1.1.7 ALGUNAS DEFINICIONES O LEYES DE INTERÉS 1.2 MODELOS PROBABILÍSTICOS 1.2.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS FENÓMENOS ALEATORIOS 1.2.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO 1.2.3 CONCEPTO DE PROBABILIDAD 1.2.4 TEORÍA AXIOMÁTICA DE LA PROBABILISDAD 1.2.5 T

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(1)

TABLA DE CONTENIDOS

1. NOCIONES ELEMENTALES DE PROBABILIDAD 1.1 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS

1.1.1 DEFINICIÓN DE CONJUNTO. 1.1.2 NOTACIÓN.

1.1.3 EJEMPLOS.

1.1.4 CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJUNTO VACÍO. 1.1.5 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1.1.6 EJEMPLO

1.1.7 ALGUNAS DEFINICIONES O LEYES DE INTERÉS 1.2 MODELOS PROBABILÍSTICOS

1.2.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS FENÓMENOS ALEATORIOS 1.2.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO 1.2.3 CONCEPTO DE PROBABILIDAD

1.2.4 TEORÍA AXIOMÁTICA DE LA PROBABILISDAD

1.2.5 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEDUCIBLES DE LA TEORÍA AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD

1.2.6 TEORÍA CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD 1.2.7 TEORÍA FRECUENCIAL O A POSTERIORI 1.2.8 PROBABILIDAD MARGINAL

1.2.9 PROBABILIDAD CONDICIONAL 1.2.10 TEOREMA DE BAYES

1.2.11 PROBLEMAS

2. VARIABLES ALEATORIAS

2.1 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

2.2 FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES DISCRETAS

2.3 FUNCIÓN DE DENSIDAD MARGINAL PARA VARIABLES DISCRETAS 2.4 FUNCIÓN DE DENSIDAD CONDICIONAL

(2)

2.6 FUNCIÓN DE DENSIDAD PARA VARIABLE CONTINUA PLURIDIMENSIONAL

2.7 ESPERANZA MATEMÁTICA

2.8 MOMENTOS CON RESPECTO AL ORIGEN

2.9 MOMENTOS DE ORDEN RESPECTO A UNA CONSTANTE 2.10 MOMENTOS DE ORDEN CON RESPECTO A LA MEDIA 2.11 VARIANZA DE UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD 2.12 FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS

2.12.1 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS 2.12.2 TEOREMA

2.13 FUNCIÓN CARACTERÍSTICA 2.14 EJERCICIOS

3. DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS

3.1 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE DISCRETA

3.1.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

3.1.2 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 3.1.3 DISTRIBUCIÓN DE POISSON

3.2 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS 3.2.1 DISTRIBUCIÓN UNIFORME O RECTANGULAR 3.2.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL (0, 1 ) : n(0, 1)

3.2.3 DISTRIBUCIÓN NORMAL CON MEDIA m y VARIANZA s2: h(m,s2) 3.2.4 DISTRIBUCIÓN JI DOS CON UN GRADO DE LIBERTAD: X 2 (1) 3.2.5 DISTRIBUCIÓN JI DOS CON n GRADO DE LIBERTAD X 2 (n) 3.2.6 DISTRIBUCIÓN t DE ESTUDENT

3.2.7 DISTRIBUCION F DE SNEDECOR 3.2.8 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 3.2.9 TEOREMA DE MOIVRE

(3)

1 NOCIONES ELEMENTALES DE PROBABILIDAD

1.1 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS

1.1.1 DEFINICIÓN DE CONJUNTO. Un conjunto no es más que una colección de objetos, elementos o miembros.

1.1.2 NOTACIÓN. Por convencionalismo se tiene, mientras no se diga lo contrario, los conjuntos, los denotaremos con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.

1.1.3 EJEMPLOS.

1.1.3.1 Sea A un conjunto compuesto por los elementos: a, b, c y d. Es decir,

{

a, b, c, d

}

A= , donde podemos asegurar que a “pertenece a” A y se escribe

( )

a,b A;

(

b,c,d

)

A;etc.

A; d A; c A; b A;

a∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

1.1.3.2 Cuando un elemento o un grupo de elementos “no pertenece a” un conjunto, lo denotamos así: ∉. Remitiéndonos al ejemplo 1.1.3.1 tenemos que la pareja

( )

h, k A.

1.1.3.3 Dados los conjuntos A y B los cuales tienen como elementos : 1, 3, 5, 7, 9 y 1, 7, 9; respectivamente, entonces decimos que el conjunto B “es subconjunto de” A.

1.1.4 CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJUNTO VACÍO. En muchos casos restringimos la teoría de conjuntos en términos de subconjuntos, ya que los relacionamos con respecto a otro conjunto o espacio que los contiene, esto es, conjunto Universal y lo denotamos con la letra U.

(4)

1.1.4.1 Ejemplo de conjunto vacío:

El conjunto de todos los números reales X tales que X2 = -1, es decir,

{

X / X2 = -1

}

= φ, ya que no existen cuadrados de números reales que sean iguales a –1.

1.1.4.2 Ejemplo de conjunto Universal:

Si lanzamos un dado, el conjunto de todos los posibles resultados es el universo o Espacio Universal:

{

1, 2, 3, 4, 5, 6

}

1.1.5 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1.1.5.1 UNIÓN. Se define como el conjunto de todos los elementos, que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, (siendo A y B previamente definidos).

A“Unión” B, esto es

(

A B

)

.

1.1.5.2 INTERSECCIÓN. Es el conjunto de elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B, (A y B previamente definidos), y se escribe A ∩ B.

Cuando A ∩ B = φ, decimos que A y B son conjuntos disjuntos o “Distintos”.

(5)

1.1.5.4 COMPLEMENTO. Si B C A, entonces, A – B se denomina el complemento de B relativo a A y se escribe: B´AoBAoBCA.. Si A = U, nos referimos a U – B, sencillamente como el complemento de B: B´ o B o BC. El complemento de

(

A B

)

se escribe

(

AB

) (

´ o AB

) (

o AB

)

C.

1.1.6 Ejemplo:

{

}

{

}

{

}

{ }

a,u D , , , C , u, , o, , i, , e, a, B , , , , , , , , , A = = = = 8 6 4 2 9 7 5 3 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Hallar: A B; B D; A - B; C´A. Entonces:

{

} {

}

{

}

{

0 2 4 6 8

}

{

0 1 3 5 7 9

}

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 7 5 3 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 , , , , , A C A imo C y por últ ,

, , , B Ahora, A

B. D Luego, B B. que, D claramente D, vemos B o, u , a, e, i, , , , , , , , , , B A , u, , o, , i, , e, a, , , , , , , , , , B A ´ ´ = = = = ∪ ⊂ ∪ = ∪ ∪ = ∪

1.1.7 ALGUNAS DEFINICIONES O LEYES DE INTERÉS

1.1.7.1 Sean A, B, C, tres conjuntos cualesquiera, tal que si C.

A C B y B

A ⊂ ⊂ ⇒ ⊂

1.1.7.2 A B = B A: Ley conmutativa de la unión.

1.1.7.3 A

(

B C

)

=

(

A B

)

C = A B C: Ley asociativa de la unión

1.1.7.4 A B: Ley conmutativa de la intersección = B A

1.1.7.5 A

(

B C

)

=

(

A B

)

C = A B C: Ley asociativa de la intersección.

