Movimento Circular
Referências:
Dinâmica – Mecânica para Engenharia – Capítulo 16 Autor: R. C. Hibbeler.
Movimento Circular Uniforme
r
q
Numa circunferência, a relação entre o raio r da circunferência, o arco de circunferência s e o ângulo q (em radianos) compreendido por esse arco é:
s
O comprimento total da circunferência (seu perímetro) é:
Velocidade escalar
do ponto P (m/s) velocidade angular (rad/s) Se um ponto P percorre a circunferência num tempo T com velocidade escalar
constante V, essa velocidade será dada por:
P
onde
O tempo de uma volta, 𝜏, é chamado de período do movimento circular.
O
𝑠 = 𝑟𝜃
𝐿 = 2𝜋𝑟
𝑣 =
2𝜋𝑟
𝜏
𝑣 = 𝜔𝑟
𝑣 =
2𝜋
𝜏
Velocidade escalar do ponto P:
0
a derivada dr/dt é zero pois, numa
circunferência, r é constante. é a velocidade angular (rad/s)
Deslocamento do ponto P:
Obs: Na expressão acima, q deve ser dado em radianos.
onde
Podemos chegar na mesma relação entre a velocidade escalar constante 𝑣 do ponto P ao redor da circunferência usando o cálculo diferencial:
r
q
s
P
O
𝑠 = 𝑟𝜃
𝑣
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑟𝜃 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝜃 + 𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑟𝜔
Velocidade Angular, Período e Frequência do Movimento.
A velocidade angular é a taxa de variação da posição angular (ângulo q) com o tempo. Num movimento circular uniforme, é constante, ou seja, o ponto P em rotação varre ângulos iguais em tempos iguais.
O período 𝜏 de um movimento circular uniforme é o tempo que um ponto P leva para completar uma volta. Em geral, o período é dado em segundos.
velocidade angular (rad/s)
A frequência f de um movimento circular uniforme é o número de voltas que o ponto P realiza por segundo. A relação entre o período e a frequência é dada por:
frequência (s-1 ou Hz)
No movimento circular uniforme, a relação entre o período 𝜏, a frequência f e a velocidade angular é dada por:
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑓 =
1
𝜏
𝜔 =
2𝜋
Movimento Circular Uniforme e Aceleração Centrípeta.
a
n
q
P
No movimento circular uniforme, a velocidade escalar 𝑣 doponto P, que gira a uma distância r do centro O, é constante, ou seja, o ponto P varre distâncias 𝑠 iguais em tempos iguais.
O
Porém, o vetor velocidade 𝒗 muda de direção a cada ponto da trajetória. Essa mudança de direção, sem mudança no módulo de 𝒗, implica que uma força resultante
perpendicular (normal) à trajetória está agindo sobre P.
r
a
n
Essa força resultante, normal à trajetória, é chamada de força
centrípeta, e produz uma aceleração normal à trajetória, apontando para o centro da circunferência, chamada de aceleração
centrípeta.
Módulo da aceleração normal (centrípeta) (m/s2)
O módulo da aceleração normal, ou centrípeta, é dado por:
𝒗
𝒗
𝑎
𝑛=
𝑣
2
𝑟
= 𝑟𝜔
Movimento Circular Acelerado
r
q
s
P
A aceleração angular mede a taxa de variação da velocidade angular com o tempo:
Num movimento circular acelerado, a velocidade angular com que o ponto P gira muda a cada instante.
dt
d
=
aceleração angular (rad/s2)A relação entre a aceleração angular e a aceleração do ponto P, que chamaremos de aceleração tangencial at (pois ela é sempre tangente à circunferência), é dada por:
aceleração tangencial do ponto P (m/s2)
t
a
𝒗
𝑎
𝑡=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑟𝜔 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝜔 + 𝑟
𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝑎
𝑡= 𝑟
𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝑎
𝑡= 𝑟𝛼
→
=
→
=
→
=
0 t 0dt
d
dt
d
dt
d
Um caso particular do movimento circular acelerado ocorre quando a aceleração
angular é constante. Para esse caso, temos um movimento uniformemente acelerado:
=
+
→
+
=
→
+
=
=
t 0 t 0 0 00
t
d
dt
t
dt
d
dt
t
dt
dt
d
0
q
q
q
q qt
0
=
+
2 0 0t
2
t
q
q
=
+
+
1
Movimento Circular Uniformemente Acelerado
(1)
(2)
Isolando t em (1) e substituindo em (2), temos também:
Observação Importante: As equações acima são válidas somente quando a aceleração angular é constante.
Exemplo:
A carga B está conectada a uma polia dupla por um dos dois cabos inextensíveis mostrados na figura. O movimento da polia é controlado pelo cabo C, que tem uma aceleração constante de 225 mm/s2 e uma velocidade inicial de 300 mm/s, ambas
orientadas para a direita. O raio da polia externa é de 125 mm e da interna é de 75 mm. Determine: a) o nº de revoluções
executadas pela polia em 2 s; b) a velocidade e a variação na posição da carga B após 2 s e c) a aceleração do ponto D sobre o aro da polia em 𝑡 = 0.
Solução:
A velocidade tangencial e aceleração de D são iguais à velocidade e aceleração de C.
Ԧ
𝑣𝐷 0 = Ԧ𝑣𝐶 0 = 0,3 m/s →
Ԧ
𝑣𝐷 0 = 𝑟𝜔0
Velocidade inicial de D:
𝜔0 = 𝑣Ԧ𝐷 0
𝑟 =
0,3
0,075 = 4 rad/s
Velocidade angular inicial da polia dupla:
aceleração tangencial de D:
Aceleração angular da polia dupla:
Ԧ
𝑎𝐷 𝑡 = 0,225 m/s2 →
𝑎𝐷 𝑡 = 𝑟𝛼
𝛼 = 𝑎𝐷 𝑡 𝑟 =
0,225
A aceleração angular da polia dupla é constante. Valem portanto as equações do movimento circular uniformemente variado:
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 + 1 2𝛼𝑡
2; 𝜔 = 𝜔
0 + 𝛼𝑡 ; 𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼Δ𝜃.
Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃0
onde: 𝜔0 = 4 rad/s e 𝛼 = 3 rad/s2
a) Deslocamento angular Δ𝜃 em 𝑡 = 2 𝑠.
Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃0 = 𝜔0𝑡 + 1 2𝛼𝑡
2;
Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃0 = 4 2 + 1
2 3 2 2;
Δ𝜃 = 14 𝑟𝑎𝑑.
𝑁 = 14
2𝜋 = 2,23 revoluções.
1 revolução → 2𝜋 rad
𝑁 revoluções → 14 rad
b) Velocidade e variação de altura de B em 𝑡 = 2 𝑠.
𝑣𝐵 = 𝑟𝜔 onde 𝑟 = 0,125 𝑚 e 𝜔 = 4 + 3 2 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑣𝐵 = 0,125 10 = 1,25 𝑚/𝑠
𝑣𝐵 = 1,25 𝑚/𝑠
Δ𝑦𝐵 = 𝑟Δ𝜃 = 0,125 14 = 1,75 𝑚
c) As componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D em 𝑡 = 0 são dadas por:
Ԧ
𝑎𝐷 𝑡 = 0,225 m/s2 →
Ԧ
𝑎𝐷 𝑛 = 𝑣𝐷0 2
𝑟 =
0,3 2
0,075 = 1,2 m/s 2
↓
𝑎𝐷 𝑡
𝑎𝐷 𝑛 𝑎
𝑎 = 𝑎𝐷 𝑡2 + 𝑎𝐷 𝑛2 𝑎 = 0,225 2 + 1,2 2
𝑎 = 1,22 m/s2 𝜙
𝜙 = 𝑡𝑔−1 𝑎𝐷𝑛
𝑎𝐷𝑡 = 𝑡𝑔
−1 1,2
0,225
𝜙 = 79,4𝑜
Módulo da aceleração em 𝑡 = 0:
Exemplo:
Na figura ao lado, a polia A está conectada a um motor e inicia seu movimento a partir do repouso, com uma aceleração angular constante A = 2 rad/s2. Determine
o módulo da velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução.
Suponha que a correia de transmissão não escorregue na polia nem na roda.
Resolução:
Convertendo 1 revolução para radianos:
rad 2π rev
1
rad 2
rev
1 =
=
q
BCalculando o deslocamento angular qA da polia A quando a roda B realiza uma revolução, qB.
Como a correia não escorrega, um comprimento S de correia deve se desenrolar tanto da polia
A quando da roda B. Na circunferência, a relação entre comprimento e ângulo é dada por:
q
r
s
=
s
=
r
Aq
A=
r
Bq
B(
0,15m)
qA =(
0,4m)( )
2 qA =16,76radExemplo – Continuação:
Como a aceleração angular da polia A é constante, a velocidade angular 𝜔 dessa polia pode ser calculada usando-se as equações para o movimento uniformemente variado:
(
0)
A 2
0 2
A
2
q
q
=
+
−
q0 = 0;
q = 16,76 rad; 0 = 0;
A = 2 rad/s2.
Polia A
(
2rad/s)
(
16,76 rad)
2 2
=
2 A
A=
8,188
rad/s
A correia tem a mesma velocidade V e aceleração tangencial at quando passa pela polia A e pela roda B.
B A A B
r
r
=
B=
3,070
rad/s
r
a
t=
a
t=
Ar
A=
Br
BB A A B
r
r
=
2rad/s
0,75
=
B
Para o ponto P temos então:
Velocidade escalar: 2
m/s
0,3
=
=
B Bt
r
a
Aceleração tangencial: 2 m/s 3,77 = = 2 BB
n r
a
Aceleração normal:
Aceleração:
a
=
t2+
n2=
3,78
m/s
2𝑣 = 𝜔𝑟
𝑣 = 𝜔
𝐴𝑟
𝐴= 𝜔
𝐵𝑟
𝐵Exemplo:
Uma corda está enrolada em torno de um disco de raio 0,2 m, que está inicialmente em repouso, quando q = 0. Se uma força é aplicada à corda e fornece a ela uma
aceleração 𝑎𝑡 = 4𝑡 m/s2 , onde 𝑡 é dado em segundos, determine, como função do
tempo:
a) A velocidade angular da roda no instante 𝑡;
b) A posição angular q da linha 𝑂𝑃 em radianos em
função do tempo 𝑡.
O
P
q
Solução:
𝑎𝑝 𝑡 = 𝛼𝑟
A componente tangencial da aceleração do ponto P na borda do disco é dada por:
4𝑡 = 𝛼0,2 → 𝛼 = 20𝑡 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 no sentido horário.
𝛼 = 𝑑𝜔
𝑑𝑡 → න0 𝜔
𝑑𝜔 = න 0 𝑡
20𝑡 𝑑𝑡 → no sentido horário.
𝜔 = 𝑑𝜃
𝑑𝑡 → න0 𝜃
𝑑𝜃 = න 0 𝑡
10𝑡2 𝑑𝑡 → 𝜃 = 10 3 𝑡
3 𝑟𝑎𝑑
𝜔 = 10𝑡2 𝑟𝑎𝑑/𝑠