Efectos de la intensidad del campo magnético del imán del sistema imán aluminio sobre el frenado electromagnético

Texto completo

(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSGRADO. RA. DO. -U. NT. UNIDAD DE POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. PO SG. “Efectos de la intensidad del campo magnético del imán del sistema imán-aluminio sobre el frenado electromagnético”. DE. TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE:. Ms. Chavez Bacilio, Mario Elder. BL IO. Autor:. TE CA. DOCTOR EN CIENCIAS MATERIALES. BI. Asesor: Dr. Tavara Aponte, Segundo Aristides. Trujillo – Perú 2019. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. JURADO DICTAMINADOR. NT. Dr. Pablo Aguilar Marin. PO SG. RA. DO. -U. PRESIDENTE. DE. Dr. Jose Roldan Lopez. BI. BL IO. TE CA. SECRETARIO. Dr. Segundo Aristides Tavara Aponte ASESOR. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. DEDICADO. A nuestro Padre Celestial y Padre de nuestro Señor Jesucristo; por todas las bendiciones y dones que de Él he recibido. A mis padres, Rosa y Roselí, quienes me enseñaron y me ayudaron a graduarme en la exigente universidad de la vida. A mi esposa Rosa y mi hija Mayra, por todo su cariño, amor y paciencia. A mis hermanos, Olman, Vilma, Julio, Lucy y muy en especial a la memoria de mi hermano. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. Segundo.. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. AGRADECIMIENTOS. A los Doctores Arístides Távara Aponte y Pablo Aguilar Marín, por su asesoría, consejos y orientaciones en la planificación y ejecución de la tesis. A los técnicos de los laboratorios de Física General e Instrumentación científica dela Facultad de Ciencias Físicas y matemáticasUNT, Francisco Damián Foronda y Pedro Abanto Muñoz por la ayuda en la implementación. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. del equipo experimental.. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ÍNDICE. Página RESUMEN .......................................................................................................................vi ABSTRACT ................................................................................................................... vii INTRODUCCIÓN ...................................................................................................8. II.. LOS IMANES DE NEODIMIO ............................................................................13. III.. CAMPO MAGNÉTICO DE UN IMAN ANULAR ..............................................16. IV.. MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO DE UN IMÁN .......................................19. V.. LEY DE FARADAY Y LEY DE LENZ ............................................................... 21. VI.. EL FRENADO ELECTROMAGNÉTICO ............................................................ 23. PO SG. RA. DO. -U. NT. I.. 6.1 LAS CORRIENTES DE FOUCAULT ............................................................ 23 6.2 VELOCIDAD LÍMITE Y CONSTANTE DE TIEMPO DE FRENADO .......25. DE. 6.3 LA FUERZA DE FRENADO ELECTROMAGNÉTICA ............................... 26. TE CA. 6.4 FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA EN UNA BOBINA ................... 28 VII. EL ANALIZADOR DE VIDEOS TRACKER ...................................................... 30. BL IO. VIII. MATERIAL Y MÉTODOS ................................................................................... 32 RESULTADOS Y DISCUSIÓN ...........................................................................46. X.. CONCLUSIONES .................................................................................................69. XI.. RECOMENDACIONES ....................................................................................... 70. BI. IX.. XII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................72 ANEXOS ......................................................................................................................... 74. v Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. RESUMEN. En el presente trabajo se estudió el fenómeno del frenado electromagnético con la finalidad de determinar el efecto del campo magnético y la masa de imanes permanentes de neodimio sobre la fuerza de frenado, la velocidad límite y la constante de tiempo. Se calculó y midió el campo magnético axial y radial del imán de geometría anular. Se dejó caer grupos desde uno hasta seis imanes paralelamente a barras sólidas y tubos de aluminio y cobre observándose el frenado de los imanes causado por las corrientes de Foucault inducidos por. NT. el campo magnético de los imanes en los metales. Para determinar la velocidad límite de. -U. caída, la constante de tiempo y la fuerza de frenado con una cámara de 240 fotogramas por segundo se filmó el movimiento y se utilizó el software analizador de videos Tracker . La. DO. f.e.m. asociada a las corrientes de Foucault fue medida utilizando una bobina de alambre de cobre adherida a la barra de aluminio. Se encontró que: a) la constante de tiempo aumento. RA. linealmente con el incremento del número de imanes y con la masa adicional para la barra. PO SG. de aluminio, b) la velocidad límite aumento linealmente con el incremento del número de imanes y con la masa adicional moviéndose a lo largo de la barra de aluminio. c) la velocidad límite en el tubo de aluminio fue mayor que en barra de cobre y ésta a su vez mayor que en. DE. la barra de aluminio. d) la fuerza de frenado creció exponencial y rápidamente con el tiempo hasta igualar el peso del imán al moverse por las barras de aluminio, cobre y el tubo de. TE CA. aluminio y g) los valores pico del pulso de la fuerza electromotriz inducida en la bobina captadora aumentó con el número de imanes, pero su valor fue muy pequeño (del orden de. BL IO. microvoltios).. Palabras clave: Frenado electromagnético; imán de neodimio, corrientes de Foucault;. BI. velocidad límite, analizador de videos Tracker.. vi Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ABSTRACT. In the present work, the phenomenon of electromagnetic braking was studied in order to determine the effect of the magnetic field and the mass of permanent neodymium magnets on the braking force, the limit speed and the time constant. The axial and radial magnetic field of the annular geometry magnet was calculated and measured. Groups were dropped from one to six magnets parallel to solid rods and aluminum and copper tubes, observing the braking of the magnets caused by the eddy currents induced by the magnetic field of the. NT. magnets in the metals. To determine the falling speed limit, the time constant and the braking. -U. force with a camera of 240 frames per second the motion was video recorded and the video analysis software Tracker was used. The f.e.m. associated with eddy currents was measured. DO. using a coil of copper wire adhered to the aluminum bar. It was found that: a) the time constant increased linearly with the increase in the number of magnets and with the. RA. additional mass for the aluminum bar, b) the limit speed increased linearly with the increase. PO SG. in the number of magnets and the additional mass, when they moving along the aluminum bar, c) the limit speed in the aluminum tube was greater than in the copper bar and in the aluminum bar. d) the braking force grew exponentially and rapidly over time to equal the. DE. weight of the magnet as it moved through the aluminum and copper bars and the aluminum tube and g) the peak pulse values of the electromotive force induced in the pickup coil. microvolts).. TE CA. increased with the number of magnets, but its value was very small (of the order of. BL IO. Keywords: Electromagnetic braking; neodymium magnet; Foucault currents; limit speed,. BI. Tracker video analyzer.. vii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. I.. INTRODUCCIÓN. El frenado electromagnético es un efecto que se presenta cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético, o viceversa. El movimiento relativo entre el conductor y el campo magnético genera la circulación de corrientes de Foucault dentro del conductor, ver figura 1. Estas corrientes inducen su propio campo magnético con la polaridad opuesta al. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. campo aplicado que causa una fuerza resistiva o de frenado.. BL IO. TE CA. Figura 1. a) Corrientes de Foucault (líneas cerradas de color rojo) inducidas por el campo magnético del imán (que se desplaza hacia abajo con velocidad V) respecto a la placa metálica no magnética ubicada en posición vertical. Las líneas de campo magnético del imán (color negro) están orientadas hacia la placa. b) Las corrientes de Foucault en la superficie de la placa frente al polo norte del imán crean campos inducidos de sentido contrario produciendo atracción y repulsión del sistema (Aguilar et al, 2018).. BI. En la figura 1, un imán permanente se desplaza hacia abajo con velocidad V frente a una plancha de metal no magnético ubicada en posición vertical. El campo magnético que atraviesa la plancha varía a medida que el imán se desplaza generándose las corrientes inducidas de Foucault (Wiederick, 1987; Reyes, 2014). Las corrientes de Foucault en las áreas de la placa frente al polo norte del imán son de sentido contrario produciendo atracción o repulsión, según sea el caso.. Si la plancha está fija y el imán se desplaza paralelamente a la plancha, éste es atraído y repelido por la plancha de metal no magnético. Las fuerzas de atracción y repulsión retardan el movimiento de caída del imán. 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. El frenado electromagnético desempeña un papel cada vez más importante en la industria. En la actualidad, se usa comúnmente en aplicaciones tales como vehículos eléctricos, montañas rusas, juegos mecánicos en parques de atracciones, ferrocarriles y elevadores, donde actualmente se utilizan los sistemas de frenos mecánicos. Una aplicación muy importante del frenado electromagnético es el mecanismo de freno utilizado en trenes y otros vehículos pesados como camiones y autobuses. Durante el proceso de frenado un electroimán genera un campo electromagnético alrededor de las ruedas de metal que se encuentra en rotación generándose corrientes de Foucault. Las corrientes de Foucault. NT. encuentran resistencia a su paso por el metal disipando la energía en forma de calor y. -U. haciendo que las ruedas disminuyan su velocidad. Los mecanismos de frenado por corrientes de Foucault tienen la enorme ventaja de no desgastarse, como lo hacen las pastillas de frenos. DO. convencionales, ya que no se produce un contacto físico entre la rueda y el dispositivo de. RA. frenado.. PO SG. Las corrientes de Foucault (conocidas también como corrientes de eddy) son un fenómeno electromagnético descubierto por el físico francés Léon Foucault en 1851 y predichas por la Ley de Faraday de la inducción electromagnética. Se produce cuando un conductor es. DE. atravesado por un campo magnético variable o viceversa. El movimiento relativo del imán con respecto a un metal causa una circulación de electrones dentro del conductor. Estas. TE CA. corrientes circulares crean campos magnéticos que se oponen al efecto del campo magnético del imán (Ley de Lenz): cuanto más fuerte sea el campo magnético aplicado, mayor la conductividad del conductor, mayor la velocidad relativa de movimiento, mayores serán. BL IO. las corrientes de Foucault y los campos opuestos inducidos (Kriezis, 1992; Sung, 2009). BI. El fenómeno de caída libre de un imán por el interior de un tubo metálico conductor no magnético se utiliza a menudo para la demostración cualitativa de la Ley de Lenz, ver figura 2. A través del análisis teórico del electromagnetismo se demuestra que, la fuerza electromotriz inducida y la corriente de Foucault que se producen en el tubo metálico generan campos magnéticos que al interactuar con el campo del imán generan una fuerza magnética que se opone a su movimiento (Partovi et al, 2006).. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Se han llevado a cabo diversos estudios con el imán en movimiento de caída por atracción del campo gravitatorio terrestre a lo largo del interior de tubos cilíndricos de cobre.. Tubo de cobre. DO. -U. NT. Imán cayendo. PO SG. RA. Figura 2. Ilustración del modelo del imán cayendo a través del tubo de cobre. Se muestra también el imán cilíndrico dentro del tubo de cobre. Pelesko et al. (2004) aplicaron un análisis dimensional al estudio de un imán esférico que cae a lo largo del interior de tubos de cobre de espesores diferentes para demostrar la ley de. DE. Lenz.. Sung et al. (2009) investigaron analítica y experimentalmente las corrientes inducidas. TE CA. parásitas cuando un imán permanente está cayendo en un tubo eléctricamente conductor.. BL IO. Ellos desarrollaron un modelo para predecir la fuerza de amortiguación en el imán.. Levin et al. (2006) calcularon y midieron la velocidad terminal de un imán cilíndrico en caída dentro de un tubo de cobre. Utilizaron a) un tubo de cobre de 1,7 m de longitud, con. BI. un radio de 7,85 mm y espesor de 1,9 mm; b) tres imanes de neodimio de 6 g de masa, 6,35 mm de radio y 6,35 mm de altura. Ellos encontraron que sus cálculos teóricos concordaban razonablemente bien con las mediciones de la velocidad terminal.. Donoso et al. (2009) desarrollaron modelos teóricos de la retardación de la caída de un imán dentro de un tubo conductor no magnético de diferentes materiales variando el espesor del tubo. Encontraron que los tubos más delgados produjeron una menor fuerza de frenado del movimiento de caída del imán.. 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Donoso et al. (2011) ejecutaron experimentos de movimiento de caída retardada de imanes a lo largo del interior de tubos de cobre y aluminio con diferentes espesores. Encontraron que la velocidad terminal disminuye con el incremento del espesor para los tubos de cobre y aluminio.. Xavier et al. (2014) utilizaron el software analizador de videos Logger Pro para estudiar el frenado de un imán en caída a lo largo de un tubo vertical conductor con una ranura longitudinal y determinaron la velocidad terminal para diferentes espesores del tubo. Shirish. NT. et al. (2014) construyeron un temporizador usando interruptores de efecto Hall conectados a. -U. un cronómetro digital, para determinar la variación en la velocidad terminal del imán que. DO. cae con respecto al grosor de las tuberías de cobre.. Yuxuan et al. (2016) han estudiado el movimiento de un imán permanente en un tubo de. RA. metal no magnético. Ellos utilizaron un modelo de corriente equivalente para analizar el. PO SG. campo magnético alrededor del imán, obteniendo la distribución de la corriente de Foucault en el tubo metálico y modelaron la fuerza de frenado electromagnética sobre el imán con la ayuda del método de elementos finitos. Además, diseñaron experimentos que demuestran la. DE. relación entre la velocidad del imán permanente y la fuerza electromagnética. Los resultados de sus experimentos mostraron las influencias de la resistividad del metal y el tamaño del. TE CA. tubo sobre la fuerza electromagnética.. La gran mayoría de los estudios realizados sobre el fenómeno físico de frenado. BL IO. electromagnético se han llevado a cabo utilizando tubos de materiales no magnéticos, particularmente de cobre, en el interior de los cuáles se dejaban caer imanes en forma de. BI. disco o cilindros; como el imán se movió por el interior del tubo no se pudo determinar los valores de velocidad y fuerza magnética en todo instante. En la mayoría de trabajos reportados, no se ha encontrado que el imán se desplace en caída en el exterior del metal no magnético de modo que el fenómeno de frenado electromagnético del imán pueda ser observado directamente.. En el presente trabajo se determinó experimentalmente la velocidad y la fuerza de frenado electromagnético sobre un conjunto de imanes en forma de anillo que cayeron externamente a lo largo de una barra de aluminio. En el experimento se dejó caer un conjunto de imanes de neodimio idénticos (empezando con un imán e incrementando de uno en uno hasta un 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. conjunto de seis imanes) desde el extremo superior de una barra de aluminio ubicada en posición vertical. Se filmó el movimiento de los imanes y usando el software para análisis de video “Tracker”, se determinaron los valores de la velocidad límite y la fuerza electromagnética de frenado. Se determinó que la fuerza de frenado aumentó de manera exponencial muy rápidamente y en un tiempo muy pequeño (menor a 0,25 s) igualó el peso de los imanes. También se determinó que al aumentar la intensidad magnética (incrementando el número de imanes), la velocidad límite y la constante de tiempo de frenado aumentaron a razón de 17,9 cm/s y 18,2 ms por cada imán que se incrementó,. -U. NT. respectivamente.. Finalmente se determinaron los valores de las f.e.m. inducidas en la barra de aluminio y se. DO. determinó que los valores máximos de las f.e.m. aumentaron con el número de imanes acoplados en movimiento, sin embargo, sus valores fueron muy pequeños (373 µV para 03. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. del campo magnético de los imanes (12 mT).. RA. imanes), lo cual probablemente se debió a los pequeños valores de la componente tangencial. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. II.. LOS IMANES DE NEODIMIO. El neodimio (Nd) es una de las 17 tierras raras de la tabla periódica de los elementos químicos. El imán permanente de neodimio es un tipo de imán de tierras raras, está hecho de una aleación de neodimio, hierro y boro, combinados para formar un compuesto que cristaliza en el sistema cristalino tetragonal. Su fórmula es Nd2Fe14B (Andreev, 1986). Los imanes permanentes de neodimio son los más potentes fabricados a la fecha. Sus propiedades magnéticas son considerablemente mayores que las de los imanes Sm-Co que. NT. fueron el primer tipo de imanes de tierras raras que se comercializaron. En los imanes. -U. basados en el Nd se forma la fase Nd2Fe14B que tiene una estructura cristalina tetragonal,. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. ver figura 3 (Herbst, 1984).. BI. Figura 3. Celda cristalina tetragonal de la fase Nd2Fe14B con 64 átomos y parámetros de red a = 0.8805nm, c = 1.2205nm. La estructura tetragonal genera una excepcional anisotropía magnética uniaxial (~7 T) y una muy alta coercividad (Herbst, 1984).. En la Tabla 1. se presenta las propiedades más importantes de. los imanes de Nd:. remanencia (Br), que mide la intensidad del campo magnético; coercividad (Hci), resistencia del material a ser desmagnetizado; producto energético (BHmax), que indica la energía magnética que puede almacenarse; temperatura de Curie (TC), a la cual un material pierde su magnetismo.. 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Tabla 1. Comparación de las propiedades magnéticas del imán Nd-Fe-B con otros materiales magnéticos (Andreev, 1986). Tipo de imán Nd2Fe14B. SmCo5 Alnico Sr-ferrita. Remanencia Br (T) 1,0-1,4 0,8-1,1 0,6-1,4 0,2-0,4. Coercitividad Hci (kA/m) 750-2000 600-2000 275 100-300. Producto energético BHmáx (kJ/m3) 200-440 120-200 10-88 10-40. Temperatura de Curie (Tc) 310-400 720 700-860 450. NT. La coercitividad, Hc, de un material ferromagnético es la intensidad del campo magnético. -U. que se debe aplicar a ese material para reducir su imanación a cero después de que la muestra haya sido magnetizada hasta la saturación. Por lo tanto, la coercitividad mide la resistencia. DO. de un material ferromagnético a ser desimantado. La coercitividad se mide en amperes/metro. Los materiales con alta coercitividad se les denominan duros y los que. RA. presentan baja coercitividad, blandos. Generalmente se reporta el producto energético. almacenar un material magnético.. PO SG. máximo (BH)máx como un indicador de la máxima energía por unidad de volumen que puede. La remanencia magnética, Br, es la capacidad de un material para retener el magnetismo que. DE. le ha sido inducido, es decir, la magnetización que persiste en un imán permanente después. TE CA. de que se retira el campo magnético externo. También es la medida de la magnetización de un material magnético.. BL IO. El área encerrada por la curva del ciclo de histéresis es proporcional a la energía disipada en forma de calor en el ciclo completo de imantación y desimantación. Si esta área es pequeña,. BI. las pérdidas de energía en cada ciclo serán pequeñas. La temperatura de Curie (Tc), o punto de Curie, es la temperatura a la cual el material se desmagnetiza. Una vez que pasa el punto de Curie, los dominios magnéticos del material se vuelven aleatorios y como resultado el imán no emitirá ningún campo magnético externo. Los imanes de Nd han reemplazado a otros tipos de imanes en numerosas aplicaciones de la industria moderna que requiere imanes permanentes de gran potencia. La designación N40, N42, N45, etc. es una medida de la calidad del material magnético utilizado y sirve para indicar hasta qué temperatura máxima se puede utilizar el imán y cuánta "energía magnética" por volumen se almacena en este material magnético. La letra N, M, H, SH, UH o EH indica 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. la temperatura máxima de servicio, que puede ser 80, 100, 120, 150, 180 o 200 ° C, respectivamente. El número (por ejemplo: 40, 42, 45) corresponde aproximadamente al producto de energía máxima del imán (en MGOe). Así, la designación N48 indica un imán que puede soportar una temperatura máxima de 80°C y su producto energético (BH)máx es aproximadamente 48 MGOe (aprox. 382 kJ/m3). En el anexo 1 se dan los valores de las propiedades físicas de otros imanes de neodimio usados más frecuentemente en la industria.. Una aplicación importante de los imanes de Nd es en los frenos electromagnéticos donde el. NT. intenso campo magnético generado por un imán en movimiento relativo a un metal no. DO. tienden a frenar el movimiento del imán (Sung, 2009).. -U. magnético (cobre o aluminio), induce corrientes de Foucault en el metal-no magnético que. La producción de imanes permanentes de neodimio (Nd2Fe14B), desarrollados en 1982 por. RA. General Motors y la división de metales especiales de la Sumitomo Metal Industries, ha. PO SG. contribuido a un mayor número de aplicaciones en la industria moderna y particularmente en dispositivos de frenado magnético. Los imanes de neodimio debido a su alta coercitividad, remanencia, producto energético, bajo peso específico y su bajo costo, los convierte en. BI. BL IO. TE CA. DE. imanes de alto rendimiento y en los más utilizados.. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. III. CAMPO MAGNÉTICO DE UN IMÁN ANULAR. Consideremos un imán uniformemente magnetizado y el sistema de referencia cartesiano. PO SG. RA. DO. -U. NT. que se muestran en la figura 4.. Figura 4. Imán uniformemente magnetizado, sistema de referencia y vectores de posición utilizados para determinar el campo magnético del imán.. DE. El campo magnético creado por un imán con magnetización M constante viene dado por la. 𝜇𝑜 𝑱𝒔𝒎 × (𝒓 − 𝒓´) ∮ 𝑑𝑆 |𝒓 − 𝒓´|3 4𝜋 𝑆. (1). BL IO. 𝑩=. TE CA. expresión:. Donde S es la superficie que rodea al imán permanente, |r -r´| es la distancia desde el. BI. elemento diferencial dV al punto donde se evalúa el campo, n es el vector unitario normal saliente a la superficie del imán y Jsm es la de densidad superficial de corriente debido a la magnetización.. El campo magnético creado por un imán en forma de anillo (cilindro hueco) ha sido estudiado por diferentes autores (Ravaud et al, 2008; Babic et al, 2008 y más recientemente Reich et al, 2015). Todos ellos encontraron que el campo magnético de un imán cilíndrico hueco con magnetización permanente, uniforme y axial se puede expresar en función de dos componentes, una radial y la otra axial. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Reich et al. (2015) calcularon analíticamente el campo magnético de un imán cilíndrico hueco con magnetización uniforme y axial. Haciendo uso de Mathlab construyeron las líneas. RA. DO. -U. NT. de campo magnético del imán, como se muestra en la figura 5.. PO SG. Figura 5. a) Líneas de campo magnético construidas en Matlab (Reich et al, 2015) y b) líneas de campo y polaridad magnética del imán en forma de anillo; también se ilustran las componentes radial y axial del campo magnético en un punto de una de las líneas de campo.. DE. El campo magnético, B, generado por el imán permanente en forma de anillo uniformemente magnetizado en la dirección de su eje axial (como el que se muestra en la figura 5 b) en. TE CA. cualquier punto del eje Z vendrá dado por la suma de las contribuciones de los campos. BL IO. creados por las corrientes de magnetización.. Consideremos un imán en forma de anillo uniformemente magnetizado, M = M k, de radios. BI. interior R1 y exterior R2, y espesor e que se muestra en la figura 6.. Figura 6. Imán en forma de anillo uniformemente magnetizado en la dirección de su eje axial, Z.. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. En las superficies de las caras superior e inferior del anillo, la densidad de corriente superficial, 𝑱𝒔𝒎 = 𝑴 × 𝒏 = 0, es nulo, es decir, no hay corrientes superficiales de magnetización. Los únicos lugares en donde existirán corrientes superficiales de magnetización serán las superficies laterales interna y externa del anillo, en donde la dirección del vector unitario normal saliente a la superficie, n, es perpendicular a la magnetización M. En la superficie lateral interior el producto vectorial 𝑱𝒔𝒎 = 𝑴 × 𝒏 tiene sentido opuesto al. NT. de la superficie lateral exterior. Es decir, las corrientes superficiales en estas superficies son. -U. de sentido contrario, de modo que el anillo puede considerarse como un sistema de dos espiras concéntricas por donde fluyen corrientes de sentidos opuestos. Así, el campo. DO. magnético generado por el imán en forma de anillo puede ser evaluado sobre cualquier punto. RA. del eje axial haciendo uso de la ecuación (1).. PO SG. Cuando un imán permanente cilíndrico se deja caer en el interior de un tubo conductor cilíndrico, el imán experimenta la fuerza de frenado magnético que equilibra el peso del imán y hace que el imán se mueva con velocidad constante. En este fenómeno, es la componente. DE. radial del campo magnético la que produce la fuerza de frenado magnético sobre el imán. TE CA. (Donoso et al, 2011; Partovi et al, 2006; Yuxuan et al, 2016).. En el caso de un imán cilíndrico hueco (ver figura 5) se puede notar que la componente radial del campo tiene un módulo apreciable en la región externa del imán cilíndrico, sin embargo,. BL IO. en el interior, es decir en la zona hueca, las líneas de campo no presentan curvatura apreciable. BI. de modo que el módulo de la componente radial es muy pequeña.. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. IV. MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO DE UN IMÁN. A un imán cilíndrico uniformemente magnetizado en la dirección axial se le asocia corrientes superficiales de magnetización análogas a las corrientes en una espira y por tanto presentan un momento dipolar magnético que experimenta un torque dentro de un campo magnético. Consideremos un imán permanente, uniformemente magnetizado, de momento dipolar magnético, m, que se suspende mediante un hilo flexible e inextensible dentro de una región donde existe un campo magnético horizontal uniforme B, al desviar el imán de su posición. NT. de equilibrio, se observa que este puede oscilar en un plano horizontal alrededor del eje. -U. vertical debido al torque magnético restaurador, τ, que experimenta, ver figura 7 (Bisquert. DE. PO SG. RA. DO. et al, 1992; Fuentes, 2011).. 𝝉=−𝒎 ×𝑩. TE CA. Figura 7. Torque magnético sobre un imán oscilando dentro de un campo magnético uniforme. (2). BL IO. De la ecuación fundamental de la rotación: 𝝉=𝐼𝜶. (3). BI. Siendo I el momento de inercia del imán y α, la aceleración angular de su movimiento. Combinando (2) y (3): −𝑚 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐼 𝛼 De donde, 𝐼. 𝑑2 𝜃 + 𝑚 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑑𝑡 2. 𝑑2𝜃 𝑚 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑑𝑡 2 𝐼 Para oscilaciones de pequeña amplitud tal que senθ < θ, obtenemos 𝑑2𝜃 𝑚 𝐵 + 𝜃=0 𝑑𝑡 2 𝐼. (4) 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. La cual corresponde a la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, cuya solución es de la forma: 𝜃 = 𝜃0 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑). (5). Donde: θo, es la amplitud angular inicial del movimiento y. 𝜔= √. 𝑚𝐵 𝐼. , la frecuencia angular de sus oscilaciones.. Luego, si se conoce el campo magnético, el momento de inercia y la frecuencia angular de 𝜔2 𝐼. -U. 𝑚=. NT. sus oscilaciones, se puede determinar el momento dipolar magnético usando la relación: 𝐵. (6). DO. A partir del momento dipolar se puede conocer también la magnetización M, del imán, usando,. RA. M = m/V,. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. donde V, es el volumen del imán.. 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. V.. LEY DE FARADAY Y LEY DE LENZ. Consideremos un campo magnético B en una región del espacio cuyas líneas magnéticas atraviesan una superficie de área A (figura 8). El flujo del campo magnético B a través de la superficie se define como: . .    B  d A   B dA cos  A. RA. DO. -U. NT. A. (7). PO SG. Figura 8. Flujo del campo magnético B a través de la superficie de área A. Donde, B, es el campo magnético y. DE. dA, el vector diferencial de área normal al diferencial de área dA. El flujo magnético representa la medida en que el número de líneas de campo magnético. TE CA. atraviesan la superficie A.. La Ley de Faraday de la inducción electromagnética establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en. v ind  .  dΦ d     B  dA dt dt A. BI. borde.. BL IO. el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como. (8). El signo negativo de la expresión anterior indica que el Vind se opone a la variación del flujo magnético que la produce y, por tanto, “El sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que la produce”, lo cual constituye la Ley de Lenz. La ley de Lenz afirma que las corrientes inducidas en un conductor fluyen de modo que se oponen a la variación del flujo magnético que las creó. En la figura 9 se ilustra la aplicación de la Ley de Lenz para el caso de un imán que se mueve con velocidad V acercándose y alejándose de una espira conductora. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. NT. Figura 9. Ilustración de la aplicación de la Ley de Lenz en el caso en que un imán se acerca y aleja de una espira conductora. Cuando el imán se acerca a la espira la corriente inducida I circulará en un sentido tal que. -U. creará un campo magnético que frena el aumento de flujo debido al acercamiento del imán.. DO. Cuando el imán se aleja de la espira, la corriente I circulará en sentido contrario al anterior, de modo que crea un campo magnético que compensa la pérdida de flujo causada por el. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. alejamiento del imán.. 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. VI. EL FRENADO ELECTROMAGNÉTICO 6.1 LAS CORRIENTES DE FOUCAULT Las corrientes de Foucault se producen cuando un conductor atraviesa un campo magnético variable, o viceversa. El movimiento relativo causa una circulación de electrones, o corriente inducida dentro del conductor. Estas corrientes crean campos magnéticos que se oponen al efecto del campo magnético aplicado (ver Ley de Lenz). Cuanto más fuerte sea el. NT. campo magnético aplicado, o mayor la conductividad del conductor, o mayor la velocidad. -U. relativa de movimiento, mayores serán las corrientes de Foucault.. En la figura 10 se muestra las corrientes de Foucault inducidas por el campo magnético del. DO. imán que se desplaza con velocidad V respecto a la placa metálica no magnética ubicada en. RA. posición horizontal. Estas corrientes crean campos magnéticos inducidos que fluyen de modo que al interactuar con el campo del imán producen atracción y repulsión del sistema. BI. BL IO. TE CA. DE. como el frenado electromagnético.. PO SG. imán-placa metálica y como resultado, el imán retarda su movimiento. Este efecto se conoce. Figura 10. Corrientes de Foucault inducidas por el campo magnético del imán que se desplaza con velocidad V respecto a la placa metálica no magnética ubicada en posición horizontal. Las corrientes de Foucault en la superficie de la placa frente al imán crean campos inducidos de sentido contrario produciendo atracción y repulsión del sistema imán-placa metálica.. 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Consideremos un imán permanente cilíndrico que cae y se mueve por el interior de un tubo metálico conductor ubicado en posición vertical (Fig.11 a). Cuando el imán se mueve en el tubo de metal, el flujo magnético debido a las líneas de campo magnético del imán que atraviesan la superficie del tubo inducen corrientes de Foucault en el tubo de metal (Yuxuan. RA. DO. -U. NT. et al, 2016).. PO SG. Figura 11. a) Geometría para describir el movimiento del imán dentro del tubo conductor y b) espira conductora en el tubo metálico y orientaciones de las corrientes de eddy y de la fuerza magnética sobre la espira conductora.. DE. De acuerdo con la ley de inducción electromagnética de Faraday, la fuerza electromotriz ε = - dΦm/dt. TE CA. inducida y que a su vez genera las corrientes de eddy viene dado por la expresión: (9). donde Φm es el flujo magnético a través del tubo de metal. La fuerza electromotriz en el tubo de metal se expresa como. BL IO. ε = ʃc (v x B). dL. (10). El campo magnético producido por el imán permanente solo tiene la componente radial Br y. BI. la componente vertical Bz,, por lo tanto, la fuerza electromotriz de inducción en una “espira conductora” del tubo (figura 11 b) se escribe como: ε = ʃc [ v x (Br + Bz)]. dL ε = ʃc v Br uT. dluT. = ʃc. v Br dL. ε = v Br 2πr. (11) (12). De la ec. (11) notamos que la fuerza electromotriz en el tubo de metal solo depende de la componente radial Br del campo magnético, mientras que la componente vertical Bz no tiene influencia sobre él. El sentido de la fuerza electromotriz inducida es tal que las corrientes inducidas o de eddy circulan en la dirección tangencial en cada punto sobre la espira conductora (ver fig. 11 a y b). 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Si asociamos a cada elemento diferencial de la espira conductora una longitud dL, una sección transversal dS y una resistencia eléctrica dR dR = ρ dL/dS. (13). Asumiendo que el diferencial de f.e.m. que actúa sobre dL es dε = v Br dL (ver ec.17), entonces la densidad de corriente de eddy es J = dI/dS = (1/dS) (dε/dR) = Br v/ρ. (14). Donde ρ, es la resistividad del tubo conductor.. NT. 6.2 VELOCIDAD LÍMITE Y CONSTANTE DE TIEMPO DE FRENADO. -U. Cuando un imán cilíndrico se deja caer verticalmente en un tubo de cobre o de aluminio,. DO. experimentalmente se encuentra que la fuerza que se opone al peso es proporcional a la. RA. velocidad del imán (MacLatchy, 1993; Donoso et al, 2009). 𝑭𝒇𝒓𝒆𝒏 = −𝑘 𝒗,. (15). PO SG. Donde, k es una constante que representa el "amortiguamiento" en el movimiento del imán, producido por las corrientes de Foucault inducidas en la varilla. La constante de proporcionalidad depende del momento dipolar magnético del imán y de otros factores como. DE. el diámetro interior del tubo, espesor, su conductividad, etc. 𝑑𝑣. TE CA. La ecuación de su movimiento, aplicando la segunda ley de Newton, es: 𝑚 ( 𝑑𝑡 ) = 𝑚𝑔 − 𝐹𝑓𝑟𝑒𝑛 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣,. (16). La solución de esta ecuación diferencial es: 𝑑𝑦 𝑑𝑡. =. 𝑚𝑔. 𝑘𝑡. [1 − exp(− 𝑚 )],. BL IO. 𝑣(𝑡) =. Haciendo: 𝜏 =. 𝑘. 𝑚 𝐾. y 𝑣𝐿 =. (17). 𝑚𝑔. (18). 𝑘 𝑡. BI. Obtenemos, 𝑣(𝑡) = 𝑣𝐿 [1 − exp(− 𝜏 )],. (19). Donde, τ, se denomina constante de tiempo de frenado y representa el tiempo que transcurre para que la velocidad alcance el 63% del valor límite constante 𝑣𝐿 . La acción combinada de la fuerza de frenado y el peso hacen que el imán presente un movimiento inicial acelerado seguido por un movimiento con velocidad constante o límite dado por la ecuación (18). Finalmente, la posición vertical, y (t), del imán que se obtiene de la expresión para v (t) en la ecuación (19) es:. 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 𝑡. 𝑡. 𝑦(𝑡) = 𝑣𝐿 𝜏 [𝜏 − 1 + exp(− 𝜏)]. (20). Es importante notar que, a partir de las relaciones en (18), la aceleración de la gravedad se puede obtener a partir de los valores de 𝑣𝐿 𝑦 𝜏: 𝑔=. 𝑣𝐿. (21). 