Ejercicios de asintotas y ramas infinitas

(1)

1

ASÍNTOTAS Y RAMAS

Ejercicio nº 1.-

Halla las asíntotas verticales de:

 

₂

4 1

x x

f

 

y sitúa la curva respecto a ellas.

Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

 

1 1 2

2 _  

x x x f

 





2 2

 

x x x

f

Ejercicio nº4.-

Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

 

2 3 2 _ _

 

x x

f

Dada la función:

 

1 2 1 2 _ _ 

x x x f

halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.

: función la

de cuando

y cuando

infinitas, ramas

las

Halla x  x,

 

2 3

x x x

f   

(2)

2

delassiguientesfunciones yrepresentala cuando

las

Halla x,

información que obtengas:

  



4

2 a) f x  x

 

2

b) f x xx

delassiguientesfunciones yrepresentalos cuando

las

Halla x,

resultados que obtengas:

  



3

1 a) f x  x

 

x x x f  2 

b)

y delasiguientefunción yrepresenta cuando

las

Halla x x

los resultados obtenidos:

 

x x x x

f 2

2 3

  

ycuando y representalasramascorrespondientes cuando

límites los

Halla x  x,

para la función:

  



3

3 x x

f  

y cuando

función, siguiente

la de ento comportami el

Estudia x x,

representa las ramas que obtengas:

 

1 2

2 2 3

  

x x x x f

:



 

x

x ycuando

cuando función

siguiente la

de ento comportami el

representa y

Estudia

 

₂ 4

1

x x x

(3)

3

ycuando delasiguientefunción y cuando

las

Halla x x,

representa los resultados que obtengas:

 

1 2

2 4

  

x x x x f

: función la

de cuando

y cuando

las

Halla x x,

 

x x x x f

  

1 2 3

Representa la información obtenida.

 

3 1

3

  

x x x f

ycuando yrepresentalosresultados cuando

sus

halla x x,

obtenidos.

: x

x 

ycuando

siguiente la

representa y

Estudia

 

x x x

f

  

2 3 1

y cuando

 

2 2

1 2 _

 

x x x f

ycuando delasiguientefunción ysitúa cuando

las

Halla x x,

la curva respecto a ellas:

 

2

 

(4)

4

las

Halla x x ,

 

1 1 2

2 2

  

x x x f

 

₃2

1

x x x

f  

Estudia su comportamiento en +∞ 𝒚 − ∞

La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:

 

1 2 2

  

x x x x f

 

2 1 2 2

  

x x x f

halla su asíntota oblicua y representa la posición de la curva respecto a ella.

a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

 

2 2 3 2

  

x x x f

b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.

Halla la asíntota oblicua de la siguiente función y representa la posición de la curva respecto a ella:

 

1 2

2 3

 

x x x f

x ycuando x.

siguiente la

representa y

Estudia

Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a ella:

 

1

2 3

 

(5)

5

SOLUCIONES EJERCICIOS DE ASÍNTOTAS Y RAMAS

Halla las asíntotas verticales de:

 

₂

4 1

x x

f

 

y sitúa la curva respecto a ellas.

Solución:

. x x

x 0 2 2

4 2    

 ,

Las asíntotas verticales son x2 y x 2. Posición de la curva respecto a ellas:

x



x



x





 2 2

1 4

1

2

   



 

 __



 ₂ 2 ₂ ₄ 2

1 4

1

x lim x

lim

x x

   



 

 __

₂ 2 ₂ 2

4 1 4

1

x lim x

lim

x x

2

2

 

1 1 2

2 _  

x x x f

Solución:

. 1 ; 1 0

1

2 _ _ _ __ _

 x x x

Las asíntotas verticales son x1 y x 1.

 Posición de la curva respecto a ellas:







 

 

  



 __



 ₁

1 2 1

1 1 2

2 1

1 _x

x lim x

x x lim

x x

    

  



 _

 ₁

1 2 1

1 2

2 1 2

1 _x

x lim x

x lim

x x

1

(6)

6  





2 2

 

x x x

f

Solución:



2



2 0  2

 x x

Solo tiene una asíntota vertical: x2

 Posición de la curva respecto a la asíntota:









   



 

 __



 2

2

2 2

2

2 ₂

2 2

2

x x lim x

x lim

x x

Ejercicio nº4.-

Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

 

2 3 2 _ _

 

x x

f

Solución:

   

           

2 1

2 8 1 1 0

2 2

x x x

x x

Las asíntotas verticales son x1 y x 2. Posición de la curva respecto a las asíntotas:



1



2



3 2

3

2  

 

 



x x

x

x x

x

   

 

  



 __



 ₂

3 2

3

2 1 2

1 _x _x

x lim x

x x lim

x x

   

 

  



 _

 ₂

3 2

3

2 2 2

2 _x _x

x lim x

x x lim

x x

2

(7)

7  

1 2 1 2 _ _ 

x x x f

halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.

Solución:

1 0

1 2

2 _ _ _ _ __

 x x x

Solo tiene una asíntota vertical: x1 Posición de la curva respecto a la asíntota:

2



1



2

1 1 2 1

  

 x x

x









   

 

 __



 ₁ 2 ₁ 2

1 1 1

1

x lim x

lim

x x

1

: función la

de cuando

y cuando

las

Halla x  x,

 

2 3

x x x

f   

Representa gráficamente los resultados obtenidos.

Solución:

   



 2

3 _x

x lim x

   



 2

3 _x

(8)

8

delassiguientesfunciones yrepresentala cuando

las

Halla x,

información que obtengas:

  



4

2 a) f x  x

 

2

b) f x xx

Solución:









 

4

2 a) lim x

x









 

2

) lim x x b

x

delassiguientesfunciones yrepresentalos cuando

las

Halla x,

resultados que obtengas:

  



3

1 a) f x  x

 

x x x f  2 

b)

Solución:









 

3

1 a) lim x

x











 x x

lim x

2

(9)

9

y delasiguientefunción yrepresenta cuando

las

Halla x x

los resultados obtenidos:

 

x x x x

f 2

2 3

  

Solución:

      

  

 

      

  

 

 

 

x x x lim

x x

2 2 3

2 3

ycuando y representalasramascorrespondientes cuando

límites los

Halla x  x,

para la función:

  



3

3 x x

f  

Solución:

















  



3 3

3

3 x lim x

lim

x x

y cuando

 

1 2

2 2 3

  

x x x x f

Solución:

   



 2 1

2 2

3

x x x lim x

   



 ₂ ₁

2 2

3

(10)

10

:



 

x

x ycuando

siguiente la

representa y

Estudia

 

₂ 4

1

x x x

f  

Solución:

  

 

 

2 4 2

4

1 1

x x lim

x x

las

Halla x x,

 

1 2

2 4

  

x x x x f

Solución:

    

 ₁

2

2 4

x x x lim x

    

 ₁

2

2 4

x x x lim x

: función la

de cuando

y cuando

las

Halla x x,

 

x x x x f

  

1 2 3

(11)

11

Solución:

  



  



 

 

x x x lim

x x

1 2

3 3

 

3 1

3

  

x x x f

ycuando yrepresentalosresultados cuando

sus

halla x x,

obtenidos.

Solución:

  





 3

1

3

x x lim x

  





 3

1

3

x x lim x

: x

x 

ycuando

siguiente la

representa y

Estudia

 

x x x

f

  

2 3 1

Solución:

3 2

3 1

3 1 3 2

3 1

  

     

 

 

x x lim

x x

(12)

12

y cuando

 

2 2

1 2 _

 

x x x f

Solución:

0 2 2

1 0 2 2

1

2 2

  

 

 

x x lim

x x

ycuando delasiguientefunción ysitúa cuando

las

Halla x x,

la curva respecto a ellas:

 

2

 

x x x f

Solución:

las

Halla x x ,

 

1 1 2

2 2

  

x x x f

Solución:

2 1

1 2

2 1

1 2

2 2 2

2

 

  



 

 

x x lim

x x

2

1 2 lim

 

 

 

x x x

x

x x

(13)

13

Con calculadora podemos comprobar que:





,lacurvavapordebajodela

positivos y

grandes muy

valores

Dando 

 x

asíntota y 2.





,lacurvavapordebajodela

negativos y

grandes muy

valores

Dando 

 x

asíntota y 2.

 

₃2

1

x x x

f  

Estudia su comportamiento en +∞ 𝒚 − ∞ Solución:

0 1

3 2 3

2

 

 

 

x x lim

x x

La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:

 

1 2 2

  

x x x x f

Solución:

1

: oblicua Asíntota

1 1 1 1

2

  

      

 y x

x x x

x x

asíntota. la

de debajo por

está curva La 0

1 1 ,

Cuando  

    

x x

asíntota. la

de encima por

está curva La 0

1 1 ,

Cuando  

    

x x

 Representación:

1

1

(14)

14  

2 1 2 2

  

x x x f

halla su asíntota oblicua y representa la posición de la curva respecto a ella.

Solución:

4 2 : oblicua Asíntota

2 9 4 2 2

1

2 2 _ _ _

    



 y x

x x x

x

asíntota. la

de encima por

está curva La 0

2 9 ,

Cuando  

   

x x

asíntota. la

de debajo por

está curva La 0

2 9 ,

Cuando  

   

x x

c) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

 

2 2 3 2

  

x x x f

d) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.

Solución:

a Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

6 3 : oblicua Asíntota

2 10 6 3 2

2 3 2

  

    



 y x

x x x

x

asíntota. la

de encima por

está curva La 0

2 10 ,

Cuando  

   

x x

asíntota. la

de debajo por

está curva La 0

2 10 ,

Cuando  

   

x x

1

(15)

15

Halla la asíntota oblicua de la siguiente función y representa la posición de la curva respecto a ella:

 

1 2

2 3

 

x x x f

Solución:

x y x

x x x

x

2 : oblicua Asíntota

1 2 2 1 2

2 2

3

 

    

asíntota. la

de encima por

está curva La 0

1 2 ,

Cuando ₂  

   

x x x

asíntota. la

de debajo por

está curva La 0

1 2 ,

Cuando ₂  

   

x x x

2

1 y=2x

x ycuando x.

siguiente la

representa y

Estudia

Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a ella:

 

1

2 3

 

x x x f

2

6

(16)

16

Solución:

x y x

x x x

x _ _

    

 Asíntotaoblicua:

1

1 2

2 3

asíntota. la

de debajo por

está curva La 0

1 , Cuando

2 _  

   

x x x

asíntota. la

de encima por

está curva La 0

1 , Cuando

2 _  

   

x x x

1