APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 7 TRABAJO Y ENERGIA

APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 7

TRABAJO Y ENERGIA

El problema fundamental de la Mecánica es describir como se moverán los cuerpos si se conocen las fuerzas aplicadas sobre él. La forma de hacerlo es aplicando la segunda Ley de Newton, pero si la fuerza no es constante, es decir la aceleración no es constante, no es fácil determinar la velocidad del cuerpo ni tampoco su posición, por lo que no se estaría resolviendo el problema, para analizarlo es importante diferenciar entre fuerzas conservativas y no conservativas.

Fuerzas conservativas y no conservativas

Se denominan fuerzas conservativas, a aquellas cuyo trabajo a través de una trayectoria cerrada es nulo, es decir, el trabajo realizado por las mismas no depende de la trayectoria seguida por los elementos del sistema sobre el que actúa, sino sólo de las configuraciones inicial y final.

En general se trata de fuerzas que se derivan de un potencial, como el gravitatorio, el elástico, el electrostático, entre otros. Son fuerzas conservativas, el peso, la fuerza elástica y la fuerza de atracción o repulsión electrostática, por ejemplo.

Se denominan fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas, a aquellas cuyo trabajo a través de una trayectoria cerrada es distinto de cero, es decir, el trabajo realizado por las mismas depende de la trayectoria seguida por los elementos del sistema sobre el que actúa. La trayectoria importa.

Trabajo y Energía en sistemas conservativos en una dimensión

Los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las Leyes de Newton, por lo que no se requiere ningún principio físico nuevo, con el uso de estas dos magnitudes físicas, se tiene un método alternativo para describir el movimiento, espacialmente útil cuando la fuerza no es constante, pasemos entonces a definirlos. Comencemor ver que entenderemos por trabajo desde el punto de vista de física.

Trabajo

Trabajo realizado por una fuerza constante.

Revisemos la figura, si la fuerza F que actúa sobre una partícula es constante el movimiento se realiza en línea recta en la dirección de la fuerza. Si la partícula se desplaza una distancia x por efecto de la fuerza, entonces se dice que ha realizado trabajo W sobre la partícula de masa m, que en este caso particular se define como:

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑥

Si la fuerza constante no actúa en la dirección del movimiento, el trabajo que se realiza es debido a la componente x de ésta, tal como se ve en la siguiente figura. La componente y de la fuerza no realiza trabajo sobre el cuerpo. Si α es el ángulo medido desde el desplazamiento x hacia la fuerza F, el valor del trabajo W es ahora:

𝑊 = 𝐹 cos 𝛼 ∙ 𝑥

El trabajo es una magnitud física escalar que puede ser positivo, negativo o cero. Su unidad en el SI es N· m que se llama Joule, símbolo J.

Trabajo realizado por una fuerza variable

Si una fuerza variable F está moviendo a un objeto a lo largo del eje x desde una posición inicial a otra final, ya no se puede usar la expresión anterior para calcular el trabajo realizado por la fuerza. En este caso se puede hacer que el cuerpo de la fuerza en la dirección del desplazamiento se puede considerar aproximadamente constante en ese intervalo dx y se puede calcular un trabajo dW en ese pequeño desplazamiento como:

Si se calcula el trabajo total en el desplazamiento desde la posición inicial a la final, este es igual a la suma de todos los pequeños trabajos dW, esto es:

𝑊 = 𝑑𝑊 = 𝐹

_𝑥

𝑑𝑥

𝑥_𝑓

𝑥𝑖

Por definición el valor de la integral es el área bajo la curva, en este caso la curva de

𝐹

_𝑥 contra x tal como se observa en la figura. Si actúan más de una fuerza sobre el cuerpo, el trabajo resultante es el realizado por la componente de la fuerza resultante en dirección del desplazamiento, entonces en términos del producto escalar en tres dimensiones, el trabajo total es:

𝑊

_{𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙}

= 𝐹

_𝑥

𝑑𝑥

𝑥𝑓

𝑥𝑖

El trabajo es una forma de transferencia de energía

Cuando se hace trabajo contra el roce, se observa que en la superficie de los cuerpos en contacto se produce un aumento de temperatura. Es porque se ha producido una transformación desde el movimiento a calor, es decir que

se ha producido una transferencia de energía de

movimiento a energía calórica. En otras

transformaciones se produce energía en forma de luz, sonido, eléctrica, nuclear, etc. En las transformaciones se miden cambios de energía cuando se realiza trabajo, aparecen las fuerzas que realizan trabajo, por lo tanto el trabajo es una medida de las transferencias de energía, la cual podemos resumir en los siguientes aspectos:

 Si el trabajo realizado sobre un sistema es positivo, la energía es transferida al sistema.

 Si el trabajo realizado sobre un sistema es negativo, la energía es transferida desde sistema.

