I un intervalo, aI y n ≥ 2. Supongamos que existen f0, f00, . . . , fn) y son continuas en un entorno dea, quef0(a) =f00(a) =· · ·=fn−1)(a) = 0 y quefn)(a)6= 0. Sines par yfn)(a)>0 (resp.<0), entoncesf tiene un m´ınimo (resp. m´aximo) relativo en a. Sin es impar, entonces f tiene un punto de inflexi´on en a.”

6. Revisi´on del concepto de funci´on integrable Riemann y teoremas aso-ciados.

6.1. Definici´on de funci´on integrable Riemann.

Una partici´onP = (x0, x1, . . . , xn−1, xn) de un intervalo [a, b] es un conjunto ordenado

y finito de puntos de [a, b], tal que a=x0 < x1 <· · ·< xn−1 < xn =b.

Sea f : [a, b]→R una funci´on acotada.

Definiciones de suma superiorS(f, P) y suma inferiors(f, P) de la funci´onf asociada a la partici´on P:

S(f, P) =

n X

i=1

Mi∆xi, s(f, P) = n X

i=1

mi∆xi,

donde Mi = supx∈[xi−1,xi]f(x), mi = infx∈[xi−1,xi]f(x) y ∆xi =xi−xi−1.

Propiedad: si P y P0 son dos particiones cualesquiera de [a, b], entonces s(f, P) ≤ S(f, P0).

Sea P el conjunto de todas las particiones de [a, b].

Definiciones de integral superior Rbaf e integral inferior Rb

af de la funci´on f en el

intervalo [a, b]:

Z b

a

f = inf

P∈PS(f, P), Z b

a

f = sup

P∈P

s(f, P).

Se dice que f es integrable Riemann (R) en [a, b] siRbaf =Rb

af.

A este valor com´un se le llama la integral de Riemann de f en [a, b], se denota por

Rb af o

Rb

a f(x)dx, y si f es positiva en [a, b], es el ´area que hay, desde a hasta b, entre

la gr´afica de f y el eje de abcisas. Se define Rbaf =−Rb

a f y Ra

a f = 0.

6.2. Ejemplos de funciones integrablesR y no integrables R.

6.3. Criterio para que una funci´on sea integrable R en [a, b].

Si ∀ > 0, existe una partici´on P de [a, b] tal que S(f, P)−s(f, P)< , entonces f

es integrable R en [a, b].

6.4. Propiedades elementales de las funciones integrables R.

Si f yg son integrables R en [a, b], entoncesf +g ykf tambi´en lo son yRabf+g=

Rb af +

Rb a g,

Rb

akf =k Rb

a f.

(7)

Si f es integrable R en [a, b] y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], entonces Rabf ≥ 0. Conse-cuentemente, si f y g son integrables R en [a, b] y f(x) ≤ g(x)x ∈ [a, b], entonces

Rb af

Rb a g.

Si f es integrable R en [a, b] y m, M son constantes tales que mf(x) ≤ Mx∈[a, b], entonces: m(ba)≤Rb

a fM(b−a).

Sif es integrableRen [a, b], entonces lo es en cualquier subintervalo. Rec´ıprocamente, sea c, a < c < b y supongamos que f es integrable R en [a, c] y en [c, b], entonces lo es en [a, b] y se cumple Rabf =Racf +Rcbf.

6.5. Teorema de caracterizaci´on de las funciones integrables R.

Se dice que una partici´on P de [a, b] es m´as fina que otra P0 si todo punto de P0 lo es de P.

Se llama suma de Riemann def asociada a la partici´onP y a los puntoszi ∈[xi−1, xi]

a Pni=1f(zi)∆xi.

”f es integrableR si y s´olo si existe un n´umeroAcon la propiedad que ∀ >0∃ una partici´onP, tal que siP es una partici´on m´as fina queP y

Pn

i=1f(zi)∆xi es cualquier

suma de Riemann def asociada aP, se cumple: |A−Pni=1f(zi)∆xi|< . En este caso,

A=Rabf.”

Si kP k es la m´axima longitud de los subintervalos en los que la partici´on P divide [a, b], podemos interpretar:

Z b

a

f = lim

kPk7→0 n X

i=1

f(zi)∆xi.

6.6. Dos teoremas de integrabilidad.

”Toda funci´on continua en [a, b] es integrable R en [a, b].” ”Toda funci´on mon´otona en [a, b] es integrable R en [a, b].” 6.7. Teorema de composici´on.

