Tema 21 Integrales

INTEGRAL

Función primitiva

CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Sea

f(x):Dℝ  ℝ función real de variable real definida en el dominio, D

F(x):Dℝ ℝ función real de variable real definida en el mismo dominio, D

Se dice que la función, F(x), es una función primitiva de la función, f(x), si la función, F(x), tiene por derivada la función, f(x)

F(x) es primitiva de f(x)  F’(x)= f(x)

F(x)= y= x2 y’= f’(x)= 2x ∫2x.dx= x2 + C

Si existe la función primitiva, F(x), de la función, f(x), entonces se dice que la función, f(x), es

integrable. La operación que permite obtener una función primitiva, F(x), a partir de una función, f(x), recibe el nombre de integración, y matemáticamente se escribe

f(x).dx= F(x) + C

Las propiedades fundamentales que permiten hacer la integral de una función, f(x), para hallar su función primitiva, F(x), son:

Si una función, f(x) tiene primitiva ésta no es única, diferenciándose todas ellas en una constante.

Sea

F(x) función primitiva de f(x)  F’(x)= f(x)

Cℝ número real cualquiera

Entonces la función, F(x) + C, también es una función primitiva de la función, f(x), puesto que su derivada coincide con la función, f(x).

[F(x) + C]’= [F(x)]’ + [C]’= F’(x) + 0= F’(x)= f(x)

Para que la primitiva de una función quede determinada es necesario conocer el valor de la constante, C, para ello se necesita alguna otra condición, como puede ser:

Conocer el valor que toma la función primitiva en un número real, x= a, de su dominio, D.

Conocer un punto, P(a,b), por el que pasa la gráfica de la función primitiva, F(x).

Hallar la primitiva, F(x), de la función, f(x)= 2x, cuya gráfica pasa por el punto, P(1,3).

La primitiva de la función, f(x), es, F(x)= x2 + C

Dado que la gráfica de la función primitiva, F(x), pasa por el punto, P(1,3), se verifica: 3= F(1)= 12 + C= 1 + C

La primitiva de la función, f(x), es pues finalmente F(x)= x2 + 2

Hallar la recta ó función lineal cuya pendiente es, 2, y pasa por el punto, P(0,4).

La derivada de la función lineal es su pendiente, por lo tanto f’(x)= 2

por lo que la función primitiva es la ecuación de la recta pedida F(x)= 2x + C

Por pasar la función primitiva, F(x), por el punto, P(0,4) 4= F(0)= 2.0 + C= 0 + C= C

La recta pedida es F(x)= 2x + 4

Se llama integral indefinida al conjunto de las infinitas funciones primitivas, F(x), que puede tener una función, f(x). Este conjunto se representa por:

∫f(x).dx Se lee integral de, f(x), diferencial de, x. ∫ es el signo de integración

f(x) es la función a integrar

dx indica la variable de la función con respecto a la que se integra. Si, F(x), es la primitiva de la función, f(x) se verifica

∫f(x).dx= F(x) + C

C constante de integración que puede tomar cualquier valor numérico real Linealidad de la integral indefinida

La integral del producto de una constante, k, por una función, f(x), es igual a la constante por la integral de la función

∫k . f(x).dx= k . ∫f(x).dx

Esta relación permite introducir constantes dentro del signo de integración o sacarlas de él según convenga en cada caso.

La integral de una suma o resta de funciones, f(x), g(x),…, h(x), es igual a la suma o resta de las integrales de cada una de dichas funciones

∫[ f(x)  g(x)  ….  h(x)].dx= ∫f(x).dx ∫g (x).dx  …. ∫h(x).dx

La utilización conjunta de estas dos propiedades constituye el método de descomposición. Por principio conviene descomponer lo más posible el integrando:

Sustituyendo la expresión de la función, f(x), por otra equivalente, sumando y restando una misma cantidad ó bien multiplicando y dividiendo por un mismo número real.

Integrales básicas

Son las que se obtienen del estudio de la tabla de derivadas. Entre otras:

Integral de la función nula, f(x)= 0 es una función constante

Es la función constante, F(x)= C

La integral de la función constante, f(x)= k, kℝ, y,k 0, es la función lineal o afín

Es la función afín ó lineal, F(x)= kx + C

Integral tipo potencial , m -1

Para utilizar este tipo adecuadamente conviene pasar las expresiones fraccionarias y radicales a la forma potencial escribiéndolas con exponente real positivo o negativo. Hay que distinguir en el integrando quien es la función, f(x), y quien es su derivada, f’(x). Si a la función derivada, f’(x), le falta alguna constante para ser la derivada de la función, f(x), se introduce multiplicando y dividiendo el integrando por ese valor y procediendo en sentido inverso delante de la integral.

Dentro de este formato entran las integrales del tipo

∫senm (x) . cosn (x).dx m ó n natural e impar ∫tgm (x) . secn (x).dx m impar ó n par

∫ctgm (x) . cosn (x).dx

















1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 1

. . .2 . .

2 2 1

n n n

n x

dx a b x x dx a b x b dx a b x C

b b n

a b x

   

      

  







Ejercicios

7

6

7

dx

C

x



x





3

4

7

7

4

x

C

x dx







2 5

1

3 5 3 2

3 3

2

3

3

3

3

2

₅

₅

₅

1

3

x

x

x

x x

C

C

C

x dx

C























0.

dx



C



.

k dx



kx C





 

. '

 

.

1

 

1

1

m m

f x

f

x dx

f x

m

















_





4 4 4 1 3 3 3

3

3

1

3

1

3

4

3

x

x

x dx

C

C

x

C

C

x

dx

x

    









 



 



 





_



1 4 1

1 3 3 4 3

3 4 3

3

3

3

3

3

1

4

4

4

4

1

3

3

x

x

x x

x dx

C

C

x

C

x

d

C

C

x x































1 3 4 4 3 4 4 4 1 1

4

4

1

1

3

3

1

4

d

x

x dx

x

C

x

x

C

x

C

  























2 1 1 2 ₃ 3 3 3 3

2

2

3

1

1

1

3

3

dx

x dx

x

x

C

x

C

C

x

  























3

1

4

(

2)

4

(

x



2)

dx



x





C















2 2 ₃ 1 2 2 2

2 3 3

3

1 1 1 2 7 3

(2 2). 2 7 2 7

2 2 2 3 7 4 2 x x

x x x C C x x

x dx C x x                 









2

1

2 2

1

(2

1 (

2

)

1)

x



x

 

x

d

x



x

 

x



C



12 7

1

2 12 ₅

5 2

5

2 _{5 5}

5 7

2

5

12

7

₇

1

5

5

1

x

x

x x dx

x

dx

C

C

C

x

dx

x

x

     











 









_

_



4 5

.cos

1

5

sen x

xdx



sen x C





2

1

1

2 .cos 2

2 .cos

2

.2

2

2

sen x

x dx

4

se

sen x

xdx





n

x C







2 3

2

.sec

1

3

tg x

xdx



tg x C





2 2

cot

1

1

(

)

2

ar

gx

dx

arc

C

x



otgx

5 5 1

6 5 ₆

3

₆

3

5

1

6

3

x d

x

x dx



x





C









3 4 3 ₁ 4 7

3 7

4 4

4 4 4

3

4

_3.

₃

3

4

4 3

4

4

₃

3

7

7

1

3

4

x dx

x d

x d

x





x



x





C



x



C



x



C











2



1



2



1 1





3₂

2

1

₂

1

1

₂

1 2

2

4 . 2

5

.

. 2

5

. . 2

5

1

4

4

₁

4 3

2

2

5

x

x

dx

x

C

x

C

x

x



dx









































1 1 4 3 3 1 1 ₃

3

1

₃

4

2.

4

2

4. 4

2

1

.

1

. 4

2

3

4

2

1

4

4

₁

16

3

x

dx

x

dx

dx

x

C

x

C

x





































4









4

₁

_{4 1}

7

.1.

7

4

7

x

d

1

dx

x

x

x

C

 _{ }









 

























6 6 6 1

2 2 2

6 2

1

1 1

1

1

2

3

5 2

3

.

2

3

4

.

2

3

5

x

xdx

5 4

x

xdx

20

6 1

x

C

xdx

x

   













 





















 







5 2

7 7 1

6 3 5

5 2

7

2 6 3

6

3 3

6 7

1 30 12 1 1 1

5 4 30 12 . 5 4

6 ₅ 6 6 7 1

5 2

4

5 4

x x

dx x x x x dx x x C

x x

dx

x x x x

               















3





3 1





4

3

1

1

1

ln

.

ln

l

l

n

3 1

n

4

x

dx

x

x

C

x

C

x

dx

x



















 













1 1 2 ₂ 2 2 1 ₃

1 1 2

cos . co

cos

s cos

3

1 1 1 ₁

2

ar enx dx ar enx

ar en x

d C ar e C

x x n x x         _











 







5 5 1

4 2 3 4 2

4 3 3 3 5 2 3

1

1

1

2

6

8

12

.

2

6

5

2

2

₁

4

6

2

6

3

x

x

x

x

x

dx

x

x

x dx

x

x

C

  

























3 1 4

3

.c

os

1

1

4

.

3 1

sen

x C

se

se

n x

x x

d









n

x C







2 2 1 2 3 3 2 2 3 3

1

.sec

3

2

1

s

3

ec

tg

x

xdx

tg

x C









2 1 ₁ 1 2 ₂ 2

1

cot

1

cot

1

.

1

1

₁

cot

2

ar

gx

dx

ar

ar

gx

C

x

g

x

d

x

x













_









2 2 2 2 3 3 3

3 2

.cos

.cos .

. 1

co

.co

s

s .

sen x

x

x dx

sen x

sen x

x dx

x

dx

sen x

 















2 2 2 4

1 2

3

_{.cos .}

3

_.

_{.cos .}

1

3 3

_{.cos .}

2

1

3

sen x

x dx

sen x sen x

x dx

sen

x

sen x

x dx

   



















2 4 1 1 3 7 3 3 3 2

1

1

3

3

2

4

7

1

1

3

3

sen

x

sen

x C

sen x

C

sen x

  





















1 1

2 2 2 2

3 3

4

3

.sec

.sec

.

se

. 1

.se

c

c

.

x

dx

tgx

tg x

x

x dx

tg x

tg x

x dx

 



_



_







1 1 1 5

1

2 2 2 2

3

_.sec

_.

3

_.

_.sec

_.

1

3 3

_.sec

_.

1

1

3

tg x

x dx

tg x tg x

x dx

tg

x

tg x

x dx

   



















1 5 1 1 2 8 3 3 3 3

1

1

3

3

1

₁

5

₁

2

8

3

3

tg

x

tg

x C

tg x

tg x

C



 

















2 2 1

1 1

3 3

3 2

1

₃

sec

.

.

sec

.sec .

.

sec

1

1

3

sec

x tgx dx

.

.

x tgx dx

x

x tgx dx

x C

  























2 2 3

3 2 1

. . 1 cos . . ( cos . ) cos cos

3 . sen x senx dx x senx dx senx x senx dx

sen x dx       x x C











2





2



(2

x



1).

s

en x



x



1 .

dx





cos

x



x



1



C



Integral tipo logarítmico

 

 

 

'

ln

f

x

dx

f x

C

f x







Dentro de este formato se encuentra la integral

   

2 2 2

ln ln

1 1 1 1 1 1 1

ln

2 2 2 2

a bx a bx

dx dx a bx

dx dx C

a b x a a bx a bx a a bx a bx a b b ab a bx

           _  _  _  _ _  _             









El desarrollo anterior se puede hacer debido a que el integrando de la misma se puede escribir en la forma

2 2 2

1

1

1

1

2

a

b x

a a bx

a bx







_



_

2

2

ln(

2

1

1

)

x

dx

x

x

C











ln cos

cos

cos

senx

senx

dx

dx

x C

x

x

tgxdx



 



 









3

3 3

1

1

3.5 .ln 5

5

5

1

.

ln(5

7)

3 ln 5

5

7

3.l 5

7

n

x x x x x

d

dx



x

C



















1

ln ln

ln

1

ln

dx

x dx

x

x

C

x

x















2 2

1

cos

1

cos

x t

.

g

x

dx



t

g

x

x dx



ln

tgx



C





1

1

ln

1

dx

x

x C

x

x

dx

x







 















_



1 5 5

5

6

6 ln(

5)

5

5

5

1

5

x

dx

x

x

x

dx

d x

dx

x

x

C

x

x

x

  







































2 3 2 2 3

3 2 2

1

12

12

1

ln 4

6

12

4

6

1

4

6

2

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

dx

x

x

C

























cos

ln

.

x

dx

senx

C

se

ctgx dx

nx



















2

sec

sec

sec

sec .

ln sec

sec

sec

sec .

x

x tgx

dx

x

x tgx

dx

x tgx

C

x tgx

x tg

d

x

x x

































2

sec sec s

sec . ec sec . ln sec

sec sec

co x co x ctgx co x co x ctgx

dx dx co x ctgx C

co x ctgx co x ctg

co x dx

x            







3 3 2

3

l

1

n(

5)

5

x

x

C

x

dx

x

x

















2 2 2

1

2

1

ln(

1)

2

1

2

1

x

dx

x

C

x

d

x



x



x













3 2 3 3 2

1

3

1

ln(

8)

3

8

3

8

x

dx

x

C

x

x

dx

x

















2 2 2

2.

.cos

2

ln(

)

1

1

1

senx

x

dx

sen x

C

se

sen x

dx

se

n

x





n x









   

2 2 2

ln 2 3 ln 2 3

1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 2 3

ln

4 2 3 2 3 4 3 2 3 3 2 3 4 3 3

1

4 9 12 2 3

x x

dx dx x

dx C C

x x x x

x x d x                 _  _  _{ }  _{ }  _{  }  _{ }          _

















2

ln 3 2 ln 3 2

1 1 1 1 1 2. 1 2 1 1 3 2

ln

2 2 2 2

2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3

1

3 4 4 3 3 2

x x

dx dx x

dx

x x xdx x x C x C

 _{ }  _{ }       _{ }           _{ }  _{ }  _{  }          _{ }      _ 

I n t e g r al t i p o e x p o n en c i a l

 

_{ }

 

 

_{ }

 

. '

.

. '

.

ln

f x f x

f x f x

e

f

x dx

e

C

a

a

f

x dx

C

a













2 2

1

2 2

2

x x

e

C

e



dx









5

5

ln 5

x x

d

x





C



10

10

ln

2 .

0

5

1

x x x x

d

x

x

C

d











1

3 1

1

3

1

3 1

8

.3

8

3

3.l 8

8

n

x x

x

dx

C

dx

 













ln l ln n

1

.

x x x

e

e

d

x

d

x





x

x



e



C



.

senx

senx

e

cox dx



e



C



2 2 cos

1

.

1

1

ar enx arco

arcose s nx enx

e

e

dx

x

dx e

C

x















3

3

2

3

2

_ln

3

2

2

x x x x

dx

x

C

d

 

 





_{ }





 



 





2 2

2

1

1

.2 .

2

.

2

x x x

e

x d

x e

dx



x



e



C





2 2 2

.2.

.

.

2 .

sen x sen x sen x

e

senx cox dx

e

sen x d

x





e



C





Integral tipo coseno

 





. '

 

.

cos



 





3



senx dx





3

x



co

s

x



C







1



3

5 .3



1

cos 3



5



3

5

3

3

sen

x

d

sen

x



d

x





x

 

x





C







2



1



2



1



2



(

1).

2

3

(2

2).

2

3

cos

2

3

2

x

sen x

x

dx

2

x

x

x



sen x



x



dx



_

















C



c

.

.

os

x x x

e sene dx





e



C



1

1

2 .2

cos 2

.

2

2

2

.

sen x

sen x d

x



dx

 

x



C





2

.

2 .

1 cos 4

1

1

4

2

2

8

x

dx

x

sen

x d

x









s

e

n x



C







2





2



(2

x



1).

sen x



x



1

d

x





cos

x



x



1



C





2





2





2



.

3

1

3 .2

1

cos

3

2

sen x

xdx

2

x

x s

en x



dx



_











C









ln



.

1

cos l





ln

n

sen

x

dx

sen

x

dx

x

C

x



x

 









2





2





2



.

3

1

3 .2 .

1

cos

3

2

2

.

sen x

x dx

x

x sen x



dx





_











C









ln



.

1

cos l





ln

n

sen

x

dx

sen

x

dx

x

C

x



x

 







I n t e g r al t i p o s e n o

 





 



 



cos

f x

. '

f

x dx

.



sen f x



C



2

(2

x



cos )

x dx



x



senx



C



1

c

(2

5)

2

os(2

x



5)

d

x



sen

x





C



2

1

2

1

2

(2

2).c

(

1).cos(

2

1

os(

2

1)

(

2

1)

2

2

)

x

x

x

dx

x



x



x



dx











sen x



x





C













1





cos l

c

l

o

n

.

n

s ln

x

dx sen

x

x

dx

x





x





C





2

2 1 cos 2 1 cos 2 1 1 1 1 1

1 cos 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4

cos x.dx _  x_ dx  xdx  x dx x sen xC x sen xC

 















1

1

cos 2 .2

c

2

2

.

2

os 2

x d

x



_

x

dx



sen x



C







2 2 3

3 2 1 1

cos 3 .cos 3 . 1 3 .cos3 . co

cos 3 . s3 . 3 .cos 3 . 3 3

3 9

x x dx sen x x dx x dx sen x

x dx     x dx sen x sen xC

















2





2



cos 2

x



1 .cos

x



x



1

dx



sen x



x



1



C





2



1



2



1



2



cos

1

.cos

.2

1

2

2

1

x

x dx

.

se

x

x



d

x



_





n x





C



Integral tipo tangente

 

 

 



 



 





 





 



 



2 2

2

'

. sec . ' . 1 . ' .

cos

f x

dx f x f x dx tg f x f x dx tg f x C

x     







2

5

cos

x

dx



5

tg

x



C



2 2

3 (1

)

3

(3



tg x d

)

x





tg x

dx



tgx



C





2

1

2

1

sec (5

3).5

(5

3)

5

ec (

5

s

5

x



3)

dx



x



dx



tg

x





C





2 2 2 2 2 2 2

4 1 3

sec .sec . (1 ).sec . (sec s

sec . ec . )

3 x x dx tg x x dx x x tg x dx tgx

x dx 

_

 

_

   tg xC





2

2

(3 3



c

t

g x d

)

x



3

_

(1



ctg x

)

d

x





3

ct

gx C





2 2

2

(1

1).

(

.

1

)

tg

x dx





tg x



dx





tg x dx



dx



tgx x

 

C









Integral tipo cotangente

 

 

 



 



 





 





 



 



2 2

2 '

. sec . ' . 1 . ' .

f x

dx co f x f x dx ctg f x f x dx ctg f x C

sen x      







2

1

2

1

cos

(3

1).3

(3

1)

cos

(3

1)

3

3

ec

x



d

x



ec

x



dx

 

ctg

x





C





4

cosec

x dx

.





_

co

sec

2

x co

.

sec

2

x dx

.



_

(1



ctg x co

2

).

sec

2

x dx

.



(

sec

2

sec

2

.

2

)

1

3

3

2 2 2

(1

1)

c

tg x dx

.



_



ctg x



dx



_

(

1



ctg x

)

dx



_

dx

 

ctgx

 

x C



Integral tipo arco seno

 

 





2



 



'

.

cos

1

f

x

dx

ar

en f x

C

f x









Dentro de este formato se encuentra la integral

2 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1

cos

1 1 1

b dx

dx dx dx _a b

ar eno x C

b b a

a b x b x b b

a a x x

a a a

      _{ }                        









 

 

2 2 2 4

2

1

2

1

1

2

₁

x

dx

arco

x

sen x

C

x

dx

x















 

2

 

2

1

1

₁

2

x x x x x

e

dx

arco

e

sen e

C

e

dx

e



















2 2

1

1

.

ln

1 l

1

1

l

n

n

dx

arcosen

x

C

x

dx

x

x

x















 

2

 

1

1

2

.

2

2

1

1

1

dx

dx

a

rcosen

C

x

x

x

x

x















2 2 2

1

4

1

1

4

5

5

4

4

5

4

4

1

25 16

1

1

5

5

dx

dx

dx

arcosen

x

x

x

C

x









_

_

















_

_



_

_



















2 2 2 2

5

1 1 1 3 1 5

3

5 5

5 _{5 5}

3 1 _{3 1 1}

3 3 3 5 3 1

dx dx dx dx arcosen x C

x x x x      _ _                  _{  }   









Integral tipo arco tangente

 

 





2



 



'

.

cot

1

f

x

dx

ar

g f x

C

f x









2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

.

1 1 1 1 1

. . cot

1 1 1

b dx

dx _a b

dx dx ar g x C

a b x b a b ab b ab a

a x x x

a a a

      _{ }   _                     









2

1

dx

ax



bx



c



Siendo el denominador irreducible. La integración se hace fácilmente utilizando la formación de cuadrados. Este proceso se realiza de modo más fácil multiplicando el numerador y el denominador por, 4a, con lo que se evita trabajar con números fraccionarios.

2 2

1

1

1

( )

5 1

5

1

5



5

x

dx





x

dx



arcotg

x



C





 

2 2

1

4

1

(4 )

4

4

1

16

1

4

1

dx

arcotg

dx

x

x

x

C



















2

cos

1

cot

x

dx

se

n x



ar

g senx

C







 

 

2 3 2 3 2 6

1

3

1

c t

3

1

₁

3

x

dx

ar o g x

C

x

d

x

x

x



_











 

 

2 2

1

.3

c t

3

3

3

9

1

1



x

dx





x

dx ar o g



x



C





2 2

2 2 2

2 2

4 _.

1 1 _{3 3 3}

1 1 ₁ 1 3 2 1 2 1

1

1 1

1

4 4 _{2 4 3 2 3 2}

dx dx dx dx

x x _{x x}

dx x

x

x  _{ } _{ }   _  _         

  _{   }  _  _{ }  _       _{       }











_{2 2}

2

2

2

₃

2

₃

2

2

1

c t

3

2 2

1

3

2

1

3

3

1

.

1

2

3

3

x

dx

dx

ar o g

C

x

x











_

_





















_

_



_

_













2 2 2

7

.

1

1

₂

1

7

.

cot

2

2 7

2 7

3

7

4 1

1

2

1

4

2

.

7

dx

dx

ar

g

x

C

x

x

x

x

d











_





_











































2 2

1

cot (

1)

(

1)

1

1

2

x

x

dx ar

C

x

 

x

d









g x





2 2

2 2

2

4 2 2 3 2 2 1

2 cot

4 4 4 (2 1) 3 3 3

1

1 3 1

3 2

1

x

dx dx dx ar g C

x dx

x x x

x x



 



      _{ }  

 

 

 











3







3

2

2

3

1

1

2

cot

2

x

ar

g x

x

C

dx

x

x



















 

 

4

2 2

2

1

2

1

cot

2

₁

2

1

x

d

x

dx

x

x



_

_x



ar

g x



C







 

2

 

2

c

1

₁

ot

x

x

x

x x

e

e

dx ar

dx

e



_

_e



g e



C







Integral tipo neperiano-arco tangente

 

 

2

cot

Mx

N

dx

Ln

ar

g

C

ax

bx

c















M 0, ax2+bx+c polinomio irreducible. Esta integral se descompone en dos:

De tipo neperaiano

De tipo arco tangente

2

2

2 2 2

2 1 6 2 1 6 12 2 1

ln( 1) cot

1 1 1 3 3

2 7

1

x x x

dx dx dx x x ar g C

x x x x x

x x

x x d x

     

      _{ }

    

 



 













Integral por partes

Se basa en la derivada de un producto de funciones derivables, u, y, v. d(u.v)= du.v + u.dv

A partir de aquí se trata de buscar una regla que permita calcular la integral de un producto de funciones. Integrando ambos miembros de la expresión anterior





.

( . )

.

.

.

.

u v



_

d u v



_

du v



u dv



_

v du



_

u dv

despejando en esta igualdad el término, u.dv, se tiene

.

.

.

u dv





u v



v du





Si la nueva integral que se obtiene es más complicada que la inicial hay que cambiar la elección.

