Uso de esquemas multiplicativos de los niños: un estudio basado en tareas con niños de educación básica primaria

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(1)USO DE ESQUEMAS MULTIPLICATIVOS DE LOS NIÑOS: UN ESTUDIO BASADO EN TAREAS CON NIÑOS DE EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA. Yennifer Karina Salcedo Portela. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ D.C., COLOMBIA Mayo de 2019.

(2) 2 USO DE ESQUEMAS MULTIPLICATIVOS DE LOS NIÑOS: UN ESTUDIO BASADO EN TAREAS CON NIÑOS DE EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA. Yennifer Karina Salcedo Portela Trabajo de investigación para optar al título de Magíster en Educación con Énfasis en Educación Matemática. Directora: Deissy Milena Narváez. Modalidad investigación Grupo de Investigación MESCUD. Universidad Distrital Francisco José De Caldas Facultad De Ciencias Y Educación Maestría en Educación Bogotá D. C., Colombia Mayo de 2019.

(3) 3. Gracias a Dios quién me ha dado la vida, las fuerzas, sabiduría, inteligencia y está oportunidad.. Gracias a mi directora Deissy Narváez, por su constante compromiso y guía en mi formación y compartir su sabiduría.. Gracias a ti mamá, mi fuerza, a Dios nuevamente gracias por ponerme en tu camino para poder decirte que Te amo, por ser lo más especial de mi vida y siempre llevarme en tus oraciones y tu corazón.. A mi gran colaborador y compañero de vida, por tu apoyo incondicional para lograr está meta, te agradezco por estar hay siempre.. Y a mis profesores de la maestría, que por sus charlas y reflexiones contribuyeron a mi formación y al mejoramiento de mi práctica docente.. A mis niños, por su participación y deseo de ser parte de esta investigación..

(4) 4 Tabla de Contenido Pág. Introducción ........................................................................................... 11 1. Momento lógico de la investigación.................................................... 13 1.1. Planteamiento de la investigación ............................................... 13. 1.2. Objetivos ........................................................................................ 17. 1.2.1. Objetivo General......................................................................... 17. 1.2.2 Objetivos específicos: .................................................................. 17 1.3 Antecedentes ....................................................................................... 17 En este apartado se presentan algunos antecedentes y una corta contextualización de la problemática abordada en el presente trabajo. .... 17 1.3.1 2. Sobre Los Esquemas y Esquemas Multiplicativos ................. 17. Revisión documental ............................................................................ 20 2.1. Marco Teórico ................................................................................ 20. 2.2. Acerca de Estructura Multiplicativa y Pensamiento Multiplicativo 20. 3. 2.3. Esquema ......................................................................................... 30. 2.4. El esquema de acción ................................................................... 31. 2.5. Esquema de orden superior.......................................................... 34. 2.6. Conteo ............................................................................................ 35. 2.7. Tipos de Secuencias Numéricas .................................................. 37. 2.8. Esquemas multiplicativos ............................................................. 39. 2.9. Tareas y Formas de Representación ........................................... 41. Diseño de la investigación ................................................................... 44 3.1. Marco Metodológico ...................................................................... 44.

(5) 5 3.2. Descripción de los participantes .................................................. 45. 3.3. Investigación- Acción Participativa .............................................. 45. 3.3.1 Rasgos distintivos ........................................................................ 45 3.3.2 Fases de la Metodología (fases, etapas, momentos, ciclos) ..... 46 3.4. Recolección de Datos .................................................................... 48. 3.5. Categorías ...................................................................................... 49. 3.5.1 Criterios para el establecimiento de las categorías de análisis de la información ......................................................................................... 49 3.5.2 Definición de las Categorías de Análisis .................................... 50 3.6. Diseño de Entrevista Estructurada Basada en Tareas ............... 52. 3.6.1 Tarea 1.1: Bolas de plastilina ....................................................... 52 3.6.2 Tarea 1.2: Bolas de plastilina ....................................................... 53 3.6.3 Tarea 2: Fichas tapadas ............................................................... 54 3.6.4 Tarea 3.1: Pastelitos ..................................................................... 55 3.6.5 Tarea 3.2: Pastelitos de fiesta ...................................................... 55 3.6.6 Tarea 4: Bloques ........................................................................... 56 3.6.7 Tarea 5: Collares ........................................................................... 57 4. Resultados ............................................................................................. 58 4.1. Análisis ........................................................................................... 58. 4.2. Descripción general de las Tareas y su Aplicación .................... 59. 4.2.1 Tarea 1.1 Bolas de plastilina ........................................................ 59 Protocolo I (Tarea 1.1) ........................................................................... 62 Protocolo II (tarea 1.2) ........................................................................... 64 4.2.2 Tarea 1.3: Bolas de plastilina ....................................................... 67 Protocolo III (Tarea 1.3) ......................................................................... 67 Protocolo IV (Tarea 1.3) ......................................................................... 70 4.2.3 Tarea 2: Fichas tapadas ............................................................... 72 Protocolo V (tarea 2. 3) .......................................................................... 73 Protocolo VI (tarea 2. 4) ......................................................................... 75.

(6) 6 Protocolo VII (tarea 2. 5) ........................................................................ 77 Protocolo VIII (tarea 3.1) ........................................................................ 80 4.2.4 Tarea 3.2: Pastelitos de fiesta ...................................................... 83 Protocolo IX (tarea 3.2) .......................................................................... 83 4.2.5 Tarea 4: Bloques (entrevista personalizada) .............................. 85 4.2.6 Tarea 5: Collares ........................................................................... 91 Protocolo XI (tarea 5.2) .......................................................................... 92 Protocolo XII (tarea 5.2) ......................................................................... 96 5. Conclusiones ...................................................................................... 100 5.1. 6. Conclusiones generales .............................................................. 108. Referencias .......................................................................................... 110.

(7) 7 Lista de Tablas Pág. Tabla 1, Tabla de organización y sistematización de los datos. ..................... 49 Tabla 2, Marco de desarrollo de seis esquemas propuesta por Tzur et al. (2013). .............................................................................................................................. 50 Tabla 3, Uso de Esquemas de Secuencia Numérica Inicial a Tácitamente Anidada. ................................................................................................................ 64 Tabla 4, Uso de Secuencia Numérica Tácitamente Anidada. ......................... 66 Tabla 5, Simbolización hoja de trabajo de Juan .............................................. 70 Tabla 6, Uso de esquema multiplicativo Recuento Doble Multiplicativo. ......... 71 Tabla 7, Uso de Esquema multiplicativo de Coordinación de la Misma Unidad. .............................................................................................................................. 75 Tabla 8, Uso del Esquema multiplicativo de Coordinación de la misma Unidad. .............................................................................................................................. 77 Tabla 9, Uso del Esquema multiplicativo de Coordinación de la misma unidad. .............................................................................................................................. 78 Tabla 10,Tabla de Mafe. ................................................................................. 79 Tabla 11, Uso de Esquema multiplicativo, Recuento Doble Multiplicativo. ..... 82 Tabla 12, Tabla de Ariadna. ............................................................................ 84 Tabla 13, Uso de Esquema multiplicativo de Unidad de Diferenciación y Selección. .............................................................................................................. 85 Tabla 14, Organización de resultados de Mateo. ............................................ 90 Tabla 15, Uso de esquema multiplicativo de Coordinación de Unidades y División Cuotitiva. .................................................................................................. 91 Tabla 16, Uso de Esquemas de acción y de Esquemas de Orden Superior. .. 95 Tabla 16, Uso de Esquema multiplicativo de División Cuotitiva. ..................... 99.

(8) 8 Lista de Ilustraciones y Figuras Pág. Ilustración 1, (Confrey 1994, p. 320). .............................................................. 32 Ilustración 2, Mapa del Marco Metodológico. .................................................. 44 Ilustración 3, Tarea Bolas de plastilina............................................................ 53 Ilustración 4, Tarea Ficha Tapada. ................................................................. 55 Ilustración 5, Tarea Pastelitos. ........................................................................ 55 Ilustración 6, Tarea Pastelitos de fiesta. ......................................................... 56 Ilustración 7, Tarea Bloques. .......................................................................... 56 Ilustración 8, Tarea Bloques. .......................................................................... 57 Ilustración 9, Tarea Collares. .......................................................................... 58 Ilustración 10, Tarea Bolas de Plastilina. ........................................................ 59 Ilustración 11, manejo de la secuencia anidad (Samuel). ............................... 60 Ilustración 12, Samuel y Esteban señalando ¿cuántas bolas hay? ................ 60 Ilustración 13, Unidad perceptual a unidad figural (Esteban). ......................... 61 Ilustración 14, Respuesta de Juan (enunciado verbal o escrito). .................... 61 Ilustración 15, Tabla de consignación de datos de todos y enunciado verbal escrito. ................................................................................................................... 62 Ilustración 16, Organización en línea recta de Samuel. .................................. 63 Ilustración 17, Agrupación de Samuel............................................................. 63 Ilustración 18, Cuenta a partir de tres y señala con las manos, (Esteban). .... 65 Ilustración 19, Cuenta cuatro, cinco (una por una, Esteban). ......................... 66 Ilustración 20, Tarea Bolas de plastilina.......................................................... 67 Ilustración 21, Señalamiento con un dedo (Juan). ......................................... 69 Ilustración 22, señalamiento con dos dedos el espacio de dos azules (Juan). 69 Ilustración 23,. Juan contando cada que señala, nombra dos números en. secuencia. ............................................................................................................. 71 Ilustración 24, tarea Fichas Tapadas. ............................................................. 72 Ilustración 25, Posibilidades visibles, Tarea fichas tapadas............................ 72 Ilustración 26, Conteo con dedos grupos de 6 (Laura). .................................. 73 Ilustración 27, Fichas visibles de la tarea 2.4. ................................................. 75.

(9) 9 Ilustración 28, Tarea dos grupos de diferente color (total 12). ........................ 76 Ilustración 29, Pensando 20 fichas por 5 grupos (Mateo). .............................. 78 Ilustración 30, Tarea Pastelitos. ...................................................................... 79 Ilustración 31, Tarea Pastelitos de fiesta. ....................................................... 83 Ilustración 32, Tarea Bloques. ........................................................................ 85 Ilustración 33, Mateo ubicando los bloques rojos y rosados. .......................... 86 Ilustración 34, La investigadora le da ejemplo de la primera torre de 4 en el recipiente. .............................................................................................................. 86 Ilustración 35, Mateo toma otro grupo de 4 y las coloca en el recipiente. ....... 87 Ilustración 36, Mateo selecciona y arroja otras 4 y dice 12. ............................ 87 Ilustración 37, Tarea Collares. ........................................................................ 91 Ilustración 38, Collares de cada niña terminado según las condiciones dadas. .............................................................................................................................. 92 Ilustración 39, Cuenta mentalmente (Ariadna). ............................................... 93 Ilustración 40, Hoja de trabajo de Alana. ........................................................ 94 Ilustración 41, Collar terminado Ariadna. ........................................................ 94 Ilustración 42, Observación de condición 16 azules no 20 y señalización de Mafe y Alana. ................................................................................................................. 95 Ilustración 43, En este si es 4X6 (Alana). ....................................................... 97 Ilustración 44, Aclaración 4 grupos de a 4 (investigadora 1). .......................... 98.

(10) 10 Lista de Ecuaciones Pág. Ecuación 1, Vergnaud (1991). ........................................................................ 22 Ecuación 2, Regla de tres, Vergnaud (1991). ................................................. 23 Ecuación 3, Maza (1989) ................................................................................ 25 Ecuación 4, Suma de Mafe. ............................................................................ 81 Ecuación 5, Multiplicación de Mafe (lo escribe por sugerencia de su compañera Alana). ................................................................................................................... 82.

(11) 11 Introducción El propósito de esta investigación es indagar por los esquemas multiplicativos que usan y son capaces de movilizar los niños de un grupo de primaria, de esquemas de acción a esquemas de orden superior, cuando se enfrentan a tareas de tipo multiplicativo y de conteo. De este modo se pretende un acercamiento a las matemáticas de los niños y hacer nuestra interpretación de los esquemas más categorizados que emerjan de las tareas planteadas.. Para dar respuesta al propósito planteado este trabajo está dividido en cinco capítulos. El primer capítulo muestra en planteamiento de la investigación y el tratamiento que varios autores le dan a la teoría de Esquemas en la cual se encuentra inmersa la investigación. A continuación, se abordan los antecedentes de este estudio y delimitación del problema de investigación, de esta manera se expresa la pregunta de investigación que hace referencia a cuáles son los esquemas multiplicativos que usan (y que son posibles identificar) en el trabajo de los niños de un grupo de primaria, cuando se enfrentan a tareas de tipo multiplicativo en los números naturales, posteriormente se hacen explícitos los objetivos de la investigación.. En el segundo capítulo se despliega la fundamentación teórica y una revisión documental, que se desarrolla en tres partes. La primera parte se dedica a la estructura multiplicativa; la segunda parte hace una caracterización de esquemas, esquemas multiplicativos, conteo y secuencias numéricas, y en la tercera parte se hace una breve descripción de las formas de representación.. El tercer capítulo muestra la descripción de la población, se presenta el enfoque de investigación utilizado en este estudio, así mismo sus fases. A continuación, se expone la forma de recolección de los datos y su organización, la naturaleza de las entrevistas, como los instrumentos utilizados en éstas, surgiendo así las categorías de análisis de la información y su descripción. Finalmente se presentan las entrevistas basada en tareas propuestas en la investigación..

(12) 12. A través de los análisis de los diferentes momentos de las entrevistas y de los resultados obtenidos en el desarrollo de la investigación, surge el capítulo 4. Inicialmente se hace un análisis de los esquemas encontrados y usados por los niños al abordar las tareas planteadas y una descripción del momento en protocolos donde se describen las acciones realizadas por los niños.. Para finalizar, en el capítulo cinco, se expone los resultados de la investigación a partir de las evidencias encontradas y el análisis de los datos, de igual manera se hacen explícitas algunas consideraciones que se desprenden de esta investigación..

(13) 13 1. Momento lógico de la investigación. 1.1 Planteamiento de la investigación La investigación se desarrolla a partir del tratamiento que varios autores le dan a la teoría de Esquemas en la cual se encuentra inmersa la investigación. Seguido, se abordan los antecedentes de este estudio y delimitación del problema de investigación, de esta manera se expresa la pregunta de investigación, el objetivo general y los objetivos específicos.. Diversos resultados de investigación en el campo de la educación matemática muestran que la multiplicación es tratada por maestros de primaria, en formación y en servicio, principalmente como suma reiterada (Vergnaud, 1999). Esta interpretación desde lo aditivo limita el campo de aplicación del pensamiento multiplicativo y lo desliga de otros conceptos matemáticos de los que es precursor, tales como: división, razón, proporción, función. El hecho de favorecer esquemas aditivos limita las formas de aplicación de la multiplicación para situaciones multiplicativas como la división, la razón, entre otros conceptos fundamentales con los cuales se relaciona conceptualmente (Mojica, 2014, p.1).. Por su parte, Freudenthal (1983) señala que el modelo aditivo es agregativo y está vinculado a tareas como agregar y trasladar, mientras que el modelo multiplicativo se refiere a la interacción de un número en función de otro, procurando un esquema más cercano a la proporcionalidad que a la adición repetida. Steffe (1994) nos aclara que para que una situación pueda ser considerada como multiplicativa, al menos es necesario coordinar dos unidades compuestas, en el sentido de que una de las unidades compuestas se distribuye a lo largo de los elementos de la otra unidad compuesta. En consecuencia, la estructura multiplicativa se construye de manera limitada, con base en los fundamentos del pensamiento aditivo como suma repetitiva, producto cartesiano o área rectangular. No queremos decir que esta concepción sea inadecuada pero sí limitada, pues resulta insuficiente como ya lo mencioné.

(14) 14 anteriormente, para el tratamiento de situaciones multiplicativas… “al estar directamente relacionadas con conceptos de división, razón, proporción y funciones exponenciales” (Mojica, 2014, p. 2). Por esto es necesario visibilizar los esquemas multiplicativos que construyen los niños y que podrían utilizarse como materia prima para diseñar actividades de aprendizaje mucho más fructíferas en la escuela. Desde mi experiencia como docente de matemáticas en primaria surge el interés por suplir ausencias conceptuales y pedagógicas de mi propia práctica, tales como dar sentido a las dificultades que percibo en el aprendizaje de las matemáticas de los niños en la escuela y en una formación conceptual a los aspectos distintintivos de las secuencias numéricas frente a la multiplicación. Con el objeto de construir el pensamiento multiplicativo desde edades tempranas encuentro que autores como Steffe (1994) abordaron un modelo de los enfoques informales e iniciales de los niños al multiplicar y dividir, con el propósito de derivar esta “materia prima” conceptual, realizando caminos viables y medios para guiar los conceptos y actividades de los niños. Steffe (1994), cartografió esquemas de acción y operación donde involucró unidades compuestas cuando son elaboradas y reorganizadas por los niños, basado en un experimento de enseñanza. En el trabajo realizado por Leslie Steffe, su meta fue estudiar y cartografiar las operaciones de asimilación de los niños, sus intenciones y la actividad usada para dar solución. Entre las acciones para dar solución se observaron regularidades en los intentos a lo largo de muchas situaciones, fueron ocasiones para abstraer esquemas de acción que explicaran las observaciones y los cambios en la misma una acomodación en los esquemas conceptuales de funcionamiento de los niños. Este trabajo muestra que la identificación de esquemas de los niños es una base indispensable para el trabajo de maestro; pues una vez los identifica, puede enfocarse en promover categorizaciones de esos esquemas para dar sentido a los conceptos matemáticos que les permitan abordar situaciones matemáticas a los niños..

(15) 15 También encuentro que autores como Confrey (1994) proponen formas alternativas al conteo, para el trabajo y desarrollo del pensamiento multiplicativo infantil. Reconociendo que la adición repetida no es el único modelo de multiplicación, este autor propone la conjetura Splitting como una construcción complementaria de este concepto matemático. El splitting permite la construcción de aprendizajes basados en esquemas, esta idea también es compartida por Steffe (1994). Los esquemas sirven como estructuras que guían la actividad dentro de un marco dirigido por metas y es anticipatorio siempre que los niños puedan usar ese esquema en representación de la actividad o resulta anterior a ejecutar la respuesta del esquema, sin embargo, el hecho de que quien guíe la actividad dentro del aula, sea el profesor y que “el profesor hable acerca del procedimiento parece ser insuficiente para la formación de un esquema, porque muchos estudiantes no tienen conciencia acerca de las operaciones en el procedimiento sobre el que pende el habla. …” (Skemp, 1993, como se citó en Davis & Tall, 2002). Finalmente, la dificultad como docente está en plantear situaciones que posibiliten el desarrollo de esquemas y que favorezcan en los estudiantes la utilización de representación semiótica que les faculte a consolidar formas complementarias para el manejo de tareas o situaciones multiplicativas y consolidar dichos esquemas de acción.. Según Steffe la teoría de esquemas operacionalizó la abstracción reflexiva como esas acomodaciones que los niños realizan en sus esquemas en contextos experienciales para neutralizar las perturbaciones que introduce a través de sus acciones (von Glasersfeld, 1991; Steffe, 1991). Por esta razón, el interés de esta propuesta de investigación consiste en el trabajo con esquemas, ya que son el proceso de modelar qué es lo que el cerebro está haciendo cuando piensa matemáticamente, pues Skemp en su teoría pionera sobre esquemas se centró en temas fundamentales de modelos para operaciones cerebrales en pensamiento matemático (Davis & Tall, 2002, p. 15).. Desde el trabajo propuesto por Davis y Tall, considero los esquemas como herramientas de la memoria del individuo que le permiten organizar nuevas.

(16) 16 experiencias y afrontar situaciones-problema o tareas. Sabiendo que repetir un procedimiento por sí solo no es garantía de que resultará, porque no puede haber necesidad de reflexionar sobre el procedimiento en ausencia de su realización en la práctica…. La única respuesta viable parece ser que deben abstraerlos de su propia experiencia (von Glasersfeld, 1990, como se citó en Davis & Tall, 2002). Este hecho permite ver la necesidad de proponer diversas experiencias en el aula que permitan a los niños, no solo generar esquemas de acción basados en las experiencias, sino también incorporar dichos esquemas a su repertorio de operaciones mentales que les permitan abordar situaciones tanto aditivas como multiplicativas. Está necesidad también es identificada en el trabajo de Martínez, Rojas y Rojas (2018) quienes reportan en su análisis las diferentes unidades simples y compuestas que reconocen los niños y usan para abordar tareas multiplicativas y de división, en particular reportan dos estrategias emergentes que los niños abordan en su repertorio de operaciones que les permite resolver las tareas propuestas.. En ese sentido Narváez y Urrutia (2005) desarrollan una secuencia de actividades para promover construcción de esquemas Splitting en el aula de cuarto grado, dando luz a las tareas a desarrollar con niños en edades tempranas ya que muchas de las acciones de los niños en edades muy tempranas, de 4 a 5 años, por lo general no se internalizan como un esquema de primer orden. Pero para cuando los niños tienen aproximadamente 8 años, han categorizado conceptualmente varios esquemas de acción y, por lo tanto, han establecido un esquema de primer orden para la negociación (Davis & Tall, 2002, p.5). Entonces, es necesario caracterizar la población de niños que estén en edades entre los 6 a 9 años aproximadamente de un muestreo intencional confirmatorio o desconfirmatorio de los padres de la población y así poder relacionar los esquemas de acción o de orden cero con los esquemas de orden superior que emergen de las actividades propuestas.. De acuerdo con lo anterior expuesto, la problemática a investigar nace desde la revisión de antecedentes y desde la experiencia de trabajo en el aula con niños de.

(17) 17 primaria, en relación con los procesos de multiplicación y algunos conceptos asociados: ¿Cuáles son los esquemas multiplicativos que usan (y que es posibles identificar) en el trabajo de los niños de un grupo de primaria, cuando se enfrentan a tareas de tipo multiplicativo en los números naturales? 1.2 Objetivos 1.2.1 Objetivo General Describir y analizar los esquemas de tipo multiplicativo que ponen en juego estudiantes de distintos grados de la educación primaria, y que son posibles de identificar al abordar tareas de conteo y multiplicación en diferentes contextos. 1.2.2 Objetivos específicos: •. Identificar esquemas de acción que usan los niños cuando se enfrentan a situaciones de conteo y de tipo multiplicativo, en contextos que ofrecen material manipulable, representaciones diversas e intercambio con otros.. •. Identificar, mediante revisión documental, los esquemas multiplicativos y de conteo que han sido reportados en la literatura sobre esquemas y contrastar con las acciones realizadas por los niños en las tareas propuestas, con el fin de aportar más ejemplos del uso de estos esquemas y mostrar que es posible identificarlos en las tareas escolares.. 1.3 Antecedentes En este apartado se presentan algunos antecedentes y una corta contextualización de la problemática abordada en el presente trabajo. 1.3.1 Sobre Los Esquemas y Esquemas Multiplicativos Para la estructuración de la propuesta se tomaron como base 3 autores relacionados con el trabajo de Teoría de Esquemas: Steffe, 1994 y Davis y Tall, 2002 y relacionados con los Esquemas Multiplicativos y de conteo en los niños: Steffe, 1994 y Olive, 2011.. La Teoría de los Esquemas toma sus términos aparentemente de la psicología de Barlett (como se citó en Davis & Tall, 2002) y se referencia desde los fundamentos.

(18) 18 del Constructivismo Piagetiano (1967) y se complementa con el trabajo de Steffe (1994), sobre Esquemas Multiplicativos de los Niños, donde se plantean fundamentos teóricos acerca de la pertinencia del Experimento de Enseñanza para el desarrollo e identificación de esquemas multiplicativos en los niños con base al trabajo de secuencias de actividades para la construcción de unidades compuestas iterables. Davis y Tall (2002) categorizan el mundo estructurándolo a partir de la capacidad de un individuo, la cual es fundamental en matemáticas. Esta actividad reflexiva es una parte esencial para el análisis de la información que, sobre este aspecto, resulte de la aplicación de las tareas propuestas para el desarrollo de la presente investigación. Dentro de la teoría se tomaron los Esquemas de Acción como la secuencia de acciones realizadas para alcanzar una meta y los Esquemas de más alto orden, ambas considerados por Davis y Tall (2002), como los procesos de categorización de los Esquemas de Acción, según el nivel de abstracción que los estudiantes logren de los mismos. Para definir los esquemas que se puedan identificar en la presente investigación tomamos como base a Skemp (1993) (Como se citó en Narváez, Urrutia y Romero, 2006) quien define un esquema como una estructura mental de conocimiento organizada en la que el nuevo conocimiento y la nueva experiencia deberían encajar. 1.3.2 Sobre el pensamiento multiplicativo De la revisión literaria realizada sobre estructura multiplicativa es necesario reconocer los aportes realizados por Mojica (2014), en su revisión documental, quien menciona autores como Freudenthal (1983), Vergnaud (1982), Fischbein et al. (1985), Puig y Cerdán (1988), Schwartz (1988), Nesher (1988), Steffe (1988), Maza (1989), Bell (1989), Bell y Greer (1992), Dickson, L., Gibson, O., & Brown, M (1991), Castro y otros (1995), Kamii y Clark (1996), MESCUD (2002), Godino (2004), Bosh (2012), entre otros, son abordados con el objeto de ampliar la.

(19) 19 concepción sobre suma repetida, mayoritariamente usada respecto a este objeto matemático, y conocer aspectos generales referidos al tratamiento escolar de la multiplicación y la división (Mojica, 2014, p. 5). Se tomó como referencia el experimento de enseñanza de Steffe (1994), de esta experiencia retomo características generales y etapas propias del Experimento de Enseñanza y del diseño de Tareas, a fin de complementar el diseño metodológico. También en este mismo campo del Experimento de Enseñanza, se tomó como referencia la secuencia de situaciones propuesta por Narváez y Urrutia (2005)..

(20) 20 2. Revisión documental. 2.1 Marco Teórico La fundamentación teórica se desarrolló en tres partes. La primera parte se dedica a la estructura multiplicativa; la segunda parte hace una caracterización de esquemas, esquemas multiplicativos, conteo y secuencias numéricas, y en la tercera parte se hace una breve descripción de las formas de representación.. 2.2 Acerca de Estructura Multiplicativa y Pensamiento Multiplicativo Una de las nociones de pensamiento se enfoca en un conjunto de actividades mentales u operaciones intelectuales, como razonar, hacer abstracciones, generalizaciones, etc., cuyas finalidades son, entre otras, tomar decisiones, representar la realidad, tener una respuesta mental interna y un dominio de los conceptos, aunque en ocasiones esté limitado por las palabras (Bosch, 2012). Para el desarrollo de este ejercicio investigativo tomé, de acuerdo con Bosch (2012) las claves de las nociones de pensamiento que parecen especialmente relevantes para el trabajo con niños, y que son: ● El pensamiento como vía de construcción del conocimiento y la toma de decisiones. ● La resolución de problemas en el proceso de pensamiento. ● La relación de dicho proceso con las representaciones, internas y externas del sujeto. ● El pensamiento pertenece a la dimensión intelectual del sujeto, aunque se manifiesta, en ocasiones, en su conducta observable (acciones). Esta última apreciación resulta crucial para interpretar los datos recogidos de la presente investigación, ya que en muchas ocasiones las actividades de pensamiento de los niños han de ser inferidas de sus actos, pues sus palabras aún no consiguen describir el proceso mental seguido para resolver una tarea (Bosch, 2012). Nos interesa particularmente el desarrollo del pensamiento multiplicativo, que se enfoca en la construcción de significado de las operaciones matemáticas tales como.

(21) 21 multiplicación, división, fracción o proporción (Bosch, 2012). En el caso particular de este trabajo se hace énfasis en la multiplicación como eje de investigación. Al respecto, se parte de un estudio cronológico de diferentes perspectivas del pensamiento multiplicativo (Mojica, 2014), muchas de ellas generadas como resultado del surgimiento de los estudios científicos pioneros en educación matemática unas cuatro décadas atrás. Autores como Vergnaud (1991), Freudenthal (1983), Fischbein E., Deri, M., Nello, M. & Marino, M. (1985), Puig y Cerdán (1988), Schwartz (1988), Nesher (1988), Bell (1989), Maza (1989, 1991), Steffe (1994), Olive (2011), entre otros, dieron tratamiento a la estructura multiplicativa desde diferentes teorías y perspectivas. Dentro de las perspectivas más destacadas encontramos que la estructura multiplicativa se consideró desde el campo cognitivo del estudiante, desde su naturaleza como objeto matemático, desde su relación con la estructura aditiva, desde los factores asociados al conocimiento, y se establecieron postulados teóricos que fundamentan su estudio. Desde su teoría de los campos conceptuales [TCC], Vergnaud refiere “Campo Conceptual como un conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición”, (Vergnaud, 1991, p.40). Este autor establece diferencias de dos campos conceptuales: la estructura aditiva y la estructura multiplicativa, entendiendo la primera como aquel conjunto de clases de situaciones que involucran operaciones aritméticas y nociones aditivas (adición, sustracción, diferencia, intervalo o traslación) y la segunda considerada como aquellas clases de situaciones que involucran operaciones y nociones de tipo multiplicativo (multiplicación, división, fracción o proporción) y añade que las estructuras multiplicativas cuentan en parte con las estructuras aditivas, pero tienen su propia organización intrínseca que no puede reducirse a lo aditivo. También Vergnaud (1991) desde el pensamiento multiplicativo plantea que la estructura multiplicativa contiene diferentes tipos de situaciones distribuidas en tres.

(22) 22 categorías: Proporción simple, Producto de medidas y Proporción múltiple, y a su vez contienen subclases definidas. ● Proporción Simple: 1. Isomorfismo de medidas: se refiere a repartos iguales, movimiento uniforme, densidades constantes, esta estructura indica los problemas que subyacen en una proporcionalidad simple directa entre las dos magnitudes implicadas y se representa utilizando tablas de correspondencia.. Ecuación 1, Vergnaud (1991). 1.1 Subclase de multiplicación: corresponde en el caso anterior al caso particular de ser𝑥 = 1; conocidos𝑓(𝑥) y 𝑥 ´ ; desconocido 𝑓(𝑥 ´ ). Juan compra dos caramelos al precio de 12 pesetas cada uno, ¿cuánto tiene que pagar? 1.2 Subclase de división primer tipo: según la estructura general presentan características de ser. 𝑥 = 1; la incógnita 𝑓(1) y son. conocidos 𝑥 ´ y 𝑓(𝑥 ´ ). Elena quiere repartir sus caramelos con María y Carmen en partes iguales. Su madre le da 12 caramelos, ¿cuántos caramelos recibirá cada una? 1.3 Subclase de división de segundo tipo: según la estructura general deben hallar 𝑥 ´ conociendo 𝑓(𝑥 ´ ) y 𝑓(1) siendo 𝑥 = 1. Juan tiene 150 pesetas y quiere comprar juegos de ordenador. Cada uno de ellos cuesta 300 pesetas, ¿cuántos juegos puede comprar? 2. Regla de tres: su esquema es.

(23) 23. Ecuación 2, Regla de tres, Vergnaud (1991). Intervienen tres datos: 𝑎, 𝑏 y 𝑐, lo que indica que no son problemas simples de estructura multiplicativa. Describe problemas relativos a áreas, volúmenes y producto cartesiano de productos discretos. 2.1 Producto de medida: engloba tres magnitudes, de tal manera que una de ellas es el producto cartesiano de las otras dos. 2.1.1 Multiplicación: debe encontrar la medida producto, conocidas las medidas que lo componen. ¿Cuál es el área de una habitación rectangular que mide 5𝑚 de largo por 3𝑚 de ancho? 2.1.2 División: se debe encontrar una de las cantidades elementales que se componen, conociendo la otra y la cantidad compuesta. La superficie de una habitación rectangular es de 24𝑚2 y el largo de la habitación es de 6𝑚, ¿Cuál es el ancho? ● Proporción múltiple: refiere a problemas de proporcionalidad en los que intervienen al menos tres magnitudes y que por lo tanto son problemas compuestos. Por su parte Freudenthal (1983), uno de los precursores de la Educación matemática, desde el pensamiento matemático, señala que el modelo aditivo es agregativo y está vinculado a tareas como agregar y trasladar, mientras que el modelo multiplicativo se refiere a la interacción de un número en función de otro, procurando un esquema más cercano a la proporcionalidad que a la adición repetida. Así mismo, este autor nos indica que la multiplicación modela situaciones de área y combinatoria, entre otras (Bosch, 2012, p. 22).. Fischbein (1985), desde la perspectiva del estudiante, propone su Teoría de los Modelos Primitivos, para dar cuenta de las actuaciones de los niños sobre los.

(24) 24 problemas verbales, específicamente la habilidad para escoger operaciones. Esta teoría asegura que: …cada una de las operaciones aritméticas fundamentales generalmente permanece asociada a un modelo intuitivo primitivo, inconsciente e implícito. La identificación de la operación necesaria para resolver un problema con dos ítems de datos numéricos no ocurre de manera inmediata, sino que está mediada por el modelo. El modelo impone su propio constreñimiento sobre proceso de búsqueda. Fischbein, Deri, Nello y Marino (como se citó en Mojica, 2014-). Puig y Cerdán (1988) reconocen la concepción de multiplicación como suma repetitiva, como producto cartesiano y como modelo rectangular. Sin embargo, afirman que existen otro tipo de situaciones que se organizan mediante operación multiplicativa pero que el proceso de esquematización no lleva a estos modelos. Argumentan que este tipo de situaciones conllevan a representaciones mediante diagramas de árboles o circuitos y tienen un carácter geométrico al representarlos sin que sean explícitas las acciones multiplicativas.. Schwartz (1988) plantea la matemática como una actividad de modelización de acciones de contar y medir que generan unidades de referencia. Schwartz considera dos tipos de cantidades: Intensivas (I) y extensivas (E). Donde los números aparecen por procesos de cuantificación de aspectos del mundo a través del conteo (cantidades discretas) y la medición (cantidades continuas) generando “Cantidades Extensivas”. La aplicación de operaciones aritméticas a cantidades ya definidas da origen a las “Cantidades Intensivas”; con base en esta distinción clasifica los problemas multiplicativos así: ● Problemas de estructura 𝐼 𝑥 𝐸 = 𝐸’ (Isomorfismo de medidas de Vergnaud). Para la división estructuras 𝐸’/𝐸 = 𝐼 𝑦 𝐸’/𝐼 = 𝐸. Constituyen los planteamientos que generalmente la escuela propone a los estudiantes..

(25) 25 ● Problemas de estructura 𝐸 𝑥 𝐸’ = 𝐸” (Producto de medidas de Vergnaud) y corresponden a productos cartesianos y áreas. ● Problemas de estructura 𝐼𝑥𝐼´ = 𝐼´´ : corresponde a problemas y divisiones de la forma 𝐼´´/𝐼´ = 𝐼 y 𝐼´´/𝐼 = 𝐼´. Nesher (1988) estudia la estructura multiplicativa situándose en un análisis semántico de los problemas verbales, propone tres categorías: ● Regla de mapeo, que corresponde a Isomorfismo de medidas de Vergnaud y a la Categoría 𝐼 𝑥 𝐸 = 𝐸’ de Schwartz. ● Multiplicación Cartesiana, incluida en el producto de medidas de Vergnaud y en la categoría 𝐸 𝑥 𝐸’ = 𝐸” de Schwartz. ● Comparación Multiplicativa, realizada con cantidades no necesariamente de la misma clase. Esta categoría no corresponde explícitamente con propuestos de Vergnaud ni con los de Schwartz pero se suponen incluidos en el Isomorfismo de medidas y en la estructura 𝐼 𝑥 𝐸 = 𝐸’ respectivamente.. Para Maza (como se citó en Mojica, 2014) la multiplicación se concibe como una aplicación entre el conjunto N x N de parejas ordenadas de números naturales y el propio conjunto N. Esta concepción de la multiplicación, así entendida, tiene un carácter binario. (...) Así, la operación multiplicación puede definirse como una aplicación de N en N del siguiente modo:. Ecuación 3, Maza (1989) Maza (1991) clasifica los problemas multiplicativos en problemas de combinación, los resultados a sumas reiteradas y, problemas de Razón, los que se hacen por producto cartesiano. Sin embargo, entre ellos aparecen otros dos tipos de problemas, los problemas de comparación que se relacionan con los problemas de Razón y, los problemas de Conversión, que se relacionan estrechamente con los de Combinación y los de Razón. (Mojica, 2014).

(26) 26 Teniendo en cuenta conceptos de simetría y asimetría entre las cantidades que aparecen en el problema, proponen la clasificación de problemas asimétricos de la siguiente manera: ● Grupos múltiples: Hay 3 cartones de huevos a 6 huevos cada uno. ¿Cuántos huevos hay en total? ● Medida repetida: Un sastre necesita 3 piezas de tela de 4.6 metros de largo. ¿Cuánta tela comprará? ● Razón (tasa): Un hombre camina a la velocidad de 4.6 𝑘𝑚𝑠/ℎ durante 3.2 horas. ¿Cuánto caminará? ● Cambio de tamaño (la misma unidad) Una fotografía se amplía según el factor 4.6. Si la altura original era 5.2 centímetros, ¿cuánto medirá la altura de la fotografía ampliada? ● Cambio de tamaño (unidades distintas): La maqueta de un bote está hecha a escala de 4.6 ● Metros por pulgada. Si la maqueta es de 5.2 centímetros de larga, ¿cuál es la longitud del bote? Bell y Greer (como se citó en Bosch, 2012) se enfocan en los efectos asociados con el tipo y propiedades de los números que aparecen en los problemas verbales y a los efectos de interferencia de los pensamientos de los estudiantes acerca de los cálculos. Donde evidencian concepciones erróneas como que la multiplicación agranda y que la división achica (MADA), y que se divide el número mayor entre el menor. Greer (1994) categoriza los problemas multiplicativos en: ● Grupos iguales. ● Comparación multiplicativa. ● Producto cartesiano - Área rectángulo. Confrey (1994) propone estudiar la estructura multiplicativa donde amplía el planteamiento al considerar una operación de carácter multiplicativo como aquella que determina el total de elementos dispuestos en grupos de igual cantidad, propone un trabajo alternativo donde a partir de acciones como doblar, repartir, dividir simétricamente, se tratan conceptos de multiplicación y división de manera.

