NORMATIVIDAD Y LOGICA NATURAL. Su rol en la enseñanza de la lógica
Gladys Palau
Universidad de Buenos Aires- SADAF [email protected]
Los lógicos a menudo apelan a la llamada "intuición" para legitimar la aceptación o rechazo de ciertas inferencias. Sin embargo, el significado del término intuición no es unívoco. Por ejemplo, algunos filósofos de lógica, enrolados en la tradición del racionalista, postulan la existencia de un conjunto de principios lógicos que se imponen por su carácter evidente y universal. Estos principios existen en la mente en una manera consciente o inconsciente; son usados por todo hombre racional y, al mismo tiempo, constituyen el fundamento de toda lógica. Otros filósofos, quizás desde un más punto de vista más pragmatista, sostienen que en el lenguaje natural hay intuiciones lógicas pre-sistemáticas que podemos encontrar en las respuestas espontáneas de las personas. Algunas de estas intuiciones lógicas están de acuerdo con inferencias lógicas válidas pero otras ofrecen resistencia. Esta posición es compartida por casi todos los lógicos que han construido sistemas no-clásicos criticando a la lógica clásica sobre la base de sostener que ésta es insuficiente o inadecuda en ciertos dominios particulares de discurso. Ejemplos de esta posición son los argumentos de Anderson & Belnap en su Logic of Entailment and Necessity contra la validez del Silogismo Disyuntivo y otras inferencias lógicas clásicas a fin de reemplazar el concepto de deducción clásica por el de deducción relevante. De l misma forma, los partidarios de la lógica clásica, a fin de defender las inferencias clásicas, también han recurrido a las intuiciones de un agente racional. Las intuiciones juegan así un doble
El presente trabajo es una adaptación del trabajo Logic and Knowledge, The role of logic in
papel: por un lado son la base de cualquier sistema lógico, y por el otro, constituyen la base a la que se recurre para verificar la adecuación de un sistema lógico dado. En el primer caso, los sistemas lógicos consisten en reconstrucciones formales de determinadas intuiciones y en el segundo, ellas se convierten en una especie de "prueba empírica" a fin de mostrar la adecuación o inadecuación del sistema lógico en cuestión.
Parte 1. Contribuciones desde las Ciencias Cognitivas.
Aunque hoy día la psicología cognitiva constituya aún un fragmentado campo de investigaciones, ofrece un enfoque a estos problemas sin pedir apoyo alguno a cualquier tipo de intuiciones. Más aún, la mayor parte de los psicólogos cognitivos tiene interés en analizar la forma de construcción de los procesos de conocimiento; particularmente, los procesos deductivos tal como se muestran en las inferencias deductivas estudiadas por la lógica.
Existen varios enfoques constructivistas diferentes, pero todos ellos coinciden en reconocer que cualquier ser humano está naturalmente habilitado para razonar. Es decir, el ser humano está dotado naturalmente por una competencia lógica. Explican además las capacidades y habilidades lógicas de toda persona en términos de competencia y ejecución (perfomance). Quizás, el problema que más profundamente divide a los investigadores en esta área concierne al papel que se atribuye a los sistemas lógicos en la descripción de tal competencia lógica.
consideramos más importantes: (i) aquel que explica la competencia lógica por medio de un conjunto de reglas de inferencia formales (Braine, Rips, los modelos de reglas de John-Son-Laird); (ii) la teoría de los modelos mentales (Johnson-Laird) y (iii) el enfoque epistemológico de la lógica (Piaget y neo-piagetianos). En este trabajo nos limitaremos a contestar sólo la primera pregunta, ya que la respuesta de las restantes depende de ésta.
Braine (1990) partió encarando las habilidades lógicas del razonamiento desde un punto de vista de la evolución bio-cultural del ser humano, considerando que algunos aspectos de la competencia del razonamiento lógico debían ser universales en la especie humana y que por ello deben estar presente también en sociedades analfabetas (preliterated). Sostiene que el razonamiento lógico proporciona algunos procesos elementales de integración de la información que sirven en principio a los siguientes dos propósitos: primero, facilitar la interacción verbal proporcionando un conjunto de inferencias que actúan automáticamente en el procesamiento del discurso; y segundo, integrar la información recibida de fuentes diferentes o en tiempos diferentes.
