Universidad Externado de Colombia
Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales-Facultad de Administraci´on Maestr´ıa en Gesti´on y Evaluaci´on de Proyectos de Inversi´on
Optimizaci´on Estoc´astica-Taller 1 Prof. John F. Moreno
1. Los empleados de una compa˜n´ıa se encuentran separados en tres divisiones: administraci´on, operarios de planta y ventas. La siguiente tabla indica el n´umero de empleados en cada una de las divisiones clasificados por sexo:
Mujer(M) Hombre(H) Total
Administraci´on (A) 20 30 50 Operarios de planta(O) 60 140 200
Ventas (V) 100 50 150
Totales 180 220 440
(a) Si se elige aleatoriamente un empleado:
i. ¿Cu´al es la probabilidad de que sea mujer?
ii. ¿Cu´al es la probabilidad de que trabaje en ventas?
iii. ¿Cu´al es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la divisi´on de administraci´on? iv. ¿Cu´al es la probabilidad de que trabaje en planta y sea mujer?
v. ¿Son los eventos V y H estad´ısticamente independientes? vi. ¿Son los eventos A y M estad´ısticamente independientes?
(b) Determine las siguientes probabilidades:
i. P(A∪M) ii. P(A∪Mc)
iii. P(O∩M) iv. P(M|A)
2. A partir de la definici´on de probabilidad condicional demuestre que para dos eventos cualesquiera AyB, se cumple que:
P[A|B] +P[Ac|B] = 1 siempre queP[B]6= 0.
3. En cierta estaci´on de gasolina el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente (A1), 35% utilizan gasolina
extra (A2) y el 25% utilizan ACPM (A3). De los clientes que consumen gasolina corriente, solo el 30%
llenan sus tanques (eventoB). De los que compran gasolina extra el 60% llenan sus tanques mientras que de los que consumen ACPM el 50% llenan sus tanques.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene su tanque (A2∩B)?
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque?
4. Una empresa que fabrica c´amaras de v´ıdeo produce dos modelos, una b´asico y uno de lujo. El a˜no pasados 40% de las c´amaras vendidas fueron del modelo b´asico. De los compradores del modelo b´asico, 30% compran una garant´ıa ampliada, en tanto que el 50% de los compradores del modelo de lujo hacen lo mismo. Si se sabe que un comprador seleccionado al azar tiene una garant´ıa ampliada ¿cu´al es la probabilidad de que tenga el modelo b´asico?
5. Una compa˜n´ıa proveedora de productos qu´ımicos tiene una existencia de 100 libras de un producto que vende a los clientes en paquetes de 5 libras . SeaX= n´umero de lotes que pide un cliente seleccionado al azar y suponga queX tiene la siguiente funci´on de distribuci´on de probabilidad.
x 1 2 3 4
P[X =x] 0.2 0.4 0.3 0.1
Calcule el valor esperado y la varianza deX. Luego calcule el valor esperado de libras sobrantes despu´es de que se env´ıa el pedido del siguiente cliente, y la varianza del n´umero de libras restantes.
6. Utilice la definici´on de varianza para probar que: V[aX+b] =a2V[X], donde ayb son constantes.
7. Suponga queE[X] = 5 y E[X(X−1)] = 27.5
(a) ¿Cu´al es el valor deE[X2]?
(b) ¿Cu´al es el valor deV(X)?
(c) ¿Cu´al es la relaci´on general que hay entre las cantidadesE[X], E[X(X−1)] yV[X]?
8. La funci´on de distribuci´on acumulada de probabilidad de una variable aleatoria continuaX que describe el tiempo (en a˜nos) necesario para recuperar el monto inicialmente invertido en un proyecto es:
FX(x) =
0 six <0
x2
4 si 0≤x <2
1 si 2≤x
Utilice esta funci´on para calcular:
(a) P[X≤1]
(b) P[0.5≤X≤1]
(c) P[X >0.5]
(d) La duraci´on media del tiempo de recuperaci´on. (ResuelvaFX(x) = 0.5)
(e) E[x]
(f) V(X) yσX
(g) E[X2]
9. Para una variable aleatoria discreta X la funci´on generadora de probabilidad se define como AX(S) =
P∞
n=0an·S
n, dondea
n =P[X =n]. Muestre que:
(a)
dAX(S)
(b)
d2AX(S)
dS2 |s=1=E[X(X−1)]
(c)
V[X] = d
2A
X(S)
dS2 |s=1+
dAX(S)
dS |s=1− dA
X(S)
dS |s=1 2
10. La funci´on de distribuci´on acumulada de probabilidad de una variable aleatoria continuaX que describe el tiempo de pr´estamo de un libro en una biblioteca universitaria est´a determinada por:
FX(x) =
0 six <0
x2
4 si 0≤x <2
1 si 2≤x
Utilice esta funci´on para calcular:
(a) P[X≤1].
(b) P[0.5≤X≤1].
(c) P[X >0.5].
(d) La duraci´on media del tiempo de pr´estamo. (ResuelvaFX(x) = 0.5).
(e) E[x].
(f) V(X) yσX.
(g) E[X2].
11. La distribuci´on de probabilidad conjunta de dos variablesX yY est´a determinada por:
X Y 0 1 2
0 0,025 0,015 0,010 1 0,050 0,030 0,020 2 0,125 0,075 0,050 3 0,150 0,090 0,060 4 0,100 0,060 0,040 5 0,050 0,030 0,020
• ¿Cu´al es la probabilidad deX= 1 y Y = 1?
• ¿Cu´al es la probabilidad deX≤1 y Y ≤1?
• ¿Cu´al es la probabilidad deX= 1?
• ¿Cu´al es la probabilidad deY = 1?
• Halle las funciones de densidad marginal deX yY.
12. Suponga que X yY son variables aleatorias con distribuci´on conjunta dada por:
X Y 0 1 2
1 0,2 α β
2 γ 0,1 δ
Determine los valores deα,β,γ, δ,η yκde tal manera que:
P[X= 1] = 0.4, P[X = 2] = 0.3, P[Y = 0] = 0.2y P[Y = 2] = 0.6
13. Determine E[X|Y] yE[E[X|Y]] para las variablesX yY del ejercicio anterior.
14. Considere la rentabilidad (X) asociada a un proyecto de inversi´on que cuenta con un seguro que se activa en caso de que se presenten p´erdidas, lo que hace que el inversionista solo se preocupe por la rentabilidad positiva. La funci´on de densidad de dicha rentabilidad es:
x fX(x)
0 0,5 1
2
(a) Verifique que el ´area total bajo esta curva es igual a 1. (Recuerde que el ´area de un tri´angulo es (base x altura)/2).
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la rentabilidad sea menor que 0,4?, ¿menor que 0,6?
(c) ¿Cu´al es la probabilidad de que la rentabilidad est´e entre el 0,3 y el 0,7?
(d) ¿Cu´al es el valor esperado de la rentabilidad?
(e) ¿Cu´al es la probabilidad de que la rentabilidad est´e a 0,05 de la rentabilidad esperada?
15. SeaX la cantidad de reclamaciones que se reciben en una oficina de atenci´on al cliente, entre las 10 y las 11 de la ma˜nana de un d´ıa cualquiera. SiX sigue una distribuci´on Poisson conλ= 5, determine:
(a) P[X≤8].
(b) P[X= 8].
(c) P[9≤X].
(d) P[5≤X ≤8].
(e) P[5< X <8].
(f) P[X= 0]
16. La moda de una variable aleatoria discretaX, es un valorx∗ para el cual P[X =x∗] es m´axima.
(a) SeaX∼Bin(n, p). Considere la relaci´onPP[X[X==x+1]x] y demuestre queP[X =x] aumenta conxsiempre quex < np−(1−p). Concluya que la modax∗es el entero que satisface (n+ 1)p−1≤x∗≤(n+ 1)p.
(b) Demuestre que si X tiene distribuci´on Poisson con par´ametroλ, la moda es el entero m´as grande menor queλ. Siλes un entero demuestre que tantoλ−1 comoλson modas.
17. SeaZ una variable normal est´andar y calcule las siguientes probabilidades. Trace la figura en cada caso.
(a) P[0≤Z≤2.17]
(b) P[0≤Z≤1]
(c) P[−2.50≤Z≤0]
(d) P[−2.50≤Z≤2.50]
(e) P[Z≤1.37]
(g) P[−1.50≤Z≤2]
(h) P[1.37≤Z≤2.50]
(i) P[1.50≤Z]
(j) P[|Z| ≤2.50]
