UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEM ´
ATICA
DPTO. DE MATEM ´
ATICA APLICADA
MA 0001 PREC ´
ALCULO
Funciones III
´Indice general
1.
Conceptos preliminares
51. Razones trigonom´etricas de ´angulos agudos . . . 5
2. Teorema de Pit´agoras . . . 6
3. Tipos de ´angulos . . . 8
2.
Aplicaciones
17 1. Acercamiento a C´alculo . . . 213.
Angulos en la circunferencia trigonom´etri-
´
ca
23 1. Razones trigonom´etricas para cualquier ´angulo . . . 232. Identidades trigonom´etricas . . . 29
4.
Funciones trigonom´etricas
35 1. Gr´aficas de las funciones trigonom´etricas . . . 352. Criterio de una funci ´on y uso de identidades trigonom´etricas . . . 42
3. Intersecciones con los ejes de la gr´afica de funciones trigonom´etricas . . . 44
4. Sustituciones trigonom´etricas . . . 47
5. Acercamiento a C´alculo . . . 53
5.
Funciones trigonom´etricas inversas
57 1. Acercamiento a C´alculo . . . 65Cap´ıtulo
1
Conceptos preliminares
Antes de iniciar el estudio de la circunferencias trigonom´etrica, las funciones trigonom´etricas y las aplicaciones, es importante tener claros ciertos conceptos que se asumen previos para el desarrollo de los anteriores.
Definicion 1. ´Angulo
Se considera como la uni´on de dos rayos que comparten un punto en com ´un llamando v´ertice.
x y
α
∠ABC o ∠α
A
B C
1.1.
Razones trigonom´etricas de ´angulos agudos
Considere el4 ABCun tri´angulo rect´angulo en B, dondea,b,c , 0 se definen las seis razones
trigonom´etricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para el ´angulo agudox de la siguiente manera:
sen (x) = cateto opuesto hipotenusa =
c
b csc (x) =
hipotenusa cateto opuesto =
b c cos (x) = cateto adyacente
hipotenusa = a
b sec (x) =
hipotenusa cateto adyacente =
b a tan (x) = cateto opuesto
cateto adyacente = c
a cot (x) =
cateto adyacente cateto opuesto =
a c
Para dar el valor de las razones trigonom´etricas es fundamental considerar el ´angulo agudo con el que va a trabajar, ya que a partir de este ´angulo se determina el cateto opuesto o el adyacente al ´angulo dado.
1.2.
Teorema de Pit´agoras
Teorema
Trigonometr´ıa 7
En un tri´angulo rect´angulo cuando no se conoce la medida de alguno de los lados utilizamos este teorema.
Ejemplo 1. Determine la medida del cateto mayor de un tri´angulo rect´angulo si la hipotenusa mide 17cm y el cateto menor 5cm.
Soluci ´on
Siaes la medida del cateto, se debe tener que
a2+(5)2 = (17)2 a2 = 289−25
a2 = 264 a = ±2
√
66
Se debe tomar el valor positivoa=2
√
66
Ejercicios 1.
I.Para el4ABC de laFigura 1determine:
a. El cateto opuesto para el ´angulo90◦−x
b. El cateto adyacente para el ´angulo (90◦− x)
c. Los valores de las razones parasen(90◦−
x),cos(90◦−
x)ytan(90◦− x)
d. Conjeture sobre la relaci´on entre las razones trigonom´etricas para los ´angulos x y90◦−x
II.Para el4ABC de laFigura 2determine el valor exacto de:
a. cosα
b. tan(90◦−α)
c. csc(α)
III. Sea un 4PQR rect´angulo en Q con m∠P = α, m∠R = β, cos(α) = 1
x, x , 0, determine el valor exacto (en t´erminos de x) de:
1.3.
Tipos de ´angulos
Debe contemplarse que los ´angulos que aqu´ı se mencionan se ubican en el plano cartesiano.
Definicion 2. ´Angulo en posici ´on est´andar o normal ´
Angulo cuyo lado inicial corresponde al semieje x positivo y su v´ertice coincide con el origen. El lado terminal puede ubicarse en cualquier cuadrante o bien coincide con cualquiera de los semiejes.
Definicion 3. ´Angulo de medida positiva ´
Angulo en posici´on est´andar cuyo lado terminal rota en el sentido contrario de las manecillas del reloj.
Definicion 4. ´Angulo de medida negativa ´
Trigonometr´ıa 9
Definicion 5. ´Angulo cuadrantal ´
Angulo en posici´on est´andar cuyo lado terminal coincide con cualquiera de los semiejes x o y, positivo o negativo.
Definicion 6. ´Angulos coterminales
Dos o m´as ´angulos en posici´on est´andar que comparten el mismo lado terminal.
Definicion 7. ´Angulo de referencia ´
Definicion 8. Circunferencia trigonom´etrica
En el plano cartesiano, corresponde a la circunferencia que tiene por centro el origen y radio1 unidad lineal. Est´a definida por la ecuaci´on x2+y2 =1
x y
y y y y
1
−1
−1 1
r=1
Definicion 9. Radi´an
Trigonometr´ıa 11
x y
y y y 1
−1
−1 1
t
θ
Dado que el radi´an constituye una unidad de medida para los ´angulos al igual que los grados, se establecen las siguientes relaciones entre ambas:
Grados y radianes
x◦ = x◦· π
180◦ radianes
yradianes = y·180
π !◦
Se debe aclarar que para el curso se emplear´a la medida de los ´angulos en radianes, salvo que se indique lo contrario.
Ejemplo 2. Para cada ´angulo dado determine la medida del ´angulo de referencia.
a.α= 19π
6
b.β= −8π
15
Soluci ´on
a.α= 19π
6
Debe notarse que la medida del ´angulo es m ´ultiplo de π
6 y estos ´angulos solo cuen-tan con un ´angulo de referencia cuya me-dida corresponde a π
6
b.β= −8π
15
En este caso, dado que el ´angulo de refe-rencia debe ser agudo y de medida positi-va, entonces su medida puede correspon-der a π
15, 2π 15, 3π 15, 4π 15, 5π 15, 6π 15, 7π 15 puesto que son los que cumplen lo indica. Se tiene as´ı queβr=
Ejemplo 3. Determine el valor exacto de
2 sen
π
6
+3 cos
π 3 2 tan π 4
Soluci ´on: Primero, determinamos el valor num´erico de las razones parasen
π 6 ,cos π 3 ,tan π 4 lue-go resolvemos las operaciones indicadas, as´ı obtenemos:
2 sen
π
6
+3 cos
π 3 2 tan π 4 =
2· 1
2 +3· 1 2
2
1
= 1 2 + 3 2 2 = 25 4 Ejercicios 2.
Trigonometr´ıa 13
a. 29π
4 b.−
π
6
II.Determine la medida del ´angulo de referencia.
a. 43π
3
b.−19π
12
III.Para cada uno de los ejercicios propuestos determine lo que se solicita.
a. Seaαun ´angulo en posici´on est´andar tal que 3π
2 < α < 2πy determina un ´angulo de referencia de 7π
18, halle la medida deα.
b. Considere α un ´angulo en posici´on est´andar tal que −3π
2 < α < −π y determina un ´angulo de referencia de π
6, halle la medida del ´anguloα.
Ejercicios Complementarios 1.