(27) 27 simultánea y dando énfasis al trabajo paralelo de la multiplicación repetida frente a la multiplicación como suma repetida. El trabajo de unidades compuestas iteradas es eje central de esta propuesta. En líneas posteriores se hace un tratamiento más profundo de ésta, como base de los postulados de mi investigación.. Steffe (1994) nos aclara que para que una situación pueda ser considerada como multiplicativa, al menos es necesario coordinar dos unidades compuestas, en el sentido de que una de las unidades compuestas se distribuye a lo largo de los elementos de la otra unidad compuesta. Desde esta definición, el alcanzar una estructura compuesta de grupos iguales está en el corazón del razonamiento multiplicativo, aunque la coordinación entre las unidades compuestas es compleja y los modelos físicos pueden ayudar inicialmente.. Castro et al. (1995) plantean que para estudiar la multiplicación existen muchos modelos diferentes, cada uno enfocado hacia un concepto particular de número, así: ● Modelos lineales: Utilizan la recta numérica para modelar la multiplicación y la división utilizando diferentes intervalos de longitudes que generan sucesiones numéricas para cada una de estas operaciones. ● Modelos cardinales: Utilizan el contexto cardinal para representarlas. La multiplicación se toma como la unión repetida de conjuntos cardinales, la distribución de objetos en un esquema rectangular, representándolos mediante producto cartesiano de dos conjuntos y, mediante diagramas de flechas. La división se toma como repartición en partes iguales. ● Modelos numéricos: Utilizan un contexto estrictamente simbólico, la multiplicación y la división son tomadas como sumas y restas reiteradas respectivamente. ● Modelos de razón aritmética: Utilizan la razón y la comparación para realizar el cotejo entre dos conjuntos o dos cantidades, en términos de “cuántas veces más”. Una técnica usual en este modelo es realizar la comparación estableciendo correspondencia de varios a uno y que da el factor de.

(28) 28 conversión o comparación. La semejanza de triángulos también fundamenta este modelo y puede utilizarse con dos líneas numéricas convergentes (Teorema de Thales). ● Modelos funcionales: el producto aparece como carácter de función u operador. Se considera cada operación como una máquina operador, donde cada máquina es inversa a la otra (x, ÷). El aprendizaje de la división debe ir simultáneo con el de la multiplicación. Por su parte, Clarke y Kamii (1995) señalan que la multiplicación necesariamente requiere la construcción de dos tipos de relaciones que no son requeridas en la suma: La correspondencia uno a muchos y la inclusión jerárquica de clases, yendo ésta última más allá de la adición repetida de grupos iguales. Sobre el pensamiento de la suma a la multiplicación, que los niños que desarrollan la suma requieren de la aplicación de un orden superior de pensamiento para la multiplicación y, que este trabajo se debe dar desde los primeros grados de escolaridad.. El grupo MESCUD (2002) expone la relación de la multiplicación con otras operaciones, particularmente con el conteo y la suma, explicitando la naturaleza de esta operación, la importancia de los problemas multiplicativos; su enfoque se fundamenta en la clasificación propuesta por Maza (1991). Allí mismo se considera la estructura multiplicativa desde el punto de vista de Vergnaud (1991) y se plantea el enfoque de estructura de cantidades de Schwartz (1998), así como el enfoque textual de E., Deri, M., Nello, M. & Marino, M. (1988) y la propuesta de clasificación de problemas multiplicativos de Greer (1994), ya mencionados anteriormente.. Para Cid, Godino y Batanero (2003) la multiplicación y división entera son un medio de abreviar los procesos de sumar (o restar) repetidamente una misma cantidad o repartir equitativamente una cantidad entre cierto número de seres u objetos y exponen las siguientes definiciones para estas operaciones: ● Definición conjuntista de multiplicación: corresponde al producto cartesiano de conjuntos..

(29) 29 ● Definición recursiva de la multiplicación (basada en los axiomas de Peano). Corresponde a la noción de suma repetitiva: "repetir varias veces un mismo sumando”. ● Definición conjuntista de división con resto: Dados dos naturales n y d, dividir n por d es repartir un conjunto de n elementos en tantos subconjuntos de d elementos como sea posible. El número de subconjuntos formados es el cociente y los elementos que quedan es el resto. Este proceso se puede ver como una repetición de la sustracción. ● Definición aritmética de división entera: Dados dos números naturales n y d, 𝑑 ≠ 0 y 𝑛 ≥ 𝑑, dividir n por d significa encontrar otros dos números naturales q y r tales que 𝑛 = 𝑑 ∙ 𝑞 + 𝑟, siendo 𝑟 < 𝑑.. En su teoría sobre la adquisición completa de la Secuencia Numérica, Olive (2001) señala que la construcción de una unidad iterativa es la llave para el desarrollo de esquemas multiplicativos y es el resultado de operaciones reversibles, donde las operaciones reversibles se establecen a través de aplicaciones recursivas de la actividad de un esquema ya que las unidades iterativas son los ladrillos de las unidades compuestas. Según este autor, para establecer los esquemas multiplicativos,. los. niños. comienzan. formando. unidades. compuestas;. a. continuación, usan dichas unidades como entradas en operaciones posteriores, tales como contar, combinar, comparar, segmentar y repartir; seguidamente, consiguen formar una composición numérica de las unidades compuestas como resultado de las operaciones; y por último, son capaces de “(re)interiorizar” la secuencia numérica para tomar los resultados de las operaciones con unidades compuestas como “material” de operaciones posteriores.. Para finalizar, hago referencia de nuevo a Bosch (2012) quien presentó una sinopsis del estudio del pensamiento multiplicativo en sus primeras etapas y a Mojica (2014) quien recogió y complementó los aportes teóricos e investigaciones más recientes del objeto matemático de estudio..

(30) 30 2.3 Esquema Varios investigadores en el campo de la multiplicación han encontrado que los niños usan sus propios métodos cuando resuelven problemas (algunos de ellos, Booth 1981; Erlwanger, 1973; Ginsburg, 1977; Hart, 1983; Resnik, 1982; Steffe, Von Glasersfeld, Richards, y Cobb, 1983; Steffe y Cobb, 1988, como se citó en Mojica, 2014). En una investigación similar, Booth (1981) encontró que los niños no usan los métodos matemáticos propios de la escuela, entre las revisiones realizadas tomé en consideración los puntos de vista de Booth en colaboración con otro investigador), quienes encontraron que los niños no involucran las cuatro operaciones básicas al resolver problemas, pero sí involucran el conteo. En el campo de la pedagogía la palabra esquema es introducida por Bartlett quien, desde la psicología, fue uno de los primeros en interesarse por la forma como las personas aprenden de forma significativa e introduce el término esquema para referirse al conocimiento que posee una persona y a la forma que lo una para asimilar la nueva información y para generar el recuerdo de la misma, dándole un carácter dinámico, estructural y adaptativo al conocimiento en diferentes contextos de uso.. Una de las primeras nociones de esquema fue la usada por Piaget (quien llamó esquemas a: “toda acción que es repetible o generalizada a lo largo de aplicaciones a nuevos objetos engendra… un ·esquema· Otro referente es Skemp (1993, como se citó en Narváez, Urrutia & Romero, 2006) para quien un esquema es una estructura mental de conocimiento organizada en la que el nuevo conocimiento y la nueva experiencia deberían encajar. Esta ampliación o reelaboración de los esquemas para los niños toma algún sentido y es allí cuando se categoriza los esquemas de acción. Esto es: el niño categoriza cuando reconoce que un mismo esquema de acción es aplicable a diversas situaciones que tienen una característica similar, y crea así, en su mente, una clase de situaciones que parecen funcionar muy bien con el mismo esquema de acción. Cuando esto sucede se ha construido mediante categorización un esquema de orden superior..

(31) 31. Se partió de una noción de esquema de acción, considerando los esquemas como herramientas de la memoria del individuo que le permiten organizar nuevas experiencias y afrontar situaciones-problema.. 2.4 El esquema de acción Definidos por Davis y Tall (2002) como la secuencia de acciones realizadas para alcanzar una meta. También es llamado por sus autores como Esquemas de orden 0. Los rasgos de estas acciones se determinan por los objetos que se manipulan es decir si son continuo o discreto (bolas de plastilina, cuentas), al igual que las maneras de asegurarse de la igualdad de las partes: si se usa la congruencia, el conteo y en otros particulares la semejanza.. En palabras de Piaget llamaremos esquemas de acción a lo que, en una acción, es de tal manera transponible, generalizable o diferenciable de una situación a la siguiente o dicho de otra manera a lo que hay de común en las diversas repeticiones o aplicaciones de la misma acción. Cabe aclarar que el concepto de esquema de acción se extiende a través de todo el desarrollo, lo que nos indica que se refiere a estructuras cognitivas generales, no específicas de ningún período particular.. Según Confrey (1994) la construcción de esquemas es un componente fundamental del aprendizaje de las matemáticas, siendo el esquema un hábito cognitivo de acción, que basa su construcción en la relación cíclica de tres elementos: problemaacción- reflexión..

(32) 32. Problema. Reflexión. Acción. Ilustración 1, (Confrey 1994, p. 320). Una situación problemática genera una acción por parte del estudiante, al reflexionar sobre estas acciones crea operaciones (acciones internalizadas).. Para Confrey (1995) el conocimiento primero solo puede ser comprendido examinando su génesis. Segundo rechaza la idea de que lo que eventualmente se afirma que es conocimiento no puede asegurarse que es “lo que realmente es el mundo”. Ambos principios conducen a la identificación del aprendizaje, del llegar a conocer, como una situación crítica para la investigación. Además, la oposición de la epistemología genética (como lo establece Piaget) es que… “conocer un objeto no significa copiarlo – significa actuar sobre él. Significa construir sistemas de transformaciones que puedan ser llevadas a cabo sobre o con ese objeto. Conocer la realidad significa construir sistemas de transformaciones que correspondan, más o menos adecuadamente, con la realidad. El conocimiento, entonces, es sistema de transformaciones que se hacen progresivamente adecuadas. ¿Cómo pueden estas transformaciones ser comprendidas? Para Piaget, “el aspecto operativo del pensamiento no trata con estados, sino con transformaciones de un estado en otro” (1970, p. 14). Esto ocurre primero al nivel de la acción, actividad dirigida con un fin. Cuando esas acciones cumplen nuestras metas, las abstraemos. Hay dos clases de abstracción: abstracción simple, derivada del objeto, y abstracción reflexiva, derivada de la acción sobre el objeto. Es reflexión en tanto que se mueve de la acción a la operación, y en tanto que implica una.

(33) 33 “reorganización a nivel del pensamiento en sí mismo”. “La abstracción reflexiva no está basada en acciones individuales, sino en la coordinación de acciones”.. Los esquemas implican anticipación y/o el reconocimiento de una situación. Para el constructivista, un papel fundamental es asignado a las diferencias. Primero, hubo una diferencia, una perturbación, que es observada. Para el constructivista, el niño debe “surgir de una inmersión” (Kiegan, 1982, p.78) en el que el recién nacido se considera que vive en un mundo sin objeto, continuo, atemporal, “mundo en el cual todo lo percibido es tomado como una extensión del niño”. Esto es, no hay distinción entre lo que es el niño y lo que no es el niño; para el niño, no hay límite. El niño aprende a crear distinciones que conducen a su “salida del huevo”.. Sin distinción, no hay patrones de comportamiento. Una diferencia crea una perturbación que es una llamada a la acción. Esta perturbación y la acción para resolverla son internalizadas a través del proceso de abstracción reflexiva. La totalidad de la estructura que se crea, si la secuencia de perturbación, acción, abstracción reflexiva es repetida hasta que la acción toma la forma de una operación, es calificada de esquema.. Se sigue de la teoría del esquema de Davis y Tall (2002) que el niño avanza a través de etapas de desarrollo en donde los constructos pueden no reflejar los de los adultos. Las visiones de los niños son construidas de forma diferente, porque el mundo sensorio perceptual de un niño para construir conceptos es diferente al de los adultos. El mundo sensorial y perceptual de un niño responde al mundo que el niño ha construido, las experiencias que él ha tenido, y las teorías que él ha creado. La importancia de la teoría del esquema no sólo descansa en la identificación de esquemas, sino en la potencial construcción recursiva creada por el conocimiento sobre los esquemas: Construimos este mundo en su parte de manera inconsciente, simplemente porque no sabemos cómo lo hacemos. Esta ignorancia es bastante innecesaria. El.

(34) 34 constructivismo radical mantiene… que las operaciones por medio de las cuales reunimos nuestro mundo experiencial pueden ser exploradas y que una conciencia de este operar… puede ayudarnos a hacerlo de otro modo, y, quizás mejor (Von Glasersfeld, 1984, p. 18).. 2.5 Esquema de orden superior En palabras de Davis y Tall (2002): “un esquema de acción (o esquema de orden) es una secuencia de acciones realizadas para lograr un objetivo… La categorización implicada en la formación de esquemas es que el cerebro categorice sus propias actividades y construya esquemas de un orden superior.” Para Davis & Tall (2002) es “como una estructura organizada de conocimiento, en la que podrían integrarse nuevos conocimientos y experiencias”.. Un esquema consiste en tres partes Von Glasersfeld (1980) (como se citó en Steffe, 1994). Primero, existe una situación experiencial: segundo, existe una actividad o procedimientos específicos del niño y, tercero existe un resultado, percibido así por el niño. Las tres partes están relacionadas con el objetivo primordial del esquema y con la actividad interiorizada.. La interiorización de la actividad es un proceso de abstracción reflexiva (Von Glasersfeld, 1995). Primero se internaliza la actividad a través de imágenes mentales, el niño puede representar la actividad mentalmente. Esa representación mental lleva consigo detalles contextuales de la actividad; la actividad se torna interiorizada a través de una abstracción mayor de esas representaciones internalizadas por medio de la cual se eliminan esos detalles contextuales. La cual coincide con la definición ya mencionada por Confrey (1994) sobre las acciones internalizadas.. Según Olive (2011) este reprocesamiento de los registros de su experiencia anterior puede conducir a una mayor abstracción y es en este punto es cuando se puede decir que la acción de un niño se ha interiorizado (construyó un esquema)..

(35) 35 Otros aspectos psicológicos clave para la comprensión de esquemas y de secuencias numéricas es: •. Re-interiorización: el nivel más alto de las SN (Secuencias Numéricas) se construye a través de un proceso de re-interiorización por la aplicación recursiva de las operaciones de un esquema a los resultados de otro.. •. Unidades iterables y compuestas: una unidad iterable es clave para el desarrollo de esquemas multiplicativos ya que son los ladrillos para la construcción de unidades compuestas (unidades compuestas por elementos unidad) y es resultado de operaciones reversibles. Las operaciones reversibles se establecen a través de aplicaciones recursivas de la actividad de un esquema a los resultados de este.. •. Desdoblar o volver hacia atrás: es el uso de las Secuencias Numéricas de orden inferior que reaparecen en las secuencias de orden superior, pero aplicadas a elementos unidad más complejos de Kieren y Piere (como se citó en Olive, 2011).. Con estos aspectos en mente, es necesario consultar acerca de las secuencias numéricas, que es una de las estructuras que surgieron en la presente investigación.. A continuación menciono breves descripciones de las Secuencias Numéricas desarrolladas por von Glasersfeld & Cobb (1998), la actividad básica que conduce a la construcción de la secuencia numérica es el conteo, a través de cinco tipos distintos de actividades, desde el conteo de objetos visibles como unidades perceptuales hasta el conteo considerando unidades abstractas. Estos autores relacionan esta progresión con el concepto de Piaget de “permanencia del objeto”.. 2.6 Conteo Respecto al conteo Coello (1991) menciona que este se clasifica en cinco tipos: ● Unidad perceptual: cuando un niño necesita el componente perceptual para poder contar. Cada acto de la secuencia de contar puede considerarse como.

(36) 36 un suceso global que incluye señales perceptuales (visuales o auditivas), un acto motor (coger, señalar, etc.), la producción de palabras- número y el patrón de atención que estructura las señales perceptuales sensoriales en una cosa según Steffe, Cobb y Richards (como se citó en Coello, 1991). ● Unidades figurales: el niño es capaz de utilizar representaciones visuales que sustituyan a los ítems perceptuales, cuando tiene que contar conjuntos en los que alguno de los elementos está oculto, en tal caso solo se necesita representaciones parciales de los objetos. ● Unidades motoras: el contar ítems-unidad motores supone que se han sustituido los ítems perceptuales por actos motores. La actividad motora sirve de entrada para la creación de ítems unitarios, los niños necesitan acompañar el acto motor de la producción de la palabra- número con otro acto motor sincrónico (señalar). ● Unidades figurales: es una etapa de tránsito entre el nivel de unidades motoras y el de unidades abstractas. Entre todos los elementos observables del contar (perceptuales, motores, etc.). ● Unidades abstractas: cuando el niño es capaz de pasar de la palabranúmero a la estructura conceptual que constituye la numerosidad particular que representa, donde la palabra-número representa ya colecciones de ítems unitarios y designan conceptos cuantitativos en la mente del que cuenta. La capacidad de generar unidades abstractas supone el proceso de “abstracción reflexiva” piagetiana ya mencionada, que permite que los ítems queden despojados de sus cualidades sensoriales y las unidades se hagan operatorias..

(37) 37 2.7 Tipos de Secuencias Numéricas En consideración con la importancia de las series numéricas, me basé en el estudio de Olive (2011) quien realizó un recuento de tipos de series numéricas y de tipos de unidades compuestas, e ilustró cómo usó estos constructos para comprender los esquemas multiplicativos de los niños: ● Esquema de conteo pre-numérico: los niños suelen tener una secuencia de palabras número que utilizan juntamente con el acto de señalar en sus intentos por contar los elementos de una colección; sin embargo, no en todos los casos, el resultado de sus actos de contar no significa la cardinalidad de la colección- esto sólo podría significar el cierre de sus intentos para definir la indefinición de una pluralidad (la numerosidad de una colección). ● Contadores perceptivos y figurativos: los niños pre-numéricos pueden aprender a coordinar el señalamiento de los objetos con las palabras numéricas de la serie. Cuando ven esta coordinación como una necesidad para saber cuántos objetos tienen, el resultado de contar es un significado extensivo para sus palabras numéricas. Los objetos deben permanecer en su campo perceptual para que sean capaces de contarlos. Los contadores perceptuales pueden aprender a contar cosas que permanecen luego de haber sido contadas, pueden incluso dibujar imágenes en papel o registrar por medio de marcas para contarlos. Estos niños han internalizado los objetos contables y se convierten en contadores figurativos. ● Secuencia numérica inicial (SNI): el resultado de contar no sólo está ahí afuera, sino que se simboliza mentalmente por una palabra numérica interiorizada, que lleva consigo los registros de la experiencia de contar. El niño que ha establecido esta acomodación en su secuencia de palabras numéricas puede continuar contando (sobre-contar) cuando se agregan elementos a la colección previamente contada..

(38) 38 ● Secuencia de números tácitamente anidada (SNT): cubriendo los elementos de una colección, los niños necesitarán formas de registrar su sobre conteo y su conteo de a, muchos usarán los dedos o señalarán, este acto de representar qué es lo que sigue contando y si el grupo a contar es muy grande y no cabe en sus manos recurre al doble conteo. De esta manera, reprocesado un segmento de la secuencia numérica, han hecho un tácito anidado (encapsulado), que son unidades abstractas contables; una Re interiorización de la secuencia numérica inicial que Steffi llamo SNT. Así, los esquemas multiplicativos en acción se convierten en construcciones posibles para los niños con SNT, pero no son posibles para niños que sólo poseen una SNI. ● Secuencia numérica explícitamente anidada (SNE): para establecer esquemas multiplicativos abstractos (razonamiento multiplicativo) los niños deben iniciar con una estructura asimilada y re-interiorizar la secuencia estableciendo la “uno” unidad abstracta como unidad iterable. El uno iterable es producto de aplicar repetidamente la operación de “un elemento más” al doble conteo. Cada vez que el niño cuenta crea un elemento más en la subsecuencia (o intervalo anidado). Un elemento de unidad iterable es producto de operaciones reversibles donde el niño puede acceder a un razonamiento parte-todo. ● Secuencia numérica generalizada (SNG): Los niños con. SNE pueden crear esquemas multiplicativos que involucran dos niveles de unidades. Pueden formar unidades compuestas como elementos y utilizarlos como punto de partida para otras operaciones (contar, combinar, comparar, segmentar y repartir). Pueden formar un elemento compuesto por unidades compuestas como resultado de estas operaciones, donde se crea una unidad compuesta iterable..

(39) 39 2.8 Esquemas multiplicativos Por lo anterior, “investigar los esquemas multiplicativos de los niños es equivalente a investigar la construcción de bloques de pensamiento matemático (multiplicativo) y abrir nuevas formas de ver para las matemáticas escolares” (Steffe, 1994).. Teniendo en cuenta las breves descripciones de las secuencias numéricas desarrolladas por Steffe et al. (1994), presento a continuación la manera cómo Steffe usó estos constructos para comprender los esquemas multiplicativos: •. Esquema pre-multiplicativo: es necesario que al menos se coordine unidades compuestas de tal forma que una de las unidades compuestas éste distribuida sobre los elementos de la otra unidad compuesta.. •. Esquema Multiplicativo: es necesario usar secuencias numéricas de varias maneras, en representación, contar elementos de unidad compuesta y unidades abstractas. Esto se le conoce como coordinación de unidades, surge de la acomodación funcional de las operaciones involucradas en el conteo, doble conteo y operaciones de asimilación. Todo esto producto de la reversibilidad de secuencias numéricas y coordinación de unidades.. Sí. adición. repetida. significa. “identificar. una. unidad. y. después. contar. consecutivamente ejemplos de esta unidad” es necesario diferenciarlo del conteo y otros. •. Un esquema de coordinación de unidades parte-todo. •. Esquema de coordinación-unidad reversible: sistema de operaciones que puede alimentarse del uso de esquemas de coordinación de unidades, estableciendo el esquema de coordinación de unidades como reversible.. •. Esquemas multiplicativos iterativos: las unidades compuestas deben ser iterables al igual que el esquema reversible. La secuencia numérica generalizada simboliza las operaciones involucradas en la coordinación de unidades y que se pueden visualizar como las raíces de la multiplicación..