Teorema de Poincaré Bendixon en el Plano

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(1)UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS. TEOREMA DE POINCARÉ - BENDIXON EN EL PLANO. DAVID AUGUSTO VILLABÓN BORJA. 2017.

(2) UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS. TEOREMA DE POINCARÉ - BENDIXON EN EL PLANO. DAVID AUGUSTO VILLABÓN BORJA. Trabajo elaborado para optar al Grado de Matemático.. 2017.

(3) Dedicatoria Este trabajo esta dedicado a toda mi familia.. II.

(4) Agradecimientos Agradezco a todos aquellos que de una u otra forma han colaborado, contribuido o aportado en el desarrollo de este trabajo.. III.

(5) Resumen El teorema de Poincaré-Bendixson clasifica todos los posibles comportamientos en el espacio de faces en dos dimensiones, el cual dice que si Γ+ una semiórbita contenida en un subconjunto positivamente invariante, y suponiendo que el espacio ambiente tiene solo un número finito de puntos críticos entonces, o ω (Γ+ ) consiste de un solo punto crítico o es una órbita periódica del sistema .. Palabras claves— Sistema dinámico, Punto fijo, Flujo, Conjunto invariante, Órbitas periódicas.. IV.

(6) Índice general 1 Introducción. 1. 2 Preliminares. 2. 3 Teorema de Poincaré-Bendixon. 11. 4 Aplicaciones y Ejemplos. 15. 5 Conclusiones. 20. V.

(7) Capítulo 1. Introducción En el presente trabajo se presenta una introducción al Teorema de Poincaré-Bendixon. Para ello se revisan algunos conceptos de Ecuaciones Diferenciales, Análisis Matemático y Topología como lo son el teorema de existencia y unicidad, sistemas dinámicos y algunas propiedades que nos permitirán abordar e interpretar lo deseado.. Descripción del Problema El Teorema de Poincaré-Bendixon se emplea frecuentemente como ayuda a dar una descripción cualitativa de las soluciones de ecuaciones diferenciales y de sistemas dinámicos dados en en el plano. El presente trabajo se ocupa de la demostración y algunas aplicaciones del Teorema de Poincaré-Bendixon, exhibiendo la utilidad en el estudio de los sistemas dinámicos.. Objetivo general Reconstruir con ayuda de conceptos de topología, análisis y de las ecuaciones diferenciales la demostración del Teorema dePoincaré-Bendixon.. Objetivos específicos Los objetivos específicos que contribuirán a desarrollar el objetivo general del trabajo son los siguientes: Desarrollar los conceptos previos que se necesitan para la demostración del teorema. Determinar las condiciones en el cual el teorema tiene validez. Dar ejemplos de la utilidad del teorema.. 1.

(8) Capítulo 2. Preliminares Definición 1. Un espacio X se dice que es compacto si de cada cubrimiento abierto V de X podemos extraer una subcoleccion finita que también cubre a X. Definición 2. Un conjunto U es conexo si y solo si los únicos subconjuntos de U que son tanto abiertos como cerrados relativos a U, son el vacío y el propio conjunto U. Definición 3. Un subconjunto U de un espacio topológico X se dice que es cerrado si el conjunto X/U es abierto. Definición 4. Se dice que una función φ:R→R es de clase C k si la función tiene derivada continua hasta de orden k para todo x ∈ R. Una función φ : Rn → R es una función de de clase C k si la función tiene derivadas continuas parciales hasta de orden k. Un sistema dinámico ofrece cambios a medida que transcurre el tiempo, formalmente se entiende como Definición 5 (Sistema Dinámico Plano ). Sean U ⊆ R2 e I ⊆ R, un Sistema Dinámico en U de clase C k es una terna (U, I, φ), donde φ es una función de clase C k con k ≥ 1 φ : I×U → U en donde φ (t, x ) = φ ( x (t)) con ẋ (t) = φ ( x (t)) ,. x ( t0 ) = x0 .. (2.1). Que satisface 2.

