Problema 1
Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone cómo se modificarían:
a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie. b) Su órbita alrededor del Sol. Solución:
a) Si sustituimos el radio de la Tierra por su mitad en la expresión de la intensidad de campo gravitatoria que no es otra que el módulo del campo gravitatorio, obtenemos que esta se cuadruplica.
0
2
4
4
2
E
R
M
G
R
M
G
E
T T
T T
f
=
=
=
b) En cuanto a su órbita el periodo según la tercera ley de Kepler:
8
8
2
1 2 3
2 2 3 1 2 1 3 2 2 3
2 1 3 2 2 2 3 1 2
1
T
T
R
T
R
T
R
T
R
T
R
T
R
T
T T
T
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Problema 2
Un satélite orbita a 20.000 km de altura sobre la superficie terrestre. (G = 6’67·10-11 Nm2kg-2; RT = 6370 km ; MT = 6·10
24
kg)
a) Calcule su velocidad orbital. b) Razone cómo se modificarían sus energías cinética y mecánica si su altura se redujera a la mitad.
Solución:
a) Sustituimos en la expresión de la velocidad orbital
=
+
=
=
=
m
h
R
R
s
m
R
GM
v
T Orb
Orb T sat
000
.
370
.
26
/
68
'
895
.
3
b) A medida que nos acercamos más a la superficie terrestre, la atracción gravitatoria se hace más intensa. Esto supone una mayor energía potencial, en valor absoluto, y se necesitaría, pues mayor velocidad para mantener la órbita. Esto supone aumentar también la velocidad.
0 0
2
1
2
1
M f M de e mas gran ion se hac y la fracc
altura ay menos al final h
T T M
C f C altura ay menos al final h
T T C
E
E
h
R
m
M
G
E
E
E
h
R
m
M
G
E
>
→
+
−
=
>
→
+
=
Problema 3
a) El campo y potencial de la primera masa:
−
=
−
=
−
=
⇒
=
=
=
+
=
=
−
=
− − −kg
J
V
kg
N
E
u
m
r
m
r
/
10
·
34
'
8
/
)
0
,
10
·
08
'
2
(
)
0
,
1
·(
10
·
08
'
2
)
0
,
1
(
4
)
0
,
4
(
ˆ
4
0
4
)
0
,
4
(
)
3
,
0
(
)
3
,
4
(
11 1 11 11 1 1 2 2 1 1r
r
r
El campo y potencial de la primera masa:
−
=
−
=
−
=
⇒
=
=
=
+
=
=
−
=
− − −kg
J
V
kg
N
E
u
m
r
m
r
/
10
·
22
'
2
/
)
10
·
41
'
7
,
0
(
)
1
,
0
·(
10
·
41
'
7
)
1
,
0
(
3
)
3
,
0
(
ˆ
3
3
0
)
3
,
0
(
)
0
,
4
(
)
3
,
4
(
10 2 11 11 2 2 2 2 2 2r
r
r
El campo y potencial resultantes:
kg J V V V kg N E E E / 10 · 054 ' 3 10 · 22 ' 2 10 · 34 ' 8 / ) 10 · 41 ' 7 , 10 · 08 ' 2 ( ) 10 · 41 ' 7 , 0 ( ) 0 , 10 · 08 ' 2 ( 10 10 11 2 1 ) 3 , 4 ( 11 11 11 11 2 1 ) 3 , 4 ( − − − − − − − − = − − = + = − − = − + − = +
=r r
r
b) Como ya tenemos el potencial en el punto (4,3) solo necesitamos calcular el potencial en
(0,0) para obtener la diferencia de potencial y multiplicando por la masa obtendremos la
diferencia de energía potencial y por tanto la masa.
J E W J V m E Kg J V V V kg J V V V P P 11 ) 0 , 0 ( ) 3 , 4 ( 11 11 ) 3 , 4 ( ) 0 , 0 ( 10 10 10 2 1 ) 0 , 0 ( 10 · 48 ' 5 10 · 48 ' 5 / 10 · 74 ' 2 / 10 · 78 ' 2 10 · 67 ' 1 10 · 11 ' 1 − − − − − − − = ∆ − = ⇒ = ∆ = ∆ ⇒ = − = ∆ ⇒ − = − − = + =
El trabajo no depende de la trayectoria seguida pues el campo gravitatorio es conservativo.
Problema 4
La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su diámetro 10 veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol, expresado en años terrestres. (gO= 10 m/s
2
; radio orbital terrestre = 1’5·1011m). Solución:
a) Calculemos la aceleración de la gravedad en Júpiter con respecto a la de la Tierra y esa será la relación de pesos:
Kg
P
P
g
R
M
G
R
M
G
R
M
G
R
M
G
g
T J TT T T T T T J J J
225
3
·
3
3
·
100
·
300
)
·
10
(
·
300
0 2 2 2 20
=
=
=
=
=
⇒
=
=
b) Utilizamos la tercera ley de Keppler:
Problema 5
a) La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su periodo de traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. Determine razonadamente la masa de la Tierra. b) Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital? (G = 6’67·10-11 Nm2kg-2).
Solución:
a) Según la expresión del periodo de un satélite:
Kg GT
R M
GM R T
GM R T
sat Orb T
T Orb sat
T Orb sat
24 2
3 2 3
2 2 3
10 · 06 ' 6 4
4
2 ⇒ = ⇒ = =
=
π
π
π
b) Podemos utilizar de nuevo la expresión del periodo de un satélite, pero lo vamos a hacer con la tercera ley de Keppler:
horas 21 y días 9 21
24 · 883 ' 0
883 ' 9 292 ' 26 292
' 0 /
24 6
2
1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 2 1
1
=
⇒
=
= =
⇒
=
⇒
=
=
⇒
=
T horas
días T
R R T T R R T R T
R T
días T
días día
horas horas
Problema 6
Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le imprime la velocidad necesaria. Se desprecia la fricción con el aire.
a)Explique los cambios energéticos del objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza una altura h y calcule su energía mecánica a una altura de 1000 m.
b)¿Qué velocidad inicial sería necesaria para que alcanzara dicha altura? (G = 6’67·10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 6·1024 kg)
Solución:
a) La energía cinética de que dispone al principio el objeto se irá transformando, a medida que éste suba, en energía potencial. Esto ocurrirá hasta el instante en que se anule la velocidad obteniendo la altura máxima.
+ − =
=
→
− =
=
h R
m M G E
J E
R m M G E
mv E
T T A
P B C
T T A
P
A A
C 0
2 1
(B) hasta subir Al 2
b) Utilizamos la conservación de la energía mecánica:
s m h
R R GM v
h R
m M G R
m M G mv h
R m M G R
m M G mv E
E
T T T A
T T T
T A
T T T
T A
B M A M
/ 44 ' 140 1
1 2
2 1 0
2
1 2 2
=
+ − =
⇒
⇒
+ − =
⇒
+ − = −
⇒
a) Explique las analogías y diferencias entre las interacciones gravitatoria y electrostática. b) ¿Qué relación existe entre el período y el radio orbital de dos satélites?
Solución:
a) Las analogías son:
1. Ambas son inversamente proporcionales a la distancia y directamente proporcionales al producto de las masas o cargas que interactúan.
2. Son campos conservativos con lo cual el trabajo que realizan es independiente de la trayectoria.
3. Son campos centrales pues su dirección pasa por el centro de la partícula que crea el campo. Las diferencias son:
1. La contante gravitatoria es muy pequeña en comparación con la electrostática K=1’35·1020·G 2. La contante gravitatoria es universal, con lo cual su valor no cambia según sea el medio donde se produce la interacción. La constante electrostática no es universal y su valor cambia con el medio.
3. Solo hay un tipo de masa con lo cual el campo gravitatorio es siempre atractivo. Esto produce un efecto acumulativo. Cuanto mayor sea la aglomeración de materia, mayor intensidad tiene el campo. Cargas hay de dos tipos, positivas y negativas, debido a lo cual el campo electrostático es atractivo para cargas negativas y repulsivo para cargas positivas. En grandes aglomeraciones de materia se mezclan cargas de ambos tipos dando una carga neta despreciable anulando el campo electrostático.
Problema 8
Un satélite artificial de 400 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. A dicha altura el valor de la gravedad es la tercera parte del valor en la superficie de la Tierra. a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en órbita y calcule su energía mecánica.
b)Determine el período de la órbita. ( g = 9’81m/s2; RT = 6370 km).
Solución:
a) No hay que realizar trabajo pues la fuerza gravitatoria es conservativa y el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. Si tenemos en cuenta que la gravedad se reduce a la tercera parte:
T T
T T
T T
T T
T T o
h
R
h
R
R
h
R
R
h
R
R
M
G
h
R
M
G
g
g
·
3
3
)
(
3
1
)
(
1
3
1
)
(
3
2 2
2 2
2 2
=
+
⇒
=
+
=
+
⇒
=
+
⇒
=
También sabemos que:
J
g
m
R
m
R
g
E
m
R
g
m
h
R
h
R
M
G
E
h
R
M
G
g
h
R
m
M
G
E
R
h
R
o sat T sat
T o M
sat T h sat
T T
T M
T T h
T sat T M
T T
9 2
2
10
·
22
'
7
6
3
3
·
3
·
2
1
3
2
1
)·
·(
)
(
2
1
)
(
2
1
·
3
−
=
−
=
−
=
⇒
⇒
−
=
+
+
−
=
⇒
+
=
+
−
Problema 9
Los transbordadores espaciales orbitan en torno a la Tierra a una altura aproximada de 300 km, siendo de todos conocidas las imágenes de astronautas flotando en su interior. a) Determine la intensidad del campo gravitatorio a 300 km de altura sobre la superficie terrestre y comente la situación de ingravidez de los astronautas. b) Calcule el período orbital del transbordador. (G = 6’67·10-11 Nm2kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 6·10
24
kg). Solución:
a) Calculamos el módulo del campo gravitatorio de la Tierra a 300Km de altura sobre la superficie de la Tierra.
2
2
9
/
)
(
R
h
m
s
M
G
g
E
T T
h
=
+
=
=
La sensación de ingravidez se produce cuando, un cuerpo, está en ausencia de campo gravitatorio o se ve sometido a la influencia del mismo sin que ninguna otra fuerza se oponga. Un ejemplo es cuando estamos en caída libre. Este es uno de los procedimientos donde los astronautas entrenan con ingravidez. Suben un avión lo más alto posible y luego lo dejan en caída libre. Con respecto al habitáculo del avión los astronautas se sienten flotar aunque la realidad es que ambos, avión y astronauta, están en caída libre. Del mismo modo ocurre en la órbita del transbordador dominada exclusivamente por la fuerza gravitatoria que no sirve para atraer hacia el centro sino para mantener una órbita circular. Por decirlo de algún modo, el transbordador está permanentemente cayendo como en el caso del avión, produciendo la sensación de ingravidez en los astronautas.
b) Calculamos el periodo:
s GM
R T
T Orb
sat 2 5410
3 =
=
π
Problema 10
a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, determine la velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta.
b) Se desea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria. ¿Con qué período de revolución y a qué altura debe hacerlo?
Solución:
a) Para que un objeto salga de la influencia del campo gravitatorio de un determinado planeta debemos imprimirle velocidad que le proporcionará energía cinética suficiente para saldar la deuda energética que posee el satélite debido a la energía potencial, que es negativa. Así la suma de ambas ser nula.
R GM v
R Mm G mv R
Mm G mv E
EC P 2
2 1 0 2
1
0⇒ 2 − = ⇒ 2 = ⇒ =
= +
b) Para que un satélite posea una órbita geoestacionaria su periodo debe ser igual al periodo de rotación diaria de la Tierra, es decir 24 horas aproximadamente. Así el satélite permanecerá sobre la misma posición geográfica siempre. Este tipo de satélites se utilizar para el posicionamiento mediante GPS. Para calcular a qué altura deben de estar utilizaremos la expresión del periodo.
3 2
2
2 2 3
3 2 2 3
4 4
4 2
π
π
π
π
satOrb sat
Orb Orb
sat Orb sat
GMT R
GMT R
GM R T
GM R
En caso de tratarse de la Tierra, G = 6’67·10 Nm kgy MT = 6·10 , kg el radio orbital sería de
42.297.523’87m.
Problema 11
Un satélite de 200 kg describe una órbita circular, de radio R = 4·106m, en torno a Marte. a) Calcule la velocidad orbital y el período de revolución del satélite. b) Explique cómo cambiarían las energías cinética y potencial del satélite si el radio de la órbita fuera 2R. (G = 6’67·10-11 Nm2kg-2 ; MMarte = 6’4·10
23
kg). Solución:
a) La velocidad orbital:
s
m
R
GM
v
Orb Marte
sat
=
=
3
.
266
'
80
/
El periodo de revolución:s GM
R T
Marte Orb
sat 2 7.693'38
3 =
=
π
b) En cuanto a las energías cinética y potencial del satélite que tiene doble radio orbital, éstas se reducen a la mitad:
2 2
'
2 2
2 1 '
P
Orb sat T P
C Orb
sat T C
E R
m M G E
E R
m M G E
= −
=
= =
Problema 12
Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra.
a)Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca razonadamente su expresión. b)Conociendo el radio de la órbita y su período, ¿podemos determinar las masas de la Tierra y del satélite? Razone la respuesta.
Solución:
a) La velocidad orbital es la que debemos comunicar a un satélite para que permanezca en órbita. Debe ser tal que la fuerza gravitatoria sobre el satélite haga las veces de fuerza centrípeta. De este modo:
Orb Planeta
Orb sat Planeta
Orb sat
Centripeta
R GM v
R m M
G R
v m
F F
=
⇒
= =
2 2
ia Gravitator
·
b) En la expresión del periodo despejamos la masa del planeta:
2 3 2 3
2 2
3
4 4
2
sat Orb Planeta
Planeta Orb sat
Planeta Orb sat
GT R M
GM R T
GM R
T =