(6)

1.1.7.7 A

(

B C

)

=

(

A B

)

(

A C

)

1.1.7.8 A - B = A

1.1.7.9 Si A B B´ o B´ 1.1.7.10 A φ= A y A φ = φ 1.1.7.11 A U = U y A U = A

1.1.7.12

(

A B

)

´ = B´: Se conoce como la primera Ley de Morgan 1.1.7.13

(

A B

)

´ = B´: Segunda Ley de Morgan

1.1.7.14 Para cualquier par de conjuntos A y B A =

(

A B

)

(

A

)

.

1.2 CÁLCULO DE PROBABILIDADES

El cálculo de probabilidades es la teoría matemática que sirve de modelo, para la descripción y análisis de los fenómenos estadísticos o aleatorios.

Por fenómenos o experimentos aleatorios, entendemos que son aquellos cuyos resultados están establecidos pero no se pueden predecir con exactitud A priori1, o sea que en situaciones idénticas pueden presentar resultados diferentes; además los fenómenos pueden ocurrir repetidamente en forma indefinida.

1.2.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS FENÓMENOS ALEATORIOS

1.2.1.1 Multiplicidad de la ocurrencia

1.2.1.2 Variabilidad, ya que pueden presentar resultados distintos en cada experimento.

1.2.1.3 Aleatoriedad, porque no pueden predecir

1.2.1.4 Ley del Azar, si una cierta experiencia se repite n veces y anotamos el número n(A) de veces que ocurre una característica determinada, se

1

(7)

observa la frecuencia n n(A)

, tiende a estabilizarse, esto es, se aproxima

a un valor fijo. Haremos énfasis en la última característica o propiedad de los fenómenos aleatorios, conocida también como “Estabilidad de las frecuencias” o “Principio de la regularidad estadística”.

Todo fenómeno exige la evidencia de alguna regularidad, el cálculo de probabilidades se basa en la regularidad estadística que caracteriza a los fenómenos aleatorios.

Los fenómenos aleatorios se caracterizan por la imposibilidad de predecir resultados individuales, sin embargo, si consideramos un número de pruebas repetidas o simultáneas, la situación cambia, y a pesar de la irregularidad de los resultados individuales o aislados, los resultados promedios o globales muestran una sorprendente regularidad.

Para explicar este principio de la regularidad, tomemos un ejemplo clásico citado por numerosos autores de temas estadísticos: “Supongamos el lanzamiento de una moneda perfecta, donde representamos por n el número de lanzamientos de la moneda y sea, A: El resultado consistente en caer cara, entonces n(A) será la frecuencia absoluta o número de veces de caer cara dentro del experimento, luego

la frecuencia relativa será

n n(A)

(8)

Figura No. 1

1.2.2 CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO

Fundamentalmente el análisis combinatorio se ocupa tanto de los diversos modos de ordenar los elementos de un conjunto, como del estudio de las agrupaciones que se pueden formar con dichos elementos, así pues, por análisis combinatorio podemos afirmar que es la parte de la matemática en que se estudian las agrupaciones que pueden formarse con elementos dados, (objetos. Números, ...), teniendo en cuenta el número de elementos que entran en cada grupo y el orden en que están colocados, prescindiendo del valor numérico de los elementos, si lo tuvieren.

En el análisis combinatorio podemos considerar: Las variaciones, permutaciones, combinaciones y el principio fundamental de cuenta.

1.2.2.1 VARIACIONES2. Se denomina variación, de los elementos de un conjunto, una disposición ordenada de los mismos. Si hay n elementos en el conjunto, el número de variaciones dependerá del número de objetos m que se deseen tomar y ordenar.

2

(9)

Las variaciones de n elementos tomados en grupo de “m en m” se denotan por: m

Vn ó ó nVm ó Vn:m

Vmn . Antes de definir el número de variaciones, aclaremos la noción de factorial de un número, primero que todo dicho número debe definirse como el elemento de los números enteros positivos sin incluir el cero, así pues, el factorial de n y se escribe n! Se define como: n! = n(n-1) (n-2) ... x3x2x1 y decimos que 0! = 1, por definición.

Luego el número de variaciones está dado por la expresión:

(n-m)! n! Vmn =

donde n representa el total de elementos del conjunto y m: el

número de elementos que desean ordenar.

1.2.2.2 EJERCICIO. Hay 15 candidatos para ocupar los cargos de presidente, vicepresidente, secretario, tesorero, fiscal, de una asociación gremial. De cuántas maneras diferentes se pueden ocupar estos cargos?

Tenemos que el primer cargo, o sea, el cargo del presidente puede ser ocupado por cualquiera de los 15 candidatos, es decir, hay 15 maneras diferentes de ocupar dicho cargo. Ahora, una vez ocupado el cargo de presidente, nos quedan14 candidatos disponibles para ocupar el segundo cargo, digamos el de vicepresidente, una vez ocupado dicho cargo, el siguiente se puede ocupar de 13 maneras y así sucesivamente; tal como lo indicamos a continuación:

, Fiscal x Tesorero x

Secretario x

ente Vicepresid x

esidente

11 12

13 14

15 Pr

luego, el número

total de maneras diferentes para integrarse dicha junta es: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 = 360.360 . n = 15:número de candidatos, m = 5: Personas a ocupar los cargos.

360 360 10

10 11 12 13 14 15 5

15 15 15

5 .

!

! x x x x )!

-(

!

(10)

1.2.2.3 VARIACIONES CON REPETICIÓN

Si suponemos que cada uno de los m elementos, puede figurar cualquier número de veces en una misma variación, obtenemos las variaciones con repetición, cuyo número lo podemos calcular auxiliándonos con la fórmula:

n

m

n m

V R =

Así en el caso del ejercicio 1.2.2.2, el presidente una vez nombrado, participa en la elección de vicepresidente y a su vez éste en la del presidente, tesorero, secretario y fiscal a así sucesivamente; es decir:

375 759 15

15 15 15 15

15

5 15

5 ( ) . V R

F x T x S x Vp x P

= =

1.2.2.4 PERMUTACIONES. Las variaciones, de orden m de n elementos cuando m es igual a n, decimos entonces que son permutaciones. El número de permutaciones diferentes está dado por la expresión:

n!

P

n

m = .

Ahora, en el caso que entre los n elementos, existan h iguales entre sí; ( h < n), el

número de permutaciones está dado por la expresión:

h! n!

P

h

n =

Pero puede presentarse el caso en que dentro de los n haya más de una clase de elementos iguales entre sí, es decir, existan h1, iguales entre sí, h2iguales entre sí,

…………., h t iguales entre sí; entonces el número de permutaciones está dado

(11)

n h ... h h : donde , ! h ... ! h ! h

n!