𝜏. 6.3 LA FUERZA DE FRENADO ELECTROMAGNÉTICA. NT. Cuando un imán permanente se mueve a lo largo de la dirección axial de un tubo de metal, se inducen las corrientes de Foucault (Eddy) en el tubo de metal. El campo magnético de. -U. estas corrientes interactúa con el campo magnético del imán permanente, de modo que la. DO. fuerza electromagnética resultante que se generará se opone al movimiento relativo. Según la tercera ley de Newton, las fuerzas sobre el tubo de metal y el imán permanente son fuerzas. RA. de acción y reacción (Ireson, 2008; Yuxuan et al., 2016).. PO SG. Consideremos el caso en que un imán permanente, en forma de anillo y uniformemente magnetizado en la dirección de su eje axial se libera desde el extremo superior de una barra de material conductor, de modo que el imán se mueve externamente al material conductor, como se muestra en la figura 14. Se observa que el imán inmediatamente después de liberado. DE. se mueve hacia abajo con velocidad constante.. TE CA. Esto se debe a que tan pronto el imán es liberado actúa sobre él una fuerza de origen electromagnética que retarda o frena su movimiento. Análogamente al caso en que el imán se mueve por el interior de un tubo conductor, en este caso, el imán también se mueve con. BL IO. velocidad constante debido a que esta fuerza electromagnética equilibra el peso del imán cuyo módulo y orientación viene dado por la expresión:. BI. Ffrenado = - k v. Donde k es una constante que depende de la naturaleza y forma geométrica del sistema imánbarra conductora. Usando las ecuaciones (18) y (19) en la ecuación (15), para la fuerza de frenado, obtenemos: 𝑘𝑡. 𝑭𝒇𝒓𝒆𝒏 = − 𝑚𝒈 [1 − exp(− 𝑚 )]. (22). El origen de ésta fuerza y su sentido contrario al movimiento de los imanes se debe a la interacción entre el momento dipolar magnético del imán y los pequeños momentos dipolares magnéticos debido a las corrientes inducidas en los elementos diferenciales en forma de espiras distribuidas a lo largo de la barra, como se muestra en la figura 12.. 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. b). PO SG. RA. DO. -U. NT. a). BL IO. TE CA. DE. Figura 12. Fuerza magnética de frenado sobre un imán en forma de anillo que cae por una barra metálica ubicada en posición vertical. La fuerza magnética es causada por las corrientes inducidas en la barra debido a la variación del flujo magnético; En la figura 12 a), en la región de la barra delante del imán el flujo magnético aumenta y la fuerza sobre el imán es repulsiva y en 12 b), en la región de la barra detrás del imán el flujo disminuye y la fuerza sobre el imán es atractiva. Si en la barra conductora tomamos como referencia un elemento diferencial en forma de. BI. espira, cuando el imán se desplaza hacia abajo aproximándose a la espira (ver fig. 12 a), el flujo magnético en la espira aumenta y la corriente inducida circula de modo que trata de frenar tal aumento; como resultado el momento dipolar de la espira ejerce una fuerza repulsiva vertical hacia arriba sobre el imán, que frena el movimiento del imán. Cuando el imán se aleja de la espira de referencia (ver fig. 12 b), el flujo magnético en la espira disminuye y la corriente inducida circula de modo que trata de compensar ésta disminución; como resultado, ahora el momento dipolar de la espira ejerce una fuerza vertical atractiva hacia arriba sobre el imán, que también frena el movimiento del imán. Considerando que, a medida que el imán se mueve a lo largo de la barra fija, todos los elementos diferenciales en forma de espira distribuidos a lo largo de la barra presentan el 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. mismo comportamiento, durante el paso del imán, éste es continuamente repelido y atraído por la barra metálica. Así, al caer el imán por su propio peso a lo largo de la barra, las fuerzas de repulsión y atracción retardaron el movimiento de caída del imán.. 6.4 FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA EN UNA BOBINA Consideremos un imán que se mueve verticalmente con velocidad constante a lo largo del. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. eje de una bobina conductora, como se muestra en la figura 13.. TE CA. Figura13. Imán moviéndose con velocidad constante en la dirección del eje de una bobina conductora; la bobina está conectada a un voltímetro. Con el imán en movimiento, el voltímetro registra la f.e.m. inducida en la bobina predicha. BL IO. por la ley de Faraday, debido a la variación del flujo magnético al cambiar la posición del imán en el tiempo.. BI. Si consideramos el imán como un dipolo magnético, la f.e.m. inducida viene dada por la ecuación (Bisquert et al, 1994):. (23). Siendo N el número de espiras de la bobina, R el radio de la espira, v la velocidad del imán, mb el momento magnético del imán, μ0 la permeabilidad magnética, L la longitud del imán y z la posición del imán con respecto a la bobina, tomando z = 0 cuando el imán está en el centro de la bobina. A partir de esta ecuación se puede ver que cuando el imán pasa por el centro de la bobina, la f.e.m. inducida será 0. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. En la figura 14 se muestra la relación entre la f.e.m. inducida y la posición sobre el eje Z predicha por la ecuación (23). Cuando el imán está acercándose a la bobina, la f.e.m. crece en valor absoluto hasta el momento en que el extremo del polo delantero del imán corta el plano de la bobina, pues la variación de flujo magnético es positiva y cada vez mayor (el número de líneas de campo que pasa a través de la superficie es creciente). Durante el paso del imán se produce una caída rápida de la f.e.m. inducida, porque la variación de flujo disminuye primero a medida que el polo delantero atraviesa el plano de la bobina y luego cambia de signo cuando es el polo trasero el que está pasando. El perfil presentado en la. NT. figura 14 se invierte, obteniéndose su simétrico respecto del eje de tiempos si se invierte la. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. orientación del imán o si se intercambian las conexiones de la bobina.. BI. BL IO. Figura 14. Gráfica de la f.e.m. inducida en la bobina conductora en función de Z (Bisquert et al 1994).. 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. VII. EL ANALIZADOR DE VIDEOS “TRACKER”. TRACKER es un programa de análisis de video y construcción de modelos hechos en el ambiente Java del proyecto Open Source Physics (Brown, 2009), combina videos y modelación en computadora. Tracker es un paquete de análisis de vídeo y una herramienta de modelado. Las características incluyen el seguimiento de objetos, posición, velocidad, aceleración, gráficas, filtros de efectos especiales, marcos múltiples de referencia, puntos de. NT. calibración y perfiles de línea para el análisis de patrones de espectros e interferencia.. -U. Con el fin de producir un perfil de velocidad del progreso del objeto se graba el movimiento del objeto utilizando una cámara digital. El movimiento del objeto se estudia analizando una. DO. serie de cuadros extraídos del video. Los fotogramas individuales se obtienen usando Tracker. La posición del objeto se determina a partir de cada fotograma como su distancia. RA. desde un punto fijo y luego se escala en metros reales utilizando un objeto de longitud. PO SG. conocida que se encuentra en el mismo video (Molina et al., 2012).. Al usar Tracker para analizar un video básicamente seguimos los siguientes pasos:. DE. 1. Abrimos un video o un archivo Tracker.. 2. Identiﬁcamos los cuadros (video clip) que deseamos analizar.. TE CA. 3. Calibramos la escala del video.. 4. Fijamos el cuadro de referencia de origen y el ángulo. 5. Hacemos seguimiento de objetos de interés con el mouse.. BL IO. 6. Trazamos y analizamos las trayectorias. 7. Guardamos el trabajo en un archivo Tracker. BI. 8. Exportamos la información (datos, gráficas, imágenes, etc.) a cualquier otro programa (Word, Excel, Power Point, etc.). 9. Imprimimos, copiamos o pegamos (datos, gráficas, imágenes, etc.) para reportes.. En un experimento de modelación con Tracker, (Esquembre, 2012) abrimos un archivo de vídeo digital, calibramos y definimos los ejes de coordenadas adecuadas, al igual que para el análisis de vídeo tradicional, pero en lugar de seguir los objetos con el mouse, se definen expresiones teóricas de la fuerza y las condiciones iniciales para la simulación del modelo dinámico que se sincroniza y se basa en el mismo video. El comportamiento del modelo es comparado directamente con el movimiento real del objeto. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. En la figura 15 se muestra la gráfica y Vs. t, usando Tracker, para un ensayo de prueba del frenado electromagnético. En el ensayo se usaron dos imanes de neodimio de forma rectangular y paralelos, separados por pequeños tabiques de madera (formando una cavidad. PO SG. RA. DO. -U. NT. rectangular) caen por gravedad a lo largo de una barra de aluminio ubicada en posición vertical.. DE. Figura 15. Gráfica y Vs. t, usando Tracker, para un ensayo de prueba de freno magnético.. Aprovechando la opción de definición de funciones que ofrece Tracker, la fuerza. TE CA. electromotriz inducida en la bobina captadora se expresa en función de la posición angular θr de la aguja del galvanómetro (Aguilar et al, 2018). La función que nos permite convertir valores de ángulo de posición, θr, a valores de voltaje (ver fig.18) es:. BL IO. 𝜋 6. (24). BI. 𝑉=. 𝜋 2. ( −𝜃𝑟 )𝑉𝑚á𝑥. Figura 16. Pantalla del galvanómetro donde se muestran algunos valores del ángulo de posición, θr, de la aguja indicadora. 31 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. VIII. MATERIAL Y MÉTODOS. 8.1 OBJETO DE ESTUDIO En el trabajo realizado el objeto de estudio fue el sistema: imán permanente de neodimio de geometría anular- barra cilíndrica de aluminio. En la figura 17 a) se muestra la fotografía de un imán de neodimio en forma anular de grado N48 y en la figura 17 b) un conjunto de barras de aluminio donde se indican las barras de aluminio de 12,5 mm de diámetro usadas. Las fotografías se han obtenido del catálogo de las empresas que los comercializan y que figuran. -U. NT. en Internet.. PO SG. RA. DO. Barras de aluminio de 12,5 mm de diámetro. b). DE. a). TE CA. Figura 17. a) Imán de neodimio de grado N48 en forma de anillo y b) barras cilíndricas de aluminio; con los segmentos orientados se indican las barras de 12,5 mm de diámetros usadas en los experimentos. En la figura 18 a) se muestra un imán de neodimio anular de grado N48 insertado en una. BL IO. barra de aluminio de 12,5 mm de diámetro en el instante en que se libera el imán; en la barra se ha practicado un orificio de modo que se la puede suspender verticalmente, mediante una. BI. cuerda, de una barra de acero horizontal acoplada a un soporte universal. En la figura 18 b) se muestra un conjunto de 05 imanes de neodimio idénticos de forma anular y grado N48 insertados en una barra de aluminio de 12,5 mm de diámetro. A uno de los imanes se le ha pegado una pequeña cinta de color rojo, obtenida de un sticker, para hacer el seguimiento de la trayectoria de los imanes usando el analizador de videos Tracker; debajo de los imanes se aprecia un gancho de plástico color celeste (usado para tender ropa) el cual sirvió para detener el movimiento de los imanes Los imanes de neodimio se compraron en la tienda de imanes Jholu Magnet (en Lima) y las barras de aluminio de la distribuidora de barras y perfiles de aluminio VERALUM (en Trujillo). 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) -U. NT. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. PO SG. RA. DO. Figura 18. a) Imán anular de neodimio de grado N48 insertado en una barra de aluminio en el instante en el que se le libera manualmente y b) cinco imanes idénticos de neodimio N48 insertados en una barra de aluminio; uno de ellos se le ha adherido una cinta roja para seguir la trayectoria de su movimiento usando el analizador de videos Tracker. En la tabla 2 se presentan algunas propiedades del imán de Neodimio N48 usado en el experimento.. BL IO. TE CA. DE. Tabla 2. Algunas propiedades físicas del imán anular de neodimio N48.. BI. En la Tabla 3. Se presentan algunas propiedades de la barra de aluminio usada en el experimento. La barra de aluminio se adquirió en una tienda local que comercializa barras y perfiles de aluminio. Tabla 3. Algunas propiedades físicas de la barra de aluminio.. 33 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. También se utilizó una barra de cobre electrolítico. En la Tabla 4. Se presentan algunas propiedades de la barra de cobre que se obtuvo a partir de una barra de cobre de puesta a tierra de 2,40 m de longitud y 18,50 mm de diámetro comercializada por SODIMAC; en el taller de mecánica del laboratorio de física se maquinó la barra para obtener una barra de la misma longitud y diámetro que la barra de aluminio.. DO. -U. NT. Tabla 4. Algunas propiedades físicas de la barra de cobre.. RA. También se utilizó:. -Un tubo de aluminio de 80 cm de longitud, diámetro exterior 12,50 mm e interior de 12,00. PO SG. mm.. - Una bobina hecha de alambre de cobre (AWG-32) de 27 Ω y 1100 espiras, para captar la. DE. f.e.m. inducida en la barra de aluminio.. TE CA. 8.2 INSTRUMENTOS, EQUIPOS Y MATERIALES. Para la recolección de datos se usó:. BL IO. - Galvanómetro analógico Yong Ying para registrar la f.e.m. inducida en la bobina incrustada en la barra de aluminio (bobina captadora) - El Software “Tracker Video Analysis” para registrar los valores de posición de los imanes,. BI. en función del tiempo, mientras se mueven a lo largo de la barra vertical de aluminio. Tracker ofrece una precisión de 0,1 mm en la medida de longitudes y 0,001 s en la medición del tiempo. - Una cámara de video de un celular Samsung Galaxy S8+, graba hasta 240 fotogramas por segundo, para filmar el movimiento de los imanes y la deflexión de la aguja del galvanómetro. - Bobinas Helmholtz de 240 vueltas y 14,125 cm de radio medio, para determinar el momento dipolar magnético del imán de neodimio N48.. 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. - Fuente de corriente continua 3B SCIENTIFIC U33020 (0-20V/0-5A) para suministrar corriente a las bobinas de Helmholtz. - Brújula NAHITA de Aluminio, para determinar la polaridad magnética de los imanes. - Teslámetro digital 3B Scientific U8533982, para medir las componentes axial y tangencial de los imanes. - Gaussímetro virtual Keuwlsoft (aplicación en celular Samsung Galaxy S8+), para medir el campo magnético de los imanes. - Vernier digital STANLEY S330 (u = 0, 01 mm), para medir las dimensiones geométricas. NT. del imán de neodimio.. la barra y de la vara de calibración para usar en Tracker.. -U. - Cinta métrica STANLEY GA519 (u = 1 mm), para medir las dimensiones geométricas de. DO. - Balanza Mettler Toledo-ML 3002t (u = 0,01 g), para medir las masas de los imanes. - Aceite lubricante SAE 30 HD MOVIL, se usó para reducir la fricción entre las superficies. RA. en contacto de los imanes y la barra de aluminio.. PO SG. - Tres potes pequeños de limpia tipo Artesco color rojo (cada pote tiene una masa de 35 g y se usa para limpiar teclados, superficies lisas y practicar manualidades; el limpia tipo es muy maleable y similar a la plastilina), para incrementar la fuerza de gravedad sobre el móvil. El. DE. limpia tipo se adquirió en una librería.. TE CA. 8.3 MÉTODOS Y TÉCNICAS. 8.3.1 MEDICIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO DEL IMÁN ANULAR. BL IO. Para medir el campo magnético del imán usamos el teslámetro 3B Scientific y el gaussimetro Keuwlsoft del celular Samsung Galaxy S8+.. BI. Primero se desarrolló, a partir de la ecuación (1), la relación que nos permitió calcular el campo magnético axial del imán sobre el eje Z (ver anexo 1), 𝑩=. 𝜇𝑜 𝑀 𝑒 𝑅22 𝑅12 [ 2 − ] 𝒌, (𝑅2 + 𝑧 2 )3/2 (𝑅12 + 𝑧 2 )3/2 2. (25). Luego, haciendo uso de Excel graficamos la relación entre el campo B y z de la ecuación (25), sobre el eje axial del imán de neodimio N48. Luego, con el teslámetro 3B Scientific se midieron las componentes axial y tangencial en la región central (plano Z = 0) de un conjunto de imanes de neodimio N48. En la figura 19 se muestra la medición de la componente axial del campo en el centro de un imán. 35 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) RA. DO. -U. NT. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. PO SG. Figura 19. Medición de la componente axial del campo magnético del imán anular de neodimio N48; el selector de la sonda Hall del teslámetro se encuentra en la posición A (axial) y el sensor de la componente axial está en el centro del imán. Haciendo uso del gaussímetro Keuwlsoft medimos el valor del campo magnético tangencial. DE. (radial) del imán de neodimio de geometría anular N48 en la cara del polo norte del imán.. TE CA. Para ello seguimos los siguientes pasos:. - Activamos la aplicación del gaussímetro en el teléfono celular Samsung Galaxy S8+ y rotamos lentamente el celular hasta que la brújula de la aplicación indicó la orientación del. BL IO. campo magnético terrestre (Sur-Norte); anotamos el valor del campo magnético terrestre que. BI. se muestra en la pantalla.. - Colocamos un papel milimetrado sobre la mesa de trabajo y ubicamos el celular sobre el papel milimetrado, de modo que una línea longitudinal del papel milimetrado coincidió con la dirección Sur-Norte que indicó la brújula del celular como se muestra en la figura 20 a. Luego, fijamos el papel milimetrado con cinta adhesiva a la mesa de trabajo.. 36 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) PO SG. RA. DO. -U. NT. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. DE. Figura 20. a) Disposición del celular, con la aplicación del gaussímetro activado, sobre el papel milimetrado en la mesa de trabajo. b) medición del campo magnético del imán de neodimio N48 en la cara plana que corresponde al polo norte magnético del imán. También se indica la posición del sensor y el sistema de referencia usado. - Ubicamos sobre la pantalla del celular un imán auxiliar de neodimio en forma de disco (de. TE CA. 10 mm de diámetro y 2 mm de espesor); movimos lentamente el imán y al mismo tiempo observamos cómo fueron cambiando los valores del campo magnético en la pantalla del. BL IO. celular. El punto donde se ubicó el centro del imán cuando el módulo del campo magnético fue máximo se asumió como la posición del sensor magnético. - Se hizo coincidir el origen de un sistema de referencia cartesiano con la ubicación del. BI. sensor magnético para evaluar el valor del campo magnético (ver figura 20 b). - Se ubicó el imán de neodimio N48 de forma anular con la cara plana de su polo norte pegado al celular y frente al sensor magnético como se muestra en la figura 20 b; se fijó un sticker de color rojo al imán para que con Tracker se pudiese hacer el seguimiento de su trayectoria. - Se midió el campo magnético resultante producido por el imán en su posición inicial (Figura 20 b) y luego se desplazó el imán muy lentamente a lo largo de la dirección X (dirección radial del imán) y siempre pegado al celular.. 37 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. - Se filmó el movimiento del imán a lo largo de la dirección X con otro celular. El video se importó a Tracker donde se pudo obtener los valores de la componente radial del campo en la cara plana del polo norte del imán en función de la distancia radial desde el centro del imán para una posición axial de 15 mm.. 8.3.2 MEDICIÓN DEL MOMENTO MAGNÉTICO DEL IMÁN ANULAR. - Haciendo uso del gaussímetro Keuwlsoft se midió el campo magnético terrestre en Trujillo. NT. ubicada a 34 m.s.n.m. y 7° latitud sur.. -U. - Ubicamos la brújula en la parte central de las bobinas de Helmholtz (aun sin conectar a la fuente de corriente continua) y con la brújula en reposo manipulamos las bobinas hasta que. DO. la aguja indicadora de la brújula, señalando al norte, quedo alineada con el eje axial de las bobinas.. RA. - Conectamos la fuente de corriente en serie con las bobinas de Helmholtz, encendimos la. PO SG. fuente y haciendo girar la perilla suministramos muy lentamente corriente, de modo que las bobinas crearon su propio campo magnético. Tuvimos cuidado en que la conexión de la fuente a los bornes de la bobina fue tal que las corrientes eléctricas al circular por las bobinas. DE. crearon un campo magnético orientado en el mismo sentido que la componente horizontal. su orientación).. TE CA. del campo magnético terrestre (se supo porque la aguja indicadora de la brújula no cambio. - Usando la brújula, determinamos la polaridad del imán, quedando identificadas las caras planas del imán que correspondían a los polos norte y sur, respectivamente. Así, se conoció. BL IO. la orientación de su momento dipolar magnético (a lo largo de su eje axial y orientado del. BI. polo sur hacia el polo norte).. - Con la fuente apagada, atamos el imán a un hilo de seda y lo suspendimos de un soporte universal de modo que el imán quedó ubicado en el centro de las bobinas; con el imán en reposo, quedaron alineados y apuntando en el mismo sentido el momento dipolar magnético del imán y el campo magnético terrestre, como se muestra en la figura 21. - Encendimos la fuente y suministramos lentamente corriente hasta que el imán realizó un movimiento oscilatorio de una amplitud lo suficientemente apreciable para ser detectada por el analizador de videos Tracker.. 38 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. - Haciendo uso de la cámara de video, se filmó el movimiento oscilatorio del imán; para hacer el seguimiento en el software analizador de videos se marcó con plumón rojo un círculo muy pequeño sobre la superficie lateral del imán que dio frente a la cámara de video. - El video se importó al software Tracker donde se construyó la ecuación que relacionó la. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. amplitud con el tiempo y a partir de ello se determinó el periodo de sus oscilaciones.. TE CA. Figura 21. Esquema del arreglo experimental para determinar el momento dipolar magnético del imán haciendo uso de las bobinas de Helmholtz. 8.3.3 FRENADO ELECTROMAGNÉTICO DE IMANES DE NEODIMIO POR. BL IO. BARRAS Y TUBOS DE ALUMINIO Y COBRE. En la figura 22 se muestra el montaje experimental para el estudio del frenado. BI. electromagnético de un imán. Para conseguir el montaje experimental de la figura 24 y capturar los datos experimentales se siguieron los siguientes pasos:. - En el taller de mecánica del laboratorio de física se practicó un orificio en cada extremo de las barras de aluminio, de cobre y el tubo de aluminio. Por uno de los orificios se hizo pasar una cuerda de nylon de aproximadamente 20 cm de longitud y se amarró los extremos de la cuerda formando un lazo cerrado.. 39 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.