A fin de analizar el razonamiento lógico, distingue entre habilidades lógicas del razonamiento primarias y secundarias. Las habilidades primarias son inferencias lógicas que conforman los procesos de integración de la información y son compartidas por todo ser humano. Estas inferencias lógicas naturales se forman en la comprensión del discurso y en la práctica del razonamiento diario y constituyen la llamada lógica natural de Braine. Más aún, sostiene que estas habilidades primarias universales consisten en un conjunto de esquemas inferenciales y un programa simple para usarlas en la generación de cadenas cortas de inferencias.
todo proceso de organizar la información. Pero, al contrario, la conectiva “si...entonces” y su relación con la regla de Modus Ponens es aprendida por inducción por inputs verbales. Sin embargo, para Braine, la lógica natural no excluye factores pragmáticos. Estos factores afectan a todo razonamiento porque afectan la comprensión y ayudan a la constitución de la información contenida en las inferencias. Así, en el razonamiento práctico y en la comprensión del discurso, la lógica natural y la pragmática operan en forma conjunta. Las habilidades primarias (o reglas de inferencia), quizá debido a su carácter espontáneo, se constituyen sin error alguno, es decir, en una forma correcta. Sin embargo, pese a esto y a su carácter universal, no debe ser ninguna sorpresa que la mayoría de niños y adultos no hayan adquirido muchas de estas habilidades lógicas primarias. Pero los errores son debidos al pobre desarrollo de las habilidades secundarias y no a la falta de las habilidades primarias.
Las habilidades lógicas secundarias son aquellas que en la literatura lógica se consideran como meta-lógicas, tal como los conceptos de entailment o de validez. Braine las llama "quasi-académicas" porque se adquieren a menudo por instrucción en sociedades instruidas y están en relación directa con el lenguaje qua lenguaje. Puesto que estas habilidades están relacionadas con la enseñanza de la lógica, volveremos a este punto en la segunda parte.
Todos los psicólogos que postulan esquemas de inferencia o una lógica natural están de acuerdo que el conjunto de esquemas de inferencia naturales es pequeño. Braine (1990) ha dado catorce reglas de inferencia, independientes entre sí, es decir, básicas. Entre ellas encontramos las llamadas Conjunción, Simplificación, Doble Negación, Silogismo Disyuntivo, Dilemas Constructivos Simple y Compuesto y formas especiales del Teorema de la Deducción y del Reductio ad Absurdum.
explique cómo operan estas inferencias naturales. Sin embargo, este problema no tiene aún una respuesta ni satisfactoria ni definitiva.
Una respuesta famosa a este problema, fue dada por Johnson-Laird (1983,1986) por medio de su Teoría de los modelos mentales. En su trabajo de 1991 afirma categóricamente que las inferencias ordinarias no son deductivas y por ello no pueden ser explicadas por reglas de inferencia formales. En todo caso, si las reglas lógicas fueran necesarias, éstas no serían las reglas de inferencia de la lógica formal clásica. Agrega además que en la vida real, los hombres a menudo carecen de la información completa como para realizar inferencias válidas. Por ello, sostiene que el pensamiento lógico sólo consiste en manipular modelos mentales. Según Johnson- Laird los modelos mentales son representaciones diferentes de los estados posibles del mundo. Así, dada una inferencia, cada hombre racional debe ser capaz de representarse todos los modelos en los que las premisas fueran verdaderas y descartar los modelos con premisas falsas. Esto implica que cada persona está en condiciones de entender las condiciones de verdad de las funciones proposicionales y de los cuantificadores. Así, hay dos posibilidades opuestas: si una persona puede seguir a partir de este modelo una proposición informativa, la tomará como una conclusión posible de las premisas. Por el contrario, si no puede seguir esa proposición de las premisas, deberá buscar un contraejemplo. Puesto que las premisas pueden tener muchas interpretaciones, será entonces necesario que la persona examine cuales de ellas son consistentes con la conclusión. Si no hay un modelo mental con premisas verdaderas y una conclusión falsa, entonces se deduce la conclusión de las premisas. Se sabe que La Teoría de los modelos mentales ha sido representada por un programa computacional en el que los modelos mentales tienen una forma de estructura de dato (o datum estructura), tal como la explicada al razonamiento silogístico.
inferenciales de Braine, hay componentes lógicos implícitos, tal como el proceso por el absurdo usado en la búsqueda de los contraejemplos.
Actualmente parece haber cierta coincidencia con Johnson-Laird cuando afirma que en la vida diaria las personas no razonan deductivamente y que, en el caso de que se usaran algunas reglas de inferencia, estas no serían las reglas clásicas. Según Overton (1990) hay buenas razones empíricas par creer que las personas no razonan realmente de acuerdo a reglas fundadas en la tabla de verdad de las conectivas. Sin embargo, el considerar inadecuadas las reglas de inferencia clásicas no es razón suficiente para eliminar todo tipo de modelo basado en reglas. En Inteligencia Artificial hay sistemas de consecuencia de no-monotonía cuya meta principal precisamente consiste en representar el razonamiento ordinario por medio de reglas no-deductivas (defesasible). Desconocemos si se han aplicado estos sistemas a la construcción de modelos descriptivos de la competencia lógica. Quizás, sería un programa de investigación interesante y fructífera.
ultimately leads to a level at which the acquired system can be characterized as a relatively logic system and to the procedures that access and implement this competence. This level is identified as the level of formal deductive reasoning.
Particularmente, todo conocimiento crece hacia la constitución de estructuras en equilibrio por medio de procesos de asimilación y acomodación. La asimilación incorpora elementos externos compatibles con la estructura cognitiva presente. Es una actividad de integración. La acomodación modifica la estructura a fin de incorporar un conocimiento nuevo cuya incompatibilidad con el conocimiento previo bloqueó la asimilación. El estado resultante es siempre un sistema nuevo organizado como un resultado de la interacción entre asimilación y acomodación. En muchas ocasiones se alcanza este equilibrio por medio de diferenciaciones entre esquemas y su integración en uno más general. La asimilación y la acomodación de sistemas cognitivos implican a nivel humano actividades lógicas. Así, desde esta perspectiva, la lógica es un componente esencial en la construcción del conocimiento. Y es posible describir las diferentes fases de la evolución del conocimiento por medio del lenguaje de la lógica, es decir, postulando modelos lógicos cuyos propósito sea la descripción del funcionamiento lógico deductivo involucrado en cada fase del desarrollo cognitivo. Esencialmente, este enfoque postula que la necesidad lógica se puede explicar por medios modelos lógicos deductivos, los cuales, desde el punto de vista de la psicología, son sistemas de lógica natural deductiva.
mientras que otro tipo de inferencias, las inductivas por ejemplo, no son necesarias a pesar del hecho de que sus proposiciones sean verdaderos. Las inferencias naturales de Braine son inferencias lógicas necesarias. El procedimiento de Johnson-Laird de buscar contraejemplos permite a su vez caracterizar la inferencia válida como una inferencia por la que es imposible dar un modelo con premisas verdaderas y conclusión falsa. No obstante, ni la lógica natural de Braine, ni la Teoría de los Modelos Mentales ha podido explicar la necesidad lógica de las inferencias deductivas.
Pensamos que la mejor característica del enfoque del epistemológico de Piaget reside precisamente en ofrecer un camino posible para explicar el carácter intrínsicamente normativo de toda actividad lógica, tal como se muestra en el carácter necesario de las inferencias lógicas. Desde un punto de vista psicológico la respuesta de esta pregunta se encuentra en la ya mencionada Teoría de la Equilibración. Resumiendo: en el proceso de desarrollo del conocimiento, por medio de procesos cognitivos específicos, los seres humanos construyen conceptos que permanecen invariantes bajo toda situación. Por ejemplo, un niño de siete años entenderá que el volumen de agua de un vaso de vidrio será el mismo si lo pone en otro vaso de un tamaño diferente. Después de alcanzar la constitución de las operaciones formales, un joven entenderá también que un triángulo continuará siendo el mismo cualquiera sea su desplazamiento dentro del plano. A su turno, el logro de la competencia lógica permitirá que las personas entiendan que una inferencia es válida bajo cualquier asignación de verdad para sus componentes proposicionales. Así, el reconocimiento de que algo queda invariante dentro de un conjunto de transformaciones es la génesis de la necesidad.
relaciones necesarias sólo ocurren dentro de estructuras cerradas, todas las inferencias válidas resultan así lógicamente necesarias.
Hay muchas experiencias empíricas en este campo que a nuestro entender constituyen buenas razones para favorecer este enfoque epistemológico. No obstante, la mayoría de investigadores enrolados en él no está de acuerdo con los modelos propuestos por Piaget por considerarlos insuficientes e inadecuados para una descripción completa de todos los tipos de argumentos involucrados en la lógica natural. Pero sin embargo, todos comparten la idea de que la lógica natural es la condición de posibilidad del conocimiento en el sentido de que ella permite organizar y estructurar nuestro conocimiento sobre el mundo y es por ello que se la concibe como la génesis de la lógica formal. Además, con respecto a la competencia lógica de un adulto, esta lógica natural tiene muchas características en común con la lógica natural de Braine. Las más importantes son: 1) todas las inferencias naturales tienen una estructura deductiva más simple que las cadenas deductivas usuales de la lógica formal; 2) algunas inferencias "erróneas" se aceptan a menudo como válidas; 3) las inferencias naturales siempre ocurren dentro de contextos significantes; y 4) la aceptación o rechazo de inferencias están estrechamente relacionadas con el valor de verdad de su enunciados y con el significado de las palabras. Resulta interesante destacar que ciertas investigaciones recientes (Piéraul-Le Bonniec, 1990) han mostrado que las habilidades inferenciales de la lógica natural se desarrollan según las situaciones de vida de las personas, que aumentan en relación directa con la posesión de información sobre el tema y que la competencia lógica también participa en los procesos de integración de la información disponible.
Parte 2: Cómo enseñar lógica.
La respuesta a la primera pregunta está condicionada por el papel que creemos juega la lógica en el proceso de organización del conocimiento. Sostenemos además que el razonamiento lógico se desarrolla. Numerosos estudios han encontrado diferencias en perfomance lógica según las edades. La capacidad de resolver problemas lógicos a los cinco o seis años es obviamente menor que la de un adulto. Aunque todavía no se sabe cómo se desarrolla el razonamiento lógico, se presupone que el aprendizaje de la lógica ciertamente contribuye a aumentar la perfomance lógica al menos en algunas áreas del discurso. Si esta suposición es adecuada, entonces el papel más general de lógica en el proceso de aprendizaje parece consistir en perfeccionar y aumentar la competencia lógica de las personas y contribuir a desarrollar las habilidades para lograr razonar lo más correctamente posible. Pero el proceso de enseñanza de la lógica involucra tipos diferentes de operaciones intelectuales que tienen un nivel más alto que los antes descriptos y que son más complejos de los profesores generalmente creen. Sin embargo estos procesos no han sido todavía definitivamente elucidados. Para clarificar por lo menos algunos de sus rasgos, será necesario recordar que tanto las habilidades primarias de Braine como la lógica natural de Piaget se adquieren en forma espontánea. Aunque Braine considera que las habilidades secundarias se adquieren en forma sistemática y generalmente en una manera académica, Piaget no hace referencia alguna a este tema. No obstante los neo-piagetianos han realizado contribuciones interesantes.
una conclusión a partir de las premisas. Por ejemplo, el proceso de determinar la validez de un argumento es una estrategia metalógica, porque envuelve una distinción explícita entre premisas y conclusión y una reflexión explícita sobre la relación entre las premisas y la conclusión. Otras estrategias metalógicas son el uso del argumento ad-absurdum, las pruebas condicionales, la prueba por casos y el uso de las reglas de inferencia en Deducción Natural. Los modelos de Johnson Laird también envuelven algunos tipos de estrategias del metalógicas.
La comprensión metalógica alude a la capacidad de pensar en la naturaleza de los conceptos lógicos. Por ejemplo, escoger exitosamente una estrategia metalógica a fin de determinar si la conclusión se sigue de las premisas requiere una previa y explícita comprensión metalógica de lo que significa argumento deductivo; el proceso de formalizar un argumento implica la distinción explícita entre lenguaje formal y lenguaje natural; la construcción de una prueba por inducción implica una serie de pasos de comprensión previos, a saber: el conocimiento previo y explícito de las propiedades de los números naturales, el significado de la expresión "para cualquier número", la transición de un número a su sucesor por medio de la regla de Modus Ponens y la posibilidad de reiterar este proceso ad infinitum. Experiencias empíricas han mostrado que ambos tipos de operaciones se adquieren a partir de la adolescencia y que se desarrollan de ahí en más hacia niveles más altos de abstracción.
abstracción pseudo-empírica. Finalmente, la abstracción reflexiva fue concebida primeramente por Piaget para hacer referencia a las coordinaciones generales de las acciones. Puesto que el origen de este tipo de abstracción se encuentra dentro del sujeto, es completamente interna al mismo. Según Moshman (1990, pp.218) la abstracción reflexiva debe pensarse como involucrando dos procesos estrecha y mutuamente interrelacionados: (i) la construcción de un objeto nuevo a un nivel más alto de abstracción; y (ii) la reconstrucción del objeto viejo como un objeto de comprensión. La construcción del objeto nuevo involucra la abstracción de elementos del viejo e implica la producción de nuevas diferenciaciones implícitas. Por su parte, la reconstrucción del objeto viejo envuelve una reflexión sobre las diferenciaciones previas implícitas a fin de redefinirlas y finalmente coordinarlas en un nivel más alto de organización. Así, el conocimiento que antes estaba implícito en el objeto viejo ahora está explícitamente en el nuevo.
Existen diferentes procesos cognitivos que satisfacen las características precedentes. Por ejemplo, Ed Dubinsky (1991) propone cuatro tipos de abstracción reflexiva: 1) cuando un sujeto aprende a aplicar un esquema existente a una colección más amplia de fenómenos, dice que el esquema ha sido generalizado; 2) cuando un sujeto construye procesos internos a partir de sus acciones externas, dice que las acciones externas han sido interiorizadas o incorporadas como un sistema de operaciones; 3) a veces, el sujeto compone o coordina dos o más procesos para construir un nuevo; y 4) cuando los procesos o las operaciones se tematizan como objetos de pensamiento, se dice que estos procesos u operaciones han sido encapsulados.
Muchos de los conceptos pertenecientes a la lógica (y también a la matemática) han sido adquiridos por una sucesión de cualquiera de estos procesos de la abstracción reflexiva. Daremos unos ejemplos.
“pq”, el estudiante debe encapsular bajo esta forma lógica, un tipo especial de enunciados condicionales del lenguaje natural. Si el antecedente hubiera sido el esquema molecular “pq”, entonces el sujeto habría debido previamente encapsular los enunciados correspondientes a fin de ver que “(pq)r” es también un esquema condicional.
Igualmente, para lograr el concepto metalógico de implicación lógica o entailment, cada estudiante comienza por diferenciar mediante tablas de verdad los condicionales que pueden ser falsos de aquellos ese nunca pueden serlo (i.e. cuya verdad permanece invariante cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes atómicos). Recién cuando encapsula todos estos condicionales tautológicos está en condiciones de construir el nuevo concepto metalógico de entailment. Más tarde, si ya ha incorporado por sucesivos procesos de generalización y diferenciaciones el concepto de razonamiento válido, podrá recién entender la relación entre inferencia válida e implicación lógica.
Consideremos una clase que empieza así: “Hoy, vamos a aprender cómo hacer una prueba por inducción." Esta declaración presupone que el estudiante ya posee el esquema de inducción, o que conscientemente conoce otros métodos de prueba y por consiguiente es capaz de agregar un nuevo. Pero generalmente, los estudiantes no tienen los esquemas que constituyen los requisitos previos para aprender una prueba por inducción y entonces, la prueba carecerá de sentido. Dubinsky escribe: For students who have not encapsulated the process of implication and for whom proposition valued functions of the positive integers are not objects, there may be no “something” in that admonition (1991, pp.120).
Otro tipo de equivocación en la enseñanza se observa en el uso de las definiciones. Muchos profesores introducen definiciones bajo la creencia de que los estudiantes inmediatamente adquirirán el concepto correspondiente. Pero si los estudiantes no tienen los esquemas previos que necesarios para construir el concepto nuevo y por consiguiente incorporar la definición, ésta se volverá inútil. Pensamos que éste es el tipo de dificultad que a menudo encontramos cuando tratamos de enseñar que la forma enunciativa “pq” tiene el mismo significado que “¬pq”, sin que ellos hayan interiorizado previamente los significados de ambas conectivas.
durante el proceso de enseñanza de la matemática. Este conocimiento previo matemático lleva generalmente a muchas dificultades en el proceso aprendizaje y es objeto de estudio de muchas investigaciones en este campo.
Pero, en el caso de lógica, el "conocimiento previo y común " mencionado en el segundo rasgo, consiste precisamente en la lógica natural o la competencia lógica de los sujetos comunes. Muy a menudo, esta lógica natural se vuelve un auténtico obstáculo epistemológico y didáctico para la enseñanza de ciertos temas lógicos.
Daremos unos ejemplos. Cuando queremos reflexionar sobre el concepto de deducción en el aula, los estudiantes generalmente rechazan la idea de que en un razonamiento válido sea posible inferir una conclusión verdadera de premisas falsas. Esto es así porque en lógica natural generalmente se razona sobre proposiciones que se aceptan como verdaderas y en una relación directa con el contexto significativo del lenguaje. La misma razón explica el hecho que a menudo los sujetos usen inferencias inválidas como si fueran válidas.
En muchos casos los estudiantes “romperán” con algunas inferencias “erróneas” de su lógica natural a fin de incorporar nuevas estrategias de razonamiento correctas. En otro palabras y hablando en sentido figurado, eliminarán o modificarán su conocimiento viejo para incorporar el nuevo. Para entender la noción de validez, deberán dejar el hábito de razonar siempre sobre información verdadera; para entender el uso lógico de las conectivas deberán salirse del hábito de pensar siempre con expresiones significativas en el lenguaje natural.
Pensamos que éste es un proceso bastante paradójico: por un lado la competencia lógica o lógica natural es la génesis de la ciencia de la lógica, y por el otro, el aprendizaje de esta última implica una ruptura con la primera. Asimismo, los conceptos y procedimientos de la metalógica tienen su origen en la lógica natural pero no son adquiridos por generalización de habilidades de la lógica naturales sino que para su construcción el sujeto ha debido realizar ciertas "rupturas" en el sentido de Bachellard, con los procesos naturales lógicos. Sin estas rupturas sería imposible la construcción de sistemas lógicos. Esto es así porque todo sistema lógico es un sistema cerrado respecto de una relación de consecuencia, y por ello con algún tipo de necesidad inferencial, mientras que lógica natural no lo es. El tipo de normatividad de la lógica natural seguramente es más débil que la normatividad deductiva de la lógica formal, pero se puede alcanzar la segunda sólo a partir de l primera.
Referencias (Trabajos citados)
-BRAINE,Martin D.S.: The natural Logic approach to Logic. En
Reasoning, Necessity and Logic (RNL), Edited by Willis F. Overton.
Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey, London, 1990,
p.135-158.
-DUBINSKY,Ed: Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking, en Advanced Mathemtical Thinking.(AMTh) Ed. By David Tall, Kluwer Academic Publishers, 1991,pp.95-123.
-DUBINSKY.ED AND TALL,DAVID: Advanced Mathemtical Thinking and the Computer. En AMTh, pp.231-243.
-OVERTON, Willis F.: Competence and Procedures: Constraints on the Development of Logical Reasoning. En RNL,pp.2-31.
