FACULTAD DE EDUCACIÓN Y TRABAJO SOCIAL
DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Y
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
TESIS DOCTORAL:
INTEGRAL DEFINIDA, CÁLCULO MENTAL
Y NUEVAS TECNOLOGÍAS
Presentada por Mario Porres Tomé para optar al grado
de doctor por la Universidad de Valladolid
Dirigida por: Dr. D. Tomás Ortega del Rincón
Memoria presentada para optar al grado de Doctor por la Universidad de Valladolid por D. Mario Porres Tomé, Licenciado en Ciencias Matemáticas en la Universidad de Valladolid, en el Programa de Doctorado: Investigación en Didáctica de las Ciencias Sociales, Experimentales, y de la Matemática.
D. TOMÁS ORTEGA DEL RINCÓN, Catedrático de Universidad de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Valladolid,
CERTIFICA:
Que la presente memoria, Integral Definida, Cálculo Mental y Nuevas Tecnologías, ha sido realizada por D. Mario Porres Tomé bajo mi dirección en la Universidad de Valladolid.
Valladolid, julio de 2011
La sabiduría exalta a sus hijos,
y cuida de los que la buscan.
El que la ama, ama la vida;
y los que madrugan a buscarla
A todos mis alumnos, en especial a quienes han participado en esta investigación, ellos son la razón por la cual deseamos mejorar la enseñanza. A mi esposa Pilar y a mis hijos Alfonso y Javier por su apoyo y sus ánimos; las conclusiones están redactadas, la Tesis ha concluido y después de su defensa todo mi tiempo será vuestro.
A mis padres, hermanos y al resto de mi familia; los familiares presentes se alegran por ver finalizada esta investigación, los ausentes hubieran tenido las mismas sensaciones y todos ellos han contribuido sobremanera a la llegada de este momento en el cual se concentran tantos años de trabajo. Gracias a esta ejemplar familia, sin ella no hubiera sido posible hacer nada. A todas las personas que han participado en mi educación, desde el más humilde de mis maestros hasta el más prestigioso de mis profesores, les expreso mi más sincero agradecimiento.
A todos los que se han interesado por mis progresos en esta investigación, gracias por vuestro ánimo y apoyo.
A los científicos de todos los tiempos, gracias a ellos tenemos una calidad de vida impensable siglos atrás y, además, sigue mejorando continuamente. Al Director de la Tesis, Dr. D. Tomás Ortega del Rincón, recio castellano, hombre cabal, trabajador incansable, paciente en grado sumo, excelente profesor e investigador. Gracias por tu magnanimidad, tus sabios consejos y tu confianza hacia mi persona; la deuda contraída contigo es impagable. A los Doctores del Tribunal calificador de esta Tesis Doctoral por el tiempo dedicado a la misma y por sus sabios consejos que sin duda me darán en el acto de defensa de esta Memoria.
A todas las personas que se acerquen a esta Tesis Doctoral por el diálogo virtual mantenido con ellas al realizar la lectura de este documento de investigación, y deseándoles que su propio tiempo dedicado a ello no sea baldío; en caso contrario, me consideraré su deudor.
La Tesis Doctoral Integral Definida, Cálculo Mental y Nuevas Tecnologías, inscrita en Didáctica de la Matemática, ha sido realizada bajo el marco metodológico cualitativo de investigación-acción y el modelo teórico de los actos de comprensión de Sierpinska.
La parte teórica se compone de los siguientes apartados:
El estudio los antecedentes, cuyos investigadores más significativos son: Schneider, Tall, Sierpinska, Abrahamson, Dubinsky, Rouche, Azcárate, Cordero, Contreras, Depool, Camacho, González-Martín, Sierra, Ortega, Blázquez, Eisenberg, Turégano, Llorens, Gómez, Cockcroft, Brousseau, Drijvers, Trouche, etc.
Un breve resumen de las características de la investigación cualitativa reconocida como investigación-acción.
La presentación de varios modelos teóricos utilizados en las investigaciones matemáticas con orientaciones didácticas, éstos son: imagen conceptual y definición conceptual de Tall y Vinner, los actos de comprensión de Sierpinska, la transposición didáctica de Chevallard, las representaciones semióticas de Duval, las situaciones didácticas de Brousseau y la teoría APOE (acciones, procesos, objetos y esquemas) de Dubinsky.
La epistemología del área y el cálculo integral, entre cuyos científicos más relevantes destacamos a: Eudoxo, Euclides, Arquímedes, Oresme, Cavalieri, Fermat, Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Darboux y Lebesgue.
El análisis curricular del concepto integral (definida e indefinida) realizado en once libros de texto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II y, para lo cual, se han establecido las correspondientes categorías de contenido matemático.
La parte experimental se realiza en seis ciclos, siguiendo un proceso en espiral, con alumnos de Bachillerato de la modalidad de Ciencias Sociales y en ella encontramos, entre otras, las siguientes aportaciones:
Los aprendizajes de los estudiantes de los conceptos inherentes a la integral definida analizados mediante el establecimiento de categorías de comprensión matemática, según los actos de comprensión de Sierpinska, y con la metodología cualitativa de investigación-acción. Los resultados prácticos del cálculo de primitivas elementales
realizados mediante el cálculo mental, cuya implementación ha sido realizada en los diez primeros minutos de cada sesión de clase en el aula habitual de grupo.
Los resultados de la utilización del programa de cálculo simbólico DERIVE, junto con el programa de utilidades realizado por el profesor investigador,en la enseñanza y el aprendizaje de la integral.
Consideramos interesantes dos descomposiciones de la integral definida realizadas en esta investigación: la primera es una descomposición genética según la teoría APOE y la segunda viene determinada según los actos de comprensión de Sierpinska y obstáculos y/o dificultades del concepto que nos ocupa; esta última nos sirve de base teórica para analizar las producciones de los estudiantes.
ÍNDICE
PRÓLOGO ... 1
CAPÍTULO I: EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN.
ANTECEDENTES. OBJETIVOS GENERALES...13
I.1. INTRODUCCIÓN ... 13
I.2. EL ORIGEN DEL PROBLEMA ... 14
I.3. ANTECEDENTES EN LA INVESTIGACIÓN ... 15
I.3.1. EL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA ... 15
I.3.2. LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS EN LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL DEFINIDA ... 59
I.3.3. CÁLCULO MENTAL ... 69
I.3.4. DIFICULTADES EN LA ADQUISICIÓN DEL SABER MATEMÁ-TICO (CONCEPTO INTEGRAL DEFINIDA), EN EL USO DE LOS PRO-GRAMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO Y EN EL CÁLCULO MENTAL .. 75
I.4. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN ... 94
I.5. OBJETIVOS GENERALES ... 99
CAPÍTULO II: MARCO METODOLÓGICO CUALITATICO ... 103
II.1. INTRODUCCIÓN ... 103
II.2. LA INVESTIGACIÓN-ACCIÓN ... 106
II.2.1. CONCEPTO, CARACTERÍSTICAS, RASGOS, REQUISITOS Y RECOPILACIÓN DE DATOS ... 106
II.2.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ... 114
II.2.3. LOS CICLOS Y SUS FASES ... 116
II.2.3.1. Planificación...119
II.2.3.2. Acción ...120
II.2.3.3. Observación o análisis ...120
II.2.3.4. Reflexión ...121
II.2.4. CONCLUSIONES ... 122
III.1.1. PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO ... 128
III.1.2. IMAGEN CONCEPTUAL Y DEFINICIÓN CONCEPTUAL ... 132
III.1.3. DIFICULTADES, OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS Y ERRORES ... 136
III.1.4. LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS DE BROUSSEAU ... 140
III.1.5. EL MODELO DE COMPRENSIÓN DE SIERPINSKA ... 145
III.1.6. LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA DE CHEVALLARD ... 155
III.1.7. LAS REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE DUVAL ... 159
III.1.8. LA TEORÍA APOE ... 164
III.1.8.1. Análisis teórico ...166
III.1.8.2. Tratamiento instruccional. Metodología de la enseñanza ACE....171
III.1.8.3. Observación, discusión y valoración ...173
III.1.8.4. Descomposición genética de la integral ... ...174
III.1.8.5. Aportaciones y limitaciones de la teoría APOE ... ...181
III.2. MARCO TEÓRICO DE LA INVESTIGACIÓN. ACTOS DE COMPRENSIÓN DE SIERPINSKA ... 183
III.2.1. PODER DESCRIPTIVO ... 184
III.2.2. PODER EXPLICATIVO ... ...184
III.2.3. ALCANCE ... 184
III.2.4. PODER PREDICTIVO ... 185
III.2.5. RIGOR Y ESPECIFICIDAD ... 185
III.2.6. CAPACIDAD DE FALSACIÓN ... 186
III.2.7. CAPACIDAD DE REPLICACIÓN ... 186
III.2.8. TRIANGULACIÓN ... ...187
III.3. HIPÓTESIS ... 188
CAPÍTULO IV: TRATAMIENTO CURRICULAR
...