(9) a) φ (0, x0 ) = x0 . b) φ (t + s, x0 ) = φ (t, φ (s, x0 )) para todo t, s ∈ I. c) φ (t, x0 ) es una función de clase C k para todo t y tiene una inversa también de clase C k dada por φ (−t, x0 ). Si φ (φ0 , φ1 ) es una función vectorial definida en U ⊆ R2 , entonces el sistema autónomo de ecuaciones diferenciales de dimension dos ẋ = φ( x ) Estará dado por x˙1 = φ1 ( x1 , x2 ) x˙2 = φ2 ( x1 , x2 ). Observación 1. Un sistema dinámico se dice discreto si el espacio de tiempos I es discreto ( I ⊆ Z). En caso contrario, se dice continuo. Definición 6. La solución de un sistema dinámico φ a través de x0 está dado por. {(t, φ (t, x0 )) : t ∈ Ix0 } donde Ix0 es el intervalo máximo de existencia de x0 . Definición 7 (Flujo). Sea U un subconjunto abierto de Rn y se f ∈ C1 (U ). Para x0 ∈ U, sea φ (t, x0 ) la solución del problema de valores iniciales (2.1) definido en su intervalo máximo de existencia I ( x0 ). Entonces para t ∈ I ( x0 ) el conjunto de funciones φt definidas por φt ( x0 ) = φ (t, x0 ) se llama el flujo de la ecuación diferencial dada en (2.1). A φt también se le conoce como el flujo del campo vectorial f ( x ). Definición 8 (Órbita). Para todo x ∈ U, la semi-órbita positiva está definida como el conjunto Γ+ ( x0 ) = { x ∈ U : x = φ (t, x0 ) , t ≥ 0} , la semi-órbita negativa se define de manera análoga a la semi-órbita negativa como Γ− ( x0 ) = { x ∈ U : x = φ (t, x0 ) , t ≤ 0} . Así la órbita esta definida como Γ ( x0 ) = Γ + ( x0 ) ∪ Γ − ( x0 ) . Un conjunto que demanda especial atención es aquel en el cual el flujo del sistema dinámico entra (sale) después de un tiempo t0 suficientemente grande y así permanece para todo tiempo t ≥ t0 . Definición 9 (Punto Crítico). Un punto x0 ∈ U es un punto crítico o punto de equilibrio de ẋ = φ( x ), si φ( x ) = 0. Un punto que no es crítico es un punto regular. Como todo punto crítico x = ( x1 , x2 ) satisface ẋ = 0, entonces puede hallarse solucionando φ( x ) = 0.. 3.

(10) Definición 10. Un ciclo o una órbita periódica de (2.1) es cualquier curva de solución cerrada de (2.1) que no es un punto de equilibrio de (2.1). Definición 11. Sea U un subconjunto abierto de Rn , sean f ∈ C1 (U ) y φt : U → U el flujo de la ecuación diferencial en (2.1) definida para todo t ∈ R; entonces el conjunto S ⊂ U es invariante con respecto a flujo φt si φt (S) ⊂ S para todo t ∈ R y S, a Ss se le denomina positivamente (o negativamente) invariante con respecto al flujo φt si φt (S) ⊂ S para todo t ≥ 0 (o t ≤ 0). De manera equivalente se puede decir que un conjunto S es invariante si es una unión de órbitas. Ejemplo 1. Consideremos el sistema dinámico (2.1) con ". − x1 φ (x) = x2 + x1 2. #. La solución del problema de valor inicial (2.1) junto con la condición inicial x (0) = c viene dada por " # c1 e − t φt = φ(t, c) = 2 c2 et + c31 et − e−2t Ahora se muestra que el conjunto S=. − x1 2 x ∈ R : x2 = 3 2. . es invariante bajo el flujo φt . esto se deduce ya que si c ∈ S entonces se tiene que c2 =. c1 2 3. y así se sigue que " φt (c) =. c1 e − t −c1 2 −2t 3 e. #. ∈ S.. Así φt (S) ∈ S para todo t ∈ R. La ilustración de fase para el sistema no lineal (2.1) con φ( x ) dado anteriormente se muestra en la siguiente figura. 4.

(11) Existen dos tipos de puntos dentro del sistema dinámico de especial interés los cuales se definen a continuación. Definición 12. Un punto p que pertenece a U es un punto ω − limite de la órbita φ(·, x ) del sistema (2.1) si existe una sucesión tn → ∞ tal que lı́m φ (tn , x ) = p. n→∞. Similarmente, si existe una sucesión tn → −∞ tal que lı́m φ (tn , x ) = q.. n→∞. y el punto q ∈ U, entonces, al punto q se le llama el punto α − limite de la órbita φ(·, x ) del sistema (2.1). El conjunto de todos los puntos ω − limite de una órbita Γ se le llama el conjunto ω − limite de Γ el cual se denota como ω (Γ). El conjunto de todos los puntos α − limite de una órbita Γ se le llama el conjunto α − limite de la órbita Γ y se denota como α(Γ). El conjunto de todos los puntos de Γ, α(Γ) ∪ ω (Γ). es el conjunto limite de Γ. Los conjuntos α − limite y ω − limite se pueden describir como el lugar geométrico donde nace y muere la órbita de la solución de un sistema dinámico dado.. El teorema siguiente proporciona propiedades topólogicas de los conjuntos antes mencionados y es tomado de [1, pag288]. Teorema 1. Si Γ es una órbita contenida en un subconjunto compacto K ∈ U, ω (Γ) es un conjunto no vacío, cerrado y conexo. Demostración. Veamos que ω (Γ) es un conjunto no vacío. Sea Γ representada por φ(φ1 , φ2 ) para t ≥ t0 . Así, el conjunto infinito de puntos Pn (φ(t0 + n), φ(t0 + n)), para n ∈ N, está contenido en un subconjunto acotado K, entonces esta sucesión tiene una subsucesión que converge a un punto dentro del conjunto K, porque K es cerrado. Por ello ω (Γ) es no vacío,y ω (Γ) ⊆ K. Veamos que ω (Γ) es un conjunto cerrado. Sea Q un punto de acumulación de ω (Γ). Entonces existe una sucesión Qn ∈ ω (Γ) con n ∈ N, tal que d( Qn , Q) → 0, cuando n → ∞ donde d( Qn , Q) es la distancia de Qn a Q. Para cada Qn existe un tn > n tal que d(φ1 (tn ), φ2 (tn ), Qn ) < 1/n.. 5.

(12) Por lo tanto, dado e > 0 existe Ne ∈ N tal que d(φ1 (tn ), φ2 (tn ), Qn ) < e/2 d( Qn , Q) < e/2 para n > Ne . Esto implica que d(φ1 (tn ), φ2 (tn ), Q) < e para n > Ne , es decir, Q ∈ ω (Γ) para tn → ∞, cuando n → ∞. Por ello el conjunto ω (Γ) es cerrado. Por último, se muestra que el conjunto ω (Γ) es conexo. Supongamos que ω (Γ) es no conexo. Entonces existen dos conjuntos ajenos, no vacíos y cerrados A y B tales que ω (Γ) = A ∪ B . Como A y B son conjuntos acotados, entonces si δ = d( A, B) y ya que los puntos del conjunto A y B son puntos límite de Γ, entonces existe un t suficientemente grande tal que P(t) dista en δ/2 de A y suficientemente grande t tal que la distancia P(t) de B es menor que δ/2. Puesto que la distancia d( P, M ) de cualquier punto P a A es una función continua de P, y ya que las coordenadas de P(t) son una función continua de t, se sigue que existe una sucesión {tn }, tn → ∞, cuando n → ∞, tal que d( P(tn ), A) = δ/2. La sucesión de puntos { P (tn )}, en principio es acotada, por ello debe tener una subsucesión que converge a un punto Q, que debe ser un punto límite de ω (Γ). Por lo tanto Q ∈ ω (Γ), y claramente d( Q, A) = δ/2. Pero esto implica que Q no pertenece ni a A ni a B, porque d( Q, A) ≥ d( A, B) − d( Q, A) = δ/2 y este resultado es una contradicción, ya que por hipótesis ω (Γ) = A ∪ B. Por lo tanto ω (Γ) es conexo.. El resultado que sigue se constituye en uno de los teoremas clásicos del estudio de las ecuaciones diferenciales, la prueba que aquí se exhibe ha sido tomada de [3, pagina74]. Teorema 2 (Teorema de Existencia y Unicidad). Sea U un subconjunto abierto de Rn que contiene al punto x0 ; se asume que f ∈ C1 (U ) y además f satisface la condición Lipschitz . Entonces existe a > 0 tal que el problema de valores iniciales ẋ =. f (x). x (0) = x0 tiene una única solución x (t) en el intervalo [− a, a]. Demostración. Como f ∈ C1 (U ), y por la condición de f de Lipschitz que existe en una e-vecindad Ne ( x0 ) ⊂ U y una constante K > 0 tal que para todo x,y ∈ Ne ( x0 ),. | f ( x ) + f (y)| ≤ K | x + y| . Sea b = 2e . entonces la función continua f ( x ) es acotada en el conjunto compacto N0 = { x ∈ R : | x − x0 | ≤ b} . 6.

(13) Sea M = máx | f ( x )| x ∈ N0. Ahora se define una sucesión de aproximaciones a la solución de (2.1) del enunciado como sigue Z t. u k ( t ) = x0 +. 0. f (uk−1 (s))ds. entonces asumiendo que existe un a > 0 tal que uk esta definida y es continua en [− a, a] y que satisface máx |uk (t) − x0 | ≤ b,. (2.2). [− a,a]. se sigue que f (uk (t)) está definida y es continua en [− a, a] y por lo tanto Z t. u k +1 ( t ) = x 0 +. f (uk (s))ds. 0. (2.3). está definida, es continua en [− a, a] y satisface. | u k +1 ( t ) − x 0 | ≤. Z t 0. | f (uk (s))|ds ≤ Ma. b para todo t ∈ [− a, a]. Así, escogiendo 0 < a ≤ M , se sigue por inducción que uk (t) está definida y satisface (2.2) para todo t ∈ [− a, a] y k = 1, 2, 3, 4... . Seguido, ya que para todo t ∈ [− a, a] y k = 1, 2, 3, 4...,uk (t) ∈ N0 , se sigue que por la condición de Lipschitz de f que para todo t ∈ [− a, a]. |u2 (t) − u1 (t)| ≤. Z t 0. | f (u1 (s)) − f (u0 (s))|ds. Z t. ≤ K. 0. |u1 (s) − u0 (s)|ds. ≤ Ka máx |u1 (t) − x0 | [− a,a]. ≤ Kab, y entonces asumiendo que máx u j (t) − u j−1 (t) ≤ (Ka) j−1 b. (2.4). [− a,a]. para algún entero j ≥ 2, se tiene que para todo t ∈ [− a, a] u j +1 ( t ) − u j ( t ). ≤. Z t. f u j (s) − f u j−1 (s) ds. 0. ≤ K. Z t 0. u j (s) − u j−1 (s) ds. ≤ Ka máx u j (t) − u j−1 (t) [− a,a]. ≤ (Ka) j b. Por lo tanto, se sigue por inducción que (2.3) se cumple para j = 2, 3, .... 7.

(14) Haciendo α = aK y eligiendo 0 < a ≤. 1 K,. vemos que para m > k ≥ N y t ∈ [− a, a] m −1. |um (t) − uk (t)| ≤. ∑. u j +1 ( t ) − u j ( t ). j=k ∞. ≤. ∑. u j +1 ( t ) − u j ( t ). j= N ∞. ≤. αN. ∑ α j b = 1 − α b,. j= N. vemos que esta ultima expresión tiende cero cuando N → ∞. Por lo tanto, para todo e > O existe un N tal que para m, k > N implica que kum − uk k = máx |um (t) − uk (t)| < e; [− a,a]. es decir que {uk } es una sucesión de Cauchy de funciones continuas en C [− a, a] y como C [− a, a] es un espacio de Banach, se tiene que uk (t) converge a una función continua u( t) uniformemente para todo t ∈ [− a, a] cuando k → ∞, ahora tomando límite a ambos lados de la ecuación (2.3), se tiene que la función continua lı́m uk (t) = u (t). (2.5). k→∞. satisface la ecuación integral u ( t ) = x0 +. Z t. f (u (s))ds. (2.6). 0. para todo t ∈ [− a, a]. Se ha utilizado el hecho de que la integral y el límite puede ser intercambiados ya que el límite de (2.5) es uniforme para todo t ∈ [− a, a]. Por lo tanto, ya que u(t) es continua, f (u(t)) es continua y por el teorema fundamental del cálculo el lado derecho de la ecuación integral (2.6) es diferenciable y u0 (t) = f (u(t)) para todo t ∈ [− a, a]. Por otra parte u (0) = x0 y por (2.2) se sigue que u(t) ∈ Ne ( x0 ) ⊂ U para todo t ∈ [− a, a]; así, u(t) es una solución del del problema de valor inicial del enunciado de teorema en [− a, a]. Ahora se muestra la unicidad de la solución. Sean u(t) y v(t) dos soluciones de (2.1) en [− a, a], entonces la función continua |u(t) − v(t)| adquiere un máximo. 8.

(15) para algún t1 ∈ [− a, a], por lo tanto. ku − vk = máx |u(t) − v(t)| = ≤. [− a,a] Z t1. 0 | t1 |. Z. f (u (s)) − f (v (s)) ds. | f (u (s)) − f (v (s))|ds. 0. ≤ K. Z | t1 |. |(u (s)) − (v (s))|ds. 0. ≤ ka máx |u(t) − v(t)| [− a,a]. ≤ Ka ku − vk pero Ka < 1 y esta última desigualdad solo pude ser cierta si ku − vk = 0. Así, u(t) = v(t) en [− a, a]. En resumen, se ha mostrado que (2.3) converge uniformemente a una solución única al problemade valores iniciales b 1 del enunciado en el intervalo [− a, a] donde a es cualquier número que satisface 0 < a < mı́n M , K . El que sigue es un resultado clásico de la topología, su prueba puede ser consultada en [2]. Teorema 3 (Teorema De La Curva De Jordan). Toda curva cerrada simple del plano divide al plano en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera común. Una de estas componentes está acotada (el interior de la curva) y la otra es no acotada y se le llama exterior.. Para ver la demostración del teorema que sigue consultar [4, pag242] Teorema 4 (Teorema De La Función Implícita). Sea U ⊆ Rm × Rm un subconjunto abierto y φ : U → Rn una función de clase C k con k ≥ 1. Sea Zo = ( x0 , y0 ) ∈ U y φ( Z0 ) = c. Supongamos que la derivada parcial con respecto a la segunda variable ∂y0 φ( Z0 ) : Rn → Rn es un isomorfismo. Entonces existe un subconjunto V ∈ Rm que contiene al punto x0 y W ⊆ U que contiene al punto z0 tal que, para cada x ∈ V, existe una única función δ( x ) ⊆ Rn con ( x, δ( x )) ∈ W y φ( x, δ( x )) = c. La función δ : V → Rn definida de esta manera es de clase C k cuya derivada está dada por Dδ( x ) = [∂y0 φ( x, δ( x ))]−1 ◦ [∂ x0 φ( x, δ( x )).. 9.

(16) Definición 13. Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico, la distancia entre el conjunto A y B esta dado por d ( A, B) = mı́n {d ( p1 , p2 )} para todo p1 ∈ A y p2 ∈ B. Definición 14. Sea ( M, d) un espacio métrico. Sea B ( a, c) = { x ∈ R : | x − a| ≤ c} es decir B es una bola de radio c y centro a. M es acotado si y solo si existe un valor real constante C tal que M ⊂ B (0, C ) .. 10.

(17) Capítulo 3. Teorema de Poincaré-Bendixon La ciencia son hechos; de la misma manera que las casas están hechas de piedras, la ciencia está hecha de hechos; pero un montón de piedras no es una casa y una colección de hechos no es necesariamente ciencia Henri Poincaré . 1854−1912. Antes de presentar la demostración del Teorema, se exhiben algunas definiciones y algunos resultados necesarios para llevar a cabo la demostración, los cuales fueron tomados de [1, 3]. Definición 1. Un segmento cerrado finito de una recta ` contenida en U se denomina una transversal para (2.1) si no hay puntos críticos de (2.1) en ` y si el campo vectorial definido por (2.1) no es tangente a ` en cualquier punto de `. Un punto xo en U es un punto regular de (2.1) si no es un punto crítico de (2.1). Lema 1. a) Todo punto regular x ∈ U es un punto interior de alguna transversal ` que puede tener cualquier dirección excepto la de φ( x ) definida en (2.1). b) Toda órbita que corte a la transversal ` debe cortar a esta y a todas las demás órbitas en la misma dirección. c) Sea xo un punto interior de un transversal `. Entonces para todo e > 0 existe un δ > 0 tal que toda trayectoria que pasa por un punto en Nδ ( x0 ) en t = 0 cruza a ` en algún momento t con |t| < e. Demostración. a) Dado x ∈ U, como x es un punto regular entonces se puede trazar una linea ` trasversal, donde x ∈ `, como φ(y) con y ∈ ` el flujo tiene cualquier dirección salvo la tangente, así la linea ` trasversal que contiene a x como un punto interior existe y tiene cualquier dirección excepto la de φ( x ). b) Dada una sección transversal ` donde x sea un punto interior de ` y asumiendo que en el punto x el flujo tiene un sentido y para otro punto y ∈ ` tiene el flujo otro sentido, entonces es posible construir dos sucesiones de 11.

(18) puntos una partiendo de x y otra partiendo de y en las cuales el flujo de φ(tn , x ) y φ(tm , y) cortan a `. Así φ(tn , x ) ∩ A = xn y φ(tm , y) ∩ A = yn , como xn y yn están en un conjunto cerrado y finito, entonces las sucesiones convergen, es decir xn → Q y yn → R lo cual es una contradicción , ya que existen puntos Q y R en donde φ( Q) = 0 y φ( R) = 0, pero todos los puntos en ` son puntos regulares. Por lo tanto toda órbita que corte a la transversal debe cortar a esta y a todas las demás órbitas en la misma dirección. c) Sean x = ( x, y), x0 = ( x0 , y0 ) y ` la linea recta dada por la ecuación ax + by = 0 con ax0 + by0 = 0, entonces como x0 es un punto regular de (2.1), existe una vecindad de x0 , N ( x0 ),que contiene solo puntos regulares de (2.1). Esto se deduce de la continuidad de f . La solución x (t, ξ, η ) que pasa por un punto (ξ, η ) ∈ N ( x0 ) en t = 0 es continua en (t, ξ, η ). Sea L(t, ξ, η ) = ax (t, ξ, η ) + by(t, ξ, η ) + c. Entonces L(0, x0 , y0 ) = 0 y en cualquier punto ( x0 , y0 ) en ` ∂L = a ẋ + bẏ 6= 0 ∂t pues ` es una transversal. Así, del teorema de la función implícita se deduce que existe una función continua t(ξ, η ) definida en alguna vecindad de x0 tal que t( x0 , y0 ) = 0 y L(t(ξ, η ), ξ, η ) = 0 en esta vecindad. Por continuidad para cada e > 0 existe un δ > o tal que para todo (ξ, η ) ∈ Nδ ( x0 ) se tiene que |t(ξ, η )| < e . Así la trayectoria a través de cualquier punto (ξ, η ) ∈ Nδ ( x0 ) en t = 0 cruzará la transversal ` en cualquier instante t = t(ξ, η ) donde |t(ξ, η )| < e.. Lema 2. Si un arco finito cerrado de cualquier trayectoria Γ intersecta una transversal `, lo hace en un número finito de puntos. Si Γ es una órbita periódica, intersecta a ` en sólo un punto. Demostración. Si φ es una solución de Γ, los puntos de A son de la forma P(t) : (φ1 (t), φ2 (t)), con t̂ ≤ t ≤ ť, para algunos t̂ y ť finitos. Si A intersecta a ` en una infinidad de puntos distintos Pn = P(tn ), entonces los distintos tn deben tener un punto de acumulación t̃ entre t̂ ≤ t ≤ ť. Por ello debe de existir una subsucesión de {tn } , {tnm } tal que tnm → t̃, cuando n → ∞. Entonces Pn → Q = P(t̃) cuando n → ∞. Pero (φ(tn ) − φ(t̃))/(tn − t̃) → φ(φ1 (t̃), φ2 (t̃)) cuando n → ∞ y por ello (φ2 (tn ) − φ2 (t̃))/(φ1 (tn ) − φ1(t̃)) es de pendiente constante de ` y se sigue que φ tiene la misma dirección que ` en Q, lo cual es una contradicción a la forma de la construcción de la sección transversal. Por lo tanto A intersecta a ` en a lo más un número finito de puntos. Ahora sean P1 = P(t1 ) y P2 = P(t2 ) dos puntos sucesivos de intersección de A con `, donde t1 < t2 . Supongamos que P1 6= P2 , entonces la curva J consta del arco de P1 a P2 sobre A, denotado por Pd 1 P2 , y la línea cerrada sobre ` de P2 a P1 , denotada por P1 P2 , así J es una curva de Jordan, y como se sabe, ésta separa al plano en dos regiones. Por lo consiguiente puntos Q sobre Γ para t < t1 , y suficientemente cercana a t1 , debe de estar sobre el lado opuesto de J de puntos R sobre C para t > t2 , y suficientemente cercano a t2 , así existen dos casos, de acuerdo con los puntos R sean internos o externos a J. Sin pérdida de generalidad, se asume que los puntos R son internos a J. Entonces en orden para para quedar externamente a J para t > t2 , C debe cruzar a J. Pero no puede cruzar sobre Pd 1 P2 , por la unicidad de la solución y no puede cruzar P1 P2 , en la dirección contraria. Por lo tanto Γ permanece en el interior de 12.

(19) J para t > t2 . De esto, se sigue que en la siguiente intersección P3 de Γ con ` es dentro de J y es distinta de P2 . Así P2 es intermedia entre P1 y P3 sobre `. Si P1 es el mismo que P2 , claramente es periódica, supongamos que P1 6= P3 y es periódica, entonces el arco de R sobre Γ debe retornar a Q y de este modo el arco RQ sobre Γ debe cruzar J. Pero como se vio anteriormente, ésta no puede cruzar Pd 1 P2 por la unicidad de la solución, y no puede cruzar P1 P2 en la dirección contraria. Por lo tanto P1 es el mismo P2 y es periódica. Observación 2. Este mismo argumento puede usarse para mostrar que ω (Γ) intersecta `, en un solo punto. Lema 3. Si Γ y ω (Γ) tienen un punto en común, entonces Γ es un punto crítico o una órbita periódica. Demostración. Sea x1 = x (t1 ) ∈ Γ ∩ ω (Γ), si x1 es un punto critico de (2.1) entonces x (t) = x1 para todo t ∈ R si x1 es un punto regular de (2.1), entonces por el Lema 1, este es un punto interior de la transversal ` de (2.1). Como x1 ∈ ω (Γ). Se deduce de la definición del conjunto ω-límite de Γ que cualquier círculo C con x1 como centro debe contener en su interior un punto x = x (t∗ ) con t∗ > t + 2. Si C es el círculo con e = 1 en el Lema 1, entonces existe un x2 = x (t2 ) ∈ Γ donde |t2 − t∗ | < 1 y x2 ∈ `. Asumamos que x1 6= x2 entonces el arco x1 x2 de Γ intersecta a ` en un número finito de puntos, esto por el Lema 2, además, las sucesivas intersecciones de Γ con ` forman una sucesión monótona que tiende a alejarse de x1 . Por lo tanto, x1 no puede ser un punto ω-limite de Γ, una contradicción, así x1 = x2 y Γ es una órbita periódica de (2.1). Lema 4. Si ω (Γ) no contiene puntos críticos y ω (Γ) contiene una órbita periódica Γ0 , entonces ω (Γ) = Γ0 . Demostración. Sea Γ0 ⊂ ω (Γ) una órbita periódica con Γ0 6= ω (Γ), entonces por la conexidad de ω (Γ) en el Teorema 1 del capitulo anterior, Γ0 contiene un punto límite y0 de el conjunto ω (Γ); de lo contrario, podríamos separar los conjuntos Γ0 y ω (Γ) por conjuntos abiertos y esto contradiría la conexidad de ω (Γ). Sea ` una transversal a través de y0 . Se deduce del hecho que yo es un punto límite de ω (Γ) que cada círculo con yo como centro contiene un punto y de ω (Γ), y, por el Lema 1, Para y suficientemente cerca de y0 , La trayectoria Γy a través del punto y cruzará ` en un punto yl . Como y ∈ ω (Γ) es un punto regular de (2.1), la trayectoria Γ es una órbita límite de (2.1) que es distinta de Γ0 ya que Γ ⊂ ω (Γ), por lo tanto, ` contiene dos puntos distintos y0 ∈ Γ0 ⊂ ω (Γ) y y1 ∈ Γ ⊂ ω (Γ). Pero esto contradice la Observación 1. Así Γo = ω (Γ).. En muchos problemas se interesa más en las propiedades globales de las órbitas que describen su comportamiento en grandes regiones del plano. El problema central de la teoría es el de determinar si (2.1) tiene una órbita cerrada; este problema es importante por su estrecha relación con la cuestión de si (2.1) tiene soluciones periódicas, siendo el siguiente teorema uno de los mas grandes aportes a la cuestión anterior tomado de [3, pag244]. Teorema 1 (Teorema De Poincaré-Bendixon). Supongamos que f ∈ C1 (U ) donde U es un subconjunto abierto de R2 y que (2.1) tiene una órbita Γ con Γ+ contenida en un subconjunto compacto K de U. Entonces si ω (Γ) no contiene puntos críticos de (2.1), ω (Γ) es una órbita periódica de (2.1).. 13.

(20) Demostración. Si Γ es una órbita periódica , entonces Γ ⊂ ω (Γ) y por el Lema 4, Γ = ω (Γ). Si Γ no es una órbita periódica, entonces ya que ω (Γ) es no vacío y consiste únicamente de puntos regulares, hay una órbita límite de Γ0 de Γ tal que para Γ0 ⊂ ω (Γ), ya que Γ+ está contenida en un conjunto compacto K ⊂ U, la órbita limite Γ0 ⊂ K, así Γ0 tiene un punto ω-limite y0 y y0 ∈ ω (Γ) ya que ω (Γ) es un conjunto cerrado. Si ` es una transversal a través de y0 , entonces, ya que Γ0 y y0 están ambos contenidos en ω (Γ), ` puede interceptar ω (Γ) sólo en yo de acuerdo con la Observación 1. Como y0 es un punto limite de Γ0 se deduce del Lema 1 que ` debe intersecar Γ0 en algún punto que, por el Lema 2, debe ser y0 , Por lo tanto Γ0 y ω (Γ) tienen el punto y0 en común, Así, por el Lema 3, Γ0 es una órbita periódica; y, por el Lema 4, Γ0 = ω (Γ).. 14.

(21) Capítulo 4. Aplicaciones y Ejemplos El ejemplo siguiente es tomado de [5]. Ejemplo 2. Consideremos el sistema (. ẋ = −y + x (1 − x2 − y2 ) ẏ = x + y(1 − x2 − y2 ). (4.1). El único punto critico es (0, 0). Se construye el dominio anular con centro en (0, 0) de radio interior r1 < 1 y de radio exterior r2 > 1, se estudia el flujo del sistema y concluir que las órbitas que comienzan fuera del círculo mas grande entraran en el anillo, como el anillo no contiene puntos críticos, de acuerdo al teorema de Poincaré-Bendixson debe contener al menos una órbita periódica. Confirmando el análisis que da el teorema procedemos a transformar la el sistema en coordenadas polares, para ello utilizamos las formulas dx dy +y dt dt dy dx x −y dt dt x. entones obtenemos la transformación r. dr dt 2 dθ = r dt. = r. dr = r2 1 − r2 , dt. similarmente obtenemos r2. dθ = r2 dt. para finalmente obtener el sistema (. ṙ = r 1 − r2 θ̇ = 1. (4.2). entonces encontrando la solución general de (4.2), resulta ser   r= √ 1. (1+ce−2t ). (4.3).  θ = t+t 0 15.

(22) y la correspondiente solución de (4.1) es  cos t+t  x = √ ( −02t). (1+ce ) sin (t+t0 ).  y= √. (1+ce−2t ). analizando (4.3) se tienen 3 casos: si c = 0 se obtiene la solución r = 1, θ = t + t0 que no es más que la circunferencia de radio 1, ( x2 + y2 = 1) en sentido anti-horario. si c < 0 es claro que r > 1 y que r → 1 cuanto t → ∞. si c > 0 se observa que r < 1 y de nuevo r → 1 cuando t → ∞. La observación demuestra que allí obtenemos una curva cerrada y que todas los otros curvas se acercan en espiral desde el exterior o el interior cuando t → ∞ como se muestra en la siguiente figura. Ejemplo 3. El siguiente ejemplo es tomado de [1]. Se considera el sistema ( ẋ = y ẏ = − x + y 1 − x2 − 2y2 el punto (0,0) es el único punto critico del sistema, Para ello se debe construir una región anular en la cual se pueda aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixon, con este fin se calcula la derivada de la función f ( x, y) = ( x2 + y2 )/2 a lo largo de las soluciones del sistema, por lo tanto f 0 ( x, y) = y2 (1 − x2 − 2y2 ) así, f 0 ( x, y) ≥ 0 para x2 + y2 < 1/2, y f 0 ( x, y) ≤ 0 en x2 + y2 > 1, entonces, cualquier solución que inicie en la región 1/2 < x2 + y2 < 1 permanecerá allí para t ≥ 0. Como el origen no está contenido en la cerradura de la región anular entonces es posible aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixon. Por lo tanto existe al menos una órbita periódica en la región anular.. A continuación se presenta un ejemplo en donde el Teorema de Poincaré-Bendixon es aplicado a un problema del campo de la física tomado de [1, pag370] 16.

(23) Ejemplo 4 (Oscilador de Van der Pol). Se considera la ecuación de Van der Pol y00 + µ(y2 − 1)y0 + y = 0 donde x es la posición en función del tiempo t y µ es un escalar de no linealidad y amortiguamiento. Mediante la sustitución x = y , y = y0 se obtiene el sistema dinámico plano equivalente ( ẋ = y (4.4) ẏ = − x + µ 1 − x2 y Entonces, se verá que (4.4) posee una órbita periódica para todos los valores del parámetro escalar µ. Para observar esto es necesario analizar los siguientes tres casos si µ = 0, la ecuación se convierte en el oscilador armónico lineal, en el cual toda condición inicial está en una órbita periódica cerrada. si µ < 0, se reduce al item siguiente pero en tiempo negativo. si µ > 0, para mostrar la existencia de una órbita periódica y poder aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixon se construye una región acotada positivamente invariante mediante una curva cerrada S alrededor del origen, ya que el origen es el único punto de critico del sistema (4.4); con este fin, la construcción de S se hará por partes con ayuda de la curva γ ( x, y) = − x + µ 1 − x2 y = 0 (4.5) la cual está constituida por tres componentes y cuyas asíntotas están dadas por x = 1, x = −1 y y = 0 como se observa en la siguiente figura. γ con sus respectivas asíntotas es cruzada de izquierda a derecha por el flujo de (4.4) el cual es un campo vectorial. Para construir la primera parte de S tomamos el punto suficientemente alejado del origen A = (0, −y) y siguiendo la órbita del sistema ( ẋ = y (4.6) ẏ = µ 1 − x2 y. que pasa por el punto A, integrando se obtiene que esta órbita intersecta a x = 1 en el punto B = (−1, −2µ/3 + y), entonces, a lo largo del arco AB tenemos que − x + µ 1 − x2 y µ 1 − x2 y x − =− <0 y y y 17.

(24) así, la órbita de la ecuación (4.4) cruza a AB de derecha a izquierda. Ahora, se sigue la órbita del sistema ( ẋ = y ẏ = − x. (4.7). saliendo de B, la cual es un arco circular con centro en el origen, hasta alcanzar la componente de la curva definida por el sistema (4.5) en el segundo cuadrante. Sea C el punto de intersección, este siempre va a existir ya que se está tomando al punto A suficientemente alejado del origen, así, a lo largo de la curva BCse tiene que − x + µ 1 − x2 y x + = µ 1 − x2 < 0 y y por lo tanto, la órbita de sistema (4.4) cruza de izquierda a derecha. Para la siguiente parte de la curva S, primero debemos estudiar los puntos de tangencia de una órbita de la del sistema ( ẋ = y (4.8) ẏ = − x + µy con la componente de la curva definida por la ecuación (4.5) sobre el segundo cuadrante. Por la ecuación (4.5) podemos calcular la primera coordenada del punto D = ( x, y) que a la vez satisface la ecuación 1 + 1 − µ2 x2 + 2µ2 x4 − µ2 x6 = 0. (4.9). cuando x = 1, el lado izquierdo de la ecuación (4.9) es positivo, y cuando | x | es lo suficientemente grande, el lado izquierdo es negativo; entonces, existe una solución x1 de la ecuación (4.9). Entre las soluciones de la ecuación (4.9) tomamos una cercana a −1. Cuando el punto A está suficientemente alejado del origen, el punto D esta a la derecha del punto C. Es claro que la órbita de la ecuación (4.4) cruza el segmento de la curva definida por la ecuación (4.5) entre C y D de izquierda a derecha. Continuando con la construcción de la curva S, se sigue la órbita del sistema (4.8) que inicia en el punto D y continúa sobre y hasta el punto que denotaremos por E. Entonces − x + µ 1 − x2 y − x + µy − = −µx2 < 0 y y la órbita de la ecuación (4.4) cruza la curva DE de izquierda a derecha. Así, la primera mitad de la curva S esta construida y esta dada por ABCDE. Para construir la otra mitad observemos que la ecuación (4.4) es simétrica con respecto al origen. Sean A0 B0 C 0 D 0 E0 la reflexión de ABCDE con respecto al origen. Desde D, por lo tanto E, es fijo, podemos asegurar que A0 esta situada sobre E por tomar a A lejos del origen. También se observa que las órbitas de la ecuación (4.4) cruzan el segmento de curva de AE0 de izquierda a derecha, por la simetría. Es ahora claro que la región encerrada por la curva S = ABCDEA0 B0 C 0 D 0 E0 es positivamente invariante para el flujo del oscilador de Van der Pol como se muestra en la siguiente figura. 18.

(25) Y por el Teorema de Poincaré-Bendixon existe al menos una órbita periódica del sistema (4.4) en la región S positivamente invariante como se muestra el la figura. 19.

(26) Capítulo 5. Conclusiones Podemos decir que el Teorema de Poincaré-Bendixon es muy útil a tratar de encontrar soluciones de un sistema dinámico plano dado de forma cualitativa, o sea, el comportamiento de esas soluciones en el transcurso del tiempo, ya que existen una gran variedad de sistemas en los cuales es casi imposible dar con las soluciones de forma cuantitativa y es aquí donde el teorema ayuda a mostrar como se comportan las soluciones en ciertos subconjuntos del plano. El empleo riguroso y formal de las técnicas de de la teoría de las ecuaciones diferenciales permite comprender y describir fenómenos físicos representados a través de sistemas dinámicos como se percibe en el oscilador de Van der Pol a través del Teorema de Poincaré-Bendixon. Se llega a la conclusión de que el empleo de herramientas, como el análisis matemático, nos permite alcanzar conclusiones objetivas acerca de sistemas en los cuales el estudio cuantitativo trae consigo una gran dificultad, por lo que es aquí que el Teorema de Poincaré-Bendixon ofrece herramientas sólidas para el estudio y posterior desarrollo de las soluciones de dichos sistemas.. 20.

(27) Bibliografía [1] H ALE , JACK K., AND H ÜSEYIN KOÇAK . Dynamics and bifurcations, Vol. 3. Springer Science Business Media, 2012. 5, 11, 16 [2] M ARGALEF ROIG , O UTERELO D OMINGUEZ Y L. P INILLA F ERRANDO . Topología, Vol. V, Alhambra, Madrid. 1982. 9 [3] P ERKO , L AWRENCE . Differential equations and dynamical systems, Vol. 7. Springer Science Business Media, 2013. 6, 11, 13 [4] RUDIN , WALTER . Principles of mathematical analysis, Vol. 3. New York: McGraw-Hill, 1964. 9 [5] S IMMONS , G EORGE F. Differential equations with applications and historical notes, CRC Press, 2016. 15. 21.

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