Vectores en la misma dirección y sentidos contrarios: En este caso el

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Apuntes Física y Química 1ºBAT -53-

TEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL

5.1 Magnitudes físicas 5.2 Vectores

5.3 Suma de vectores. Vector resultante

5.4 Descomposición vectorial. Componentes de un vector 5.5 Producto de un escalar por un vector. Vectores unitarios 5.6 Suma analítica de vectores

5.7 Producto escalar de dos vectores

5.1 MAGNITUDES FÍSICAS

La Física (y cualquier disciplina científica en general), se encarga de estudiar aquellas características o propiedades de los cuerpos que pueden ser medidas. Es decir, estudia magnitudes físicas.

Existen dos tipos de magnitudes físicas:

Magnitudes escalares: Para indicar su valor basta con indicar un número y la unidad correspondiente. Ejemplos de estas magnitudes: Masa, Tiempo, Volumen, Temperatura, Densidad...

Magnitudes vectoriales: Para indicar su valor no basta con indicar un número y una unidad (módulo), habrá que dar información sobre en qué dirección va, y en qué sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales: Velocidad, Fuerza, Aceleración...

Sobre estas magnitudes vectoriales centraremos nuestro estudio en este tema.

5.2 VECTORES

Un vector es la entidad matemática que nos servirá para definir, con todas sus características, una magnitud vectorial. No es más que un segmento orientado (una flecha). Lo cual significa que son segmentos a los que se les asigna un origen (o punto de aplicación) y un extremo, donde se suele dibujar una punta de flecha.

En todo vector podemos distinguir las siguientes características:

Módulo: Se refiere a la longitud del segmento y mide la "intensidad" de la magnitud, por lo que siempre es un número positivo. Sus dimensiones no tienen por qué ser las de una longitud. Así el módulo de una fuerza se medirá, en el SI, en newton (N), el de una velocidad en m/s.

Dirección: Se define como la recta que contiene al vector. La dirección en un plano se determina por un ángulo, que es el que existe entre una dirección de referencia y la dirección que deseamos indicar, medido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

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5.3 SUMA GRÁFICA DE VECTORES. VECTOR RESULTANTE

Sumar magnitudes vectoriales exige que no solo se deba tener en cuenta el módulo de esas magnitudes, sino que también influyen las direcciones y sentidos de las mismas, de un modo determinante.

Denominamos RESULTANTE de un conjunto de vectores a otro vector que puede sustituir a ese conjunto, de modo que su obtención se realiza operando con los vectores a los que va a sustituir.

El vector resultante de otros dos se puede calcular gráfica y analíticamente. Vamos a estudiar la parte gráfica en este punto y dejaremos para más adelante la analítica.

Gráficamente es fácil sumar dos vectores: sólo hay que dibujar el primer vector, teniendo en cuenta su módulo dirección y sentido, y dibujar, a partir del extremo del primer vector, el segundo vector. La suma de ambos vendrá dada por el vector resultante de unir el origen del primer vector con el extremo final del segundo.

Igualmente se puede obtener el vector suma, dibujando los dos vectores en un punto origen común (teniendo en cuenta para hacer el dibujo el módulo, la dirección y sentido), y construyendo el paralelogramo que se forma con ambos vectores. El vector suma vendrá dado por la diagonal de dicho paralelogramo, desde el origen común. (Ver figuras)

Hay que tener en cuenta, que si representamos por u y v los módulos de los vectores, el módulo de u+v no es igual a la suma de los módulos respectivos. Es decir que la suma de dos fuerzas de 5 y 7 N, respectivamente, no tiene porque valer 12 N.

El módulo del vector resultante lo aprenderemos a calcular más adelante, pero hay tres situaciones en las que si podemos saber su valor. Vamos a estudiarlas:

Vectores en la misma dirección y el mismo sentido: En este caso el módulo de la suma coincide con la suma de los módulos. La dirección del vector suma será la misma y también su sentido.

Vectores en la misma dirección y sentidos contrarios: En este caso el módulo de la suma es igual a la resta de módulos. La dirección del vector suma será la misma que la de los dos vectores y el sentido será el del mayor módulo.

Vectores en direcciones perpendiculares: En este caso se forma un triángulo rectángulo entre los dos vectores y el vector suma tendrá de módulo el determinado por el teorema de Pitágoras: . A

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5.4 DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL. COMPONENTES DE UN VECTOR

Podríamos considerar esta operación como la inversa de la suma. Consiste en obtener, a partir de un vector, otros dos o más, de manera que la suma de éstos últimos sea el vector inicial. Por ejemplo la descomposición del peso, en un plano inclinado en Px y Py.

Entre todas las descomposiciones que se puede hacer de un vector, la más habitual es la que nos permite definir las componentes de un vector según las direcciones de los ejes coordenados. Las componentes de un vector se representan con los subíndices correspondientes a los ejes. Se pueden calcular a partir de las expresiones siguientes:

AX = A · cosα

AY = A · sen α

En el caso de trabajar en tres dimensiones:

5.5 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. VECTORES UNITARIOS

Se puede considerar el producto como un caso particular de la suma de vectores, ya que multiplicar un número cualquiera k (escalar), por un vector no es más ‘sumar k-veces’ ese vector. El resultado de esta operación será, lógicamente, otro vector. De él podrá decirse que conservará la misma dirección que el vector original, su módulo deberá ser el resultado de multiplicar el escalar por el módulo del vector, y conservará el sentido del vector original si el número por el que multiplicamos es positivo. En caso contrario, el sentido se invertirá.

El trabajo con las componentes de un vector, que es una operación frecuente en física, se simplifica si se introduce la idea de vectores unitarios. En general, un vector unitario es un vector de módulo unidad.

En física resultan de extrema utilidad para expresar una magnitud vectorial de un modo más completo. Muchas magnitudes físicas, de carácter vectorial, quedan definidas completamente con ayuda de un vector unitario. De modo que la magnitud vectorial puede interpretarse fácilmente como el resultado del producto de un escalar “a” por un vector de módulo la unidad. De modo que el módulo de la magnitud vectorial viene marcado por el valor del escalar "a" y la dirección por el vector unitario.

α

Y el módulo del vector se puede calcular a partir

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De todos los vectores unitarios los más importantes son los que tienen la dirección de los ejes coordenados. En dos dimensiones son para el eje X: y para el eje Y: ; y si se trabaja en tres dimensiones se añade para el eje Z: .

Teniendo en cuenta los vectores unitarios, las componentes de un vector las podremos escribir como el producto de su módulo por el vector unitario según su dirección:

En el plano: ; y en el espacio:

5.6 SUMA ANALÍTICA DE VECTORES

Una vez hemos estudiado que un vector se puede escribir a partir del producto de sus componentes por sus respectivos vectores unitarios; y que, por otro lado, las componentes de un vector se pueden calcular a partir de su módulo y su ángulo, ya podemos calcular el módulo del vector resultante de dos vectores. El procedimiento a seguir será el siguiente:

1) A partir de los módulos de los vectores y sus respectivos ángulos, expresaremos los vectores en función de sus componentes.

2) Ya podremos calcular el vector sumando las componentes de .

3) Una vez sepamos las componentes de ya podremos calcular su módulo y ángulo:

5.7 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores es un escalar (un número) que se calcula mediante la siguiente expresión: (en la que α es el ángulo que forman los dos vectores)

El producto escalar también se puede calcular a partir de sus componentes:

Esta expresión la podemos demostrar. El producto de lo podríamos calcular aplicando la propiedad distributiva, quedando un conjunto de nueve sumandos:

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En cada uno de los nueve sumandos encontramos el producto de dos vectores unitarios. Teniendo en cuenta la definición de producto escalar:

Los demás productos escalares de vectores unitarios valdrán 0 ya que se dichos vectores unitarios, al tratarse de vectores en las direcciones de los ejes coordenados, forman entre sí un ángulo de 90º. Por ejemplo:

De este modo, los nueve sumandos se transforman en tres, quedando demostrado la forma matemática de calcular el producto escalar: