Sistemas dinámicos discretos complejos

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SISTEMAS DINÁMICOS

DISCRETOS COMPLEJOS

José Francisco Ramírez Aguirre

Tesis presentada al Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Pontificia Universidad Javeriana para optar por los grados de Informática

Matemática y Matemáticas

Dirigida por: Gerardo R. Chacón Ph.D.

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Í N D I C E G E N E R A L

Agradecimientos 5

Introducción 6

1 preliminares 9

1.1 El plano complejo extendido 9

1.2 Funciones racionales 12

1.3 Transformaciones de möbius 13

1.4 Valencia 16

2 dinámica sobre funciones racionales 19

2.1 Los conjuntos de Fatou y Julia 27

2.2 Conjuntos completamente invariantes 29

2.3 Familias normales y equicontinuidad 32

2.4 Puntos excepcionales 35

3 dinámica sobre semigrupos de funciones racionales 41

3.1 Los conjuntos de Fatou y Julia de un semigrupo 41

3.2 Densidad de las ramas hacia atrás en Julia 44

4 experimentación computacional 53

4.1 La familia de funciones z2+c 53

4.2 Algoritmos 56

4.2.1 Algoritmo clásico 59

4.2.2 Algoritmo dinámica hacia atrás 62

4.2.3 Algoritmo dinámica hacia adelante 69

4.3 Ejemplos 80

Bibliografía 87

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A G R A D E C I M I E N T O S

Quiero expresar mis profundos agradecimientos al Dr. Gerardo R. Chacón por la paciencia y el continuo apoyo que me brindó durante la elaboración de es-ta tesis; a los docentes de la Pontificia Universidad Javeriana que me apoyaron y alentaron en adentrarme en el mundo de los sistemas dinámicos; a mis com-pañeros de Informática Matemática y Matemáticas y a todas aquellas personas que saben de la importancia de sus consejos y recomendaciones en el desarrollo de este trabajo, en especial, infinitos agradecimientos a mi mamá cuyo apoyo, fuerza y cariño me han acompañado durante toda mi formación.

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I N T R O D U C C I Ó N

El campo de los sistemas dinámicos es la rama de las matemáticas que estudia procesos que se mueven o cambian en el tiempo. Algunos ejemplos de estos son los cambios del clima en meteorología, el aumento y la disminución de las pobla-ciones en ecología, las subidas y bajadas de la bolsa de valores en economía y el movimiento de los planetas y galaxias en astronomía [10].

El estudio de la dinámica compleja se inicia con los trabajos de los matemáti-cos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia en 1917 para el caso más general de funciones racionales en el plano complejo [19]. No obstante, estos fueron

retoma-dos y profundizaretoma-dos décadas más adelante, debido parcialmente a la influencia de los computadores, el trabajo de Benoît Mandelbrot, así como de la amplitud de aplicaciones que se derivan de este y el interés intelectual por entender esta teoría en su totalidad.

En la década de los setenta Benoît Mandelbrot acuñó el término fractal para “designar ciertos objetos geométricos de estructura irregular que estaban

pre-sentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza” [12], confiriendo,

por ende, un lugar destacado a la computación dentro de las matemáticas, lo que da lugar, por ejemplo, a la aparición del caos determinista, como veremos en el capítulo 2, donde se define una ley fija que será una función racional, pero el sistema puede evolucionar de forma impredecible. Hinkkanen y Martin a comien-zos de los años noventa desarrollaron la idea de trabajar en sistemas dinámicos, ya no sólo con una sola función, sino con un semigrupo de funciones racionales. A partir de estas ideas Gerardo R. Chacón, Renato Colucci y Daniele D’Angeli, las han generalizado en [7] y [8], cuyos resultados están recopilados en la sección3.2.

Con el fín de entender la idea central de los sistemas dinámicos discretos com-plejos, nos guiaremos por el libroIteration of Rational Functionsde Alan F. Beardon, del que se toman los elementos necesarios para estudiar la dinámica de iteración de funciones racionales de una variable compleja en la esfera de Riemann, eje de los capítulos 1 y2. En este proceso nos encontraremos con dos tipos de compor-tamiento de dichas iteraciones, la caótica y la regular, de las cuales se definen los conjuntos de Julia y Fatou respectivamente. Una generalización de la teoría es considerar, ya no una sóla función racional, sino un semigrupo de funciones racionales, para estudiar su dinámica, como se verá en el capítulo 3, en especial, en la sección 3.2 donde teniendo en cuenta un teorema en el sentido clásico, en el que para un punto del conjunto de Julia, la clausura de su órbita hacia atrás es densa en éste, para una función racional, se demuestra un teorema análogo,

(8)

aplicado al árbol de dinámica hacia atrás, donde si la clausura de una rama hacia atrás asociada a un punto de Julia, no es densa en Julia, entonces dicha rama tiene medida cero. Esto permite graficar una aproximación a la frontera del con-junto de Julia de un semigrupo de funciones racionales, tomando únicamente una rama asociada de la estructura del árbol.

(9)

1

P R E L I M I N A R E S

1.1 el plano complejo extendido

Durante todo el texto trabajaremos sobre el plano complejo extendido, el cual es definido como C

∞ = C∪{∞} donde C son los números complejos e ∞ rep-resenta el infinito. Esta idea se puede reprep-resentar como la esfera de Riemann, la cual en términos prácticos es la esfera S R3 con radio r = 1 y centro en el origen. Al identificarCcon R2, es decir, C={(x1,x2,x3)∈R3 :x3 =0}, y asignar ζ = (0,0,1) S, podemos definir la llamada proyección estereográfica, que es la función biyectiva π:C

∞ −→ S, π(z) = z∗, que cumple:π(∞) = ζy a cada punto z Cse le asigna el puntozS, que es la intersección de la recta que va deζa z con S, como se observa en la imagen:

Figura1.1. Proyección estereográfica.

Para definir una métrica en C

∞ nos vamos a basar en la de R3. Sean z,w ∈ C∞ definamosσ(z,w) =|π(z) −π(w)|=|z∗−w∗|, por lo tanto tenemos que encontrar

la forma de calcular z∗ y w∗, es decir, queremos encontrar sus coordenadas en términos de z yw, para lo cual dicha fórmula estereográfica, la vamos a deducir como se hace en [18]. Sabemos quez =x+iyy z∗ = (x1,x2,x3) de tal modo que se cumple x21+x22+x23 = 1. Sea z′ = x1+ix2 la sombra perpendicular de z∗ en C

∞, como el punto z está en la misma dirección de z ′

tenemos que z = |z| |z′|z

′ , luego, z

z′ = |z|

|z′|, al considerar un corte transversal de la proyección estereográfica,

(10)

podemos obtener información útil, como lo muestra la siguiente figura:

Figura1.2. Corte transversal.

Tenemos que los triángulos rectángulos con hipotenusasζzyζz∗son semejantes y por lo tanto podemos deducir que |z|

|z′| = 1

1−x3, es decir, z z′ =

1

1−x3 luego tenemos que x+iy= x1+ix2

1−x3 . Además tenemos que,

|z|2 = |z

|2

(1−x3)2 =

x21+x22 (1−x3)2 =

1−x23 (1−x3)2 =

(1+x3)(1−x3) (1−x3)2 =

1+x3 1−x3

luego,(1−x3)|z|2 =1+x3, |z|2−x3|z|2−x3=1, |z|2−1=x3(|z|2+1), finalmente,

x3= |z| 21

|z|2+1 =

x2+y2−1

x2+y2+1 y 1−x3=1−

|z|2−1

|z|2+1 =

2

|z|2+1

como sabemos que

x1+ix2 = (1−x3)(x+iy)

= 2

|z|2+1x+

2

|z|2+1iy

= 2

x2+y2+1x+

2

x2+y2+1iy por lo tanto al final tenemos que

z∗ =

2x x2+y2+1,

2y x2+y2+1,

x2+y2−1 x2+y2+1

(11)

1.1 el plano complejo extendido 11

Ahora podemos calcular σ(z,w) = |z∗−w∗|, donde z = x+iy, w = x′ +iy′, z∗= (x1,x2,x3)yw∗ = (x1′,x2′,x3′).

Como

|z∗−w∗|2 = (x1−x1′)2+ (x2−x2′)2+ (x3−x3′)2

= (x21−2x1x1′ +x1′2) + (x22−2x2x2′ +x2′2) + (x23−2x3x3′ +x3′2) = (x21+x22+x23) + (x1′2+x2′2+x3′2) −2(x1x

′ 1+x2x

′ 2+x3x

′ 3) = 1+1−2(x1x

′ 1+x2x

′ 2+x3x

′ 3) = 2−2(x1x

′ 1+x2x

′ 2+x3x

′ 3) y podemos ver que

x1x1′ +x2x2′ +x3x3

= (2x)(2x ′

) + (2y)(2y′) + (|z|2−1)(|w|2−1) (x2+y2+1)(x2+y2+1)

= 4xx ′

+4yy′+ (x2+y2−1)(x′2+y′2−1) (|z|2+1)(|w|2+1)

= 4xx ′

+4yy′+ (x2x′2+x2y′2−x2+y2x′2+y2y′2−y2−x′2−y′2+1) (|z|2+1)(|w|2+1)

= (−2)(−2xx ′

) + (−2)(−2yy′) + (x2x′2+x2y′2−2x2 (|z|2+1)(|w|2+1)

+x

2+y2x2

+y2y′2−2y2+y2−2x′2+x′2−2y′2+y′2+1) (|z|2+1)(|w|2+1)

= (−2)(−2xx ′

−2yy′+x2+y2+x′2+y′2) (|z|2+1)(|w|2+1)

+x 2x2

+x2y′2+x2+y2x′2+y2y′2+y2+x′2+y′2+1 (|z|2+1)(|w|2+1)

= (−2)((x−x ′

)2+ (y−y′)2) + (x2+y2+1)(x′2+y′2+1) (|z|2+1)(|w|2+1)

= −2(|z−w|

2) + (|z|2+1)(|w|2+1) (|z|2+1)(|w|2+1)

= 1− 2|z−w| 2 (|z|2+1)(|w|2+1)

luego |z∗−w∗|2=2−21−(| 2|z−w|2 z|2+1)(|w|2+1)

= (| 4|z−w|2

z|2+1)(|w|2+1) y finalmente

(12)

SizCperowno, entoncesσ(z,) = l´ım

w→∞σ(z,w) = 2 p

|z|2+1. σes la llamada métrica cordal enC

∞.

Tenemos que tener claro algunos conceptos del análisis complejo.

Definición 1. Una función f de una variable compleja z es analítica en un conjunto

abierto si tiene derivada en todos los puntos de ese conjunto. Sea D C

∞, la función f:D−→ C

∞ es:

1. homeomorfa sifes biyectiva, continua yf−1 es continua.

2. holomorfa enDsi la derivadaf′existe en cada punto deD.

3. meromorfa en D si en cada punto de D existe una vecindad en la que f o 1f es holomorfa.

Tenemos que entender la relación de las funciones complejas con sus polos, los polos de f son puntos wdónde f(w) = y cerca de tales puntos z 7−→ f(1z) es holomorfa con valor cero enw.

1.2 funciones racionales

Una función racional es una función de la formaR(z) = QP((zz)) dondeP yQ son polinomios cuyos dominios son el plano complejo extendido, por lo tanto pueden ser caracterizados como funciones analíticas. Las funciones racionales tienen las siguientes propiedades:

1. SiP es el polinomio cero entoncesRes la función constante cero. 2. SiQes el polinomio cero entoncesR es la función constante. 3. SiQ(z) =0 yP =6 0entonces R(z) =.

4. P y Q son coprimos, es decir, no tienen ceros en común, pues en caso con-trario se cancelan los factores correspondientes.

5. DefinimosR() = l´ım z→∞R(z)

6. Definimos deg(R) = max{deg(P),deg(Q)} dónde deg(·) es el grado usual de un polinomio.

7. SiRes constante entoncesdeg(R) =0. 8. deg(RS) =deg(R)deg(S)

(13)

1.3 transformaciones de möbius 13

Definición2. Un puntoζ C

∞ es un punto fijo de una función racionalRsiR(ζ) =ζ

Ejemplo 1. Sea P(z) = a0+a1z+...+anzn donde n > 0 y an 6= 0, comoP(∞) =

l´ım

z→∞P(z) = ∞ tenemos que ∞ es un polo de P y cerca de este punto z 7−→ 1 P(z) es holomorfa con valor cero en ∞. En realidad sabemos que ∞ es un punto fijo de todo

polinomio no constante y las funciones racionales son analíticas en todo C ∞

Teorema 1. Sea R(z) = QP((zz)) una función racional, R() = si y solo si deg(P) >

deg(Q)

Demostración. SeanP(z) =a0+a1z+· · ·+anzn y Q(z) = b0+b1z+· · ·+bmzm entonces por las propiedades anteriores sabemos que

R() = l´ım z→∞R(z) = l´ım

z→∞ P(z) Q(z) = l´ım

z→∞

a0+a1z+· · ·+anzn b0+b1z+· · ·+bmzm =

tal quean,bm 6=0. Si suponemos quem > nentonces

l´ım z→∞

a0+a1z+· · ·+anzn b0+b1z+· · ·+bmzm

= l´ım z→∞

(a0+a1z+· · ·+anzn)z1m (b0+b1z+· · ·+bmzm)z1m = 0

bm = 0 y sim =n, l´ım

z→∞

a0+a1z+· · ·+anzn b0+b1z+· · ·+bmzm

= an bm

lo cual es una contradicción, por lo tanto deg(P)> deg(Q).

Y si n > m entonces l´ım z→∞

a0+a1z+· · ·+anzn b0+b1z+· · ·+bmzm

= an

0 = ∞, es decir, R(∞) =

∞.

La demostración del siguiente teorema se omitirá pero la puede consultar en [4, 46].

Teorema 2. SeaR la clase de funciones racionales, la funcióndeg : R {0,1,· · ·}es

continua. En particular, si las funciones racionalesRn convergen uniformemente enC∞ a la función R entoncesR es racional y para todon suficientemente grande,deg(Rn) = deg(R)

1.3 transformaciones de möbius

(14)

1. R() = ac teniendo en cuenta que

R(z) = az+b cz+d =

az cz+d +

b cz+d =

az z(c+dz) +

b cz+d =

a c+dz +

b cz+d luego

R() = a c+ d

+ b

c+d = a c+0 +

b

= a c +0=

a c

2. R(−dc) = ya que R(z) = QP((zz)) = se tiene cuando Q(z) = 0, es decir, cz+d=0por lo tantoz = −dc.

Lema1. Las transformaciones de Möbius son un grupo de homeomorfismos analíticos de C

∞ sobre si mismo.

Demostración. Sea g(z) = azcz++db una transformación de Möbius, queremos saber como esg−1(z), por lo tanto tomamosy= czaz++db, entoncesy(cz+d) −az=b, en-tonces ycz−az =b−dy, entonces (cy−a)z = −dy+b, entonces z = −cydy+ab, es decir,g−1(z) = −czdz+ab. Comoaz+bycz+dson analíticas enC

∞, por lo tanto ten-emos que g(z) es analítica, luego podemos aplicar el mismo razonamiento para comprobar que g−1(z) es también analítica, además como toda función analítica es continua, tenemos queg(z)es un homeomorfismo analítico.

1. Para comprobar la clausura de la operación binaria consideremos h(z) = ez+f

kz+l una transformación de Möbius, (gh)(z) = g(h(z))

= a ez+f kz+l

+b c ezkz++fl+d

= a(ez+f) +b(kz+l) c(ez+f) +d(kz+l) = (ae+bk)z+ (af+bl)

(ce+dk)z+ (cf+dl)

de modo que (ae+bk)(cf+dl) − (af+bl)(ce+dk) 6= 0, ya que si no se tuviera lo anterior entonces(ae+bk)(cf+dl) = (af+bl)(ce+dk), es decir, (ae+bk) = (ce+dk) y (cf+dl) = (af+bl), luego a = c Y b = d, y si multiplicamos, ad = cb es una contradicción, por lo tanto gh es una transformación de Möbius.

2. La propiedad asociativa también se tiene, (fg)h = f(gh) al seguir de forma análoga el procedimiento del punto anterior.

(15)

1.3 transformaciones de möbius 15

De ahora en adelante la composición de dos funciones fgla denotaremos como fg.

Definición 3. Dos funciones racionales Ry Sson conjugadas si y solo si existe alguna

transformación de Möbiusg tal queS=gRg−1

Lema2. La conjugación es una relación de equivalencia.

Demostración. SeanI,R, S, T funciones racionales. Como

IRI−1(z) =I(R(I(z))) = I(R(z)) = R(z)

la conjugación es reflexiva. Si R = gSg−1 podemos ver que g−1R = Sg−1 y g−1Rg = S, es decir, la conjugación es simétrica. Si R = gSg−1 y S = hT h−1 en-tonces R =g(hT h−1)g−1 = (gh)T(gh)−1 ya que las transformaciones de Möbius son lineales y biyectivas, luego la conjugación es transitiva. Por lo tanto tenemos que la conjugación es una relación de equivalencia.

Teniendo en cuenta lo anterior tenemos las siguientes propiedades:

Lema3. SiRySson conjugados entonces

1. deg(R) =deg(S). 2. Rn =gSng−1.

3. La conjugación conserva los puntos fijos.

Demostración. ComoRyS son conjugados,R=gSg−1. 1. Por definición de deg(·)tenemos que

deg(R) =deg(gSg−1) =deg(g)deg(S)deg(g−1) =1·deg(S)·1=deg(S) 2. Sabemos que es cierto para n=1, ahora supongamos que lo es paran=k,

luego

Rk+1 = R(Rk) = R(gSkg−1) = gSg−1(gSkg−1) = gS(g−1gSkg−1) = gS(Skg−1) = gSk+1g−1

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3. Supongamos quezes un punto fijo deS, entoncesRfija ag(z)si y solo siS fija az, es decir,R(g(z)) = gSg−1(g(z)) =gS(z) =g(z).

Teorema3. Una función racional no constanteRes conjugado a un polinomio si y solo

si existe algúnwC

∞ tal queR−1{w}={w}.

Demostración. Supongamos queR yP son conjugados, dondeP es un polinomio, entonces R=gPg−1 y como es punto fijo deP, por lema 3, Rfija aw=g() y por lo tanto R−1{w} = {w}. Ahora supongamos que existe w C

∞ tal que R−1{w} = {w}, si w = entonces R es un polinomio no constante, si tomamos g =I entonces R =gRg−1, es decir, Res conjugado a un polinomio. Si w 6= a través de una adecuada conjugación obtenemos queg(w) =yw=g−1(), es decir,gR(w) =g(w) =lo que también implica quegR(g−1()) =gRg−1() =

∞, si definimos S = gRg−1 entonces S fija a ∞ y por lo tanto es un polinomio,

luegoR es conjugado a un polinomio.

