Soluciones de Representación de Funciones en PAU CyL

Texto completo

(1)

Soluciones de Representación de Funciones en PAU CyL

1.- Sea

2 3 3

( )

1 x x f x

x

 

 (PAU junio 2011)

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. (2 puntos)

b) Esbozar su gráfica. (0,5 puntos)

Solución

a)

( ) es creciente en ( , 0) (2 , ) ( ) es decreciente en (0 , 1) (1 , 2) Monotonía y Extremos :

( ) presenta máximo relativo en 0, de valor 3 ( ) presenta mínimo relativo en 2, de valor

f x f x

f x x y

f x x

  

  

 1

( ) es cóncava hacia las Y ( ) en ( , 1) Curvatura :

( ) es cóncava hacia las Y + ( ) en (1 , )

AV: 1 Asíntotas : AH: no tiene.

AO: 2

y f x

f x

x

y x     

  

 

 

 

b)

AO: y = x-2

AV: x = 1

X Y

Máx(0,-3) Mín(2,1)

2

3

3

( )

1

x

x

f x

x

 

(2)

2.- Dada la función y lnx x

 , determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de

inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica. (2,5 puntos) (PAU septiembre 2011) Solución

0 0

Dominio : (0, )

ln AV: 0, porque ( )

0

1

ln 1

Asíntotas : AH: 0, porque ( ) 0

1 AO: no tiene

Extremos relativos : Máximo

lim

lim

lim

lim

lim

x x

x x x

x

x f x

x

x x

y f x

x

  

 

  

 



 

 

 

  

  

  

2 2

1

relativo y absoluto en e , de valor M(e , 1/e) e

3 e 3 e

Puntos de inflexión : Punto de inflexión en e e , de valor PI e e ,

2e 2e

x

x

 

 

 

 

AV: x = 0

AH: y = 0 PI(e e , 3 e / 2e ) 2

Máx(e , 1/e)

ln

x

(3)

3.- Sea la función f x( ) x 4x2 (PAU septiembre 2010G) a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. (2puntos) b) Esbozar su gráfica. (0,5 puntos)

Solución

a)

Dominio : [-2 , 2]

es decreciente en 2 , 2 2 , 2 es creciente en 2 , 2

Monotonía y Extremos relativos :

tiene mínimo en 2, de valor 2 tiene máximo relativo en 2, de valor 2 f

f

f x

f x

    

   

 

 

  

 

     

b)

( 2 , 2)

Mín  

(0 , 0)

PI

( 2 , 2)

Máx

2

( )

4

(4)

4.- Dada la función

2 ( 3) ( )

ex x

f x   , se pide determinar: (PAU septiembre 2010G) a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. (1 punto)

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. (1 punto) c) La gráfica de f . (0,5 puntos)

Solución

a) ox oy

Dominio : ( , + )

Cortes ejes : Con OX en P ( 3 ,0) y con OY en P (0 , 9) AV: no tiene

Asíntotas : AH: 0 , cuando

AO: no tiene, pero tiene rama infinita si

y x

x    

 

 

 

b)

( ) es decreciente en ( , 3) ( 1 , + ) Monotonía : ( ) es creciente en ( 3 , 1)

( ) alcanza mínimo en 3, de valor 0 y máximo relativo en 1, de valor 4e f x

f x

f x x x

     

   

c)

( 1 , 4e)

Máx

( 3 , 0)

Mín  AH: y 0

2

(

3)

( )

e

x

(5)

5.- Sea la función f x( ) x2  x 2 . (PAU junio 2009) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su

gráfica. (1,5 puntos)

Solución

a)

Dominio : ( , + )

1 es decreciente en ( , 1) ( , 2)

2 1

Monotonía : es creciente en ( 1 , ) (2 , ) 2

1 9

tiene mínimos en 1 y 2, de valor 0, máximo relativo en , de valor

2 4

f

f

f x x x

   

   

 

 

 

 



es cóncava hacia las Y positivas ( ) en ( , 1) (2 , ) Curvatura :

es cóncava hacia las Y negativas ( ) en ( 1 , 2) f

f

     

2

( )

2

f x

x

 

x

1 5

, 2 4 Máx

 

2 , 0 Mín

1 , 0

(6)

6.- Sea la función

3 2 ( )

1 x f x

x

 . (PAU septiembre 2009)

a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)

Solución

a)

Dominio : =(- ,+ )

es estríctamente creciente en su dominio Monotonía :

no tiene extremos relativos

es cóncava hacia las Y positivas ( ) en ( , 3) (0 , 3) Curvatura : es cóncava hacia la

f f

f f   

 

 

   

s Y negativas ( ) en ( 3 , 0) ( 3,+ ) presenta puntos de inflexión en 3 , 0 , 3 AV: no tiene

Asíntotas : AH: no tiene

AO: tanto si como si

f x x x

y x x x



 

   

   

3

2

( )

1

x

f x

x

AO: yx

0 , 0 PI 3 3

3 , 4 PI   

 

3 3 3 ,

4

PI  

(7)

7.- Sea la función f x( )sen( ) + cos( )x x , definida en el intervalo

0, 2π .

(PAU septiembre 2009) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos.

Esbozar su gráfica. (2 puntos)

Solución

a)

π 5π ( ) es creciente en 0 , , 2π

4 4

π 5π Monotonía : ( ) es decreciente en ,

4 4

π 5π

( ) alcanza máximo en , de valor 2 y mínimo en , de valor 2

4 4

f x

f x

f x x x

   

    

 

 

  

 

3 , 0 4 PI  

 

7 , 0 4 PI  

 

(2 , 1)

B

5

, 2 4

Mín   

 

A(0 , 1)

, 2 4

Máx 

(8)

8.- Sea

2 ln ( ) x f x

x

 con x(0, ) . Se pide: (PAU junio 2008) a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas.

Esbozar su gráfica. (2 puntos)

Solución

a)

( ) es estríctamente creciente en (0 , e ) Monotonía : ( ) es estríctamente decreciente en ( e ,+ )

1 1

Máximo relativo y absoluto en e , de valor M( e , )

2e 2e

AV: 0 Asíntotas : AH:

f x f x

x

x y   

 

  

 0 AO: no tiene 

   

AV: x0

AH: y0

1 ( e , )

2e Máx

2

ln

( )

x

f x

(9)

9.- Sea f x( )  2 x lnx con x(0, ). (PAU septiembre 2008) a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de

concavidad y convexidad y las asíntotas de f . Esbozar la gráfica de f . (2 puntos) Solución

a)

( ) es creciente en (0 , 1) Monotonía : ( ) es decreciente en (1 ,+ )

Máximo relativo y absoluto en 1 , de valor 1 M(1 , 1)

Curvatura : ( ) es cóncava hacia las Y negativas ( ) en su f x

f x

x

f x

 dominio (0 , )

AV: 0 , porque si 0 ( ) Asíntotas : AH: no tiene

AO: no tiene, pero tiene rama infinita ya que si ( )

x x f x

x f x

 

 

 

    



X Y

(1 , 1)

Máx

AV: x0

( ) 2

ln

(10)

10.- Sea la función

2

( )

1

x f x

x

 . (PAU junio 2007)

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)

Solución

a)

 

Dominio : 1 ( , 1) ( 1 , 1) (1 , )

es estríctamente decreciente en su dominio ( , 1) ( 1 , 1) (1 ,+ ) Monotonía :

no tiene extremos relativos es cóncava hacia las Y ( ) Curvatura :

f f f

          

      

  

  en ( , 1) (0 , 1) es cóncava hacia las Y ( ) en ( 1 ,0) (1 ,+ ) presenta punto de inflexión en 0 O(0 , 0) AV: 1 y 1

Asíntotas : AH: 0 , tanto si , como si A

f

f x

x x

y x x

   

 

  

    

O: no tiene 

   

(0 , 0) PI

AV: x1 AV: x 1

AH: y0

X

Y

2

( )

1

x

f x

x

(11)

11.- Sea la función ( )f x  x ex. (PAU junio 2007) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de

concavidad y convexidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)

Solución

a)

Dominio : ( , )

( ) es decreciente en ( , 0) Monotonía : ( ) es creciente en (0 ,+ )

Mínimo relativo y absoluto en 0 , de valor 1 M(0 , 1) Curvatura : ( ) es cóncava hacia las

f x f x

x f x

    

  

Y positivas ( ) en su dominio ( , )

AV: no tiene Asíntotas : AH: no tiene

, cuando AO:

rama infinita exponencial: ( )

y x x

x f x

   

   

 

    

( )

e

x

f x

 

x

Y

X

AO: yx

(0 , 1)

(12)

12.- Sea la función

2

( )

4

x f x

x

 . Se pide hallar: (PAU septiembre 2007)

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)

Solución

a)

Dominio : ( , )

es decreciente en ( , 2) es creciente en ( 2 , 2) Monotonía : es decreciente en ( 2 ,+ )

1 Mínimo relativo y absoluto en 2 , de valor 1/4 y máximo en 2 , de valor

4 f

f f

x x

    

   

  

   

AV: no tiene

Asíntotas : AH: 0 , tanto si como si AO: no tiene

y x x

    

   

  

2

( )

4

x

f x

x

1 2 ,

4 Mín  

 

Y

X

AH: y 0 AH: y0

1 2 ,

4 Máx

(13)

13.- Dada la función ( ) 1 1 x f x

x  

 , se pide: (PAU junio 2006) a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los

puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (2 puntos) Solución

a)

 

Dominio : 1 ( , 1) ( 1 , + )

es creciente en su dominio ( , 1) ( 1 , + ) Monotonía :

no tiene extremos relativos

es cóncava hacia las Y+ ( ) en ( , 1) Curvatura : es cóncava haci

f f f f

         

     

  

  

a las Y- ( ) en ( 1 ,+ ) no tiene puntos de inflexión

AV: 1 Asíntotas : AH: 1

AO: no tiene f

x y

  

  

  

AH: y 1

AV: x 1

Y

X

1

( )

1

x

f x

x

(14)

14.- Sea

2 4 2

( ) x

f x

x

 . (PAU septiembre 2006)

a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos)

Solución

a)

 

Dominio : 0 ( ,0) (0 , + ) AV: 0

Asíntotas : AH: no tiene

AO: 2 , tanto si como si

Simetrías : es impar porque ( ) ( ) ; su gráfica es simétrica respecto de O Mono

x

y x x x

f f x f x

      

 

 

     

  

es decreciente en su dominio ( ,0) (0 , + ) tonía y Extremos relativos :

no tiene extremos relativos f

f

   

  

AO : y 2x

AV : x0

X

Y

2

4 2

( )

x

f x

(15)

15.- Sea ( )f x ex ln( )x , x(0,). (PAU junio 2005) a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. (1,5 puntos) b) Pruébese que f tiene punto de inflexión en el intervalo 1, 1

2

   

 y esbócese la gráfica de f. (1,5 puntos)

Solución

a)

es estríctamente creciente en su dominio (0 , ) Monotonía :

no tiene extremos relativos

AV: 0 , porque si 0 ( ) Asíntotas : AH: no tiene

AO: no tiene, pero sí rama infinita : s f

f

x xf x

 

 

    

i x ( )f x

 

    



b)

 

2 3

1 1 2

( ) e ( ) e ( ) e

1

e 4 0 1

2 Como es continua en , 1 , por ser continua en (0 , ), y además

2

1 e 1 0 se cumplen las hipótesis del teorema

x x x

f x f x f x

x x x

f f

f

          

    

   

    

      

 1

de Bolzano para en , 1 , por lo que se garantiza la tesis: 2

1 1

, 1 tal que ( ) 0 , 1 es candidato a punto de inflexión. Para confirmarlo

2 2

aplicamos el criterio

f

c f c x c

 



 

    

     

   

3 ( ) 0

1 de la derivada 3ª: 2 tiene inflexión en , 1

( ) ec 0 2

f c

f c

f c

c  

 

   

  

 

 

c 1 en , 1

2 PI c 

 

AV : x0

Y

X

( ) e

x

ln( )

(16)

16.- a) Estúdiese la derivabilidad de

2 2

ln(1 ), 0 ( )

, x 0 x x f x x      

, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos) (PAU septiembre 2005)

Solución a) f es derivable x  .

Nota: Se estudia primero la continuidad y después la derivabilidad

( ) es continua x

f x   . La función f es continua en (, 0)por ser igual a una polinómica, continua  x y, en particular en (, 0). La función f es continua en (0,) por ser igual a

2

ln(1x ), que es una función compuesta de funciones continuas. Veamos si f es continua en el punto de “empalme” x0:

)

2 (0) 0 0

2 lim ( ) lim ( 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0)

0 0

0 0 0

2

lim ( ) lim ln(1 ) ln1 0

0 0

f

f x x

f x f x f x f

x x

x x x

f x x

x x                                            

Entonces f x( ) es continua en x0 y, por tanto, es continua  x .

La función f es derivable en (, 0), por ser igual a una polinómica, derivable  x y en particular en (, 0). La función f es derivable en (0,) por ser igual a ln(1x2), que es una función compuesta de funciones derivables.

Estudiamos la derivabilidad en x0:

 

2

Si 0 ( ) 2 (0 ) lim ( ) lim (2 ) 0

0 0

1 2 2 0

2

Si 0 ( ) ln(1 ) 2 (0 ) lim ( ) lim 0

2 2 0 0 2 1

1 1 1

x f x x x f f x x

x x

x x

x f x x x f f x

x x

x x x

                                                  

Como f(0 )  f(0 )   ( ) es derivable en f x x0. Entonces f es derivable  x .

Dominio : ( , )

es estríctamente decreciente en ( , 0) Monotonía y Extremos relativos : es estríctamente creciente en (0 , )

Mínimo relativo en 0 , de valor 0 O(0 , 0)

Curvatura f f x           

es cóncava hacia las Y+ ( ) en ( ,1) : es cóncava hacia las Y ( ) en (1 , )

(17)

17.- Sea f la función dada por f x( ) x2 3 x 2, x (PAU septiembre 2004) a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. (1 punto)

b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. (1,5 puntos) c) Esbócese la gráfica de f . (0,5 puntos)

Solución

a) La función no es derivable en x0, presentando un punto anguloso

Nota: Se define la función “a trozos” y se estudia la continuidad de f en x0. Si la función es continua en x0, se analiza si es o no es derivable.

2 2

2 2

3( ) 2 si 0 3 2 si 0

( ) ( )

3 2 si 0 3 2 si 0

x x x x x x

f x f x

x x x x x x

  

 

 

       

 

Veamos si f es continua en x0:

) ( ( ) 2 0 0 2 2 0

lim ( ) lim 3 2 2

lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0) 0

0 0 0

lim ( ) lim 2

0

(0) 3 0 2 2

3 2

x

x

f x x x

f x f x f x f

x

x x x

f x x

f

xx

                                        

Entonces f x( ) es continua en x0. Estudio de la derivabilidad en x0:

2

0 0 0 0

( 3)

(0 ) (0) ( ) (0) 3 2 2

(0 ) lim lim lim lim 3

h h h h

h h

f h f f h f h h

f

h h h h

                      2

0 0 0 0

(0 ) (0) ( ) (0) 3 2 2 ( 3)

(0 ) lim lim lim lim 3

h h h h

f h f f h f h h h h

f

h h h h

                      

Como f(0 )  f(0 )   ( ) no es derivable en f x x 0 ( ) presenta un punto anguloso en f x x0.

(0 , 0 )

Mín

(1 , ln 2 )

PI

X Y

2

2

ln(1

) ;

0

( )

;

0

(18)

b)

 

2 3 ; 0

Función derivada : La funcion es derivable en 0 ( ) (ver apartado a) 2 3 ; 0

3 3

0 es un punto crítico ; y son puntos singul

2 2

x x

f x

x x

x x x

 

 

    

 

    ares.

3 3

( ) es decreciente en ( , ) (0 , )

2 2

3 3

( ) es creciente en ( , 0) ( , ) Monotonía y Extremos relativos : 2 2

Máximo relativo en 0 , de valor 2 M(0 , 2) Mínimos relativos y absolutos

f x

f x

x

   

  

 

3 3 1

en y , de valor

2 2 4

x x

      

 



c)

2

( )

3

2

f x

x

x

0 , 2 Máx

3 1

,

2 4

Mín  

 

3 1

,

2 4

Mín  

 

Y

Figure

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