193
IV.1. LEGISLACIÓN... 193
IV.1.1. LOGSE, EXTRACTO DEL REAL DECRETO 938/2001 ... 195
IV.1.2. LOE, EXTRACTO DEL DECRETO 42/2008 ... 197
IV.1.3. REFLEXIONES ... 200
IV.2. ANÁLISIS CURRICULAR DEL CONCEPTO ... 201
IV.2.1. CATEGORÍAS DE CONTENIDO MATEMÁTICO RELATIVAS AL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA ... 201
IV.2.1.1. NA: Contenidos sobre números y aproximación ... ...202
IV.2.1.2. AR: Contenidos sobre áreas y aproximación ... ...202
IV.2.1.3. ID: Contenidos sobre la integral definida ... ...203
IV.2.1.4. PID: Propiedades de la integral definida ... ...203
IV.2.1.5. DJ: Demostraciones y justificaciones analíticas ... ...203
IV.2.1.6. GR: Gráficas ... ...204
IV.2.1.7. II: Integral indefinida ... ...205
IV.2.1.8. AID: Aplicaciones de la integral definida ... ...205
IV.2.3.1. NA: Contenidos sobre números y aproximación...210
IV.2.3.2. AR: Contenidos sobre áreas y aproximación ...212
IV.2.3.3. ID: Contenidos sobre la integral definida ...214
IV.2.3.4. PID: Propiedades de la integral definida ...215
IV.2.3.5. DJ: Demostraciones y justificaciones analíticas...216
IV.2.3.6. GR: Gráficas ...217
IV.2.3.7. II: Integral indefinida ...218
IV.2.3.8. AID: Aplicaciones de la integral definida ...219
IV.2.3.9. MO: Motivación ...220
IV.2.3.10. Tablas cuantitativas ...222
IV.2.4. REFLEXIONES ... 226
CAPÍTULO V: ESTUDIO EPISTEMOLÓGICO.
LA DOCENCIA ACTUAL. ÁREA E INTEGAL
...
229
V.1. INTRODUCCIÓN ... 229
V.2. EPISTEMOLOGÍA DEL CÁLCULO INTEGRAL ... 231
V.2.1. INTRODUCCIÓN ... 231
V.2.2. EDAD ANTIGUA Y EDAD MEDIA ... 233
V.2.3. DEL RENACIMIENTO HASTA BARROW ... 238
V.2.4. DESDE NEWTON Y LEIBNIZ HASTA EL CONCEPTO INTEGRAL ... 241
V.2.5. LA INTEGRAL COMO OBJETO MATEMÁTICO ... 242
V.2.6. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES EPISTEMOLÓGICAS ... 243
V.3. EL ÁREA COMO LÍMITE ... 247
V.3.1. ÁREA DEL RECTÁNGULO ... 247
V.3.2. INTRODUCCIÓN DEL NÚMERO ... 252
V.3.2.1. Longitud de la circunferencia ... ...252
V.3.2.2. Área del círculo ... ...253
V.4. INTEGRAL DEFINIDA EN MACS II ... 254
V.4.1. CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA ... 255
V.4.1.1. Integral de Darboux ... ...256
V.4.1.2. Integral de Riemann ... ...259
V.4.1.3. Integral de Darboux versus Integral de Riemann ... ...261
V.4.2. VALOR NUMÉRICO DE LA INTEGRAL DEFINIDA ... 262
V.4.2.1. Teorema del valor medio del cálculo diferencial ... ...263
V.4.2.2. Teorema fundamental del cálculo (Fischer) ... ...264
V.4.2.3. Primer teorema fundamental del cálculo (Spivak)... ...266
V.4.2.4. Segundo teorema fundamental del cálculo (regla de Barrow) ...266
V.4.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ... 267
V.4.3.1. De los extremos de integración ... ...267
V.4.3.2. Linealidad y aditividad ... ...267
V.4.3.3. De la monotonía ... ...268
V.5.2. MÉTODO DE LOS TRAPECIOS ... 272
V.6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL ... 274
V.6.1. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA ... 274
V.6.2. OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ... 278
CAPÍTULO VI: FOCOS, CICLOS Y FASES DE LA
INVESTIGACIÓN Y CATEGORÍAS DE ANÁLISIS
...
279
VI.1. INTRODUCCIÓN... 279
VI.2. FOCOS DE LA INVESTIGACIÓN ... 279
VI.2.1. FOCO 1: PRECONCEPTO ... 281
VI.2.2. FOCO 2: CONCEPTO ... 282
VI.2.3. FOCO 3: APLICACIONES ... 283
VI.3. CICLOS Y FASES DE LA INVESTIGACIÓN ... 285
VI.3.1. EL PROBLEMA Y LA MUESTRA ... 285
VI.3.2. CICLO DE EXPLORACIÓN (I, CURSO 2003-2004) ... 286
VI.3.3. CICLOS DE CONFIRMACIÓN (II y III) ... 287
VI.3.3.1. Ciclo II (Curso 2004-2005) ... ...287
VI.3.3.2. Ciclo III (Curso 2005-2006) ... ...289
VI.3.4. CICLOS DE CONSOLIDACIÓN (IV y V) ... 290
VI.3.4.1. Ciclo IV (Curso 2006-2007) ... ...290
VI.3.4.2. Ciclo V (Curso 2007-2008) ... ...292
VI.3.5. CICLO DE CIERRE (VI, CURSO 2008-2009) ... 293
VI.3.6. REFLEXIÓN ... 294
VI.4. CATEGORÍAS ... 295
VI.4.1. INTRODUCCIÓN... 295
VI.4.2. CATEGORÍAS DE COMPRENSIÓN MATEMÁTICA ... 296
VI.4.3. REFLEXIÓN ...303
CAPÍTULO VII: CICLO DE EXPLORACIÓN (I),
CURSO 2003-2004
...
305
VII.1. INTRODUCCIÓN ... 305
VII.2. PLANIFICACIÓN... 306
VII.3. ACCIÓN ... 308
VII.3.1. DESCRIPCIÓN DE LA ACCIÓN ... 309
VII.3.1.1. SESIÓN 1: Miércoles, 12 de mayo de 2004 ... ...309
VII.3.1.2. SESIÓN 8: Martes, 25 de mayo de 2004 ... ...312
VII.3.2. REFLEXIONES DE LA ACCIÓN ... 316
VII.4. ANÁLISIS DE LOS CUADERNILLOS... 319
VII.4.1.3. DGSS: Determinación gráfica de las sumas superiores ... .323
VII.4.1.4. RSISR: Relación entre las sumas inferiores y superiores de dos particiones, la segunda un refinamiento de la primera ... ...324
VII.4.1.5. ESIS: Expresión analítica de las sumas inferiores y superiores asociadas a una partición de "n+1" nodos ...325
VII.4.1.6. EID: Explicación de las integrales inferior y superior de Darboux...327
VII.4.1.7. ACAFE: Cálculo del área mediante fórmulas elementales ...329
VII.4.1.8. DGSR: Determinación gráfica de las sumas de Riemann ...332
VII.4.1.9. RFIAR: Representación gráfica de la función integral en función del área recorrida ...333
VII.4.1.10. IGAI: Interpretación gráfica de la aditividad de la integral ...335
VII.4.1.11. IGTVMI: Interpretación gráfica del teorema del valor medio de la integral ...336
VII.4.2. RESUMEN DE LAS CATEGORÍAS DE COMPRENSIÓN MATEMÁTICA DEL CICLO DE EXPLORACIÓN ... 337
VII.4.3. ANÁLISIS SEGÚN LOS ACTOS DE COMPRENSIÓN DE SIERPINSKA ... 341
VII.5. REFLEXIONES DEL CICLO DE EXPLORACIÓN ... 344
CAPÍTULO VIII: CICLOS DE CONFIRMACIÓN (II Y III),
CURSOS 2004-2005 Y 2005-2006
...
347
VIII.1. INTRODUCCIÓN ... 347
VIII.2. PLANIFICACIÓN ... 349
VIII.3. ACCIÓN ... 353
VIII.3.1. DESCRIPCIÓN DE LA ACCIÓN ... 353
VIII.3.1.1. SESIÓN 4: Miércoles (15-12-2004) y lunes (12-12-2005) ...354
VIII.3.1.2. SESIÓN 12: Lunes (17-01-2005) y miécoles (11-01-2006) . ....356
VIII.3.2. REFLEXIONES DE LA ACCIÓN ... 360
VIII.4. ANÁLISIS DE LOS CUADERNILLOS ... 363
VIII.4.1. CATEGORÍAS DE COMPRENSIÓN MATEMÁTICA ... 363
VIII.4.1.1. DR: Representación de la función de Dirichlet ...365
VIII.4.1.2. DMIN4: Mínimos de la función de Dirichlet para una partición de 4 subintervalos...366
VIII.4.1.3. DMAX4: Máximos de la función de Dirichlet para una partición de 4 subintervalos... ...367
VIII.4.1.4. DSI4: Representa y calcula la suma inferior según DMIN4 ...368
VIII.4.1.5. DSS4: Representa y calcula la suma superior según DMAX4 ..369
VIII.4.1.6. DIINF: Dirichlet integral inferior ...370
VIII.4.1.7. DISUP: Dirichlet integral superior ...371
VIII.4.1.8. DNI: Dirichlet no integrable ...373
VIII.4.1.11. AMAX4: Máximos de la función afín para una partición
de 4 subintervalos...376
VIII.4.1.12. ASI4: Representa y calcula la suma inferior según AMIN4 ...377
VIII.4.1.13. ASS4: Representa y calcula la suma superior según AMAX4 379 VIII.4.1.14. AIINF: Afín integral inferior ... ...380
VIII.4.1.15. AISUP: Afín integral superior ...382
VIII.4.1.16. AI: Afín integrable ...384
VIII.4.1.17. CP: Cálculo de primitivas ...386
VIII.4.2. TABLAS RESUMEN DE LAS CATEGORÍAS DE COMPREN-SIÓN MATEMÁTICA DE LOS CICLOS DE CONFIRMACIÓN ... 389
VIII.4.2.1. Categorías de los ciclos de confirmación (II y III) que son comunes al ciclo de exploración (I) ... ...390
VIII.4.2.2. Nuevas categorías de los ciclos de confirmación (II y III) ...392
VIII.4.3. REFLEXIONES DERIVADAS DEL ANÁLISIS DE LOS CUADERNILLOS DE LOS CICLOS DE CONFIRMACIÓN ... 394
VIII.4.4. ANÁLISIS SEGÚN LOS ACTOS DE COMPRENSIÓN DE SIERPINSKA ... 397
VIII.5. REFLEXIONES DE LOS CICLOS DE CONFIRMACIÓN ... 402
CAPÍTULO IX: CICLOS DE CONSOLIDACIÓN (IV Y V),
CURSOS 2006-2007 Y 2007-2008
...
405
IX.1. INTRODUCCIÓN... 405
IX.2. PLANIFICACIÓN ... 408
IX.3. ACCIÓN... 411
IX.3.1. DESCRIPCIÓN DE LA ACCIÓN ... 411
IX.3.2. REFLEXIONES DE LA ACCIÓN ... 421
IX.4. ANÁLISIS DE LOS CUADERNILLOS ... 425
IX.4.1. CATEGORÍAS DE COMPRENSIÓN MATEMÁTICA ... 425
IX.4.1.1. DSIn-10: Dirichlet, sumas inferiores en "n ó 10" subintervalos ...427
IX.4.1.2. DSSn-10: Dirichlet, sumas superiores en "n ó 10" subintervalos ...429
IX.4.1.3. ASI20: Afín, sumas inferiores en "20" subintervalos...432
IX.4.1.4. ASS20: Afín, sumaas superiores en "20" subintervalos ...433
IX.4.1.5. ASIn: Afín, sumas inferiores en "n" subintervalos...434
IX.4.1.6. ASSn: Afín, sumas superiores en "n" subintervalos...436
IX.4.1.7. ACID: Cálculo del área por medio de la integral definida ...437
IX.4.1.8. ATCFI: Cálculo del área mediante el teorema de caracterización de las funciones integrables ...438
IX.4.1.9. IGTVMD: Interpretación gráfica del teorema del valor medio del cálculo diferencial ...440
IX.4.1.12. TFCSI: Teorema fundamental del cálculo integral (sumas e
incrementos) ...444
IX.4.1.13. CP: Cálculo de primitivas...445
IX.4.2. TABLAS RESUMEN DE LAS CATEGORÍAS DE COMPREN-SIÓN MATEMÁTICA DE LOS CICLOS DE CONSOLIDACIÓN ... 449
IX.4.2.1. Categorías de los ciclos de consolidación (IV y V) que son comunes a las de los ciclos de exploración (I) y confirmación (II y III) ...450
IX.4.2.2. Categorías de los ciclos de consolidación (IV y V) que son comunes a las de los ciclos de confirmación (II y III) ...452
IX.4.2.3. Nuevas categorías de los ciclos de consolidación (IV y V) ...454
IX.4.3. REFLEXIONES DERIVADAS DEL ANÁLISIS DE LOS CUADERNILLOS DE LOS CICLOS DE CONSOLIDACIÓN ... 456
IX.4.4. ANÁLISIS SEGÚN LOS ACTOS DE COMPRENSIÓN DE SIERPINSKA ... 460
IX.5. REFLEXIONES DE LOS CICLOS DE CONSOLIDACIÓN ... 465
CAPÍTULO X: CICLO DE CIERRE (VI), CURSO 2008-2009
...
467
X.1. INTRODUCCIÓN ... 467
X.2. PLANIFICACIÓN ... 471
X.3. ACCIÓN ... 474
X.3.1. DESCRIPCIÓN DE LA ACCIÓN ... 475
X.3.1.1. Cálculo mental ...476
X.3.1.2. Cálculo estimativo y cálculo de áreas ...479
X.3.1.3. Otras aplicaciones de la integral ...482
X.3.1.4. Problemas propuestos en las pruebas de acceso a las Universidades de Castilla y León...487
X.3.2. REFLEXIONES DE LA ACCIÓN ... 490
X.4. ANÁLISIS DE LOS CUADERNILLOS ... 493
X.4.1. CATEGORÍAS DE COMPRENSIÓN MATEMÁTICA ...493
X.4.1.1. DGA: Determinación gráfica del área ...494
X.4.1.2. DGSI: Determinación gráfica de las sumas inferiores...495
X.4.1.3. DGSS: Determinación gráfica de las sumas superiores...496
X.4.1.4. RSISR: Relación entre las sumas inferiores y superiores de dos particiones, la segunda un refinamiento de la primera...497
X.4.1.5. ESIS: Expresión analítica de las sumas inferiores y superiores asociadas a una partición de 6 nodos ...498
X.4.1.6. EID: Explicación de las integrales inferior y superior de Darboux...500
X.4.1.7. DR: Representación de la función de Dirichlet ...502
X.4.1.10. DSI4: Representa y calcula la suma inferior según DMIN4 ...504 X.4.1.11. DSS4: Representa y calcula la suma superior según DMAX4 ....505 X.4.1.12. DSI8: Dirichlet, suma inferior en 8 subintervalos ...507 X.4.1.13. DSS8: Dirichlet, suma inferior en 8 subintervalos ...508 X.4.1.14. DIINF: Dirichlet integral inferior ...509 X.4.1.15. DISUP: Dirichlet integral superior ...510 X.4.1.16. DNI: Dirichlet no integrable ...511 X.4.1.17. AR: Representar el área determinada por la función afín ...512 X.4.1.18. AMIN4: Mínimos de la función afín para una partición de 4
subintervalos ... ...513 X.4.1.19. AMAX4: Máximos de la función afín para una partición de 4 subintervalos... ...513 X.4.1.20. ASI4: Representa y calcula la suma inferior según AMIN4 ...514 X.4.1.21. ASS4: Representa y calcula la suma superior según AMAX4 ....515 X.4.1.22. ASI8: Afín, suma inferior en 8 subintervalos ...517 X.4.1.23. ASS8: Afín, suma superior en 8 subintervalos ...518 X.4.1.24. ASIn: Afín, suma inferior en "n" subintervalos ...519 X.4.1.25. ASSn: Afín, suma superior en "n" subintervalos ...520 X.4.1.26. AIINF: Afín integral inferior ...520 X.4.1.27. AISUP: Afín integral superior ...521 X.4.1.28. AI: Afín integrable ...522 X.4.1.29. ACAFE: Cálculo del área mediante fórmulas elementales ...523 X.4.1.30. ACID: Cálculo del área por medio de la integral definida ...523 X.4.1.31. ATCFI: Cálculo del área mediante el teorema de
caracterización de las funciones integrables ...524 X.4.1.32. DGSR: Determinación gráfica de las sumas de Riemann ...525 X.4.1.33. IGTVMD: Interpretación gráfica del teorema del valor medio del cálculo diferencial ...527 X.4.1.34. TFCIS: Teorema fundamental del cálculo integral (sumas) ...528 X.4.1.35. TFCII: Teorema fundamental del cálculo integral
(incrementos) ...529 X.4.1.36. TFCSI: Teorema fundamental del cálculo integral (sumas e
incrementos) ...530 X.4.1.37. RFIAR: Representación gráfica de la función integral en
función del área recorrida ...531 X.4.1.38. IGAI: Interpretación gráfica de la aditividad de la integral ...532 X.4.1.39. IGTVMI: Interpretación gráfica del teorema del valor medio de la integral ...533 X.4.1.40. CP: Cálculo de primitivas ...535 X.4.2. TABLA RESUMEN DE LAS CATEGORÍAS DE
COMPREN-SIÓN MATEMÁTICA DEL CICLO DE CIERRE ... 540 X.4.3. REFLEXIONES DERIVADAS DEL ANÁLISIS DE LOS
CUADERNILLOS DEL CICLO DE CIERRE ... 543 X.4.4. ANÁLISIS SEGÚN LOS ACTOS DE COMPRENSIÓN DE
X.5.2. ENCUESTA A LOS ALUMNOS ... 553 X.5.2.1. Cálculo mental ...555 X.5.2.2. Práctica con lápiz y papel (cuadernillo de la integral) ...557 X.5.2.3. Unidad didáctica: Área e integral definida...559
X.6. REFLEXIONES DEL CICLO DE CIERRE ... 561
CAPÍTULO XI: DEL LÁPIZ Y PAPEL A LAS NUEVAS
TECNOLOGÍAS CON DERIVE
...
565
XI.1. INTRODUCCIÓN ... 565 XI.2. PRÁCTICAS CON LÁPIZ Y PAPEL ... 568
XI.2.1. OBJETIVOS ... 569 XI.2.2. PRÁCTICA CON LÁPIZ Y PAPEL DEL SEGUNDO CICLO ... 570 XI.2.3. PRÁCTICA CON LÁPIZ Y PAPEL DEL TERCER CICLO ... 577 XI.2.4. REFLEXIONES ... 583
XI.3. PRÁCTICAS CON DERIVE ... 586
XI.3.1. OBJETIVOS ... 589 XI.3.2. PRÁCTICA CON DERIVE, CICLOS DE CONFIRMACIÓN ... 591 XI.3.2.1. Planificación y texto de la práctica ...591 XI.3.2.2. Acción...596 XI.3.2.3. Análisis de las respuestas...598 XI.3.2.4. Tablas resumen de las prácticas informáticas...599 XI.3.2.5. Reflexiones ...602 XI.3.3. PRÁCTICA CON DERIVE, CICLOS DE CONSOLIDACIÓN ... 604 XI.3.3.1. Planificación y texto de la práctica ...604 XI.3.3.2. Acción...609 XI.3.3.3. Análisis de las respuestas...611 XI.3.3.4. Tablas resumen de las prácticas informáticas...614 XI.3.3.5. Reflexiones ...615 XI.3.4. PRÁCTICA CON DERIVE, CICLO DE CIERRE ... 617 XI.3.4.1. Planificación y texto de la práctica ...617 XI.3.4.2. Acción...624 XI.3.4.3. Análisis de las respuestas...625 XI.3.4.4. Tablas resumen de las prácticas informáticas...627 XI.3.4.5. Encuesta a los alumnos...628 XI.3.4.6. Reflexiones ...630
XI.4. ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS CON DERIVE SEGÚN LOS
ACTOS DE COMPRENSIÓN DE SIERPINSKA ... 632 XI.5. REFLEXIONES GENERALES ... 638
CAPÍTULO XII: CONCLUSIONES, PROPUESTA
CURRICULAR Y PROBLEMAS ABIERTOS
...
643
XII.1. INTRODUCCIÓN ... 643 XII.2. CONCLUSIONES ... 644
XII.2.1. OBJETIVO 1. HIPÓTESIS: 1.1, 1.2 Y 1.3 ... 644 XII.2.2. OBJETIVO 2. HIPÓTESIS: 2.1 Y 2.2 ... 651 XII.2.3. OBJETIVO 3. HIPÓTESIS: 3.1, 3.2, 3.3 Y 3.4 ... 656 XII.2.4. OBJETIVO 4. HIPÓTESIS: 4.1 Y 4.2 ... 671 XII.2.5. DECÁLOGO DE CONCLUSIONES FINALES ... 675
XII.3. LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN ... 676 XII.4. APORTACIONES DE LA INVESTIGACIÓN ... 677 XII.5. PROPUESTA CURRICULAR ... 680 XII.6. PROBLEMAS ABIERTOS ... 684
PRÓLOGO
La ciencia Matemática, considerada en algún momento específica de las enseñanzas técnicas, impregna toda actividad humana y hoy tiene un papel protagonista en todas las ramas del saber. Las Matemáticas forman parte de un amplio conjunto de disciplinas científicas reconocidas actualmente como “Ciencias Sociales” y, en consecuencia, ha quedado superada la dicotomía Ciencias-Letras imperante en los estudios hasta mediados del siglo pasado. Las Matemáticas y la Lengua son materias instrumentales y vehiculares en la Enseñanza y, por tanto, los profesores de estas asignaturas deben facilitar y favorecer su aprendizaje a todos los alumnos1, incluso a aquellos que carecen de motivación alguna. No es suficiente enseñar Matemáticas en los Institutos de Enseñanza Secundaria mediante la exposición magistral. La sociedad ha cambiado, los estudiantes tienen sus propias prioridades, cuando no son incertidumbres; su diversidad cultural y su procedencia son manifiestas en nuestras aulas; además, existen intereses dispares, e incluso contrapuestos, entre la administración educativa, los profesores, los alumnos y los padres de alumnos. En la enseñanza se exigen cambios profundos. Los informes y evaluaciones, internos y externos, de la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas son constantes y, entre ellos, destacamos:
El informe Cockcroft que es el resultado de la comisión creada, en 1978, por el gobierno británico a instancias del Parlamento con el siguiente mandato: “Examinar la enseñanza de las matemáticas en las escuelas primarias y secundarias de Inglaterra y Gales, teniendo en cuenta en particular las enseñanzas exigidas en la enseñanza superior y postsecundaria, en el trabajo y vida adulta en general, y hacer recomendaciones”.
1 Salvo que se especifique lo contrario, cuando expresemos: alumnos, padres, profesores, etc.
Los periódicos informes PISA2 que acaparan en muchos momentos un espacio considerable entre los informativos de mayor prestigio y calidad, asimismo, en las conversaciones habituales de las personas interesadas en la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. Los Gobiernos, central y autonómicos, y las Universidades son conscientes de la importancia de la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas y, para ello, se han creado Departamentos de Didáctica de la Matemática cuyas investigaciones en este área de conocimiento, aunque joven, son extensas y producen documentos de altísima calidad. Asimismo, las revistas de Didáctica de las Ciencias proliferan en multitud de países y las Tesis Doctorales con orientación didáctica crecen de forma exponencial.
Pensamos que un profesor de Matemáticas puede hacer algo por mejorar su propia enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas de los estudiantes de Bachillerato; sin embargo, no es lo mismo trabajar con alumnos de Ciencias y Tecnología que con alumnos de Ciencias Sociales, pues estos últimos, suelen arrastrar importantes carencias matemáticas y, generalmente, su propio interés por esta ciencia es bajo, cuando no de auténtico rechazo. El profesor investigador, después de haber ejercido la docencia en distintos Institutos de Enseñanza Secundaria (IES) durante varios años y habiendo leído reflexivamente el informe Cockcroft en 1990, se propuso mejorar su propia actividad docente; sin embargo, aunque loable tal intención, es insuficiente si se pretende realizar sin ayuda alguna.
El traslado de este profesor, del IES “Eugenio Frutos” de Guareña (Badajoz) al IES “Arca Real” de Valladolid, le permitió realizar los cursos de Doctorado de Didáctica de la Matemática en la Facultad de Educación de la Universidad de Valladolid y, bajo la tutela del profesor Ortega, obtener la suficiencia investigadora y comenzar la Tesis Doctoral “Integral Definida, Cálculo Mental y Nuevas Tecnologías” cuya investigación experimental debía desarrollarse con estudiantes de segundo curso de Bachillerato de la modalidad de Ciencias Sociales pues consideramos que, aunque los resultados sean más discretos que los de los estudiantes de Ciencias y Tecnología, pueden ser más satisfactorios dadas las dificultades con las que podíamos encontrarnos, tanto por las particularidades de los alumnos como por el tema objeto de nuestra investigación.
2 Programme for International Assessment. En castellano: Informe del Programa Internacional para la
Un nuevo traslado al IES “Félix Rodríguez de la Fuente” de Burgos ha sido el motivo por el cual la investigación experimental se ha realizado con alumnos de este centro docente y, posiblemente, haya retrasado la redacción final de la presente Memoria puesto que los desplazamientos entre Burgos y Valladolid no han tenido, en algunos momentos, la periodicidad deseada. La realización de esta Tesis no ha sido fácil, la investigación ha tenido sus incertidumbres, dificultades, desasosiegos, exigencias y; asimismo, alegrías, ilusiones y satisfacciones por los pequeños logros personales y colectivos que se han ido obteniendo. Los documentos consultados y elaborados, las pruebas realizadas y corregidas, las audiciones de las grabaciones efectuadas y las entrevistas con el Director de la Tesis han ocupado largas horas en cualquier momento del día de los muchos en los que ha transcurrido la presente investigación. Al fin, la investigación ha llegado a su término y ha sido necesario poner en orden los documentos dispersos que la recogían, e incluso, algunos de ellos estaban redactados a vuelapluma. Redactar la Tesis Doctoral no resulta tan trivial como puede pensarse en un primer momento, obliga al autor a prestar atención en la configuración y redacción de otras Tesis, a buscar en internet normas generales de publicación de trabajos originales y a leer algún texto de contrastado prestigio, entre ellos Cómo se hace una Tesis de Umberto Eco. A pesar de ello, la elección del sistema de referencia bibliográfica comporta un pequeño dilema entre el modelo ISO 690 o APA3, nosotros nos hemos decantado por el segundo ya que es el más utilizado en las Tesis Didácticas. Encontramos un nuevo dilema, la redacción será extensa o reducida; el profesor investigador, dado que realiza su actividad docente con estudiantes de educación secundaria, considera que si a los alumnos debe explicárseles la materia sin hurtar información alguna y con claridad meridiana, entonces, por defecto profesional, debemos redactar la presente Memoria con una extensión razonable y escribiéndola en un lenguaje sencillo y explicativo. Por último, ¿pocas o muchas notas a pie de página?, evidentemente, es más fácil escribir pocas; sin embargo, para facilitar su lectura pensamos que es mejor ser generosos y que el lector elija las que considere necesarias.
Archivada toda la documentación en ficheros varios y tomadas las decisiones oportunas, es el momento de redactar la Tesis y, de nuevo, la organización secuencial de todos los documentos disponibles y elaborados
se muestra claramente insuficiente, deben estar archivados de forma indexada con multitud de referencias entre ellos y, a pesar de ello, se pierde algún puntero, no obstante, es la forma más eficaz de controlar tal cantidad de información y comenzar la redacción de esta Memoria de Tesis Doctoral. Pensamos que las informaciones gráficas ayudan incuestionablemente a la comprensión de los textos y su visualización hace que facilite la retención de la información; por tanto, consideramos que las figuras, tablas y gráficos incluidos en la presente Memoria son suficientes y las referencias a los mismos, para facilitar su localización, son las que corresponden al epígrafe en el cual se encuentran ubicados.
Una vez que se han descrito las pautas de redacción de la Memoria, es el momento de presentar el tema de investigación. Así pues, uno de los contenidos curriculares que, sin duda, merecen una atención especial es la integral definida, ya que la creencia general del investigador es que este concepto presenta numerosas y profundas dificultades de aprendizaje para los estudiantes de Bachillerato, sobre todo, de Ciencias Sociales; esta creencia procede de las experiencias docentes del investigador y del director de la investigación. La idea inicial del equipo investigador es integrar en la docencia, junto con el estudio tradicional, el cálculo mental y el software de cálculo simbólico y representación gráfica denominado DERIVE. El análisis de la docencia integrando estas orientaciones didácticas constituye el origen y objetivo general de la investigación, el cual se puede concretar en los siguientes términos:
Este objetivo general se desdobla en cuatro: el primero consistente en un estudio epistemológico de la integral y, el resto, uno por cada una de las partes de las que se compone nuestra investigación (cálculo metal, integral definida y nuevas tecnologías). Para ello, entre otras cosas, debemos elaborar nuevos materiales didácticos y preparar actividades que serán aplicadas, en seis ciclos de investigación-acción, a estudiantes de segundo de Bachillerato de Ciencias Sociales siguiendo el modelo metodológico cualitativo de investigación-acción y el modelo teórico de los actos de comprensiónde Sierpinska.
Este documento consta de doce capítulos, además del Índice, el Prólogo, la Bibliografía y los Anexos; a partir de este momento, después de escribir, en cursiva, el título de cada capítulo redactamos un breve resumen del mismo con el fin de que el lector tenga una visión general del contenido del capítulo correspondiente.
En el Capítulo I: Problema de Investigación. Antecedentes. Objetivos Generales, precisamos el problema objeto de nuestra investigación (integral definida, cálculo mental y nuevas tecnologías), estudiamos los antecedentes de cada una de las partes señaladas; asimismo, realizamos un estudio de las dificultades en la adquisición del saber matemático, acotamos el problema de investigación y establecemos los objetivos generales.
Pensamos que el número de investigaciones seleccionadas es elevado y la calidad de las mismas está suficientemente contrastada, pues sus autores son expertos en Didáctica de la Matemática, algunos de estos investigadores son: Poincaré, Schneider, Tall, Sierpinska, Artigue, Abrahamson, Dubinsky, Rouche, Dreyfus, Azcárate, Calvo, Cantoral, Cordero, Contreras, Ortega, Eisenberg, Orton, Turégano, Llorens, Camacho, González-Martín, Depool, Gómez, Reys, Segovia, Cortés, Guzmán, Blázquez, Brousseau, Ordóñez, Sierra, Drijvers, Trouche y Faria.
En este capítulo se propone que la caracterización de la integrabilidad de Darboux se realice mediante la siguiente aproximación óptima:
Enel Capítulo II: Marco Metodológico Cualitativo, justificamos la elección del modelo cualitativo de investigación-acción para la realización de la presente Tesis. Dicha elección no ha sido caprichosa, es la que más se ajusta a los propósitos de esta Memoria y, para ello, hemos recurrido a los textos de Kemmis y McTaggart (1988), Hopkins (1989), Pérez Serrano (1994) y Elliott
(1997) en los cuales se establecen las características y rasgos fundamentales de la investigación cualitativa denominada investigación en la acción; hemos optado por realizar una amplia exposición de la metodología de la investigación-acción, pues consideramos que su lectura puede hacer comprender dicho marco a los neófitos y, a su vez, puede ser obviada por los lectores que la conozcan. Asimismo, consideramos que la metodología cuantitativa no es incompatible con la metodología cualitativa, es más, puede complementarla en algunos momentos y así lo hemos considerado. Por tanto, en la redacción de la memoria de la parte experimental de esta investigación encontraremos gráficos y tablas estadísticas que completan la información obtenida por métodos cualitativos.
En el Capítulo III: Marco Teórico. Hipótesis, definimos los conceptos Didáctica de la Matemática (D’Amore, 2008) y Pensamiento Matemático Avanzado (Tall, 1991; Dreyfus, 1991; Vinner, 1991; Dubinsky, 1991 y en España Azcárate y Camacho, 2003); seguidamente, exponemos varios marcos teóricos: imagen conceptual y definición conceptual de Tall y Vinner; dificultades, obstáculos epistemológicos y errores; las situaciones didácticas de Brousseau; el modelo de comprensión de Sierpinska; la transposición didáctica de Chevallad y la Teoría APOE4 de Dubinsky. Hemos considerado oportuno presentar estos marcos teóricos porque, aunque poseen características específicas, no son excluyentes, tienen muchos elementos comunes y se consideran en diversos momentos de la investigación.
La Teoría APOE nos permite realizar la descomposición genética de la integral para una docencia impartida a bachilleres de ciencias sociales y que implícitamente utilizamos en nuestra investigación. Consideramos que las descomposiciones genéticas de Czarnocha y cols. (2001) y Boigues y cols. (2010b) son insuficientes puesto que han sido realizadas para la enseñanza y el aprendizaje de la integral definida con estudiantes universitarios5.
El marco teórico elegido es “El modelo de comprensión de Sierpinska”, por el cual hemos establecido los actos de comprensión, según el modelo de Sierpinska, y los obstáculos y/o dificultades en la enseñanza-aprendizaje de
4APOE: Acrónimo de Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas. En inglés se reconoce como APOS. 5 No hemos considerado oportuno incluir las descomposiciones genéticas de la integral definida de
la integral definida, el cálculo mental de primitivas y las nuevas tecnologías. Además, este marco teórico satisface los ocho criterios de Schoenfeld (2000)6. Los actos de comprensión de Sierpinska, el modelo metodológico cualitativo de investigación-acción del capítulo II y el establecimiento de las Conjeturas o Hipótesis, asociadas a cada uno de los objetivos generales, han de permitirnos realizar la investigación didáctica en la cual estamos embarcados. Sin embargo, para situarnos en el contexto de la investigación, podemos establecer como punto de partida:
En el Capítulo IV: Tratamiento Curricular, se realiza un breve resumen de la Legislación educativa en la cual están insertados nuestros tópicos de la investigación (integral definida, cálculo mental y nuevas tecnologías). El Análisis curricular del concepto, mediante el establecimiento de categorías de contenido matemático, nos permite realizar el Análisis didáctico individualizado de once libros de texto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (MACS II)7; seguidamente, hacemos un estudio comparativo en una relación de Tablas resumen de los textos/categorías y concluimos con una serie de Reflexiones entre las que podemos destacar:
El Capítulo V: Estudio Epistemológico. La Docencia Actual. Área e Integral, surge del mandato expresado en los objetivos generales primero y tercero, las hipótesis asociadas a los mismos y de la reflexión del recuadro anterior. El problema del área parte incluso antes de que la matemática adquiriera la categoría de Ciencia en el periodo Talásico (Boyer, 1986, págs. 71-75) y, como tal, pensamos que los conceptos área e integral definida deben tener un extenso estudio epistemológico; sin embargo, en este capítulo hemos
6
Poder descriptivo, poder explicativo, alcance, poder predictivo, rigor y especificidad, capacidad de falsación y capacidad de replicación.
7 Los textos analizados son de las editoriales: Anaya, Casals, Donostiarra, Ecir, Edebé, Edelvives,
Editex, Hespérides, Marfil, McGraw-Hill y SM. Véase, además, el anexo A.
El tratamiento que dan los libros de texto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II a la integral definida es deficiente y, por tanto, hay que construir una secuencia didáctica que sea adecuada.
optado por realizar un breve resumen en el cual incluimos: la cuadratura de la parábola de Arquímedes, la demostración geométrica del teorema fundamental del cálculo dada por Barrow, las notaciones infinitesimales de Newton y Leibniz y, por último, una serie de síntesis y conclusiones epistemológicas. El texto completo, según nuestra investigación, de la Epistemología del Cálculo Integral podemos encontrarlo en el anexo B. Continúa el capítulo V con el establecimiento del Área como límite (área del rectángulo y del círculo), Integral Definida en MACS II (integral de Darboux, integral de Riemann y teorema fundamental del cálculo), Integración numérica (rectángulos y trapecios) y Aplicaciones de la integral en la cual se calculan áreas de regiones planas y, por extensión, sigue en el anexo C.
El Capítulo VI: Focos, ciclos y fases de la investigación y categorías de análisis, en primer lugar, determina la estructura por la cual será desarrollada la docencia de la integral con estudiantes de Bachillerato de Ciencias Sociales; el segundo punto que se aborda es la organización de los seis ciclos de investigación-acción en cuatro grupos: exploración (ciclo I), confirmación (ciclos II y III), consolidación (ciclos IV y V) y cierre (ciclo VI) en los cuales se explican, brevemente, cada una de las fases de la investigación-acción (planificación, acción, análisis y reflexión) y, tercero, se establecen las categorías de comprensión matemática por las cuales evaluaremos la comprensión de los alumnos del concepto integral definida en los ciclos de nuestra investigación8.
En el Capítulo VII: Ciclo de exploración (I), Curso 2003-2004, está redactada la investigación realizada en el primer ciclo de la presente investigación, en él quedan recogidos: la planificación de la acción, la descripción de dos sesiones de la acción9, el análisis de los cuadernillos teórico-prácticos cumplimentados por los alumnos y, por último: las reflexiones de la acción, el análisis según los actos de comprensión de Sierpinska de los documentos de los estudiantes y las reflexiones a las cuales hemos llegado en este ciclo. El cálculo mental de primitivas y la utilización de las nuevas tecnologías en la enseñanza y el aprendizaje de la integral han estado ausentes en este primer ciclo y, como tal, no están contemplados en este capítulo.
8 Las cuarenta categorías de comprensión matemática establecidas en esta investigación, junto con el
texto teórico-práctico que valida a cada una de ellas, pueden verse en el anexo D.
El Capítulo VIII: Ciclos de confirmación (II y III), Cursos 2004-05 y 2005-06, tiene la misma estructura del capítulo anterior10, ahora bien, incluyendo el cálculo mental de primitivas, cálculo que en estos ciclos ha sido practicado con los estudiantes. Asimismo, hemos trabajado con las nuevas tecnologías, sin embargo, su memoria queda recogida en el capítulo XI.
El Capítulo IX: Ciclos de consolidación (IV y V), Cursos 2006-07 y 2007-08, tiene la misma estructura que el anterior, aunque la descripción de la acción es más breve.
El Capítulo X: Ciclo de cierre (VI), Curso 2003-2004, está dedicado al sexto y último ciclo de esta investigación y sigue con el mismo criterio de los tres capítulos anteriores; además, incluye el informe del observador externo y las encuestas realizadas a los alumnos.
Redactar la Memoria de la investigación experimental realizada en los seis ciclos, además de ser muy extensa, supone que, como consecuencia de la investigación-acción, el contenido de varios párrafos es muy similar. Nosotros, en aras de favorecer una lectura más ágil de esta Tesis Doctoral y sin restar un ápice la información y los resultados obtenidos en nuestra investigación, nos hemos decantado por presentar los hechos más relevantes de cada uno de los nuevos ciclos y hacer referencia solamente a los resultados comunes con los anteriores; así pues, las categorías de comprensión matemática se presentan de forma progresiva en los capítulos VII, VIII y IX y, finalmente, todas ellas han sido incluidas en el capítulo X con el propósito de tener una visión de conjunto.
El Capítulo XI: Del Lápiz y Papel a las Nuevas Tecnologías con DERIVE, está dedicado a la redacción de la memoria del estudio y análisis de las producciones de los estudiantes sobre los diferentes conceptos que determinan el de integral definida mediante la integrabilidad de la función (x)=x2 en el intervalo [1,3]. Dos técnicas han sido empleadas para tal menester: la clásica del lápiz y papel, utilizada solamente en los dos ciclos de confirmación, y la más moderna del cálculo computacional con el programa de cálculo simbólico DERIVE, así como el programa de utilidades implementado por el profesor investigador; las nuevas tecnologías han sido aplicadas en todos los ciclos de la investigación, salvo en el de exploración.
En el Capítulo XII: Conclusiones, Propuesta Curricular y Problemas Abiertos, detallamos: a) las conclusiones a las que hemos llegado en la investigación, siendo recogidas y redactadas según los Objetivos Generales del capítulo I y las Hipótesis asociadas a los mismos establecidas en el capítulo III, b) las limitaciones y aportaciones derivadas de la investigación realizada con los alumnos de Bachillerato de Ciencias Sociales en la enseñanza y aprendizaje de la Integral Definida, la práctica del cálculo de primitivas elementales mediante el Cálculo Mental y la utilización de las Nuevas Tecnologías con DERIVE, c) una propuesta curricular para la enseñanza de la integral definida a estudiantes de Bachillerato y, por último, d) establecemos una relación de los problemas abiertos que han surgido de nuestra investigación y pueden ser el punto de partida de investigaciones posteriores.
No es nuestro propósito extendernos mucho más en este prólogo, por tanto, consideramos que es suficiente nombrar los Anexos de esta Memoria, pues sus denominaciones orientan sobre su contenido, éstos son:
Anexo A (Capítulo IV): Análisis didáctico de los libros de texto. Anexo B (Capítulo V): Epistemología del cálculo integral. Anexo C (Capítulo V): Algunas aplicaciones de la integral. Anexo D (Capítulo VI): Categorías de comprensión matemática. Anexo E (Capítulos VI, VII, VIII, IX y X): Iniciación a las integrales.
Anexo F (Capítulos VI, VII, VIII, IX y X): Cuadernillo de la integral definida. Anexo G (Capítulo VII): La acción en el ciclo de exploración.
Anexo H (Capítulo VIII): La acción en los ciclos de confirmación.
Anexo I (Capítulos VIIII, IX y X): Cálculo mental de primitivas elementales. Anexo J (Capítulos X y XI): Informe y encuestas.
Anexo K (Capítulo XI): Prácticas con lápiz y papel.
Anexo L (Capítulo XI): Texto, programa y prácticas con DERIVE.
Figura 0. Esquema de la investigación.
Integral Definida, Cálculo Mental y Nuevas Tecnologías
Experiencia e interés por
mejorar la docencia Antecedentes
OBJETIVO: Investigar los aprendizajes que se producen en los estudiantes de segundo de Bachillerato de Ciencias Sociales sobre la integral definida al integrar docencia tradicional, cálculo mental y nuevas tecnologías.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LA INVESTIGACIÓN El problema:
La integral definida
Marco metodológico: Investigación-acción
Marco teórico: Sierpinska, APOE
OBJETIVOS GENERALES E HIPÓTESIS
FUNDAMENTOS PRÁCTICOS DE LA INVESTIGACIÓN
MATERIAL DIDÁCTICO: Área e integral de Darboux, cálculo mental de primitivas
y prácticas con DERIVE
CICLOS: Exploración
Confirmación
Consolidación
Cierre
ANTECEDENTES. OBJETIVOS GENERALES
...13
I.1. INTRODUCCIÓN ... 13
I.2. EL ORIGEN DEL PROBLEMA ... 14
I.3. ANTECEDENTES EN LA INVESTIGACIÓN ... 15
I.3.1. EL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA ... 15 I.3.2. LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS EN LA ENSEÑANZA DE LAINTEGRAL DEFINIDA ... 59 I.3.3. CÁLCULO MENTAL ... 69 I.3.4. DIFICULTADES EN LA ADQUISICIÓN DEL SABER
MATEMÁTICO (CONCEPTO INTEGRAL DEFINIDA), EN EL USO DE LOS PROGRAMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO Y EN EL
CÁLCULO MENTAL ... 75
I.4. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA DE LA
INVESTIGACIÓN... 94
CAPÍTULO I:
EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN.
ANTECEDENTES. OBJETIVOS GENERALES
I.1. INTRODUCCIÓN
Este primer capítulo se organiza en cuatro partes claramente diferenciadas: el origen del problema, antecedentes de la investigación, delimitación del problema de investigación y objetivos generales.
En el origen del problema, el profesor investigador expone algunas de las múltiples razones por las cuales ha decidido investigar la enseñanza y el aprendizaje de la Integral Definida con alumnos de segundo curso de Bachillerato de la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales.
Los antecedentes de la investigación constan de cuatro partes: el concepto de la integral definida, las nuevas tecnologías en la enseñanza de la integral, el cálculo mental y, por último, dificultades en la adquisición del saber matemático (concepto integral definida), en el uso de los programas de cálculo simbólico y en el cálculo mental. Consideramos que cada una de las partes de las cuales se componen los antecedentes de la investigación está suficientemente documentada con las investigaciones, en didáctica de la integral1, seleccionadas en esta memoria y realizadas por investigadores cuyos trabajos tienen una calidad ampliamente contrastada.
La tercera parte del presente capítulo está dedicada a la delimitación del problema de investigación en los tres niveles preestablecidos: integral definida, cálculo mental y nuevas tecnologías.
Por último, cuatro son los objetivos generales: desarrollo epistemológico, el cálculo de primitivas inmediatas mediante el cálculo mental, el aprendizaje de los alumnos con la docencia tradicional y, finalmente, la utilización de las nuevas tecnologías en la enseñanza y el aprendizaje del cálculo integral. En esta investigación abordamos algunos de los problemas abiertos en otras tesis doctorales y, a partir de este capítulo, estamos en condiciones de establecer los marcos metodológico y teórico de la presente investigación.
I.2. EL ORIGEN DEL PROBLEMA
El presente trabajo de investigación tiene su origen en la constatación del profesor investigador de las dificultades que encuentran los estudiantes en la comprensión de los conceptos del análisis matemático en general y, en particular, en el de integral definida. No es caprichosa tal elección, pues la experiencia del profesor investigador así lo corrobora, después de varios cursos académicos impartiendo Matemáticas I (Opciones A y B –Ciencias–) y Matemáticas II (Opciones C y D –Letras–) del antiguo COU2
, la asignatura de Análisis Matemático en el centro asociado de la UNED3 de Mérida (Badajoz) y esta misma asignatura en la Universidad de Valladolid, así como las Matemáticas II del Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la modalidad del Bachillerato de Ciencias Sociales correspondientes a la LOGSE4 y a la actual LOE5. Además, debido al propio interés del profesor investigador y del director6 de la presente tesis por la mejora constante del proceso de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, consideramos que:
a) No son suficientes las propias reflexiones sobre las dificultades que existen en la asimilación de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes.
b) No basta con la buena disposición y la voluntad de cambio del profesor para que pueda mejorar de forma eficaz la comprensión de los conceptos matemáticos por los alumnos.
c) Ante los cambios sociales tan importantes en los cuales estamos inmersos, el interés creciente de los padres por los estudios de sus hijos y la realidad multicultural, supone que la lección magistral no puede tener la misma consideración que en décadas anteriores y, por tanto, deben considerarse nuevas actuaciones.
2 Curso de Orientación Universitaria establecido por Ley 14/1970, de 4 de agosto, General de
Educación y Financiamiento de la Reforma Educativa (BOE: 6-8-1970). El antiguo COU puede considerarse equivalente a segundo curso del actual Bachillerato.
3 Universidad Nacional de Educación a Distancia.
4 Ley Orgánica 1/1990, de 3 de octubre, de Ordenación General del Sistema Educativo (BOE:
4-10-1990).
5
Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (BOE: 4-5-2006).
6 Dr. D. Tomás Ortega del Rincón, cuya dilatada actividad docente comenzó en Institutos de
d) Las clases son cada vez mas heterogéneas y confluyen en las mismas multitud de intereses, incluso, en algunas ocasiones contrapuestos; además, el profesor gestiona su clase y debe obtener los mejores rendimientos posibles.
e) No pueden considerarse los rendimientos de una clase en función de las calificaciones obtenidas por los alumnos, la mayoría de las veces, carecen del rigor científico necesario para poder evaluar de forma objetiva la actividad docente del profesor y el aprendizaje de los alumnos.
f) Consideramos que el análisis matemático contiene conceptos y procedimientos difíciles para los alumnos y que es necesario investigar para que puedan transmitirse bajo los parámetros de una enseñanza de calidad que propicien un buen aprendizaje con el fin de que perdure en los alumnos el mayor tiempo posible. Teniendo en cuenta las reflexiones anteriores, nos proponemos investigar el aprendizaje de los estudiantes de bachillerato de ciencias sociales del concepto de integral definida poniendo en práctica una enseñanza basada en el cálculo mental, el uso de software matemático adecuado y la docencia impartida en el aula del grupo.
I.3. ANTECEDENTES EN LA INVESTIGACIÓN
I.3.1. EL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA
En este epígrafe hacemos una breve reseña de los trabajos de investigación que se han centrado en la enseñanza-aprendizaje del concepto de integral definida. Sin embargo, a modo de introducción, por la importancia que en su momento tuvo la conferencia de Poincaré en 1904 sobre las definiciones matemáticas, transcribimos de Artigue, Douady, Moreno y Gómez (1995)7, lo que consideraba este gran matemático sobre la enseñanza y el aprendizaje del cálculo integral:
7
Para definir una integral, tomamos toda serie de precauciones. Distinguimos las funciones continuas de las discontinuas, y aquéllas que tienen derivadas de las que no. Todo esto tiene un lugar en la enseñanza dentro de las Facultades, pero todo esto sería inadecuado en el liceo. Al estudiante, no importa qué definición se tenga de ella, no sabrá nunca qué es una integral si no se le ha mostrado con anterioridad lo que es. Todas las sutilezas le serán indiferentes. Él cree saber lo que es una superficie y comprenderá que no lo sabe sólo cuando sepa muy bien lo que significa el cálculo integral. Y no hay interés en decírselo en el momento en que se aborda este cálculo. Lo único que queda por hacer es muy simple: definir la integral como el área comprendida entre el eje de las x, dos ordenadas [ordenada, para Poincaré, significa recta paralela al eje de las ordenadas] y la curva, y mostrar que, cuando una de las ordenadas se desplaza, la derivada de esta área es precisamente la ordenada en sí. Este fue el razonamiento de Newton, fue así como surgió el cálculo integral. Gústenos o no, tenemos que pasar de nuevo por donde nuestros padres pasaron (Artigue y cols., 1995, pág. 101).
Este texto de Poincaré contiene declaraciones de tipo didáctico muy importantes con las que estamos completamente de acuerdo, por ejemplo, en las primeras líneas indica la dificultad del aprendizaje del concepto. A continuación se refiere a una adaptación al contexto, donde incluso podría considerar una transposición didáctica. Finalmente recomienda que se defina el concepto a partir del área bajo una curva de una función, esta opción es la que hemos considerado en la enseñanza-aprendizaje de la integral para los alumnos con los cuales realizamos nuestra investigación.
Schneider (1988, 1989, 1991), citado por Artigue y cols. (1995), pretende conceptuar las derivadas y primitivas a partir de objetos mentales8 como área y volumen, afirma:
Los problemas utilizados son en esencia problemas que tienen una dimensión histórica y sirven en particular para traer a colación la presencia de las concepciones espontáneas de los estudiantes sobre representaciones mentales de la superficie (respectivamente volúmenes) como agrupaciones de segmentos (respectivamente superficies) comparables con la teoría de los indivisibles de Cavalieri en el siglo XVII (...) estas representaciones
8 La expresión “objeto mental” se toma con la acepción que le dio Freudenthal, es decir: “Toda noción
pueden convertirse en el obstáculo epistemológico (...) denominado el obstáculo de la “heterogeneidad de las dimensiones” (Schneider, 1991). Este obstáculo se asocia con los saltos implícitos e incontrolados entre el dominio de los objetos y las magnitudes geométricas y el de sus medidas cuando se manipulan simultáneamente magnitudes de dimensiones diferentes (a la unión de magnitudes correspondería necesariamente la adición de medidas), además, existen ciertos errores en los cálculos de áreas y volúmenes (Artigue y cols., 1995, pág. 118).
En este contexto, afirma Tall (1996)9, el error que cometen sus estudiantes al calcular las sumas inferiores y superiores de la función y=x3en el intervalo [0,1], pues afirman: ”Los rectángulos tienen una anchura que al disminuir, éstos se reducen a líneas cuyo área es 0 y no pueden sumarse”.
En nuestra investigación, asimismo, constatamos la dificultad que tienen los alumnos de bachillerato en el cálculo de las sumas de Darboux de la función (x)=x2 en el intervalo [1,3], además, coincidimos con Schneider en que muchos estudiantes piensan que la suma de segmentos no puede dar un área o que la suma de áreas “cero” no puede dar un valor que no sea nulo.
Tall (1996) define un procept elemental como la amalgama de tres componentes: un proceso que produce un objeto matemático y un símbolo que se utiliza para representar el proceso o el objeto; un procept consiste en una colección de los procepts elementales que tienen el mismo objeto (como ejemplo del primero considérese la operación 4+2 y del segundo los procepts elementales 2+4, 2x3, 18/3,... pues todos ellos dan resultado 6). Dicho autor resume las representaciones de las funciones y el cálculo diferencial e integral, en la tabla I.3.1.1 (Tall, 1996, pág. 295) se reproducen íntegramente todas ellas por la relación tan estrecha entre los tres contenidos genéricos (funciones, derivada e integral).
Nuestra investigación se centra en el último de ellos, es decir, las dos últimas filas de la tabla aunque no desarrollaremos la visión espacial en nuestra propuesta a los alumnos ni la concepción de la integral definida como el límite de sumas, habiendo optado por la toma de los extremos superior e inferior de las respectivas sumas inferiores y superiores de Darboux.
9 Tall, D. (1996). Functions and Calculus. En A. J. Bishop y cols. (Eds.). International Handbook of
REPRESENTACIONES
VISUAL ESPACIAL
NUMÉRICO SIMBÓLICO GRÁFICO FORMAL
PROCEPS Inactivo Observando Experimentan-do Cuantitativo Estimando Aproximando Manipulativo Manipulando Limitando Cualitativo Visualizando Conceptualizando Deductivo Definiendo Deduciendo CAMBIO: FUNCIÓN (Haciendo) Distancia, velocidad cambiando con el tiempo Evaluar numérica-mente Símbolos algebraicos
Gráficas Definición teórica CAMBIO: FUNCIÓN (Deshaciendo) Resolviendo problemas Soluciones numérica de las ecuaciones Resolviendo ecuaciones simbólica-mente Visualizando soluciones cuando las gráficas se cortan
Teoremas: Valores intermedios, ... RAZÓN DEL CAMBIO: DERIVADA (Haciendo) Velocidad desde la gráfica
tiempo-espacio Pendiente numérica Notación simbólica de la derivada Visualizando la justificación gráfica Formalización de la derivada RAZÓN DEL CAMBIO: DERIVADA (Deshaciendo) Resolviendo problemas. Hallando la distancia desde la velocidad Solución numérica de las ecuaciones diferenciales Antiderivadas Solución simbólica de las ecuaciones diferenciales Visualización gráfica de una
determinada pendiente Antiderivadas Existencia de soluciones de una ecuación diferencial DESARROLLO ACUMULATIVO: INTEGRAL (Haciendo) Distancia desde la gráfica tiempo-velocidad Área numérica
Símbolo de la integral como
límite de sumas
Área bajo una gráfica
Formalización de la integral
de Riemann DESARROLLO ACUMULATIVO: INTEGRAL (Deshaciendo) Computando la velocidad desde la distancia Conocer el área, descubrir la función numérica Simbología del Teorema Fundamental del Cálculo
Conocer el área, descubrir la gráfica Formalización del Teorema Fundamental del Cálculo MUNDO REAL DEL CÁLCULO CÁLCULO TEÓRICO CÁLCULO TEÓRICO CÁLCULO TEÓRICO ANÁLISIS
Tabla I.3.1.1. Las representaciones en funciones y el cálculo diferencial e integral.
Sierpinska (198510, 198711), afirma que el concepto de límite contiene obstáculos y pone como ejemplo el Teorema Fundamental del Cálculo. Esta autora utiliza la orientación de Poincaré y considera el área A(x) desde un punto a a otro punto variable x, se considera una función de x (algunos estudiantes tienen dificultad en la comprensión puesto consideran que una función debe venir dada por una fórmula), dicho teorema afirma que A’(x)= (x). Visualmente el área comprendida entre la curva desde x hasta x+h es A(x+h)–A(x), es evidente que el área de esa tira, bajo determinadas condiciones, está muy próxima a (x)·h cuando h tiende a 0, es decir,
) ( ) ( ) (
x f h
x A h x A
. La figura I.3.1.1 ilustra esta afirmación.
Así pues, el área entre x y x+h es “aproximadamente” la del rectángulo cuya base es h y altura es (x), cuando h tiende a cero. La aproximación puede considerarse muy buena, sin embargo, se detectan obstáculos cognitivos importantes al pasar de la aproximación a la igualdad al tomar el límite, los alumnos creen que las bases son cero y que el área desaparece. La investigación concluye que el “aplastamiento” es equivalente a la continuidad puntual, es decir:
Dado > 0, existe >0, tal que si x - < t < x + , entonces, se cumple que (x)- < (t) < (x)+
A(x) (x) A(x+h) - A(x)
a x x+h
Figura I.3.1.1. El área bajo una gráfica. Teorema Fundamental del Cálculo.
10 Sierpinska, A. (1985). Obstacles epistémologiques relatifs à la notion de limite. Recherches en
Didactique des Mathématiques, 6 (1), pp. 5-67.
11 Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles related to limits.
