COLEGIO DE LA ASUNCION

COLEGIO DE LA ASUNCION

INTRODUCCIÓN

En Análisis Combinatorio es una parte de la matemática que se ocupa de resolver los problemas de ordenación de conjuntos. Para resolver se deben definir principalmente factorial, Arreglos o Variaciones, Permutaciones y Combinaciones.-

FACTORIAL

Se llama factorial a la función f:N0 _{tal que:}

El factorial de un número cualquiera n, se lo simboliza n!., es decir que la definición de factorial queda:

Aplicando la definición en forma sucesiva, se tiene:

n! = n.(n-1)! =n.(n-1).(n-2)! =n.(n-1).(n-2).(n-3)!

=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1!

Así por ejemplo:

2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24

SIMPLIFICACIÓN DE FACTORIALES

Para simplificar un factorial con otro factorial, se deben descomponer según su desarrollo, o sea por ejemplo:

Pero 3.2.1 = 3!, entonces:

VARIACIONES O ARREGLOS SIN REPETICIÓN

Se denomina arreglo o variación sin repetición de un conjunto de m elementos tomados de n en n, al número de conjuntos distintos formado por n elementos de los m dados, teniendo en cuenta que dos conjuntos son distintos si difieren en sus elementos o en el orden en que fueron colocados.-

Por ejemplo el conjunto formado por las siguientes letras, queriendo formar conjuntos de a dos letras, o sea un arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2 sin que se repitan las mismas en cada conjunto:

A, B, C, D

AB AC AD

BA BC BD CA CB CD DA DB DC

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Todo arreglo se lo denota como y se lee “arreglo sin repetición o simple de m

elementos tomados de n en n”, o bien y se lee “variación sin repetición o simple de m

elementos tomados de n en n”

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, podemos hacer:

que generalizando queda:

VARIACIONES O ARREGLOS CON REPETICIÓN

En el caso de que de un conjunto se pueda escoger más de un elemento por vez para formar una variación o un arreglo, estamos en presencia de un “arreglo con repetición”. Por ejemplo:

Sea el conjunto formado por A, B, C, D y se quieren formar conjuntos de dos letras, pudiendo ser ellos formados por las mismas, y dos conjuntos son distintos si difieren en su orden o en sus elementos. Esto será:

AA AB AC AD

BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD

Esto es un arreglo con repetición (se pueden repetir los elementos en un mismo conjunto) de 4 elementos tomados de 2 en 2, y su resultado es 16.

Ahora realicemos en mismo trabajo, pero aumentando al conjunto un elementos más y tomemos de a tres elementos. O sea

A, B, C, D, E

AAA AAB AAC AAD AAE BEA BEB BEC BED BEE DDA DDC DDE EAD ABA ABB ABC ABD ABE CAA CAB CAC CAD CAE DEA DEC DEE EBD ACA ACB ACC ACD ACE CBA CBB CBC CBD CBE EAA EAC EAE ECD ADA ADB ADC ADD ADE CCA CCB CCC CCD CCE EBA EBC EBE EDD AEA AEB AEC AED AEE CDA CDB CDC CDD CDE ECA ECC ECE EED BAA BAB BAC BAD BAE CEA CEB CEC CED CEE EDA EDC EDE ECB BBA BBB BBC BBD BBE DAA DAB DAC DAD DAE EEA EEC EEE EDB BCA BCB BCC BCD BCE DBA DBB DBC DBD DBE DDB DDD EAB EEB BDA BDB BDC BDD BDE DCA DCB DCC DCD DCE DEB DED EBB

O sea que el total de conjuntos posibles de formar con los 5 elementos tomados de 3 en 3 y que se pueden repetir sus elementos, es 125

El arreglo con repetición de m elementos tomados de n en n se denota como . Ahora:

y O sea que en definitiva:

PERMUTACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN

Las permutaciones simples o sin repetición de m elementos se define como la cantidad de conjuntos que se pueden formar con los m elementos tomados de m en m, siendo distintos dos de ellos si su orden es distinto. La denotación de permutación

de m elementos es Pm. Atendiendo la definición, la permutación de m elementos es un

arreglo de m elementos tomados dem en m. O sea:

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Por ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante?

P5 = 5! = 120

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Supongamos que se tienen 10 bolas de las cuales 3 son blancas, 2 son azules y 5 rojas con las cuales se las quiere determinar la cantidad de formas que se las puede ordenar. No se podría aplicar la P10 ya que se repiten las blancas (3), las azules

(2) y las rojas (5). O sea que por estos casos se tendría:

P3 =3! = 6 (para las blancas), P2=2 (para las azules) y P5 = 5! = 120 (para las

rojas), y el orden en cada uno de estos conjuntos no se pueden diferenciar ya que sus elementos son iguales por el color. Estamos en presencia de una permutación con repetición de 10 elementos en grupos de 3, 2 y 5, y esto será:

La fórmula general será:

Donde m es el total de elementos, a es el número del primer grupo de elementos iguales, b el segundo, d el tercero, etc.

COMBINACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN

Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n es la cantidad de conjuntos de n elementos que se pueden formar con los m elementos, teniendo en cuenta que dos conjuntos son diferentes si difieren únicamente en sus elementos.-

Por ejemplo: Sea el conjunto formado por A, B, C, D, ¿Cuántos conjuntos de tres elementos distintos se pueden formar con ellos?

ABC ABD ACD BCD

Observamos que la respuesta es 4.-

Ahora la combinación de m elementos tomados de n en n se denota con , y

en nuestro caso particular, será:

Applets con Wiris

Para el caso de m y n, se tiene:

PROPIEDADES

P1)

Demostración:

Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

P2)

Demostración:

Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

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Demostración:

Esto es aplicando la definición y cancelando m.-

P4)

Demostración:

Partiendo del segundo miembro, y aplicando la definición, sacando común denominador y sacando factor común, se tiene:

P5)

Demostración:

Partiendo de la demostración anterior, y haciendo k=m+1Þ m=k-1 y

s=n+1Þn=s-1, se tiene:

COMBINACIONES CON REPETICIÓN

Para el caso de las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, simplemente diremos que es igual a la combinación simple de m+n-1,

tomados de n en n, y siendo su denotación . En fórmulas será:

BINOMIO DE NEWTON

Desde nuestros estudios en la escuela media, EGB o Polimodal, conocemos que:

(a + b)2 _{= a}2 _{+ 2.a.b + b}2 _{y que (a + b)}3 _{= a}3 _{+ 3.a}2_{.b + 3.a.b}2 _{+ b}3

Esto es lo que se denomina el cuadrado y el cubo de un binomio. Estos son casos particulares de lo que conoce con el nombre de binomio de Newton, y que se generaliza en lo siguiente:

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Esta igualdad se demuestra con el método de inducción completa. O sea que:

Para n = 0

Hipótesis

Para n=k

Tesis

Para n=k+1

Demostración

Partiendo del primer miembro, aplicando producto de potencias de igual base y lo estipulado por la hipótesis y luego distribuyendo, se tiene:

Ahora, introduciendo a en la primera sumatoria, y b en la segunda, queda:

Aplicando producto de potencia de igual base, se tiene:

Ahora extraemos el primer término de la primera sumatoria, y el último de la segunda sumatoria. O sea:

Pero, haciendo j=i+1, entonces i=j-1, y si i=0 Þ j-1=0 Þ j=1 y reemplazando en la segunda sumatoria, queda:

Pero cambiando j por i, se tiene:

Y si una sumatoria llega hasta k y la otra llega hasta k-1, tomamos una sola sumatoria hasta k, y se tiene:

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Y haciendo y , teniendo en cuenta una propiedad de las combinaciones, queda:

Introduciendo el primer término y el último término en la sumatoria, queda:

Por ejemplo:

Desarrollar el siguiente binomio:

TRABAJO PRÁCTICO

1) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante?

2) ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y en los cuales no se repita ningún número?

3) ¿De cuantas formas diferentes pueden acomodarse 7 personas en un banco? 4) Si una cuadrilla tiene 14 hombres ¿de cuantas maneras pueden seleccionarse 11

de ellos?

5) Hallar el número de personas que asistieron a una reunión, si al despedirse se contaron 78 apretones de mano.

6) Hallar el valor de x que satisfaga la igualdad

7) Calcular “n” y “p” en la siguiente igualdad

8) Calcular “n” en la siguiente igualdad:

9) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si tres de ellos deben estar juntos?

10) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con 0, 1, 2, 3, 4 y 5 pudiéndose repetir los números?

11) ¿Cuántos polígonos determinan 10 puntos del plano, sabiendo que 3 cualesquiera no están alineados?

12) ¿Cuántos códigos simbólicos de cuatro letras se pueden formar con las letras PDQX sin repeticiones?

13) ¿Cuántos números de 5 dígitos se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4? 14) ¿De cuántas maneras pueden estacionarse 6 bicicletas en una hilera?

15) Una mujer se prepara para salir de paseo. Se vestirá con 1 de 6 vestidos, con un par de zapatos de 8 que tiene y podrá ir a 1 de 7 restaurantes que hay en la ciudad. ¿De cuántas maneras puede realizar las actividades?

16) ¿De cuántas maneras pueden arreglar la letras del conjunto {P, D, Q, W, T, Z} para formar códigos ordenados de 3 letras sin repetición?

17) ¿De cuántas maneras pueden asignarse 3 personas a 5 oficinas individuales? 18) Un aula especial tiene 10 pares de audífonos para estudiantes con dificultades

auditivas ¿Cuántas combinaciones posibles de estudiantes y audífonos se pueden dar si 7 estudiantes de la clase necesitan utilizar los audífonos?

20) ¿Cuántas patentes de vehículos se pueden formar utilizando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 si se permiten repeticiones?

21) ¿Cuántos códigos ordenados se pueden formar utilizando 4 letras del conjunto {A, B, C, D, E} si las letras:

a) No se pueden repetir? b) Sí se pueden repetir?

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d) No se pueden repetir y los códigos deben terminar con la combinación DE? 22) En un examen un estudiante debe seleccionar 6 preguntas de 10 sin importar el

orden ¿De cuántas maneras puede realizarse la selección?

23) ¿Cuántas líneas rectas están determinados por 8 puntos si no hay tres de ellos alineados?

24) En un Senado existen 58 miembros del partido político A y 42 del partido B, se deben armar las Comisiones de trabajo donde habrá 6 miembros del partido A y 4 del partido B. ¿Cuántas Comisiones se pueden formar?

25) Hay 8 puntos en un círculo ¿Cuántos triángulos se pueden inscribir con estos puntos como vértices?

26) Desarrollar los siguientes binomios:

a)

b)

c)

d)