”Sif es integrableRen [a, b] y ges continua, entoncesgf es integrable Ren [a, b].” Consecuencias:

Si f es integrable R en [a, b], entonces |f| tambi´en lo es y, adem´as, |Rb

a f| ≤ Rb

a |f|.

Si f es integrable R en [a, b], entonces fn, ∀nN, tambi´en lo es.

Sif es integrableRen [a, b] y∃δ >0 tal quef(x)≥δx∈[a, b], entonces 1

f tambi´en lo es.

Si f y g son integrables R en [a, b], entonces f ·g tambi´en lo es.

Observaci´on: la composici´on de funciones integrablesRen [a, b] no tiene porqu´e serlo. 6.8. La integral indefinida.

Se llama integral indefinida de la funci´on f en [a, b] a la funci´on Fa(x) : [a, b] → R

definida por: Fa(x) = Rx

a f.

Teorema de continuidad: ”Fa es continua en [a, b].”

Teorema de derivabilidad: ”Sif es continua enc∈[a, b], entonces Fa es derivable en

c yF0

a(c) =f(c).”

(8)

El teorema de derivabilidad afirma que si f es continua en [a, b], entonces la integral indefinida Fa es una primitiva de f en [a, b].

6.9. Teorema Fundamental del C´alculo Integral.

”Si f es continua en [a, b] y g es una primitiva de f en [a, b], entonces:

Z x

a

f =g(x)g(a),x∈[a, b].

En particular, Rabf =g(b)g(a), que se escribe, abreviadamente, [g]ba.”

Generalizaci´on de Cauchy: ”si g es una funci´on derivable en [a, b] y g0 = f es inte-grable, entonces Rabf = [g]ba.”

6.10. Teorema de integraci´on por partes.

”Si f y g son funciones en [a, b] con primitivasF y G, respectivamente, entonces:

Z b

a

F g=F(b)G(b)−F(a)G(a)−

Z b

a

f G.”

6.11. Teorema del cambio de variable.

”Sea Φ : [c, d]7→[a, b] derivable, con derivada continua, Φ(c) =ay Φ(d) =b. Si f es continua en [a, b], entonces:

Z b

a

f =

Z d

c

(f ◦Φ)·Φ0.”

6.12. Teorema del valor medio de integraci´on.

”Si f es continua en [a, b] y g es integrable R y no negativa, entonces ∃c ∈[a, b] tal que Rabf·g =f(c)Rabg.”

Corolarios:

Si f es continua en [a, b], entonces ∃c∈[a, b] tal que Rabf = (b−a)f(c).

Sif ygson continuas en [a, b] yRabf =Rabg, entoncesc∈[a, b] tal que f(c) =g(c).

7. Integrales impropias.

7.1. Integral impropia de una funci´on en un intervalo no acotado.

Sea f : [a,∞)→R integrable R en [a, c] ∀c > a. Se llama integral impropia de f en (a,∞) aRaf = limc7→∞

Rc a f.

An´alogamente, R−∞b f = limc7→−∞ Rb

c f y R∞

−∞f = Rb

−∞f + R∞

b f para cualquier

bR.

Cuando los l´ımites son finitos, se dice que las integrales impropias de f convergen; cuando no lo son, que divergen.

7.2. Integral impropia de una funci´on no acotada.

Sea f : (a, b] → R integrable R en [c, b] para cualquier c de (a, b]. Se llama integral impropia de f en (a, b] aRabf = limc7→a+

Rb c f.

An´alogamente, la integral impropia de f en [a, b) es Rabf = limc7→b

Rc a f.

(9)

8. Aplicaciones geom´etricas del c´alculo integral. 8.1. Longitudes de arcos de curva.

La longitud del arco de la curva y =f(x) comprendido entre las rectas x=a, x=b (a < b) es:

L =

Z b

a p

1 + (y0)2dx.

8.2. Vol´umenes de s´olidos de revoluci´on.

Los vol´umenes de los s´olidos engendrados por la rotaci´on de un trapecio mixtil´ıneo limitado por la curva y=f(x), el eje OX y las verticalesx=a,x=b(a < b), alrededor de los ejes OX y OY, son, respectivamente:

VX =π Z b

a

y2dx, VY = 2π

Z b

a

xy dx

.

8.3. ´Areas de superficies de revoluci´on.

El ´area (lateral) de la superficie engendrada por la rotaci´on, alrededor del eje OX, del arco de la curva y =f(x) comprendido entre las rectasx =a, x=b (a < b) es:

S = 2π

Z b

a

Figure

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