Soluciones de Representación de Funciones en PAU CyL
1.- Sea
2 3 3
( )
1 x x f x
x
(PAU junio 2011)
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. (2 puntos)
b) Esbozar su gráfica. (0,5 puntos)
Solución
a)
( ) es creciente en ( , 0) (2 , ) ( ) es decreciente en (0 , 1) (1 , 2) Monotonía y Extremos :
( ) presenta máximo relativo en 0, de valor 3 ( ) presenta mínimo relativo en 2, de valor
f x f x
f x x y
f x x
1
( ) es cóncava hacia las Y ( ) en ( , 1) Curvatura :
( ) es cóncava hacia las Y + ( ) en (1 , )
AV: 1 Asíntotas : AH: no tiene.
AO: 2
y f x
f x
x
y x
b)
AO: y = x-2
AV: x = 1
X Y
Máx(0,-3) Mín(2,1)
2
3
3
( )
1
x
x
f x
x
2.- Dada la función y lnx x
, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de
inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica. (2,5 puntos) (PAU septiembre 2011) Solución
0 0
Dominio : (0, )
ln AV: 0, porque ( )
0
1
ln 1
Asíntotas : AH: 0, porque ( ) 0
1 AO: no tiene
Extremos relativos : Máximo
lim
lim
lim
lim
lim
x x
x x x
x
x f x
x
x x
y f x
x
2 2
1
relativo y absoluto en e , de valor M(e , 1/e) e
3 e 3 e
Puntos de inflexión : Punto de inflexión en e e , de valor PI e e ,
2e 2e
x
x
AV: x = 0
AH: y = 0 PI(e e , 3 e / 2e ) 2
Máx(e , 1/e)
ln
x
3.- Sea la función f x( ) x 4x2 (PAU septiembre 2010G) a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. (2puntos) b) Esbozar su gráfica. (0,5 puntos)
Solución
a)
Dominio : [-2 , 2]
es decreciente en 2 , 2 2 , 2 es creciente en 2 , 2
Monotonía y Extremos relativos :
tiene mínimo en 2, de valor 2 tiene máximo relativo en 2, de valor 2 f
f
f x
f x
b)
( 2 , 2)
Mín
(0 , 0)
PI
( 2 , 2)
Máx
2
( )
4
4.- Dada la función
2 ( 3) ( )
ex x
f x , se pide determinar: (PAU septiembre 2010G) a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. (1 punto)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. (1 punto) c) La gráfica de f . (0,5 puntos)
Solución
a) ox oy
Dominio : ( , + )
Cortes ejes : Con OX en P ( 3 ,0) y con OY en P (0 , 9) AV: no tiene
Asíntotas : AH: 0 , cuando
AO: no tiene, pero tiene rama infinita si
y x
x
b)
( ) es decreciente en ( , 3) ( 1 , + ) Monotonía : ( ) es creciente en ( 3 , 1)
( ) alcanza mínimo en 3, de valor 0 y máximo relativo en 1, de valor 4e f x
f x
f x x x
c)
( 1 , 4e)
Máx
( 3 , 0)
Mín AH: y 0
2
(
3)
( )
e
x
5.- Sea la función f x( ) x2 x 2 . (PAU junio 2009) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su
gráfica. (1,5 puntos)
Solución
a)
Dominio : ( , + )
1 es decreciente en ( , 1) ( , 2)
2 1
Monotonía : es creciente en ( 1 , ) (2 , ) 2
1 9
tiene mínimos en 1 y 2, de valor 0, máximo relativo en , de valor
2 4
f
f
f x x x
es cóncava hacia las Y positivas ( ) en ( , 1) (2 , ) Curvatura :
es cóncava hacia las Y negativas ( ) en ( 1 , 2) f
f
2
( )
2
f x
x
x
1 5, 2 4 Máx
2 , 0 Mín
1 , 0
6.- Sea la función
3 2 ( )
1 x f x
x
. (PAU septiembre 2009)
a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)
Solución
a)
Dominio : =(- ,+ )
es estríctamente creciente en su dominio Monotonía :
no tiene extremos relativos
es cóncava hacia las Y positivas ( ) en ( , 3) (0 , 3) Curvatura : es cóncava hacia la
f f
f f
s Y negativas ( ) en ( 3 , 0) ( 3,+ ) presenta puntos de inflexión en 3 , 0 , 3 AV: no tiene
Asíntotas : AH: no tiene
AO: tanto si como si
f x x x
y x x x
3
2
( )
1
x
f x
x
AO: y x
0 , 0 PI 3 33 , 4 PI
3 3 3 ,
4
PI
7.- Sea la función f x( )sen( ) + cos( )x x , definida en el intervalo
0, 2π .
(PAU septiembre 2009) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos.Esbozar su gráfica. (2 puntos)
Solución
a)
π 5π ( ) es creciente en 0 , , 2π
4 4
π 5π Monotonía : ( ) es decreciente en ,
4 4
π 5π
( ) alcanza máximo en , de valor 2 y mínimo en , de valor 2
4 4
f x
f x
f x x x
3 , 0 4 PI
7 , 0 4 PI
(2 , 1)
B
5
, 2 4
Mín
A(0 , 1)
, 2 4
Máx
8.- Sea
2 ln ( ) x f x
x
con x(0, ) . Se pide: (PAU junio 2008) a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas.
Esbozar su gráfica. (2 puntos)
Solución
a)
( ) es estríctamente creciente en (0 , e ) Monotonía : ( ) es estríctamente decreciente en ( e ,+ )
1 1
Máximo relativo y absoluto en e , de valor M( e , )
2e 2e
AV: 0 Asíntotas : AH:
f x f x
x
x y
0 AO: no tiene
AV: x0
AH: y0
1 ( e , )
2e Máx
2
ln
( )
x
f x
9.- Sea f x( ) 2 x lnx con x(0, ). (PAU septiembre 2008) a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de
concavidad y convexidad y las asíntotas de f . Esbozar la gráfica de f . (2 puntos) Solución
a)
( ) es creciente en (0 , 1) Monotonía : ( ) es decreciente en (1 ,+ )
Máximo relativo y absoluto en 1 , de valor 1 M(1 , 1)
Curvatura : ( ) es cóncava hacia las Y negativas ( ) en su f x
f x
x
f x
dominio (0 , )
AV: 0 , porque si 0 ( ) Asíntotas : AH: no tiene
AO: no tiene, pero tiene rama infinita ya que si ( )
x x f x
x f x
X Y
(1 , 1)
Máx
AV: x0
( ) 2
ln
10.- Sea la función
2
( )
1
x f x
x
. (PAU junio 2007)
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)
Solución
a)
Dominio : 1 ( , 1) ( 1 , 1) (1 , )
es estríctamente decreciente en su dominio ( , 1) ( 1 , 1) (1 ,+ ) Monotonía :
no tiene extremos relativos es cóncava hacia las Y ( ) Curvatura :
f f f
en ( , 1) (0 , 1) es cóncava hacia las Y ( ) en ( 1 ,0) (1 ,+ ) presenta punto de inflexión en 0 O(0 , 0) AV: 1 y 1
Asíntotas : AH: 0 , tanto si , como si A
f
f x
x x
y x x
O: no tiene
(0 , 0) PI
AV: x1 AV: x 1
AH: y0
X
Y
2
( )
1
x
f x
x
11.- Sea la función ( )f x x ex. (PAU junio 2007) a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de
concavidad y convexidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)
Solución
a)
Dominio : ( , )
( ) es decreciente en ( , 0) Monotonía : ( ) es creciente en (0 ,+ )
Mínimo relativo y absoluto en 0 , de valor 1 M(0 , 1) Curvatura : ( ) es cóncava hacia las
f x f x
x f x
Y positivas ( ) en su dominio ( , )
AV: no tiene Asíntotas : AH: no tiene
, cuando AO:
rama infinita exponencial: ( )
y x x
x f x
( )
e
x
f x
x
Y
X
AO: y x
(0 , 1)
12.- Sea la función
2
( )
4
x f x
x
. Se pide hallar: (PAU septiembre 2007)
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)
Solución
a)
Dominio : ( , )
es decreciente en ( , 2) es creciente en ( 2 , 2) Monotonía : es decreciente en ( 2 ,+ )
1 Mínimo relativo y absoluto en 2 , de valor 1/4 y máximo en 2 , de valor
4 f
f f
x x
AV: no tiene
Asíntotas : AH: 0 , tanto si como si AO: no tiene
y x x
2
( )
4
x
f x
x
1 2 ,
4 Mín
Y
X
AH: y 0 AH: y0
1 2 ,
4 Máx
13.- Dada la función ( ) 1 1 x f x
x
, se pide: (PAU junio 2006) a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los
puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (2 puntos) Solución
a)
Dominio : 1 ( , 1) ( 1 , + )
es creciente en su dominio ( , 1) ( 1 , + ) Monotonía :
no tiene extremos relativos
es cóncava hacia las Y+ ( ) en ( , 1) Curvatura : es cóncava haci
f f f f
a las Y- ( ) en ( 1 ,+ ) no tiene puntos de inflexión
AV: 1 Asíntotas : AH: 1
AO: no tiene f
x y
AH: y 1
AV: x 1
Y
X
1
( )
1
x
f x
x
14.- Sea
2 4 2
( ) x
f x
x
. (PAU septiembre 2006)
a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos)
Solución
a)
Dominio : 0 ( ,0) (0 , + ) AV: 0
Asíntotas : AH: no tiene
AO: 2 , tanto si como si
Simetrías : es impar porque ( ) ( ) ; su gráfica es simétrica respecto de O Mono
x
y x x x
f f x f x
es decreciente en su dominio ( ,0) (0 , + ) tonía y Extremos relativos :
no tiene extremos relativos f
f
AO : y 2x
AV : x0
X
Y
2
4 2
( )
x
f x
15.- Sea ( )f x ex ln( )x , x(0,). (PAU junio 2005) a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. (1,5 puntos) b) Pruébese que f tiene punto de inflexión en el intervalo 1, 1
2
y esbócese la gráfica de f. (1,5 puntos)
Solución
a)
es estríctamente creciente en su dominio (0 , ) Monotonía :
no tiene extremos relativos
AV: 0 , porque si 0 ( ) Asíntotas : AH: no tiene
AO: no tiene, pero sí rama infinita : s f
f
x x f x
i x ( )f x
b)
2 3
1 1 2
( ) e ( ) e ( ) e
1
e 4 0 1
2 Como es continua en , 1 , por ser continua en (0 , ), y además
2
1 e 1 0 se cumplen las hipótesis del teorema
x x x
f x f x f x
x x x
f f
f
1
de Bolzano para en , 1 , por lo que se garantiza la tesis: 2
1 1
, 1 tal que ( ) 0 , 1 es candidato a punto de inflexión. Para confirmarlo
2 2
aplicamos el criterio
f
c f c x c
3 ( ) 0
1 de la derivada 3ª: 2 tiene inflexión en , 1
( ) ec 0 2
f c
f c
f c
c
c 1 en , 1
2 PI c
AV : x0
Y
X
( ) e
x
ln( )
16.- a) Estúdiese la derivabilidad de
2 2
ln(1 ), 0 ( )
, x 0 x x f x x
, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos) (PAU septiembre 2005)
Solución a) f es derivable x .
Nota: Se estudia primero la continuidad y después la derivabilidad
( ) es continua x
f x . La función f es continua en (, 0)por ser igual a una polinómica, continua x y, en particular en (, 0). La función f es continua en (0,) por ser igual a
2
ln(1x ), que es una función compuesta de funciones continuas. Veamos si f es continua en el punto de “empalme” x0:
)
2 (0) 0 0
2 lim ( ) lim ( 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0)
0 0
0 0 0
2
lim ( ) lim ln(1 ) ln1 0
0 0
f
f x x
f x f x f x f
x x
x x x
f x x
x x
Entonces f x( ) es continua en x0 y, por tanto, es continua x .
La función f es derivable en (, 0), por ser igual a una polinómica, derivable x y en particular en (, 0). La función f es derivable en (0,) por ser igual a ln(1x2), que es una función compuesta de funciones derivables.
Estudiamos la derivabilidad en x0:
2
Si 0 ( ) 2 (0 ) lim ( ) lim (2 ) 0
0 0
1 2 2 0
2
Si 0 ( ) ln(1 ) 2 (0 ) lim ( ) lim 0
2 2 0 0 2 1
1 1 1
x f x x x f f x x
x x
x x
x f x x x f f x
x x
x x x
Como f(0 ) f(0 ) ( ) es derivable en f x x0. Entonces f es derivable x .
Dominio : ( , )
es estríctamente decreciente en ( , 0) Monotonía y Extremos relativos : es estríctamente creciente en (0 , )
Mínimo relativo en 0 , de valor 0 O(0 , 0)
Curvatura f f x
es cóncava hacia las Y+ ( ) en ( ,1) : es cóncava hacia las Y ( ) en (1 , )
17.- Sea f la función dada por f x( ) x2 3 x 2, x (PAU septiembre 2004) a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. (1 punto)
b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. (1,5 puntos) c) Esbócese la gráfica de f . (0,5 puntos)
Solución
a) La función no es derivable en x0, presentando un punto anguloso
Nota: Se define la función “a trozos” y se estudia la continuidad de f en x0. Si la función es continua en x0, se analiza si es o no es derivable.
2 2
2 2
3( ) 2 si 0 3 2 si 0
( ) ( )
3 2 si 0 3 2 si 0
x x x x x x
f x f x
x x x x x x
Veamos si f es continua en x0:
) ( ( ) 2 0 0 2 2 0
lim ( ) lim 3 2 2
lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0) 0
0 0 0
lim ( ) lim 2
0
(0) 3 0 2 2
3 2
x
x
f x x x
f x f x f x f
x
x x x
f x x
f
x x
Entonces f x( ) es continua en x0. Estudio de la derivabilidad en x0:
2
0 0 0 0
( 3)
(0 ) (0) ( ) (0) 3 2 2
(0 ) lim lim lim lim 3
h h h h
h h
f h f f h f h h
f
h h h h
2
0 0 0 0
(0 ) (0) ( ) (0) 3 2 2 ( 3)
(0 ) lim lim lim lim 3
h h h h
f h f f h f h h h h
f
h h h h
Como f(0 ) f(0 ) ( ) no es derivable en f x x 0 ( ) presenta un punto anguloso en f x x0.
(0 , 0 )
Mín
(1 , ln 2 )
PI
X Y
2
2
ln(1
) ;
0
( )
;
0
b)
2 3 ; 0Función derivada : La funcion es derivable en 0 ( ) (ver apartado a) 2 3 ; 0
3 3
0 es un punto crítico ; y son puntos singul
2 2
x x
f x
x x
x x x
ares.
3 3
( ) es decreciente en ( , ) (0 , )
2 2
3 3
( ) es creciente en ( , 0) ( , ) Monotonía y Extremos relativos : 2 2
Máximo relativo en 0 , de valor 2 M(0 , 2) Mínimos relativos y absolutos
f x
f x
x
3 3 1
en y , de valor
2 2 4
x x
c)
2
( )
3
2
f x
x
x
0 , 2 Máx3 1
,
2 4
Mín
3 1
,
2 4
Mín
Y