• No se han encontrado resultados

Aula 3 Movimento Plano de Uma Partícula II pdf

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Aula 3 Movimento Plano de Uma Partícula II pdf"

Copied!
13
0
0

Texto completo

(1)

Movimento Circular

Referências:

Dinâmica – Mecânica para Engenharia – Capítulo 16 Autor: R. C. Hibbeler.

(2)

Movimento Circular Uniforme

r

q

Numa circunferência, a relação entre o raio r da circunferência, o arco de circunferência s e o ângulo q (em radianos) compreendido por esse arco é:

s

O comprimento total da circunferência (seu perímetro) é:

Velocidade escalar

do ponto P (m/s) velocidade angular (rad/s) Se um ponto P percorre a circunferência num tempo T com velocidade escalar

constante V, essa velocidade será dada por:

P

onde

O tempo de uma volta, 𝜏, é chamado de período do movimento circular.

O

𝑠 = 𝑟𝜃

𝐿 = 2𝜋𝑟

𝑣 =

2𝜋𝑟

𝜏

𝑣 = 𝜔𝑟

𝑣 =

2𝜋

𝜏

(3)

Velocidade escalar do ponto P:

0

a derivada dr/dt é zero pois, numa

circunferência, r é constante. é a velocidade angular (rad/s)

Deslocamento do ponto P:

Obs: Na expressão acima, q deve ser dado em radianos.

onde

Podemos chegar na mesma relação entre a velocidade escalar constante 𝑣 do ponto P ao redor da circunferência usando o cálculo diferencial:

r

q

s

P

O

𝑠 = 𝑟𝜃

𝑣

𝑣 =

𝑑𝑠

𝑑𝑡

=

𝑑

𝑑𝑡

𝑟𝜃 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝜃 + 𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑣 =

𝑑𝑠

𝑑𝑡

𝑣 = 𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑣 = 𝑟𝜔

(4)

Velocidade Angular, Período e Frequência do Movimento.

A velocidade angular  é a taxa de variação da posição angular (ângulo q) com o tempo. Num movimento circular uniforme,  é constante, ou seja, o ponto P em rotação varre ângulos iguais em tempos iguais.

O período 𝜏 de um movimento circular uniforme é o tempo que um ponto P leva para completar uma volta. Em geral, o período é dado em segundos.

velocidade angular (rad/s)

A frequência f de um movimento circular uniforme é o número de voltas que o ponto P realiza por segundo. A relação entre o período e a frequência é dada por:

frequência (s-1 ou Hz)

No movimento circular uniforme, a relação entre o período 𝜏, a frequência f e a velocidade angular  é dada por:

𝜔 =

𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑓 =

1

𝜏

𝜔 =

2𝜋

(5)

Movimento Circular Uniforme e Aceleração Centrípeta.

a

n

q

P

No movimento circular uniforme, a velocidade escalar 𝑣 do

ponto P, que gira a uma distância r do centro O, é constante, ou seja, o ponto P varre distâncias 𝑠 iguais em tempos iguais.

O

Porém, o vetor velocidade 𝒗 muda de direção a cada ponto da trajetória. Essa mudança de direção, sem mudança no módulo de 𝒗, implica que uma força resultante

perpendicular (normal) à trajetória está agindo sobre P.

r

a

n

Essa força resultante, normal à trajetória, é chamada de força

centrípeta, e produz uma aceleração normal à trajetória, apontando para o centro da circunferência, chamada de aceleração

centrípeta.

Módulo da aceleração normal (centrípeta) (m/s2)

O módulo da aceleração normal, ou centrípeta, é dado por:

𝒗

𝒗

𝑎

𝑛

=

𝑣

2

𝑟

= 𝑟𝜔

(6)

Movimento Circular Acelerado

r

q

s

P

A aceleração angular mede a taxa de variação da velocidade angular com o tempo:

Num movimento circular acelerado, a velocidade angular  com que o ponto P gira muda a cada instante.

dt

d

=

aceleração angular (rad/s2)

A relação entre a aceleração angular  e a aceleração do ponto P, que chamaremos de aceleração tangencial at (pois ela é sempre tangente à circunferência), é dada por:

aceleração tangencial do ponto P (m/s2)

t

a

𝒗

𝑎

𝑡

=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

𝑑

𝑑𝑡

𝑟𝜔 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝜔 + 𝑟

𝑑𝜔

𝑑𝑡

𝑎

𝑡

= 𝑟

𝑑𝜔

𝑑𝑡

𝑎

𝑡

= 𝑟𝛼

(7)

=

=

=

0 t 0

dt

d

dt

d

dt

d

Um caso particular do movimento circular acelerado ocorre quando a aceleração

angular  é constante. Para esse caso, temos um movimento uniformemente acelerado:

=

+

+

=

+

=

=

t 0 t 0 0 0

0

t

d

dt

t

dt

d

dt

t

dt

dt

d

0

q

q

q

q q

t

0

=

+

2 0 0

t

2

t

q

q

=

+

+

1

Movimento Circular Uniformemente Acelerado

(1)

(2)

Isolando t em (1) e substituindo em (2), temos também:

Observação Importante: As equações acima são válidas somente quando a aceleração angular  é constante.

(8)

Exemplo:

A carga B está conectada a uma polia dupla por um dos dois cabos inextensíveis mostrados na figura. O movimento da polia é controlado pelo cabo C, que tem uma aceleração constante de 225 mm/s2 e uma velocidade inicial de 300 mm/s, ambas

orientadas para a direita. O raio da polia externa é de 125 mm e da interna é de 75 mm. Determine: a) o nº de revoluções

executadas pela polia em 2 s; b) a velocidade e a variação na posição da carga B após 2 s e c) a aceleração do ponto D sobre o aro da polia em 𝑡 = 0.

Solução:

A velocidade tangencial e aceleração de D são iguais à velocidade e aceleração de C.

Ԧ

𝑣𝐷 0 = Ԧ𝑣𝐶 0 = 0,3 m/s →

Ԧ

𝑣𝐷 0 = 𝑟𝜔0

Velocidade inicial de D:

𝜔0 = 𝑣Ԧ𝐷 0

𝑟 =

0,3

0,075 = 4 rad/s

Velocidade angular inicial da polia dupla:

aceleração tangencial de D:

Aceleração angular da polia dupla:

Ԧ

𝑎𝐷 𝑡 = 0,225 m/s2 →

𝑎𝐷 𝑡 = 𝑟𝛼

𝛼 = 𝑎𝐷 𝑡 𝑟 =

0,225

(9)

A aceleração angular da polia dupla é constante. Valem portanto as equações do movimento circular uniformemente variado:

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 + 1 2𝛼𝑡

2; 𝜔 = 𝜔

0 + 𝛼𝑡 ; 𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼Δ𝜃.

Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃0

onde: 𝜔0 = 4 rad/s e 𝛼 = 3 rad/s2

a) Deslocamento angular Δ𝜃 em 𝑡 = 2 𝑠.

Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃0 = 𝜔0𝑡 + 1 2𝛼𝑡

2;

Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃0 = 4 2 + 1

2 3 2 2;

Δ𝜃 = 14 𝑟𝑎𝑑.

𝑁 = 14

2𝜋 = 2,23 revoluções.

1 revolução → 2𝜋 rad

𝑁 revoluções → 14 rad

b) Velocidade e variação de altura de B em 𝑡 = 2 𝑠.

𝑣𝐵 = 𝑟𝜔 onde 𝑟 = 0,125 𝑚 e 𝜔 = 4 + 3 2 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑣𝐵 = 0,125 10 = 1,25 𝑚/𝑠

𝑣𝐵 = 1,25 𝑚/𝑠

Δ𝑦𝐵 = 𝑟Δ𝜃 = 0,125 14 = 1,75 𝑚

(10)

c) As componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D em 𝑡 = 0 são dadas por:

Ԧ

𝑎𝐷 𝑡 = 0,225 m/s2 →

Ԧ

𝑎𝐷 𝑛 = 𝑣𝐷0 2

𝑟 =

0,3 2

0,075 = 1,2 m/s 2

𝑎𝐷 𝑡

𝑎𝐷 𝑛 𝑎

𝑎 = 𝑎𝐷 𝑡2 + 𝑎𝐷 𝑛2 𝑎 = 0,225 2 + 1,2 2

𝑎 = 1,22 m/s2 𝜙

𝜙 = 𝑡𝑔−1 𝑎𝐷𝑛

𝑎𝐷𝑡 = 𝑡𝑔

−1 1,2

0,225

𝜙 = 79,4𝑜

Módulo da aceleração em 𝑡 = 0:

(11)

Exemplo:

Na figura ao lado, a polia A está conectada a um motor e inicia seu movimento a partir do repouso, com uma aceleração angular constante A = 2 rad/s2. Determine

o módulo da velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução.

Suponha que a correia de transmissão não escorregue na polia nem na roda.

Resolução:

Convertendo 1 revolução para radianos:

rad 2π rev

1

rad 2

rev

1  =

  

 

=

q

B

Calculando o deslocamento angular qA da polia A quando a roda B realiza uma revolução, qB.

Como a correia não escorrega, um comprimento S de correia deve se desenrolar tanto da polia

A quando da roda B. Na circunferência, a relação entre comprimento e ângulo é dada por:

q

r

s

=

s

=

r

A

q

A

=

r

B

q

B

(

0,15m

)

qA =

(

0,4m

)( )

2 qA =16,76rad

(12)

Exemplo – Continuação:

Como a aceleração angular da polia A é constante, a velocidade angular 𝜔 dessa polia pode ser calculada usando-se as equações para o movimento uniformemente variado:

(

0

)

A 2

0 2

A

2

q

q

=

+

q0 = 0;

q = 16,76 rad; 0 = 0;

A = 2 rad/s2.

Polia A

(

2rad/s

)

(

16,76 rad

)

2 2

=

2 A

A

=

8,188

rad/s

A correia tem a mesma velocidade V e aceleração tangencial at quando passa pela polia A e pela roda B.

B A A B

r

r

=

B

=

3,070

rad/s

r

a

t

=

a

t

=

A

r

A

=

B

r

B

B A A B

r

r

=

2

rad/s

0,75

=

B

Para o ponto P temos então:

Velocidade escalar: 2

m/s

0,3

=

=

B B

t

r

a

Aceleração tangencial: 2 m/s 3,77 = = 2 B

B

n r

a

Aceleração normal:

Aceleração:

a

=

t2

+

n2

=

3,78

m/s

2

𝑣 = 𝜔𝑟

𝑣 = 𝜔

𝐴

𝑟

𝐴

= 𝜔

𝐵

𝑟

𝐵

(13)

Exemplo:

Uma corda está enrolada em torno de um disco de raio 0,2 m, que está inicialmente em repouso, quando q = 0. Se uma força é aplicada à corda e fornece a ela uma

aceleração 𝑎𝑡 = 4𝑡 m/s2 , onde 𝑡 é dado em segundos, determine, como função do

tempo:

a) A velocidade angular da roda no instante 𝑡;

b) A posição angular q da linha 𝑂𝑃 em radianos em

função do tempo 𝑡.

O

P

q

Solução:

𝑎𝑝 𝑡 = 𝛼𝑟

A componente tangencial da aceleração do ponto P na borda do disco é dada por:

4𝑡 = 𝛼0,2 → 𝛼 = 20𝑡 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 no sentido horário.

𝛼 = 𝑑𝜔

𝑑𝑡 → න0 𝜔

𝑑𝜔 = න 0 𝑡

20𝑡 𝑑𝑡 → no sentido horário.

𝜔 = 𝑑𝜃

𝑑𝑡 → න0 𝜃

𝑑𝜃 = න 0 𝑡

10𝑡2 𝑑𝑡 → 𝜃 = 10 3 𝑡

3 𝑟𝑎𝑑

𝜔 = 10𝑡2 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Referencias

Documento similar

Além daqueles indicados em notas (a relação entre literatura e espírito na Fe- nomenologia; como essa peça – e a noção de mulher – aparece em outros escri- tos hegelianos, como

A primeira constatação é a de que havia um dentro e um fora da sala de aula e que em ambos os lugares o professor encontrava-se rodeado por artefatos. Uma das professoras filmou

Lo recomendado es usar la marca y sus subemisores pero puede utilizar su gráfica siempre que aparezca junto a la marca oficial respetando la jerarquía, el espacio reservado

EO-360 A-VI espectro de

uma ampla autonomia aos interessados. O princípio da gestão democrática das cooperativas deve ser obrigatoriamente observado como um princípio fundamental, na constituição

Considerando, por tanto, que o pensamento humano se organiza de uma maneira complexa e não linear, entendemos que o papel da informática educativa na escola é o de ser

Este artigo consiste em uma análise temático-formal de contos fantásticos de três autores, o primeiro, brasileiro e os outros dois, espanhóis: «Uma casa», de Moacyr Scliar

Figura 2 – Estructura interna genérica dos Gestores.. Uma segunda situação mostra uma situação inversa na qual um potencial elevado número de utilizadores distribuídos por