Sobre una Introducción a la Teoría de Aproximación en Espacios Normados y de Hilbert

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(1)SOBRE UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE APROXIMACIÓN EN ESPACIOS NORMADOS Y DE HILBERT. Julieth Jiménez Villamil. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá D.C. 2016.

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(3) SOBRE UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE APROXIMACIÓN EN ESPACIOS NORMADOS Y DE HILBERT. Julieth Jiménez Villamil. Monografía para optar al título de Matemática. Director: Luis Oriol Mora Valbuena. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ 2016.

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(5) NOTA DE ACEPTACIÓN. Firma Director. Firma Jurado.

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(7) Agradezco de manera muy especial a mis padres por el apoyo y la confianza que me brindaron. Agradezco a mi director de trabajo de grado, Luis Oriol Mora Valbuena por todo el tiempo, la paciencia y los consejos brindados para la realización de este trabajo. Por sobre todo agradezco a Dios quien me dio la fuerza para continuar..

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(9) Índice general. Introducción. 1. Objetivos Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos especificos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 5 5. 1. Preliminares 1.1. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Complemento Ortogonal y Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 7 8 10. 2. La Mejor Aproximación 2.1. Aproximación en Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Unicidad y Convexidad Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 15 20. 3. Aproximación Uniforme 3.1. Condición de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 27. 4. Polinomios de Chebyshev 4.1. Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ceros de los Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Propiedades del los Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . .. 39 40 45 46. 5. Aproximación en Espacios de Hilbert. 51. 6. Splines 6.1. Splines Cúbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 59 60.

(10) A. Determinante de Vandermonde Bibliografìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 73.

(11) 2. Índice General.

(12) Introducción. La teoría de aproximación fue introducida por el matemático ruso Patnuty Chebyshev (1821 - 1894) en el siglo XIX al crear la escuela rusa de teoría de aproximación de funciones en el año 1852, la cual surge de su interes por las máquinas de vapor construidas por el escoces James Watt (1736-1819) [3]. Donde busca perfeccionar el mecanismo llamado paralelogramo de Watt, que convierte el movimiento circular en movimiento rectilíneo. Chebyshev formula soluciones generales que se pueden aplicar a problemas que se presentan de la siguiente manera [4]: "Dada una función f ( x ) definida sobre un intervalo [ a, b], encontrar un polinomio P( x ) definido sobre [ a, b] de grado a los sumo n fijo, tal que el máximo de su desviación de f ( x ) en [ a, b], sea mas pequeño que el de los otros polinomio de grado n". El trabajo de Chebyshev sobre aproximación incluye la teoría de polinomios ortogonales, interpolación, teoría de momentos, método de cuadraturas y fracciones continuas. El estudio de la teoría de aproximación aborda una gran parte de problemas en matemática aplicada, por lo que se establece como una herramienta necesaria para el desarrollo de procesos determinísticos. Se enfoca principalmente en encontrar una función que sirva para determinar valores aproximados a una función dada, de tal manera que permita deducir de manera sencilla y rápida el resultado deseado. En segunda estancia la teoría de aproximación busca representar un conjunto de datos a través de una función de optimización. El objeto principal de este trabajo, es presentar una introducción a los fundamentos de la teoría de aproximación enfocada a los espacios normados y de Hilbert. Además se busca exponer algunos resultados principales como la aproximación uniforme por polinomios de Chebyshev y aproximación por splines cúbicos. 3.

(13) 4. Introducción. En el Capítulo 1 se presentan conceptos previos que orientan al contenido principal. El Capítulo 2 presenta el concepto de mejor aproximacion, además se discute su existencia y unicidad. Se define espacio normado estrictamente convexo, y como se tiene la unicidad de la mejor aproximación en estos. Dependiendo de la elección de la norma, se tienen diferentes tipos de aproximaciones; en el Capítulo 3 se presenta la aproximación uniforme y continua con la aproximación por polinomios de Chebyshev en el Capítulo 4. En el Capítulo 5 se muestra otro tipo de aproximación como el que se da en los espacios de Hilbert. Se concluye con una breve discusión de splines cúbicos en el Capítulo 6. Para la lectura de este trabajo supone un conocimiento previo de Algebra lineal, Cálculo y Análisis Funcional. Este trabajo se fundamenta en [5, Cap. 6] sobre "Further applications: Approximation Theory"..

(14) Objetivos. Objetivo general Estudiar los conceptos básicos de la teoría de aproximación en espacios normados y de Hilbert.. Objetivos específicos 1. Recopilar los conceptos y fundamentos teóricos matemáticos de la teoría de aproximación en espacios normados y de Hilbert. 2. Analizar el concepto de mejor aproximación su existencia y unicidad según el espacio ya sea normado o de Hilbert. 3. Exponer la aproximación uniforme a través de los polinomios de Chebysehv y la aproximación por Splines Cúbicos.. 5.

(15) 6. Objetivos.

(16) CAPÍTULO. 1. Preliminares. En este capítulo se presentan algunos conceptos y teoremas del análisis funcional que serán de gran utilidad para el desarrollo de este trabajo.. 1.1.. Espacios Normados. 1.1 D EFINICIÓN (Espacio Normado). [5, pág.58] Sea X un espacio vectorial, se define la norma sobre X como una función (real o compleja) cuyo valor de x ∈ X se denota por k x k y satisface las siguientes propiedades: (N1) k x k ≥ 0 (N2) k x k = 0 ←→ x = 0 (N3) kαx k = |α|k x k (N4) k x + yk ≤ k x k + kyk (Desigualdad triangular); para todo x, y ∈ X y para todo α ∈ R. Una norma sobre X define una métrica d sobre X dada por (1.1). d( x, y) = k x − yk. ( x, y ∈ X ). y recibe el nombre métrica inducida por la norma. El espacio vectorial X dotado de una norma se llama espacio normado y se denota por ( X, k · k). 7.

(17) 8. Preliminares. En toda norma para x, y ∈ X dados se cumple que. |k x k − kyk| ≤ k x − yk.. (1.2). La norma es continua, esto es, x 7→ k x k es una aplicación continua de ( X, k · k) sobre R. [5, pág 20] Un subespacio Y de un espacio normado X es un subconjunto no vació de X tal que para todo y1 , y2 ∈ Y y cualesquiera escalares α, β se satisface que αy1 + βy2 ∈ Y, es decir Y como subespacio es un espacio vectorial con las operaciones inducidas de X y además un espacio normado con la norma inducida de X. 1.2 D EFINICIÓN (Normas equivalentes). [5, pág.75] Una norma k · k sobre un espacio vectorial X se dice equivalente a otra norma k · k0 sobre X si existen a y b números positivos tales que para todo x ∈ X se satisface a k x k0 ≤ k x k ≤ b k x k0 .. (1.3). 1.1 T EOREMA (Normas equivalentes). [5, pág.75] Sobre un espacio vectorial X de dimensión finita, cualquier norma k · k es equivalente a cualquier otra norma k · k0 .. 1.2.. Espacios con producto interno. 1.3 D EFINICIÓN (Espacio con producto interno, espacios de Hilbert). [5, pág.128] Un espacio con producto interno (o espacio pre-Hilbert) es un espacio vectorial X con un producto interno definido sobre X. Un producto interno es una aplicación de h·, ·i : X × X → R, tal que para todo x, y ∈ X y α escalar, se satisfacen las siguientes condiciones: (PI1) h x + y, zi = h x, zi + hy, zi (PI2) hαx, yi = αh x, yi (PI3) h x, yi = h x, yi (PI4) h x, x i ≥ 0, h x, x i = 0 ⇔ x = 0. Un espacio de Hilbert es un espacio con producto interno completo (en el sentido de la métrica inducida por el producto interno). Un producto interno sobre X define una norma sobre X dada por q (1.4) k x k = h x, x i ≥ 0 y una métrica sobre X dada por (1.5). d( x, y) = k x − yk =. q. h x − y, x − yi..

(18) 1.2. Espacios con producto interno. 9. Algunas propiedades del producto interno son: (1.6) (1.7). hαx + βy, zi = αh x, zi + βhy, zi h x, αyi = αh x, yi. (1.8). h x, αy + βzi = αh x, yi + βh x, zi. Ley del paralelogramo (ver figura 1.1):. k x + yk2 + k x − yk2 = 2(k x k2 + kyk2 ). (1.9). Figura 1.1: Paralelogramo con lados x e y en el plano. Ahora se define el concepto de ortogonalidad. Se sabe que si el producto escalar de dos vectores en un espacio de dimensión 3 es cero, los vectores son ortogonales, es decir, que son perpendiculares o al menos uno de ellos es el vector cero. Esto sugiere y motiva la siguiente definición. 1.4 D EFINICIÓN (Ortogonalidad). [5, pág.131] Un elemento x de un espacio con producto interno X se dice ortogonal a un elemento y ∈ X si. h x, yi = 0. Donde x e y se dicen ortogonales, y se escribe x ⊥y. De manera similar, para conjuntos A, B ⊂ X se escribe x ⊥ A si x ⊥ a para todo a ∈ A, y A⊥ B si a⊥b para todo a ∈ A y todo b ∈ B. Como se vio antes a un producto interno le corresponde una norma que está dada por (1.13). Si la norma proviene de un producto interno entonces satisface la siguiente formula 1 (1.10) h x, yi = (k x + yk2 − k x − yk2 ). 4 Un producto interno y su norma correspondiente satisfacen la desigualdad de Schwarz y la desigualdad triangular como sigue. (a) Desigualdad de Schwarz: (1.11). |h x, yi| ≤ k x kkyk,. donde la igualdad se da si y solo si { x, y} es un conjunto linealmente independiente..

(19) 10. Preliminares. (b) Desigualdad triangular: (1.12). k x + y k ≤ k x k + k y k,. donde la igualdad se da si y solo si y = 0 o x = cy (c ≥ 0). Un subespacio Y de un espacio con producto interno X se define como un subespacio vectorial de X con el producto interno sobre X restringido a Y × Y. Del mismo modo, Y es un subespacio de un espacio de Hilbert si es un espacio con producto interno, donde Y no necesariamente es de Hilbert.. 1.3.. Complemento Ortogonal y Suma Directa. En un espacio normado X, la distancia δ de un elemento x ∈ X a un subconjunto no vacío M ⊂ X se define por (1.13). δ = ı́nf k x − yek ye∈ M. ( M 6 = ∅).. Figura 1.2: Ilustración de (1.13) en el plano R2 En la figura 1.2 se observa un ejemplo que ilustra esta situación. Se muestra la importancia de la existencia de y ∈ M tal que (1.14). δ = k x − y k.. Lo anterior establece el problema de existencia y unicidad de la mejor aproximación. Un ejemplo de la existencia, unicidad y no unicidad de la mejor aproximación se puede ver considerando el espacio del plano euclídeo R2 y el subconjunto M ⊂ R2 , como muestra la figura 1.3. Para considerar el problema de existencia y unicidad de tal elemento y ∈ Y, son necesarios los siguientes conceptos:.

(20) 1.3. Complemento Ortogonal y Suma Directa. (a) No existe y.. 11. (b) Existe un único y.. (c) Existen infinitos y.. Figura 1.3: Existencia y unicidad de puntos y ∈ M que satisface (1.14), donde M ⊂ R2 es un segmento abierto [en (a) y (b)] y un arco [en (c)]. 1.5 D EFINICIÓN . Un subconjunto M de un espacio vectorial X se dice convexo si para y, z ∈ M, el conjunto W = {v = αy + (1 − α)z|0 ≤ α ≤ 1} es un subconjunto de M. Este subconjunto W se llama segmento cerrado. Los puntos y y z son los puntos límite del segmento W. Cualquier otro punto de W se llama un punto interior de W. Ver Figura 1.4.. (a) Convexo.. (b) No convexo.. Figura 1.4: Conjunto convexo y no convexo Además, cualquier subespacio Y de X es convexo, y la intersección de conjuntos convexos es convexo [5, pág.143]. A continuación se presenta una herramienta esencial para el desarrollo de este trabajo. 1.2 T EOREMA (Minimizando el vector). [5, pág.144] Sea X un espacio con producto interno y M 6= ∅ un subconjunto convexo que es completo (en la métrica inducida.

(21) 12. Preliminares. por el producto interno). Entonces para x ∈ X dado existe un único y ∈ M talque δ = ı́nf k x − yek = k x − yk. (1.15). ye∈ M. Demostración. (a) Existencia: Por definición de ínfimo [5, pág.619] existe una sucesión (yn ) ∈ M tal que (1.16). δn → δ. δn = k x − yn k.. donde. Se mostrará que (yn ) es de Cauchy. Escribiendo yn − x = vn , se tiene kvn k = δn y. kvn + vm k = kyn + ym − 2x k 1 = 2 (yn + ym ) − x 2 ≥ 2δ porque M es convexo, así que 12 (yn + ym ) ∈ M. Además, se tiene que yn − ym = vn − vm . Luego, por la desigualdad del paralelogramo,. k y n − y m k2 = k v n − v m k2 = −kvn + vm k2 + 2(kvn k2 + kvm k2 ) 2 ≤ −(2δ)2 + 2(δn2 + δm ). y (1.16) implica que (yn ) es de Cauchy. Como M es completo, (yn ) converge, es decir, yn → y ∈ M. Dado que y ∈ M, se tiene k x − yk > δ. Además, por (1.16),. k x − yk 6 k x − yn k + kyn − yk = δn + kyn − yk −→ δ. Esto muestra que k x − yk = δ. (b) Unicidad: Suponga que y, y0 ∈ M ambos satisfacen. k x − yk = δ. y. k x − y0 k = δ,. y se muestra que y = y0 . Entonces por la desigualdad del paralelogramo,. ky − y0 k2 = k(y − x ) − (y0 − x )k2 = 2ky − x k2 + 2ky0 − x |2 − k(y − x ) + (y0 − x )k2 2. 2. = 2δ + 2δ − 2. 2. 1 ( y + y0 ) − x 2. donde 21 (y + y0 ) ∈ M, de modo que 1 (y + y0 ) − x ≤ δ. 2. 2. ,.

(22) 1.3. Complemento Ortogonal y Suma Directa Esto implica que. 13. ky − y0 k2 ≤ 2δ2 + 2δ2 − δ2 = 0.. Pero como ky − y0 k2 ≥ 0, se tiene por tanto que y0 = y. 1.1 L EMA (Ortogonalidad). [5, pág.145] Sea X un espacio con producto interno, y Y un subespacio completo de X, por el teorema 1.2 existe y ∈ Y tal que k x − yk = δ. Entonces x − y = z ∈ X es ortogonal a Y, donde kzk = δ como en (1.15). Demostración. Suponga que z 6⊥ y, entonces existe y1 ∈ Y tal que. hz, y1 i = β 6= 0.. (1.17). Claramente y1 6= 0, ya que hz, y1 i = 0. Además, para cualquier escalar α,. kz − αy1 k2 = hz − αy1 , z − αy1 i = hz, zi − αhz, y1 i − α[hy1 , zi − αhy, y1 i] = hz, zi − αβ − α[ β − αhy1 , y1 i]. Donde [ β − αhy1 , y1 i] = 0 si se toma α=. β . h y1 , y1 i. Dado que kzk = k x − yk = δ, la ecuación queda. kz − αy1 k2 = kzk2 −. | β |2 < δ2 . h y1 , y1 i. Pero esto es imposible porque z − αy1 = x − y2. donde. y2 = y + αy1 ∈ Y,. de modo que kz − αy1 k ≥ δ por la definición de δ. Por lo que (1.17) no es posible, y el lema queda demostrado. A continuación se presenta el concepto de suma directa para representar espacios de Hilbert en términos de suma directa y ortogonalidad. 1.6 D EFINICIÓN (Suma directa). [5, pág.146] Un espacio vectorial X se dice que es la suma directa de dos subespacios Y y Z de X, que se escribe X = Y ⊕ Z, si cada x ∈ X tiene representación única x = y+z. y ∈ Y, z ∈ Z.. Entonces Z se llama el complemento algebraico de Y en X y viceversa, Y y Z reciben el nombre de par complementario de subespacios en X..

(23) 14. Preliminares. Del mismo modo, en el caso de un espacio de Hilbert H, la representación de H como una suma directa se da para un subespacio cerrado Y de H y su complemento ortogonal y ⊥ = { z ∈ H | z ⊥ y }, que es el conjunto de vectores ortogonales a Y. 1.3 T EOREMA (suma directa). [5, pág.146] Sea Y un subespacio cerrado de un espacio de Hilberth H. Entonces H =Y⊕Z. (1.18). z = y⊥. Demostración. Dado que H es completo y Y es cerrado, Y es completo por el teorema [5, 1.4-7, pág 30]. Como Y es convexo, el teorema 1.2 y el lema 1.1 se tiene que para todo x ∈ H existe un y ∈ Y talque. x = y+z. (1.19). z ∈ Z = Y⊥.. Para probar la unicidad, suponga que x = y + z = y1 + z1 donde y, y1 ∈ Y y z, z1 ∈ Z. Entonces y − y1 = z1 − z. Dado que y − y1 ∈ Y mientras z − z1 ∈ Z = Y ⊥ , se observa que y − y1 ∈ Y ∩ Y ⊥ = {0} por tanto y = y1 . Del mismo modo z = z1 .. Figura 1.5: Notación con respecto al teorema 1.3 1.7 D EFINICIÓN . La proyección ortogonal y ∈ Y de x sobre Y subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H es la que satisface (1.20). x = y+z. Donde (1.20) define la aplicación P :H −→ Y x 7−→ y = Px P se dice la proyección ortogonal de H sobre Y. Ver Figura 1.3.. z ∈ Z = Y⊥..

(24) CAPÍTULO. 2. La Mejor Aproximación. 2.1.. Aproximación en Espacios Normados. Un entorno natural para el problema de aproximación es el siguiente: sea X un espacio normado y supónga que para cualquier x ∈ X dado, es próximo a un y ∈ Y donde Y es un subespacio fijo de X. Ses δ que denota la distancia de x a Y, por definición (1.13): δ = δ( x, Y ) = ı́nf k x − yk.. (2.1). y ∈Y. Si existe y0 ∈ Y tal que k x − y0 k = δ, entonces y0 recibe el nombre de la mejor aproximación a x de Y. 2.1 E JEMPLO . Sea X = R2 con norma k( x, y)k = máx{| x |, |y|}, y considere el espacio Y = {(0, y) | y ∈ R} (el eje y). Es posible ver en la figura 2.1 que el punto (1, 0) ∈ R2 tiene infinitos puntos próximos en Y; de hecho, cada punto (0, y) con (−1 ≤ y ≤ 1), son mas cercanos a x. 2.2 E JEMPLO . Sea X = C [ a, b]1 con norma k f k = máx{| f ( x )|} donde J = [0, 1], y x∈ J. span{ x }2 ;. considere el subespacio Y = entonces, los elementos h( x ) = λx ∈ Y con 0 ≤ λ ≤ 2, son mejores aproximaciones para f ( x ) = 1 ver figura 2.2. 2.1 T EOREMA (Existencia de la mejor aproximación). [5, pág.238] Si Y es un subespacio de dimensión finita de un espacio normado X, entonces para cada x ∈ X, existe un y ∈ Y tal que es la mejor aproximación a x de Y. 1 C [ a, b ]. es el conjunto de las funciones a valor real continuas definidas sobre el intervalo [ a, b]. es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de M.. 2 spanM. 15.

