Las Quebraditas
(Propiedades dinamias de una peuliar
familia de funiones en el Intervalo)
Hetor Mendez Lango
Departamento de Matematias
Faultad de Cienias,UNAM
Ciudad Universitaria
04510 Mexio, D.F.
hmlhp.fienias.unam.mx
1 Introduion.
Lateorade losSistemasDinamioseslapartede lasmatematiasque
estudia mas diretamente el movimiento. Ah donde hay objetos que
se mueven, planetas, partulas, poblaiones, et., ah un matematio
espeializadoen elarea de sistemasdinamiospuede trabajar.
Algunas areas de las matematias, as omo otros muhos espaios
de laulturay laienia,experimentaroneliniiode loquepodramos
llamar una nueva etapa de su desarrollo en la deada de los sesentas
(1960-1970).
Este es el aso de los Sistemas Dinamios. Si bien la
popularidadquehoygozanoneptosomoonjuntofratalydinamia
aotia se explia omo elresultado del trabajo de muhos a~nos en las
matematias, y en otras disiplinas, es innegable que en las ultimas
deadas del sigloXXvimosun reimiento explosivoen laantidad de
personas interesadas en su estudio y una difusion sin preedentes de
sus resultados masinteresantes.
Muhos matematios han partiipado en este proeso. Una lista
de todos sera imposible. Sin embargo queremos menionar aqu a
uno de ellos: Stephen Smale. El trabajo de S. Smale, y del grupo de
matematiosrelaionados onel, tienemuhsimasfaetas y ha
impa-tado positivamente en varias ramas de las matematias. Uno de sus
sis-tema dinamio disreto en el plano (es deir, de una funionontinua
de una regionde R 2
en smisma) quereune dos araterstias: i)una
desripion geometria muy senilla de su regla de orrespondenia y
ii) la presenia de varios de los omportamientos dinamios mas
om-plejos(preseniade orbitashomolnias,entropapositiva,estabilidad
estrutural, y un atratorque es un ontinuo indesomponible son
al-gunos de ellos). A partir de su publiaion en 1965 (vease [Sma℄) este
modelo seonoe omo la Herradura de Smale.
La Herradura de Smale nos permitio, a los no espeialistas en
es-tos temas, aeder por un amino diretoy agradable a laobservaion
de las propiedades dinamias de los omportamientos que hoy se
o-noen omo aotios. Un poo despues, y de manera tal vez un poo
sorpresiva, uno puede darse uenta que existe una relaion profunda
entre la Herradura y otro modelo simple de desribirdenido en el
in-tervalo I = [0;1℄ de la reta real: la funion onoida omo la tienda,
T :I !I. Lagraade T esuna lneaquebradaon solodos
segmen-tos retos: el primerovadel punto (0;0)al punto 1
2 ;1
; y el segundo
va del punto 1
2 ;1
al punto (1;0) (vease la seion 3). La Herradura
y T omparten, desde el punto de vista de la dinamia que generan,
muhas propiedades.
Aunque en este artulo onoeremos varias de las propiedades
di-namias de T, nuestrapresentaionseguiaraporun puntode vistaun
poo mas general: Nuestro interes prinipal es el estudio de las
pro-piedades de la dinamia generada porfuniones ontinuas denidas de
el intervaloI = [0;1℄en s mismo. De todas estas funiones, nos
que-daremossolo on aquellas uya graa es una lnea quebrada formada
por una antidad nita de segmentos retos. Pediremos ademas que
la pendiente en ada uno de estos segmentos sea, en valor absoluto,
mayorque uno. Lasfunionesque umplen todas estas ondiioneslas
llamaremosquebraditas. ClaramenteT esunaquebradita. Noobstante
la relativa senillez on la que denimos estas funiones, varias de las
propiedades dinamias que ellas presentan son muy interesantes.
In-vitamos a nuestros letores a onoer algunas de estas propiedades (y
on elloiniiar suonoimientode T)en lassiguientes paginas.
Demostraremos que si f esquebradita, entones el onjunto de los
puntos en I tales que su orbita es periodia o tiende a ser periodia
formaun onjunto denso en I. Mostraremos tambien que el onjunto
delospuntos enI talesquesuorbitaesaperiodia(estoes,de
dan lugaraorbitassenillasyelonjuntodepuntos enelintervaloque
dan lugara orbitas ompliadas, ambos son densos en I:
El onepto de aos, uya deniion reordaremos mas adelante,
tambien apareealestudiaresta familia. Mostraremosquesif :I !I
es quebradita, entones existe un onjunto errado, invariante bajo f,
f(A) A; tal que fj
A
: A ! A es aotia segun la deniion de R.
L. Devaney (vease [Dev℄, pagina 50). Ademas mostraremos que este
onjunto aotio esgrande en el sentido de que su interior noes vao,
int(A)6=:
2 Presentaion de la familia.
Iniiemos on la presentaion de la familia.
Sea I el intervalo [ 0;1℄ en la reta real R. En este artulo solo
onsideraremos funiones de I en I: Todas las funiones se asumiran
ontinuas en I. La familiade las quebraditas (que denotaremoson la
letra L) es la siguiente:
Deniion 1. La funion f :I !I esta en la familiaL si umple las
siguientes dos ondiiones:
i) Su graaesuna lineaquebrada(unapoligonal). Esdeir, existe
una partiionnita del intervalo[0;1℄,digamos P=ft
0 =0;t
1 ;t
2 ,
:::;t
l
=1g, t
i 1 <t
i
, tal que la parte de la graa de f que une
(t
i 1 ;f(t
i 1
)) on (t
i ;f(t
i
)) es un segmento de reta para ada
i2f1;2;:::;lg,y
ii) la pendientem
i
en adauno de esos l segmentos, esmayorque 1
en valorabsoluto, jm
i j>1:
Esta familiaposee algunos rasgos interesantes. En partiular
estu-diaremosaquellas propiedadesque adaelementode esafamiliaexhibe
uandoes onsideradoel sistema dinamio disretoa queda lugar.
En la presentaion de esas propiedades (y en la demostraion de
algunasarmaiones)haremosusode algunosresultados onoidosdel
Calulo Diferenial e Integral y de un primer urso de Analisis
Ma-tematio(en partiularelTeoremadel ValorIntermedio ydel Teorema
de Baire). Para evitar quenuestra presentaionsea exesivamente
lar-ga, algunas de las armaiones no vienen aompa~nadas de su
demos-traion. Laletorayelletor estaninvitados aaportar,en estos asos,
losargumentos neesarios.
De aqu en adelante, salvo que se indique algo distinto, todas las
funionesque onsideraremos seranelementos de la familiaL:
3 Propiedades dinamias.
Dadaf 2Ldenimosf 0
=id;f 1
=f;yparatodan2,f n
=fÆ f n 1
:
De manerainmediata tenemos tres impliaiones:
i) Si g 2L, entones h=f Æg tambien eselementode L.
ii) Para todan 2N setiene que f n
2L:
iii) Para todax2I y para todan2N se tiene quef n
(x)2I:
Esto nos permite denir para ada punto x en I el siguiente
on-junto:
o(x;f)=
x;f(x);f 2
(x);::: I;
quellamaremos la orbitade x bajo f:
Ladinamiadef apareeuandoonsideramosadaorbita,o(x;f),
omo las distintas posiiones que va reorriendo un objeto al paso del
as suesivamente.
tiempos 0 1 2 3 n
posiiones x f(x) f 2
(x) f 3
(x) f n
(x) :
Cadaxen I dalugaraunaorbita, esdeir,auna seueniade
mo-vimientos. Bajo este punto de vista la funion f genera un sistema
dinamio disreto. Deir que nos interesa estudiar las propiedades
dinamias de f es solo otra manera de expresar que nos interesa
o-noer omo son todas las orbitasque ellay los puntos de I produen.
Deniion 2. Sea x2I: Deimos que xes:
i) un punto jo de f si f(x)=x;
ii) un punto periodio de f de perodo n, n 2 N, si f n
(x) = x y
para toda1k<n se tiene quef k
(x)6=x;
iii) un punto preperiodio de f si existen un puntoperiodio de f,
digamos z;y una n2N talque f n
(x)=z:
Dadax en I; la orbita de x bajo f es un onjunto. Si lo pensamos
un poomas,lao(x;f)estambien unasuesion: elprimer elementoes
x,elsegundoesf(x);eltererelementoesf 2
(x);yassuesivamente.
Por ejemplo si x es un punto jo de f, entones o(x;f) = fxg o, sin
faltar a la verdad, podramos deir que o(x;f) = fx;x;x;:::g, una
suesion onstante:
Observese quesixesun puntojodef,entoneselpunto(x;f(x))
pertenee tanto a la graa de f omo a lagraa de la funion
iden-tidad, id : I ! I, id(x) = x para todo x 2 I: Consideraremos a los
puntos josomopuntos periodiosdeperodo1. Alonjuntode todos
los puntos periodios de f lo denotaremos Per(f): Si x es un punto
periodio,diremosquex tieneuna orbitaperiodia. De manerasimilar
denimos orbita preperiodia.
Sean [s;t℄ y [;d℄ dos subintervalos de I: Supongamos que existe
n 2 N tal que [;d℄ f n
([ s;t℄). A partir de la ontinuidad de f n
se
pueden demostrar lassiguientes dos armaiones:
i)Existe un subintervalo [ ;℄[s;t℄ talque [;d℄=f n
([ ;℄):
ii) Si [;d℄ = [s;t℄; entones existe un punto x 2 [s;t℄ tal que es
periodio bajo f:
UnelementomuyimportantedelafamiliaLeslafunionT :I !I
dada por
T(x)=
2xsi x2
0; 1
2
2 2x six2
1
;1
Observese que lao 1
9 ;T
espreperiodia,y la o 2
7 ;T
es periodia
de perodo3.
En la literatura matematia en ingles, la funion T, es onoida
omo tent map (nosotros le llamaremos simplemente T). El sistema
dinamioqueellagenerausualmenteapareeomo unode losprimeros
ejemplosuandoseestudiadinamiaaotiaen elintervalo(ver[Dev ℄).
Deniion 3. Deimos que x es un punto asintotiamente periodio
(tiene orbita asintotiamente periodia) de f si existe y 2 Per(f) tal
que
lim
n!1 jf
n
(x) f n
(y)j=0:
Es inmediato que todo punto periodio o preperiodio es asint
oti-amenteperiodio.
Sea g : I ! I dada por g(x) = x 2
: Considera la orbita de x = 1
2
bajo g: Se puede probar(la letora queda invitada a haerlo) queesta
orbitaumple lassiguientes araterstias:
i) Para todo n2N setiene que 0<g n+1 1
2
<g n 1
2
< 1
2 , y
ii) lim
n!1 g
n 1
2
=0:
Por lo tanto la o 1
2 ;g
no esperiodia ni preperiodia bajo g, pero
ses asintotiamenteperiodia.
Mostraremos a ontinuaion que una funion quebradita no tiene
orbitas asintotiamente periodias distintas a las orbitas periodias o
preperiodias.
Proposiion 4. Si x2I es un punto asintotiamente periodio de f,
entones x es un punto periodio o preperiodio.
Demostraion: SeaP =ft
0 =0;t
1 ;:::;t
l
=1glapartiionmenionada
en la deniion de f: Llamaremos a los puntos t
i
; i = 0;1;:::;l; los
puntos rtios de f: Sea z 2 Per(f): Esta orbita tiene dos opiones:
o(z;f)\P = oo(z;f)\P 6=:
Caso 1. o(z;f)\P =:
Supongamosqueelperododezesk;yqueo(z;f)=fz
0 ;z
1 ;:::;z
k 1 g
dondez
j =f
j
(z):
Sea Æ = minfjz
j t
i
jj0j k 1;0ilg > 0: Supongamos
queparaalgunx2I lao(x;f)esasintotiamenteperiodiaalaorbita
de z: Como el lim
m!1 jf
m
(x) f m
(z) j = 0; existe n
0
2 N tal que si
nn
0
se tiene que
Dada la deniion de Æ, el intervalo [f n
(x);f n
(z)℄; o, en su aso,
el intervalo[f n
(z);f n
(x) ℄, esta totalmenteontenido en algunode los
intervalos [t
i 1 ;t
i
℄ si nn
0 :
Sean m
i
lapendientede lagraa de f en el intervalo[ t
i 1 ;t
i ℄;y
m
f
=minfjm
i
jj1ilg:
Sisuponemosqueparatodam 2N seumplequef m
(x)6=f m
(z);
entones para toda 0 setiene lo siguiente:
i)jf n
0 +
(x) f n
0 +
(z) j<Æ; y
ii) jf n0+
(x) f n0+
(z) j(m
f )
jf n0
(x) f n0
(z) j:
Como jf n0
(x) f n0
(z) j > 0 y el lim
!1 (m
f )
= 1 (ya que
m
f
> 1), obtenemos una ontradiion. Por tanto, si la o(x;f) es
asintotiamenteperiodia, entones ellaesperiodia o preperiodia.
Caso 2. o(z;f)\P 6=:
ConsideremosahoraenladeniiondeÆsololasantidadesjz
j t
i j
uando ellas son distintas de ero.
Æ=minfjz
j t
i
j6=0j0j k 1;0ilg:
Siguiendo el argumento empleado en el aso anterior se onluye
tambien en este aso que si una orbita es asintotiamente periodia a
la orbita de z; entones esa orbita espreperiodia o periodia. ut
Noessenillo,perosepuededemostrarqueparalafunionT :I !
I suede lo siguiente: x 2 I es un punto periodio o preperiodio si y
solo six es un numeroraional.
Los tipos de orbitas menionados hasta ahora representan
movi-mientos senillos. En todas lasorbitas de estos tres tipos (periodias,
preperiodiasy asintotiamente periodias) se tiene que lasuesion de
valoresquevatomandof n
(x)tiendeaunmovimientoperiodiouando
n tiendea innito.
En elaso de quela orbita de x sea asintotiamente periodia a la
orbita de y; punto periodio de perodom, o(y;f)=fy
1 ;y
2 ;:::;y
m g;
tenemos que dada">0muy peque~na, existen
0
2N talquesin n
0 ,
entonesjf n
(x) f n
(y)j<":Estoquieredeirqueapartirde unierto
momentola orbita de x esta muy era de m puntos del intervalo. De
heho, a partir n
0
, toda la orbita de x se enuentra en la union de m
bolasde radio " uyos entros son los puntos de laorbita periodia de
y;
ff n
(x)jn n
0 g[
m
B
" (y
La siguiente deniion nos servira para formalizar lo que
entende-remospormovimientos senillos.
Deniion 5. Sean x y z dos puntos en I. Deimos que z es punto
lmitede laorbita de x si existe una subsuesionde o(x;f);
ff n
i
(x)jn
1 <n
2 <n
3
<g;
talque lim
n
i !1
f n
i
(x)=z: Al onjunto de todos los puntos lmite de
o(x;f) lollamaremos elomegaonjuntolmite de x, y lodenotaremos
por!(x;f):
Sea T :I !I lafunionque denimos antes. Entones
i) ! 2
3 ;T
=
2
3
,ya queo 2
3 ;T
=
2
3 ;
2
3 ;
2
3 ;::: :
ii) ! 2
7 ;T
=
2
7 ;
4
7 ;
6
7
, ya que o 2
7 ;T
=
2
7 ;
4
7 ;
6
7
;::: y toda
sub-suesiondeellaonvergenteesonstanteapartirdeuniertomomento.
iii) ! 1
28 ;T
=
2
7 ;
4
7 ;
6
7
, ya que T 3
1
28
= 2
7
y a partir de ese
momentola orbitade 1
28
es, en esenia, la orbita de 2
7 :
Sea g : I ! I una funion no neesariamente en nuestra familia.
Observa que si x 2 I es asintotiamente periodio bajo g, digamos a
laorbita de z, z 2Per(g); entones !(x;g)o(z;g): En partiular,
laardinalidadde !(x;g)esnita.
Orbitasasintotiamenteperiodias
tienen ! onjuntos lmite de ardinalidad nita. El siguiente
teore-ma ontiene la armaion reproa a este heho. Su demostraion se
enuentra en lapagina 72de [Blo℄.
Teorema 6. Sean x 2 I y g : I ! I una funion ontinua (no
nee-sariamente en nuestra familia). Si la ardinalidad de !(x;g) es nita,
entones x es un punto asintotiamente periodio. ut
Dadoun punto,x2I,diremosqueelmovimientorepresentado por
suorbita es senillo si laardinalidad de su !(x;f)es nita. Observa
que las orbitas senillas orresponden a movimientos que onvergen a
orbitasperiodias.
Deniion 7. Sea x un punto en I. Deimos que x es un punto
ape-riodio(otiene orbita aperiodia) de f si laardinalidadsu !(x;f)es
innita.
Lasorbitas aperiodias desriben movimientos nosenillos(avees
funiones ontinuas denidas en el intervalo. En partiular
demostra-remos que todos los elementos de la familia L presentan este tipo de
orbitas. Deheho,unadenuestrasmetasesdemostrarquedadaf 2L;
existe un onjuntodensoen I,digamos (que depende de adaf),tal
que si x2 ,entones la orbitade x bajo f es aperiodia.
Considera nuevamente la funion T : I ! I: De seguro ya puedes
demostrar lo siguiente:
i)Si x2Q \I,entones !(x;T) tiene ardinalidadnita.
ii)Si x2= Q \I,entones !(x;T) tiene ardinalidadinnita.
Proposiion 8. Sea f 2L. Entones existe x2 I tal que la
ardina-lidad de su !(x;f)es innita.
Demostraion: Es suiente mostrar que debe existir un punto x 2 I
tal quesu orbita noes periodia ni preperiodia.
Lafunionf esmonotonaenunaantidadnitadesubintervalosde
I:Enada uno de ellos lapendiente esdistintade 1. Portantoel
on-juntofz 2Ijf(z)=zgtiene ardinalidadnita. Elmismoargumento
die quepara toda n2N, elonjunto
fz 2Ijf n
(z)=zg
tiene ardinalidad nita. Y as elonjunto
E =[ 1
n=1
fz 2Ijf n
(z)=zg
esnumerable,de hehoesinnitonumerable. Lapartede quela
ardi-nalidadde E es innitanoesneesaria en esta argumentaion, as que
su demostraionla presentaremos en la siguienteseion.
Esasi inmediata lasiguienteigualdad: E =Per(f)(la
demostra-ionse deja ala letora).
Ahora, sea z 2 Per(f): Nuevamente por el heho de que f es
monotona en una antidad nita de subintervalos, se sigue que para
ada n 2N laardinalidad del onjunto
fy2Ijf n
(y)=zg
es nita. Por lo tanto el siguiente onjunto es numerable ya que es la
unionnumerable de onjuntos numerables:
F =[
z2Per(f)
fy 2Ijf n
(y)=z para algunan 2Ng:
numerable. Portanto,suomplementoen [0;1℄esdenso enI einnito
nonumerable.
Cadax2InF tiene orbitaquenoesperiodianipreperiodia,por
tantonoesasintotiamenteperiodia. Y on ellola ardinalidadde su
!(x;f)es innita. ut
En la siguiente seion daremosotra demostraionde la existenia
de estas orbitas aperiodias para elementos de nuestra familia. La
ar-gumentaionquedesarrollaremosesmasgeneralen tantoquesepuede
apliar tambien a funiones que no neesariamente son quebraditas.
Ademas de esta ventaja, tal argumentaion nos llevara de la mano al
desubrimiento,paraelementosdenuestrafamilia,depuntosuyo
ome-gaonjunto lmite nosoloesde ardinalidadinnitasino que ontiene
un intervaloon interiordistintodel vao.
4
Orbitas aperiodias.
Laexisteniade orbitasaperiodiasestarelaionadaonunapropiedad
llamadatransitividad topologia. He aqusu deniion.
Deniion 9. Seaf :I !I una funionontinua(no neesariamente
en nuestra familia). Deimos que f es topologiamente transitiva (o
solo transitiva) en I si para todopar de intervalos abiertos no vaos,
A = (a;b) y B = ( ;); A I y B I; existen x 2 A y n 2 N
tales que f n
(x) 2 B (o, de manera equivalente, existe n 2 N tal que
f n
(A)\B 6=).
Estadeniionpuedemodiarseparaelasodeonjuntosnovaos
e invariantes bajo f: Sea J I un onjunto errado e invariante bajo
f; f(J) J: Deimos que fj
J
: J ! J es transitiva en J si para
todopar de subintervalos abiertos de I; A =(a;b) y B =( ;); tales
que A\J 6= y B \J 6= , existen x 2 A\J y n 2 N tales que
f n
(x)2B\J:
Un ejemplo, y una nueva tarea para el letor, lo da la funion T :
I !I que denimos anteriormente. Demuestra estimadoletor que T
estransitiva en I.
El onepto de la transitividad nos ayudara muho. Resulta que,
La herramienta prinipal en esta seion es el llamadoTeorema de
Baire. A ontinuaion tepresentamos una versionde el. Su
demostra-ionla puedes enontrar en [Roy ℄,pagina 139.
Teorema 10. (Baire). Sea J un subonjunto errado no vao de R.
Sea fO
1 ;O
2
;:::g una oleion numerablede subonjuntosde J;
abier-tos y densos en J. Entones la interseion de todos ellos forma un
onjunto distinto del vao, \ 1
n=1 O
n
6=. ut
Ahora temostraremosun puenteentre laidea de transitividad y la
existenia de orbitas aperiodias.
Teorema 11. Sea f :I !I una funion ontinua (no neesariamente
en nuestra familia). Si f es transitiva en I, entones existe x 2 I tal
que su orbita es aperiodia. Mas a un, sif es transitiva en I, entones
existe x2I tal que su orbita es densa en I.
Demostraion: Construiremosunafamilianumerabledeonjuntos
abier-tos y densosen el intervaloI. Porel Teoremade Baire, lainterseion
de todosellos seranovaa. Mostraremosluegoqueadapuntoenesta
interseion tiene una orbita aperiodia. De heho, la orbita de ada
punto en esa interseion formaraun onjunto denso en I:
Sean B
11 = 0;
1
2
y B
12 =
1
2 ;1
:
Armaion1. Launioninnita[ 1
n=1 f
n
(B
11
)esunonjuntodenso
y abierto en el intervaloI:
Observa que f y ada una de sus iteraiones, f 2
;f 3
;:::, es una
funionontinua. Dadounsubonjuntoabiertoenelintervalo,digamos
A; la imagen inversa de el bajo ada iteraion de f es a su vez un
onjuntoabiertoen I:Ademas,f n
(A)=(f n
) 1
(A)paratodan 2N.
Y, por ultimo, la union de onjuntos abiertos es a su vez un onjunto
abierto. Por lotantola [ 1
n=1 f
n
(B
11
) formaun onjunto abierto.
Mostremosahora que esa union formaun onjunto denso en I.
Sea(a;b)unintervalonovaoenI:Essuientemostrarque(a;b)\
[ 1
n=1 f
n
(B
11 )6=:
Como f es transitiva en I; existe k 2 N y x 2 (a;b) tales que
f k
(x) 2 B
11
. Por tanto, (a;b)\ f k
(B
11
) 6= , y on ello, (a;b)\
[ 1
n=1 f
n
(B
11 )6=:
De manera similar a omo hemos proedido se puede argumentar
que launioninnita[ 1
n=1 f
n
(B
12
SeaN 1 =([ 1 n=1 f n (B 11 ))\ ([ 1 n=1 f n (B 12
)):Esinmediato(elletor
esllamadoaaportarlosdetalles)queN
1
esunonjuntoabiertoydenso
en I: Notese que six 2N
1
, entones existen dos numeros naturales, k
y l, tales que f k
(x)2B
11 y f
l
(x)2B
12 :
Para onstruir N
2
proederemosde maneraanaloga. Consideramos
ahora4=2 2
subintervalosabiertosen elintervaloI: SeanB
21 = 0; 1 4 ; B 22 = 1 4 ; 1 2 ; B 23 = 1 2 ; 3 4
, y B
24 = 3 4 ;1
: La prueba de la siguiente
ar-maionseobtienehaiendo ambios mnimosalaargumentaion
utili-zada en la demostraionde la Armaion 1.
Armaion2. Lassiguientes unionesdeonjuntos son,ada unade
ellas, onjuntos densos y abiertosen elintervaloI :
[ 1 n=1 f n (B 21 );[ 1 n=1 f n (B 22 );[ 1 n=1 f n (B 23 )y[
1 n=1 f n (B 24 ): Denimos N 2 as:
N 2 =\ 4 k=1 [ 1 n=1 f n (B 2k ) :
NuevamenteesinmediatoqueN
2
esunonjuntoabiertoy densoen
I:Ademas,six2N
2
,entonessuorbitavisita,en distintosmomentos,
losuatro intervalosB
2k
, k =1;2;3;4:
Para denir N
k
; k un numero natural ualquiera, seguimos el
pro-edimientodesritoanteriormente.
Primero. Sean B
kl = l 1 2 k ; l 2 k
;l =1;2;3;:::;2 k
:
Segundo. Los onjuntos [ 1 n=1 f n (B kl
) son abiertos y densos en I
para ada l=1;2;3;:::;2 k
:
Terero. Sea N
k = \ 2 k l =1 ([ 1 n=1 f n (B kl
)): Este onjunto es abierto
y denso en I:
Porultimo,unavezquehemosdenidoparaadak2N elonjunto
N
k
; sea N = \ 1
k=1 N
k
: Por el Teorema de Baire, este onjunto es no
vao.
Armaion 3. Si x 2N, entones la orbita de x forma un
onjun-to denso en I: Es deir, la erradura del onjunto o(x;f) es todo el
intervaloI:
Tomemosx2N. Sea (a;b)un intervalonovaoen I:Essuiente
demostrar que(a;b)\o(x;f)6=:
Seak2N talque 1 2 k < b a 3
:Esinmediatoqueexistel2
1;2;3;:::;2 k , talque l 1 2 k ; l 2 k
(a;b):Como x2N
k
; x2[ 1 n=1 f n (B kl
). Portanto
existe j 2 N tal que f j (x) 2 l 1 2 k ; l 2 k
Armaion4. Six2N, entones !(x;f)=I:
Sean x 2 N y y 2 I: La idea es onstruir una subsuesion de la
orbita de x que sea onvergente a y:
Para ada k 2 N onsidera "
k =
1
k
: El primer elemento de nuestra
subsuesionlodeterminamosdelasiguientemanera: Comolao(x;f)es
densa en I;existe n
1
talque jf n
1
(x) yj<"
1
: Para deidirelsegundo
elementode la subsuesion onsideramosa "
2
: Como elonjunto
o(x;f)nfx;f(x);:::;f n
1
(x)g
es denso en I; existe n
2 > n
1
tal que jf n
2
(x) yj < "
2
. Y as nos
seguimos. Supongamos queya esogimos a n
k
on lasdos propiedades
siguientes: n
k > n
k 1 y jf
n
k
(x) yj < "
k
: Dado que, nuevamente,
el onjunto que se obtiene al quitarle a la orbita de x una antidad
nita depuntos esdensoen I,eslaro queexisten
k+1
on propiedades
similares a las menionadas: n
k+1 > n
k y jf
n
k +1
(x) yj < "
k+1 : Es
ahora inmediato que lim
k!1 f
n
k
(x)=y:
Con las armaiones anteriores en la mano podemos onluir que
si x2 N, entones la ardinalidad de !(x;f) es innita (de heho, es
innita no numerable ya que !(x;f) = I). Y on ello, la orbita de
ada punto del onjunto N esaperiodia. ut
Lassiguientesdosobservaionessoninteresantesysus
demostraio-nes pareen no ser difiles:
i) El onjunto N; enontrado en el teoremaanterior, esinnito no
numerable.
ii) Sif tiene una orbita densa en I, entones f es transitivaen I:
Un poo mas adelante utilizaremos una version del teorema que
aabamos de presentar ligeramente distinta. A ontinuaion la
reda-taremos. Su demostraion es, on ligeros ambios, la misma que ya
ofreimos.
Teorema 12. Sea f :I !I una funion ontinua (no neesariamente
en nuestra familia). Sea J un subonjunto de I errado y de
ardina-lidad innita. Supongamos que J es invariante bajo f; f(J) J: Si
fj
J
:J !J es transitivaen J, entones existe x2J tal quesu orbita
es aperiodia(de heho, densa en J). ut
Para que esta idea de transitividad tenga utilidad en la busqueda
sea invariante bajo f y tal que fj
J
: J ! J sea transitiva en J. Las
seiones5y6seorientanaestameta. Enlaseion5proporionamos
algunoslemas tenios y en la 6 obtenemos elonjunto J (pasando en
elamino porel onepto de aos).
5 Regreso a la familia.
Enesta seionpresentamos algunas propiedades que umplen los
ele-mentos de la familiaL. Y luego en lasiguienteharemos uso de ellas.
Sea f 2 L. Sea P =ft
0 =0;t
1 ;t
2 ;:::;t
l
=1g la partiion
menio-nadaen ladeniionde f,y sean m
1 ;m
2
;:::;m
l
;laspendientes de los
segmentos de reta queomponen lagraa de f.
Sea m
f
=minfjm
i
jj1ilg:
Lema13. La siguientedesigualdades ierta: m
f 2
(m
f )
2
:De heho,
para toda n2; se tiene que m
f n
(m
f )
n
:
Demostraion: Sea x2I tal que x6=t
i
y tal que f(x)6=t
i
para toda
i;1il: Utilizando laregla de la adena obtenemos losiguiente:
f
2
0
(x)
=jf
0
(f (x))jjf 0
(x)j(m
f )
2
;
de aqu sesigue que m
f
2 (m
f )
2
:
Por un argumentosimilar y utilizando induionmatematia
obte-nemosque para toda n2N setiene que m n
(m ) n
Unaobservaion antes de ontinuar. Como m
f
>1, entones
lim n!1 m f n =1:
Lema14. Supongamosquem
f
>2:SeaÆ
f
=minft
i t
i 1
j1ilg:
Sea J un subintervalo de I on interior distinto del vao, int(J)6=:
Entones existe k 1 tal que la longitud de f k
(J) es mayor que Æ
f :
Denotaremos esto ultimo as: l f k (J) >Æ f :
Demostraion: Sea J un intervaloon lasaraterstias menionadas.
Supongamosquepara todok 1se tienequel f k
(J)
Æ
f
:Se sigue
que para ualquier k el intervalo f k
(J) tiene en su interior a lo mas
un punto de la partiion P: Por tanto las longitudes de los intervalos
f k
(J) satisfaenlas siguientes desigualdades:
l(f (J)) m
f
2 l(J);
l f 2 (J) m f 2 2
l(J);
. . . . . . l f k (J) m f 2 k
l(J):
Dadoque m
f
2
>1; tenemos que m
f
2
k
!1uando k!1: Y as,
l f k
(J)
!1 uandok !1: Pero esto ultimo esuna ontradiion
ya que siemprenos mantenemos en elintervalo[ 0;1℄. ut
Corolario 15. Dada f 2L;existe Æ>0tal queparatodo subintervalo
J de I on interior distinto del vao, int(J)6=; existe k1 tal que
l f k
(J)
>Æ:
Demostraion: Sea n2N talquem
f n
>2. Sea Æ=Æ
f n
>0;dondeÆ
f n
es elsiguientemnimo:
Æ
f n
=minft
i t
i 1
j1ilg;
y donde P = ft
0 =0;t
1 ;t
2 ;:::;t
l
=1g es la partiion que se
menio-naraen ladeniionde f n
:
Sea J un intervaloon interiordistintodel vao. Por ellema
ante-riorseonluyequeexistem1talquel(f nm
(J))=l((f n
) m
6 La familia L y las digraas.
Enesta seiona ada miembro de nuestra familiale asoiaremosuna
digraa.
Sea f 2 L: Sea Æ > 0 tal que para todo subintervalo J de I on
interiordistintodelvao,int(J)6=;existe n 1 talque l(f n
(J))>
Æ: Considera una partiion, Q=fs
0 =0;s
1 ;s
2 ;:::;s
m
=1g, de I uya
normaumpla lasiguientepropiedad: kQk< Æ
2 :
Las digraas estan formadas por una oleion de verties y una
oleionde ehas. Dada f y la partiionQ onstruimos la digraa
G:Pondremos un vertie porada uno de los m intervalosde laforma
[s
i 1 ;s
i ℄ = A
i
: Por omodidad llamaremos a esos m verties tambien
A
i
, i 2 f1;2;:::;mg. Pondremos una eha de A
i
haia A
j
si existe
n2N talque f n
(A
i )A
j
y lalongitud del intervalof n
(A
i
) esmayor
oigual que Æ; l(f n
(A
i
))Æ:
A ontinuaionofreemos un ejemplo de f y su digraa G:
Ejemplo 16. Sea f :I !I lafunionuya graa esas:
Sea Æ = 1
2
. No es inmediato pero la letora esta invitada a probar
losiguiente:
i) Si(a;b)
1
5 ;1
;a<b;entonesexisten1talquef n
((a;b))=
1
;1
ii) Si(a;b) 0; 1 5
;a<b;entonesexisten 1talquef n
((a;b)) =
1 5 ;1 :
De estas dos armaiones se sigue que para todo subintervalo de I
on interior distinto del vao,llamemosleJ; existe un numero natural
k talque l f k
(J)
>Æ:
LapartiionQ= 0; 1 5 ; 2 5 ; 3 5 ; 4 5
;1 umplelaondiionkQk< Æ 2 = 1 4 :
Ladigraaasoiadaaf,yqueQnosayudaaonstruir,eslasiguiente:
Regresemos a nuestra argumentaion general. La funionf;la Æ >
0; yla digraa Gumplen lasondiionesque menionamosantes del
ejemplo.
Lossiguientes dos lemas desriben propiedadesde G.
Lema 17. Desdeada vertieA
i
; 1im;sale al menosuna eha.
Demostraion: Dada i; 1 i m; es inmediato que existe n
i
2 N tal
que l(f n
i
(A
i
))Æ (ya que A
i
tiene interior distinto del vao): Como
para ualquier j tenemos que l(A
j ) <
Æ
2
(ya que kQk < Æ
2
); podemos
enontrar un A
j
talque A
j f
ni
(A
i
). ut
Lema 18. Si existe una eha que va de A
i a A
j
y existe una eha
que va de A
j
haia A
k
; entones existe una eha que va de A
i a A
k :
Demostraion: Las ehas A
i ! A j y A j ! A k
nos proporionan dos
numeros naturales n
i y n
j
tales que f n
i
(A
i
) A
j y f n j (A j
) A
k .
Ademas, l(f n
i
(A
i
)) Æ y l(f n
j
(A
j
)) Æ: Por lo tanto f n i +n j (A i ) f nj
(A )A ; y l(f ni+nj
El grado de A
i
; que denotaremos por gd(A
i
); sera el numero de
ehas que iniian en A
i
: Si existe una eha de A
i haia A j diremos queA j
es aesible desde A
i :
Observaion. Es inmediato, a partir del lema 18, que si A
j
es
aesi-ble desde A
i
; entones gd(A
i
) gd(A
j
): Todos los verties que son
aesibles desde A
j
son tambien aesibles desde A
i .
Tomemos un numero jo i; 1 i m; y onsideremos el vertie
A
i
:De entre todos losvertiesaesibles desde A
i
esogemos elvertie
A
j
que umplela siguiente propiedad:
gd(A
j
)=minfgd(A
k )jA
k
esaesible desdeA
i g:
Sea g = gd(A
j
) y sean A
j
1 ;A
j
2
; :::; A
jg
los g verties aesibles
desde A
j :
Como ualquier A
j
k
; 1 k g; es aesible desde A
i
; entones
gd(A
j
k
) g = gd(A
j
): Por otro lado, gd(A
j
k
) gd(A
j
) = g: As,
para ualquier A
j
k
se tiene que gd(A
j
k
) = g: De heho, omo todo
vertieaesibledesdeA
j
k
esaesibledesdeA
j
,losg vertiesaesibles
desde adauno de losA
j
k
deben ser A
j
1 ;A
j
2 ;:::;A
j
g :
Tomemos ahora el intervalo A
j1
y on todas sus posibles imagenes
bajo las distintas iteraiones de f formamos elsiguienteonjunto:
B =[ 1 n=1 f n (A j1 ):
Las demostraiones de lassiguientes observaiones no son difiles.
Observaiones: i) A j 1 [A j 2
[:::[A
j
g
B:
ii) Para ualquier par de numeros k y l; 1 k g; 1 l g; se
iii)f(B)=B:
SeaAlaerraduradelonjuntoB;A=[ 1
n=1 f
n
(A
j1
):Enelonjunto
A, omo veremos en seguida, la funion f muestra propiedades muy
interesantes desde el punto de vista del estudio de su dinamia.
Lema 19. El onjunto A satisfae lassiguientes tres ondiiones:
i) int( A)6=:
ii) Para ada x 2 A y ada " > 0; existe un intervalo errado
[;d℄I;on<d; tal que[;d℄(x ";x+") y [;d℄A: Observa
queestaondiionimpliaquetodopuntodeAespuntodeaumulaion
de A (y on ello, A es un onjunto perfeto).
iii) f(A)=A:
Demostraion: i) Esinmediata, ya queint(B)6=:
ii) Observemos primero que f umple la siguiente ondiion: Si C
es ualquier subintervalo de I on la propiedad de que int(C) 6= ;
entones int(f(C))6= tambien:
Ahora, sean x 2 A y " > 0: Existe y 2 [ 1
n=1 f
n
(A
j
1
) tal que
jx yj< "
2
: Sea n
1
2N tal quey2f n
1
(A
j1
):Portanto,
f n
1
(A
j1
)\(x ";x+")6=:
Como f n
1
(A
j
1
) es un intervalo errado on interior distinto del vao,
existen uy >0 tales que
(u ;u+) f n1
(A
j
1 ) y
(u ;u+) (x ";x+"):
Tomando[;d℄=
u
2 ;u+
2
lademostraionde ii)esta
omple-ta.
Convieneaquhaerlasiguienteobservaion: Como[;d℄f n
1
(A
j
1 ),
entones existe un subintervalo de A
j1
on interior distinto del vao,
[s;t℄ A
j1
; talque f n
1
([s;t℄)=[;d℄:
iii) Sea y 2 f(A) y sea x 2 A tal que f(x) = y: Sea fb
i g una
suesionqueumplelosiguiente: fb
i
gB ylim
i!1 b
i
=x:Comof es
ontinuasesigueque lasuesionff(b
i
)gonverge af(x)=y:Yomo
f(B) = B; onluimos que ff(b
i
)g B, y on ello y 2 B = A: Por
tanto f(A)A:
Proposiion20. El onjuntodelospuntos periodios defj
A
:A!A
forma un onjunto denso en A:
Demostraion: Sea (a;b) I tal que (a;b) \ A 6= : Es suiente
demostrar que la interseion Per(f j
A
)\((a;b)\A) es distinta del
vao.
Graiasalaparteii)del lema19, existendos subintervaloserrados
on interior distinto del vao, [;d℄ y [ s;t℄; y un numero natural n
1
tales que
a)[s;t℄ A
j
1 ,
b)[;d℄((a;b)\A);y
)f n
1
([s;t℄)=[;d℄:
Por otro lado, existe n
2
2 N tal que l(f n2
([;d℄)) > Æ: Por tanto
f n
2
([;d℄) ontiene aalgun A
j
k :
LaehaA
j
k !A
j1
nos proporionaun terer numeronatural,n
3 ,
on lapropiedad de queA
j
1 f
n
3
(A
j
k ):
En suma, [;d℄ f n
([;d℄) donde n = n
1 +n
2 +n
3
: y on ello
onluimos que existe y 2 [;d℄ tal que f n
(y) = y: Es inmediato que
y2Per(fj
A
)\((a;b)\A). ut
Observese que la proposiion anterior implia que para ada f en
nuestra familia el onjunto Per(f) tiene ardinalidad innita. Para
ada n 2 N el onjunto de puntos periodios de perodo n es nito.
Por tanto, existen puntos periodios de f de perodo arbitrariamente
grande.
Proposiion 21. La funion fj
A
:A!A es transitiva en A:
Demostraion: Sean E = (a;b) y C = ( ;) dos subintervalos de I:
Supongamos quelasinterseiones E\Ay C\A ambas son distintas
delvao. Porellema19,existendossubintervaloserradosoninterior
distinto del vao,[;d℄y [s;t℄;y un numeronatural n
1
tales que
a)[s;t℄ A
j
1 ,
b)[;d℄(C\A); y
)f n
1
([s;t℄)=[;d℄:
SeaDun subintervalode E\Aoninteriordistintodel vao. Sean
n
2
2N y A
j
k
tales que A
j
k f
n
2
(D): Y sea n
3
, otro numeronatural,
on lapropiedad de queA
j
1 f
n3
(A
j
k ):
Esinmediatoquef n
1 +n
2 +n
3
Co-Unaobservaion(y una nueva invitaionalaestimadaletora): El
onjunto A es, en realidad, una union nitade intervaloserrados.
