Modelo para el cálculo de la histéresis por incertidumbre en el termistor a partir de la teoría de los sistemas memristivos

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MODELO PARA EL CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE POR HIST´ ERESIS EN EL TERMISTOR´ A PARTIR DE LA TEOR´IA DE LOSSISTEMASMEMRISTIVOS

Elvis Orlando Rodr´ıguez Contreras Freddy Alexander Torres Payoma

UNIVERSIDAD DISTRITALFRANCISCOJOSE DE´ CALDAS FACULTAD DEINGENIER´IA

INGENIER´IAELECTRICA´ BOGOTA´ D.C.

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MODELO PARA EL CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE POR HIST´ ERESIS EN EL TERMISTOR´ A PARTIR DE LA TEOR´IA DE LOSSISTEMASMEMRISTIVOS

Por:

Elvis Orlando Rodr´ıguez Contreras Freddy Alexander Torres Payoma

Trabajo de grado para obtar por el t´ıtulo profesional de Ingeniero El´ectrico

Asesor

Diego Juli´an Rodr´ıguez Patarroyo

PhD. Ingenier´ıa - Ciencia y Tecnolog´ıa de Materiales

UNIVERSIDAD DISTRITALFRANCISCOJOSE DE´ CALDAS FACULTAD DEINGENIER´IA

INGENIER´IAELECTRICA´ BOGOTA´ D.C.

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Nota de aceptaci´on

Jurado 1

Jurado 2

Bogot´a D.C de

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La Universidad Francisco Jos´e de Caldas no se har´a responsable de las ideas expuestas por los graduandos. Art. 117 del reglamento estudiantil

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Declaraci´on

Los autores del trabajo afirmamos que hemos realizado el presente trabajo de grado de manera aut´onoma, donde el contenido y material que se contiene corresponde a las citas re-ferenciadas y a la producci´on autonoma de nosotros. Los resultados y simulaciones, son total responsabilidad de los autores.

Bogot´a, D.C., Noviembre de 2015.

En constancia firman,

FREDDY A. TORRES PAYOMA ELVIS O. RODR´IGUEZ CONTRERAS

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Agradecimientos

En primer lugar, expreso mi agradecimiento a mis padres Luz Estella y Alejandro, a mis hermanos José Luis y Yulie por el apoyo durante todo el proceso de formación académica. Asi-mismo, agradezco a mi compañero de tesis Elvis Orlando Rodr´ıguez Contreras, el compromiso y la actitud positiva frente al desarrollo del documento y en general de toda el proceso de for-mación ingenieril; a la Lic. Adriana Escobar por el apoyo en la redacción y desarrollo de todo el cuerpo del documento y a todos los que nos colaboraron muchas gracias.

Freddy Alexander Torres Payoma

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Agradecimientos

Primeramente agradezco a Dios por brindarme todas las condiciones en general para el desarrollo de todo mi proceso de formación como profesional, incluyendo la elaboración del presente documento. Deseo agradecer a mis padres Elvis Humberto y Blanca Elsa por todo su apoyo en este proceso, por toda su paciencia y especialmente por todo su afecto. Igualmente, agradezco a mi compañero Freddy Alexander por todo el compromiso en la elaboración del presente documento, as´ı como en el proceso de formación profesional. Finalmente quisiera agradecer a todas las personas que de una forma u otra contribuyeron al desarrollo de toda mi formación académica de pregrado, y en general, a aquellas que brindaron aportes en este pro-ceso tanto afectivos como profesionales. Mi más sinceros agradecimientos.

Elvis Orlando Rodr´ıguez Contreras

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Resumen

En la instrumentación eléctrica es muy común utilizar termistores para medir cambios de temperatura, los cuales son generalmente analizados mediante modelos matemáticos lineales, sin embargo, se presentan generalmente variaciones no lineales que producen incertidumbre a causa de la histéresis en los datos medidos. Por otra parte, en la teor´ıa general de los sistemas memristivos planteada y estudiada por Chua (1971), se estudian nuevos elementos teóricos no lineales que se incorporan a los elementos básicos de la teor´ıa de circuitos eléctricos que son el memristor, el memcapacitor y meminductor, los cuales presentan ciclos de histéresis al modificar alguna de las variables del sistema. A partir de lo anterior, la presente investigación muestra el desarrollo de un nuevo modelo matemático no lineal para el análisis del ciclo de histéresis en los termistores que dependen directamente de las variaciones de las mediciones de la entrada y la salida del sistema relacionando las variables f´ısicas de corriente y voltaje con el modelo de los sistemas memristivos, determinando as´ı la función de transferencia del sistema a través de una solución planteada mediante una expansión en series de Taylor para cada uno de los términos, que permita obtener el ciclo de histéresis en los datos medidos por el termistor y, finalmente, demostrar el modelo para el cálculo de la incertidumbre por histéresis en el termistor a partir de la teor´ıa de los sistemas memristivos, se realiza un análisis del modelo matemático por medio de pruebas experimentales en termistores conformados porBaT iO3.

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´Indice general

Declaraci´on III

Agradecimientos IV

Resumen VI

Lista de figuras XI

Lista de tablas XIII

Introducci´on XIII

1. Instrumentos de Medida 1

1.1. Descripci´on . . . 1

1.2. Instrumentos de medida . . . 1

1.2.1. Sistemas de instrumentaci´on . . . 2

1.2.2. Ciclo de Hist´eresis en los Instrumentos de Medida . . . 4

1.3. Termistor . . . 5

1.3.1. Termistor tipo NTC . . . 6

1.3.2. Termistor tipo PTC . . . 8

2. Caracter´ısticas de los Sistemas Memristivos 14 2.1. Memristor . . . 14

2.2. Memristancia . . . 16

(12)

VIII INDICE GENERAL´

2.3.1. Hist´eresis en Sistemas Memristivos . . . 17

2.3.2. Alteraciones de la frecuencia: Inestabilidad y caos . . . 17

3. Modelo para el calculo de la incertidumbre producida por hist´eresis en el termistor 24 3.1. Planteamiento no lineal del termistor . . . 24

3.2. Caso general para instrumentos de medida . . . 25

3.3. Memhist´eresis . . . 29

3.4. Caso general para termistores PTC y NTC . . . 30

3.4.1. Funci´on de transferencia del termistor . . . 30

3.4.2. Comportamiento del termistor NTC . . . 31

3.4.3. Comportamiento del termistor PTC . . . 31

3.5. Caso particular para una funci´on de temperatura . . . 32

3.5.1. Funci´on de transferencia del termistor . . . 33

3.5.2. Comportamiento del termistor NTC . . . 35

4. Comparación entre resultados teóricos y datos prácticos 37 4.1. Ajuste de los datos experimentales con el modelo planteado . . . 37

4.1.1. Ajuste de la funci´on de entrada T(t) con los datos experimentales . . . 40

4.1.2. Ajuste de la funci´on de salida R(t) con los datos experimentales . . . . 42

4.1.3. Aproximaci´on del modelo para el calculo de la incertidumbre produ-cida por hist´eresis en el termistor de titanato de bario(BaT iO3)a partir de la teor´ıa de los sistemas memristivos . . . 44

4.2. Resultados obtenidos . . . 47

4.2.1. Valor deχ2r . . . 47

4.2.2. Coeficiente de determinaci´on (R2_{) . . . .} ₄₈

Bibliograf´ıa 50 A. An´alisis de error y Resultados obtenidos 56 A.1. An´alisis de errores . . . 56

(13)

´

INDICE GENERAL _IX

A.1.2. Coeficiente de determinaci´on (R2_{) . . . .} ₅₈

B. Art´ıculos en proceso de publicaci´on 61

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´Indice de figuras

1.1. Funcionamiento interno del galvanómetro. Tomada de [11] . . . 3 1.2. Sistema de instrumentación digital. Tomada de [17], modificada por los autores. 4 1.3. Gráfica de la histéresis en los instrumentos de medida. Realizada por los autores 5 1.4. RelaciónR(T)para un termistor tipo NTC. Tomada de [29] . . . 7 1.5. RelaciónR(T)para un termistor tipo PTC. Tomada de [29] . . . 10 1.6. Curvas I vs V para diferentes valores de temperatura ambiente representadas

de forma lineal. Tomada de [44] . . . 12 1.7. Polarización del Titanato de Bario (a) Proyección isométrica de celda deBaT iO3

(b) Vista lateral de la celda. Tomada de [42] . . . 13

2.1. Relación entre los distintos dispositivos con respecto a las magnitudes f´ısicas. Tomada de [46] . . . 15 2.2. Gráfica de la histéresis en los sistemas memristivos. Realizada por los autores . 17 2.3. Gráfica de la Histéresis en los sistemas memristivos en variación con respecto

al tiempo. Realizada por los autores . . . 18 2.4. Gráfica de la Histéresis en los sistemas memristivos en variación con respecto

al voltaje. Realizada por los autores . . . 19 2.5. Gráfica de la histéresis en los sistemas memristivos en variación al tiempo

cuandoω → ∞. Realizada por los autores . . . 20 2.6. Gráfica de la histéresis en los sistemas memristivos en variación al voltaje

(16)

XII ´INDICE DE FIGURAS

2.7. Grafica de la Hist´eresis en los sistemas memristivos en variaci´on al tiempo

cuandoω →0. Realizada por los autores . . . 22

2.8. Grafica de la Hist´eresis en los sistemas memristivos en variaci´on al voltaje cuandoω →0. Realizada por los autores . . . 23

3.1. . Realizada por los autores. . . 35

4.1. Curvas de histéresis que presenta el termistor deBaT iO3, a diferentes presio-nes atmosféricas de operación. Tomada de [13] . . . 38

4.2. Curva R vs T para el termistor de titanato de bario(BaT iO3)correspondiente a una presi´on de 70 Pa con datos modificados para el an´alisis. Realizada por los autores . . . 39

4.3. Curva T vs t para el termistor conformado por titanato de bario (BaT iO3) correspondiente a una presi´on de 70 Pa. Realizada por los autores. . . 40

4.4. Parámetros más óptimos para la ecuación (4.2) obtenidos del ajuste. Realizada por los autores . . . 41

4.5. Ajuste de la ecuaci´on (4.2) con los datos experimentales. Realizada por los autores . . . 41

4.6. Curva R0 vs t para el termistor conformado por titanato de bario (BaT iO3) correspondiente a una presi´on de 70 Pa. Realizada por los autores. . . 42

4.7. Parámetros más óptimos para la ecuación (4.3) obtenidos del ajuste. . . 43

4.8. Ajuste de la ecuaci´on (4.3) conLog(R10). Realizada por los autores. . . 43

4.9. Gr´afica de R’(t) vs T’(t). Realizada por los autores . . . 44

4.10. Gr´afica R’(t) vs T’(t) tomando ´unicamente el semiciclo positivo. Realizada por los autores . . . 45

4.11. Comparaci´on del modelo con datos experimentales. Realizada por los autores. . 46

(17)

´Indice de cuadros

A.1. Toma de datos para la realizaci´on de la pruebaχ2_{. Tomado de [21] . . . .} ₅₇

(18)

Introducci´on

En la instrumentación, es importante determinar variables estáticas y dinámicas que den respuesta a distintos comportamientos en los dispositivos que se utilizan para la medición. Una de esas caracter´ısticas es la incertidumbre producida por la histéresis en los aparatos de medida, la cual indica el error que existe en la medida al observar el valor real con respecto al valor esperado.

El presente proyecto de grado tiene como propósito el modelamiento del termistor a partir de la incertidumbre por histéresis, el cual será estudiado a través de la generalización conceptual de la teor´ıa de los sistemas memristivos, de modo que, sea posible realizar una aproximación matemática con los conceptos dados en la teor´ıa, buscando una aplicación que brinde una mayor concepción e integración de la f´ısica e ingenier´ıa.

Por otra parte, este proyecto se desarrollará mediante una metodolog´ıa de investigación teórico - experimental, permitiendo mediante etapas de diagnóstico una evaluación conceptual y estad´ıstica de los datos obtenidos de los modelos matemáticos propuestos a lo largo de todo el proceso de investigación, con el fin, de tener una gu´ıa orientadora y ordenada como lo plantea el método cient´ıfico para la realización de una investigación.

(19)

INTRODUCCI ´ON _XV

Problema de Investigaci´on

En este primer cap´ıtulo se presenta y discute el problema de investigación que orientó el desarrollo del presente trabajo de grado, que en general consiste en desarrollar un modelo ma-temático de la incertidumbre por histéresis en el termistor por medio de la teor´ıa de los sistemas memristivos. Para ello exponemos inicialmente los antecedentes que dan origen al problema de investigación, inmediatamente después se planteó el problema, luego la justificación y final-mente los objetivos de la investigación.

Antecedentes del problema de investigaci´on

Dado que el objeto de investigación se centra en el desarrollo de un modelo matemático de la incertidumbre por histéresis en el termistor, en este apartado se dispone a presentar una breve revisión de la literatura referente a los sistemas memristivos, los trabajos que se han desarrollado a partir de dicha herramienta y documentos referentes a la histéresis en diferentes instrumentos de medida.

Para la presentación de los resultados más representativos de esta literatura se diferen-ciará entre los trabajos que se han enfocado en los instrumentos de medida y la representación matemática de la incertidumbre por histéresis, y los que involucran desarrollos matemáticos a partir de los sistemas memristivos.

Estudios referentes al desarrollo de modelos matem´aticos a partir de los

sis-temas memristivos

(20)

XVI INTRODUCCI ´ON

en series de Taylor, determinando una ecuación general del sistema. En el cuerpo de la inves-tigación. Wang muestra la forma de obtener los componentes de los Sistemas Memristivos a través de un triángulo de equivalencias que depende directamente de la clase y el orden ma-temático al que pertenecen. Goknar [16] realiza un estudio de varios sistemas f´ısicos modelados matemáticamente a partir de la teor´ıa de los sistemas Memristivos, entre ellos, el caso de estu-dio del termistor y finalmente, los trabajos que determinan las concepciones matemáticas para el caso particular del termistor son descritos por Leal [27] en su trabajo de grado para optar por el t´ıtulo de maestr´ıa donde realiza una descripción matemática de varios modelos matemáticos de sistemas memristivos análogos y Biolek & Biolek [4] realizan un estudio computacional en la obtención del área bajo la curva de histéresis en los sistemas memristivos a través de un modelo matemático general.

Estudios referentes al estudio de la hist´eresis en instrumentos de medida

Inicialmente, se desarrolla un estudio sobre la obtención de la histéresis en los instrumentos de medida, Song, Zhao, Zhou & De Abreu-Garcia muestran el comportamiento de la histéresis en un dispositivo piezoeléctrico utilizando un sistema de seguimiento de compensación [40] y Chiang, Chou, Lin & Chiang realizan un estudio investigativo en el fenómeno de histéresis presente en los sensores, para el caso particular, evalúan un elemento piezo-resistivo aportando los fundamentos esenciales en el caso de la histéresis producida por fenómenos térmicos [7] . Por otra parte, Xuyun & Zechang en su art´ıculoA battery model including hysteresis for State-of-Charge estimation in Ni-MH battery, muestran como resultado una gráfica de histéresis para

(21)

INTRODUCCI ´ON _XVII

Formulaci´on del problema

Cuando se desea medir el comportamiento de alg´un tipo de sistema, generalmente se recurre a modelos matem´aticos de orden lineal. Sin embargo, son muy pocos los casos en la vida real que tienen este tipo de comportamiento [36], generando errores en la medida. Por ello, se hace necesario crear nuevas estrategias para disminuir este tipo de errores.

En la instrumentación, se recurre a la medición de parámetros f´ısicos para determinar el comportamiento de algún sistema eléctrico, con el fin de llevar cierto tipo de control en algún dispositivo de medida. Uno de los parámetros en la medición que son evaluados frecuentemente es la incertidumbre generada por la histéresis en los aparatos de medida, la cual, da una muestra de la respuesta del instrumento de medida en función de la magnitud f´ısica que se dispone a medir [12]. Sin embargo, éste parámetro es evaluado normalmente a partir de puntos espec´ıficos en una gráfica de histéresis. Por otra parte, el estudio matemático con el que se tratan estos sistemas de medida es generalmente de orden lineal.

Por ello, se plantea la posibilidad de formular un método matemático que caracterice el comportamiento a través del tiempo, considerando la histéresis como un parámetro dinámico que afecta la medición del instrumento de medida apoyándose directamente de una analog´ıa de la teor´ıa de los Sistemas Memristivos planteada por Chua [8], donde considera la histéresis como una función de transferencia que depende directamente de la entrada en función de la salida. A partir de lo anterior, se formula el siguiente problema de investigación:

¿C´omo desarrollar un modelo matem´atico a partir de la teor´ıa de los Sistemas Memristivos

para la formulaci´on de la incertidumbre por ciclos de hist´eresis en el termistor?

Justificaci´on

(22)

XVIII INTRODUCCI ´ON

evaluadas sistem´aticamente a partir de modelos matem´aticos.

El presente proyecto, tiene como finalidad desarrollar una nueva alternativa para la eva-luación del ciclo de histéresis en los termistores, utilizando un modelo matemático no lineal que dependa directamente de la salida en función de la entrada, puesto que, es importante en-contrar nuevas formas de diseñar instrumentos mucho más precisos y con menor error en la medición.

Objetivos

Objetivo General

Formular un modelo matem´atico de la incertidumbre por hist´eresis en el termistor a partir de la teor´ıa de los Sistemas Memristivos.

Objetivos Espec´ıficos

Relacionar la incertidumbre producida por hist´eresis con la teor´ıa de los Sistemas Mem-ristivos

Desarrollar un modelo matem´atico aproximado de la incertidumbre por hist´eresis para el caso del termistor

(23)

Cap´ıtulo 1

Instrumentos de Medida

1.1. Descripci´on

En f´ısica e ingenier´ıa, la instrumentación se define como el conjunto de ciencias y tec-nolog´ıas mediante las cuales se realiza algún tipo de mediciones sobre espec´ıficas cantidades f´ısicas, con el fin de obtener alguna información numérica [9]. Por otra parte, las mediciones corresponden a comparar una variable f´ısica expresada en cantidades numéricas con ayuda de algún intrumento de medida. [25]. En este cap´ıtulo se desarrolla una descripción conceptual sobre los fundamentos básicos de los instrumentos, explicando y definiendo de manera teórica y especificando el caso particular del termistor, el cual, es el instrumento en el que se basa el desarrollo matemático de la presente investigación, como caso particular.

1.2. Instrumentos de medida

Se denomina instrumento de medida al dispositivo formado por una combinación de ele-mentos electrónicos tales como válvulas termoiónicas, transistores o circuitos integrados, entre otros, que combinados adecuadamente, permiten la realización de funciones diversas, suscep-tibles al ser procesados mediante señales eléctricas [2].

Entre las distintas caracter´ısticas de los instrumentos de medida, se encuentran las variables estáticas y dinámicas. Las variables estáticas relacionan la entrada y la salida en el caso de

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2 CAP´ITULO 1. INSTRUMENTOS DE MEDIDA

una señal de entrada constante y las variables dinámicas consisten en un bloque con entradas, salidas y una expresión que las relaciona, bloque con una o varias entradas que son excitadas y una o más salidas que son respuestas no inmediatas ante las excitaciones.

Estos instrumentos pueden llegar a tener limitaciones a la hora de configurar nuevas me-todolog´ıas para poder desarrollar alternativas de medida. Los instrumentos modernos general-mente ya están pensados para ser integrados en sistemas de instrumentación, que combinan potencia de cálculo y la flexibilidad de operación de los computadores, el software y los instru-mentos programables especializados [14].

1.2.1. Sistemas de instrumentaci´on

Un sistema de instrumentación es aquel que a través de ciertos procesos determinados se realiza una medida sobre una variable f´ısica [12]. En la instrumentación existen dos tipos de sistemas a la hora de realizar mediciones sobre una variable f´ısica, son la instrumentación análogica y la instrumentación digital definidas a continuación.

Instrumentaci´on Anal´ogica

La instrumentación analógica es aquella que obtiene una medición a partir de una bobina móvil, un tubo de rayos catódicos o cintas magnéticas de registro de información [45].

(25)

(26)

(27)

(28)

1.3.1. Termistor tipo NTC

Los termistores tipo NTC se caracterizan por ser resistores no lineales cuya resistencia disminuye fuertemente con la temperatura. El coeficiente de temperatura de estos elementos es negativo, y generalmente su rango var´ıa entre −2o%_C a −6o%_C a temperatura ambiente.

Ma-tem´aticamente se representa como:

α = 1

R dR

dT (1.3)

donde,αes el coeficiente de temperatura,Res la resistencia medida yT la temperatura. Los NTC poseen ventajas de bajo costo y respuesta r´apida. Sin embargo, son dispositivos no lineales con un margen de medida entre los−70o _a ₅₀₀o_C _[44].

En una gr´aficaR-T, se observa los rangos de operatividad en donde el termistor trabaja en una zona ´optima lineal (fig.1.4).

Para el diseño matemático del modelado de los termistores [??], en el rango operativo de temperatura a 50o_{C, es utilizada la expresión:}

RT =Roeβ(T1− 1

To) _(1.4)

Donde,RT es la resistencia del termistor en funci´on de la temperatura,Rola resistencia del mismo bajo condiciones iniciales, β es la constante de temperatura del material, yTo corres-ponde a la temperatura ambiente inicial a la cual se encuentra sometido el dispositivo.

A partir de las ecuaciones (1.3) y (1.4), se puede deducir el coeficiente t´ermico como:

α =− β

T2 (1.5)

El Termistor se comporta de manera lineal cuando su coeficiente t´ermico α se encuen-tra en un rango inferior de −200 ppmo_C 1. En otras palabras, dicho coeficiente se encuentra en

un rango de resistencia y temperatura (R,T) determinado por (R, T) = (9,95KΩ,50o_C₎₋

(10KΩ,25o_C₎_{. Para un efecto no lineal del termistor el coeficiente t´ermico se relaciona con}

1

(29)

1.3. TERMISTOR ₇

−4ppmo_C , dentro del rango de resistencia y temperatura(R, T) = (3,9KΩ,50oC)−(10KΩ,25oC).

Figura 1.4: Relaci´onR(T)para un termistor tipo NTC. Tomada de [29]

Matem´aticamente la tolerancia del dispositivo se representa de la siguiente forma:

∆R = ∂R

∂Ro∆Ro+ ∂R

(30)

Expresando (1.6) en funci´on de la temperatura se tiene que:

∆R R =

∆Ro

R +|B(

1

T −

1

To)|

∆B

B (1.7)

Su comportamiento térmico en estado estacionario se representa como una función que depende de la temperatura ambiente, la resistencia del dispositivo y la potencia disipada por el mismo. La ecuación (1.7) representa dicho comportamiento de la siguiente manera:

PD = 1

RT(TN T C −TA) (1.8)

Donde,PD es la potencia disipada por el dispositivo,RT la resistencia inicial del termistor, TN T C es la temperatura del termistor NTC yTAla temperatura ambiente. En cuanto a su com-portamiento el´ectrico, debido a que este dispositivo es un resistor el cual var´ıa su resistencia basado en la temperatura, es representado a trav´es de la ley de Ohm de la siguiente forma:

V

I =R =Roe B( 1

TN T C− 1

To) _(1.9)

Relacionando las ecuaciones (1.8) y (1.9) se llega al concepto que relaciona el comporta-miento general del dispositivo, denominado acoplacomporta-miento t´ermico-el´ectrico:

V

I =R =Roe B( 1

V I RT+TA− 1

To) _(1.10)

1.3.2. Termistor tipo PTC

Los termistores tipo PTC se caracterizan por ser resistores no lineales cuya resistencia au-menta fuertemente con la temperatura. El coeficiente de temperatura de estos elementos es positivo y elevado, y generalmente su rango var´ıa entre de10a−80o%_C. Matem´aticamente se

(31)

1.3. TERMISTOR ₉

Las caracter´ısticas m´as importantes que relacionan la resistencia y la temperatura de este dispositivo se presentan a continuaci´on [44]:

La m´ınima resistencia se presenta en el instante donde la temperatura es m´ınima:

Tmin ⇒Rmin (1.11)

El l´ımite de operaci´on se presenta en el instante donde la temperatura es m´axima:

Tmax ⇒Rmax (1.12)

Su zona de utilidad como termistor PTC est´a determinada por un l´ımite de trabajo defi-nido por un valor inicial de temperaturaToy un valor final≤Tf, es decir:

To ≤TP T C ≤Tf (1.13)

Dichas caracter´ısticas son representadas gr´aficamente en la figura (1.5)

La expresión matemática que define la resistencia del termistor tipo PTC en función de la temperatura a la que es sometido se define de forma similar que en los termistores de tipo NTC:

R(TP T C) = RoeB(TP T C−To)

(1.14) Siendo Ro la resistencia inicial del dispositivo, B el coeficiente de temperatura, TP T C la temperatura a la que se encuentra sometido el termistor en un momento determinado.

La tolerancia del termistor tipo PTC generalmente se ve influenciada por la resistencia ini-cial del elemento y del coeficiente de temperatura asociado al mismo. Adem´as, la temperatura a la que es sometido el dispositivo afecta de cierta forma este par´ametro.

(32)

(33)

1.3. TERMISTOR ₁₁

depende de la temperatura ambiente, la resistencia del dispositivo y la potencia disipada por el mismo. La ecuaci´on (1.16) representa dicho comportamiento de la siguiente manera:

PD = 1

RT(TP T C −TA) (1.16) En cuanto a su comportamiento el´ectrico, debido a que este dispositivo es un resistor el cual var´ıa su resistencia basado en la temperatura, es representado a trav´es de la ley de Ohm de la siguiente forma:

V

I =R=Roe

B(TP T C−To)

(1.17) Relacionando las ecuaciones (1.16) y (1.17) se encuentra el concepto que relaciona el com-portamiento general del dispositivo, denominado acoplamiento t´ermico-el´ectrico:

V

I =R=Roe

B(V IRT+TA−To)

(1.18) Algunas de las ventajas más importantes de dichos dispositivos se encuentran su bajo costo, su sensibilidad, la respuesta en tiempo real y doble medida y, existen desventajas tales como la no linealidad en la medición, tienen auto calentamiento y requieren de excitación externa. [31] En la fabricación de termistores tipo PTC, su fabricación es desarrollada a partir de t´ıtanato de bario(BaT iO3), el cual es un material con propiedades electrocerámicas que es producido en masa para el desarrollo de algunos componentes en la industria electrónica el cual posee una estructura cristalina similar a la del titanato de CalcioCaT iO3, los cuales poseen una simetr´ıa cúbica estable por encima de los 130 ◦

C hasta temperaturas que alcancen los 1460◦

C [5], el titanato de bario posee una estructura Perovskita2 compleja de formato ferroel´ectrico. En la figura (1.7) se muestran los ionesBa2+_;_{T i}4+_;_O2−

ubicados en su celda unitaria.

2

(34)

(35)

1.3. TERMISTOR ₁₃

(36)

Cap´ıtulo 2

Caracter´ısticas de los Sistemas

Memristivos

2.1. Memristor

Es un término introducido por León Chua en el año 1971, el cual establece la posible exis-tencia de un nuevo elemento en la teor´ıa general de circuitos eléctricos, el cual justifica su existencia cuando relaciona por criterios de simetr´ıa el flujo eléctrico y la carga eléctrica [27], [8].

Las distintas relaciones f´ısicas de los dispositivos presentes en la teor´ıa de circuitos eléctri-cos se definen el resistor, el capacitor y el inductor, los cuales se determinan a partir de va-riaciones de una señal con respecto a otra de las definiciones de diferencia de potencial, carga eléctrica, flujo magnético y corriente eléctrica, es decir, para el caso del resistor se define como R= dV

dI, el capacitor comoC = dq

dV y el inductor comoL= dφ dI [38]

Entre los parámetros f´ısicos no se encuentra una relación directa entre el flujo magnético y la carga eléctrica [41], es por ello que, al relacionarlos entre si nace el concepto de memristor [27] definido como la variación de flujo magnético con respecto a la variación en la carga eléctrica, en otras palabras:

M(q) = dφ

dq (2.1)

(37)

2.1. MEMRISTOR ₁₅

Si se aplica regla de la cadena sobre cada término en función de la variación temporal, puesto que tanto el flujo magnético como la carga eléctrica son variables que dependen del tiempo, es decir, el parámetroM(q)es una función compuesta con respecto al tiempo y puede ser reescrita como

M(q(t)) = V(t)

I(t) (2.2)

La expresión obtenida en (2.2) es igual a la definición de resistor, con la diferencia que el parámetro temporal es una variable de la cual depende la función escalarM(q).

Figura 2.1: Relaci´on entre los distintos dispositivos con respecto a las magnitudes f´ısicas. To-mada de [46]

(38)

16 CAP´ITULO 2. CARACTER´ISTICAS DE LOS SISTEMAS MEMRISTIVOS

2.2. Memristancia

La memristancia es la propiedad eléctrica de los memristores, la cual establece que la carga eléctrica que pasa a través del memristor ocasiona un incremento al valor de la resistencia y, en caso contrario, disminuye cuando la carga va en sentido contrario. [18], luego, cuando el flujo eléctrico aumenta nuevamente, la resistencia del circuito volverá a su estado inicial [28], en otras palabras, este parámetro es el que define la capacidad de recordar el último valor de resistencia que ten´ıa antes de ser apagado (capacidad de memoria) [32].

2.3. Sistemas Memristivos

Un sistema memristivo, es un sistema dinámico que parte principalmente de la generali-zación de un nuevo elemento en la composición de los sistemas eléctricos básicos y la eva-luación de su comportamiento: el memristorM(q), el cual, posee un comportamiento no lineal y presenta histéresis, usualmente se le conoce como “resistencia con memoria”[23], puesto que es capaz de comportarse como una resistencia y ser generador de un elemento capaz de poseer memoria a corto o largo plazo.

Los sistemas memristivos se representan a través de variables de estado. Para el caso, se supone una entradaucon una saliday. La primera derivada de la variable de estadox determi-nada como x˙ se encuentra en función del estado interno, la entrada del sistema y del tiempo. Matemáticamente se denota como:

˙

x=f(x, u, t) (2.3)

Y la salida en función de los mismos parámetros estará representada como:

y=g(x, u, t) (2.4)

(39)

2.3. SISTEMAS MEMRISTIVOS ₁₇

2.3.1. Hist´eresis en Sistemas Memristivos

La histéresis en los sistemas memristivos, también conocida como curva caracter´ıstica se obtiene a través de la relación de voltaje V y corriente I para el memristor excitado por una señal normalmente periódica, donde el ciclo presenta un cruce entre las señales cuando la en-trada y la salida son iguales [19]

Figura 2.2: Gr´afica de la hist´eresis en los sistemas memristivos. Realizada por los autores

Esta curva de histéresis en los memristores, presenta aumentos o disminuciones a partir de la frecuencia a la cual se encuentra el sistema, donde, si la frecuencia tiende al infinito el memristor se comporta como un Resistor, y, en caso contrario, tiende a cero, aumenta el área bajo la curva de la gráfica (2.2).

2.3.2. Alteraciones de la frecuencia: Inestabilidad y caos

Un sistema memristivo presenta alteraciones significativas cuando es modificada o alterada su frecuencia angular en una pequeña magnitud, es decir, el sistema se comporta como un sistema no lineal caótico con alteraciones en la frecuencia del sistema [1]. Las figuras (2.3) y (2.4) 1 _{muestra la gráfica del ciclo de histéresis definido por la función de corriente} _I _versus

1

(40)

voltajeV para una frecuencia angularω.

Figura 2.3: Gráfica de la Histéresis en los sistemas memristivos en variación con respecto al tiempo. Realizada por los autores

Ahora, siω→ ∞, el sistema se comporta como lo muestran las figuras (2.5) y (2.6) Nótese que, la histéresis presente tiende al infinito, asumiéndose que el memristor se com-porta como una resistencia sin variaciones a lo largo del tiempo.

(41)

2.3. SISTEMAS MEMRISTIVOS ₁₉

(42)

(43)

2.3. SISTEMAS MEMRISTIVOS ₂₁

(44)

(45)

2.3. SISTEMAS MEMRISTIVOS ₂₃

(46)

Cap´ıtulo 3

Modelo para el calculo de la

incertidumbre producida por hist´eresis en

el termistor

3.1. Planteamiento no lineal del termistor

Para la caracterización de las condiciones del modelo general del termistor a partir de los sistemas memristivos se parte de [27], en donde se plantea un sistema no lineal donde la variable de estado está definida a partir de la temperatura, es decir,x = T, donde la potencia disipada por el termistor en función del tiempo en términos de la capacidad calor´ıficaC es:

P(t) = δ(To−T) +CdT

dt (3.1)

δes el coeficiente de disipaci´on t´ermica yTola temperatura inicial a la cual se encuentra el termistor.

El sistema din´amico representativo a trav´es de este modelo esta determinado como1

V =RoToe[β(1x− 1

To)]I =R(x, i, t)I _(3.2)

1

Para revisar la demostración y una mejor conceptualización del desarrollo matemático de todo el sistema rem´ıtase al ´ıtem bibliográfico [27] página 9.

(47)

3.2. CASO GENERAL PARA INSTRUMENTOS DE MEDIDA ₂₅

Con este planteamiento se logra relacionar el coeficiente memristivo del termistor variante respecto a los t´erminos de corriente(I)y de tensi´on(V).

3.2. Caso general para instrumentos de medida

Al haber realizado el estudio pertinente de los parámetros que establecen el comportamiento de la histéresis, tanto en el caso de los sistemas memristivos, como el caso de los instrumentos de medida, se fundamenta a continuación una relación entre las curvas de histéresis de ambos dispositivos, se realiza un modelamiento matemático similar al planteado por [26] usando una expansión en series de Taylor para determinar la histéresis en los instrumentos de medida.

En la gráfica de la incertidumbre por histéresis (1.3), se pudo observar cómo se presentaba el ciclo a partir de las mediciones de variables f´ısicas de entrada y salida, las cuales son limitadas a ciclos positivos, puesto que, los valores en la medición siempre irán en aumento o descenso dependiendo directamente de las condiciones iniciales de la variable a medir y, en general, siempre son condiciones dependientes del diseño del dispositivo.

Cuando la variación de la salida con respecto a la entrada tiende a cero, existe una histéresis en la medida. En dicho caso, se define el valor de histéresis de manera diferencial como:

H = ∂O

∂I (3.3)

Las mediciones que se realizan en los instrumentos de medida en la evaluaci´on de sus rangos de operaci´on, se consideran funciones parciales dependientes del tiempo, aplicando el operador

∂

∂t en (3.3), se llega a

H(t) = ∂O/∂t

∂I/∂t (3.4)

Para el an´alisis siguiente, se llamara S(t) = ∂O

∂t la variaci´on de la salida con respecto al tiempo yE(t) = ∂I

(48)

26 CAP´ITULO 3. MOD. PARA EL CAL. DE LA INC. PRO. POR HIS. EN EL TERM.

H(t) = S(t)

E(t) (3.5)

Si se desea modelar matemáticamente la histéresis en los instrumentos de medida a partir de los sistemas memristivos, se define a partir de las ecuaciones (2.3) y (2.4), las componentes variables de los instrumentos de medida, teniendo en cuenta, la componente de salida y tempo-ral dentro de los parámetros multilineales, en donde (2.3) y (2.4) se reescriben respectivamente para este caso como

˙

x(t) =f(x, E, t) (3.6)

S(t) =H(x, E, t)E(t) (3.7)

Si se evalúa la función de entradaE(t)en un rango de medición temporal entre un tiempo to a un tiempotse obtiene una funcióny(t)que es proporcional a la evolución temporal de la histéresis medida bajo un área, es decir,

E(t) = ∂y

∂t

_t (3.8)

Si se despeja e integra la función en términos del parámetroy(t)se llega a la expresión:

y(t) =

Z t

to

Ec(τ)dτ (3.9)

Donde,Ec es la variaci´on de la entrada para los l´ımites de integraci´on determinados.

Reemplazando (3.9) en (3.7) utilizando un cambio de variable,

S(t) = H

Z t

to

Ec(τ)dτE(t) (3.10)

(49)

3.2. CASO GENERAL PARA INSTRUMENTOS DE MEDIDA ₂₇

Para la solución de la ecuación (3.11) se pueden utilizar diversos métodos numéricos, sin embargo, para este desarrollo se solucionará a través de una Serie de Taylor tal como refiere la solución en el art´ıculo de [10] para los casos del memristor, memcapacitor y meminductor.

La serie de Taylor para el caso general se genera a partir de

H(y) = H(yo) +

∞

X

k=1

∂k_H₍_yo₎ ∂Sk

(y−yo)k

k! (3.12)

Se expande la serie para k=1,2 con el fin de disminuir el error en el modelamiento2_{. De}

(3.12) resulta

H(y) = H(yo) +

2

X

k=1

∂k_H₍_yo₎ ∂Sk

(y−yo)k

k! (3.13)

Expandiendo la serie,

H(y) = H(yo) + ∂H(yo)

∂S (y−yo) +

∂2_H₍_yo₎ ∂S2

(y−yo)2

2 (3.14)

Para la evoluci´on temporal dey(t)asumiendo que el valor inicialyoes cero, es deciry−yo =

y(t), y el valor de H evaluado en esta condici´on inicial esHo, se reescribe la ecuaci´on (3.14) de la siguiente forma:

H(y) =Ho+∂H(yo)

∂S y(t) +

∂2_H₍_yo₎ ∂S2

y(t)2

2 (3.15)

La funcióny(t)es definida como una función dependiente de la entrada del sistema, como se describe a continuación:

y(t) =

Z t

0

E(t)dt (3.16)

2_{Para el caso particular de estudio, la evaluaci´on de la serie para cualquier valor de}_k_≥₃_{no representa una}

(50)

Para el cuadrado de la funci´on,

y2(t) =

Z t

0

E(t)dt

2

(3.17)

Reemplazando el valor deH de la ecuaci´on (3.15) en (3.7) resulta:

S(t) = Ho+ ∂H(yo)

∂S y(t) +

∂2_H₍_yo₎ ∂S2

y(t)2

2

!

E(t) (3.18)

Nuevamente reemplazando en la expresi´on (3.18) el termino y(t) definido en (3.16), se obtiene:

S(t) = Ho+ ∂H(yo)

∂S

Z t

0

E(t)dt+1 2

∂2_H₍_yo₎ ∂S2

Z t

0

E(t)dt

!2!

E(t) (3.19)

Despejando el valor de y(t) yy(t)2 _{en la ecuación (3.15), se determina la histéresis}_H₍_t₎ para el sistema en función del tiempo,

H(t) = Ho+ ∂H(yo)

∂S

Z t

0

E(t)dt+ 1 2

∂2_H₍_yo₎ ∂S2

Z t

0

E(t)dt

!2

(3.20)

Renombrandoµ= ∂H(yo)

∂S yν =

∂2_H₍_yo₎

∂S2 en (3.20)

H(t) =Ho+µ

Z t

0

E(t)dt+ 1 2ν

Z t

0

E(t)dt

!2

(3.21)

(51)

3.3. MEMHIST ´ERESIS ₂₉

se aplica valor absoluto en la expresi´on resultante, es decir, las ecuaciones para la hist´eresis en los instrumentos de medida (3.19) y (3.21) finalmente resultan respectivamente como:

S(t) =|Ho+µ

Z t

0

E(t)dt+ 1 2ν

Z t

0

E(t)dt

!2

|E(t) (3.22)

H(t) =|Ho+µ

Z t

0

E(t)dt+ 1 2ν

Z t

0

E(t)dt

!2

| (3.23)

definiendo la funci´on de transferencia final

H(y(t)) = S(t)

E(t) (3.24)

En adelante, se referirá a la función de transferenciaH(y(t))como lamemhistéresis

3.3. Memhist´eresis

Lamemhistéresises le caso análogo de la memristancia presentada en la sección (2.2). La memhistéresis será el efecto de memoria presente en la medición del sistema.

El nombre de Memhistéresis se adopta para dar relación directa con la teor´ıa de los siste-mas memristivos, es un término creado por los autores con el fin de dar una brecha directa al lector frente a lo que plantea la teor´ıa general de los sistemas memristivos [8] al nombre del término análogo como memristor el cual presenta un efecto de memoria al exponer el termistor a intervalos secuenciales de temperatura

(52)

3.4. Caso general para termistores PTC y NTC

En adelante, para el termistor,T(t)es una funci´on arbitraria de temperatura, la cual repre-senta la se˜nal de entrada al dispositivo y, R(t)la resistencia del dispositivo que varia depen-diendo de la temperatura, que representa la respuesta de salida.

3.4.1. Funci´on de transferencia del termistor

La función de transferenciaH(y(t))que define la función de lamemhistéresis, el cual será el valor de la salidaR(t)sobre su entradaT(t). La ecuación (3.24) para el termistor estará dada definida como:

H(y(t)) = R(t)

T(t) (3.25)

La ecuación (3.9) define el parámetro variacional medible y(t), para el caso del termistor estará dado como:

y(t) =

Z t

0

T(t)dt (3.26)

Reemplazando en (3.23), se obtiene la Memhist´eresis para cualquier se˜nal variante del tiempo de temperatura como:

H(t) =|Ho+µ

Z t

0

T(t)dt

+ν

Z t

0

T(t)dt

!2

| (3.27)

dondeµ= ∂H(yo)

∂T yν =

∂2_H₍_yo₎ ∂T2

(53)

3.4. CASO GENERAL PARA TERMISTORES PTC Y NTC ₃₁

3.4.2. Comportamiento del termistor NTC

En la ecuación (1.4) se describe el comportamiento exponencial que presenta el termistor NTC en relación a la temperatura, solucionando dicha ecuación planteando una solución con una aproximación en series de Taylor para la funciónex_{, resulta:}

ex _{= 1 +}_x₊x2

2! +....+

xn

n!,∀x∈R (3.28)

Tomando los dos primeros términos más significativos de la expansión y sustituyendo en la ecuación (1.4), se obtiene

R=Ro

1 +B

1 T − 1 To (3.29) Derivando la Resistencia con respecto a la temperatura la ecuaci´on (3.29), se llega a

dR dT =−

BRo

T2 (3.30)

Según (3.25) la variación de la resistencia con respecto a la temperatura es igual al valor de la memhistéresis producida por la señal de temperatura del sistema variante en el tiempo, es decir que:

H(y(t)) = dR

dT =− BRo

T2 (3.31)

3.4.3. Comportamiento del termistor PTC

De manera análoga al procedimiento que se realizó para el termistor NTC, se realiza la ex-pansión en series de Taylor vista en (3.28) sobre la ecuación (1.14) se utilizan los dos primeros términos de la serie y se llega a la expresión:

R=Ro(1 +B(T −To)) (3.32)

(54)

dR

dT =BRo (3.33)

Según (3.25) la variación de la resistencia con respecto a la temperatura es igual al valor de la memhistéresis producida por la señal de temperatura del sistema variante en el tiempo, es decir que:

H(y(t)) = dR

dT =BRo (3.34)

3.5. Caso particular para una funci´on de temperatura

Para que exista incertidumbre producida por histéresis en la medida, la señal de temperatura es variable a lo largo del tiempo, es decir, las medidas que recibe el termistor tanto de calenta-miento como de enfriacalenta-miento tienen un comportacalenta-miento relativamente similar. Por ejemplo, el calentamiento de un l´ıquido durante un periodo de tiempoP/2y su enfriamiento hasta el valor inicial de temperaturaTosu periodo de tiempo será deP/2nuevamente. Si se realiza una nueva medición, este comportamiento se repetirá generando una señal periódica en la medición del dispositivo.

Se plantea una señal de temperatura tipo sinusoidal con el fin de relacionar una función creciente y decreciente en un periodo determinado y que sea de un solo termino, puesto que se diseña una señal medible del instrumento de medida en donde relacionará variaciones positivas y negativas . Teniendo en cuenta lo anterior, el análisis para la respuesta del termistor a partir de la función de temperatura será:

T(t) =Tosin(wt) (3.35)

(55)

3.5. CASO PARTICULAR PARA UNA FUNCI ´ON DE TEMPERATURA ₃₃

3.5.1. Funci´on de transferencia del termistor

Para el caso de la entrada de temperatura sinusoidal, se debe inicialmente determinar la variable y(t)planteada en la ecuaci´on (3.9), integrando el calor deT(t) 3.35 entre0yωt, es decir:

y(t) =

Z ωt

0

T(t)dt =y(t) =

Z ωt

0

Tosin(wt)dt (3.36) Resolviendo la integral,y(t)se define como

y(t) =To−Tocos(wt) (3.37) Para el termino de y2₍_t₎ _{se calcula el cuadrado de la ecuaci´on (3.37), obteniendo la} ex-presi´on

y2(t) =To2−2To2cos(ωt) +To2cos2(ωt) (3.38) Factorizando y aplicando identidades trigonom´etricas sobre el termino al cuadrado, se llega a la expresi´on

y2(t) =To2(

3

2−2cos(ωt) +

cos(2ωt)

2 ) (3.39)

Despejando el valor dey(t)yy2₍_t₎_{en (3.27),}

H(t) = |Ho+µ(To−Tocos(wt)) +νTo2(

3

4−cos(ωt) +

cos(2ωt)

4 | (3.40)

Se define la función de transferencia del sistema, es decir, la memhistéresis aproximada producida por los diferentes ciclos de histéresis presentes en las mediciones de señales periódi-cas.

Para el Termistor, la señal de salida de resistencia R(t) se define por el producto de la memhistéresis por la señal de temperatura de entrada, es decir:

(56)

Multiplicando (3.40) por (3.35), resulta

R(t) =|Ho+µTo−µTocos(wt) + 3 4νT

2

o −νTo2cos(ωt)

+νcos(2ωt)

4 |(Tosin(ωt)) (3.42)

Simplificando la expresi´on al multiplicar ambas funciones, el valor paraR(t)es

R(t) =|HoTosin(ωt)+µTo2sin(ωt)−µTo2cos(wt)sin(ωt)+

3 4νT

3

osin(ωt)−νTo3cos(ωt)sin(ωt)

+νTo3

cos(2ωt)sin(ωt

4 |) (3.43)

Cuando se eval´ua R(t) para un t = 0 el valor de Ho no es igual a cero, lo cual es v´alido cuando se presentan caracter´ısticas variacionales antes del inicio de la medida. En este caso, el termistor se ha visto afectado por el sistema antes de entrar en funcionamiento, por lo cual presenta valores deHo 6= 0.

Simplificando la expresi´on y eliminando el producto entre funciones trigonom´etricas final-mente se obtiene

R(t) = |[HoTo +µTo2 +

3 4νT

3

o]sin(ωt)−[µ T2 o 2 + ν 2T 3

o]sin(2ωt) +ν T3

o

4 sin(3ωt)| (3.44)

Por simplicidad, se renombra el productoψ1 =HoTo+µT2 o +

3 4νT

3

o,ψ2 =µ T2 o 2 + ν 2T 3 o y ψ3 =νT

3 o

4 . La ecuaci´on paraR(t)resulta como

(57)

3.5. CASO PARTICULAR PARA UNA FUNCI ´ON DE TEMPERATURA ₃₅

Figura 3.1: . Realizada por los autores.

Aunque el comportamiento para el termistor en la evolución temporal de la incertidumbre por histéresis sea similar a la fig. (3.1), la memhistéresis es distinta dependiendo del tipo, sea NTC o PTC, con lo cual se hace necesario evaluar las diferentes variables que cambian su comportamiento dependiendo del tipo de termistor utilizado.

3.5.2. Comportamiento del termistor NTC

En la ecuación (3.31) se definió el comportamiento dependiendo directamente de cada uno de los parámetros que caracterizan el termistor tipo NTC. Dicha ecuación es una función que depende de la temperatura, que, a su vez, la temperatura depende del tiempo de la medición.

Teniendo en cuenta que:

H(t) =−BR

T2 =αR (3.46)

(58)

µ= ∂H(yo)

∂T =

2BRo

T3 (3.47)

ν= ∂

2_H₍_yo₎ ∂T2 =−

6BRo

T3 (3.48)

(59)

Cap´ıtulo 4

Comparaci´on entre resultados te´oricos y

datos pr´acticos

Con el fin de dar veracidad al desarrollo del modelo matemático elaborado, se realiza una comparación entre los resultados teóricos obtenidos y los datos prácticos de resistencia y tem-peratura a partir del cálculo de la histéresis producida por la incertidumbre en la medida para termistores conformados por polvos cerámicos de titanato de bario (BaT iO3)de coeficiente positivo de temperatura (PTC).

4.1. Ajuste de los datos experimentales con el modelo

plan-teado

En el año 2010, la ingeniera Claudia Fernández y el profesor Jorge Rodr´ıguez, pertene-cientes al Departamento de F´ısica de la Universidad del Cauca, presentaron un art´ıculo donde ambos desarrollaron la elaboración de termistores conformados por polvo de titanato de bario

(BaT iO3)a partir del método Pechini [13], donde se obtuvieron datos experimentales corres-pondientes al comportamiento de los mismos bajo diferentes condiciones de presión y tempera-tura, donde el parámetro de resistencia eléctrica en los termistores con respecto a la variación de temperatura es evaluado de forma gráfica. En el documento mencionado, se muestran además diferentes comportamientos y curvas de resistencia en función de la temperatura (R-T) para

(60)

(61)

4.1. AJUSTE DE LOS DATOS EXPERIMENTALES CON EL MODELO PLANTEADO ₃₉

un instante determinado. Al tratarse de una gráfica semilogar´ıtmica (log-lineal), la comparación de dicha curva con las ecuaciones planteadas resulta ser una tarea compleja debido a la limi-tación del software utilizado para realizar este tipo de análisis. Por ello, para realizar el análisis correspondiente fue necesario realizar un ajuste a los datos experimentales obtenidos previa-mente, adecuando la escala logar´ıtmica mostrada en la figura (4.1) para los datos de resistencia experimentales (R10) a una escala lineal. Con el fin de no realizar alteraciones a la información experimental original y efectuar el análisis de forma adecuada, el ajuste a los datos se realiza mediante el uso de logaritmos, siendo la función de análisis a utilizar en el ajuste dependiente de la información original mediante la siguiente relación:

R0

(t) =Log(R10) (4.1)

La gr´afica resultante de los datos experimentales modificados para el an´alisis se muestra en la fig. (4.2).

Figura 4.2: Curva R vs T para el termistor de titanato de bario(BaT iO3)correspondiente a una presi´on de 70 Pa con datos modificados para el an´alisis. Realizada por los autores

(62)

40 CAPÍTULO 4. COM. ENTRE RESUL. TE ÓRICOS Y DATOS PR ÁCTICOS

4.1.1. Ajuste de la funci´on de entrada T(t) con los datos experimentales

Una vez obtenidos los datos experimentales de temperatura y resistencia de la figura (4.2), se grafica el comportamiento de estos datos evaluando cada punto de temperatura en un instante de tiempo determinado, como se muestra en la figura (4.3). De esta forma, al realizar una gráfica de la temperatura en función del tiempo es posible realizar evaluaciones temporales del sistema de forma general, y se caracteriza as´ı el sistema como un sistema memristivo, donde se presenta una función de entrada y una función de salida, ambas dependientes del tiempo.

Figura 4.3: Curva T vs t para el termistor conformado por titanato de bario(BaT iO3) corres-pondiente a una presi´on de 70 Pa. Realizada por los autores.

El ajuste de los datos experimentales con el modelo matemático planteado es realizado me-diante el uso de una herramienta computacional, donde la gráfica de la figura (4.3) es ajustada con la ecuación correspondiente a la entrada del sistema, que a su vez corresponde a la ecuación (3.35) donde se agrega un término adicional que determina la condición inicial del sistema (T0

o):

T0

(t) =T(t) +T0

(63)

(64)

4.1.2. Ajuste de la funci´on de salida R(t) con los datos experimentales

De forma similar a como se realizó en el caso de la temperatura, se gráfica el comporta-miento de los valores de resistencia y cómo se evalúa la variación de este parámetro de forma temporal. Este comportamiento, al igual que en el caso de la temperatura, se muestra gráfi-camente en la figura (4.6). Como ya se explicó en el caso anterior, es necesario realizar esta evaluación ya que de esta forma es posible caracterizar la resistencia como una función depen-diente del tiempo.

Figura 4.6: CurvaR0

vs t para el termistor conformado por titanato de bario(BaT iO3) corres-pondiente a una presi´on de 70 Pa. Realizada por los autores.

El ajuste de los datos experimentales con el modelo matemático planteado es realizado por el software de igual forma como se realizó en el caso de la función de temperatura, donde la gráfica de la figura (4.6) es ajustada con la ecuación correspondiente a la salida del sistema, es decir la ecuación (3.45), donde se agrega un término adicional a dicha ecuación que determina la condición inicial del sistema (R0

(65)

(66)

4.1.3. Aproximaci´on del modelo para el calculo de la incertidumbre

pro-ducida por hist´eresis en el termistor de titanato de bario

(

BaT iO

3

)

a partir de la teor´ıa de los sistemas memristivos

Después de haber realizado el ajuste de las funciones de entrada y salida con la información experimental de temperatura y resistencia del termistor de titanato de bario(BaT iO3) evalua-dos en el tiempo respectivamente, se realiza una comparación de la histéresis presente en los resultados teóricos planteados por el modelo con los datos de la figura (4.2). Para ello, por me-dio del software se realiza la gráfica de la resistencia en función de la temperatura utilizando las ecuaciones del modelo planteado por el presente documento, y los resultados de esta gráfica son comparados posteriormente con los datos experimentales, con el fin de comparar la histére-sis presente en cada una una de las gráficas. La ecuación (4.3) se grafica en función de (4.2). Evaluando estas funciones en un rango de tiempo entre 0 y 2π, se obtiene el comportamiento mostrado en la figura (4.9).

Figura 4.9: Gr´afica de R’(t) vs T’(t). Realizada por los autores

(67)

4.1. AJUSTE DE LOS DATOS EXPERIMENTALES CON EL MODELO PLANTEADO ₄₅

sistemas de esta naturaleza. Sin embargo, f´ısicamente la existencia de resistencia negativas no es posible, puesto que el incremento de voltaje sobre un circuito es proporcional a la corriente

V ∝I (4.4)

Con respecto a la ley de Ohm, la resistencia será el valor de la pendiente entre el voltaje y la corriente. En otras palabras, si la tensión es negativa o positiva la corriente tambien lo debe ser, dando como resultado siempre un valor de resistencia positivo. Otra forma de justificar lo mencionado anteriormente parte desde el análisis de la instrumentación y medidas, donde una medida negativa de cualquier variable f´ısica no es interpretada experimentalmente, es decir, siempre las medidas se deben ubicar en un estado inicial mayor o igual a cero. Por ejemplo, al medir la temperatura en un instante de tiempot = 0s, éste será el minimo dato accesible, puesto que en un instante de tiempo anterior no se conoce algún dato experimental y, por ello, determinar que no es posible tomar ambos semiciclos de las funciones.

Tomando únicamente el semiciclo positivo de la gráfica obtenida, la gráfica que muestra este comportamiento se muestra en la figura (4.10).

(68)

Por medio de las figuras (4.9) y (4.10) es posible observar, como ya se mencionó anteriormente, que el sistema corresponde a un sistema memristivo. Sin embargo, este sistema tiene una par-ticularidad que hace que éste no sea como los sistemas memristivos comunes. Lo anterior se debe a que su atractor caótico3_{o punto de inicio es diferente de cero, lo cual se explica debido}

a que las condiciones iniciales de entrada y salida del sistema no se encuentran en (0,0). Al realizar la comparaci´on de las gr´aficas (4.2) y (4.10) se obtienen los resultados de la figura (4.11).

Figura 4.11: Comparaci´on del modelo con datos experimentales. Realizada por los autores.

Debido a lo anterior, se encuentra que las curvas tienen puntos comunes de cruce, y en general un comportamiento similar, con lo que se observa que es posible el modelamiento de la incertidumbre por histéresis en el termistor a partir de la teor´ıa de los sistemas memristivos. Al realizar un análisis del error entre el comportamiento teórico y los datos experimentales es más comprensible el uso del modelo para esta aplicación, como se muestra en la sección 4.2.

3

(69)

4.2. RESULTADOS OBTENIDOS ₄₇

4.2. Resultados obtenidos

Mediante el uso del software es posible determinar qué tan próximo se encuentra el modelo planteado en el presente documento a los datos experimentales de resistencia y temperatura para el termistor de titanato de bario(BaT iO3). Los resultados presentados por el software muestran un análisis estad´ıstico que incluye resultados de la realización de la prueba χ2 _{de Pearson} y el cálculo del coeficiente de determinación R2 _{para la entrada y salida del sistema. Estas} pruebas determinan qué tan aproximado es el modelo teórico planteado con la información experimental, y de esta forma determinar si es válido para esta aplicación particular.

4.2.1. Valor de

χ

2 r

Como se observ´o previamente en la tabla de la figura (4.4) para la entrada del sistema y en la figura (4.7), se encuentra estimado un valor deχ2

rseg´un el ajuste. Para el caso de la entrada la informaci´on corresponde a:

χ2r = 0,09337 (4.5)

v = 93 (4.6)

Igualmente, para la salida del sistema el valor deχ2

r yves:

χ2r = 0,0714 (4.7)

v = 93 (4.8)

Observando la tabla de distribuci´on de la figura (A.1), se observa que en ambos casos la probabilidad de aceptaci´on del modelo para el caso del termistor de titanato de bario(BaT iO3)

es:

(70)

En terminos porcentuales

P% = 99,3 % (4.10)

Con base en lo anterior, el modelo matem´atico planteado en el presente documento es acep-tado para el caso de la pruebaχ2_.

4.2.2. Coeficiente de determinaci´on (

R

2

)

De manera similar al caso anterior, se muestran los valores del coeficiente de determinaci´on para la entrada del sistema:

R2 = 0,99999 (4.11)

Para el caso de la salida del sistema, el valor del coeficiente es:

R2 _{= 0}_,₉₉₉₄₉ _(4.12)

(71)

Conclusiones

Inicialmente, se logró relacionar el ciclo de histéresis producido por la incertidumbre con la teor´ıa de los sistemas memristivos, a través de la expansión en series de Taylor como método de solución de los parámetros fijados en la entrada y salida de la caracterización de los conceptos de histéresis en la instrumentación eléctrica.

Se desarrolló un modelo matemático aproximado de la incertidumbre por histéresis para el caso del termistor, a partir de la generalización del caso general del cálculo de la incerti-dumbre producida por histéresis en los instrumentos de medida al caso particular del termistor, desarrollada para un termistor tipo NTC como para un termistor tipo PTC.

Se llevó a cabo además un ajuste del modelo propuesto con resultados experimentales a partir de un termistor de titanato de bario(BaT iO3), donde se caracterizó la curva presentada por la histéresis presentes en las mediciones experimentales conforme al ajuste gráfico del ajuste no lineal desarrollado, sobre el cual se encontraron cada una de las variables dinámicas de la solución del modelo para el cálculo planteado por la investigación y, posteriormente, se caracterizaron aquellos términos referentes a la conceptualización f´ısica de las variables del sistema térmico referentes a las constantes térmicas presentes.

Se concluyó que es válido el modelamiento matemático de la histéresis en el termistor a partir del uso de los sistemas memristivos, ya que una vez desarrollado el análisis de los datos obtenidos mediante el software, se encontraron puntos de cruce comunes entre la gráfica expe-rimental y la resultante del modelo, un comportamiento similar tanto en el caso teórico como experimental, y en general, una aceptación del modelo por el software mediante un análisis estad´ıstico donde se comparó la información del modelo con la información práctica.

(72)

50 CONCLUSIONES

dientes del tiempo, es posible encontrar variables que determinan el comportamiento de un sistema y que dependiendo su valor pueden cambiar la respuesta del mismo, siendo este un factor importante en el análisis de la histéresis, donde además de las variables ya conocidas en los instrumentos de medida, se presentan otros parámetros que afectan de igual forma el funcionamiento de estos dispositivos.

Se observó que es posible a partir de un modelo matemático para la histéresis caracterizar este fenómeno, únicamente mediante el uso de las condiciones iniciales del sistema.

(73)

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