(25) 16. La Mejor Aproximación. (a) Esfera de radio 1, norma del máximo.. (b) Esfera de radio 1, norma usual.. Figura 2.1: Ejemplo 2.1.. Figura 2.2: Ejemplo 2.2: f ( x ) = 1 y sus mejores aproximaciones en Y Demostración. Sea x ∈ X, y considere la bola cerrada e = {y ∈ Y |kyk ≤ 2k x k} . B e dado que Y es un subespacio de X, de modo que para la distancia Entonces 0 ∈ B e se tiene que de x a B e) = ı́nf k x − yek ≤ k x − 0k = k x k. δ( x, B e ye∈ B. e entonces kyk > 2k x k y Ahora supongamos que y 6∈ B, (2.2). e). ky − x k ≥ kyk − k x k ≥ δ( x, B.

(26) 2.1. La Mejor Aproximación. 17. e) pero como B e ⊂ Y se tiene que Esto muestra que δ( x, Y ) ≥ δ( x, B e) ≥ δ( x, Y ), δ( x, B e) = δ, pero este valor no puede ser asumido ya que por lo que δ( x, Y ) = δ( x, B e y ∈ Y − B. e A continuación se Por tanto si existe una mejor aproximación a x debe estar en B. e en lugar de tomar todo el subespacio Y. Considere el muestra porque se toma B, e donde la compacidad se sigue del teorema de compacidad subconjunto compacto B, e es cerrado y acotado e Y es de dimensión finita. Dado que la [5, pág.77] dado que B norma es una aplicación continua, entonces para la aplicación e −→ R T :B y0 −→ k x − y0 k existe un y0 ∈ M donde T asume un valor mínimo (Ver 2.5-7 [5, pág.81]), es decir k x − y0 k = δ. Por definición, y0 es la mejor aproximación a x de Y. 2.3 E JEMPLO . [5, pág.329] Sea C [ a, b]. Un subespacio de dimensión finita del espacio C [ a, b] es x j (t) = t j. Y = span{ x0 , · · · , xn },. (n fijo).. Este es el conjunto de todos los polinomios de grado a lo sumo n, el teorema 2.1 implica que para una función continua x sobre [ a, b], existe un polinomio Pn de grado n tal que para cada y ∈ Y máx | x (t) − Pn (t)| = máx | x (t) − y(t)| t∈ J. t∈ J. donde J = [ a, b]. La aproximación en C [ a, b] se llama aproximación uniforme. 2.4 E JEMPLO . [5, pág.329] Acontinuación se muestra la importancia de la dimensión finita de Y como h i lo establece el teorema 2.1. Sea Y el conjunto de todos los polinoh i. mios sobre 0, 12 de cualquier grado, considerado como un subespacio de C 0, 12 , entonces dim Y = ∞. Sea 1 x (t) = . (1 − t ) Entonces para e > 0 existe un N tal que, al establecer yn (t) = 1 + t + . . . + tn , se obtiene k x − yn k < e para todo n > N. Por tanto δ( x, Y ) = 0. Sin embargo, dado que x no es un polinomio, se tiene que no existe y0 ∈ Y que satisfaga δ = δ( x, Y ) = k x − y0 k = 0..

(27) 18. La Mejor Aproximación. Es posible considerar que el problema de la mejor aproximación puede extenderse a espacios métricos generales. 2.1 P ROPOSICIÓN . Si Y es un subconjunto compacto3 de un espacio métrico X, entonces para cada x ∈ X, existe un y0 ∈ Y tal que es la mejor aproximación a x de Y, es decir, d( x, y0 ) ≤ d( x, y) para todo y ∈ Y. Demostración. Sea x ∈ X y considere una sucesión (yn ) tal que yn ∈ Y satisface d( x, yn ) −→ d = ı́nf d( x, y) y ∈Y. cuando n → ∞. Como Y es compacto la sucesión (yn ) contiene una subsucesión (ynk ) que converge a un y0 ∈ Y. Entonces d( x, y0 ) = lı́m d( x, ynk ) = d. k→∞. Por tanto d( x, y0 ) ≤ d( x, y) para todo y ∈ Y. Es decir y0 es la mejor aproximación a x de Y. Si Y es un subespacio de dimensión finita de un espacio normado X y se quiere aproximar a un x ∈ X fuera de Y, es natural tomar una base B = {e1 , · · · , en } para Y y aproximarse a x por una combinación lineal dada por ∑ α j e j . 2.1 D EFINICIÓN . Una función f : R → R es convexa si su dominio D( f ) es un conjunto convexo y para cada u, v ∈ D( f ), f (λu + (1 − λ)) ≤ λ f (u) + (1 − λ) f (v),. (2.3) donde 0 ≤ λ ≤ 1.. 2.2 P ROPOSICIÓN . La función f : Rn → R definida por f ( α ) = k x − ∑ α j e j k,. (2.4). α = ( α1 , · · · α n ). j =1. es continua y convexa. Demostración. i) Continuidad: Dado que Rn es un espacio de dimensión finita la norma del máximo y euclidiana son equivalentes, luego para α, α0 ∈ Rn. kα − α0 kmáx < ckα − α0 k 3 Compacto. en el sentido de ([5, pág.77]). ( c > 0)..

(28) 2.1. La Mejor Aproximación Sea e > 0 y considere δ = tiene que. 19 e , c ∑ ke j k. entonces para todo α, α0 ∈ Rn , si kα − α0 k < δ, se. kα − α0 kmáx < ckα − α0 k <. ce n. ,. c ∑ ke j k j =1. luego. kα − α0 kmáx <. e. ,. n. ∑ ke j k. j =1. es decir e. |α j − α0j | <. ( j = 1, · · · , n);. n. ∑ ke j k. j =1. por lo que. |α1 − α10 |ke1 k + · · · + |αn − α0n |ken k <. n. e n. ∑ ke j k. ∑ ke j k. !. = e,. j =1. j =1. y dado que n. | f (α) − f (α0 )| =. n. x − ∑ α j e j − x − ∑ α0j e j. j =1 j =1 0 |α1 − α1 |ke1 k + · · · + |αn − α0n |ken k. ≤ <e por tanto f es continua.. ii) Convexidad: Dado que D( f ) = Rn es convexo, solo se debe demostrar que para u, v ∈ D = Rn f (λu + (1 − λ)v) ≤ λ f (u) + (1 − λ) f (v),.

(29) 20. La Mejor Aproximación. donde (0 ≤ λ ≤ 1). Entonces n. f (λu + (1 − λ)v) = x − ∑ (λu j + (1 − λ)v j )e j j =1 n. n. j =1. j =1. n. n. = x − ∑ λu j e j − ∑ (1 − λ)v j e j = x − ∑ λu j e j − ∑ (1 − λ)v j e j + λx − λx j =1. j =1. n. = λ x − ∑ uj ej. !. j =1 n. = λ x − ∑ uj ej j =1. n. + (1 − λ ) x − ∑ (1 − λ ) v j e j j =1. !. n. + (1 − λ ) x − ∑ v j e j. !. j =1. n. n. j =1. j =1. ≤ λ x − ∑ u j e j + (1 − λ ) x − ∑ v j e j = λ f ( u ) + (1 − λ ) f ( v ). Por tanto f es una función convexa.. 2.2.. Unicidad y Convexidad Estricta. En esta sección se considera el problema de la singularidad de las mejores aproximaciones. Para comprender este concepto, a continuación se presentan dos ejemplos. 2.5 E JEMPLO . [5, pág.330] Si X = R3 e Y es el ξ 1 ξ 2 -plano (ξ 3 = 0), entonces sabemos que para un punto dado x0 = (ξ 10 , ξ 20 , ξ 30 ) una mejor aproximación de Y es el punto y0 = (ξ 10 , ξ 20 , 0), la distacia de x0 a Y es δ = |ξ 30 | y que la mejor aproximación y0 es única. 2.6 E JEMPLO . [5, pág.330] Sea X = (R2 , k · k1 ) el espacio vectorial de pares ordenados x = (ξ 1 , ξ 2 ) de números reales con norma definida por (2.5). k x k1 = | ξ 1 | + | ξ 2 |.. Considere el punto x = (1, −1) y el subespacio Y como se muestra en la figura 2.6.

(30) 2.2. Unicidad y Convexidad Estricta. 21. esto es, Y = {y = (η, η ) | η ∈ R)}. Entonces para todo y ∈ Y se tiene. k x − yk1 = k(1, −1) − (η, η )k1 = k(1 − η, −1 − η )k1 = |1 − η | + | − 1 − η | = |1 − η | + |1 + η | ≥ |1 − η + 1 − η | = 2. La distancia de x a Y es δ( x, Y ) = 2, y todos los y = (η, η ) con |η | ≤ 1 son mejores aproximaciones a x de Y.. Figura 2.3: Ejemplo 2.6: La mejor aproximación a x de Y en la norma definida por (2.5). Esto ilustra que, incluso en un espacio tan simple, para x ∈ X pueden existir varias mejores aproximaciones, incluso infinitas. Se observa que en el presente caso, el conjunto de las mejores aproximaciones es convexo. 2.1 L EMA . [5, pág.331] En un espacio normado ( X, k · k) para x ∈ X el conjunto M de mejores aproximaciones a x de un subespacio Y de X es convexo. Demostración. Sea δ que denota la distancia de x a Y. Supongamos que M tiene mas de un punto, entonces para y, z ∈ M se tiene, por definición,. k x − yk = k x − zk = δ..

(31) 22. La Mejor Aproximación. Esto implica que w = αy + (1 − α)z ∈ M. (2.6). (0 ≤ α ≤ 1).. De hecho, k x − wk ≥ δ ya que w ∈ Y, y k x − wk ≤ δ dado que. k x − wk = k x − αy + (1 − α)zk = k x − αy + αx − αx + (1 − α)zk = kαx − αy + x − αx + (1 − α)zk = k α ( x − y ) + (1 − α ) x + (1 − α ) z k = kα( x − y) + (1 − α)( x − z)k ≤ αk x − yk + (1 − α)k x − zk = αδ + (1 − α)δ =δ Por tanto k x − wk = δ y w ∈ M, puesto que y, z ∈ M fueron arbitrarios, esto demuestra que M es convexo. En consecuencia, si hay varios puntos que son mejor aproximación a x de Y, entonces, cada uno de ellos se encuentra en Y, por supuesto, y tienen distancia δ a x, por definición. A partir del lema se deduce que Y y la bola cerrada e( x, δ) = {v|kv − x k ≤ δ} B deben tener un segmento w en común. Donde, w se encuentra en la esfera acotada S( x, δ), de dicha bola cerrada. Cada w ∈ W tiene distancia δ a x. Además, a cada w ∈ W le corresponde una única v=. w−x δ. kw− x k. de norma kvk = δ = 1. Es decir cada mejor aproximación w ∈ W dada por (2.6) le corresponde un único v en la esfera unidad { x | k x k = 1}. 2.3 P ROPOSICIÓN . Si en un espacio normado, la mejor aproximación a x ∈ X con respecto a un subespacio Y de X no es única, entonces x tiene un numero infinito de mejores aproximaciones de Y. Demostración. Sea M = {y ∈ Y |k x − yk = δ} el conjunto de las mejores aproximaciones a x de Y, entonces por el lema (2.1) M es convexo, luego para y1 , y2 ∈ M con y1 6= y2 el segmento W = {v = αy1 + (1 − α)y2 |0 ≤ α ≤ 1} ⊂ M. Como para cada α ∈ [0, 1] le corresponde un v ∈ W, se tiene que existen tantos puntos en W como en el intervalo [0, 1], por tanto como W ⊂ M se tiene que M contiene infinitos puntos, es decir x tiene infinitas mejores aproximaciones de Y..

(32) 2.2. Unicidad y Convexidad Estricta. 23. 2.2 D EFINICIÓN (Convexidad estricta). [5, pág.332] Una norma estrictamente convexa es una norma tal que para todo x, y de norma 1 , se satisface que. k x + yk < 2. ( x 6 = y ).. Un espacio normado con una norma de este tipo se llama un espacio normado estrictamente convexo. 2.4 P ROPOSICIÓN . Si una norma es estrictamente convexa, y k x k = kyk = 1 con x 6= y entonces para todo α ∈ (0, 1) se tiene que. kαx + (1 − α)yk < 1. Demostración. Sea X un espacio normado, si la norma es estrictamente convexa, entonces para x, y ∈ X tales que k x k = kyk = 1 con x 6= y se cumple que. k x + yk < 2, e = {v ∈ X | kvk ≤ 1}, luego luego x, y se encuentran en la esfera S de radio 1. sea B e Sin pérdida de generalidad considere el elemento v = αx + (1 − α)y con x, y ∈ B. 0 ≤ α ≤ 1, entonces. kvk = kαx + (1 − α)yk ≤ |α|k x k + |(1 − α)|kyk ≤ | α | + |1 − α | = 1, e es convexo, observe que la igualdad se da si α = 0 ó α = 1, por lo que implica que B tanto para α ∈ (0, 1) se tiene que. kαx + (1 − α)yk < 1.. 2.5 P ROPOSICIÓN . Si un espacio normado X es estrictamente convexo, entonces. k x + yk = k x k + kyk. ( x 6= 0, y 6= 0). implica que x = cy para algún real positivo c. Demostración. Si X es estrictamente convexo entonces para x, y ∈ X considere x1 =. 1 x, kxk. y1 =. 1 y, kyk. ( x 6= 0, y 6= 0).

(33) 24. La Mejor Aproximación. tal que k x k = kyk = 1. Luego por hipótesis se tiene que 1=. tomando α =. x k x + yk y = + k x k + kyk k x k + kyk k x k + kyk xkxk ykyk = + k x k(k x k + kyk) kyk(k x k + kyk) kxk kyk = x1 + y1 k x k + kyk k x k + kyk kyk + k x k − k x k kxk + y1 = x1 k x k + kyk k x k + kyk kxk kxk = x1 + y1 1 − k x k + kyk k x k + kyk. kxk k x k+kyk. con 0 < α < 1, se obtiene 1 = kαx1 + (1 − α)y1 k. por la proposición (2.4) se tiene que x1 = y1 , luego x y kxk = , así x = y kxk kyk kyk tomando c =. kxk kyk. se tiene que x = cy donde c es un valor real positivo.. Note que para k x k = kyk = 1 la desigualdad triangular es. k x − yk = k x k + kyk = 2 y la convexidad estricta excluye el signo de igualdad, excepto cando x = y. Se resume este resultado en el siguiente teorema. 2.2 T EOREMA (Unicidad de la mejor aproximación). [5, pág.333] En un espacio normado X estrictamente convexo existe a lo sumo una mejor aproximación a un x ∈ X de un subespacio Y de X. Demostración. Sean x ∈ X, y suponga que en M el conjunto de las mejores aproximaciones a x de Y existen y1 , y2 ∈ M tale que y1 6= y2 . Entonces por definición. k x − y1 k = k x − y2 k = δ luego x − y1 δ. =. x − y2 δ. = 1..

(34) 2.2. Unicidad y Convexidad Estricta. 25. Como X es estrictamente convexo, entonces para x − y1 x − y1 + δ δ. x − y1 δ. 6=. x − y2 δ. se tiene que. < 2,. es decir. k2x − (y1 + y2 )k < δ, luego 1 x − ( y1 + y2 ) < δ 2 lo que contradice el hecho de que 12 (y1 + y2 ) ∈ M (lema 2.1). Por tanto y1 = y2 . A continuación se presentan dos casos especiales donde se observa la convexidad estricta en un espacio. 2.2 L EMA (Convexidad estricta). [5, pág.333] Se tiene que: a) Los espacios de Hilbert son estrictamente convexos. b) El espacio C [ a, b] no es estrictamente convexo. Demostración. a) Sea X un espacio de Hilbert, x, y ∈ X con x 6= y y k x k = kyk = 1. Considere k x − yk = α, donde α > 0, usando la ley del paralelogramo (1.9) se tiene que. k x + yk2 = −k x − yk2 + 2(k x k2 − kyk2 ) = − α2 + 2(1 + 1) < 4, luego k x + yk < 2. b) Consideremos x1 , x2 ∈ C [ a, b] dados por x1 (t) = 1,. x2 ( t ) =. t−a b−a. donde t ∈ [ a, b], k x1 k = k x2 k = 1 y. k x1 + x2 k = máx 1 − t∈ J. t−a =2 b−a. donde J = [ a, b]. Esto muestra que C [ a, b] no es estrictamente convexo. El teorema 1.2 y el lema 1.1 ambos implican 2.3 T EOREMA . (Aproximación en espacios de Hilbert)[5, pág.334] Para cada x en un espacio de Hilbert H y cada subespacio cerrado Y de H existe una mejor aproximación única para x de Y, es decir, y = Px, donde P es la proyección de H en Y..

(35) 26. La Mejor Aproximación.

(36) CAPÍTULO. 3. Aproximación Uniforme. Considere el espacio C [ a, b] de Banach con norma dada por. k x (t)k = máx | x (t)| t∈[ a,b]. y sea Y ⊂ C [ a, b] un subespacio de dimensión n. Las funciones que se presentan a continuación son continuas a valor real sobre [ a, b]. Para cualquier función x ∈ C [ a, b], el teorema 2.1 garantiza la existencia de la mejor aproximación a x de Y. Sin embargo como C [ a, b] no es estrictamente convexo como se vio en el lema 2.2, el problema de unicidad para este caso requiere algunos conceptos adicionales como el que sigue. 3.1 D EFINICIÓN (Punto extremal). [5, pág.337] Un punto extremal de una función x en C [ a, b] es un t0 ∈ [ a, b] tal que | x (t0 )| = k x k. Para la singularidad de las mejores aproximaciones en C [ a, b] la siguiente sección muestra una condición que resulta ser necesaria y suficiente.. 3.1.. Condición de Haar. 3.2 D EFINICIÓN (Condición de Haar). [5, pág.337] Un subespacio de dimension finita Y del espacio real C [ a, b] se dice que satisface la condición de Haar si para cada y ∈ Y, y 6= 0, tiene a lo sumo n − 1 ceros en [ a, b], donde n = dim Y. Alternativamente, Y satisface la condición de Haar si y solo si cualquier y ∈ Y con n o mas ceros en [ a, b] es idénticamente cero. 27.

(37) 28. Aproximación Uniforme. 3.1 P ROPOSICIÓN . La condición de Haar es equivalente a la condición de que para cada base B = {y1 , · · · , yn } ⊂ Y y cada n−tupla de puntos distintos t1 , · · · , tn en el intervalo [ a, b],. (3.1). y1 ( t1 ) y1 ( t2 ) y2 ( t1 ) y2 ( t2 ) .. .. . . y n ( t1 ) y n ( t2 ). ··· ···. y1 ( t n ) y2 ( t n ) 6= 0. .. .. ··· · · · yn (tn ). Demostración. i) Necesidad: Si B = {y1 , · · · , yn } ⊂ Y es una base de Y, entonces cada y ∈ Y tiene representación única de la forma y = ∑ αk yk con α1 , · · · , αn ∈ R. El subespacio Y satisface la condición de Haar si y solo si cada y = ∑ αk yk ∈ Y con n o mas ceros t1 , t2 , · · · , tn , · · · en [ a, b] es idénticamente cero. Esto significa que para las n condiciones n. (3.2). y(t j ) =. ∑ αk yk (t j ) = 0. ( j = 1, · · · , n). k =1. necesariamente α1 = · · · = αn = 0, es decir el determinante (3.1) es diferente de cero. ii) Suficiencia: Si B = {y1 , · · · , yn } ⊂ Y es una base de Y y para cada n−tupla de puntos distintos t1 , · · · , tn en el intervalo [ a, b], se cumple que y1 ( t1 ) y1 ( t2 ) y2 ( t1 ) y2 ( t2 ) .. .. . . y n ( t1 ) y n ( t2 ). ··· ···. y1 ( t n ) y2 ( t n ) 6= 0. .. .. ··· · · · yn (tn ). entonces para y ∈ Y que se puede representar de forma única n. y=. ∑ αj yj. ( α1 , · · · , α n ∈ R). j =1. se cumple que t1 , · · · , tn son ceros de y, es decir n. y=. ∑ α j y j (t j ) = 0.. j =1. Luego α j = 0 para cada j = 1, · · · , n, es decir para cada y ∈ Y con n o mas ceros se tiene que y = 0. Por tanto Y satisface la condición de Haar. 3.1 E JEMPLO . Considere Y = span{1, t2 }, se muestra que satisface la condición de Haar considerado como subespacio de C [0, 1]. Sea B = {1, t2 } base de Y y sean.

(38) 3.1. Condición de Haar. 29. t1 , t2 ∈ [0, 1] con t1 6= t2 , de acuerdo con la proposición 3.1 el determinante de (3.1) bajo las condiciones dadas esta determinado por: 1 1 t21 t22. = t22 − t21 ,. el cual es idénticamente cero si (t2 − t1 )(t2 + t1 ) = 0, esto sucede solo si t2 = t1 ó t1 = −t2 , pero ninguno de los dos casos es posible ya que t1 6= t2 por hipótesis y ambos son positivos por estar en [0, 1], por lo que el determinante 1 1 t21 t22. 6= 0. para todo t1 , t2 ∈ [0, 1], con t1 6= t2 , luego Y satisface la condición de Haar como subespacio de C [0, 1]. Considere Y como subespacio de C [−1, 1], sea B = {1, t2 } y 1, −1 ∈ R el determinante de (3.1) está determinado por: 1 1 (1)2 (−1)2. = 1 − 1 = 0,. por lo que Y no satisface la condición de Haar como subespacio de C [0, 1]. Para la prueba de que la condición de Haar es suficiente para la singularidad de la mejor aproximación, se demuestra el siguiente lema. 3.1 L EMA (Puntos extremales). [5, pág.338] Suponga un subespacio Y del espacio real C [ a, b] que satisface la condición de Haar. Si para un determinado x ∈ C [ a, b] y un y ∈ Y la función x − y tiene menos de n + 1 puntos extremales, entonces y no es una mejor aproximación a x de Y donde, n = dim Y. Demostración. Por hipótesis la función v = x − y tiene m ≤ n puntos extremales t1 , · · · , tm . Si m < n, se eligen n − m puntos adicionales t j en J = [ a, b] hasta tener t1 , · · · , tn puntos distintos sin importar que no todos sean puntos extremales. Usando estos puntos y una base B = {y1 , · · · , yn } para Y, considere el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales n. (3.3). ∑ β k yk (t j ) = v(t j ). ( j = 1, · · · , n);. k =1. con n incógnitas β 1 , · · · , β n . Como Y satisface la condición de Haar, la condición (3.1) se satisface. Por lo tanto (3.3) tiene solución única. Esta solución se utiliza para definir y0 = β01 y1 + · · · + β0n yn.

(39) 30. Aproximación Uniforme. así como ye = y + ey0. ( e > 0).. Se demuestra a continuación que para un e lo suficientemente pequeño la función ve = x − ye satisface. kvek < kvk,. (3.4). de modo que y no puede ser una mejor aproximación a x de Y. Para obtener (3.4), se construye ve separando [ a, b] en dos subconjuntos, N y K = J − N, donde N contiene los puntos extremales t1 , · · · , tn de v. En los puntos extremos, |v(ti )| = kvk > 0 donde v = x − y 6= 0. Además y0 (ti ) = v(ti ) por (3.3) y por la definición de y0 . Por continuidad, para cada ti existe un intervalo abierto Ni tal que en N = N1 ∪ · · · ∪ Nm se cumple que (3.5). µ = ı́nf |v(t)| > 0, t∈ N. ı́nf |y0 (t)| ≥. i∈ N. Dado que y0 (ti ) = v(ti ) 6= 0, se tiene, por (3.5), que Además (3.5) también proporciona. y0 ( t ) v(t). 1 k v k. 2. > 0 para todo t ∈ N.. ı́nf |y0 (t)| y0 ( t ) |y (t)| 1 = 0 ≥ ≥ . v(t) |v(t)| kvk 2 Sea M0 = sup |y0 (t)|, entonces para todo e positivo e < µ/M0 y todo t ∈ N se tiene que. t∈ N. ey0 (t) e|y0 (t)| eM0 = ≤ < 1. v(t) |v(t)| µ Puesto que ve = x − ye = x − y − ey0 , usando estas desigualdades, se observa que para todo t ∈ N y 0 < e < µ/M0 ,. |ve(t)| = |v(t) − ey0 (t)| = v(t) 1 − eyv(0t()t) = |v(t)| 1 − eyv(0t()t) ≤ kvk 1 − 2e < k v k.. (3.6). A continuación se prueba para el complemento K = J − N cerrado, se defíne M1 = máx |y0 (t)|, t∈K. M2 = máx |v(t)|. t∈K.

(40) 3.1. Condición de Haar. 31. Puesto que N contiene todos los puntos extremos de v, se tiene que M2 < kvk y se puede escribir. kvk = M2 + η,. donde. η > 0.. Al elegir un número positivo e < η/M1 , se tiene que eM1 < η y así se tiene que para todo t ∈ K |ve(t)| ≤ |v(t)| + e|y0 (t)| ≤ M2 + eM1 < k v k. Por lo anterior se observa que |ve(t)| no excede una cota superior que es independiente de t ∈ K y estrictamente menor que kvk. Por otro lado, a partir de (3.6), si t ∈ N y e > 0 es lo suficientemente pequeño |ve(t)| ≤ kv(t)k. Si se escoge e < mı́n{µ/M0 , η/M1 }, se tiene que kvek < kvk para todo t ∈ [ a, b], completando así la demostración. Un resultado relevante sobre el concepto de aproximación uniforme es el teorema de unicidad de la mejor aproximación de Haar, el cual se presenta a continuación. 3.1 T EOREMA (Unicidad de Haar). [5, pág.340] Sea Y un subespacio de dimensión n del espacio real C [ a, b], para cada x ∈ C [ a, b] la mejor aproximación de Y es única si y solo si Y satisface la condición de Haar. Demostración. i) Suficiencia: Suponga que Y satisface la condición de Haar y que y1 , y2 ∈ Y son dos mejores aproximaciones para algún x ∈ C [ a, b] fijo. Entonces al establecer v1 = x − y1 , v2 = x − y2 , se tiene kv1 k = kv2 k = δ, donde δ es la distancia de x a Y, es decir, δ = ı́nf k x − yk, y ∈Y. tomado y = 21 (y1 + y2 ) el cual también es una mejor aproximación a x, ya que. k x − yk = k x − 12 (y1 + y2 )k ≤ 12 k x − y1 k + 21 k x − y2 k = 12 δ + 12 δ =δ además como y ∈ Y implica que k x − yk ≥ δ, por lo que k x − yk = δ siendo y mejor aproximación a x de Y. Ahora por el lema 3.1 la función (3.7). 1 1 v = x − y = x − ( y1 + y2 ) = ( v1 + v2 ) 2 2.

(41) 32. Aproximación Uniforme. tiene al menos n + 1 puntos extremales t1 , · · · , tn+1 , · · · . A tal punto que se tiene |v(ti )| = kvk = δ. A partir de esto y de (3.7) se obtiene 2v(t j ) = v1 (t j ) + v2 (t j ) = +2δ o − 2δ. Ahora bien, |v1 (t j )| ≤ kv1 k = δ (como se vio antes) y similarmente para v2 . Por tanto hay solo una manera para que la ecuación se mantenga, es decir, ambos términos deben tener el mismo signo y el máximo valor absoluto posible, esto es, v1 ( t j ) = v2 ( t j ) = + δ o − δ donde j = 1, · · · , n + 1. Pero esto implica que y1 − y2 = v2 − v1 tiene n + 1 ceros en [ a, b]. Luego y1 − y2 = 0 por la condición de Haar. Por tanto y1 = y2 , y la unicidad queda demostrada. i) Necesidad: Suponga que Y no satisface la condición de Haar y se demuestra que no se tiene la unicidad de la mejor aproximación para todo x ∈ C [ a, b]. Como se ha mostrado en relación con la definición 3.2, bajo la suposición actual existe una base para Y y valores t j en [ a, b] tal que el determinante en (3.1) es cero y el sistema homogéneo γ1 yk (t1 ) + γ2 yk (t2 ) + · · · + γn yk (tn ) = 0. (k = 1, · · · , n);. tiene una solución no trivial γ10 , · · · , γn0 . Usando esta solución y cualquier y = ∑ αk yk ∈ Y, se tiene " # (3.8). n. n. n. j =1. k =1. j =1. ∑ γ0j y(t j ) = ∑ αk ∑ γ0j yk (t j ). = 0.. Además, el sistema transpuesto β 1 y1 ( t j ) + β 2 y2 ( t j ) + · · · + β n y n ( t j ) = 0. ( j = 1, · · · , n);. también tiene una solución no trivial β01 , · · · β0n . Usando esta solución, se define y0 = ∑ β0k yk . Así, y0 6= 0 y y0 es cero en t1 , · · · , tn . Sea λ, lo suficientemente pequeño, tal que kλy0 k ≤ 1. Ahora considere z ∈ C [ a, b] tal que kzk = 1 y ( −1 si γ0j < 0 0 z(t j ) = sgn (γ j ) = 1 si γ0j ≥ 0. Se define ahora x ∈ C [ a, b] mediante x (t) = z(t)(1 − |λy0 (t)|). Por lo tanto, x (t j ) = z(t j ) = sgn (γ0j ) puesto que y0 (t j ) = 0. Además k x k = 1. Se demuestra que la función x tiene infinitas mejores aproximaciones por elementos de Y..

(42) 3.1. Condición de Haar. 33. Usando |z(t)| ≤ kzk = 1 y |λy0 (t)| ≤ kλy0 k ≤ 1, para cada e ∈ [−1, 1], se obtiene. | x (t) − eλy0 (t)| ≤ | x (t)| + |eλy0 (t)| = |z(t)|(1 − |λy0 (t)|) + |eλy0 (t)| ≤ 1 − |λy0 (t)| + |eλy0 (t)| = 1 − (1 − |e|)|λy0 (t)| ≤ 1. Por tanto para −1 ≤ e ≤ 1, cada eλy0 , es una mejor aproximación a x, siempre que. k x − yk ≥ 1. (3.9). para todo y ∈ Y.. Se demuestra (3.9) para un y = ∑ αk yk ∈ Y arbitrario. La demostración es directa. Suponga que k x − yek < 1 para un ye ∈ Y. Entonces la condición x (t j ) = sgn (γ0j ) = ±1,. | x (t j ) − ye(t j )| ≤ k x − yek < 1 juntos implican que para todo γ0j 6= 0, sgn (ye(t j )) = sgn ( x (t j )) = sgn (γ0j ). Pero esto contradice (3.8) con y = ye porque γ j 6= 0 para algún j, de manera que n. ∑. j =1. γ0j ye(t j ). n. =. ∑. γ0j. n. sgn γ j =. j =1. ∑ |γ0j | 6= 0. j =1. Por lo tanto (3.9) se debe mantener. Note que si Y es el conjunto de todos los polinomios reales de grado inferior o igual a n, junto con el polinomio y = 0 (para el cual no hay grado definido), entonces dim Y = n + 1 y Y satisface la condición de Haar. El siguiente teorema representa otra forma de aproximación, que busca una función que se aproxime a un conjunto de datos mejor conocida como polinomio de interpolación. 3.2 T EOREMA (Existencia y unicidad del polinomio de interpolación). Sean t1 · · · , tn ∈ R diferentes por pares y sean α1 , · · · , αn ∈ R, entonces existe un único polinomio P ∈ Pn (R) tal que P(t j ) = αi para todo i ∈ 0, · · · , n. Demostración. Sea P( x ) ∈ Pn (R) de la forma P( x ) = C0 + C1 x + C2 x2 + · · · + Cn x n ..

(43) 34. Aproximación Uniforme. Para que se cumplan las P(ti ) = αi los coeficientes del polinomio deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones lineales. +Cn t0n = α0 .. .. C0 +C1 t0 +C2 t20 + · · · .. .. .. .. . . . . 2 C0 +C1 tn +C2 tn + · · ·. +Cn tnn = αn. El determinante de la matriz asociada al sistema es el determinante de Vandermonde (A.2)1 , como los t0 , · · · , tn son diferentes por pares se tiene a partir de (A.3) que. ∏. (3.10). (tk − t j ) 6= 0. 1≤ j < k ≤ n. Por tanto el determinante es diferente de cero y el sistema tiene única solución. Por tanto existe un único P( x ) ∈ Pn (R) tal que P(t j ) = α j para todo j ∈ 0, · · · , n. 3.3 T EOREMA (De La Vallée-Poussin). Sea Y ⊂ C [ a, b] que satisface la condición de Haar y sea x ∈ C [ a, b]. Si para un y ∈ Y y una sucesión de puntos a ≤ t0 < t1 < · · · < tn ≤ b, sucede que x (t j ) − y(t j ) = (−1) j α j , con j = 0, · · · , n y n = dim Y, entonces δ( x, Y ) ≥ mı́n |α j |. j. Demostración. Suponga que para algún y0 ∈ Y, se cumple. k x (t) − y0 (t)k < mı́n |α j | j. entonces la función y0 (t) − y(t) = y0 (t) − x (t) + x (t) − y(t) = x (t) − y(t) − ( x (t) − y0 (t)), luego y0 (t) − y(t) tiene el mismo signo en t j que x (t j ) − y(t j ), luego cambia de signo al menos n veces y por tanto tiene al menos n ceros en [ a, b], pero como Y satisface la condición de Haar se tiene que y0 (t) − y(t) = 0, lo que indica que y0 (t) = y(t) lo cual es una contradicción debido a que y0 (t) 6= y(t). 3.2 P ROPOSICIÓN . Sea x (t) ∈ C [ a, b], tal que la segunda derivada no cambia de signo en [ a, b]. Entonces la mejor aproximación a x (t) en Y = span{1, t} esta dada por y(t) = α1 + α2 t donde x ( a) + x (c) a+c − α2 , 2 2 x (b) − x ( a) α2 = b−a. α1 =. y c es la solución de x 0 (t) − y0 (t) = 0 1 Revisar. Apéndice A sobre el determinante de Vandermonde.

(44) 3.1. Condición de Haar. 35. Demostración. Sea l1 (t) la recta que pasa por los puntos ( a, x ( a)) y (b, x (b)), luego l1 (t) = α1 + α2 t, donde x (b) − x ( a) α2 = , b−a además x ( a) = α1 + α2 a, luego x ( a) − αa = α1 . Considere l2 (t) la recta tangente a x (t) en el punto c, tal que la pendiente de l2 (t) es α2 , además x 0 ( c ) = α2 y l1 (c) = x ( a) − α2 a + α2 c. Por lo que el promedio entre x (c) y l1 (c) que se denota por γ y esta dado por γ=. x ( c ) + l1 ( c ) x ( c ) + x ( a ) − α2 a + α2 c = . 2 2. El polinomio que es mejor aproximación a x (t) en Y es la recta con pendiente α2 que pasa por el punto (c, γ) y(t) −. x ( c ) + x ( a ) − α2 a + α2 c = α2 ( t − c ), 2. es decir x ( c ) + x ( a ) − α2 a 2 x ( c ) + x ( a ) α2 a α2 c − + = α2 t − α2 c + 2 2 2 ( a + c) x (c) + x ( a) − α2 . = α2 t + 2 2. y ( t ) = α2 ( t − c ) +. Por tanto y(t) = α1 + α2 t con x ( a) + x (c) a+c − α2 , 2 2 x (b) − x ( a) α2 = b−a. α1 =. 3.2 E JEMPLO . Sea x (t) = et ∈ C [0, 1], encontrar la mejor aproximación de Y = span{1, t} a x (t). Sea l1 (t) la recta que pasa por los puntos (0, 1) y (1, e), es decir l1 (t) = (e − 1)t + 1. Sea l2 (t) que denota la recta tangente a x (t) = et en el punto c tal que la pendiente es m = (e − 1), ademas x 0 (t) = et , de donde se tiene que ec = (e − 1), es decir.

(45) 36. Aproximación Uniforme. c = ln(e − 1). Si x (c) = eln(e−1) = (e − 1) y l1 (c) = (e − 1) ln(e − 1) + 1, entonces el promedio entre x (c) y l1 (c) que se denota γ y esta dado por γ=. x ( c ) − l1 ( c ) (e − 1) + (e − 1) ln(e − 1) + 1 e + (e − 1) ln(e − 1) = = . 2 2 2. El polinomio que es mejor aproximación a x (t) es la recta con pendiente (e − 1) que pasa por el punto (c, γ) y(t) −. e + (e − 1) ln(e − 1) = (e − 1)(t − ln(e − 1)), 2. es decir 2(e − 1)(t − ln(e − 1)) e + (e − 1) ln(e − 1) + 2 2 2(e − 1)t) e − (e − 1) ln(e − 1) = − 2 2 e − (e − 1) ln(e − 1) . = ( e − 1) t + 2. y(t) =. e−(e−1) ln(e−1). Por tanto y(t) = (e − 1)t + es la mejor aproximación a x (t) = et de 2 Y = span{1, t} como subespacio de C [0, 1]. 3.3 E JEMPLO . Sea x (t) = sin πt ∈ C [0, 1], encontrar la mejor aproximación de 2 Y = span{1, t} a x (t). Sea l1 (t) la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (1, 1), es decir l1 (t) = t. Sea l2 (t) que denota la recta tangente a x (t) = sin πt 2 en el punto c tal que la pen πt 2 2 π 0 diente es m = 1, ademas x (t) = 2 cos 2 , de donde se tiene que c = arc cos π π , π0,56 es decir c = 0, 56. Ahora si x (0, 56) = sin = 0, 77 y l1 (0, 56) = 0, 56, entonces 2 el promedio entre x (c) y l1 (c) que se denota γ esta dado por γ=. x ( c ) − l1 ( c ) 0, 77 + 0, 56 = = 0, 665. 2 2. El polinomio que es mejor aproximación a x (t) es la recta con pendiente 1 que pasa por el punto (c, γ) y(t) − 0, 665 = (t − 0, 56) es decir y(t) = t + 0, 105 Por tanto y(t) = t + 0, 105 es la mejor aproximación a x (t) = sin span{1, t} como subespacio de C [0, 1].. πt 2. . de Y =.

(46) 3.1. Condición de Haar. 37. 3.4 T EOREMA . [5, pág.342]La mejor aproximación a un x en el espacio real C [ a, b] de Yn es único; donde Yn es el subespacio formado por y = 0 y todos los polinomios de grado no mayor a n (fijo). en este teorema, vale la pena comparar la aproximación para varios n y ver lo que sucede cuando n → ∞. Sea Sn = k x − pn k, donde pn ∈ Yn es la mejor aproximación a un x fijo. Dado que Y0 ⊂ Y1 ⊂ · · · , se tiene la monotonicidad δ0 ≥ δ1 ≥ δ0 ≥ · · · y el teorema de aproximación de Weierstrass ([5, 4.11-5,pág.280]) implica que (3.11). lı́m δn = 0.. n→∞.

(47) 38. Aproximación Uniforme.

(48) CAPÍTULO. 4. Polinomios de Chebyshev. En el capítulo anterior se mostraron aspectos teóricos sobre la aproximación uniforme. En este capítulo se determinan de forma explícita las fórmulas que se pueden usar para el cálculo de la mejor aproximación uniforme. Para esto una definición muy útil es la que sigue: 4.1 D EFINICIÓN (Conjunto alternado). [5, pág.345] Sea x ∈ C [ a, b] y y ∈ Y, donde Y es un subespacio del espacio real C [ a, b]. Un conjunto de puntos t0 , · · · , tk en [ a, b], donde t0 < t1 < · · · < tk , se dice conjunto alternado para x − y si x (t j ) − y(t j ) tiene alternadamente valores +k x − yk y −k x − yk en consecutivos puntos t j . Es posible ver que estos k + 1 puntos en la definición son puntos extremales de x − y y son alternadamente positivos y negativos. La importancia de los conjuntos alternados se muestra en cierta medida por el siguiente lema, el cual establece que la existencia de un conjunto alternado lo suficientemente grande para x − y implica que y es la mejor aproximación a x. 4.1 L EMA (Mejor aproximación). [5, pág.345] Sea Y un subespacio de dimensión n del espacio real C [ a, b] que satisface la condición de Haar. Dado x ∈ C [ a, b], sea y ∈ Y tal que para x − y existe un conjunto alternado de n + 1 puntos. Entonces y es la mejor aproximación uniforme a x de Y. Demostración. Por los teoremas 2.1 y 3.1 existe una mejor aproximación a x de Y y es única. Si no es este y, entonces es algún otro y0 ∈ Y y entonces. k x − y k > k x − y0 k. 39.

(49) 40. Polinomios de Chebyshev. Esta desigualdad implica que en esos n + 1 puntos extremales la función y0 − y = ( x − y ) − ( x − y0 ) tiene el mismo signo que x − y, debido a que x − y es igual a ±k x − yk en un punto mientras que el otro término de la derecha, x − y0 , nunca puede exceder k x − y0 k en valor absoluto, que es estrictamente menor que k x − yk. Esto demuestra que ky0 − yk es alternadamente positiva y negativa en los n + 1 puntos, por lo que debe tener por lo menos n ceros en [ a, b]. Pero esto es imposible a menos que y − y0 = 0, ya que y0 − y ∈ Y satisface la condición de Haar. Por lo tanto y debe ser la mejor aproximación a x de Y.. 4.1.. Polinomios de Chebyshev. Un problema clásico importante y aplicación del lema 4.1 es la aproximación a x ∈ C [−1, 1] definido por x (t) = tn. (4.1). n ∈ N fijo. fuera del subespacio Y = span{y0 , · · · , yn−1 } de C [ a, b], donde (4.2). y j (t) = t j. ( j = 0, · · · , n − 1).. Ahora se quiere aproximar a x sobre [−1, 1] por un polinomio real y de grado menor que n. Tal polinomio es de la forma y ( t ) = α n −1 t n −1 + α n −2 t n −2 + · · · + α 0 . Por lo tanto, para z = x − y se tiene z ( t ) = t n − ( α n −1 t n −1 + α n −2 t n −2 + · · · + α 0 ) y se quiere encontrar un y tal que kzk sea lo mas pequeña posible ya que es la distancia de x a y. Se observa que z es un polinomio mónico de grado n. Por lo tanto el problema original es equivalente al siguiente. Encontrar el polinomio mónico z, cuya distancia a la función cero sea lo mas pequeña posible bajo la norma de aproximación uniforme sobre [−1, 1]. Si se establece (4.3). t = cos θ. donde θ varia entre 0 y π, para que t varíe en el intervalo [−1, 1]. Sobre el intervalo [0, π ] la función definida por cos nθ tiene n + 1 puntos extremales, que son ±1 alternadamente como muestra la figura 4.1..

(50) 4.1. Polinomios de Chebyshev. 41. (a) n = 1. (b) n = 2. (c) n = 3. Figura 4.1: Los n + 1 puntos extremales de cos nθ sobre el intervalo [0, π ].. Debido al lema 4.1 se espera que cos nθ ayude a resolver este problema, ya que es posible escribir cos nθ como un polinomio en t = cos θ. De hecho se prueba por inducción que. (4.4). cos nθ = 2n−1 cosn θ +. n −1. ∑ βnj cosj θ. (n = 1, 2, · · · ). j =0. donde los β nj son constantes. Para n = 1 con β 10 = 0. Se satisface. Ahora considere cierto para n, y se prueba para n + 1. La formula para la adición es cos(n + 1)θ = cos nθ cos θ − sin nθ sin θ, cos(n − 1)θ = cos nθ cos θ + sin nθ sin θ. sumando estas dos expresiones se tiene (4.5). cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ = 2 cos nθ cos θ.

(51) 42. Polinomios de Chebyshev. en consecuencia, por la hipótesis de inducción cos(n + 1)θ = 2 cos θ cos nθ − cos(n − 1)θ. = 2 cos θ 2n−1 cosn θ +. n −1. ∑ βnj cosj θ. !. j =0 n −2. ∑ βn−1,j cosj θ. − 2n−2 cosn−1 θ −. j =0. = 2n cosn+1 θ + 2. n −1. ∑ βnj cosj+1 θ. j =0. − 2n−2 cosn−1 θ −. n −2. ∑ βn−1,j cosj θ. j =0. = 2n cosn+1 θ + 2β n,n−1 cosn θ + (2β n,n−2 − 2n−2 ) cosn−1 θ + (2β n,n−3 − β n−1,n−2 ) cosn−2 θ + (2β n,n−4 − β n−1,n−3 ) cosn−3 θ .. . + (2β n0 − β n−1,1 ) cos θ − β n−1,0 n. = 2 cos. n +1. n. θ + ∑ β n+1,j cos j θ. j =0. Donde los coeficientes β n+1,j con j = 1, · · · , n, han sido escogidos convenientemente. Las funciones definidas por (4.6). Tn (t) = cos nθ,. θ = arc cos(t). (n = 0, 1, · · · ). son llamadas Plinomios de Chebyshev de primera clase de orden n. 4.1 T EOREMA (Polinomios de Chebishev). [5, pág.348] El polinomio definido por (4.7). en (t) = Tn (t) = cos(n arc cos t) T 2n −1 2n −1. es la mejor aproximación uniforme a la función cero en [−1, 1] con coeficiente 1 en el termino principal tn . En el ejemplo anterior, permite formular este resultado así, para x ∈ [−1, 1] definido por x (t) = tn , fuera de Y = span{y0 , y1 , · · · , yn−1 } con y j = t j , la mejor aproximación y ∈ Y esta dada por (4.8). y(t) = x (t) −. Tn (t) 2n −1. ( n ≤ 1)..

(52) 4.1. Polinomios de Chebyshev. 43. Note que en (4.8) el grado de y es a lo sumo n − 1. El teorema 4.1 también ayuda en problemas mas generales. Si dado un polinomio real xe de grado n con coeficiente β n en el termino principal, se busca la mejor aproximación ye a xe sobre [−1, 1], donde ye es un polinomio de grado menor que n, entonces se puede escribir xe = β n x y ver que x tiene el término principal tn con coeficiente 1. Del teorema 4.1 se concluye que ye debe satisfacer 1 fn . ( xe − ye) = T βn La solución general es ye(t) = xe(t) −. (4.9). βn Tn (t) 2n −1. ( n ≤ 1).. Generalizando así (4.8). La expresión explícita de los polinomios de Chebyshev se puede obtener de manera sencilla, tomando T0 (t) = cos 0 = 1 y T1 (t) = cos θ = t, además las fórmulas (4.5) y (4.6) se pueden reescribir de la siguiente forma: Tn+1 (t) + Tn−1 (t) = 2tTn (t), luego la fórmula de recurrencia es Tn+1 (t) = 2tTn (t) − Tn−1 (t) por lo que T0 (t) = 1,T1 (t) = t, T2 (t) = 2t2 − 1,T3 (t)4t3 − 3t, T4 (t) = 8t4 − 8t2 + 1,. T5 (t) = 16t5 − 20t3 + 5t,. La formula general es Tn (t) =. (4.10). donde [n/2] =. n 2. n 2. [n/2]. ∑ (−1) j. j =0. para n par, y [n/2] =. ( n − j − 1) ! (2t)n−2j j!(n − 2j)! ( n −1) 2. para n impar.. (n = 1, 2, · · · ).

(53) 44. Polinomios de Chebyshev. Figura 4.2: Polinomios de Chebyshev T1 , T2 , T3 , T4 4.1 E JEMPLO . Sea x (t) = t3 + t2 ∈ C [−1, 1], el polinomio de Chebyshev de grado 2 que es la mejor aproximación a x, esta determinado por la ecuación (4.8) y ( t ) = t3 + t2 −. 1 (4t3 − 3t) 22. 3 = t2 − t 4. Figura 4.3: Ejemplo 4.1 :Aproximación a x (t) = t3 + t2 por polinomios de Chebyshev de grado 2.

(54) 4.2. Ceros de los Polinomios de Chebyshev. 4.2.. 45. Ceros de los Polinomios de Chebyshev. Los ceros de los polinomios de Chebyshev en [−1, 1] se pueden determinar a partir de su definición (4.6), donde cos nθ = 0 si y solo si nθ es múltiplo impar de π2 , entonces Tn (t) = 0 si n arc cos t = (2k − 1). π 2. (k = 1, · · · , n). entonces para los n j se obtienen n ceros distintos de Tn en [−1, 1] de la forma. (2k − 1)π tk = cos 2n . . como Tn (t) es de grado n, a lo sumo tiene n ceros, luego los tk son los únicos ceros de Tn (t). 4.1 P ROPOSICIÓN (Entrelazado de ceros). Entre dos ceros consecutivos de Tn existe precisamente un cero de Tn−1 . (2k−1)π es un cero de Tn solo es necesario mostrar Demostración. Como tk = cos 2n que 2k − 1 2k − 1 2k + 1 < < 2n 2( n − 1) 2n Entonces para 1 ≤ k ≤ n − 1 se cumple. −n < −n + 2k − 1 < n − 1 haciendo operaciones elementales. −2k − n + 1 < −n < −2k + n − 1 2kn − 2k − n + 1 < 2kn − n < 2kn − 2k + n − 1. (2k − 1)(n − 1) < (2k − 1)n < (2k + 1)(n − 1). Luego 2k − 1 2k − 1 2k + 1 < < , 2n 2( n − 1) 2n por tanto entre dos ceros consecutivos de Tn existe precisamente un cero de Tn−1 . 4.2 P ROPOSICIÓN . Los polinomios Tn y Tn−1 no tienen ceros en común..

(55) 46. Polinomios de Chebyshev. Demostración. Suponga que existe t0 tal que Tn (t0 ) = Tn−1 (t0 ) = 0 esto implica que Tn (t0 ) = 2t0 Tn−1 (t0 ) − Tn−2 (t0 ) 0 = 2t0 (0) − Tn−2 (t0 ) 0 = Tn−2 (t0 ), repitiendo esta operación se tiene que para todo Tk , Tk (t0 ) = 0 con k < n, incluyendo k = 0, pero esto no es posible ya que T0 (t0 ) = 1 6= 0 por tanto los polinomios Tn y Tn−1 no tienen ceros en común.. 4.3.. Propiedades del los Polinomios de Chebyshev. En esta sección se presentan algunas propiedades de los polinomios de Chebyshev, se establece una relación entre los polinomios Tn definidos en [−1, 1] y las funciones del espacio C [ a, b]. Se expresa Tn como la solución a la ecuación diferencial (1 − t2 ) Tn00 − tTn0 + n2 Tn y por ultimo se demuestra la ortogonalidad de un conjunto de funciones asociadas a los polinomios de Chebyshev. 4.2 T EOREMA . Sea x ∈ C [ a, b] es un polinomio mónico de grado n ≥ 1, entonces en ≤ k x k T T (t). en (t) = nn−1 , es el polinomio mónico de Chebyshev. La igualdad se satisface donde T 2 en si y solo si x = T en tiene puntos extremales en Demostración. Por propiedades de Tn se tiene que T y − 2n1−1 , alternadamente en los n + 1 puntos distintos t j = cos kπ n . Por tanto en = T. 1 2n −1. Ahora supónga que (4.11). kxk <. 1 2n −1. .. 1 2n −1.

(56) 4.3. Propiedades del los Polinomios de Chebyshev. 47. y considere el polinomio en − x (t), Q(t) = T en y x son polinomios mónicos de grado n, entonces Q es un polinomio dado que T de grado a lo sumo n − 1. Además, en los t j , se tiene que. (−1) j − x (t j ) 2n −1 1 j j = (−1) − (−1) Q(t j ) . 2n −1. Q(t j ) =. Por hipótesis, el factor entre corchetes es positivo y por consiguiente Q(t) tiene signos alternados en los n + 1 puntos t0 , · · · , tn . Puesto que Q es continuo, por el Teorema del valor intermedio para funciones continuas, debe anularse por lo menos una vez entre dos cambios de signo consecutivos. Luego, Q tiene por lo menos n ceros, pero como tiene grado a lo sumo n − 1, debe ser idénticamente cero, esto implica en y por tanto que Q = T en = 1 kxk = T 2n −1 lo cual contradice la suposición (4.11). 4.3 P ROPOSICIÓN . Sea x ∈ C [ a, b] un polinomio de grado n ≥ 1 con coeficiente β n en el término principal, entonces. kxk ≥ | βn |. (b − a)n . 22n−1. La igualdad es válida si para α ∈ [ a, b]. (b − a)n x (α) = | β| 2n−1 Tn 2 Demostración. Sea xe =. x βn. . 2α − a − b b−a. . polinomio mónico, donde k xek =. (4.12). | β n |k xek = k x k.. Ahora si t ∈ [−1, 1], entonces α =. b− a a+b 2 t+ 2. . kxk |βn |. es decir. ∈ [ a, b], por lo que b−a a+b n n α = t+ 2 2 n b−a = tn + · · · 2.

(57) 48. Polinomios de Chebyshev. es un polinomio en t ∈ [−1, 1] de grado n y coeficiente principal. . b− a 2. n. . Así, la. mejor aproximación de x (t) = 0 en el espacio de polinomios de grado n y coeficiente principal. b− a 2. n. es,. . b−a 2. n. Tn (t) 2n −1. es decir el término principal en términos de α está dado por b−a n 1 2α − a − b . Tn 2 b−a 2n −1 Ahora por el teorema anterior b−a n 1 2α − a − b k xek ≥ Tn 2 b−a 2n −1 n 1 b−a . ≥ n 2 2 −1 . Por lo anterior y (4.12) se tiene. (b − a)n k x k ≥ | β n | 2n−1 . 2 La igualdad es valida si para α ∈ [ a, b]. (b − a)n x (α) = | β| 2n−1 Tn 2. . 2α − a − b b−a. .. 4.4 P ROPOSICIÓN . El polinomio Tn es una solución a la ecuación diferencial (4.13). (1 − t2 ) Tn00 − tTn0 + n2 Tn = 0.. Demostración. Para mostrar que Tn es solución de la ecuación diferencial (4.13) es necesario calcular Tn0 y Tn00 , entonces para Tn (t) = cos(n arc cos t) llamando θ = arc cos t, se tiene t = cos θ derivando a ambos lados con respecto a t 1 = − sin(θ ) · θ 0.

(58) 4.3. Propiedades del los Polinomios de Chebyshev entonces θ0 = −. 49. 1 , sin(θ ). por tanto si se deriva Tn (t) se tiene Tn0 (t) = n. (4.14). sin(nθ ) , sin(θ ). y la segunda derivada de Tn (t) (4.15). Tn00 (t) =. −n2 cos(nθ ) n cos(θ ) sin(nθ ) + . sin2 (θ ) sin3 (θ ). Reemplazando (4.14) y (4.15) en la ecuación diferencial (4.12), con t = cos(θ ) se obtiene −n2 cos(nθ ) n cos(θ ) sin(nθ ) 2 00 0 2 2 (1 − t ) Tn − tTn + n Tn = sin (θ ) sin2 (θ ) sin3 (θ ) n sin(nθ ) − cos(θ ) + n2 cos(nθ ) sin(θ ) n cos(θ ) sin(nθ ) = −n2 cos(nθ ) + sin(θ ) n cos(θ ) sin(nθ ) − + n2 cos(nθ ) sin(θ ) = 0. Por tanto Tn es una solución a la ecuación diferencial (4.13). 4.3 T EOREMA . Los polinomios Tn (t) son ortogonales con función de peso p( x ) = √ 1 . En el intervalo [−1, 1] se verifica: 2 1− x. (4.16) Z1. (1 − t2 )−1/2 Tn (t) Tm (t)dt = 0. −1. Demostración. Por definición Tn ( x ) = cos(nθ ),. Tm (t) = cos(mθ ),. ahora derivando t = cos(θ ) se tiene. − sin(θ )dθ = dt. (m 6= n).

(59) 50. Polinomios de Chebyshev. entonces dθ = p. dt 1 − cos2 (θ ). =√. dt 1 − t2. .. Se tiene entonces que Z1. 2 −1/2. (1 − t ). Tn (t) Tm (t)dt =. −1. Zπ. cos(nθ ) cos(mθ )dθ. 0. pero como 1 cos((n + m)θ ) + cos((n − m)θ ) 2 esto permite expresar la integral con m 6= n como sigue cos(nθ ) cos(mθ ) =. Z1 −1. 2 −1/2. (1 − t ). 1 Tn (t) Tm (t)dt = 2. Zπ. 1 = 2 =0. . que es lo que se quería demostrar.. cos((n + m)θ ) + cos((n − m)θ )dθ. 0. sin((n + m)θ ) sin((n − m)θ ) + n+m n−m. . π 0.

(60) CAPÍTULO. 5. Aproximación en Espacios de Hilbert. Para cualquier x en un espacio de Hilbert H y un subespacio cerrado Y ⊂ H existe una mejor aproximación a x fuera de Y que es única (Teorema 2.3). En efecto, el teorema 1.3 dice que H =Y⊕Z. (5.1). (Z = Y⊥ ). De modo que para cada x ∈ H x = y+z donde z = x − y ⊥ y, por lo que h x − y, yi = 0. Si Y es de dimensión finita, es decir, dim Y = n, se puede representar y en términos de una base {y1 , ..., yn } para Y de manera única como sigue (5.2). y = α1 y1 + ... + αn yn. Además como x − y ⊥ Y, entonces para las n condiciones. h yi , x − y i = h yi , x − ∑ α k y k i = 0 Es decir, (5.3). h y i , x i − α1 h y j , y i i − · · · − α n h y j , y n i = 0. donde j = 1, · · · , n. Este es un sistema no homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas α1 , · · · , αn . El determinante de los coeficientes es 51.