Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones

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Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones

1. Traduce al lenguaje algebraico:

(a) El triple de un n´umero m´as ocho unidades es menor que 20.

(b) El n´umero de personas de mi clase es menor que 35.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

(a) 4x2_{−5x= 0, Solution is:} 5 4,0

(b) 3x2_{−27 = 0, Solution is: −3,3}

(c) 4x2−9 = 0, Solution is: −3 2,

3 2

(d) x

2

3 −2 = 3x+

x2₋₁₂

6 , Solution is: 18,0

(e) x

2_{+ 2}

3 −

x2_{+ 1}

4 = 1− x+ 7

12 , Solution is: −1,0 (f) x(x+ 3) + (x+ 4)(x−4) = 2−3x, Solution is: 3

2

√ 5−3

2,− 3 2

√ 5−3

2

(g) (2x+ 1)2_{= 1 + (x+ 1)(x−1), Solution is: −}1 3,−1

(h) 3x(x+ 4)−x(x−1) = 15, Solution is: 1,−15 2

(i) x

3(x−1)− x

4(x+ 1) + 3x+ 4

12 = 0, Solution is: 2

3. Encuentra las soluciones reales de las siguientes ecuaciones:

(a) 3x2_{+ 1 = 2x}2_{+ 2x, Solution is: 1}

(b) 2x2+ 1 = 2−x, Solution is: 1₂,−1

4. Resuelve las ecuaciones:

(a) x

3₋₈

x−1 =

24x+ 16

x+ 2 , Solution is: −6,4,0

(b) x

2₋₁

x2₋₂ =

4x2_{+ 5}

x2_{+ 10}, Solution is: −2,2,0

5. Encuentra las soluciones, si existen, de:

(a) 1−2x x+ 7 =

x

x−1, Solution is: −1,−

1 3

(b) x−1 x+ 2 =

1−x

x−2, Solution is: 1,0

(c) x+ 1 2x =

x2−1

x−1, Solution is: −1,

1 2

(a) 3(x

2₋₁₎

2−(x2₋₁₎ =

2 + (x2₋₁₎

x2₋₁ , Solution is: −

√ 2,√2,0

(b) (x

2_{+ 3x)}2_{+ 8}

x2_{+ 3x−1} =

(x2_{+ 3x)}2

x2_{+ 3x+ 1}, Solution is: −2,−1

(c) (2x+ 1)

3₋₁

(2x+ 1)3_{+ 1} =

(2x+ 1)2₋₁

(2x+ 1)2_{+ 1}

7. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) x4_−29x2_{+ 100 = 0, Solution is: 5,2,−5,−2}

(b) x4_−18x2_{+ 81 = 0, Solution is: −3,3}

(c) √2x2_{+ 3x+ 5 =x+ 3, Solution is: 4,−1}

(d) √x2_{−5x+ 4 + 1 =x−3, Solution is: 4}

8. Resuelve la ecuaci´on√2x−4 +√x+ 5 = 5 (Solution is: 4).

9. Encuentra las soluciones de:

(a) √x+ 1−x= 1, Solution is: −1,0

(b) √2x−1 +√1−x= 1, Solution is: 5₉,1

(c) √x=√4_{5x+ 36, No solution found.}

10. Encuentra las soluciones, si existen, de:

(a) √3−2x−x= 6, Solution is: −3

(b) √2−x2₊√_{x= 0, No solution found.}

(c) √2x+ 3−√10−2x= 1, Solution is: 3

(d) √x+ 1 +√12−x= 5, Solution is: 3,8

11. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) x3_−7x2_{+ 3x= 0, Solution is:} 1 2

√ 37 +7

2, 7 2−

1 2

√ 37,0

(b) x3_−2x2_{−9x+ 18 = 0, Solution is: 3,2,−3}

(c) x4_−4x3_+x2_{+ 6x= 0, Solution is: 2,0,3,−1}

(d) x4_−x3_−11x2_{+ 9x+ 18 = 0, Solution is: 3,2,−3,−1}

12. Indica de qu´e tipo es cada ecuaci´on y resu´elvela:

(a) 3(x−2) + 5(x−1) = 2x−2(x+ 3) + 11, Solution is: 2

(b) √2x2_{−2 = 1−x, Solution is: 1,−3}

(c) 10x2−3x−1 = 0, Solution is: 1₂,−1 5

(d) 2x2_{−x50 = 0, Solution is: 25,0}

(f) 1 x+

2 x−1 =

4

3, Solution is:

1 4,3

(g) (x−4)(x−6) = 0, Solution is: 6,4

(h) √x−3 = 0, Solution is: 9

(i) x4−10x2+ 9 = 0, Solution is: −3,1,3,−1

(j) 3x−1−(2x+ 1) = 1−(x+ 2)−3, Solution is: −1

(k) √x+ 2 =x, Solution is: 4

(l) x(x+ 3)

2 −

(x+ 1)2

3 +

1

3 = 0, Solution is: −5,0

(m) 3(x+ 2)

2 +

x−1

5 =

2(x+ 1)

5 +

37

10, Solution is: 1 (n) (x+ 2)(x−3) = 0, Solution is: 3,−2

(o) √4x+ 5 =x+ 2, Solution is: −1,1

(p) 2 x+

3

x2 = 1, Solution is: −1,3

(q) 2x5+ 2x4−2x3−2x2= 0, Solution is: 1,0,−1

(r) (x+ 1)2−2x(x+ 2) + 14 = 0, Solution is: 3,−5

(s) √x+ 1−3 =x−8, Solution is: 8

(t) x2_{−20x+ 100 = 0, Solution is: 10}

(u) 2x−3

2 −

x+ 3

4 =−4− x−1

2 , Solution is: −1 (v) x(x+ 1)(x−5) = 0, Solution is: 5,−1,0

13. Las soluciones de la ecuaci´on de segundo grado con coeficientes reales ax2+bx+c= 0 son,x=−b±

√

b2_−4ac

2a .Explica c´omo debe serb

2_−4acpara

que la ecuaci´on:

(a) Tenga dos soluciones reales distintas.

(b) Tenga dos soluciones imaginarias.

(c) Tenga una soluci´on doble.

14. Indica de qu´e tipo son las siguientes ecuaciones y resu´elvelas:

(a) (x+ 2)(x−3) +x= 3, Solution is: −3,3

(b) x5_{+ 10x}4_{+ 32x}3_{+ 40x}2_{+ 31x+ 30 = 0, Solution is: −3,−5,−2, i,−i}

(c) x(2x+ 1)−(x−1)

2

2 = 3, Solution is: 1,−

7 3

(d) x4_−16x2_{= 0, Solution is: 4,0,−4}

(e) (3x+ 1)(2x−3) = 0, Solution is: 3 2,−

1 3

(g) 1 x−

1 x+ 3 =

3

10, Solution is: −5,2

(h) (x+ 1)2_−(x−1)2_{+ 2 =x}2_{+ 6, Solution is: 2}

(i) 2x2_{+ 10x= 0, Solution is: −5,0}

(j) √3x2_{+ 4 =}√_{5x+ 6, Solution is: 2,−}1 3

(k) 5 x+ 2+

x x+ 3 =

3

2, Solution is: −4,3 (l) 2x2_{−8x+ 8 = 0, Solution is: 2}

15. Indica de qu´e tipo son las siguientes ecuaciones y resu´elvelas:

(a) x−√2x−1 = 1−x, Solution is: 1,1₂

(b) (x+ 1)2−(x−2)2_{= (x+ 3)}2_+x2_{−20, Solution is: −2,2}

(c) √3

x2_{−28 + 3 = 0, No solution found.}

(d) √ 1 5x+ 14 =

1

17, Solution is: 55

(e) 9x4_−x2_{= 0, Solution is:} 1 3,0,−

1 3

(f) x+ 2 + 3x2= 5x

2_{+ 6x}

2 , Solution is: 2

(g) √₃ 3

13−5x=−1, No solution found.

(h) 0.2x+ 0.6−0.25(x−1)2 _{= 1.25x(0.5x+ 2)}2_{, Solution is: 7.751 8×}

10−2_{,−2.146 5,−6.731}

(i) √x2_{+ 3−}√_{3−x= 0, Solution is: −1,0}

(j) 2x4_−3x3_{= 0, Solution is:} 3 2,0

(k) 4x4−17x2+ 4 = 0, Solution is: −1 2,2,

1 2,−2

(l) (2x−7)(x+ 3)2_{= 0, Solution is: −3,}7 2

(m) √2−5x+x√3 = 0, Solution is: −2

(n) x4_−5x2_{+ 4 = 0, Solution is: 2,1,−2,−1}

(o) (2x2_+1)(x2_{−3) = (x}2_+1)(x2_{−1)−8, Solution is:} √_3,−√_3,√_2,−√₂

(p) x(x2−4)(3x+ 12) = 0, Solution is: −2,2,−4,0

(q) 1

6[(13−2x)−2(x−3)

2_{] =−}1

3(x+ 1)

2_{, Solution is:} 3 14

(r) (x+ 2)2(x−1)2= 0, Solution is: −2,1

16. Resuelve:

(a) √x+√x+ 5 =√6x+ 1, Solution is: 4

(b) √x+ 14 x+ 1 =

x+ 2 √

17. Descomp´on en factores y resuelve:

(a) x3+x2−6x= 0, Solution is: −3,0,2

(b) x4−2x3+x2= 0, Solution is: 1,0

(c) x3_{−9x= 0, Solution is: 3,0,−3}

(d) x3_{+ 4x}2_{+x−6 = 0, Solution is: −3,1,−2}

(e) 2x3_−5x2_{+ 4x−1 = 0, Solution is: 1,}1 2

(f) −x3_{+ 13x−12 = 0, Solution is: 1,3,−4}

(g) x3_−5x2_{+ 7x−3 = 0, Solution is: 1,3}

18. Tres amigos cobran 756 euros por cierto trabajo. El primero ha dedi-cado al trabajo 12 horas y el tercero, que ha dedidedi-cado el doble de horas que el segundo, ha cobrado 360 euros. ¿Cu´antas horas y cu´anto dinero corresponde a cada uno?

19. Resuelve la ecuaci´on:

(a) x x−3 +

2x x+ 3 =

6

x2₋₉, Solution is: 2,−1

(b) 2x x+ 2 =

3x+ 2

2x , Solution is: 4−2 √

5,2√5 + 4

(c) 1 x+

2 x+

3 x =

x

3 −1, Solution is: −3,6

(d) 10 3 +

5−x x+ 5 =

x+ 5

x−5, Solution is: 10,−10

(e) 3x 5 +

25

9x2 = 0, Solution is: 5 6i

√ 3 +5

6, 5 6−

5 6i

√ 3,−5

3

20. Resuelve los sistemas de segundo grado:

a)

x+y = 4

x2_+y2 _{= 4} b)

x2_+y2 _{= 61}

xy = 30

21. Resuelve los sistemas siguientes:

a)

x2_+y2 _{= 160}

x−y = 8 b)

x2_−y2 _{= 21}

x+y = 3

Soluci´on:(a) [x= 12, y= 4],[x=−4, y=−12]; (b) [x= 5, y=−2]

22. Resuelve el sistemas de ecuaciones:

x+y = 7 xy = −30

23. Marta quiere hacer el marco de un espejo con un list´on de madera de 2 m, sin que le sobre ni le falte nada. Sabiendo que el espejo es rectangular y que tiene una superficie de 24 dec´ımetros al cuadrado, ¿de qu´e longitud deben ser los trozos que ha de cortar?

24. La suma de las ´areas de dos cuadrados es 673 metros cuadrados y su diferencia es 385 metros cuadrados. Halla las longitudes de los lados de los dos cuadrados.

25. La suma de las ´areas de los cuadrados es de 3250 m2_{y su diferencia 800m}2_.

Calcula la medida de sus lados.

26. El per´ımetro de un jard´ıin rectangular es 36 m. Si se aumentan sus lados en 2 metros cada uno, el ´area aumenta en 40 metros cuadrados. Halla las dimensiones del jard´ın.

27. Dos alba˜niles hacen un trabajo en 3 horas. Uno de ellos lo har´ıa en 4 horas. Calcula el tiempo que tardar´ıa en hacerlo el otro solo.

28. En un multicine hay dos salas de proyecci´on, una grande en la cual las entradas valen 5 euros y otra peque˜na en la cual el precio de las entradas es igual al 75% del precio de las mismas en la otra sala. Un d´ıa, en que asistireron al multicine 280 personas se recaudaron 1287.5 euros. ¿Cu´antas personas estuvieron en cada sala?

29. Los estudiantes de 1o Bachillerato est´an preparando una excursi´on. La agencia de viajes les da un presupuesto de 1620 euros. En el ´ultimo mo-mento, dos estudiantes se ponen enfermos y, al no poder ir de excursi´on, el resto ha de pagar 4.80 euros m´as cada uno. ¿Cu´antos estudiantes hab´ıa en el curso?

30. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

2x−11 = −11

23x+y = 1 b)



 

 

x+ 1

3 +y = 1

x−3

4 + 2y = 1

c)

3x+ 5 = 2y+ 1

x−9 = 1−5y d)







x 3 −

y

2 = 4

x 2 −

y

4 = 2

Soluci´on: (a) x = 0, y = 1; (b)x = −1, y = 1;(c)[x= 0, y= 2];(d)x = 0, y=−8

31. Representa gr´aficamente estos sistemas de ecuaciones y di cu´ales no tienen soluci´on:

a)

x−3y = 2x+ 1 4x+ 3y = 3x−5 b)

3x+ 2 = y−5 6x+ 1 = 2y−3

c)

Soluci´on:(a)Incompatible;(b)Incompatible;(c)x= 0, y= 0

32. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

x−y+ 3 = 0

x2+y2 = 5 b)

x+y = 1 xy+ 2y = 2

c)

3x+ 2y = 0

x(x−y) = 2(y2−4) d)

2x+y = 3 xy−y2 = 0

Soluci´on: (a)[x=−1, y= 2],[x=−2, y= 1] ;(b)[x=−1, y= 2],[x= 0, y= 1]; (c)[x= 2, y=−3],[x=−2, y= 3]; (d)[x= 1, y= 1],

x= 3₂, y= 0

33. Resuelve anal´ıtica y gr´aficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

y−3x = −5 x2+y = −1 b)

y = x2_−3x

y+x−3 = 0

c)

x2−4x+y = 5 −8x+y = 9

Soluci´on: (a) [x= 1, y=−2],[x=−4, y=−17] ; (b) [x=−1, y= 4],[x= 3, y= 0]; (c)[x=−2, y=−7]

34. Resuelve los siguientes sistemas:

a)







2x−1 x+ 1 +

y+ 3

y+ 1 = 1 x(x−2) = y(y−1)

b)

x

y =

5 3

xy = 15

c)

x2+y2 = 65

xy = 28 d)

(x+y)(x−y) = 7 3x−4y = 0

35. Resuelve:

a)

y = x3_−x

y−3x = 0 b)

x+y = 0 xy = 1

Soluci´on: (a) [x= 2, y= 6],[x= 0, y= 0],[x=−2, y=−6] ; (b)[x=−i, y=i],[x=i, y=−i]

36. Un comerciante compra 50 kg de harina y 80 kg de arroz, por los que tiene que pagar 66.10 euros; pero consigue un descuento del 20% en el precio de la harina y un 10% en el del arroz. De esa forma paga 56.24 euros. ¿Cu´ales son los precios primitivos de cada art´ıculo?

37. Un profesor de tenis reparte pelotas entre sus alumnos para hacer un entrenamiento. Da tres a cada uno y le sobran 12. Como quiere que cada alumno tenga cinco, calcula que debe comprar 18 pelotas m´as. ¿Cu´antos alumnos son?

39. La suma de un n´umero par, el par anterior y los dos impares que lo siguen es 34. Calcula ese n´umero.

40. Las dos cifras de un n´umero suman 12. Si se invierte el orden de las mismas, se obtiene un n´umero 18 unidades mayor. Calcula dicho n´umero.

41. Un remero sube con su barca por un r´ıo a una velocidad de 30m/min y baja a 60m/min. ¿Hasta qu´e distancia se aleja en un paseo de hora y media?

42. Se mezclan 30 kg de caf´e de 6 euros/kilo con cierta cantidad de otro de 8 euros/kilo, resultando la mezcla a 7.25 euros/kilo. ¿Qu´e cantidad de caf´e m´as caro se ha utilizado?

43. En la primera prueba de una oposici´on queda eliminado el 52% de los participantes. En la segunda prueba se elimina el 25% de los restantes. Si el n´umero total de personas suspendidas es 512, ¿cu´antas personas se presentaron a la oposici´on?

44. Un granjero espera obtener 36 euros por la venta de huevos. En el camino al mercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio aumenta en 0.45 euros el precio de la docena. ¿Cu´antas docenas ten´ıa al principio?

45. El n´umero de visitantes a cierta exposici´on durante el mes de febrero se increment´o en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo sufri´o un descenso del 12% respecto a febrero. Si el n´umero de visitantes de enero super´o en 36 personas al de marzo, ¿cu´antas personas vieron la exposici´on en enero?

46. Un inversor, que dispone de 28000 euros, coloca parte de su capital en un banco al 8% y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente 200 euros m´as que la segunda, ¿cu´anto coloc´o en cada banco?

47. Determina para qu´e valores de b la ecuaci´onx2−bc+ 9 = 0 tiene: (a) una soluci´on (b) dos soluciones.

48. ¿Qu´e valor debe tomar k para que la ecuaci´onx2_{−6x+k= 0 no tenga}

soluci´on?

49. Escribe una ecuaci´on que tenga por solucionesx1= 3 yx2=−2.

50. ¿Cu´antas soluciones puede tener una ecuaci´on bicuadrada?

52. Dos grifos llenan juntos un dep´osito en 12 minutos. Uno de ellos, solo tarda diez minutos menos en llenar el dep´osito que el otro. ¿Cu´anto tarda cada uno de ellos en llenar el dep´osito por separado?

53. Una vasija contiene mezcla de alcohol y agua en una proporci´on de 3 a 7. En otra vasija la proporci´on es de 2 a 3. ¿Cu´antos trozos hemos de sacar de cada vasija para obtener doce cazos de una mezcla en la que la proporci´on alcohol-agua sea de 3 a 5?

54. Discutir y en caso de ser compatibes resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)







2x = 5 +z−y x+y+z = 6 −3x+ 4y+z = 0

b)







2x+ 3y+ 4z = 0 x+y+ 5z = 0 3x+ 2y−z = 0

c)







2x−5y+ 4z+t = −3 x−2y+z−t = 5 x−4y+ 6z+ 2t = 10

d)       

x−y−z = 0 x+ 2y = 0 2x+y−z = 0 3x−2z = 0

e)







x+ 2y+z = 1 2x+y+ 2z = 2 3x+ 3y+ 3z = 4

f)







3x−1 + 2y+z= 0 = 0 5x−2 = −3y−4z

x = 1 +z−y

Soluci´on : (a) x= 45 17, y =

26 17, z =

31

17; (b) x= 0, y = 0, z = 0; (c) x =

16t+ 124, y= 9t+ 75, z= 3t+ 31; (d)x=2₃z, y=−1

3z (e) Incompatible

(f)x=−4, y= 6, z= 1

55. Aplicando el m´etodo de Gauss, resolver los siguientes sistemas de ecua-ciones:

a)







3x−2y+ 5z+t = 1 x+y−3z+ 2t = 2 6x+y−4z+ 3t = 7

b)







x+y+z = 3 x−2y+ 2z = 1 2x+y+ 3z = 6

c)       

x+ 2y+ 3z+ 4t = 5 2x+ 3y+ 4z+ 5t = 6 3x+ 4y+ 5z+ 6t = 7 4x+ 5y+ 6z+ 7t = 8

Soluci´on:: (a) x = 1₅z+ 1, y = 14₅z+ 1; (b) x = 1, y = 1, z = 1; (c) t=4₃−2

3z− 1

3y, x=− 2 3y−

1 3z−

1 3

56. Unos grandes almacenes realizan el mismo pedido a tres proveedores dis-tintos A, B y C. El pedido consta de bebidas, cereales y congelados (ex-presados en kilogramos). Cada proveedor fija sus precios conforme a la normativa vigente, reflejada en la siguiente tabla:

BEBIDAS CEREALES CONGELADOS

Proveedor A 2000 3500 2000

Proveedor B 1000 4000 3500

El pedido del proveedor A est´a valorado en 16000 euros, el de B en 500 euros m´as que el anterior y el de C en 500 m´as que el ´ultimo.

(a) Plantear el problema en t´erminos de un sistema de ecuaciones.

(b) Determinar la composici´on del pedido.

(c) Clasificar el sistema de ecuaciones del apartado a).

57. Resolver el sistema de ecuaciones:

3x+ 5y−7 5y−z+ 8 =

14 19 3x+ 5y−7 7z+ 3y−21 =

7 8 2x+ 3y+ 4z= 29

Solutci´on:x= 2, y= 3, z= 4

58. Un autom´ovil sube las cuestas a 54km/h, las baja a 90km/h y en llano marcha a 80km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cu´al es la longitud total del camino llano entre A y B, si de A a b hay 192 km?

59. Un capit´an tiene tres compa˜n´ıas: una de suizos, ogtra de zuavos y la tercera de sajones. Promete al asaltar una plaza una recompensa de 901 escudos, con la condici´on de que cada soldado de la compa˜n´ıa que primero suba recibir´a un escudo, reparti´endose los dem´as a partes iguales entre los restantes. Si suben primero los suizos, los otros soldados reciben medio escudo, si los zuavos, los otros un tercio, y si los sajones, los dem´as un cuarto. ¿Cu´antos hombres ten´ıa cada compa˜n´ıa?

60. La suma de las cifras de un n´umero natural comprendido entre 100 y 999 es 13. Si intercambiamos la cifra de las unidades y la de las centenas, el n´umero disminuye en 198 y si intercambiamos la cifra de las unidades y la de las decenas, el n´umero aumenta en 36. ¿Cu´al es ese n´umero? (Resuelve el sistema aplicando el m´etodo de Gauss).