Otra observaion: Para los que onoen el onepto de sistema
dinamio disreto aotio segun la deniion propuesta por R. L.
De-vaney (ver [Dev℄pagina 50) esonvenientehaer aquun peque~noalto
en elamino. Lafunionfj
A
:A!AestransitivaenA ysuonjunto
de puntos periodios forma una onjunto denso en A: Es sabido que
estas dos ondiiones implian, uando trabajamos en onjuntos
per-fetos (ver[Ban℄),quefj
A
tienesensibilidadalasondiionesiniiales
en A (esto es, existe " > 0 tal que para toda x 2 A y para toda bola
abierta on entro en x; digamosB
(x); >0;existen y 2B
(x)\A
y m2N tales quejf m
(x) f m
(y)j>"). Estas tresondiiones
(tran-sitividad, densidad de puntos periodios y sensibilidad) nos dien que
fj
A
:A!A indueun sistemadinamio aotio en A:
Algunos letores tal vez sospehen que es posible demostrar que
fj
A
:A !A es sensiblea las ondiiones iniialesen A sinreurrir al
argumentoexternoquemenionamosantes: transitividady densidadde
puntos periodios implian sensibilidad. Y estos letores tienen razon.
Paraelloseslasiguienteinvitaion: Demuestrenporfavorquesif 2L,
entones
i)fj
A
:A!A tiene sensibilidada las ondiionesiniiales en A:
ii)f tiene sensibilidada lasondiiones iniiales en I:
Unavez ubierta la invitaion,la demostraionde la siguiente
pro-posiionestaompleta.
Proposiion 22. La funion fj
A
:A!A es aotia en A. ut
El siguiente resultado resume nuestros avanes en la busqueda de
orbitas aperiodias para elementos de nuestra familia a traves de la
busqueda de lugaresdonde se presentetransitividad. Su demostraion
es inmediata a partirde lorealizadohasta aqu.
Proposiion 23. Dada f 2L, existe un onjunto A on interior
dis-tinto delvao y existeun subonjunto deA denso en A; llamemosle J;
tal que para todo x2J se tiene que !(x;f)=A: Con ello la
ardina-lidad del !(x;f) es innita no numerable.
Demostraion: Delosteoremas11y12,yde laproposiion21, sesigue
la armaionontenida en esta proposiion. ut
onjun-; y el onjunto de todos los puntos uya orbita es asintotiamente
periodia, . Es deir,
= fx2Ijlaardinalidad de !(x;f) esinnitag
= In =fx2Ijlaardinalidadde !(x;f)es nitag:
Ya demostramos, en la proposiion 8, que es denso en I: La
si-guiente proposiion ontiene otra argumentaion de este mismo heho
ademasde informaionextra sobre elonjunto :
Proposiion 24. Los onjuntos y son ambos onjuntos densos
en I.
Demostraion: Sean x 2 I y " >0: Iniiemos modiando
ligeramen-te la partiion que denimos al iniio de esta seion. Ademas de la
ondiionque ya umple, kQk < Æ
2
; lepediremos que tambien umpla
lo siguiente: La norma de Q es tal que existe un subintervalo A
i que
estatotalmenteontenidoen (x ";x+")\[ 0;1℄:Para estevertieA
i
enontramos losverties A
j y A
j1 ;A
j2
; :::; A
jg
omo hiimosantes.
Graias a las ehas A
i ! A
j y A
j ! A
j1
y a la deniion del
onjuntoA;existe unnumeronaturalm talqueelonjuntof m
(A
i )\A
tiene interior distinto del vao. Por tal razon existen a 2 I y b 2 I
tales que jx aj < "; jx bj < "; f m
(a) 2 Per(f j
A ) y f
m
(b) =
donde es un punto aperiodio bajo f: Esto impliaque !(a;f) tiene
ardinalidadnita y !(b;f)tiene ardinalidadinnita. ut
Una posible redaion mas simple de lo que hemos demostrado es
lasiguiente: Letor(a) toma un lapiz; dibuja una lnea quebrada en el
uadradito [0;1℄[0;1℄ R 2
: Comenzando en el punto (0;a);
mante-niendoel trazode izquierdaa dereha yterminando en el punto (1;b),
0a;b 1. Cuida de queen adasegmentode reta lapendientesea
mayor que uno o menor que menos uno. Al nal obtendras la graa
deuna funiondenida del[0;1℄en el[0;1℄on lassiguientes
propieda-des: lospuntos quetienen orbitaaperiodiaforman un onjunto denso
en [0;1℄; los puntos uya orbita es asintotiamente periodia tambien
forman un onjunto denso en [0;1℄; y existe un subonjunto errado,
invariante, on interior distinto del vao, donde la funion presenta
aos desde elpuntode vistade R. L.Devaney.
Agradeimientos. Estas notas naieron apartir de una onferenia que
So-fueron realizadas porHetor Miguel Cejudo Camahodel Laboratorio
deVisualizaionMatematia(DepartamentodeMatematias,Faultad
de Cienias, UNAM). Pilar Valenia Saravia leyo una version
prelimi-narysusomentariosayudaronamejorarestaversionnal. Elprofesor
Jeerson King sugirio el aertado (ree el autor) ttulo de LAS
QUE-BRADITAS.
Referenias
[Ban℄ J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis and P. Staey, On
Devaney'sDenitionof Chaos,Amer.Math.Monthly,1992,
332-334.
[Blo℄ L. S.Blok y W. A. Coppel, Dynamisin One Dimension,
Le-ture Notes in Math. 1523, Springer Verlag, 1991.
[Dev℄ R. L. Devaney, An Introdution to Chaoti Dynamial Systems,
Seond Edition, Addison Wesley,1989.
[Roy℄ H. L.Royden, Real Analysis. Segunda ediion. Mamillan
Com-pany, 1968.
[Sma℄ S. Smale,Dieomorphisms with many periodi points,
Dieren-tial and Combinatorial Topology, Prineton Univ. Press,