1.4 valencia

Si tenemos una función f no constante y holomorfa cerca al punto z0 C, f tiene una expansión de Taylor enz0,f(z) =a0+ak(z−z0)k+ak+1(z−z0)k+1+· · · dondeak 6=0 y el entero positivokes determinado únicamente por la condición que el límite l´ım

z→z0

f(z) −f(z0) (z−z0)k

exista, sea finito y diferente de cero, estek lo deno-taremosVf(z0).

Definición 4. El número Vf(z0) es llamado valencia u orden de f en z0, también se

puede ver como el número de soluciones def(z) =f(z0)enz0.

Lema 4. La valencia satisface la regla de la cadena,Vfg(z0) = Vf(g(z0))Vg(z0) donde f,gson holomorfas yz0,g(z0),fg(z0)∈C.

Demostración. Como ges holomorfa y no constante cerca dez0 tenemos que g6= g(z0) en una vecindad puntuada N de z0. Si suponemos q = Vf(g(z0)) y k = Vg(z0)entonces los límites l´ım

g(z)→g(z0)

f(g(z)) −f(g(z0)) (g(z) −g(z0))q

y l´ım zz0

g(z) −g(z0) (z−z0)k

existen, si tenemos en cuenta la identidad

fg(z) −fg(z0) (z−z0)kq =

fg(z) −fg(z0) (g(z) −g(z0))q

g(z) −g(z0) (z−z0)k

q

y tomamos el límitez z0 tenemos que es finito y diferente a cero, por lo tanto Vfg(z0) =kq.

(17)

1.4 valencia 17

Demostración. Teniendo en cuenta que Vf(z0) es el número de soluciones def(z) en z0, si es Vf(z0) = 1, tiene una solución por lo tanto f es inyectiva en alguna vecindad dez0. Si fes inyectiva entonces f(z) tiene una solución luego Vf(z0) = 1.

Lema5. La valencia es preservada bajo la pre-aplicación y post-aplicación de una función inyectiva.

Demostración. Sean f,g funciones holomorfas, consideremos primero que cerca a z, g sea inyectiva y fg está definida, al aplicar la regla de la cadena de la valencia tenemos que, Vfg(z) = Vf(g(z))Vg(z) = Vf(g(z))·1 =Vf(g(z)). Ahora si consideramos que fg esté definida cerca a z y f inyectiva cerca a g(z) entonces Vfg(z) =Vf(g(z))Vg(z) =1·Vg(z) =Vg(z).

Con el fin de extender la definición de valencia en todo C

∞ ya sea en z0 o f(z0) = ∞, consideraremos las transformaciones de Möbius g y h tales que

g(z0),h(f(z0)) C. Sea F = hfg−1 con la cual veremos que Vf(z0) = VF(g(z0)), como g es inyectiva en z0 y Fg = hf−1g = hf está definida en z0 tenemos que VF(g(z0)) = VFg(z0) = Vhf(z0) y además como h es inyectiva en f(z0) tenemos Vhf(z0) =Vf(z0), es decir, Vf(z0) =VF(g(z0))que es independiente de la elección deg yh.

Teorema5. Siftiene un polo de orden kenz0∈CentoncesVf(z0) =k

Demostración. Por definición de polo de ordenkel límite l´ım z→z0

(z−z0)kf(z) =ak 6= 0existe, comoz0es un polo tenemos quef(z0) =∞, podemos tomar las

transfor-maciones de Möbiusg(z) =zyh(z) = 1z y considerarVf(z0) =VF(g(z0)) =VF(z0) dondeF=hfg−1, es decir,F(z) =hfg−1(z) =h(f(z)) = f(1z) luegoVf(z0) =V1

f(z0) y por definición de valencia

l´ım z→z0

1

f(z) −f(z10) (z−z0)k

= l´ım z→z0

1 f(z) −0 (z−z0)k

= l´ım z→z0

1 f(z)(z−z0)k

= 1 ak 6

=0

por lo tantoVf(z0) =k.

Teorema6. R tienekraíces enz0 si y solo sigRg−1 tiene kraíces eng(z0)dondeg es

una transformación de Möbius.

Demostración. Por el teorema anterior tenemos queVR(z0) =k=VgRg−1(g(z0))ya que la cantidad de raíces de una función holomorfa viene dada por su valencia.

Definición 5. Una función analítica f :D −→ C

(18)

Ejemplo2. Sifes univalente enDentoncesVf(z) =1para todozD, pero el reciproco no es cierto, la función f: C{0} −→ C{0}definida como f(z) = z2 no es inyectiva ya que cada elemento del rango tiene dos preimágenes. Al considerar la definición de valencia,

l´ım z→z0

f(z) −f(z0)

(z−z0)k = zl´ımz 0

z2−z20 (z−z0)k = l´ım

zz0

(z−z0)(z+z0) (z−z0)k = l´ım

z→z0

z+z0 (z−z0)k−1 la única forma para que este límite exista es que k = 1, luego l´ım

z→z0

z+z0 = 2z0 6= 0 entoncesVf(z0) =1para todoz0 C{0}.

Sea R una función racional de grado positivodenC

∞, tenemos que para todo z0 ∈R−1{w}, VR(z0)es el número de soluciones de R(z) =wenz0 o la multiplici-dad dez0 respecto aR, luego para cada wC

∞,

X

zR−1{w}

VR(z) =deg(R) =d.

Teorema7. SiR(z) = QP((zz)) dondeP(z) =a0+a1z+· · ·+anznyQ(z) =b0+b1z+

· · ·+bmzm con an,bm =6 0entoncesVR(∞) =|m−n|

Demostración. Tomemos F = gRg−1 donde g(z) = 1z = g−1(z), de modo que g() = 0 luego VR() = VF(0), además, F(z) = gRg−1(z) = 1

R(1z) = Q(1z)

P(1z), ahora queremos hallar dicha valencia. Por definición

l´ım z→0

F(z) −F(0)

(z−0)k = l´ımz0 Q(1

z) P(1z) −0

zk

= l´ım z0

Q(1z) P(1z)zk = l´ım

z→0

b0+b11z +· · ·+bmz1m (a0+a11z +· · ·+anz1n)zk = l´ım

z→0 1

zm(b0zm+b1zm−1+· · ·+bm) 1

zn(a0zn+a1zn−1+· · ·+an)zk = l´ım

z→0

zn(b0zm+b1zm−1+· · ·+bm) zm(a

0zn+a1zn−1+· · ·+an)zk

sin > m, para que exista el límite tenemos que tomarn−m=k, por lo tanto l´ım

z→0

b0zm+b1zm−1+· · ·+bm a0zn+a1zn−1+· · ·+an

= bm an

(19)

2

D I N Á M I C A S O B R E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S

Sea R : C

∞ −→ C∞ una función racional y sea z0 ∈ C∞. z0 será llamado punto inicial, al aplicar R obtenemos z0,R(z0) = z1,R(z1) = z2,. . ., luego por la composición de funciones vemos que

zn =R(zn−1) =R(R(zn−2)) = . . .=R(R(. . . R

| {z }

n−veces

(z0))) =Rn(z0)

Donde la última igualdad define la notación a utilizar a continuación. Este pro-ceso de componer funciones en un punto se denomina iteración de funciones y de esta forma obtenemos un sistema dinámico autónomo de tiempo discreto [16]

o sistema dinámico discreto ya que estamos trabajando sobre una sucesión de puntos del plano complejo extendido que se pueden ordenar y que es sensible a condiciones iniciales, que en este caso es el punto inicial. Este comportamien-to dinámico no es igual para comportamien-todo tipo de funciones, nos centraremos en las funciones racionales, por lo tanto nuestro punto de partida serán las transforma-ciones de Möbius que tienen un comportamiento simple.

Teorema8. Para todo z0 ∈ C∞, si la sucesión (zn)converge a w∈ C∞ entonces wes

un punto fijo de R.

Demostración. Como l´ım

n→∞zn =wyRes continua enwtenemos que l´ımn→∞R(zn) = R(w)y por lo tantoR(w) = l´ım

n→∞zn+1=wluegowes un punto fijo de R.

Definición6. SeaζC

∞ un punto fijo deR, decimos queζes un:

1. Punto superatractor si|R′(ζ)|=0 2. Punto atractor si|R′(ζ)|< 1 3. Punto repulsor si |R′(ζ)|> 1 4. Punto indiferente si |R′(ζ)|=1

Para entender la definición anterior, tengamos en cuenta que siz es cercano al punto fijoζentonces aproximadamente tenemos que

|R(z) −ζ|=|R(z) −R(ζ)||R′(ζ)||z−ζ| (2)

por lo tanto si suponemos que |R′(ζ)| < 1 entonces |R(z) −ζ| < |z−ζ|, es decir,

puntos cercanos a un atractor se acercan aún más a ese punto fijo al aplicarR. De forma análoga podemos comprobar que puntos cercanos a un repulsor, al aplicar R, se alejarían de dicho punto. El siguiente teorema nos dice que si un punto es cercano al repulsor ζ, eventualmente regresara aζo incluso al mismo ζ.

(20)

Teorema9. Si(zn)converge al punto fijo repulsor ζentonceszn =ζ paran > n0. Demostración. Supongamos quezn 6= ζ para todon > n0, por la continuidad de R para todo ǫ > 0 existe δǫ > 0 tal que si |z−ζ| < δǫ entonces |R(z) −ζ| < ǫ y además por convergencia sabemos que para todoδ > 0existeNtal que si n>N entonces |zn−ζ| < δ, luego si tomamos ǫ = |zn−ζ| para todo n > N y δǫ = δ tenemos que|R(zn) −R(ζ)|< ǫ, es decir,|zn+1−ζ|<|zn−ζ|. Tomemosktal que

|R′(ζ)|> k > 1, al retomar (2)tendríamos que |R(z) −ζ|> k|z−ζ|, si cambiamos

zporzn obtendríamos|R(zn) −ζ|=|zn+1−ζ|>|zn−ζ|una contradicción, por lo tantozn =ζ.

Teorema 10. Sea R(z) = QP((zz)) una función racional, entonces existe ζ C tal que

R(ζ) =ζ si y solo siP(ζ) =ζQ(ζ)

Demostración. Si suponemos que Q(ζ) = 0 tendríamos que P(0ζ) = ζ, pero como P y Q son coprimos entonces P(ζ) 6= 0 y necesariamente ζ = lo cual es una contradicción, por lo tantoP(ζ) = ζQ(ζ). SiP(ζ) = ζQ(ζ) entonces Q(ζ) 6=0, de lo contrario se aplicaría el anterior caso, luegoR(ζ) = QP((ζζ)) =ζ.

Corolario10.1. Los puntos fijos deRenCson las soluciones deP(z) −zQ(z) =0

Demostración. Seaζ Ctal que satisfaceP(ζ) −ζQ(ζ) =0, es decir,P(ζ) =ζQ(ζ) por el teorema anteriorR(ζ) =ζ, por lo tantoζes un punto fijo de R.

Como no todas las soluciones de P(z) −zQ(z) = 0 tienen que estar en C en-toncesRpuede no tener puntos fijos en C.

Ejemplo3. SeaR(z) = z2z+1, si calculamosP(z) −zQ(z) = (z2+1) −z2 =1tenemos

que P(z) −zQ(z) no tienen solución enCy por lo tantoR tampoco, pero por teorema1 tenemos queR() =, es un punto fijo deRque pertenece a C

∞.

La demostración del siguiente teorema es tomada de [4, 39].

Teorema 11. Sea ζ Cpunto fijo de la función analítica f, y sea ϕcualquier función

analítica, inyectiva y finita en alguna vecindad de ζ entonces ϕfϕ−1 tiene el mismo número de puntos fijos enϕ(ζ)comoftiene enζ.

Demostración. Suponga queftienekpuntos fijos enζ. Los puntos fijos deϕfϕ−1 satisfacenF(z) =ϕfϕ−1(z) −z=0, si consideramos la definición de valencia,

l´ım zϕ(ζ)

F(z) −F(ϕ(ζ))

(z−ϕ(ζ))k = zl´ım →ϕ(ζ)

ϕfϕ−1(z) −z− (ϕfϕ−1(ϕ(ζ)) −ϕ(ζ)) (z−ϕ(ζ))k

= l´ım z→ϕ(ζ)

ϕfϕ−1(z) −z (z−ϕ(ζ))k y tenemos la siguiente identidad:

ϕfϕ−1(z) −z [z−ϕ(ζ)]k =

ϕfϕ−1(z) −ϕϕ−1(z) fϕ−1(z) −ϕ−1(z) ·

fϕ−1(z) −ϕ−1(z) [ϕ−1(z) −ζ]k ·

(21)

dinámica sobre funciones racionales 21

hay que tener en cuenta que es suficiente mostrar que cada uno de los términos de la derecha tienden a un límite finito y diferente a cero cuando ztiende aϕ(ζ). El primer término de la derecha es de la forma ϕu−ϕv

u−v y por la fórmula de la integral de Cauchy aplicada en una vecindad de ϕ(ζ) muestra que tiende a un límite finito y diferente a cero, particularmente ϕ′(ζ)como uyvtienden a ζ. La definición de kimplica que al z tender aϕ(ζ) el segundo término de la derecha tienda a un límite finito y diferente a cero. Finalmente el tercer término tiende a [ϕ′(ζ)]−k.

Corolario 11.1. Seaζpunto fijo de la función racionalRy seaguna transformación de

Möbius entoncesgRg−1 tiene el mismo número de puntos fijos eng(ζ)como Rtiene en ζ.

Teorema12. Sid>1, una función racional de gradodtiene precisamented+1puntos

fijos en C ∞

Demostración. Toda función racional R es conjugado a una función racional S tal que S() 6= , además S y R tienen el mismo número de puntos fijos, al igual que los grados de S yR. Se sigue que debemos de asumir que R() 6= . Tomemos R = QP con P y Q coprimos y sea ζ cualquier punto fijo deR y por lo tanto ζ es finito, teniendo en cuenta la propiedad 3 de las funciones racionales tenemos que Q(ζ) 6= 0, el número de raíces de R(z) −z en ζ es el mismo que el número de raíces de P(z) −zQ(z) en ζ, por lo tanto el número de soluciones de P(z) =zQ(z)enC. ComoR()6=por el teorema1tenemosdeg(P)6deg(Q), es decir, deg(R) =deg(Q)luego el grado de P(z) −zQ(z) esdeg(R) +1.

Definición 7. A cada punto fijoζ 6= de la función racionalR se le asocia el número

complejo M(R,ζ) =R′(ζ)llamado multiplicador deRenζ.

En el caso queζ =se elige una transformación de Möbiusgtal queg() C, de tal modo queM(R,) =M(gRg−1,g()).

Ejemplo4. Sea a0+a1z+···+anzn

b0+b1z+···+bmzm tal quean,bm 6=0yn > m. Por lo tantoR(∞) =∞,

calcularemosM(R,). Tomemos g(z) = 1z, luego

M(R,) = M(gRg−1,g()) = M g R 1 z ,0

= M 1

R 1z,0 !

= 1

R 10 !′

(22)

Como

" 1 R 1z

#′ =

"

b0+b1 1z

+· · ·+bm 1zm a0+a1 1z

+· · ·+an 1z n

#′

= "b

0zm+b1zm−1+···+bm zm

a0zn+a1zn−1+···+an zn

#′

=

zn(b0zm+b1zm−1+· · ·+bm) zm(a

0zn+a1zn−1+· · ·+an) ′ = zn zm ′

b0zm+b1zm−1+· · ·+bm a0zn+a1zn−1+· · ·+an

=

nzn−1zm−mznzm−1 z2m

b0zm+b1zm−1+· · ·+bm a0zn+a

1zn−1+· · ·+an ′

=

zm+n−1(n−m) z2m

b0zm+b1zm−1+· · ·+bm a0zn+a1zn−1+· · ·+an

para el caso en el que 2m = m+n−1, es decir, n = m+1, tenemos que S′(0) = (n−m)bman = bman y en los otros caso S′(0) = 0. Luego R′() = bman sin = m+1 y en los otros casoR′() =, donde por continuidadR′() = l´ım

z→∞R ′

(z). Esto muestra que en generalM(R,ζ)de una función racionalRen el punto fijoζ esM(R,ζ) =R′(ζ) siζ6=yM(R,ζ) = 1

R′(ζ) siζ=∞.

Teorema 13. Suponga que f(z) = az+b1zr+1+· · ·, cerca al origen, donde a 6= 0,

b1 6= 0 y r > 1 entonces fn(z) = anz+bnzr+1+· · ·, donde bn = an−1b1(1+ar+ a2r+· · ·+a(n−1)r).

Demostración. Vamos a proceder por inducción, para k=2,

f2(z) = f(f(z))

= f(az+b1zr+1+· · ·)

= a(az+b1zr+1+· · ·) +b1(az+b1zr+1+· · ·)r+1+· · · = a2z+ab1zr+1+b1ar+1zr+1+· · ·

(23)

dinámica sobre funciones racionales 23

Ahora supongamos que se cumple parak=n, queremos ver que se cumple para k=n+1,

fn+1(z) = f(fn(z))

= f(anz+bnzr+1+· · ·)

= a(anz+bnzr+1+· · ·) +b1(anz+bnzr+1+· · ·)r+1+· · · = an+1z+abnzr+1+b1an(r+1)zr+1+· · ·

= an+1z+ (abn+b1an(r+1))zr+1+· · ·

= an+1z+ (aan−1b1(1+ar+a2r+· · ·+a(n−1)r) +b1an(r+1))zr+1+· · · = an+1z+ (anb1(1+ar+a2r+· · ·+a(n−1)r) +b1anr+n)zr+1+· · · = an+1z+ (anb1(1+ar+a2r+· · ·+a(n−1)r) +b1anran)zr+1+· · · = an+1z+anb1(1+ar+a2r+· · ·+a(n−1)r+anr)zr+1+· · ·

= an+1z+bn+1zr+1+· · ·

Por inducción el teorema queda demostrado.

Corolario 13.1. Sia=1entonces bn =nb1.

Demostración.

bn = an−1b1(1+ar+a2r+· · ·+a(n−1)r) = 1n−1b1(1+1r+12r+· · ·+1(n−1)r) = nb1

Corolario 13.2. bn=0si y solo siar 6=1yanr =1.

Demostración. Sabemos quebn =0 si y solo si

Sn−1 = n−1

X

k=0

akr =1+ar+a2r+· · ·+a(n−1)r =0

ya que por hipótesis a 6= 0 y b1 =6 0, luegoarSn−1 = n−1

X

k=0

ar(k+1) = 0, al tener en cuenta que Sn−1−arSn−1 = 1−anr y (1−ar)Sn−1 = 1−anr, es decir, Sn−1 =

1−anr

1−ar =0si y solo si1−ar 6=0y 1−anr=0, por lo tanto,ar 6=1 yanr=1.

Corolario 13.3. fn tiene al menos tantos puntos fijos en el origen como f los tiene, y si

tiene más, entonces a6=1peroan=1.

Demostración. Los puntos fijos defn son los que cumplenfn(z) =z, es decir, fn(z) −z = (anz+bnzr+1+· · ·) −z

(24)

de forma análoga tenemos que los puntos fijos de f son los que cumplen z(a− 1) +b1zr+1+· · · = 0. Si en las igualdades anteriores dividimos por z, tenemos que si an 6= 1 entonces a 6= 1 así que si fn tiene un punto fijo en el origen entonces ftambién lo tiene, pero sifn tiene más tendríamos que a6=1 mientras que an =1.

Definición8. zes un punto crítico de la función racionalRsi existe alguna vecindad de

zen la que Rno es inyectiva. SiRno es constante estos puntos son precisamente los que cumplenVR(z)> 1.

Si nos preguntamos que importancia tienen los puntos críticos para una fun-ción racional, en [6] encontramos que la dinámica global de una función racional

R depende fuertemente en el comportamiento del los puntos críticos de R bajo sus iteraciones.

Definición9. wes un valor crítico de la función racionalRsiw=R(z)dondezes un

punto crítico deR.

Si R es de grado d y si w no es un valor crítico entonces R−1{w} consiste de

precisamente d puntos distintos, z1,. . .,zd. Como ninguno de loszj son puntos críticos existen las vecindadesNdewyN1,. . .,Nddez1,. . .,zd respectivamente donde R actúa como una biyección de cada Nj sobre N, luego para cada j, la restricción Rj de la función racional R en Nj tiene inversa R−j 1 : N −→ Nj y las llamaremos las ramas de R−1en w.

Por el hecho de queR es inyectiva en alguna vecindad de todo punto de C que no sea ni una raíz ni un polo de R′, luego para finitos puntos z tenemos que VR(z)> 1, por lo tantoP[VR(z) −1]<+teniendo en cuenta que es una suma sobre todos loszC

∞.

Esta suma nos otorga una medida del número de raíces múltiples deRy su valor es dado por la relación Riemann-Hurwitz cuya demostración es tomada de [4]:

Teorema14. Para toda función racional no constanteR,

P

[VR(z) −1] =2deg(R) −2

Demostración. Sabemos que VR(z0) = VgRg−1(g(z0)) donde g es una transforma-ción de Möbius, por lo tanto ambos lados de la igualdad son invariantes bajo conjugación, esto quiere decir que R tiene k raíces en z0 si y solo si gRg−1 tiene k raíces en g(z0). Ahora seleccionemos un puntoζ tal que R(ζ)6= ζ,VR(ζ) = 1 y R(z) =ζtieneddistintas soluciones, construyamos la transformación de Möbius g tal que g(ζ) = ,g(R(ζ)) = 1 y definamos S = gRg−1 que se encarga de trasladar las propiedades deRa las deS, redefinamosScomoR, debemos asumir que,

R() =gRg−1() =gR(ζ) =1

(25)

dinámica sobre funciones racionales 25

VR() =1.

Como habíamos visto, si f tiene un polo de orden k en z0 entonces Vf(z0) = k, esto en nuestro caso nos dice que VR(zj) = 1 para cada zj. Por lo tanto tenemos

P

[VR(z) −1] < + sumando para todo z C excepto los puntos zj. Para todo z, R(z) C y así dicho valor es el número de raíces de R(z). Al escribir R =

P

Q en forma reducida tenemos que R ′

(z) = P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z)

Q(z)2 también está en forma reducida, si no fuera así, el numerador y el denominador tendrían una raíz en común, que sería algún zj, entonces 0 = P′(zj)Q(zj) = P(zj)Q′(zj) pero entonces P(zj) = 0 o Q′(zj) = 0, la primera opción es falsa porque R está en forma reducida, y la segunda también lo es porque loszj son raíces simples deQ. LuegoP[VR(z) −1]no solo representa el número de raíces deR′(z)sino también el grado deP′Q−PQ′ o equivalentemente el grado del polinomioQ(z)2R′(z). Calcularemos el grado de este polinomio encontrando su orden de crecimiento en ∞. Teniendo en cuenta que deg(Q) 6 d, deg(Q2) 6 2d entonces l´ım

z→∞ Q(z)2

z2d tiene límite finito y distinto de cero, además como VR(∞) = 1 significa que R es

inyectiva en alguna vecindad de y R(1z) =1+Az+· · · cerca al origen, donde A6=0, luegoR′(1z) =A+a2z2+a3z3+· · ·, y reemplazando zpor 1z encontramos que z2R′(z) tiende a un límite finito y distinto de cero en y así finalmente

P

[VR(z) −1] =2d−2.

Teorema 15. Sea C el conjunto de puntos críticos de la función racional R entonces el

conjunto de valores críticos deRn esR(C)∪ · · · ∪Rn(C).

Demostración. Tomemos z R(C)∪ · · · ∪Rn(C), luego para algún k, z Rk(C), por lo tanto existe una sucesión z0,z1 = R(z0),. . .,z = R(zk−1) = Rk(z0) donde z0∈C, por la regla de la cadena para valencias, tenemos que,

VRk(z0) = VR(Rk−1(z0))VRk−1(z0) = VR(zk−1)VRk−1(z0)

= VR(zk−1)VR(zk−2)VRk−2(z0) ...

= VR(zk−1)VR(zk−2)· · ·VR(z0)

y comoz0 un punto crítico, VR(z0)> 1, tenemos queVRk(z0)> 1y por lo tanto z es un valor crítico de Rk. Ahora siz es un valor crítico deRk debe existir alguna sucesión con VRk(z0)> 1, y por tanto algúnzj ∈C.

Teorema 16. Toda transformación de Möbius tiene dos puntos fijos ya sean iguales o

distintos.

(26)

Caso1: Rtiene un sólo punto fijo.

Supongamos que R tiene a como su único punto fijo, si recordamos la for-ma de una transforfor-mación de Möbius, R(z) = azcz++db, tenemos que c = 0, luego R(z) = adz+ bd = β1z+β2. Ahora supongamos que z es un punto fijo, es decir, z = R(z) = β1z+β2, entonces z(β1−1) = −β2, entonces z = β1−β21, pero como además sabemos que ∞ es el único punto fijo de R, tenemos que β−1β−21 = ∞, β1−1=0,β1=1,R(z) =z+β2por lo tanto la forma general de nuestra función esR(z) =z+β, conβ6=0. ContinuandoR2(z) =R(z) +β=z+2β, luego en gen-eral tenemos que Rn(z) = z+nβ y l´ım

n→∞R

n(z) =

∞ para todo z. Ahora

supong-amos queRtiene como punto fijo a ζ, seag(z) = z1ζ, como0·(−ζ) − (1)·1= −1 esta es una función de Möbius que toma a ζ y lo envía a , definamos S como S(z) =gRg−1(z), es decir,

C ∞

R //C ∞ g C ∞ g−1

O O S / /C ∞

por lo cual tenemos que calcular g−1, como g(z) = z1ζ = w entonces 1 = w(z−ζ) = wz−wζ luego 1+wwζ = z = g−1(w) y como sabemos que g−1() =

l´ım z→∞g

−1(z) = ζ

1 por la regla de L’Hôpital. Ahora S(∞) = gRg −1(

∞) = gR(ζ) =

g(ζ) = lo que implica queS fija z si y solo siz =, a partir de esto sabemos que S(z) =z+βy por lo tanto l´ım

n→∞S

n(z) =

∞para todoz, se sigue queSes una

traslación. Si consideramos el proceso de iteración sobreS obtenemos que

Sn(z) = Sn−1(S(z)) = Sn−1(gRg−1(z)) = Sn−2(S(gRg−1(z))) = Sn−2(gRg−1(gRg−1(z))) = Sn−2(gR2g−1(z))

...

= gRng−1(z) lo cual indica que

Rn(z) =g−1Sng(z) =g−1(Sn(g(z))) ahora como sabemos que l´ım

n→∞S

n(g(z)) =

∞ y g−1(∞) = ζ tenemos como

resul-tado

l´ım n→∞R

n(z) =g−1(l´ım n→∞S

n(g(z))) = g−1(

∞) =ζ

por teorema 8concluimos que ζes un punto fijo de R.

(27)

2.1 los conjuntos de fatou y julia 27

Supongamos que R fija a y 0, esto da como resultado que R(z) = kz, si con-sideramos la iteración de dicha función vemos que R2 =R(kz) =k(kz) =k2z, es decir, Rn(z) = knz. Como 0 e son puntos fijos, sabemos que l´ım

n→∞R

n(0) = 0 y l´ım

n→∞R n(

∞) = ∞, ahora tenemos que conocer como se comportan los demás

puntos deC ∞: Si|k|< 1, l´ım

n→∞R

n(z) = l´ım n→∞k

nz=z· l´ım n→∞k

n =z·0=0. Si|k|> 1, l´ım

n→∞R

n(z) = l´ım n→∞k

nz=z· l´ım n→∞k

n =z·

∞=∞.

Si|k|=1, |Rn(z)|=|knz|=|k|n|z|=|z|.

En el último caso no usamos límites porque si escribimos |k| = 1 en su forma exponencial k = eiθ entonces l´ım

n→∞R

n(z) = l´ım n→∞k

nz = z· l´ım n→∞e

iθn no existe. También tenemos que tener en cuenta que en dicho caso tenemos que:

k es una n-ésima raíz de la unidad yR(n) =knz =z es la identidad.

k no es una n-ésima raíz de la unidad y los puntosRn(z) son densos en el círculo con centro en el origen y radio |z|.

Ahora supongamos que Rtiene los puntos fijosζ1 y ζ2 tales que ζ1 6=ζ2. Vamos a construir una tranformación de Möbius g que mande ζ1 a 0 y ζ2 a . Por ejemplo si ζ1 y ζ2 son ambos finitos, podemos tomar g(z) = z−ζ1

z−ζ2, que es una tranformación de Möbius, ya que 1·(−ζ2) −1·(−ζ1) = ζ1−ζ2 6= 0. Al definir S=gRg−1 tenemos que Sfija a0 e.

2.1 los conjuntos de fatou y julia

Teniendo en cuenta que los sistemas dinámicos son fuentes de fractales de-terministas [3], que se caracterizan por ser generados por leyes deterministas,

en esta sección definiremos formalmente los conjuntos de Fatou y Julia, además describiremos algunas propiedades de estos conjuntos.

Definición 10. Una función f entre los espacios métricos X, Y es continua en el punto

x0∈Xsi, para todoǫ > 0existeδ > 0tal que para todox ∈X, sid(x0,x)< δentonces d(f(x0),f(x))< ǫ.

Definición 11. La familia F de funciones de X en Y es equicontinua en x0 si y solo si

para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para todo x X y para todo f F, se tiene que d(x0,x)< δimplicad(f(x0),f(x))< ǫ.

La familiaFes equicontinua enXsi es equicontinua en cada puntox0 ∈X.

(28)

Lema 6 (Lema de Zorn). Sea A un conjunto con un orden parcial estricto. Si todo subconjunto parcialmente ordenado de Atiene una cota superior enA entoncesA tiene un elemento maximal.

Teorema 17. Sea F una familia de funciones de X a Y, existe un subconjunto abierto

maximal deXen el que Fes equicontinua.

Demostración. Sea F = {fα}α∈Λ una familia de funciones, tales que, fα : X −→ Y. Sea D(fα)el dominio de cada una de dichas funciones, definamos M=SD(fα). Si T

D(fα) = ∅ entonces F no es equicontinua en X. Por lo tanto supongamos que T

D(fα) 6= ∅. Al definir el orden parcial en en M como la inclusión de conjuntos, tenemos que toda cadena CenMtiene cota superior, que es la unión de los subconjuntos de X que son elementos de C, luego por el lema de Zorn existeDque es maximal. Como este elemento es la unión de los dominios de los fα y su intersección no es vacía entoncesFes equicontinua enD.

Corolario17.1. Sif:X−→ Xentonces existe un subconjunto abierto maximal deXen

el cual la familia de iteraciones{fn}es equicontinua.

Definición12. SeaRuna función racional no constante, el conjunto de Fatou deRes el

subconjunto abierto maximal deC

∞ en el que{Rn}es equicontinua y el conjunto de Julia deRes su complemento enC

∞.

Los conjuntos de Fatou y Julia de R los denotaremos F(R) y J(R) respectiva-mente, oFyJ si el contexto es lo suficientemente explícito.

Lema7. El conjunto de JuliaJ(R)es compacto enC ∞.

Demostración. ComoJ(R)es el complemento del conjuntoF(R)que es abierto,J(R) es cerrado en C

∞ que es compacto, por lo tanto tenemos que J(R) es compacto.

Teorema 18. Sea R una función racional no constante, sea g una transformación de

Möbius yS=gRg−1entoncesF(S) =g(F(R))yJ(S) =g(J(R)).

Demostración. Sabemos que F(R) es el subconjunto abierto maximal deC

∞ en el que {Rn} es equicontinua. Como g es una transformación de Möbius entonces satisface la condición de Lipschitz, tomemos aMcomo la constante Lipschitz de g. Seaz0 F(R) entonces para todo ǫ > 0existe δ > 0tal que para todo z C

∞ y para todo Ri {Rn}, σ(z0,z) < Mδ implica σ(Ri(z0),Ri(z)) < M∈, por lo tanto σ(g(z0),g(z))< Mσ(z0,z)< δ implica σ(gRi(z0),gRi(z))< Mσ(Ri(z0),Ri(z))< ǫ pero por hipótesis sabemos que Sig=gRi, por lo tanto,σ(Si(g(z0)),Si(g(z)))< ǫ lo que quiere decir que g(z0) ∈ F(S), es decir, g(F(R)) = F(S). Además tenemos que

(29)

2.2 conjuntos completamente invariantes 29

Teorema 19. Para toda función racional no constante R y todo entero positivo P, se

cumple F(RP) =F(R)yJ(RP) =J(R)

Demostración. Sea la familia A = {Rn : n > 1}, tomemos S = RP y consideremos la familia B = {RP,R2P,R3P,. . .} = {Sn : n > 1} que es una subfamilia de A. Si A es equicontinua también lo es Bpor definición, con la característica que B al

poseer menos elementos que A, el subconjunto de C

∞ en el que es equicontin-ua contiene al de A, por lo tanto, F(R) F(S). Como cada Rk es una función racional, satisfacen la condición de Lipschitz, tomemos a M como la constante Lipschitz de Rk, queremos ver que la familia Fk ={RkSn :n> 0es equicontinua siempre y cuando B lo sea. Teniendo en cuenta que B es equicontinua en F(S) tomemos z0 F(S), para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para todo z C

ten-emos σ(z,z0) < δ implicaσ(Sn(z),Sn(z0)) < Mǫ para todon, con esto obtenemos que σ(RkSn(z),RkSn(z0)) < Mσ(Sn(z),Sn(z0)) < ǫ, teniendo en cuenta que en la primera desigualdad usamos la condición de Lipschitz. Como este resultado se tiene para todo n, demostramos que Fk es equicontinua para cuando lo esB,

más aún, lo es en F(S). También tenemos que la unión finitaF0F1∪ · · · ∪FP1

es equicontinua por definición, pero,

F0F1∪ · · · ∪FP1 = {Sn:n>0}{R1Sn :n>0}∪ · · · ∪{RP−1Sn :n>0}

= {RnP:n>0}{RnP+1:n>0}∪ · · · ∪{RnP+P−1 :n>0}

= {Rn:n>0}

No se toma FP porque FP = {RPRnP : n > 0} = {R(n+1)P : n > 0} luego FP F0. Esta familia es equicontinua en F(S) y {Rn : n > 1} también, pero esta es

equicontinua en F(R), por lo tantoF(RP) =F(S) =F(R). Finalmente, z J(RP)z (F(RP))C z(F(R))CzJ(R) es decir, J(RP) =J(R)

2.2 conjuntos completamente invariantes

Sea g:X−→X, el subconjunto EdeX es: 1. Invariante hacia adelante sig(E) =E. 2. Invariante hacia atrás sig−1(E) =E.

3. Completamente invariante sig(E) =E=g−1(E).

Siges sobreyectiva,g(X) =Xentonces los conceptos de invariancia hacia atrás y completa coinciden porque por sobreyectividad sabemos g(g−1(E)) = E y por invariancia hacia atrás g(E) =E.

Ejemplo5. Seang,R:C

(30)

Si g(z) = ez y g−1(z) = log(z), tenemos que C es invariante hacia atrás, pero comog(C)C, Cno es invariante hacia adelante.

Si Res una función racional como g(C

∞) = C∞ = g−1(C∞), luego C∞ es com-pletamente invariante.

Teorema 20. Sea R una función racional de grado mayor o igual a dos y suponga que

el conjunto finito E es completamente invariante para R entonces E tiene a lo más dos elementos.

Demostración. Supongamos que E tiene k elementos, siendoE finito y R(E) = E, Rdebe de actuar como una permutación deE, luego existe el enteroqtal queRq es la función identidad deE. Supongamos queRq tiene gradod, para todowE, Rq(z) = w tiene d soluciones todas en w y por la relación Riemann-Hurwitz aplicada aRq tenemos,P[VRq(z) −1] = k(d−1) 6 2d−2, como d >2 tenemos que k6 2(dd11) luego k62.

Ejemplo 6. Si E es completamente invariante bajo g y h : X −→ X es una

biyec-ción, como hgh−1(h(E)) = h(g(E)) = h(E)y (hgh−1)−1(h(E)) = hg−1h−1(h(E)) = hg−1(E) =h(E)entoncesh(E)es completamente invariante bajohgh−1.

Como el operadorg−1conmuta con el de intersección para cualquier colección

{Eα}de conjuntos tenemos queg−1(TEα) =Tg−1(Eα).

Ejemplo7. Si {Eα}es una familia de conjuntos completamente invariantes entonces su

intersección también lo es, es decir, g−1(T

Eα) = Tg−1(Eα) = TEα = Tg(Eα) = g(T

Eα).

Si tomamos un subconjunto E0 y definimos aE como la intersección de todos los conjuntos que son completamente invariantes que contienen a E0, tenemos que E es el menos conjunto completamente invariante que contiene a E0 y deci-mos queE0 generaE.

Definición 13. Para todo x,y X, x ∼ ysi y solo si existen enteros positivos n y m

tales quegn(x) =gm(y).

Teorema21. La relaciónx∼yes de equivalencia.

Demostración. Como gn(x) = gn(x) tenemos que x ∼ x, es decir, la relación es reflexiva. Si x ∼ y entonces existen los enteros positivos n,m tales que gn(x) = gm(y), es decir, gm(y) = gn(x) entonces y ∼ x, la relación es simétrica. Six ∼ y y y ∼ z entonces existen los enteros positivos n,m,p,q tales quegn(x) = gm(y) y gp(y) = gq(z), comoy ∼y si y solo sigm+p(y) = gm+p(y), además gm+p(y) = gn+p(x) ygm+p(y) = gm+q(z), luego gn+p(x) =gm+q(z), la relación es transitiva. Al ser la relación reflexiva, simétrica y transitiva, es de equivalencia.

Definición14. La órbita dex es la clase de equivalencia que contiene ax y la

(31)

2.2 conjuntos completamente invariantes 31

Teorema22. Seag:X−→X,[x]es el conjunto completamente invariante generado por

{x}.

Demostración. Sea hxi el conjunto completamente invariante generado por {x}.

Tomemos y [x] entonces existen los enteros positivos n,m tales que gm(y) = gn(x), por lo tanto, y = g−mgn(x), y g−mgn{x} g−mgnhxi = hxi porque hxi es completamente invariante, luego [x] ⊂ hxi. Como g1(y) = g0(g(y)) implica que y ∼ g(y) y si x ∼ y por transitividad tenemos que x ∼ g(y), es decir, x ∼ y si y solo si x ∼ g(y) o en otros términos y [x] si y solo si g(y) [x] si y solo si y g−1([x]) lo que prueba que [x] = g−1([x]), además como habíamos visto g(y) [x] para todo y [x] por lo tanto g([x]) = [x] y esto prueba que [x] es completamente invariante y como además sabemos que hxi es el menor conjun-to conjun-totalmente invariante que contiene a {x} tenemos que hxi ⊂ [x] y finalmente

hxi= [x]

Teorema23. Un conjunto es completamente invariante si y solo si es la unión de clases

de equivalencia [x].

Demostración. Supongamos que Ees completamente invariante, para cadax E tenemos que[x]es la clase de equivalencia que contiene ax y como las relaciones de equivalencia induce la partición del conjunto entoncesE=S

[x]. Supongamos queE=S

[x], tomemosg:E−→Eluego [x]es completamente invariante, por lo tanto,

g(E) =g([[x]) = [g([x]) = [[x] =E y

g−1(E) =g−1([[x]) =[g−1([x]) =[[x] =E es decir, Ees completamente invariante.

Teorema24. Seaguna función abierta y continua del espacio topológico Xsobre si

mis-mo y suponga queEes completamente invariante entonces también lo es su complemento X−E, su interiorE◦, su frontera∂Ey su clausuraE.

(32)

Teorema 25. Sea R una función racional, el conjunto de Fatou F y el de Julia J son completamente invariantes bajoR.

Demostración. Primero probaremos que F es completamente invariante. Como R es sobreyectiva R(F) = F luego solo tenemos que probar que R−1(F) = F. Sean z0 ∈R−1(F) yw0 ∈R(F)luego w0 ∈F, pero como en este conjunto la familia{Rn} es equicontinua, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si σ(w,w0) < δ entonces para todo n, σ(Rn(w),Rn(w0)) < ǫ, además por continuidad existeρ > 0 tal que si σ(z,z0) < ρ entonces σ(R(z),w0) < δ y por lo tanto σ(Rn+1(z),Rn+1(z0)) < ǫ esto muestra que {Rn+1 : n > 1} es equicontinua en z0 luego {Rn : n > 1} es equicontinua en z0, ya que la adición de la función R no afecta este hecho y como z0 es arbitrario tenemos que es equicontinua en R−1(F), por ser R−1(F) abierto y por la definición deFtenemos queR−1(F)F. Ahora tomemosz0Fy w0 =R(z0), para unǫ > 0existeδ > 0tal que para todon, siσ(z,z0)< δentonces σ(Rn+1(z),Rn+1(z0))< ǫ. Los puntoszque satisfacenσ(z,z0)< δforman la vecin-dad N de z0 y por lo tanto R(N) es una vecindad de w0. Si w ∈ R(N) entonces w = R(z) para algún z N y así σ(Rn(w),Rn(w0)) = σ(Rn+1(z),Rn+1(z0)) < ǫ esto muestra que w0 F y por lo tanto F R−1(F), finalmente, F = R−1(F), F es completamente invariante y por el anterior teorema J = C

∞−F también es completamente invariante.

Teorema 26. Sea P un polinomio de grado al menos dos entonces está en F(P) y la

componenteF deFque contiene aes completamente invariante bajoP.

Demostración. ComoPn(z)a medida quen, por serPpolinomio sabe-mos que existe alguna vecindad W de en la que Pn(z) uniformemente. Así dado ǫ

2 > 0existeN > 0tal que sin>Nyz,w∈Wentoncesσ(Pn(z),∞)< ǫ 2 y σ(Pn(w),)< ǫ2, por lo tanto,σ(Pn(z),Pn(w))6σ(Pn(z),) +σ(Pn(w),)< ǫ, es decir, {Pn} es equicontinua en W de donde tenemos que F. Ahora tenemos que ver que F es completamente invariante, pero como P(F) y además P(F) es un subconjunto conexo de F, tenemos que P(F) F y por tanto F P−1(F). Ahora supongamos que z P−1(F), entonces por el teorema anterior, z pertenece a alguna componente F1 de F y por el argumento anterior P(F1) ⊂ F∞. Si P(F1) 6= F∞ entonces existe algún punto ζ ∈ ∂F1 tal que P(ζ) = F, y esto no puede ser ya que ζ J y J es completamente invariante, deducimos que P(F1) = F∞ y por tanto existe algún w ∈ F1 tal que P(w) = ∞, pero entonces w= y F1 =F∞ luego z ∈ F∞, en conclusiónF∞ =P−1(F∞), es decir,F es completamente invariante.

2.3 familias normales y equicontinuidad

(33)

2.3 familias normales y equicontinuidad 33

Definición 15. La sucesión de funciones (fn)de X aY converge localmente de manera

uniforme en X a alguna función fsi cada punto x X tiene una vecindad en la que fn converge uniformemente a f.

Lema 8. Sea A subconjunto compacto de X y la sucesión (fn) converge localmente de manera uniforme en X, entonces la convergencia es uniforme enA.

Demostración. Para cada x A existe la vecindad Ux de x en la que fn con-verge uniformemente af, luego S

Ux cubre Ay por lo tanto podemos encontrar un recubrimiento finito de A manteniendo la convergencia uniforme tomando min{Nx} donde cada Nx está dado por la convergencia uniforme de cada Ux para todo xA.

Definición 16. Una familia F de funciones de X a Y es llamado normal en X si toda

sucesión infinita de funciones deFcontiene una subsucesión que converge uniformemente en todo subconjunto compacto de X.

La demostración del teorema Arzelà-Ascoli es tomada de [1].

Teorema 27. Teorema de Arzelà-Ascoli. Una familia F de funciones continuas con

val-ores en el espacio métrico Ses normal en la regiónΩdel plano complejo si y solo siFes equicontinua en todo compacto EΩ.

Demostración. Supongamos que F no es equicontinua en E, existe ǫ > 0, suce-siones de puntos zn,zn E y funciones fn ∈ F tal que |zn−zn′ | → 0 mientras d(fn(zn),fn(zn′)) > ǫ para todo n. Como E es compacto podemos elegir sub-sucesiones de {zn} y {zn′} que convergen a z

′′

∈ E y como F es normal existe una subsucesión de {fn} que converge uniformemente en E, nombremos dicha subsucesión {fnk} y su función límite f que es uniformemente continua en E, por lo tanto podemos encontrar k tal que las distancias de fnk(znk) a f(znk), de f(znk) a f(z

nk) y de f(z ′

nk) a fnk(z ′

nk) son menores que ǫ3, luego se tiene que d(fnk(znk),fnk(z

nk))< ǫ contrario a la suposición qued(fn(zn),fn(z ′

n))>ǫpara todo n, en conclusiónF es equicontinua en todo compactoEΩ.

Ahora tengamos en cuenta que existe una sucesión de puntos ζk densos en Ω, por ejemplo los racionales. De la sucesión{fn}obtendremos una subsucesión que converge a todos los puntosζk, encontrar una subsucesión que converja a un pun-to dado es siempre posible ya que si z Ωentonces para fF, f(z)pertenece a un subconjunto compacto de S. Podemos formar el arreglo de subíndices

n11 < n12 < · · ·< n1j < · · · n21 < n22 < · · ·< n2j < · · ·

· · · ·

nk1 < nk2 < · · ·< nkj< · · ·

(34)

tal que cada fila está contenida en la anterior y l´ım

j→∞fnkj(ζk) exista para todo k. La sucesión diagonal {njj} es estrictamente creciente y al final es una subsuce-sión de cada fila, por lo tanto {fnjj} es una subsucesión de {fn} que converge a todos los puntos los puntosζk Reemplazaremosnjjpornj, tomemos el compacto E Ωy asumamos que Fes equicontinua en E, debemos mostrar que {fnj} con-verge uniformemente en E. Dado ǫ > 0 elegimos δ > 0 tal que para z,z′ E y f F, |z−z′| < δ entonces d(f(z),f(z′)) < ǫ3. teniendo en cuenta que E es com-pacto, puede ser cubierto por un número finito de δ

2−vecindades, elegimos un punto ζk de cada de estas vecindades, existe un i0 tal que i,j > i0 implica que d(fni(ζk),fnj(ζk))<

ǫ

3 para todos losζk. Para cadaz∈Euno de losζk está entre la distancia δ desde z, por tanto, d(fni(z),fni(ζk)) <

ǫ

3 y d(fnj(z),fnj(ζk)) < ǫ 3, estas últimas tres desigualdades implican que d(fni(z),fnj(z)) < ǫ. Como todos los valores f(z) pertenecen a un compacto y en consecuencia a un subconjunto completo deS, se sigue que{fnj}es uniformemente convergente enE.

Corolario 27.1. Si D es un subdominio de la esfera de Riemann y F una familia de

funciones continuas deDen la esfera entoncesFes equicontinua enDsi y solo si es una familia normal enD.

Teorema 28. Teorema de Vitali. Suponga que la familia{f1,f2,. . .}de funciones

analíti-cas es normal en un dominioD y quefn converge puntualmente a alguna funciónf en algún subconjunto abierto no vacíoW deDentonces fse extiende a la función Fque es analítica enDyfn →Flocalmente de manera uniforme enD.

Demostración. Como {fn} es normal en D, existe una subsucesión de (fn) que converge localmente de manera uniforme en Da alguna función F, por lo tanto localmente se tiene convergencia uniforme de funciones analíticas, luegoFes una función analítica, pero como convergencia uniforme implica puntual tenemos que f = F en W. Supongamos que fn no converge a F localmente de manera uniforme en D entonces existe el compacto K D, ǫ > 0 y una subsucesión (gn) de (fn) tal que para todo n, Sup σ(gn(z),F(z)) > ǫ (∗). Sin embargo por normalidad existe una subsucesión (hn) de (gn) que converge localmente de manera uniforme a alguna función h en D,como (fn) converge también de esta forma, el elemento al que converge es único, luegoh=f=FenW, ademáshes analítica en Dy h =F en todoD, se tendría que Sup σ(hn(z),F(z))→ 0y como (hn)es una subsucesión de(gn)esto contradice a(∗)que es para todon, es decir, fn →Flocalmente de manera uniforme enD.

Teorema29. SeaDun dominio deC

∞ y seaΩ=C∞−{0,1,∞}entonces la familia F de todas las funciones analíticasf:DΩes normal enD.

Teorema 30. Sea F una familia de funciones, cada una analítica en un dominio D de

C

∞, sea m una constante positiva y para cada f ∈ F tenemos tres puntos distintos af,bf,cf∈C∞ tales que:

(35)

2.4 puntos excepcionales 35

min{σ(af,bf),σ(bf,cf),σ(cf,af)}>m entonces Fes normal enD.

Teorema31. SeaDun dominio y supongamos que las funcionesϕ1,ϕ2yϕ3son

analíti-cas en D y la clausura de los dominios ϕj(D) son mutuamente disjuntos. Sea F una familia de funciones analíticas en D, tal que para todozDy todafF,f(z)6=ϕj(z), j=1,2,3entoncesFes normal enD.

Las demostraciones de estos últimos tres teoremas las puede consultar en [4,

57].

2.4 puntos excepcionales

En esta sección se presentan a los puntos excepcionales con los cuales obten-emos mas propiedades relacionadas con los conjuntos de Julia y Fatou.

Definición 17. Un punto z es llamado excepcional paraR cuando [z] es finito, el

con-junto de tales puntos es denotado porE(R).

Teorema 32. Una función racional R de grado al menos 2 tiene a lo mas 2 puntos

excepcionales. Si E(R) ={ζ}entoncesR es conjugado a un polinomio conζ conjugado a

∞. SiE(R) = {ζ1,ζ2}dondeζ1 6=ζ2entonces Res conjugado a alguna funciónz → zd de modo queζ1yζ2 correspondan a0e∞.

Demostración. Tenemos quez E(R)si y solo si[z] = [z,z1,. . .,zn], es decir,[z]es finito, luego z ∼ zi para 1 6 i 6 n si y solo si existen los enteros positivos n,m tales que Rn(z) = Rm(zi), si aplicamos Ren ambos lados obtenemos Rn(R(z)) = Rn+1(z) = Rm+1(zi) = Rm(R(zi)), es decir, R(z) ∼ R(zi), por lo tanto [R(z)] es finito entonces R(z) E(R), de modo que E(R) = R(E(R)). Ahora en vez de R aplicaremos R−1 a ambos lados, Rn(R−1(z)) = Rn−1(z) =Rm−1(zi) = Rm(R−1(zi)) de modo que n−1 y m−1 sean enteros positivos si n,m > 1, si n = m = 1, [z] = {z} y siempre se cumple, luego, R−1(z) ∼ R−1(zi), por lo tanto

R−1(z) es finito, entonces R−1(z) E(R), es conclusión, E(R) = R−1(E(R)). De lo anterior tenemos queE(R)es completamente invariante bajoR. Por teorema20E(R)tiene a lo mas dos elementos y por lo tantoR tiene a lo mas dos puntos excepcionales. Se tiene que después de una adecuada conjugación, existen cuatro posibilidades a considerar:

1. E(R) =.

2. E(R) ={}= [].

3. E(R) ={0,}, [0] ={0}, [] ={}.

Figure

Figura 1.1. Proyección estereográfica.
Figura 1 1 Proyecci n estereogr ca . View in document p.9
Figura 1.2. Corte transversal.
Figura 1 2 Corte transversal . View in document p.10
Figura 3.1. El árbol de O−(z) para dos generadores cuadráticos.
Figura 3 1 El rbol de O z para dos generadores cuadr ticos . View in document p.45
Figura 3.2. Representación de la relación v ≺ w.
Figura 3 2 Representaci n de la relaci n v w . View in document p.47
Figura 3.3. f−1j (v) pertenece al subárbol Tv de T.
Figura 3 3 f 1j v pertenece al sub rbol Tv de T . View in document p.48
Figura 3.4. Ejemplo para un k en el que x1 · · · xksj(x1 · · · xk) ⊀ x.
Figura 3 4 Ejemplo para un k en el que x1 xksj x1 xk x . View in document p.48
Figura 3.5. Un ejemplo de w ∈ ∆i que cumple w′s(w′) ⊀ ws(w).
Figura 3 5 Un ejemplo de w i que cumple w s w ws w . View in document p.49
Figura 3.6. Para cualquier v ≺ w, vs(v ̸≺) ws(w).
Figura 3 6 Para cualquier v w vs v ws w . View in document p.50
Figura 4.3. z2 − 1 con el algoritmo clásico. Figura 4.4. G = ⟨z2 − 1, z2 − 1⟩ con elalgoritmo de órbita hacia atrás.
Figura 4 3 z2 1 con el algoritmo cl sico Figura 4 4 G z2 1 z2 1 con elalgoritmo de rbita hacia atr s . View in document p.55
Figura 4.1. z2 con el algoritmo clásico. Figura 4.2. G = ⟨z2, z2⟩ con el algoritmo deórbita hacia atrás.
Figura 4 1 z2 con el algoritmo cl sico Figura 4 2 G z2 z2 con el algoritmo de rbita hacia atr s . View in document p.55
Figura 4.5. G = ⟨z2, z2 − 1⟩ con el algoritmo de órbita hacia atrás.
Figura 4 5 G z2 z2 1 con el algoritmo de rbita hacia atr s . View in document p.56
Figura 4.6. Diagrama de flujo del algoritmo clásico.
Figura 4 6 Diagrama de ujo del algoritmo cl sico . View in document p.60
Figura 4.7. Diagrama de flujo del algoritmo dinámica hacia atrás.
Figura 4 7 Diagrama de ujo del algoritmo din mica hacia atr s . View in document p.63
Figura 4.8. Diagrama de flujo del algoritmo branchT1.
Figura 4 8 Diagrama de ujo del algoritmo branchT1 . View in document p.65
Figura 4.9. Diagrama de flujo del algoritmo branchT2.
Figura 4 9 Diagrama de ujo del algoritmo branchT2 . View in document p.66
Figura 4.10. Diagrama de flujo del algoritmo branchT3.
Figura 4 10 Diagrama de ujo del algoritmo branchT3 . View in document p.67
Figura 4.11. Diagrama de flujo del algoritmo branchT4.
Figura 4 11 Diagrama de ujo del algoritmo branchT4 . View in document p.68
Figura 4.12. Árbol de dinámica hacia adelante para cuatro funciones f1, f2, f3, f4.
Figura 4 12 rbol de din mica hacia adelante para cuatro funciones f1 f2 f3 f4 . View in document p.69
Figura 4.13. Diagrama de flujo del algoritmo dinámica hacia adelante.
Figura 4 13 Diagrama de ujo del algoritmo din mica hacia adelante . View in document p.74
Figura 4.14. Diagrama de flujo del algoritmo childrenCreate.
Figura 4 14 Diagrama de ujo del algoritmo childrenCreate . View in document p.77
Figura 4.15. Diagrama de flujo del algoritmo countLeaves.
Figura 4 15 Diagrama de ujo del algoritmo countLeaves . View in document p.79
Figura 4.17. f1 = z2 − 1, f2 = z3, f3 = z5 + i y f4 = z7.
Figura 4 17 f1 z2 1 f2 z3 f3 z5 i y f4 z7 . View in document p.81
Figura 4.18. f = z2 − i y g = z2 + i.
Figura 4 18 f z2 i y g z2 i . View in document p.82
Figura 4.21. imageType = 3. y Figura 4.22. imageType = 4.
Figura 4 21 imageType 3 y Figura 4 22 imageType 4 . View in document p.83
Figura 4.23. f = z2 + 1 y g = z22
Figura 4 23 f z2 1 y g z22 . View in document p.84
Figura 4.26. imageType = 3. y Figura 4.27. imageType = 4.
Figura 4 26 imageType 3 y Figura 4 27 imageType 4 . View in document p.85
Figura 4.28. f1 = z5, f2 = z15 y f3 = z25.
Figura 4 28 f1 z5 f2 z15 y f3 z25 . View in document p.86

Referencias

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