04 matriz inversa y determinante apunte pdf

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(1)

2012

2013

Índice

Matriz invertible

1

Definición y propiedades

1

Cómputo de la matriz inversa

3

Determinante de una matriz

4

Propiedades de los determinantes

4

Cómputo del determinante

7

Trabajo práctico

10

Ejemplos con Sage

11

Cálculo de la inversa de una matriz

11

Cálculo del determinante de una matriz

11

Matriz invertible

Definición y propiedades

Observaciones preliminares

Dada una matrizcuadradaA, buscamos unamatriz inversaA−1

del mismo tamaño.

Queremos que

A1A=I=

   

1 · · · 0 ..

. . .. ... 0 · · · 1

   

dondeIes llamadamatriz identidad.

El productoA1Ano debe tener efecto alguno sobre ningún vector:

(2)

Definición de matriz invertible

Definición1. La matriz cuadradaAesinvertiblesi existe una matriz

A1tal que

A1A=I y AA1=I

¡No todas las matrices cuadras tienen inversa!SiAno es invertible se dice que essingular.

Dada una matriz cuadradaAlo primero que hay que

preguntar-se es: ¿Aes invertible?

Pero en muchos problemas no hace falta calcularA1, con saber que existe es suficiente.

Seis observaciones acerca de la matriz inversa

1. SiAes invertible, la solución del sistema de ecuaciones lineales

Ax=besx=A1b, ya que multiplicandoAx=bporA1se obtienex=A1Ax=A1b.

2. La inversa existe si y solo sirango(A) =n. Pero, con el método de

eliminación de Gauss-Jordan, podemos siempre resolverAx=b

sin calcular explícitamenteA1.

3. La matrizAno puede tener dos inversas diferentes. Supongamos

queBA=Iy que tambiénAC=I. EntoncesB=C

B(AC) = (BA)C =⇒ BI=IC =⇒ B=C

4. Supongamos que existe un vectorx6=0tal queAx=0. Entonces

Ano es invertible. Ninguna matriz puede convertir0enx.SiA es invertible,Ax=0solo puede tener la soluciónx=A10=0.

5. Una matriz de 2×2 es invertible si y solo siad−bc6=0

a b c d

!−1

= 1 ad−bc

d −b

−c a

!

El númeroad−bces llamadodeterminantedeA. Una matrizAes

invertible si y solo si det(A)6=0.

6. Unamatriz diagonales invertible si ninguno de los coeficientes

diagonales es0.

SiA=

   

d1

. ..

dn    

=⇒ A1=

   

1/d1

. ..

1/dn    

Matriz con filas o columnas duplicadas Ejemplo1. La matrizA= 1 2

1 2

!

no es invertible.

(3)

Si hacemos quex= 2 −1

!

se comprueba queAx=0.

Si restamos la primera fila a la segunda obtenemos la

ma-triz escalon equivalenteR = 1 2

0 0

!

, de donde resulta que

rango(A) =16=2.

La inversa del producto Inversa del producto AB

SiAyBson invertibles, también lo esAB. La inversa del producto

ABes

(AB)−1=B1A1

Inversa deAB

(AB)(B1A1) =ABB1A1=AIA1=AA1=I

Inversa deABC(orden revertido)

(ABC)−1=C1B1A1

La inversa de la transpuesta Inversa de la trasnpuesta AT

SiAes invertible, también lo esAT. La inversa de la transpuestaAT

es

(AT)−1= (A−1)T

Cómputo de la matriz inversa

InvertirAde3×3con Gauss-Jordan

A=

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

A−1=

? ? ?

? ? ?

? ? ?

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

 

? ? ?

? ? ?

? ? ?

= 

1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

 

 ? ? ? 

= 

 1 0 0 

 

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

 

 ? ? ? 

= 

 0 1 0 

2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2

 

 ? ? ? 

= 

 0 0 1 

(4)

 

2 −1 0 1 0 0 −1 2 −1 0 1 0 0 −1 2 0 0 1

 f2+ (1/2)f1; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3/2 −1 1/2 1 0 0 −1 2 0 0 1

 

;

f3+ (2/3)f2; 

 

2 −1 0 1 0 0 0 3/2 −1 1/2 1 0 0 0 4/3 1/3 2/3 1

 f2+ (3/4)f3;

;

 

2 −1 0 1 0 0 0 3/2 0 3/4 3/2 3/4 0 0 4/3 1/3 2/3 1

 

f1+ (2/3)f2;   

2 0 0 3/2 1 1/2 0 3/2 0 3/4 3/2 3/4 0 0 4/3 1/3 2/3 1

 

; ; ;

(1/2)f1;

(2/3)f2;

(3/4)f3; 

 

1 0 0 3/4 1/2 1/4 0 1 0 1/2 1 1/2 0 0 1 1/4 1/2 3/4

 

(A I) ; (I A−1)

A

z }| {

  

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

  

A−1

z }| {

  

3/4 1/2 1/4

1/2 1 1/2

1/4 1/2 3/4   =

I z }| { 

 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

  

Repaso de ideas clave

1. La inversa cumple queAA1=Iy queA1A=I. 2. Aden×nes invertible si y solo si rango(A) =n.

3. SiAx=0para un vector no nulox, entoncesAno es invertible.

4. Para calcularA−1hay que aplicar el método de Gauss-Jordan a

(A I)hasta obtener(I A−1).

Determinante de una matriz

Propiedades de los determinantes

Observaciones preliminares

El determinante de unamatriz cuadradaAesun número.

El determinante deAse escribe como det(A)o también como

|A|.

Este número contiene mucha información sobreA. Por ejemplo,

sidet(A) =0, entoncesAno es invertible.

El determinante de la matriz identidad Propiedad1

(5)

1 0 0 1

=1 y

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=1 y

1 . .. 1 =1

Intercambio de dos filas o de dos columnas Propiedad2

El determinante cambia de signo cuando dos filas (o dos columnas) son intercambiadas.

det a b

c d ! = a b c d

=ad−cb

det c d

a b ! = c d a b

=cb−ad=−(ad−cb)

El determinante es una función lineal de cada línea Propiedad3

El determinante es unafunción lineal de cada líneapor separado (las demás líneas se mantienen sin cambio).

1. Multiplicando la fila1deApor el númerot ta tb c d =t a b c d 2. Sumando la fila1deAa la fila1deA0

a+a0 b+b0

c d = a b c d +

a0 b0 c d

Matriz con una fila (o una columna) repetida Propiedad4

Si dos filas (o dos columnas) deAson iguales, entonces det(A) =0.

det a b

a b ! = a b a b

=ab−ab=0

det p p

q q ! = p p q q

=pq−pq=0

Matriz con una fila o columna de ceros Propiedad5

Una matrizAque tenga una fila (o una columna) llena de ceros

tendrá det(A) =0.

(6)

Determinante de una matriz triangular Propiedad6

SiAes triangular, entonces det(A) = a11a22· · ·ann (el producto de

los coeficientes diagonales).

si es triangular

a b

0 d

=ad y también

a 0

c d

=ad

si es diagonal

a11 0

a22

. ..

0 ann

=a11a22· · ·ann

Sumar o restar el múltiplo de una fila a otra Propiedad7

Sumar o restar el múltiplo de una fila deAa otra fila deAno cambia el valor de detA.

f2−t f1;

a b

c−ta d−tb

=

a b c d

Conclusión:

El determinante deAno cambia cuando aplicamos la técnica de

eliminación hasta encontrar una matriz triangularUequivalente

aA.

Entonces detA=detU.

Pero, si para encontrarUdebimos intercambiar filas, resulta que detA=±detU.

Ejemplo2. DadaA =

2 4 2 4 9 −3 −2 −3 7

, encontrar el número det(A)

multiplicando lospivotesde la matriz triangularU.

A=

  

2 4 −2

4 9 −3

−2 −3 7

 

 f2−(4/2)f1;   

2 4 −2

0 1 1

−2 −3 7

  

;

f3−(−2/2)f1;   

2 4 −2

0 1 1

0 1 5

  

f3−(1/1)f2;   

2 4 −2

0 1 1

0 0 4

  =U

Entonces

(7)

El determinante de matrices invertibles Propiedad8

SiAes singular, entonces det(A) = 0. SiAes invertible, entonces det(A)6=0.

Aplicamos eliminación a la matrizApara encontrarU

det(A) z }| {

a b c d

=

det(U) z }| {

a b

0 d−bc

a

=

(

0 sid− bc

a =0(Aes singular)

ad−bc sid− bc

a 6=0(Aes invertible)

Propiedad9

El determinante deABes det(A)det(B).

a b c d

p q r w

=

ap+br aq+bs cp+dr cq+ds

Un caso particular es el determinante de la matriz inversa

detAA−1=det(A)det(A−1)

det(I) =det(A)det(A−1)

1=det(A)det(A−1)

1/det(A)=det(A−1)

El determinante de la transpuesta Propiedad10

La matriz transpuestaATtiene el mismo determinante queA.

det(A) z }| {

a b c d

=

det(AT) z }| {

a c b d

=ad−cb

Repaso de ideas clave

1. Luego de aplicar el método de eliminación, el det(A) =±(producto

de los pivotes deU).

2. El determinante es cero precisamente cuandoAno es invertible.

3. Dos propiedades importantes son det(AB) = det(A)det(B)y

que det(AT) =det(A).

Cómputo del determinante

La gran formula para el determinante

Los pivotes deUson buenos para los cálculos, nos sirven para calcular el determinante.

Pero queremos encontrar unafórmula generalpara el

(8)

Esta fórmula tiene n!términos. Su tamaño crece muy rápido, por-quen! = 1, 2, 6, 24, 120,· · · Paran =11 la fórmula tiene casi40

millones de términos. . .

En la práctica, y para matrices mayores a 3×3, es más conve-niente utilizar los pivotes deU.

Fórmula para matrices de2×2

a11 a12

a21 a22

=a11a22−a21a12

2!=1×2=2 (2términos)

1es+,1es−

a11 a12

a21 a22 +

Fórmula para matrices de3×3(regla de Sarrus)

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

= a11a22a33

+a21a32a13

+a31a12a23 −a31a22a13 −a11a32a23 −a21a12a33

3!=1×2×3=6 (6términos)

3son+,3son−

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23 +

+

+

(9)

Fórmula para matrices de3×3(alternativa)

El determinante de una matriz de 3×3 puede calcularse también

como

a b c d e f g h i

=a

e f h i

−b

d f g i

+c

d e g h

=aei−a f h−bdi+b f g+cdh−ceg

3!=1×2×3=6 (6términos)

3son+,3son−

Fórmula para matrices de4×4

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44

=

= a11a22a33a44−a11a22a34a43−a11a23a32a44

+a11a23a34a42+a11a24a32a43−a11a24a33a42

−a12a21a33a44+a12a21a34a43+a12a23a31a44 −a12a23a34a41−a12a24a31a43+a12a24a33a41

+a13a21a32a44−a13a21a34a42−a13a22a31a44

+a13a22a34a41+a13a24a31a42−a13a24a32a41

−a14a21a32a43+a14a21a33a42+a14a22a31a43 −a14a22a33a41−a14a23a31a42+a14a23a32a41

4!=1×2×3×4=24 (24términos)

12son+,12son−¡y es imposible de memorizar!

Repaso de ideas clave

1. Si no hacemos intercambio de filas, det(A) =(producto de los

pivotes deU).

2. La gran fórmula para el determinantenuncadebe utilizarse para

(10)

Trabajo práctico

1. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan, calcular

las inversas de las matricesA,ByC.

A= 0 3

4 0

!

B= 2 0

4 2

!

C= 3 4

5 7

!

Pista: comience por escribir la correspondientes matrices aumen-tadas(A I),(B I)y(C I).

2. Invertir estas matricesAcon el método de eliminación de

Gauss-Jordan, empezando con la matriz aumentada(A I).

a)A=

  

1 0 0

2 1 3

0 0 1

 

 b)A=   

1 1 1

1 2 1

1 2 3

  

3. Esta matriz tiene una inversa interesante. CalcularA−1

apli-cando el método de eliminación de Gauss-Jordan a la matriz aumentada(A I). Luego, y utilizandoA−1, resolver el sistema de ecuaciones linealesAx= (1, 1, 1, 1).

A=

    

1 −1 1 −1

0 1 −1 1

0 0 1 −1

0 0 0 1

    

4. CalcularATyA−1y(A−1)Ty(AT)−1.

a)A= 1 0

9 3

!

b)A= 1 c

c 0

!

5. Si el determinante de una matriz de 4×4 es det(A) = 1/2,

calcular el valor de det(2A)y det(−A)y det(A2)y det(A1).

6. Aplicando el método de eliminación, calcular la matriz

triangu-larUequivalente aAy luego calcular el det(A)como el pro-ducto de los pivotes deU. En los casos a) y b), calcular también det(A)con laregla de Sarrus.

a)A=

  

1 1 1

1 2 2

1 2 3

 

 b)A=   

1 2 3

2 2 2

3 3 3

  

c)A=

    

1 2 3 0

2 6 6 1

−1 0 0 3

0 2 0 7

    

d)A=

    

2 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 −1

0 0 −1 2

(11)

Ejemplos con Sage

.

El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado y pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo y así obtener los resultados y los gráficos.

Cálculo de la inversa de una matriz

Calcular la inversa de una matriz (forma numérica) # crear la matriz A

A = matrix([(4,1),(2,3)]) # calcular la inversa A−1

B = A.inverse()

# mostrar el resultado

print B

.

Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico.

Calcular la inversa de una matriz (forma algebraica) # crear las variables ("las letras") a utilizar a,b = var("a,b")

# crear la matriz A

A = matrix([(1,a),(b,1)]) # calcular la inversa A−1

B = A.inverse()

# mostrar el resultado

print B

Cálculo del determinante de una matriz

Calcular el determinante (forma numérica) # crear la matriz A

A = matrix([(1,1,0),(2,2,0),(0,1,2)]) # calcular el determinante det(A)

d = A.det()

# mostrar el resultado

print "d =",d # d=0

Calcular el determinante (forma algebraica)

# crear las variables ("las letras") a utilizar a,b,c = var("a,b,c")

# crear la matriz A

A = matrix([(1,a,a**2),(1,b,b**2),(1,c,c**2)]) # calcular el determinante det(A)

d = A.det()

# mostrar el resultado

Figure

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