1. Escribir en cada espacio delineado lo que se solicita.
a) La medida de dos ´angulos coterminales, uno positivo y otro negativo, conθ= −152πes y
b) El lado terminal del ´anguloα= 12π se encuentra en el cuadrante c) La medida de un ´angulo cuadrantal negativo corresponde a
d) Si para un ´anguloβse cumple quesecβ > 0ycotβ < 0entonces se puede asegurar que el lado terminal del ´angulo se encuentra en el cuadrante
e) Considere el ´angulo δ en posici´on normal con (x,y) un punto en su lado terminal y r =
p
x2+y2
,0
i. senδ= ii. tanδ=
iv. r
y = v. secδ=
vi. x y =
2. Determinar el ´angulo de referencia y el valor exacto de la raz´on trigonom´etrica sin utilizar la calculadora
a) cos
11π
6
b) cot
−5π
4
c) sec
7π
3
d) sen
7π
4
e) tan
−19π
6
Trigonometr´ıa 15
3. Completar la siguiente tabla con la informaci´on faltante. Las medidas de los ´angulos pertenecen al intervalo[0,2π]
θ sen (θ) cos (θ) tan (θ) csc (θ) sec (θ) cot (θ)
0 y 0 1 0
0 −1 0 No existe -1 No existe
π
2 1 No existe
3π
2 -1 No existe 0
√
2 2
√
2
2 1
√
2
√
2 1
π
6
1
2 2
1 2
2
√
Cap´ıtulo
2
Aplicaciones
La resoluci ´on de situaciones donde se involucran razones trigonom´etricas constituye un primer acercamiento a las razones de cambio y optimizaci ´on que ser´an tema de an´alisis en el curso de C´alculo.
Ejemplo 4. La distancia entre la Tierra y la Luna var´ıa mientras ´esta gira alrededor de nuestro planeta. En determinado momento se mide el ´angulo de paralaje geoc´entrico, como se muestra en la figura, el cual es1◦
. Calcule la distancia, en millas, entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna en ese instante. Asuma que el radio de la Tierra es3963millas
Soluci ´on
Se tiene que sen (1◦
)= 3963
d de donde se obtiene qued=
3963 sen (1◦
)
La distancia aproximada entre los centros de la Tierra y la Luna es 227075 millas.
Ejemplo 5. Para la carrera de obst´aculos Apache 2015 los participantes deb´ıan escalar y descender una rampa como se muestra en la figura. El ´angulo de elevaci´on desde el punto de inicio del ascenso es de22◦ y el ´angulo de depresi´on de la cima al punto de llegada es de 50◦
. Considere que el punto de inicio y el punto de llegada est´an separados4metros. Determine (con un decimal):
a) La altura aproximada de la rampa.
b) La distancia recorrida al as-cender.
c) La distancia recorrida al des-cender.
Soluci ´on
A continuaci ´on se muestra una representaci ´on en dos dimensiones de la situaci ´on descrita an-teriormente:
a) Siendohla altura yxla distancia desde punto de inicio al pie de la altura, se tiene:
tan (22◦ )= h
x
tan (50◦
)= h 4−x
xtan (22◦ )=h
(4−x) tan (50◦)=h
xtan (22◦)=(4−x) tan (50◦ )
xtan (22◦
)+xtan (50◦
Trigonometr´ıa 19
x(tan (50◦
)+tan (22◦
))=4 tan (50◦ )
x= 4 tan (50 ◦
) tan (50◦
)+tan (22◦ )
x≈2,98m
h≈2,98·tan (22◦
)≈1,2m
La altura aproximada de la rampa es 1,2m.
Puede notar que el sistema de ecuaciones lineales se puede resolver haciendo uso de la calculadora con MODE-5-1
xtan (22◦
)−h=0
−xtan (50◦
)−h=−4 tan (50◦ )
b) sen (22◦)= h
a ⇒a≈3,20m
La distancia recorrida al ascender es aproximadamente 3,20m
c) sen (50◦)= h
d ⇒d≈1,57m
La distancia recorrida al descender es aproximadamente 1,57m
Ejemplo 6. Desde la parte superior de un acantilado se observa un velero que se aproxima a la base. El punto desde donde se observa se mantiene fijo y est´a a100m por encima del nivel del agua, adem´as que se determina un ´angulo de depresi´on θ. La distancia x del velero a la base del acantilado disminuye a 20m/s al mismo tiempo que aumenta la medida del ´anguloθ
1. Represente gr´aficamente la situaci´on descrita.
2. Plantee una raz´on trigonom´etrica a partir de la informaci´on dada, en t´erminos de x yθ.
3. Determine el valor desec2(θ)cuando el velero est´a a200m de la base.
Soluci ´on
2. Con los datos planteados se tiene que tan (θ)= 100
x o cot (θ)= x 100
3. Se tiene que cuandox = 200 entonces tan (θ) = 100
200. Adem´as haciendo uso del Teorema de Pit´agoras
1002+2002 =h2
±100 √
5=h
De acuerdo con el contextoh=100
√
5 y sec (θ)= 100
√
5 200 =
√
5 2 Por lo tanto sec2(θ)= 5
4
Ejercicios Complementarios 2.
1. A continuaci´on se le presentan varias situaciones en las cuales debe utilizar razones trigonom´etri-cas. Resolver lo planteado.
a) Considere un faro de55m sobre el nivel del mar. Desde ´el se observa un bote con un ´angulo de depresi´on de37◦
. Calcule la distancia a la que se encuentra el bote de la base del faro. b) El cerro Chirrip´o, el m´as alto de Costa Rica, tiene una altura aproximada de3820 m. Un
top´agrafo, ubicado a varios de kil´ometros de distancia, determina que el ´angulo de elevaci´on entre el suelo y la l´ınea visual a la cumbre es de 32◦
. Aproxime la distancia a la que se encuentra el top´agrafo del centro de la base del cerro Chirrip´o.
Trigonometr´ıa 21
d) Un observador de1,2 m de altura ve la copa de un ´arbol con un ´angulo de elevaci´on de32◦ , camina11m y ahora ve la copa del ´arbol con un ´angulo de68◦. Determine la altura del ´arbol.
e) Un globo asciende verticalmente. Al ser observado desde un punto A a 97 m en terreno horizontal, el ´angulo de elevaci´on var´ıa de20◦ a 30◦. ¿Cu´al es la distancia aproximada que ascendi´o el globo durante ese periodo de observaci´on?
f) Un puente levadizo mide7,5metros de orilla a orilla, y cuando se levanta por completo forma un ´angulo de elevaci´on de43◦
. Cuando baja, forma un ´angulo de depresi´on de la orilla a un punto en la superficie del agua bajo el extremo opuesto de27◦
. Cuando el puente se levanta, ¿cu´al es la distancia d entre el punto m´as alto del puente y el agua? Vea la figura adjunta.
2.1.
Acercamiento a C´alculo
El ejercicio que se muestra a continuaci ´on pretende mostrar c ´omo se resuelven situaciones que involucran razones de cambio y particularmente aquellas que requieren el uso de la Trigono-metr´ıa.
La medida de uno de los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´angulo disminuye a raz´on de36rad/s. Si la longitud de la hipotenusa es constante y mide40cm, calcule con qu´e rapidez cambia el ´area cuando la medida de dicho ´angulo agudo es de π
6 rad.
El ´area de un tri´angulo rect´angulo est´a dada porA = bh
2 , dondeb yh son las medidas de los catetos.
Puesto que se indica el cambio de la medida de un ´angulo agudo y su valor en un momento particular, debe expresarse el ´area en t´erminos del ´angulo.
De lo anterior se deduce que sen (α)= b
40 y cos (α)= h
40, por lo que
40 sen (α)=b 40 cos (α)=h
El ´area del tri´angulo se puede expresar as´ıA= 40 sen (α)·40 cos (α)
2 =800 sen (α) cos (α)
Dado que el ´area y la medida del ´angulo son dependientes del tiempo (variable independiente), se procede a realizar derivaci ´on impl´ıcita
dA dt =800
"
cos (α) cos (α)dα
dt +sen (α)· −sen (α) dα
dt
#
dA
dt =800
cos2(α)−sen2(α)dα
dt
Comoα= π 6 y
dα dt =
−π
36 entonces dA
dt =800
cos2
π
6
−sen2
π
6
· −π
36 dA
dt =
−100π
9
El ´area del tri´angulo est´a disminuyendo a 100π 9 cm
Cap´ıtulo
3
´
Angulos en la circunferencia trigonom´etrica
En este cap´ıtulo podremos aprender c ´omo se puede obtener el valor de una raz ´on trigonom´etri-ca para cualquier ´angulo (de medida positiva o negativa) haciendo uso de la circunferencia trigonom´etrica y cuando no se haga referencia a esta.
3.1.
Razones trigonom´etricas para cualquier ´angulo
Considere la siguiente representaci ´on gr´afica
x y
y y y y 1
−1
−1 1
x,y
1
θ
Conteste las siguientes afirmaciones:
a. El lado terminal del ´anguloθinterseca la circunferencia trigonom´etrica en el punto
b. Note que el tri´angulo que contiene el ´anguloθ es rect´angulo, luego este satisface el Teo-rema de Pit´agoras. Esto se expresa con la igualdad .
c. Como se est´a trabajando en la circunferencia trigonom´etrica, entonces cualquier valor de x se encuentra en el intervalo y cualquier valor de y se encuentra en el
intervalo .
d. El valor de la raz ´on trigonom´etrica sen(θ) corresponde a .
e. El valor de la raz ´on trigonom´etrica cos(θ) corresponde a .
Nota 1
En la circunferencia trigonom´etrica todo ´angulo en posici ´on est´andar θsubtiende un arco de medidatradianes y a dicho ´angulo se le asocia el punto de intersecci ´on (x,y) del lado terminal con dicha circunferencia.
En el cuadro 1 se presentan algunas medidas de ´angulos para las cuales es importante conocer el punto asociado en la circunferencia trigonom´etrica. Debe completar algunos de los espacios.
Medida del ´angulo Coordenadas del punto asociado en la circunferencia
0 (1,0)
π
2
(−1,0)
3π 2
(1,0) Cuadro 1
Para determinar las coordenadas asociadas a un ´angulo de medida negativa se recurre a los ´angulos coterminales, los cuales tienen los mismos valores para las razones trigonom´etricas. Por ejemplo, para el ´angulo −π
2 las coordenadas corresponden al punto (0,−1) en vista que este ´angulo es coterminal con 3π
2 .
Ahora, determinemos las coordenadas de intersecci ´on de la circunferencia trigonom´etrica con el lado terminal de un ´angulo de medida π
6,
π
4,
π
Trigonometr´ıa 25
Figura 2
Ejemplo 7. Determine si cada punto dado pertenece a la circunferencia trigonom´etrica.
a.
√
2 2 ,
− √
2 2
!
b.
−1
2 , 1 4
Soluci ´on
Para determinar si un punto est´a en la circunferencia trigonom´etrica debe cumplir la identidad pitag´orica x2+y2=1.
a.Comprobemos si las coordenadas del punto dado satisfacen la identidad:
√
2 2
!2
+ −
√
2 2
!2
= 1 2
4 + 2
4 = 1
Como se cumple la identidad pitag´orica entonces dicho pertenece a la circunferencia trigonom´etrica.
b.Comprobemos si las coordenadas para del punto satisfacen la identidad:
−1
2
2
+1 4
2
= 1 4 +
1 16 = 5
16 Como 5
Nota 2
Si el lado terminal de un ´angulo en posici ´on est´andar θ interseca la circunferencia trigonom´etrica en el punto (x,y) entonces se tiene que
sen(θ)= y cos(θ)=x tan(θ)= sen(θ)
cos(θ) = y x De lo anterior se puede deducir que
csc(θ)= 1 sen(θ) =
1
y, y,0 sec(θ)= 1
cos(θ) = 1
x, x,0 cot(θ)= cos(θ)
sen(θ) = x
y, y,0
Debe tenerse presente que de acuerdo con el cuadrante en que se encuentre el punto as´ı corresponder´a el signo de cada raz ´on trigonom´etrica.
Ejemplo 8. Complete el siguiente cuadro con el signo de las tres razones trigonom´etricas principales en los cuatro cuadrantes
Raz´on trigonom´etrica I C II C III C IV C
sen (α) + −
cos (α) + −
tan (α) + −
Ejemplo 9. Determine los valores de las seis razones trigonom´etricas para el ´anguloα= 17π
6 si su lado terminal interseca a la circunferencia trigom´etrica.
Soluci ´on
En este caso se recomienda:
a. Ubicar el ´angulo en el plano cartesiano
b. Determinar su ´angulo de referencia
c. Determinar las razones del ´angulo de referencia
Trigonometr´ıa 27
De acuerdo con la figura anterior, el ´angulo αse encuentra en el II cuadrante, el valor dex es negativo y el valor deyes positivo. Como el ´angulo de referencia mide π
6, entonces se utilizan los resultados obtenidos en laFigura 2para determinar los valores de las razones trigonom´etri-cas del ´angulo indicado:
senα= 1
2 cosα=
− √
3
2 tanα=
−1 √
3 cscα=2 secα= −√2
3 cotα=
− √
3
Ejemplo 10. Considere un ´angulo en posici´on est´andarθcuyo lado terminal contiene el punto(2
√
6,−1).
Determine el valor exacto de:
a. sen(θ)
b. cos(θ)
c. El punto de intersecci´on del lado terminal con la circunferencia trigonom´etrica
Soluci ´on
Para calcular el valor de las razones solicitadas se trabajar´a con el tri´angulo que se muestra a continuaci´on
Se debe calcular la medida de la hipotenusa haciendo uso del Teorema de Pit´agoras
(2
√
6)2+12 = h2 25 = h2
±5 = h
Se toma h=5y considerando que el lado terminal del ´anguloθse ubica en el cuarto cuadrante entonces:
a.sen(θ)=−sen(θr)= −1
5
b.cos(θ)=cos(θr)= 2
√
6 5
c.Debe recordarse que el punto de intersecci´on(x,y)con la circunferencia trigonom´etrica corresponde al par ordenado(cos(θ),sen(θ)). Es as´ı que se tiene 2
√
6 5 ,
−1
5
Trigonometr´ıa 29
Ejercicios 3.
I.Considere un ´anguloαde medida 7π
4 cuyo lado terminal interseca a la circunferencia trigonom´etrica en un punto (x,y). Determine:
a. Los valores exactos de sen(α), cos(α)y tan(α)
b. Las coordenadas del punto de intersecci´on.
II. Calcule el valor exacto de sen(θ)
sec(θ)−cot(θ) si θ es un ´angulo cuyo lado terminal contiene el punto −3
5 ,
−1
2
3.2.
Identidades trigonom´etricas
El uso de la circunferencia trigonom´etrica facilita la deducci ´on de algunas identidades trigo-nom´etricas que se emplear´an en el siguiente cap´ıtulo.
La primera identidad que se considera fundamental es la identidad pitag ´orica que se obtiene al sustituirx=cos(α) y y=sen(α) en la ecuaci ´onx2+y2 =1:
cos2(α)+sen2(α)=1 (1)
A partir de esta identidad podemos obtener otras identidades pitag ´oricas, dividiendo ambos miembros por sen2(α) o cos2(α):
tan2(α)+1=sec2(α) (2)
cot2(α)+1=csc2(α) (3)
sen (−α)=−sen (α) cos (−α)=cos (α) tan (−α)=−tan (α)
csc (−α)=−csc (α) sec (−α)=sec (α) cot (−α)=−cot (α)
Otras identidades trigonom´etricas importantes son las que corresponden a la suma y resta de ´angulos:
sen α ± β =
sen (α)·cos β ±
sen β·
cos (α) (4)
cos α ± β =
cos (α)·cos β ∓
sen (α)·sen β
(5)
tan α ± β = tan (α) ±tan β
1 ∓tan (α)·tan β (6)
Las identidades 4, 5 se utilizan para deducir otras identidades, por ejemplo las de ´angulo doble:
sen(2α)=sen (α+α) =sen (α)·cos (α)+sen (α)·cos (α)=2 sen(α) cos(α) (7)
cos(2α)=cos (α+α) =cos (α)·cos (α)−sen (α)·sen (α)=cos2(α)−sen2(α) (8)
De la identidad 8 se pueden deducir otras dos:
cos(2α)=2 cos2(α)−1 (9)
cos(2α)=1−2 sen2(α) (10)
Ejemplo 11. Considere un ´angulo α en posici´on est´andar cuyo lado terminal se encuentra en el II cuadrante, si el valor desen (α)=
√
5
Trigonometr´ıa 31
a)cos (2α)
b)cos
π
4 −α
Soluci ´on
Aplicando la identidad 1 se tiene que:
cos2(α)+sen2(α) = 1
cos2(α)+
√
5 3
!2
= 1
cos2(α)+5
9 = 1
cos2(α) = 4 9
cos(α) = ±2
3
Como el lado terminal del ´angulo α est´a en el II cuadrante, el valor de cos(α) debe tomarse
negativo, as´ı que cos(α) = −2
3 . Adem´as, debemos utilizar las identidades trigonom´etricas estu-diadas.
a)cos (2α)=cos2(α)−sen2(α) Usamos la identidad trigonom´etrica 8
=−2 3 2 − √ 5 3 !2
Sustituimos el valor de cos (α) y sen (α)
= 4 9 −
5
9 Hacemos las operaciones respectivas
= −1 9
b)cos
π
4 −α
=cos
π
4
·cos (α)+sen π
4
·sen (α) Usamos la identidad trigonom´etrica respectiva
= √ 2 2 · −2 3 + √ 2 2 · √ 5
3 Sustituimos los valores de cos
π
4
, cos (α)
sen
π
4
, sen (α)
= − √ 2 3 + √ 10
6 Hacemos las operaciones respectivas = −2
√
2+
√
10 6
Ejemplo 12. Determine el valor exacto detan
11π
12
considerando que 11π 12 =
π
4 + 2π
Soluci ´on
Se sabe que tan
11π 12 = sen 11π 12 cos 11π 12 y como 11π 12 = π 4 + 2π 3 entonces tan 11π 12 = sen π 4 + 2π 3 cos π 4 + 2π 3 = sen π 4 cos 2π 3 +sen 2π 3 cos π 4 cos π 4 cos 2π 3 −sen 2π 3 sen π 4 = √ 2 2 · −1 2 + √ 3 2 · √ 2 2 √ 2 2 · −1 2 − √ 3 2 · √ 2 2 = − √ 2 4 + √ 6 4 − √ 2 4 − √ 6 4 = − √ 2+ √ 6 4 − √ 2− √ 6 4 = − √ 2+ √ 6 − √ 2− √ 6 Ejercicios 4.
I.Considere un ´anguloβ en posici´on est´andar cuyo lado terminal se encuentra en el III cuadrante, si el valor detan β= 2
3, determine el valor de:
a. sen −β
b. tan2 β+
1
II.En la circunferencia trigonom´etrica el valor decos β= 1
2 ytan β
<
Trigonometr´ıa 33
a. El cuadrante donde se ubica el lado terminal del ´anguloβ.
b. El valor decos(π+β)
c. El valor detan(−β)
Ejercicios Complementarios 3.
1. Determinar lo solicitado, para cada ´angulo en posici´on est´andar, seg ´un la informaci´on brindada. a) Si lado terminal de un ´anguloαcontiene el punto(−3,5), calculetanα
b) Sicscβ=−2y el lado terminal est´a en el IV cuadrante, calculecosβ
c) El lado terminal deδcontiene el punto(−2,−3). Determinesenδ−cosδ
d) Si senθ = a, con θ en el II cuadrante, determine una expresi´on en t´erminos de a paracos(2θ). Utilice la identidadcos(2α)=cos2α−sen2α
e) Calculesen(α−β)sisenα= −3
5 ycosβ=
−1
4 , ambos en el III cuadrante. f) Considere el ´anguloα= 7π
12 en posici´on est´andar en el plano y que 7π
12 =
π
4 +
π
3. Determine en forma exactasenαycosα. g) De acuerdo con la representaci´on dada:
El valor exacto de y
El valor exacto desenσ,cosσ,tanσ El valor exacto decos(2σ)+sen
π
4 −σ
Cap´ıtulo
4
Funciones trigonom´etricas
Al aplicar lo estudiado acerca de razones trigonom´etricas, circunferencia trigonom´etrica, que la medidaten radianes de un ´angulo en posici ´on est´andar es igual a la longitud del arco inter-ceptado y que a cada n ´umero real tle corresponde un ´unico ´angulo en posici ´on est´andar con dicha medida, podemos definir las funciones trigonom´etricas:
a) f :R →R, f(t)=sen (t), donde sen (t) es el valor de seno del ´angulo de medidatradianes
b) f : R → R, f(t) = cos (t), donde cos (t) es el valor de coseno del ´angulo de medida t
radianes
c) f : R−
(2k+1)· π
2,conk∈Z
→R, f(t)=tan (t), donde tan (t) es el valor de tangente del
´angulo de medidatradianes.
El dominio de la funci ´on con criterio f(t)=tan (t), var´ıa con respecto a la funci ´on seno y coseno. Justifique con sus propias palabras a qu´e se debe esta situaci ´on.
4.1.
Gr´aficas de las funciones trigonom´etricas
Considere siguiente representaci ´on gr´afica
Con los valores de las coordenadas para los puntosA,ByPen la Figura 4, determine la medida (en radianes) para los ´angulos en posici ´on est´andar:
a.t1 = b.t2 = c.t3 =
Recordemos que la medida del ´angulo en radianes es igual a la longitud del arco interceptado en la circunferencia trigonom´etrica as´ı al arco:
a. CAc le corresponde el n ´umero real b.CBc le corresponde el n ´umero real
c. CPc le corresponde el n ´umero real d. CEc le corresponde el n ´umero real
Recuerde que en la circunferencia trigonom´etrica se definieron las razones trigonom´etricas para un n ´umero realtde la forma: sen (t) = y, cos (t) = xy tan (t) = y
Trigonometr´ıa 37
t∈
0, π 2
t∈ π
2, π
t∈
π,3π
2
t∈ 3π
2 ,2π
coordenadas (x,y) coordenadas (−x,y) coordenadas (−x,−y) coordenadas (x,−y)
π
6
π
4
π
3
π
2
2π 3
3π 4
5π
6 π
7π 6
5π 4
4π 3
3π 2
5π 3
7π 4
11π 6 2π
sen (t)
cos (t)
tan (t)
Cuadro 4
La informaci ´on del cuadro 4 es ´util para representar gr´aficamente en el plano cartesiano los pares ordenados de cada una de las funciones en estudio y determinar algunas caracter´ısticas b´asicas.
1. f :R→R, f(t)=sen (t)
a.Ambito:´
b.Intersecciones ejex: c.Intersecci ´on eje y:
d.Un intervalo donde la f es creciente: e.Un intervalo donde la f es decreciente: f.Preim´agenes de 1
2: g.Preim´agenes de −1
2 : h.Imagen de π
4: i.Imagen de 3π 4 :
j.Justifique si f es biyectiva:
k.Periodo: 2π
2. f :R→R, f(t)=cos (t)
Trigonometr´ıa 39
a.Ambito:´
b.Coordenadas intersecci ´on eje x:
c.Coordenadas intersecci ´on eje y:
d.Un intervalo donde la f es creciente: e.Un intervalo donde la f es decreciente: f.Preim´agenes de 1
2: g.Preim´agenes de −1
2 : h.Imagen de −π
4 :
i.Justifique si f es biyectiva:
j.Periodo: 2π
3. f :R−
(2k+1)· π
2, con k∈Z
→R, f(t)=tan (t)= sen(t)
cos(t)
a.Ambito:´
b.Coordenadas intersecci ´on eje x:
c.Coordenadas intersecci ´on eje y:
d.Un intervalo donde la f es creciente: e.Preim´agenes de √1
3: f.Preim´agenes de−1:
g.Imagen de −π 3 :
h.Periodo: π
A continuaci ´on se muestran las gr´aficas de las funciones cosecante, secante y cotangente.
4. f :R− {kπ, con k∈Z} →]−∞,−1]∪[1,+∞[, f(t)=csc (t)= 1
Trigonometr´ıa 41
5. f :R−
(2k+1)· π
2, con k∈Z
→]−∞,−1]∪[1,+∞[, f(t)=sec (t)= 1
cos(t)
6. f :R− {kπ, con k∈Z} →R, f(t)=cot (t)= cos(t)
4.2.
Criterio de una funci ´on y uso de identidades trigonom´etricas
Trigonometr´ıa 43
Ejemplo 13. Considere la funci´on g definida en su dominio m´aximo y codominioRcon g(θ)=
cos
θ+ π
4
sen (4θ) . Reescriba el criterio en forma simplificada, haciendo uso de identidades trigonom´etricas, de tal forma que se muestren las expresionessen(2θ),sen(θ)ycos(θ)
Soluci ´on
g(θ) = cos
θ+ π
4
sen (4θ)
= cos (θ) cos
π
4
−sen (θ) sen π
4
sen (2·2θ)
= cos (θ)
· √
2
2 −sen (θ)·
√
2 2 sen (2·2θ)
= cos (θ)
· √
2
2 −sen (θ)·
√
2 2 2 sen (2θ) cos (2θ)
=
√
2
2 (cos (θ)−sen (θ)) 2 sen (2θ) cos (2θ)
=
√
2
2 (cos (θ)−sen (θ)) 2 sen (2θ) (cos2(θ)−sen2(θ))
=
√
2
2 (cos (θ)−sen (θ))
2 sen (2θ) (cos(θ)−sen(θ)) (cos(θ)+sen(θ))
=
√
2
4 sen (2θ) (cos(θ)+sen(θ))
1. Identidadcos α ± β
2. Valor decos
π 4 ,sen π 4
3. Identidadsen (2α)
4. Factor com ´un de
√
2 2
5. Identidadcos (2α)=cos2(α)−sen2(α)
6. Factorizarcos2(α)−sen2(α)
7. Simplificar al m´aximo
Ejemplo 14. Considere la funci´on j definida en su dominio m´aximo y codominioRcon
j(x) = 2 cos2(x) −
1
1−sen(x). Reescriba el criterio en forma simplificada, haciendo uso de identidades
Soluci ´on
j(x) = 2
cos2(x) −
1 1−sen(x)
= 2
1−sen2(x)−
1 1−sen(x)
= 2
(1−sen (x)) (1+sen (x)) −
1 1−sen(x)
= 2−(1+sen(x)) (1−sen (x)) (1+sen (x))
= 2−1−sen(x) (1−sen (x)) (1+sen (x))
= 1−sen(x)
(1−sen (x)) (1+sen (x))
= 1
1+sen (x)
1. Identidadcos2(α)=1−sen2(α)
2. Factorizar1−sen2(α)
3. Efectuar la operaci´on entre fracciones
4. Cambiar de signo
5. Efectuar operaciones
6. Simplificar al m´aximo
4.3.
Intersecciones con los ejes de la gr´afica de funciones trigonom´etricas
En esta secci ´on se enfatiza en c ´omo determinar las intersecciones con el ejex de la gr´afica de una funci ´on trigonom´etrica pues el concepto de fondo son las ecuaciones trigonom´etricas. Se debe tener claro que en ocasiones se deber´a emplear identidades trigonom´etricas b´asicas para reescribir el criterio y facilitar la resoluci ´on de la ecuaci ´on.
Ejemplo 15. Considere la funci´on f : R→R, f(x)=2 sen(x)(1−2 cos(x)). Determine los puntos de
intersecci´on con los ejes de la gr´afica para x∈[−2π,2π]
Soluci ´on
Trigonometr´ıa 45
Debe notarse que la gr´afica interseca varias veces el ejex, en efecto, lo hace infinitas veces, pues las funciones trigonom´etricas son peri ´odicas.
Con el recurso gr´afico se puede deducir algunos puntos de intersecci ´on pero otros no, por ello procedemos a resolver el ejercicio haciendo uso del criterio:
Ejey
f(0)=2 sen(0)(1−cos(0)) =2·0(1−1)=0, luego el punto de intersecci ´on es (0,0)
Ejex
Se debe tener 2 sen(x)(1−2 cos(x))=0 y como el criterio est´a expresado como producto entonces:
2 sen(x)=0 ∨ 1−2 cos(x)=0 Cada factor se iguala a cero
sen(x)=0 ∨ cos(x)= 1
2 Se despeja cada expresi ´on
Resolver una ecuaci ´on trigonom´etrica implica determinar el o los valoresxen el dominio espe-cificado cuyo valor de la funci ´on trigonom´etrica es el indicado.
Para sen(x) = 0 se cumple que x = 0, x = π, x = −π, x = 2π, . . ., es decir, para todos los
valoresxde la formakπconk∈Z
Comox∈[−2π,2π] solo se tomanx=0, x=π, x=−π, x=2π, x=−2π
Las soluciones de cos(x) = 1
2 son ´angulos cuyo lado terminal se ubican en el I y IV cuadran-te, que tienen ´angulo de referencia con medida π
3. Por lo tanto se deben considerar x =
π
3, x= 5π
3 , x=
−π
3 , x=
−5π
3 que pertenecen al intervalo dado.
Finalmente, los puntos de intersecci ´on son (−2π,0), −5π
3 ,0
, (−π,0), −π
3 ,0
, (0,0),
π
3,0
, (π,0),
5π
3 ,0
, (2π,0)
Ejemplo 16. Determine los puntos de intersecci´on con el eje x de la gr´afica de la funci´on k: [0,2π[→R, k(β)=cos(2β)+sen(2β)+1
Soluci ´on
Se plantea la ecuaci ´on cos(2β)+sen(2β)+1=0
N ´otese que se tienen las expresiones cos(2β) y sen(2β), con lo cual se debe usar identidades para reescribir el criterio.
Se tiene que
2 cos2(β)−1+2 sen(β) cos(β)+1 = 0
2 cos2(β)+2 sen(β) cos(β) = 0 2 cos(β)(cos(β)+sen(β)) = 0
2 cos(β)=0 ∨ cos(β)+sen(β)=0
cos(β)=0 ∨ cos(β)=−sen(β)
La primera ecuaci ´on tiene como solucionesβ= π 2, β=
3π 2 .
Las soluciones de la segunda ecuaci ´on deben ser tales que los valores de seno y coseno sean opuestos. Esta caracter´ıstica se cumple para ´angulos cuyo lado terminal se ubica en el II y IV
cuadrante, y que tienen ´angulo de referencia π
4. Las soluciones sonβ= 3π
4 yβ= 7π
4 . Por lo tanto los puntos de intersecci ´on son
π
2,0
, 3π
2,0
, 3π
4 ,0
, 7π
4 ,0
Ejemplo 17. Determine los puntos de intersecci´on con los ejes de la gr´afica de la funci´on
g: [0,2π[→R, g(x)=cos
x+ 7π 4 +1 2 Soluci ´on Eje y
g(0)=cos
0+ 7π 4
+ 1 2 =
√
2+1 2 ⇒ 0,
√
2+1 2
!
Eje x
0=cos
x+ 7π 4
+ 1
2 ⇔cos
x+ 7π 4
=−1
2 Recu´erdese que cos β
es negativo para ´angulos cuyo lado terminal se ubica en el
segun-do y tercer cuadrante. Particularmente cos β = −1
2 para β = 2π
3 , β = 4π
3 o cualquier coterminal con estos, es decir,β= 2π
3 +2kπ, β= 4π
3 +2kπ, k∈Z De lo anterior se deduce que
x+7π 4 =
2π
3 +2kπ⇔x= 2π
3 +2kπ− 7π
4 =
−13π
12 +2kπ
x+ 7π 4 =
4π
3 +2kπ⇔ x= 4π
3 +2kπ− 7π
4 =
−5π
12 +2kπ
Para determinar los valores en el intervalo [0,2π[ =
0,24π 12
se dan valores ak ∈ Z(note
que las medidas de los ´angulos son positivas, por lo que se debe iniciar conk=1)
• Sik=1 entoncesx= 11π 12 ox=
19π 12
• Sik≥2 los valores NO pertenecen al intervalo
Luego, los puntos de intersecci ´on son
11π
12 ,0
, 13π
12 ,0
Trigonometr´ıa 47
4.4.
Sustituciones trigonom´etricas
En esta secci ´on se podr´a explorar la relaci ´on que se puede establecer entre una funci ´on alge-braica (que involucra polinomios, radicales, fracciones) y una funci ´on trigonom´etrica.
Al hacer referencia a sustituciones se debe entender que ha de identificarse una expresi ´on par-ticular en el criterio de la funci ´on algebraica para sustituirla por una expresi ´on trigonom´etrica. A continuaci ´on se muestran las expresiones algebraicas que se deben identificar y la sugerencia para la sustituci ´on o cambio de variable:
Expresi ´on en el criterio algebraico Sustituci ´on trigonom´etrica Dominio paraθ
√
b2x2+a2 x= a
btan (θ) θ∈
−π 2 , π 2 √
b2x2−a2 x= a
bsec (θ) θ∈
0,π 2
√
b2a2−x2 x= a
bsen (θ) θ∈
−π
2 ,
π 2
Debe aclararse que cuando se realiza una sustituci ´on, el nuevo criterio debe expresarse en su totalidad en t´erminos de la nueva variable, es decir, no es admisible que se tengan las dos variables. Adem´as debe considerarse la redefinici ´on del dominio para la funci ´on trigonom´etrica resultante.
Ejemplo 18. Considere la funci´on g : R − {0} → R, g(x) = 1
x
√
x2+49. Utilice una sustituci´on
trigonom´etrica adecuada para obtener el criterio de una funci´on trigonom´etrica, simplificado al m´aximo. Soluci ´on
La sustituci ´on que debe emplearse esx=atan (θ) cona=7 yθ∈ −π 2 , π 2 .
El criterio toma la forma
g(θ)= 1
7 tan (θ)
q
(7 tan (θ))2+49
= 1
7 tan (θ) p49 tan2(θ)+49
= 1
7 tan (θ) p49(tan2(θ)+1) Utilizar identidad
= 1
7 tan (θ) p49 sec2(θ) sec (θ)>0 paraθ
∈ −π 2 , π 2 = 1
7 tan (θ)·7 sec (θ)
p
= 1
49 tan (θ) sec (θ) Utilizar identidades
= 1
49sen(cos(θθ))· 1 cos(θ)
= 1 49cossen(2(θθ))
= cos2(θ) 49 sen (θ)
Ejemplo 19. Obtenga, en forma simplificada, el criterio de la funci´on trigonom´etrica considerando la funci´on
p:h− √
2,
√
2i→R, p(x)=x3 √
2−9x2
haciendo uso de una sustituci´on trigonom´etrica apropiada. Soluci ´on
N ´otese que en este casoa=
√
2, b =3 y la sustituci ´on esx=
√
2
3 sen (θ) paraθ∈
−π 2 , π 2 .
El criterio de la funci ´on trigonom´etrica corresponde a:
p(θ)=
√
2
3 sen (θ)
!3 s
2−9 √
2
3 sen (θ)
!2
=
√
8 27 sen
3(θ)
r
2−9· 2
9sen
2(θ)
=
√
8 27 sen
3(θ) p2−2 sen2(θ)
=
√
8 27 sen
3(θ) p
2 (1−sen2(θ)) Utilizar identidad
=
√
8 27 sen
3(θ) p
2 cos2(θ) cos (θ)>0 paraθ∈ −π 2 , π 2 = √ 8 27 sen
3(θ)
√
2 cos (θ) pcos2(θ)=|cos (θ)|=cos (θ)
=
√
16 27 sen
3(θ) cos (θ)
= 4 27sen
3(θ) cos (θ)
Ejercicios 5.
I.Considere la funci´on f :R− {0} → R, f(h)= cos (x+h)
−cos (x)
h .
Reescriba el criterio, haciendo uso de identidades trigonom´etricas, para obtener f(h)= cos(x) [1−cos(h)]
h −
Trigonometr´ıa 49
II.Determine los puntos de intersecci´on con los ejes de la gr´afica de la funci´on
n: [−π,2π]→R, n(α)=2 sen2(α)−3 sen(α)+1
III.Considere la funci´on t: ]−∞,−5]∪[5,+∞[ [→R, t(u)= √
2u2−25
u .
Utilice una sustituci´on trigonom´etrica adecuada para obtener el criterio de una funci´on trigonom´etrica, simplificado al m´aximo.
Ejercicios Complementarios 4.
1. A continuaci´on se le presentan las gr´aficas de las funciones f(x)= cosx, g(x)= cscx y h(x)= cotx. Asocie en cada caso las caracter´ısticas que se le presentan sobre la funci´on.
f
−3π
4
´ Ambito
Estrictamente creciente en Periodo
Intersecci´on con eje y
A.(0,1) B.2π C.−
√
2 2 D.[−1,1]
g
−3π
2
+g
3π
2
´ Ambito
Ecuaci´on de as´ıntota Dominio
Periodo
A.0
B.]−∞,−1]∪[1,+∞[
C. x=0 D.2π
Trigonometr´ıa 51
Dominio ´
Ambito
Ecuaci´on de as´ıntota Periodo
Intersecci´on con eje x
A.
−3π
2 ,0
B.R
C.π
D.R− {kπ,k∈ Z}
E. x=2π
2. Reescribir el criterio de cada funci´on trigonom´etrica utilizando identidades para obtener el criterio indicado. Considere cada funci´on definida en su respectivo dominio.
Para modificar el criterio de la funci´on m puede emplear la identidadtan(α±β)= tan (α)±tan β
1∓tan (α) tan β
Criterio Criterio con identidades aplicadas debe tener
f(x)= 1−tan (x)
sen (x)−cos (x) sec (x)
g(x)= tan (x)−sen (x)
sen3(x) cos (x)
h(u)= cos u 2+ π 2
+sen (u+π)
u sen
u
2
, sen (u),u j(x)= 1−cos(2x)
sen2x constante
k(x)= 1 2−cos
π
3 −x
x cos (x), sen (x), x m(h)= tan(x+h)−tan (x)
h m(h)=
tanh(sec2x)
h(1−tanxtanh)
que el nuevo criterio no contenga radicales y est´e simplificado al m´aximo. Definada adecuadamente el dominio para la expresi´on que sustituir´a.
a) f :R →[2,+∞[, f(x)=
√
x2+4
b) g:
−4
5 , 4 5
→[0,4], g(x)= √
16−25x2
c) h:i−∞,− √
3i→[0,+∞[, h(x)= √
x2−3
d) j :h− √
5,
√
5i− {0} →R, j(x)= √
5−x2
x
e) k:R →
" 0, √ 7 7 #
k(x)= √ 1
7+x2
f) m: [2,+∞[→
0,1 4
, m(x)=
√
x2−4
x2
4. Determine las intersecciones con los ejes de la gr´afica de cada funci´on. Para las intersecciones con el eje x considere cada dominio.
a) f(x)=2 cos (x)−1, x∈]−2π,2π[
b) g(x)=2 sen (x)− √
3, x∈ −5π
3 , 5π
2
Trigonometr´ıa 53
d) j(x)=4 cos2(x)−1, x∈[0,2π[
e) p(x)=(2 cos (x)+
√
3)(2 sen (x)−1), x∈[0,2π[
f) r(x)=2 sen2(x)−cos (x)−1, x∈]−2π,2π[
g) q(t)=sen(2t) cos (t)+sen (t) cos(2t), x∈[0,2π[
h) s(x)=sen (x) tan (x)−sen (x), x∈[0,2π[
i) k(t)=tan (2t)− √
3, x∈]0,2π[− π 4, 3π 4 , 5π 4 , 7π 4
j) t(x)= −2 cos (x) sen (x)
cos2(x)+1 , x∈]−2π,2π[
k) u(t)=sen
x− π
3
, x∈ ]−2π,2π[
4.5.
Acercamiento a C´alculo
La habilidad para transformar el criterio de una funci ´on trigonom´etrica mediante identidades es fundamental para el curso de C´alculo pues se requiere en el c´alculo de l´ımites y posterior-mente para la resoluci ´on de integrales.
Calcule l´ım x→π
4
cos(2x)+sen(4x) 4x−π
Debe notarse que la funci ´on f(x)= cos(2x)+sen(4x)
4x−π presenta indefinici ´on enx= π
4 de la forma 00. Como se tiene una expresi ´on algebraica en el denominador entonces se sugiere hacer un cambio de variableu=4x−πde donde u+π
2 =2xyu+π=4x Con lo anterior el criterio tomar´ıa la forma f(u)= cos
u+π
2
+sen(u+π) u
Utilizando identidades trigonom´etricas se tiene
f(u)= cos
u
2
cosπ2−senu
2
Por lo tanto
l´ım x→π
4
cos(2x)+sen(4x)
4x−π = l´ımu→0
cosu2cosπ2−senu
2
senπ2+senucosπ+senπcosu u
= l´ım u→0
cosu2·0−senu
2
·1+senu· −1+0·cosu
u = l´ım
u→0
−senu
2
−senu
u = l´ım
u→0
−senu
2 u − senu u = l´ım
u→0
−senu
2
2u2 − senu
u
= −1 2 −1 = −3
2
Las funciones trigonom´etricas tambi´en las encontrar´a presentes en los temas Derivaci ´on e Integraci ´on. En este ´ultimo se destacan dos contenidos: sustituci ´on trigonom´etrica y sus-tituci ´on de tangente del ´angulo medio.
Resuelva
Z
x3
√
4−x2dx
Como se tiene la expresi ´on
√
4−x2entonces la sustituc´ıon que corresponde esx=2 senθ
de dondex3 =8 sen3θydx=2 cosθdθ. Con esto el criterio de la funci ´on se transforma y
la integral que debe resolverse es
Z
8 sen3θ
√
4−4 sen2θ·2 cosθdθ= Z
16 sen3θcosθ
√
4−4 sen2θdθ
=
Z
16 sen3θcosθp4 (1−sen2θ)dθ
=
Z
16 sen3θcosθ
√
4 cos2θdθ
=
Z
16 sen3θcosθ·2|cosθ|dθ
=
Z
32 sen3θcosθcosθdθ
=
Z
Trigonometr´ıa 55
=
Z
32 sen2θsenθcos2θdθ
=
Z
321−cos2θsenθcos2θdθ
=32
Z
cos2θ−cos4θsenθdθ
Seau=cosθ,du=−senθdθ
=32
Z
u2−u4· −du
=−32 u
3 3 − u5 5 ! +C
−32 cos
3θ
3 −
cos5θ
5
!
+C
Como x
2 =senθentonces cosθ=
√
4−x2
2 y
Z
x3
√
4−x2dx=−32 √
4−x2
2 3 3 − √
4−x2
2 5 5 +C Resuelva Z 1
4 cosx+3 senx dx
Para modificar el criterio de la funci ´on trigonom´etrica a uno algebraico se procede con las sustituciones:
u=tanx2⇒arctanu= x
2
senx= 2u 1+u2
cosx= 1−u
2
1+u2
Se tiene entonces
Z
1 4· 1−u2
1+u2 +3· 1+u2u2
· 2
1+u2 du =
Z
1
4−4u2+6u
1+u2
· 2
1+u2 du
=
Z
1+u2
4−4u2+6u ·
2 1+u2 du
=
Z
2
4+6u−4u2 du
=
Z
1
2+3u−2u2 du
=
Z
1
(2−u)(1+2u) du
=
Z 1
5
2−u+
2 5
1+2u du = −1
5ln|2−u|+ 1
5ln|1+2u|+C = −1
5ln
2−tan x 2 + 1 5ln
1+2 tan
Cap´ıtulo
5
Funciones trigonom´etricas inversas
Algunas de las funciones trigonom´etricas estudiadas en el curso corresponden a:
1. f :R → [−1,1], f(x)=sen (x)
2. g:R → [−1,1], g(x)=cos (x)
3. h:R−
(2k+1)π
2, con k∈ Z
→R, h(x)=tan (x)
Las funciones definidas anteriormente son sobreyectivas pero no inyectivas, por lo que no se puede definir la funci ´on inversa de cada una de ellas. Se pueden redefinir para tales efectos de la siguiente forma:
a) f :
−π
2,
π
2
→ [−1,1], f(x) =sen (x) como se puede observar en la gr´afica de la Figura 1 la
funci ´on es inyectiva (estrictamente creciente en el dominio dado) y sobreyectiva (´ambito igual al codominio).
Figura 1.
b) g : [0, π] → [−1,1], g(x) = cos (x) al observar su representaci ´on gr´afica en la Figura 2 se
destaca que es una funci ´on inyectiva y sobreyectiva .
Figura 2.
c) h:
π
2,
π
2
→ R, h(x)=tan (x) observe su representaci ´on gr´afica en la Figura 3 y compruebe
que es una funci ´on biyectiva.
Figura 3.
Trigonometr´ıa 59
f−1
: [−1,1] →
−π
2,
π
2
, f−1
(x)=sen−1
(x)=arc sen (x)
g−1: [−1,1] → [0, π], g−1
(x)=cos−1(x)=arc cos (x)
h−1
:R →
π
2,
π
2
, h−1
(x)=tan−1
(x)=arctan (x)
As´ı se tienen tres nuevas funciones cuyas gr´aficas se presentan en la Figura 4:
Figura 4.
Este tipo de funciones se estudian en el curso de C´alculo al trabajar l´ımites, derivaci ´on e inte-graci ´on.
A continuaci ´on se presentan algunos ejemplos para determinar el valor de una expresi ´on trigo-nom´etrica inversa.
Ejemplo 20. Determine el valor exacto de m
−1
2
si m(x)=arc sen(x)
arcsen
−1
2
=y como−1≤ −1
2 ≤1, entonces−
π
2 ≤ y≤
π
2
⇔sen
arc sen
−1
2
=sen(y) se aplica la propiedad(f ◦ f−1
)(x)=x
⇔ −1
2 =sen(y)
⇔ −π
6 = y as´ısen
−π
6
= −1 2 .
Ejemplo 21. Determine el valor exacto de n(0)si n(t) arc cos(t)
Soluci ´on
arc cos (0)= y como−1≤0≤1entonces0≤ y≤π
⇔cos (arc cos (0))=cos(y) se aplica la propiedad(f ◦ f−1 )(x)
⇔0=cos(y)
⇔ π
2 = y as´ıcos
π
2 =0
∴ arc cos(0)= π 2
Ejemplo 22. Determine el valor exacto de u(1)para u(x)=arctan(x)
Soluci ´on
arctan(1)= y como1∈Rentonces−π
2 < y<
π
2
⇔tan(arctan(1))=tan(y) se aplica la propiedad(f ◦ f−1)(x)
⇔1=tan(y)
⇔ π
4 = y tangente es positiva en el I cuadrante, as´ıtan
π
4 =1
Trigonometr´ıa 61
Cuando aparecen ejercicios combinados se recomienda trabajar por partes el ejercicio, a conti-nuaci ´on se ejemplifica.
Ejemplo 23. Determine el valor exacto decscarctan(− √
3).
Soluci ´on
Paso 1Se resuelvearctan(− √
3)
arctan(− √
3)=y como
√
3∈Rentonces−π
2 < y<
π
2
⇔tanarctan(− √
3)=tan(y) se aplica la propiedad(f ◦ f−1)(x)
⇔ − √
3=tan(y)
⇔ −π
3 = y as´ıtan
−π
3
=− √
3
Paso 2Calcularcsc
−π
3
se usa la identidadcsc(−α)=−csc(α)
⇔csc
−π
3
= −csc π
3
= 1 sen
π
3
= √2
3
∴ cscarctan(− √
3)=−√2
Ejemplo 24. Determine el valor exacto de la expresi´on trigonom´etricacos−1
sen
5π
6
= y.
Soluci ´on
Paso 1Calcularsen
5π
6
sen
5π
6
= 1
2 el ´angulo est´a en II cuadrante donde seno es positivo
Paso 2Resolvercos−1
1
2
como−1≤ 1
2 ≤1entonces0≤x≤π
⇔cos
cos−1
1
2
=cos(y) se aplica la propiedad(f ◦ f−1)(x)
⇔ 1
2 =cos(y)
⇔ π
3 = y coseno es positivo en el I cuadrante, as´ıcos
π
3
= 1 2
∴cos−1
sen
5π
6
Trigonometr´ıa 63
Ejercicios 6.
I.Determine el valor exacto de la expresi´on trigonom´etrica
a. arctan −
√
3 3
!
b. arc cos −
√
2 2
!
c. cossen−1 (−1)
II.Determine la funci´on trigonom´etrica que cumple las condiciones dadas en cada caso.
a. Funci´on estrictamente creciente y con ´ambito
−π
2 ,
π
2
.
b. La imagen de0es0y el dominio de la funci´on esR.
c. El dominio de la funci´on es[−1,1]y la preimagen de 2π
3 es
−1
2 .
Ejercicios Complementarios 5.
1. A continuaci´on se le presentan las gr´aficas de las tres funciones trigonom´etricas inversas principa-les. Determinar si las afirmaciones con verdaderas (V) o falsas (F). En caso de ser falsas, determinar la respuesta correcta.
f : [−1,1]→ −π
2 ,
π
2
a) f es estrictamente decreciente b) arc sen(1)= −π
2
c) La preimagen de −π 6 es
−1
2
d) arc sen
sen
4π
3
= 4π 3
g: [−1,1]→[0, π], g(x)=arc cos(x)
a) La gr´afica interseca el eje y en
π
2,0
b) (0,1)es un punto de la gr´afica
c) arc cos −
√
3 2
!
= π 3
d) arc cos
cos
3π
4
= 3π 4
h:R →
−π
2 ,
π
2
Trigonometr´ıa 65
a) La gr´afica es c´oncava en]0,+∞[y convexa en]−∞,0[
b) arctan(1)= −π 4
c) La imagen de−
√
3es −π 3
d) arctan(tan(0)= π 2
5.1.
Acercamiento a C´alculo
Considerando que las funciones trigonom´etricas inversas son estudiadas en C´alculo desde la derivaci ´on y la integraci ´on, a continuaci ´on se muestra c ´omo se puede determinar la derivada de una de estas funciones.
Para la funci ´on definida por f(x)=arc senxse cumple que
y = arc senx seny = sen(arc senx) seny = x
Comoy∈ −π
2 ,
π
2
entonces se puede considerar un tri´angulo rect´angulo como el que se mues-tra
De seny = x se tiene por derivaci ´on impl´ıcita que cosy· y0 =
1, esto es que y0 = 1
cosy. Del tri´angulo se deduce que cosy=
√
1−x2y por lo tanto la derivada de la funci ´on f es
[arc senx]0 = √ 1
Considere la funci ´on con criterio g(x)=arctanx De forma an´aloga a lo anterior
y = arctanx tany = tan(arctanx) tany = x
El tri´angulo rect´angulo es el siguiente
Determine el valor de secy= y sec2y=
Para determinar la derivada degse tiene que tany = x
⇒sec2y·y0 = 1
y0 = 1
sec2y