 Si un sistema interacciona con su entorno, la interacción se puede describir como una transferencia de energía a través de la frontera, como consecuencia habrá una variación de la energía almacenada en el sistema.

¿Qué es energía?

La energía es un concepto que nos resulta tan o más difícil de definir que el de fuerza. Cuando hablamos de energía, asociamos este término con poder, poder efectuar cosas, actividad, vida, etc. Desde el punto de vista físico, la energía se presenta en la naturaleza de muchas formas, tenemos energía mecánica, electromagnética, calórica, lumínica, nuclear, química, biológica, etc.

Estas manifestaciones de la energía pueden intercambiarse, aunque en general, casi siempre se termina disipando en forma de energía calórica. El nexo que permite que una forma de energía se transforma en otra forma de energía es la realización de trabajo por parte de las fuerzas que interactúan.

Energía cinética

Es una de las dos facetas de la energía mecánica. Es una energía de movimiento. Su valor depende de la mitad de la masa de un cuerpo y del cuadrado de su velocidad, es siempre positiva porque la rapidez está al cuadrado, su unidad en el SI es el Joule, , se simboliza con 𝐸_𝑐:

𝐸

_𝑐

=

1

2

𝑚𝑣

2

Teorema del trabajo y la energía cinética

Este teorema relaciona al trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo, con la energía cinética adquirida por dicho cuerpo. Supongamos que un cuerpo pasa por la posición 𝑥𝑖 en el instante 𝑡𝑖 con una

velocidad 𝑣𝑖 y que por la acción de la fuerza, sufre el desplazamiento que lo lleva a la

posición 𝑥𝑓 en el instante 𝑡𝑓 con una velocidad 𝑣𝑓, aplicando la definición de trabajo y

resolviendo la integral se tiene:

𝑊 = 𝐹

𝑥

∙ 𝑑𝑥 = 𝑚𝑎𝑑𝑥 =

𝑥_𝑓

𝑥𝑖

𝑥_𝑓

𝑥𝑖

𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 𝑚𝑑𝑣

𝑣_𝑓

𝑣𝑖

𝑥_𝑓

𝑥𝑖

⇒

𝑊 =

1

2

𝑚 𝑣

𝑓

2

_{− 𝑣}

El teorema se enuncia de la manera siguiente:

El trabajo realizado sobre un cuerpo, por la fuerza resultante, es igual a la variación que experimenta su energía cinética

Por tratarse del trabajo de una fuerza constante, la aceleración también será constante y el cuerpo se moverá con M.R.U.V., donde la velocidad por ser función lineal del tiempo, permite que la velocidad media se calcule como promedio de las velocidades inicial y final.

Energía potencial

Consideremos el sistema compuesto por el libro y la Tierra, interaccionando via la fuerza gravitacional, para elevar lentamente el libro una altura, tenemos que hacer un trabajo sobre el sistema, lo que implica un incremento en la energía del sistema. El libro está en reposo antes de realizar el trabajo y permanece en reposo después de realizar el trabajo, por lo tanto no hay cambio en la energía cinética del sistema, tampoco hay cambio en la temperatura ni del libro ni de la Tierra, esto significa que no hay cambio en la energía interna.

Si despues de elevar el libro lo dejamoos caer hasta la altura

𝑦𝑎, el sistema adquiere nuevamente energía cinética, que tiene

su origen en el trabajo realizado para elevarlo, que en su posición más alta la energía del sistema tiene la potencia de

convertirse en energía cinética, está energía almacenada antes de soltar el libro se denomina energía potencial.

Esta otra faceta de la energía mecánica, se define como la energía potencial 𝐸_𝑝, aquella que puede obtenerse en virtud de la posición del cuerpo, tal que el trabajo realizado por la fuerza conservativa entre dos posiciones, es igual a la disminución de la energía potencial, esto es, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza

:

𝑊 = 𝐹

_𝑦

∙ 𝑑𝑦 =

𝑦𝑓

𝑦𝑖

−∆𝐸

_𝑝

= 𝐸

_𝑝𝑖

− 𝐸

_𝑝𝑓

⇒

𝐸

_𝑝

𝑦 = − 𝐹

_𝑦

∙ 𝑑𝑦

𝑦_𝑓

𝑦𝑖

+ 𝐸

_𝑝𝑖

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria es la que se manifiesta dentro del campo gravitatorio de todo cuerpo y es igual al producto de su peso por su altura con respecto a un nivel arbitrario de referencia, en la figura se observa a un cuerpo que cae hacia el suelo, sabiendo que 𝑝𝑒𝑠𝑜 = 𝑚𝑔 e integrando la definición de energía potencial, se obtiene:

𝐸

_𝑝

𝑦 = − 𝑚𝑔 ∙ 𝑑𝑦

𝑦𝑓

𝑦_𝑖

= −𝑚𝑔 𝑑𝑦

𝑦𝑓

𝑦_𝑖

= 𝑚𝑔 𝑦

_𝑖

−𝑦

_𝑓

Entonces la energía potencial gravitatoria es:

𝐸

_𝑝

= 𝑚𝑔𝑕

Energía potencial elástica

Otra fuerza conservativa es la que ejerce un resorte deformado sobre un cuerpo fijo a él. Consideremos ahora que nuestro sistema está compuesto por un bloque unido a un resorte, la fuerza que el resorte ejerce sobre el bloque es 𝐹 = −𝑘𝑥, por tanto el trabajo realizado por la fuerza aplicada sobre el sistema bloque- resorte entre posiciones arbitrarias, medidas con respecto a la posición de equilibrio del resorte.

Partiendo de esto, se señala que la energía potencial elástica acumulada por un resorte, es igual al producto de la mitad de su constante elástica (k) por el cuadrado de la elongación o compresión ∆𝑥 que ha sufrido.

𝐸

_𝑝

𝑥 = − − 𝑘𝑥 ∙ 𝑑𝑥

𝑥𝑓

𝑥_𝑖

= 𝑘 𝑥𝑑𝑥

𝑥𝑓

𝑥_𝑖

⇒

Entonces la energía potencial elástica es:

𝐸

_𝑝

=

1 2

𝑘𝑥

2

Energía mecánica total

Si se define la energía mecánica E como la suma de las energías cinética y potenciales que experimenta una partícula, es decir:

𝐸 = 𝐸

_𝑐

+ 𝐸

_𝑝

Potencia

Para fines prácticos interesa también conocer la rapidez con la cual se realiza trabajo. Esta información la entrega la potencia, que se define como la rapidez de transferencia de energía. Si se aplica una fuerza externa a un cuerpo y se realiza trabajo dW en un intervalo de tiempo dt, la potencia instantánea P se define como, tambien podemos referinos a ella como rapidez de transferencia de energía, si se aplica una fuerza externa a un objeto.

La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo y se trata de una magnitud escalar ya que surge como cociente de dos magnitudes escalares: trabajo y tiempo.

𝑃 =𝑑𝑊 𝑑𝑡 =

𝑊 𝑡

También es posible calcular la potencia media como producto de la fuerza que realiza trabajo por la velocidad media con que se desplazó durante la realización de dicho trabajo.

𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣

Y en función de la energía:

𝑃 =𝐸 𝑡

La unidad de medida de la potencia en el SI es J/s, que se llama Watt.

Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones

Hasta los momentos se han considerado el movimiento en una sola dimención, es decir, un movimiento rectilíneo sobre el eje x, donde tenemos que la componente x de la fuerza es

𝐹_𝑥 𝑥 y la energía potencial es 𝐸_𝑝𝑥 𝑥 , como ya se sabe que en cualquier desplazamiento el trabajo W efectuado por una fuerza conservativa es −∆𝐸_𝑝 𝑥 , con lo que se obtiene:

𝑊 = −∆𝐸

_𝑝

𝑥

Sabiendo que: 𝑊 = 𝐹𝑥 ∙ ∆𝑥 tenemos:

𝐹

𝑥

∙ ∆𝑥 = −∆𝐸

𝑝

𝑥

Como en el lim

∆𝑥→0, la variación de

𝐹

𝑥 se hace despreciable obtenemos la relación exacta de

𝐹

_𝑥

= −

𝐸

𝑝

𝑥

𝑑𝑥

Lo que significa, que si se conoce la función energía potencial es posible calcular la correspondiente fuerza conservativa.

En el caso de sistemas tridimensionales se puede hacer un planteamiento semejante, por ejemplo, si un objeto o campo realiza trabajo sobre algún objeto externo, la energía se transfiere desde el objeto o campo hasta el objeto externo, tal como se observa en la figura, donde las posiciones 𝑟𝑖 𝑦 𝑟𝑓, son 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑗 + 𝑧𝑖𝑘 𝑦 𝑟𝑓 =

𝑥_𝑓𝑖 + 𝑦_𝑓𝑗 + 𝑧_𝑓𝑘 . El trabajo efectuado es:

𝑊 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −∆𝐸

_𝑝

𝑥, 𝑦, 𝑧

Sabiendo que: 𝑊 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐹 _{𝑥,𝑦,𝑧} ∙ ∆𝑟 tenemos:

𝐹

_{𝑥,𝑦,𝑧}

∙ ∆𝑟 = −∆𝐸

_𝑝

𝑥, 𝑦, 𝑧

Aplicando la condición lim

∆𝑥→0, obtenemos las componentes de la fuerza

𝐹

𝑥,𝑦,𝑧 a partir de la

energía potencial, en las tres dimenciones cartesianas:

𝐹

_𝑥

= −

𝐸

𝑝

𝑥

𝑑𝑥

; 𝐹

𝑦

= −

𝐸

_𝑝

𝑦

𝑑𝑦

; 𝐹

𝑧

= −

𝐸

_𝑝

𝑧

𝑑𝑧

Aplicando la derivación parcial:

𝐹

𝑥

= −

𝜕𝐸

_𝑝

𝜕𝑥

; 𝐹

𝑦

= −

𝜕𝐸

_𝑝

𝜕𝑦

; 𝐹

𝑧

= −

𝜕𝐸

_𝑝

𝜕𝑧

La expresión vectorial para la fuerza 𝐹 _{𝑥,𝑦,𝑧} , es el gradiente −∇ de la energía potencial:

𝐹

_{𝑥,𝑦,𝑧}

= −

𝜕𝐸

𝑝

𝜕𝑥

𝑖 +

𝜕𝐸

_𝑝

𝜕𝑦

𝑗 +

𝜕𝐸

_𝑝

𝜕𝑧

𝑘 = −∇𝐸

𝑝

Fuerzas no conservativas

Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica. Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una superficie horizontal y lo regresa a la misma posición y al mismo estado de movimiento, pero encuentra que fue necesario realizar una cantidad de trabajo neto sobre el objeto, entonces algo debe haber disipado esa energía transferida al objeto.

Esa fuerza disipativa se conoce como fricción entre la superficie y el objeto. La fricción es una fuerza disipativa y es una fuerza no conservativa. La cantidad de energía mecánica disipada por una fuerza no conservativa depende de la trayectoria seguida por el objeto que se mueve de una posición a otra y también puede depender de la velocidad del objeto o de otras variables.

En la figura el cuerpo está sometido tanto a fuerzas conservativas como no conservativas, entonces tenemos que la fuerza del sistema es la suma de las fuerzas que actúa:

𝐹 = 𝐹

_{𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠}

+ 𝐹

_{𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠}

Como el teorema trabajo-energía es válido para cualquier tipo de fuerzas:

𝑊 = 𝐹

_{𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠}

𝑑𝑟 + 𝐹

_{𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠}

𝑑𝑟 ⇒

∆𝐸

_𝑐

= 𝑊

_{𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜}

+ 𝑊

_{𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜}

Por definición: 𝑊_{𝐶𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜} = −∆𝐸_𝑝, resulta:

∆𝐸

_𝑐

= −∆𝐸

_𝑝

+ 𝑊

_{𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜}

⇒ 𝑊

_{𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜}

= ∆𝐸

_𝑐

+ ∆𝐸

_𝑝

= ∆𝐸

𝑊

_{𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜}

= ∆𝐸

Esta expresión se denomina Teorema Generalizado Trabajo-Energía y significa que si

sobre una partícula actúan fuerzas no conservativas, la variación de su energía mecánica total es precisamente el trabajo que estas fuerzas ejercen sobre ella.

Conservación de la energía

Macroscópicamente las fuerzas no conservativas siempre están presentes. Las más familiares son las de rozamiento, por ejemplo, al empujar una caja sobre una superficie rugosa, podemos interpretar que la variación de energía mecánica de la caja es igual al trabajo que hacemos para vencer el rozamiento. Pero la experiencia dice que en el proceso, la superficie de contacto se calienta. Otra forma de interpretar este hecho es decir que la

energía mecánica que se pierde se transforma en otro tipo de energía, la térmica.

En Mecánica, solo se manejan habitualmente la energía cinética, potencial y mecánica, pero si se incluyen otras energías que provienen de otras ramas de la Física, la energía total siempre es constante. Otros tipos de energía son la interna, la química, la eléctrica, la magnética, etc.

Esto permite señalar que, la energía mecánica de un sistema aislado no cambia si las fuerzas que hacen trabajo son conservativas, es decir, no podemos crear ni destruir la energía, la energía en un sistema conservativo se conserva.

∆𝐸 = 0

𝐸

_𝑐𝑖

+ 𝐸

_𝑝𝑖

= 𝐸

_𝑐𝑓

+ 𝐸

_𝑝𝑓

Si la cantidad de energía en un sistema varía, solo puede deberse al hecho de que una cierta cantidad de energía ha cruzado los límites del sistema mediante algún tipo de mecanismo de transferencia. Hoy en día se admite que la energía ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma.

Por tanto la energía total 𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 de un sistema es la suma de la energía mecánica, la

térmica y otras asociadas con fuerzas no conservativas internas adicionales a la fricción.

𝐸

_{𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙}

= 𝐸 + 𝐸

_{𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎}

+ 𝐸

_{𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎}