Texto completo

(1)

Tema 3: “Ones”.

Índex: 1.- Revisió del moviment harmònic simple. 2.- Ones. Ones harmòniques. Equació d'ones. 3.- Energia del moviment ondulatori. Intensitat. 4.- Propagació d'ones. Atenuació. Absorció. 5.- Principi de Huygens.

6.- Estudi qualitatiu de les interferències. Ones estacionàries. 7.- Aplicacions.

7.1.- Sensació sonora. Escala decibèl·lica. 7.2.- Efecte Doppler.

1.- Revisió del moviment harmònic simple.

Els alumnes repassaran el que van estudiar en 1r de BACH.

(2)

 A. B. (T3 ONES) Pàgina 2

2.- Ones. Ones harmòniques. Equació d'ones.

- DEFINICIÓ: “Ona o, en general, moviment ondulatori és el fenomen de transmissió d'una pertorbació d'un punt a un altre de l'espai sense que existisca un transport net de matèria entre aquests dos”. (Ex/ ones de ràdio, so, ones sobre la superfície de l'aigua, llum, etc...)

- Classificació de les ones:

- Pel nombre de dimensions de propagació:

 Unidimensionals: la pertorbació es propaga en una sola dimensió. (Ex/ sacsada en una corda).

 Bidimensionals: la pertorbació inicial es transmet en una superfície. (Ex/ ones sobre l'aigua).

 Esfèriques: la pertorbació afecta a les tres dimensions. (Ex/ ones sonores).

- Per la naturalesa del medi en què es propaguen:

 Ones materials: es produïxen al pertorbar un medi elàstic (aire, aigua, corda) i la seua velocitat depén del medi.

(Ex/ ones sonores).

 Ones electromagnètiques: no necessiten medi material per a propagar-se. (Ex/ ones de ràdio).

(3)

- Per la direcció en què es produïx la pertorbació:

 Ones transversals: la pertorbació és perpendicular a la direcció de propaga-ció.

(Ex/ ones sobre l'aigua).

 Ones longitudinals: es produïx una compresió-dilatació en la direcció en què avança l'ona.

(Ex/ so en l'aire).

També es parla d'ones circulars, planes, esfèriques, irregulars... s egons la forma del front d'ones (que es definix com el resultat d'unir tots els punts a què arriba una pertorbació en un instant determinat). Es denomina raig a la línia que, en tots els seus punts, és perpendicular al front d'ones.

- Ones harmòniques:

Anem a limitar el nostre estudi a les anomenades ones harmòniques que són aquelles que poden descriure's utilitzant les funcions matemàtiques sinus i cosinus. Açò equival a dir que no es debiliten quan van propagant-se. Açò, ex-cepte en les ones electromagnètiques és molt difícil d'aconseguir.

Ull!: el dibuix és una representa-ció instantània de quelcom que és dinàmic.

Per a elles, podrem utilitzar les magnituds conegudes:

 PERÍODE (T): Temps que transcorre entre dos polsos successius (s).

 LONGITUD D'ONA (): Distància que existix entre dos polsos successius (m).

 VELOCITAT DE PROPAGACIÓ (v): Velocitat amb què avança un pols (m/s). Evidentment: v = /T

 FREQÜÈNCIA (f o ): Nombre de polsos produïts per unitat de temps (s-1 o hertz). És la inversa del període: f = 1/T. També: v = ·f

(4)

 A. B. (T3 ONES) Pàgina 4

Les partícules del medi material (si n'hi ha) per on es desplaça una ona harmònica vibraran amb moviment harmònic simple:

y(t) = A·sin(2·t) T

 AMPLITUD (A) : d'una ona és la distància màxima que se separa un punt de la posició d'equilibri(m).

(5)

- Equació d'ones:

És l'equació que descriu el moviment ondulatori. Ha de proporcionar-nos, en funció de x (distància des de l'origen de la pertorbació fins a un punt qualsevol del seu recorregut) i el t (temps transcorregut des de l'inici de la per-torbació) el valor de y (quelcom així com l'elongació en el punt en qüestió). La deduirem pensant en una pertorbació transversal en una corda, encara que la seua validesa serà general:

Suposem una pertorbació que s'origina en (0,0) i avança cap a la dreta.

En (0,0) tindríem un moviment harmònic (Ull!: no confonguem la línia ondulada que dibuixem amb una situació estàtica, perquè l'ona està canviant contínuament, és a dir, la y de cada punt varia amb el temps):

En x=0: 

      t T A

y0 sin 2

En un altre punt, a una distància x de l'origen, també tindrem un movi-ment harmònic simple. Però la y de la pertorbació en aquest punt, en general, no coincidirà en el temps amb la y en l'origen.

Si anomenem t’ al temps que tarda a arribar un pols des de l'origen fins a

x, en aquest punt: 

  

 sin 2 (t t') T

A

y

Si la velocitat de propagació és v: v=x/t’  t’=x/v

                            vT x T t A v x t T A

y sin 2 sin 2

 

               x T t A t x

y , sin 2

Que és la forma en què freqüentment es presenta l'equació d'ones.

Igual que a l'estudiar el moviment harmònic simple, si l'elongació en l'ori-gen no és zero quan t=0, cal introduir una correcció que rep el nom de fase o desfasament de l'ona: :

 

                 x T t A t x

(6)

 A. B. (T3 ONES) Pàgina 6

Es diu que l'equació d'ona és doblement periòdica: respecte al temps i respecte a la distància:

Per a una posició fixa (x=constant): I per a un instant donat (t=constant):

Amb freqüència s'utilitzen, en comptes de període i longitud d'ona, altres magnituds constants que són l'anomenat nombre d'ones: K=2 que repre-senta el nombre d'ones completes que hi ha en una distància de 2 metres. I l'anomenada freqüència angular:  = 2/T que representa el nombre de perío-des que hi ha en 2 segons. Amb estes magnituds:

 

x

t

A

t

Kx

(7)

3.- Energia del moviment ondulatori. Intensitat.

Què és el que es trasllada amb una ona?. Ja hem dit, al principi del tema, que es propaga una pertorbació sense que hi haja trasllat net de matèria. Doncs bé, ho que transporta una ona a distància és energia: l'energia que van adquirint els punts als quals arriba la pertorbació.

Cada partícula del medi adquirirà una energia cinètica deguda a la seua velocitat i una energia potencial (no oblidem que cada partícula s'ha convertit en un oscil·lador harmònic). Per a qualsevol partícula:

E = Ec + Ep

La suma d'aquestes dos energies, mentre es mantinguen les característi-ques del moviment ondulatori (amplitud i freqüència) serà constant. Podem ava-luar-la amb facilitat prenent com a referència el punt d'elongació zero en què l'energia total coincidirà amb l'energia cinètica màxima:

E = Ec-màx = ½m v2màx

Com: v dy dt

A T

t T

x

   

  2

2

cos llavors: vmáx =

2

A T

2 2 2 2 2 2

2 2

A m A

T m

E     

“L'energia propagada en un moviment ondulatori és directament propor-cional al quadrat de l'amplitud i al quadrat de la freqüència (i depén del medi de propagació)”.

-Intensitat:

Però quan s'estudia la propagació de les ones (ones esfèriques sobretot), més que l'energia d'una partícula vibrant, interessa una magnitud coneguda com a intensitat del moviment ondulatori que es definix com “l'energia que travessa, per unitat de temps, una unitat de superfície col·locada perpendicularment a la direcció de propagació”.

Les seues unitats internacionals seran: J s m

(8)

 A. B. (T3 ONES) Pàgina 8

Veiem que té dimensions de potència dividida per superfície. Si s'estudia un focus emissor d'ones esfèriques (per exemple ones sonores) i se suposa que el medi de propagació és homogeni, la intensitat a una distància r del focus emissor pot calcular-se:

I P

r

4 2 (Potència del focus emissor/Superfície de l'esfera a l’esmentada distància)

4.- Propagació d'ones. Atenuació. Absorció.

Una ona es debilita a l'allunyar-se del focus emissor. La disminució de la seua intensitat es manifesta en una reducció de la seua amplitud. La causa pot ser de dos tipus:

- Atenuació:

Si pensem en una ona esfèrica, l'energia inicial haurà de repartir-se entre més punts (més partícules) a mesura que avança l'ona.

Suposant que no hi haja pèrdues energètiques, si el focus emissor té una

potència P, tindrem a una distància r1 del mateix: 2 1 1

4 r P I

 sent 4r1 2

la

super-fície d'una esfera de radi r1 centrada en el focus emissor. Quan la distància siga

r2: 2

2 2

4 r P I

La intensitat de l'ona disminuirà amb el quadrat de la distància al focus emissor: atenuació de l'ona.

Com la intensitat depén del quadrat de l'amplitud, podrem concloure que l'amplitud és inversament proporcional a la distància al focus emissor:

1 2

2 1

r r A A

(9)

- Absorció:

Quan hi ha pèrdues d'energia per fregaments, viscositat, etc... el debilita-ment de l'ona es produïx per absorció d'energia per part del medi.

S'ha comprovat experimentalment que el debilitament és directament pro-porcional a la intensitat i a l'allunyament del focus:

dI = - I··dx

(quan ens allunyem un dx, hi ha una disminució dI en la intensitat) ( és una constant anomenada coeficient d'absorció del medi)

Quan ens allunyem des del focus (x=0; I=I0) fins una distància x:

Veiem que la intensitat decreix exponencialment amb la distància x.

5.- Principi de Huygens.

“Cadascún dels punts d'un front d'ones es convertix, al ser abastat per una pertorbació en una “font secundària” d'emissió”.

Huygens ho va proposar per a explicar la geometria dels fronts d'ones (punts que són abastats simultàniament per la pertorbació). Per exemple, els punts A, B, C, etc... d'un front d'ones circular (o esfèric) són nous focus emissors que do-nen lloc a un nou front circular (o esfèric):

I

  

I

x

x I

I dx

I dI

0 0

0

ln 

I

I

0

e

x

(10)

 A. B. (T3 ONES) Pàgina 10

6.- Estudi qualitatiu de les interferències. Ones estacionàries.

Una interferència entre dos o més ones és la superposició d'elles quan es propaguen en el mateix medi. Per a obtindre l'equació d'ones, en el cas que es produïsca la interferència de dos ones, n’hi haurà prou en sumar les dos equacions d'ones:

y = y1 + y2 (és el que es coneix com a principi de superposició).

Hi ha punts en què s'obtindrà una màxima amplitud. En ells es parla d'interferència constructiva i altres punts en què s'anul·len les dos pertorba-cions, quedant y=0: interferència destructiva.

La qüestió de la interferència d'ones pot arribar a ser molt complicada. En l'exercici 9 s'ha resolt un cas senzill en el qual es donen aquestes circum-stàncies:

- Són idèntiques: freqüència, longitud d'ona i amplitud. - Les dos ones vibren en el mateix pla.

Fem el mateix desenrotllament en pla general (per a ones sobre una superficie):

(anomenem x1 a la distància d'un punt P, on anem a calcular la pertorbació, al focus emissor 1; i x2 a la distància de P al focus emissor 2).

Segons el principi de superposició:

Recordant que: EXERCICI 9

Ones coherents

) sin( 1 1 A kx t

y   y2  Asin(kx2t)

2 cos . 2 sin 2 sin

(11)

Equació que anem a escriure d'una manera resumida:

On Ar és el que denominarem amplitud resultant:

i a més s'ha anomenat x a:

La pertorbació resultant és una ona harmònica de la mateixa freqüència i longi-tud d'ona que les ones originals, l'origen de les quals es trobarà a una distància (x1+x2)/2 del punt P, però l'amplitud de la qual és diferent per a cada punt, se-gons la situació d'aquest respecte als focus emissors.

Els punts en què l'amplitud serà màxima compliran: per als valors de n=0,1,2,3...

Com k=2 x1-x2=n

És a dir, en aquells punts tals que la diferència entre les distàncies als focus siga un múltiple sencer de la longitud d'ona, l'amplitud resultant és màxima: in-terferència totalment constructiva.

Anàlogament, l'amplitud serà nul·la (interferència destructiva) en els punts que verifiquen:

k(x1-x2)/2=(2n+1)·/2 amb n=0,1,2,3...

És a dir: x1-x2= (2n+1)/2·

Als punts en què açò ocorre, se'ls denomina nodes, i es diu que es troben en estat estacionari perquè no es veuen afectats per la propagació del moviment

) ·sin(kx t A

yr

        2 cos

2A kx1 x2

Ar

2

2

1 x

x x  

n x x

k

2 ) ( 1 2

           ) 2 )·cos( 2 sin(

2 kx1 t kx2 t kx1 t kx2 t

A

y     

              2 ·cos 2 sin

2 1 2 x1 x2

(12)

 A. B. (T3 ONES) Pàgina 12

ondulatori.

- Ones estacionàries:

DEFINICIÓ: Una ona estacionària és el resultat de la interferència de dos ones idèntiques que es propaguen en sentit oposat.

(Ocorre, per exemple, en una corda subjecta a un punt, quan es reflectix l'ona). Si la que viatja cap a la dreta és: y1=Asin(kx-t)

i la que viatja en sentit oposat és: y2=Asin(kx+t)

La pertorbació resultant serà: y=Asin(kx-t)+Asin(kx+t)

Utilitzant la relació: sin a + sin b = 2sin[(a+b)/2]·cos(a-b)/2:

y =2A·sinkx·cos(-t)=2A·sinkx·cost

En aquest cas, podríem anomenar amplitud resultant: Ar=2Asinkx, quedant l'expressió de l'ona estacionària:

Ar=0 si kx=n amb n=0,1,2,3..., és a dir: 2x/n 

Al tindre l'amplitud nul·la, els nodes romanen constantment en repòs. Açò implica que l'energia no es propaga per la corda en una ona estacionària. Excep-te els nodes, els altres punts són oscil·ladors harmònics de distinta amplitud:

Si una corda (per exemple d'una guitarra) té una longi-tud L, a l'estar fixos els seus extrems, els punts x=0 i x=L han de ser nodes de les ones estacionàries. Per tant, per a x=L es verificarà la condició de node:

L=n/2

O, el que és el mateix, les possibles longituds d'ona han de complir: =2L/n o, les freqüències: f=v/=nv/2L on v és la velocitat de propagació.

Es denomina freqüència fonamental de vibració al valor: f=v/2L (és a dir, n=1).

y=Arcost

(13)

Només són possibles aquelles ones la freqüència de vibració de les quals siga un múltiple de la freqüència fonamental. Són els anomenats modes de vi-bració:

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :