ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
La estadística unidimensional trata de resumir la información contenida en una tabla que contiene información de una sola variable en unos pocos números.
Las medidas de posición pueden ser: De tendencia central o promedios
1. Media artimética 2. Mediana
3. Moda
1.- Media aritmética
Se suman de todos los valores de la variable ponderados por sus frecuencias absolutas y se divide todo ello por el número total de observaciones
N
f
x
n
i
i i
x
1La media aritmética es siempre el centro de gravedad de la distribución y es siempre un valor que entra dentro del campo de variación de la variable.
Si los datos están agrupados en intervalos se toma la marca de clase de cada intervalo para su cálculo.
2.- MEDIANA
Es el valor de la variable que ocupa el lugar central de la distribución, es decir el valor de la variable que deja el 50% de observaciones hacia la izquierda y el 50% a la derecha. Para poder hallar la mediana, lo primero que hay que hacer es ordenar los valores de la variable de forma creciente, y escribir los valores de las frecuencias acumuladas Fi.
Distinguiremos dos casos, datos no agrupados y datos agrupados. Para datos no agrupados
Se calcula primero el 50% de la población N/2, se lleva ese valor a la columna de frecuencias absolutas acumuladas.
Si el valor no está en la columna de acumuladas, se toma como valor de la mediana el de la variable correspondiente al siguiente.
Si el valor si está en la columna de acumuladas, se toma como mediana la media aritmética del valor de la variable y el siguiente.
Para datos agrupados en intervalos
Si el valor no está en la columna, se toma como intervalo al que pertenece la Mediana el siguiente al valor de N/2, y después de situarnos en el intervalo por la hipótesis de uniformidad hacemos una proporción entre la amplitud del intervalo, los elementos que tiene y la amplitud que correspondería a la diferencia entre N/2 y la frecuencia acumulada anterior valor que añadiríamos al extremo inferior del intervalo.
Si el valor sí está en la columna de frecuencias acumuladas, se toma como Mediana el extremo superior del intervalo correspondiente.
También se puede hallar gráficamente con el diagrama correspondiente a las frecuencias absolutas acumuladas.
3.- MODA
Es el valor de la variable que más veces se repite. En algunos casos existen varias modas, pero normalmente es una, si son dos se llama bimodal.
Para datos no agrupados
La moda es el valor de la variable correspondiente a la mayor frecuencia absoluta. Para datos agrupados en intervalos
Se halla la densidad de frecuencia de cada uno de los intervalos (di) y el de mayor
densidad de frecuencia se selecciona como intervalo modal, para determinar el valor de la Moda, se aplica la siguiente fórmula, basada en la proporcionalidad:
i i i i i i i i
a
d
d
d
d
d
d
L
Mo
.
)
(
)
(
1 11
Si los intervalos tienen todos la misma amplitud el intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos indican el mayor o menor alejamiento de los valores de una variable respecto a un promedio. Casi siempre acompañando a un promedio debe ir una medida de dispersión que nos indica la mayor o menor representatividad del promedio.
Las medidas de dispersión absoluta más utilizadas son: 1. Varianza
2. Desviación Típica
VARIANZA
N f x x
S X
i i
2
2 ( )
Siempre es positiva (por estar al cuadrado). Como la varianza es siempre positiva, a mayor varianza mayor será la dispersión.
DESVIACIÓN TÍPICA (S
x)
EJEMPLOS DE CLASE
1.- (Datos no agrupados) Dada la siguiente distribución de frecuencias de variable discreta. Calcular:
a) Mediana b) Moda c) Media d) Varianza y desviación típica
xi fi
47 1
48 3
49 2
50 8
51 3
52 2
53 1
2.- (Datos agrupados) Consultados 350 matrimonios sobre la edad de la esposa, se confecciona la siguiente tabla:
Edad esposa Nº matrimonios
15-20 23
20-25 28
25-30 76
30-35 54
35-40 60
40-50 42
50-70 67
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Partimos de una experiencia en la que p es la probabilidad de éxito y la repetimos n veces. Observamos que el número de éxitos que se consiguen es x. La distribución de probabilidad que gobierna este tipo de experiencias se denomina distribución binomial y se denota por B(n,p). Son ejemplos de este tipo de experimentos el lanzamiento de una moneda 10 veces y contar el número de veces que sale cara, lanzar un dado 6 veces y contar el número de veces que sale el número 5 o, por ejemplo, lanzar 100 chinchetas y contar cuántas caen con la punta hacia arriba. Para calcular la probabilidad de que tengamos exactamente k éxitos en el experimento usaremos la expresión de la distribución binomial que es:
𝑃[𝑥 = 𝑘] = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘· 𝑞𝑛−𝑘
Los parámetros característicos de la distribución binomial son:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑛 · 𝑝 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 = √𝑛𝑝𝑞
Ejemplo 1.- Lanzamos 7 monedas, calcular las probabilidades de que tengamos 3 caras, 5 caras y 6 caras. Halla los valores de la media y de la desviación típica
Ejemplo 2.- Ana tiene una probabilidad de 0.72 de encestar un triple. En un concurso de triples hay que tirar 15 veces. La mejor marca ha sido de 13 triples. Calcula la probabilidad que tiene Ana de ganar el concurso.
Ejemplo 3.- Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si un alumno contesta al azar. Calcula:
a) La probabilidad de que conteste correctamente 4 preguntas
b) La probabilidad de que conteste bien más de 2 preguntas
c) La probabilidad de que apruebe
Ejemplo 4.- La probabilidad de que una flecha lanzada por un arquero de en la diana es de 0.4. Si se lanzan 6 flechas, halla la probabilidad de que:
a) Sólo una de en la diana
b) Al menos una de en la diana
Ejemplo 5.- En el proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Si empaquetamos cajas de 50 tornillos, calcula la probabilidad de que:
a) No halla ningún tornillo defectuoso
b) Halla 1 tornillo defectuoso
LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA
Las distribuciones de probabilidad continua son idealizaciones de distribuciones estadísticas de variable continua en la que la variable en cuestión puede tomar, en principio, cualquier valor. Para que f(x) sea una función de densidad o función de probabilidad es necesario que:
f(x) sea no negativa
El área bajo la curva sea igual a 1
Para hallar la probabilidad de que x esté comprendido entre a y b tendremos que calcular el área de la función comprendida entre a y b.
Ejemplos:
Ejemplo 1.- Calcular k para que la función 𝑓(𝑥) = {0 𝑥 ∉ [1,5]𝑘 𝑥 ∈ [1,5] sea una función de densidad de
probabilidad y una vez calculado determina la probabilidad 𝑃[2 ≤ 𝑥 ≤ 3].
Ejemplo 2.- Calcular m para que la función 𝑓(𝑥) = {𝑚𝑥 𝑥 ∈ [0,4]0 𝑥 ∉ [0,4] sea una función de densidad
LA DISTRIBUIÓN NORMAL
La curva normal de distribución de probabilidad es una curva continua y simétrica cuyo máximo coincide con la media. La ecuación es:
𝑦 = 1
𝜎√2𝜋𝑒
−12(𝑥−𝜇𝜎 )
Esta curva se llama también campana de Gauss, para cada valor de la media y cada valor de la desviación típica hay una curva normal que se denota como 𝑁(𝜇, 𝜎)
La distribución normal N(0,1) está tabulada y es la que vamos a usar, como las distribuciones de los problemas que vamos a tratar no son N(0,1) tenemos que transformarlas en N(0,1) a este proceso se le llama tipificar la variable y la forma de hacerlo es:
𝑧 =𝑥 − 𝜇 𝜎
ALGUNAS FÓRMULAS ÚTILES PARA USAR LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
𝑆𝑖 𝑘 ≥ 0 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃[𝑧 ≤ 𝑘] = 𝜙(𝑘) 𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑒𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘)
𝑃[𝑧 ≤ −𝑘] = 𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘)
𝑃[𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏] = 𝑃[𝑥 ≤ 𝑏] − 𝑃[𝑥 ≤ 𝑎]
APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Para ciertos valores de n y de p, las distribuciones binomiales tienen un gran parecido con las correspondientes distribuciones normales. En general una distribución binomial se puede aproximar a una distribución normal cuando n·p y n·q son ambas mayores que 3 y si son superiores a 5 la aproximación es casi perfecta.
La curva normal a la cual se aproximan tiene la misma media y la misma distribución que la binomial, es decir:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑛 · 𝑝 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 = √𝑛𝑝𝑞
Ejemplo 1.- La distribución del número de atunes capturados por los barcos pesqueros que salen a faenar en una cierta zona es una normal de media 110. Se sabe que, tomando un barco al azar, la probabilidad de que capture más de 125 atunes es de 0.1587.
a) Calcular la desviación típica de la distribución
b) Se considera que la campaña ha sido buena si se capturan más de 100 atunes. ¿Qué
porcentaje estimado de barcos no tendrán una buena campaña?
c) ¿Cuántos atunes debe capturar un barco para estar en percentil 90?
Ejemplo 2.- Para iluminar el recinto de un estadio deportivo se quieren instalar focos. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es una variable normal con una media de 1500 h y una desviación típica de 200.
a) Calcular la probabilidad de que un foco elegido al azar luzco por lo menos 1000 horas
Ejemplo 3.- Los pesos de 2000 soldados presentan una distribución normal media de 75 kg y una desviación típica de 8 kg. Halla la probabilidad de que, escogido un soldado al azar pese:
a) Más de 71 kg
b) Menos de 80 kg
c) Entre 73 y 79 kg
d) Más de 85 kg
Ejemplo 4.- La duración de cierto tipo de motor es una variable normal con una media de 10 años y una desviación típica de 2 años. El fabricante garantiza en funcionamiento de los motores por un periodo de 13 años. ¿Qué porcentaje de motores se espera que no cumplan la garantía?
Ejemplo 5.- Las alturas de los alumnos de una clase siguen una distribución normal. Sonia con 172 cm y Begoña con 167 cm tienen unas alturas tipificadas de 1.4 y 0.4 respectivamente. Calcular:
a) Calcular la altura de una alumna que tiene una altura tipificada de -1
b) Cuál es la tipificación de una alumna que mide 165 cm
c) Cogido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que su altura sea mayor que 170
Ejemplo 6.- El diámetro medio de las piezas producidas por una fábrica es de 45 mm.
a) Determina su desviación típica si la probabilidad de que una pieza tenga un diámetro
mayor de 50 mm es de 0.0062
b) Si se analizan 820 piezas ¿Cuántas se estima que estén entre 39.7 y 43.5?
Ejemplo 7.- Una compañía de autobuses sabe que el retraso de la llegada sigue una distribución normal de media 5 minutos y que el 68.26 % de los autobuses llega entre 2 minutos y 8 minutos tarde.
a) Calcula la desviación típica
b) Calcula la probabilidad de que un autobús llegue puntual o antes de la hora
Ejemplo 8.- En un hospital el 54% de los nacimientos son niñas. Hallar la probabilidad de que en 2500 nacimientos el número de niños esté entre 1200 y 1400.
Ejemplo 9.- En una empresa se comprueba que el 10 % del material es defectuoso. Si se compra un paquete de 300 productos procedentes de la fábrica
a) Calcula la probabilidad de que se encuentren más de un 9% defectuosos