En algunas ocasiones hay que repetir la integración por partes en la nueva integral resultante, También puede ocurrir que al hacer esto la integral resultante sea idéntica a la integral de partida, la cual está en el primer miembro del desarrollo. En este caso basta despejar dicha integral como si fuese una ecuación para obtener la primitiva.

.

.

x

.

x e

x

e dx

x

.

.

x x

x e

dx







x e



e



C





u= x du= dx

dv= ex.dx v=ex.dx= ex

.

( )

( )

.cos(

)

.

x sen x

sen x d

.

.

( )

co

s( )

x

x d

x





x x sen x





x



C





u= x du= dx

dv= cos(x).dx v=cos(x).dx= sen(x)

1

ln( ).

ln( ).

x x

x

. .

dx x

.ln( )

x

dx x

.ln( )

x

x

C

x

x dx





_





_









u= ln(x) du=

1

x

.dx

dv= dx v=dx= x

2 2

1

1

cot ( ).

. .

.

cot ( )

n(1

)

1

cot ( )

2

.

ar

g x x

x dx x ar

g x

l

x

r

x

C

a

g x d

x















_



u= arcotg(x) du=

1

₂

1



x

.dx

dv= dx v=dx= x

2

2

1

( ).

.

(

.

1

)

1

( )

arsen x x

. .

x arsen x

x

C

arsen x dx

x dx

x















_







1

1 ₁

2

2

2 2 2 2

2

1 2 1 1 1

. 1 .( 2 ). . (1 ) 1

1

2 ₁ 2 2

1 2

1 . . 1

x

dx x x dx x x C

x

x dx x

 



   

       



 _



 







2 2 2 2 2 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

.ln

.

.ln

.

.ln

ln

2

2

2

2

2

4

2

2

.ln .

x

x

x

x

x

x

dx

x

x

x dx

x

x

x

x

x

C

x

d















_





_















u= ln (x) du=

1

x

.dx

dv= x.dx v=x.dx=

1

2

x

2

2

2 1 3_{.ln( )} 1 3_.1 1 3_.ln 1 _. 1 3_.ln 1 3 1 3 _ln 1

3 3 3 3 3

.ln .

9 3 3

x x x dx x x x dx x x x

x x x x C

x

dx       _  _

 









u= ln (x) du=

1

x

.dx

dv= x2.dx v=x2.dx=

1

3

x

2

2 2

2 .( cos ).

.( cos )

.cos

2 .co

.

.

x

x dx

s .

x senx dx



x



x





 

x

x



x

x dx









u= x2 du= 2x.dx

dv= sen(x).dx v=sen(x).dx= -cos(x)

se aplica de nuevo este método a la integral resultante

2 .

2.

.

2 .

2 .cos

x

x dx

.



x senx



senx dx



x se

nx



2.co

s

x





u= x du= dx

dv= cos x.dx v=cos x.dx= sen x

sustituyendo este valor en el desarrollo inicial se tiene

2

.cos

2 .

2 cos

x

x

x senx

x

C









.cos .

x

.

.

.

x _x

e se

e se

e

x

d

x



nx



n

x

d

x







u= ex du= ex.dx

dv= cos x.dx v=cos x.dx= sen x

al hacer este método tanto a la integral inicial como a la resultante se obtiene de nuevo la integral inicial.

.cos .

x

.

x

.cos

x

.cos

x

e senx

d

x

e

x

x





e

x



e





u= ex du= ex.dx

dv= sen(x).dx v=sen(x).dx= -cos(x)

se trata la integral como una ecuación, se despeja dicha integral inicial y resulta

2

_

e

x

.cos .

x dx



e senx e

x

.



x

.cos

x

de donde

1

.cos .

.

.cos

2

x

x x

e

x dx





_

e senx e



x



_



1 1 1

1

1

1

1

1

.ln

.

.ln

.ln

.

1

1

1

1

.

n n

n n n

x

x

x

dx

x

x

x dx

n

n

x

x

x dx

n

n

  



















_





1

1

.ln

1

₂ 1

1

1

ln

1

1

(

1)

1

1

n n n

x

x

x

x

x

C

n

n

n

n

  









_



_









_



_

u= ln (x) du=

1

x

.dx

dv= xn.dx v=xn.dx=

1

1

n



.x

n+1