1 2 t

t 2 1 h ,... h , h

P

1 2 t

n = + + + =

Cuando los elementos no se suponen ubicados en una línea recta, sino en un circulo, se dice que la permutación es circular, esto es, no hay primero ni último elemento; lo que implica tener que “fijarse” uno, como punto de referencia. El número de permutaciones circulares está dado por: c P n = PCn = (n – 1)!.

A manera de ejemplos ilustremos un poco los conceptos de permutaciones ya dados:

- El número de permutaciones diferentes que se pueden formar con la palabra SACO es: P4 = 4! ; en dicha palabra no se encuentran letras

iguales.

- Veamos ahora con la palabra CHALECO, en este caso hay dos elementos iguales entre sí, luego el número de permutaciones está dado por:

520 2 2

7 2

7 ! . !

P

= = .

- Dadas las siguientes letras: T, S, S, V, V, T, T, S; cuántas permutaciones diferentes podemos hallar?

Observamos que para n = 8 elementos hay h1 = “número de tes” = 3; h2 =

número de eses = 3 y h3 = número de uves = 2; entonces el número de

permutaciones estará dado por: 560

2 3 3

8

2 3 3

8 ! ! !

!

P

, ,

= =

- Si tenemos 5 estudiantes sentados alrededor de una mesa redonda, de cuántas maneras de pueden permutar?

(12)

C, D, E; si fijamos el estudiante C, solamente quedan para intercambiarse los estudiantes A, B, D, E; si fijamos el estudiante A, pueden intercambiarse B, C, D, E y así sucesivamente. Observamos pues que de los 5 estudiantes sólo quedan 4 para permutarse. Luego el número de permutaciones está dado por:

24 4

5

!

P

C = = .

1.2.2.5 COMBINACIONES

Las combinaciones de orden m de n objetos: a1, a2, ... an; son los grupos de m

objetos que se pueden formar entre los n, de modo que dos cualesquiera difieran en algún objeto.

A diferencia de las variaciones, en las combinaciones, no importa el orden de sucesión de los elementos.

El número de combinaciones está dado por la fórmula:

( )

m n !

m! (n - m) n!

n m

C

nm = = ∴ 1 ≤ ≤

Un ejemplo ilustrativo para la anterior definición puede ser: Cuántas ternas diferentes podemos extraer de las letras A, E, I, O, U?

En este caso consideramos que la terna (A, E, I) = (E, A, I) = (E, I, A) = (I, E, A) = (I, A, E) = (A, I, E), ya que no nos interesa el orden de colocación de los elementos dentro de la terna, solo nos interesan todas aquellas ternas que difieran al menos en un elemento.

Luego el número de ternas diferentes está dado por:

10 2

3 5 5

3 ! ! !

(13)

1.2.2.6 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CUENTA

Si α , α , α , - - - - - α ;

n 3

2

1 son n acciones distintas que se pueden realizar de n

, - - - γ

, γ γ

2

1 maneras respectivamente, entonces el número total de maneras

como se pueden efectuar

n

- α

, - - - - , α

, α α

3 2

1 en sucesión, viene dado por:

n

- - - γ

γ

γ

γ × × ×

3 2

1 : Maneras.

Ahora, si el número de maneras como se pueden efectuar cada una de las i

α

Acciones, (i = 1, ..., n), es idéntico, es decir;

n γ

- - - γ

γ

γ = = = =

3 2

1 ;

entonces el número total de maneras estará dado por:

n

γ γ - - - γ

γ

γ × × × × =

En general, en todo experimento, si hay npruebas, cada una de las cuales pueden

dar

γ

resultados independientes, el total de resultados diferentes será

γ

h. Así por ejemplo: Al lanzar un dado una vez, el número de resultados posibles es 6, o sea,

6 61

1 = =

γ

.

Si lanzamos el dado dos veces, n = 2 ⇒ hay γ 2 = 62 = 36 resultados posibles; si se lanza el dado tres veces, n = 3 γ3 = 63 resultados posibles.

1.2.3 CONCEPTO DE PROBABILIDAD

(14)

probabilidad del suceso A. La probabilidad de un suceso suele llamarse también frecuencia teórica o verdadera.

El objeto de la teoría de probabilidades es proporcionar un modelo matemático adecuado a la descripción e interpretación de los experimentos aleatorios.

Veamos ahora, las definiciones de algunos de los elementos sobre los cuales se asienta la teoría de probabilidades.

1.2.3.1 ESPACIO MUESTRAL

Es el conjunto o totalidad de resultados posibles dentro de un experimento aleatorio; lo llamaremos S.

El espacio muestral S puede ser discreto y continuo. Es discreto cuando contiene un número finito de puntos o un número infinito numerable3 de puntos.

Así por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, una vez, el espacio muestral S es = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, que es un espacio con número finito de puntos. Ahora si el experimento consiste en lanzar una moneda legal, hasta que aparezca el primer sello, el espacio muestral es: S = {1, 2, 3, ... }; Ya que el resultado deseado puede ocurrir en la primera, segunda, tercera, . . . , tirada.

El espacio muestral S es continuo si contiene un número infinito no numerable de puntos. Así por ejemplo, un experimento aleatorio consiste en observar la resistencia a la tensión de ciertas vigas, bajo las mismas condiciones; el resultado puede ser cualquier número positivo por consiguiente el espacio muestral es continuo.

3

(15)

1.2.3.2 SUCESO

Es el conjunto de resultados favorables o deseados en un experimento dado. Por ejemplo, un experimento aleatorio, consiste en lanzar dos dados y una moneda. Uno de los sucesos puede ser; A = suma de puntos menor que 4 para los dados y sello para la moneda, luego, A = {(1, 1, s); (1, 2, s); (2, 1, s)} como puede verse, el suceso A no es más que un subconjunto del espacio muestral S.

Muchos autores suelen llamar los sucesos aleatorios como eventos. Cuando los elementos de un suceso coinciden con los elementos del espacio muestral decimos que es “suceso seguro”; cuando los sucesos están formados por un solo punto del espacio muestral se denominan “sucesos elementales”; y cuando el conjunto de posibles resultados es el vacío decimos que el suceso de llama “suceso imposible”.

1.2.4 TEORÍA AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD

Partiendo de las características observadas en simples experiencias, podemos construir un modelo abstracto que nos traduzca y generalice, para aplicarlas en situaciones más complicadas. Es decir, establecemos en forma axiomática el cálculo de probabilidades.

Llamaremos P (A) a la probabilidad del suceso A en el experimento aleatorio, dentro del espacio muestral S. P(A) es una función de conjunto que satisface los tres axiomas siguientes:

1 2

0 1

. P(S)

S r suceso A cualqeuie

Para

. P(A) =

(16)

...

... 1 2 3

2 1

3

2UAU ...) P(A ) P(A ) , si A , A ,A

UA P(A,

3. = + + es una

sucesión de sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles, es decir, si j

i para

φ

A

Aij = ≠ .

1.2.5 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEDUCIBLES DE LA TEORÍA AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD

1.2.5.1 Si P(A) es la probabilidad de un suceso A, la probabilidad del suceso contrario a A es igual a UNO menos la probabilidad de A, es decir,

- P(A) )

P(A´ = 1

Demostración:

Si A = S y A A' = φ , o sea, son mutuamente excluyentes, P (S),

) A P(A ' =

⇒ por axioma tercero.

) P(A P(A) )

A

P (A ' = + ' y por segundo axioma tenemos que

1 1. P(A A') P(A) P(A')

P(S) =

∪ = + = .

Luego: P(A’) = 1 – P(A).

1.2.5.2 La probabilidad de un suceso lógicamente imposible es cero; o sea, 0

) P(φ = . Demostración:

P(S') P(φ

S'

φ = ⇒ )= y por el teorema 1.2.5.1, sabemos que: 0 1 1 ) 1

1 - P(S), pero P(S) P(S') P(φ -

P(S') = = ⇒ = = =

Luego: P (φ )= 0.

1.2.5.3 0 ≤ P(A) ≤ 1 Cualquiera que sea el suceso A Demostración:

0

(17)

Luego debemos probar que P(A) ≤ 1, por teorema 1.2.1, vemos que P(A) = 1 – P (A’); pero P (A') ≥ 0, por axioma primero ⇒ P(A) ≤ 1 luego 0 ≤ P(A) ≤ 1.

1.2.5.3 Si A1 ⊂ A2 ⇒ P(A1) P(A2)

Demostración:

Si A1 A2 A1

[

A1' A2

]

= A2

Tal como se puede apreciar en el siguiente diagrama:

2 c

1 A

A

[

]

(

)

[

A A A

]

P(A ) P(A ) P(A A ) P(A ), como P

φ

A A A

2 2

' 1 1

2 2

' 1 1

2 ' 1 1

= ∩ +

⇒ =

∩ ∪

= ∩ ∩

, ) A y P(A )

P(A '

0

0 1 2

1 ≥ ∩ ≥

Luego podemos concluir que:

). P(A )

P(A1 ≤ 2

1.2.5.4 Para cualquier par de sucesos A1 y A2 se tiene que

) A ) - P(A P(A

) P(A )

A

(18)

Demostración:

Ayudémonos a través del siguiente gráfico:

Observando el diagrama, podemos ver claramente que:

(

)

(

)

(

A A

)

P

(

A A

)

P

(

A A

)

P

(

A A

)

P : te consiguien por , A A A A ) A (A A A ' 1 2 2 1 ' 2 1 2 1 ' 1 2 2 1 ' 2 1 2 1 ∩ + ∩ + ∩ = ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ∪

Ahora; de modo similar vemos que: A1 = (A1 ∩ A2) (A1 ∩ A2' ) y que

), A P(A ) P(A ) A P(A ) A P(A ) A P(A ) P(A φ ) A (A ) A (A 2 1 1 ' 2 1 ' 2 1 2 1 1 ' 2 1 2 1 ∩ = ∩ ∩ + ∩ = ⇒ = ∩ ∩ ∩

Por otra parte; A2 = (A1 ∩ A2) (A2 ∩ A1') y (A1 ∩ A2) (A2 ∩ A1' ) = φ ) A ) - P(A P (A ) A P (A ) A P (A ) A P (A )

P (A ' '

2 1 2 1 2 1 2 2 1

2 = ∩ + ∩ ⇒ ∩ =

Ahora, remplazando: (2) y (3) en (1) se tienen que.

) P(A ) P(A ) A P(A A A ), SI A

) - P(A P(A ) P(A ) A P(A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = ∪ ⇒ = ∩ ∩ + = ∪ φ

1.2.6 TEORÍA CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD4

En ciertos problemas, con espacio muestral discreto y número finito de puntos, (los juegos de azar por ejemplo), es realista suponer que la probabilidad asignada

4

También se conoce como teoría A priori de la probabilidad o regla de Laplace

1

2

(19)

a cada punto del espacio muestral es n 1

. Podemos entonces de esta manera

hallar la probabilidad P(A) para un subconjunto A del espacio muestral, con n(A)

puntos, cada uno con probabilidad n 1

:

n n(A) n

- - - - n

n

P(A) = 1 + 1 + + 1 =

Se puede comprobar que para un espacio muestral discreto con n puntos, la función P es función de probabilidad si cumple con los axiomas anotados anteriormente:

Probabilidad para cada punto = 1 0 n ≥ Probabilidad para un subconjunto A S

Es n

n n(A)

P (A) = ≥ 0

es el total de puntos en S.

Así por ejemplo, sea el experimento lanzar un dado una vez.

El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} donde cada punto, (o resultado), de S tiene igual oportunidad, es decir, P(1) = P(2) = P(3) = ... = P(6) =

6 1

Ahora, definamos el suceso A = número obtenido menor que 3

{

X / X 3

}

A

{ }

1, 2

A = < ⇒ =

Luego, n(A) = número de veces favorables al suceso A = 2, n(A): frecuencia de A, y n es el total de resultados posibles del experimento n = 6.

3 1 6 2 n

n(A)

(20)

1.2.7 TEORÍA FRECUENCIAL O A POSTERIORI

Es aquella que consiste en encontrar el valor de probabilidad, después de repetirse el experimento un número considerable de veces. Por ejemplo; la probabilidad que tiene un jugador “A” de ganar cierto juego es P(A) = 3/5 y la probabilidad de perderlo es P(A’) = 2/5; estas probabilidades son a posteriori, puesto que se conocieron después de “observar” el juego de “A” repetidas veces.

Tanto la teoría clásica como la frecuencial presentan serias dificultades, la primera en cuanto a la “Ambigüedad”, de que parte siempre de espacios muestrales finitos y resultados equiprobables, pero cuando los resultados posibles generan un espacio muestral discreto infinito, como por ejemplo al hallar la probabilidad de que un número natural sea impar, dicha teoría nos deja en nada; mientras que, la segunda teoría presenta el inconveniente en cuanto a “Repetirse el experimento un número considerable de veces”; de ahí la importancia que toma la teoría axiomática de la probabilidad, evitándonos los tropiezos o limitaciones de las teorías clásica y frecuencial.

1.2.8 PROBABILIDAD MARGINAL

Supongamos que el espacio muestral S, discreto formado por un número n finito

de puntos, cada uno con igual probabilidad n 1

.

Ahora, hagamos una partición del espacio muestral S en m1 subconjuntos

mutuamente excluyentes: A1, A2,A3,..., Am1

Hagamos otra partición de S en m2subconjuntos mutuamente excluyentes, así.

B1, B2,B3,..., Bm2

(21)

B1 B2 B3 . . . Bj . . . Bm2

A1 n11 n12 n13 . . . n1j . . . n1m2

A2 n21 n22 n23 . . . n2j . . . n2m2

A3 n31 n32 n33 . . . n3j . . . n3m2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

Ai ni1 ni2 ni3 . . . nij . . . nim2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . . Am1 nm11 nm12 nm13 . . . nm1j . . . nm1m2

La tabla indica, por ejemplo, que: el resultado n12 tiene a la vez el atributo A1 y el

atributo B2; n11:número de veces en que ocurren simultáneamente los atributos A1

y B1 respectivamente; y en general nij, es el número de veces en que ocurren

simultáneamente los atributos Ai y Bj. Luego la probabilidad de que sucedan Ai y Bj

simultáneamente será:

(

)

n n , B A

P i j = ij

Pero si nos interesa solamente obtener la probabilidad del suceso Ai, sin

interesarnos la clasificación B, tendremos:

( )

( )

(

)

= =

= =

+ + + + =

m2 1 j

j i m2

1 j i

2 i3

i2 i1 i

B A P n n A

P

n

n -n n n A P

ij

im

O bien, si nos interesa únicamente hallar la probabilidad del suceso Bj, estará

(22)

( )

(

)

= =

=

= m1

1 i

j i m1

1 i

j P A B

n n B

P ij

Donde P(Ai) y P(Bj) reciben el nombre de “probabilidad marginal” de A y B

respectivamente.

Aquí escogemos únicamente dos criterios de clasificación A y B; pero es obvio que la idea de probabilidad marginal, se pueda generalizar a más de dos criterios de clasificación.

1.2.9 PROBABILIDAD CONDICIONAL

Vamos a definir un tipo especial de probabilidades, que se denominan probabilidades condicionales o relativas.

La probabilidad del suceso “A” condicionada por el suceso “B”, o probabilidad de “A”habiendo ocurrido B, es por definición:

(

)

(

( )

)

inal de B m

obabilidad

ente imultáneam ocurran s

que A y B obabilidad

B P

B A P B A P

arg Pr

Pr = ∩

=

Aunque esta idea es completamente general; podemos describir esta probabilidad condicional utilizando el caso particular de espacio muestral discreto con número finito de puntos, e igual probabilidad para cada punto. Utilizando la partición del espacio muestral y la tabla de doble entrada que formamos para escribir la probabilidad marginal, tenemos.

(23)

Supongamos que una vez realizado el experimento se observa que tiene el atributo B3, deseamos hallar la probabilidad de que tenga además el atributo A2.

El total de resultados de B3 es:

=

= +

+ +

+ 1

1 3 3

22 23 13

m

i i

i n

n . . . n

n

n y de estos los

resultados favorables a A2 son: n23, de esta manera, la probabilidad de A2 cuando

se sabe que ha ocurrido B3es:

(

)

=

= 1

1 3 23 3

2 m

i i

n n B

A P

Si dividimos el numerador y el denominador de la expresión por n, se tiene:

(

)

(

)

(

( )

)

3 3 2 3

2 1

1 3 23

3 2

B P

B A P B A P

n n n n B

A

P m

i i

= ⇒

=

=

En general:

(

)

(

( )

)

;

B P

B A

P B A P

j j i

j i

= es decir,

La probabilidad de Ai dado Bj, es igual a la probabilidad de que ocurran Ai y Bj

simultáneamente sobre la probabilidad marginal de Bj.

También se tiene que:

(

)

(

( )

)

i j i

i j

A P

B A

P A B

(24)

Ahora, utilizando el criterio de probabilidad condicional, podemos definir el carácter de dependencia e independencia de sucesos.

Si A y B son sucesos dependientes,

(

)

(

)

(

)

P(A,B) P(A) P

(

B A

)

P(A)

P(AB) A

B P

B A P P(B)

P(A,B)

P(B) P(AB) B

A P

.

.

= ∴

=

= ∴

=

La ocurrencia de A afecta la ocurrencia de B o viceversa, ya que A B φ. Si Ay B son sucesos independientes

P(A/B) = P(A) : El suceso A, no depende de la ocurrencia de B. P(B/A) = P(B) : El suceso B, no depende de la ocurrencia de A.

Para sucesos independientes se tiene que: P(AB) = P(A) P(B).

1.2.10 TEOREMA DE BAYES

Consideremos el caso de nsucesos

A1, A2, . . . , An; mutuamente excluyentes, de tal manera que:

φ A . . . . . A

A . . . . . A

A

A123ijn = Y sea un conjunto H definido de tal manera que:

(

A H

)

(

A H

)

. . .

(

A H

)

H = 1 ∩ ∪ 2 ∩ ∪ ∪ n

(

)

(

)

[

A H A H

]

φcon i j

i ∩ ∩ j ∩ = ≠

(

A H

)

P

(

A H

)

. . . P

(

A H

)

P

(25)

Si deseamos encontrar, por ejemplo,

P(A1/H) se tiene:

(

)

(

( )

)

(

)

(

(

)

)

(

)

H A P . . . H

A P H A P

H A P

H P

H A P H

A P

n

+ + +

= =

2 1

1 1

1

Pero si no conocemos: P(A1H); P(A2H) ... P(AnH) y conocemos P(H/A1); P(H/A2);

…… P(H/An) ⇒ podemos expresar de la siguiente manera:

P(A1H) = P(A1) P(H/A1)

P(A2H) = P(A2) P(H/A2)

. . . . . . . . .

P(AnH) = P(An) P(H/An)

Entonces:

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

n n) P H A

P(A . . .

A H ) P P(A A

H ) P P(A

A H ) P P(A

H A P

+ + +

=

2 2

1 1

1 1

1

Dicha expresión es la que conocemos como “Teorema de Bayes”.

(26)

Un joyero posee tres cofres para guardar joyas: en uno guarda los artículos de oro, en otro los de plata y en el tercero el cobre. Tiene 30 artículos de oro, los cuales son 10 relojes y 20 anillos; 40 artículos de plata: 10 anillos y 30 relojes; y 10 artículos de cobre, así: 5 anillos y 5 relojes.

Si el joyero elige un cofre al azar y extrae un artículo, también al azar, que resulta ser un anillo. Cuál es la probabilidad de que sea de oro?

Solución:

Sea: O: Representa artículos de oro C: Representa artículos de cobre P: Representa artículos de plata A: Representa los anillo

R: Representa los relojes

Lo que el problema nos pregunta, es lo siguiente:

P(Sea de oro/ (dado que)Resultó anillo?)= P(O/A) = ?

Como el joyero escoge las urnas o cofres al azar y como son 3, cada uno tiene igual oportunidad de ser seleccionado, es decir, P(O) = P(C) =P(P) = 1/3.

Además el problema nos proporciona la siguiente información, así:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 3 40 30 4

1 40 10

2 1 10

5 3

1 30 10

2 1 10

5 3

2 30 20

P R ; P

P A P

C R ; P

O R P

C A ; P

O A P

= =

= =

= =

= =

= =

= =

(27)

(

)

( ) (

)

( ) (

( ) (

)

)

( ) (

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

)

17 8

4 1 3 1 2 1 3 1 3 2 3 1

3 2 3 1

A O P

A O P

P A P P P C A P C P O A P O P

O A P O P

A O P

.

.

=

+ +

=

+ +

=

1.2.11.2 Una caja con 1.000 tornillos contiene: 50 con defecto de tipo A

32 con defecto del tipo B 18 con defecto del tipo C

7 con defecto del tipo A y del tipo B 5 con defecto del tipo A y del tipo C 4 con defecto del tipo B y del tipo C

2 con defecto del tipo A, del tipo B y del tipo C

Si extrae un tornillo al azar, calcular:

1. La probabilidad de que el tornillo tenga un defecto del tipo A o del tipo b o de ambos.

Solución: Como se puede ver los sucesos son compatibles, es decir: φ

C B ; A C

; A B

A∩ ≠ φ ∩ ≠ φ ∩ ∩ ≠

Lo que se nos pregunta no es más que la probabilidad de la unión de los sucesos A y B:

(

)

(

)

(

)

40 3 1000

7 1000

32 1000

50

- B

A P

B A P(B) - P P(A)

B A P

= +

= ∪

∩ +

= ∪

(28)

(

)

(

)

(

)

500 43

1000 2 1000

4 1000

5 1000

7 1000

18 1000

32 1000

50

C B A P

-

- C

B A P

P(ABC) ) - P(BC)

AB) - P(AC P(C) - P(

P(B) P(A)

C B A P

= ∪ ∪

+ −

+ +

= ∪ ∪

+ +

+ =

∪ ∪

3. Hallar la probabilidad de que el tornillo esté libre de los tres defectos.

Solución: Sea D el suceso de tener al menos uno de los tres defectos; O sea C;

B A

D = ∪ ∪ entonces D’, será el suceso no tener defectos de ningún tipo.

(

)

500 457 500

43 1 1

1 - P(D) - P A B C P(D') -

P(D') = = ∪ ∪ ∴ = =

1.2.11.3 Sean A y B dos sucesos tales que A B φ Probar que:

[

(A B' ) (B A' )

]

P(A) P(B) -2P(A B)

P ∩ ∪ ∩ = + ∩

PRUEBA: Ayudémonos a través del siguiente diagrama de Venn:

(

)

(

) (

)

[

A B' B A'

]

P

(

A B'

) (

P B A'

)

P

) A' (B B) (A B' A

∩ +

∩ =

∩ ∪ ∩

= ∩

∩ ∩ ∩ ∩

ϕ

â

(29)

Luego igualando

ã

y

ä

, tenemos:

(

)

( ) ( )

(

AB' BA'

)

P(A) P(B) - P(AB) P

) AB) - P(AB P(B) - P(

P(A) P(BA')

P(AB')

P(BA') P(AB)

P(AB') B)

A P(B) - P( P(A)

B A P

2 +

= ∪

+ =

+

+ +

= ∩ +

= ∪

1.2.11.4 En un naipe de 40 cartas se hace una extracción de 5 cartas y resultan 2 espadas. Cuál es la probabilidad de que una de ellas sea el as? Cuál es la probabilidad de que una sea el as y la otra el rey?

SOLUCIÓN:

Sea A el suceso “extraer dos espadas en una muestra de 5 cartas”. Sea el suceso B, “extraer el as de espadas en la muestra de 5 cartas”.

Luego, la probabilidad que nos piden es: P(B/A)

(

)

P(A) P(AB) A

B

P =

El suceso (AB) es entonces, extraer 2 espadas y una de ellas es el as de espadas, en la muestra de 5 cartas; luego:

( ) ( ) ( )

( )

P(AB)

40 5

30 3 9 1 1 1

= .

( )

1

1 : En las 10 cartas espadas, hay 1 as y ese es el que tomamos.

( )

9

1 : Una vez considerado el as de espadas, la segunda carta de espadas, la podemos tomar de las 9 restantes.

( )

30

(30)

( )

40

5 : Es el número total, de posibles muestras de tamaño 5, que podemos extraer de la población de 40 cartas.

Analizando en forma análoga, tenemos:

( )( )

( )

40

5 30

3 10

2 P(A) =

Luego:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

5 1 10

2 9 1 30

3 10

2

30 3 9 1 1

1

P(B/A) = = =

Para responder la segunda parte del ejercicio; definamos el suceso “A” de idéntica forma como en el caso anterior y definamos que “B” sea el suceso “Extraer as de espadas y rey de espadas en una muestra de 5 cartas”, tenemos:

El suceso (AB): “Extraer dos espadas, una el rey y otra el AS” en una muestra de 5 cartas. Pero vemos que (AB) =B.

Luego:

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

45

1 10

2 1

40 5 30

3 10

2

40 5 30

3 1 1 1 1

P(B/A)

P(B/A)

P(A) P(B) P(A)

B) P(A P(B/A)

= =

=

(31)

1.2.11.5 Se han adquirido 3.000 botellas de vino a $8 cada una; 2.000 a $9 cada una y 1.000 a $10 cada una. Se extrae una botella al azar y se vende a $9,50. Cuál es la probabilidad de ganar; $1,50? 0,50?; de perder $0,50?

SOLUCIÓN:

Para ganar $1,50 es necesario extraer una botella de $8. Sea “A” el suceso que indique tal extracción.

Luego,

2 1 000 6

000 3

. . n

n(A)

P(A) = = =

Para ganar $0,50 es necesario extraer una botella de $9; llamemos “B” a este suceso, tenemos:

3 1 000 6

000 2

. . n

n(B)

P(B) = = =

Ahora, para perder $0,50, es necesario extraer una botella de $10; llamemos “C”, este suceso; luego

6 1 000 6

000 1

. . n

n(C)

P(C) = = =

1.2.11.6 Se tienen 3 libros de matemáticas, 4 de física y 6 de química. Si se colocan en un estante al azar: Cuál es la probabilidad de que los de química queden todos juntos?

SOLUCIÓN

Sea “A” el suceso que representa “Libros de química siempre juntos”; luego. les

asos posib Total de c

suceso rables al Casos favo

n n(A) P(A) = =

! n = 13

, ya que hay un total de 13 libros para permutar; y el número de permutaciones favorables al suceso “A”, n(A) = 8! 6! = P8 x P6 puesto que se

(32)

además los 6 libros de química pueden cambiar de lugar entre ellos, sin dejar de permanecer unidos; luego tenemos:

429 2 13

6 8

! ! ! P(A) = =

Cuál es la probabilidad de que en cada extremo quede un libro de física y en el centro un libro de química?

Sea “A” el suceso “un libro de física en cada extremo y un libro de química en el centro”

n n(A) P(A) =

Uno de los extremos se puede ocupar de 4 maneras, el otro de 3 maneras y la posición central de 6 maneras, quedan 10 libros para los 10 restantes puestos, que se pueden llenar de 10! = P10 maneras.

Luego; n(A) = 4 x 3 x 6 x 10! y n = 13!

143 6 13

10 6 3 4

! ! x x x

P(A) = =

1.2.11.7 Un empleado que trabaja en cierta factoría debe elegir dos caminos para llegar a su casa, uno de ellos es a través de un túnel y el otro a través de un puente. La ruta a elegir se hace al azar, siendo 1/3 la probabilidad que tiene de elegir el túnel y 2/3 la de escoger el puente. Si elige el túnel llega a su casa a las 6 p.m., el 75% de las veces, mientras que si escoge el puente llega a las 6 p.m., el 70% de las veces.

Cierto día llega a casa a las 6 p.m. y al preguntarle su esposa qué camino eligió él responde, que el puente. Cuál es la probabilidad de que haya respondido la verdad?

(33)

La probabilidad pedida es, entonces: P(B/C)

Además, el problema nos da la siguiente información:

( ) (

)

( ) (

2 3 070

)

( ) (

13 075

)

065 70

0 3 2

70 0 75

0

, , ,

, P(B/C)

/A) P(A) P(C B)

P(B) P(C/

B) P(B) P(C/

P(C)

C) P(B P(B/C)

, ; P(C/B) ,

P(C/A)

= +

= ⇒

+ =

∩ =

= =

1.2.11.8 Se extraen naipes con reemplazamiento5 de una baraja de 40 cartas, (Naipe español), hasta que aparezca el primer as. Cuál es la probabilidad de que el número de extracciones hubiese sido 5?

SOLUCIÓN:

Para que la quinta extracción se obtenga el primer as, en las cuatro extracciones anteriores, no debe aparecer ningún as; por consiguiente, la probabilidad es:

0,066 40

4 40

36

P(o)

.

4

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

= P(No aparezca en la primera extracción) x P(No aparezca en la segunda) x ... x P(No aparezca en la cuarta) x P(Aparezca en la quinta extracción).

Si las extracciones fueran sin reemplazamiento, tendríamos:

073 0 36

4 37 33 38 34 39 35 40 36

, x

x x x

P(o) = =

5

(34)

1.2.11.9 Una urna contiene 25 piezas, de las cuales 10 son defectuosas. Se toman dos piezas al azar, de la urna. Cuál es la probabilidad de que ambas piezas sean buenas? Qué ambas sean defectuosas? Que una sea buena y la otra defectuosa?

SOLUCIÓN:

Empecemos por responder la primera pregunta así:

Sea “A1”, suceso “Pieza seleccionada es buena, en la primera extracción”. Sea “A2

suceso “Pieza seleccionada es buena, en la segunda extracción”.

Luego, la probabilidad se reduce a:

20 7 24 14 25 15 ) /A P(A ) P(A ) A

P(A12 = 1 2 1 =

.

=

También podemos responder esta pregunta, haciendo uso del análisis combinatorio; así:

Sea H: El suceso extraer dos piezas buenas

n n(H) P(H) = ⇒

15 2 C n(H) =

: De la población de piezas buenas tomamos las 2 y los casos

posibles o muestras posibles de tamaño 2 de toda la población está dado por: 25

2 C n =

( )

( )

20

7 2 23 25

2 13 15 25

2 15

2 = =

= ⇒

! ! !

(35)

Ahora, entremos a resolver la segunda pregunta formulada en el problema; y seguidamente la última:

Sea “G”: Las 2 piezas resultan ser defectuosas”

Sea “R” el suceso “Una resulta ser buena y la otra defectuosa” Sea “H”, las dos piezas seleccionada son buenas”

Podemos afirmar que: HGR = S φ

R G

H∩ ∩ =

Luego, P(HGR) = P(S) 1 = P(H) + P(S) + P(R)

Ya sabemos que P(H) = 7/20

Entonces hallemos P(G) y P(R)

( )

( )

20

3 25

2 10 2 n

n(G)

P(G) = = = y

n n(R)

P(R) = ; Aquí debemos considerar que la primera sea mala y la segunda

buena es la primera consideración;

y la segunda consideración, que la primera sea buena y la segunda sea mala; así:

2 1 24 10 x 25 15 24 15 x 25 10

P(R)= + =

VERIFICACIÓN: 1 = P(H) + P(S) + P(R) 2 1 20 3 20 7

1 = / + / + /

ero! , Verdad 1

1 =

(36)

Encuentre la probabilidad de que los dígitos 3 y 4 sean vecinos.

SOLUCIÓN:

Ilustremos el problema de la siguiente forma:

3 4 x x x x x x x x Sea el suceso de A

x 3 4 x x x x x x x “Los dígitos 3 y 4 sean vecinos” x x x x x x x x 3 4 Luego:

4 3 x x x x x x x x

n n(A) P(A) =

x 4 3 x x x x x x x .

.

n(A)=V19×2!=18

. n=

V

102 =90

x x x x x x x x 4 3

Luego,

5 1 90 18 P(A) = =

O también.

5 1 10

2 9

1 10

1 9 9 1 10

1 9 3 4 4

3 4

3 y sean vecinos) P( y ) P( y ) x x

P( = + = + = =

1.2.11.11 Se lanza una moneda "Honesta" 15 veces y se registra su resultado l cabo de cada tirada. Determínese la probabilidad de que ocurra "al meno na cara", al final e los 15 lanzamientos.

SOLUCIÓN:

(37)

2: cara o sello y "n" representa el número de veces en que se repite el evento simple n=15.

Ahora

Como cada ocurrencia de evento simple tiene la misma probabilidad de ocurrir y sus resultados son independientes, es decir,

O sea:

Lo que significa que prácticamente tenemos la seguridad de observar por lo menos una cara.

1.2.11.12 Una urna contiene "n" bolas azules y "m" bolas rojas. Si de la urna tomamos una muestra aleatoria de "K" bolas ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola sea Azul?

SOLUCIÓN:

n+m = Total de Bolas

(38)

la bola azul la mantenemos "fija" en en el lugar (k+1)

se obtienen VKn+m1 casos favorables para cada bola azul, luego los casos favorables para todas las bolas azules está dado por n×VKn+m1 y los casos posibles están dados por: VKn++1m

⇒ La probabilidad pedida =

( )

m n

n V

V n

P n m

K 1 m n K

+ = ×

=

++ − .

1.2.11.13 Del ejercicio anterior [1.2.11.12], al extraer la muestra aleatoria de K bolas; nos preguntamos:

1.2.11.13.1 ¿Cuál es la probabilidad de que sean "P" azules donde el muestreo se hace "Con remplazamiento"? 6

SOLUCIÓN:

Un suceso de la forma

R ... RRR A

... AAA

veces P K veces

P

⎯ →

⎯ −

Donde la probabilidad de

ese suceso, está dada por:

P K P

m n

n m

n

n

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ , pero para la ocurrencia de

todos los posibles sucesos, esta dado por

( )

P K P

m n

n m

n n P K P

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ =

1.2.11.13.2 ¿Cuál es la probabilidad de que sean "P" azules donde el muestreo se hace "Sin remplazamiento"? 7

SOLUCIÓN:

En este caso el valor de probabilidad varia de una extracción a otra; así: Para una ocurrencia posible, ⇒ la probabilidad será:

6 Con remplazamiento" ; Se hace la extracción y regresa a la población. 7"Sin remplazamiento" ; Se hace la extracción y no regresa a la poblac

(39)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

n m n p n K m n ! m ! n ! m n ! p K m )! p n ( ! K m n ! K m n ! m n ! p K m ! m )! p n ( ! n 1 K m n 1 p K m ... 1 p m n 1 m p m n m 1 p m n 1 p n ... 1 m n 1 n m n n +− − + = + − + − − + = − + + − − ⋅ − = − − + − − − ⋅ ⋅ + − + − ⋅ − + ⋅ − − + − − ⋅ ⋅ − + − ⋅ +

Ahora teniendo en cuenta todas las ocurrencias posibles

( )

n m n p n K m n P K P +− − + ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = • ⇒

1.2.11.14 ¿Cuál es el número mínimo de veces que es preciso lanzar dos dados para que la probabilidad de sacar un seis doble sea mayor que la de no sacarlo? SOLUCIÓN:

La probabilidad de obtener el resultado (6,6) = 1/6 * 1/6 = 1/36

La probabilidad de no obtener un (6,6)= 1- 1/36 = 35/36 ∴ si se lanza el dado "n" veces, la probabilidad de que no salga un seis doble es : (35/36)n luego la probabilidad de que salga al menos una vez será 1-(35/36)n , de donde,

n > log2 /(log36- log35)

1.2.11.15 Un mecanismo eléctrico que contiene, cuatro interruptores, solo funciona cuando todos ellos estan cerrados. El funcionamiento de los interruptores es independiente en cada uno de ellos, tanto en lo que se refiere al cierre o la apertura, y para cada uno de ellos, la probabilidad de que no funcione es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que no funcione el mecanismo en conjunto? SOLUCIÓN:

(40)

Sea : Los sucesos que indican que el interruptor J esté cerrado . \ J= 1,2,3,4.

Sea : Los sucesos complementarios, es decir que el interruptor J esté abierto. ∴ J= 1,2,3,4

y así calcularíamos para los interruptores J= 2,3,4

⇒ El mecanismo funciona si y solo si: S1 S2 ∩ S3 S4

Es decir que funcione el interruptor 1 "Y" el interruptor 2 "Y" el interruptor 3 "Y" el interruptor 4; Luego

P(Mecanismo funcione) = = P(S1 ∩ S2 ∩ S3 S4 ) Como los SJ son independientes

= P(S1) P(S2 ) P(S3) P(S4 ) = 0.9 * 0.9 * 0.9 * 0.9 = (0.9)4 = 0.6561 Entonces

P(F) = 1 - 0.6561 = 0.3439

(41)

2. VARIABLES ALEATORIAS

Tomemos un espacio muestral S, con función de probabilidad P(A) definida para un suceso A; si “X” es una función de valores reales definida en S, (o sea que cada punto del espacio muestral se le hace corresponder un punto del eje X), se dice que X es una variable aleatoria unidimensional. En general, si cada punto de S, se hace corresponder con un punto, (X1, X2, --- Xn) del espacio n-dimensional, se

tiene una variable aleatoria pluridimensional. Por ejemplo: Sea el experimento aleatorio lanzar una moneda dos veces. El espacio muestral S = {(c,s); (s,c); (c,c); (s,s)} consta de 4 puntos. Sea “X” la variable aleatoria que nos representa el número de sellos. Dicha variable puede tomar los siguientes 4 valores, correspondientes a los 4 puntos de S: 1, 1, 0, 2.

Estando la función de probabilidad completamente definida para el espacio

muestral S, como

n n(A)

P(A) = ; podemos escribir, por ejemplo:

4 1 0)

P(x= = , para designar la probabilidad de que el número de sellos sea cero;

2 1 1)

P(x= = : Probabilidad de obtener un sello y

4 1 2)

P(x= = : Probabilidad de obtener dos sellos.

Veamos otra forma, de tratar el experimento anterior, así:

Sea “X” la variable aleatoria que representa el número de sellos y sea “Y” la variable aleatoria que representa el número de caras.

La variable aleatoria bidimensional transformará los puntos de S en puntos del plano X Y.

(42)

Entonces, P

[

( )

,

]

; P

[

( , )

]

y así sucesivamente 2

1 1

1 4

1 0

2 = =

2.1 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

En general, es aquella variable aleatoria con un número finito o infinito numerable de puntos. En el caso de que la variable sea unidimensional, con valores posibles X1, X2, ..., Xn; y con probabilidades:

f(x1), f(x2), f(x3), ... - f(xn) , para cada uno de dichos valores, el conjunto cuyos

elementos son los pares ordenados, ((x, f(x)), es llamado función de densidad, o función de cuantía o función de probabilidad de la variable aleatoria X.

Para cualquier subconjunto “A” de los puntos X1, X2, ..., Xn; tenemos entonces

que:

=

A X

f(x) P(A)

P(A) representa la suma de f(x) para aquellos valores de X que pertenecen a A; luego P(A) es llamada FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN para el suceso A.

- Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados y registrar el número posible de puntos. Cada resultado puede asociarse con el valor de una variable aleatoria X; por lo tanto, “X” toma los valores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

(43)

Sabemos que el espacio muestral consta de 36 puntos, (1,1), (1,2), . . ., (1,6); (2,1). (2,2) . . ., (2,6); (3,1), (3,2), . . ., (3,6); (4,1). (4,2) . . ., (4,6); (5,1), (5,2), . . ., (5,6); (6,1). (6,2) . . ., (6,6).

El número de casos en que pueden caer X puntos es:

X – 1 : para X = 2, 3, 4, 5, 6, 7 y

13 – X : para X = 8, 9, 10, 11, 12

Luego 2 3 4 5 6 7

36 1

, , , , , X n n(x)

X-f(x) = = ∴ =

12 11 10 9 8 36

13

, , , , para X - X

f(x) = =

) , ,. . . . . ,

( para X

f(x) = 0 ∉ 2 3 12 Puesto que:

0 1

12

8 7

2 36

13

36 1

) y f(x

X X

- X X -

≥ =

+

= =

Para todo X, definido del experimento tratado.

Una vez conocida f(x) podemos hallar las diversas funciones de distribución relativas a X. Denominemos Fx(x) = P

[

x x

]

como función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X, así:

[

]

= ≤ =

x X

x(x) P x x f(x)

F

Por ejemplo:

menos puntos o r

de obtene obabilidad

) F( )

P(x≤4 = 4 = Pr 4

6 1 36

1 4

4

4

2 x - )

( F ) P(x

x

X = =

=

=

inclusive y

ido entre e comprend

un puntaj de otener

obabilidad )

x

Figure

Figura No. 1

Figura No.

1 p.8

Referencias

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