UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA
CONTROL AUTOMATICO
LABORATORIO No. 4 – Análisis de la Respuesta Transitoria de
Sistemas Continuos de Primer y Segundo Orden
INSTRUCCIONES
1- Las actividades de laboratorio y talleres deberán ser desarrollados en grupos de hasta 2 (dos) alumnos.
2- Las técnicas y herramientas didácticas que se empleen en los laboratorios tiene como finalidad el refuerzo, la conformación y ejecución de los diferentes aspectos que hacen parte de la asignatura. De forma que el alumno desarrolle un pensamiento flexible, dinámico, audaz, independiente, persistente, divergente y original en su formación como profesional.
OBJETIVOS
• Adquirir la Competencia para analizar el comportamiento en el tiempo de un sistema de control de primer orden y segundo orden.
REFERENCIAS
• Andrew Knight Basics of MATLAB and Beyond. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 1999.
• Hanselman, D.; Littlefield, B. MATLAB 5: Versão do Estudante, Guia do Usuário, Makron Books, 1999.
• White Robert: Computational Mathematics: Models, Methods, and Analysis with MATLAB and MPI. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 2003.
• http://www.mathworks.com
ACTIVIDAD PREVIA - MARCO TEORICO
1.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
El comportamiento temporal de los sistemas de control automático continuo y lineal, como cualquier otro sistema, coincide con la solución de la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema, teniendo dos partes la respuesta de estado estable y la respuesta transitoria. Por respuesta transitoria se refiere al comportamiento que tiene el sistema cuando va del estado inicial al estado final.
Las señales de prueba más usadas en el análisis en el dominio del tiempo son las que se listan a continuación.
Entrada en Escalón (función escalón)
Señales de Prueba Elementales (a) Escalón, (b) Rampa y (c) Aceleración
donde u−1t ( ) es la función escalón unitario. Para t = 0 r(t) no está definida. La parte (a) de la figura representa la función escalón.
Entrada en Rampa (función rampa)
Este es el caso donde la variable de entrada cambia proporcionalmente respecto al tiempo. Matemáticamente, la función rampa se define como:
o simplemente
la parte (b) de la Figura representa la función rampa.
Entrada en Aceleración (función parabólica)
En este caso se supone que la entrada cambia de manera proporcional al cuadrado del tiempo. La representación matemática de una entrada en aceleración es:
En la parte (c) de la Figura puede verse la representación gráfica de una función de aceleración.
Las características de respuesta transitoria y respuesta de estado estable pueden determinarse a partir de la respuesta a un cambio en su entrada, generalmente un escalón. Para encontrar las características del comportamiento temporal de un Sistema de Primer Orden, sistema en el cual la ecuación diferencial que describe su comportamiento temporal es una ecuación diferencial en la que la derivada de mayor orden es uno, se necesita resolver la ecuación diferencial. Para encontrar la solución de la ecuación diferencial utilizaremos como entrada un escalón de tamaño R y partiremos de su Función de Transferencia C(s)/R(s) como se muestra en seguida:
La respuesta para una entrada Escalón de tamaño R, R(s)=R/s, sería:
Para encontrar el valor en el tiempo para c(t) es necesario tomar la Transformada de Laplace Inversa de la ecuación anterior y por tal motivo hay que Expandir en Fracciones Parciales la expresión para mayor facilidad
donde
donde τ se le denomina Constante de Tiempo del sistema ya que cuando t=τ se considera que el sistema ya respondió y en este tiempo la respuesta del sistema alcanza el 63.21% de su valor de estado estable (c(t) = R(1-e-1) = 0.6321R). La constante de tiempo es una medida de la velocidad de repuesta del sistema. Cuando más pequeña es la constante de tiempo más rápida es la respuesta del sistema.
Para ejemplificar y comprobar que τ corresponde con el Tiempo de Respuesta TR, obtendremos la
Gráfica de Respuesta en el Tiempo 1) a un Escalón Unitario, 2) a un Impulso Unitario y 3) a una Rampa Unitaria de las tres funciones de transferencia que se muestran enseguida:
Para obtener la gráfica de respuesta en el tiempo a un escalón unitario 1) se utiliza el comando step cuya sintaxis es:
step(num,den) ó step(num,den,t)
donde step es el comando, num es una matriz hilera conteniendo el Numerador de la Función de
Transferencia, den es una matriz hilera conteniendo el Denominador de la Función de
Transferencia y t es el Tiempo que utilizara para graficar y se representa como un tiempo discreto en una matriz hilera generada por el usuario. Todos estas matrices hilera se generan como se muestra en seguida:
Para la Función de Transferencia 1.- tenemos:
num = [0 1]; den = [1 1]; t=(0:0.01:10);
Genere las funciones de transferencia 2.- y 3.-, Sugerencia: puede almacenarlas en num1, den1 y
num2, den2.
Grafique las tres respuestas para una entrada escalón unitario sin definición del tiempo en una gráfica y con definición del tiempo en otra gráfica compárelas, ¿Cuál de los tres sistemas tiene la respuesta más rápida?
Grafique las tres respuestas para una entrada impulso unitario con el comando impulse se utiliza igual que step.
Para obtener la respuesta en el tiempo para una entrada rampa unitaria R(s)=1/s2, se puede utilizar el
comando step, pero se tiene que hacer lo siguiente:
num = [0 0 1]; %se introduce el polinomio del numerador 1 den = [1 1 0]; %se introduce el polinomio del denominador s 2 + s t = 0:0.1:30; %genera el vector tiempo
c = step(num,den,t); %salvamos la respuesta al escalón en la variable c
plot(t,c,t,t) %aquí graficamos la respuesta c y la variable rampa t para compararlas.
Grafique las tres respuestas para una entrada rampa unitaria en los mismos ejes coordenados.
Ahora utilizaremos el Simulink para obtener la respuesta en el tiempo.
Realice en un espacio de trabajo de Simulink el siguiente diagrama de bloques, simúlelo y obtenga su respuesta en el tiempo.
Cambie el escalón por una entrada rampa unitaria, simúlelo y obtenga sus respuestas?
2.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Respuesta en el tiempo de un sistema de segundo orden a un escalón unitario
Considere el Sistema de Segundo Orden de la figura siguiente
donde k es la Ganancia del Sistema y ωn es la Frecuencia Natural no Amortiguada y δ.es la Razón de Amortiguamiento (Amortiguamiento Real/Amortiguamiento Crítico).
Las raíces del denominador de C(s)/R(s) o polos, están dados por:
Puede observarse que la naturaleza de las raíces depende del valor de δ, es decir
• Si δ = 0 significa que el sistema es Sin Amortiguamiento (Amortiguamiento Real vale cero)
y las Raíces son Imaginarias Conjugadas, dadas por:
• Si 0 <
δ
< 1, se dice que el sistema es Subamortiguado (Amortiguamiento Real menor que
Amortiguamiento Crítico) y las Raíces son Complejas Conjugadas, dadas por:
Donde
es la Frecuencia Natural Amortiguada.
• Si δ =1, se dice que el sistema es Críticamente Amortiguado(Amortiguamiento Real igual
que Amortiguamiento Crítico) y las Raíces son Reales e Iguales y están dadas por:
• Si δ >1, se dice que el sistema es Sobreamortiguado (Amortiguamiento Real mayor que
Amortiguamiento Crítico)y las Raíces son Reales y Diferentes y están dadas por:
A continuación presentamos las Gráficas de Respuesta en el Tiempo de los cuatro casos para una Entra Escalón Unitario.
Observando las gráficas anteriores nos damos cuenta que un sistema sin amortiguamiento δ=0 solo es ideal no puede existir en la realidad por esta razón no lo estudiaremos, un sistema sobreamortiguado δ>1 no llega al valor final deseado o se tarda mucho noes conveniente utilizarlo por eso no lo estudiaremos, el sistema criticamente amortiguado δ=1 es muy difícil de lograr porque solo es un punto cualquier cambio en los parámetros nos impide lograrlo por eso tampoco lo estudiaremos, entonces el unico que nos queda es el sistema subamortiguado que es el que estudiaremos enseguida:
Recuerde que τ representa la constante de tiempo del sistema y cada vez que el sistema alcance este valor, la salida alcanzará el 63.2% de su valor de estado estacionario restante. La constante de tiempo es una medida de la velocidad de repuesta del sistema. Cuanto mas pequeña es la constante de tiempo más rápida es la respuesta del sistema. Para sistemas de segundo orden τ=1/δωn. El
tiempo de respuesta del sistema (tiempo de asentamiento) es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 98% (4τ) de su valor de estado estacionario, o sea que sus variaciones son menores al 2% de su valor final.
Especificaciones de Respuesta Transitoria
Las especificaciones de respuesta transitoria a un escalón unitario se definen para sistemas de segundo orden subamortiguado como:
a. Tiempo de Respuesta, TR, está dado por:
b. Tiempo de Subida, TP, está dado por:
c. Tiempo de Alcance Máximo, TA, está dado por:
d. Máximo sobrepaso (overshoot), Mp, es igual a:
ACTIVIDADES A REALIZAR EN EL LABORATORIO
a. Sistema de primer orden
Obtenga analíticamente la función de transferencia del siguiente circuito
Construya en el protoboard dicho circuito considerando R4 = R3 = R2 = R1 = 100kΩ. C=0,1µF. Utilice amplificadores operacionales tipo LM741
Alimente al circuito con una señal cuadrada (0,5 voltio a 1Hz con offset de 0,5vdc) identifique y mida en el osciloscopio los conceptos: T, 2T, 3T, 4T, 5T. y demás parámetros transitorios.
Compare sus valores medidos con los valores obtenidos a partir de la simulación con la función de transferencia
b. Sistema de segundo orden
La forma general del sistema de segundo orden está dada por:
Alimente al circuito con una señal cuadrada (0,5 voltio a 1Hz con offset de 0,5vdc) y mida en el osciloscopio la magnitud de: ¨td¨, ¨tr¨, ¨Mp¨, ¨tp¨, ¨ts¨ para ¨5%¨ y ¨ts¨ para ¨2%¨.
c. Sistema oscilante inestable
Se analizará el comportamiento de un circuito eléctrico (planta) que se comporta oscilatoriamente ¨ζ =0¨.
Obtenga analíticamente la función de transferencia del siguiente circuito
Diseñe en el protoboard dicho circuito de forma que los valores de las resistencia y capacitores hagan cumplir las siguientes características al sistema de segundo orden ݓ݊=10 y ζ=0
Alimente al circuito con una señal cuadrada (0,5 voltio a 1Hz con offset de 0,5vdc) y mida en el osciloscopio, identifique el periodo.
EJERCICIOS DE REFUERZO COMO TRABAJO INDEPENDIENTE
EXTRACURRICULAR
Ejercicio 1.
Ejercicio 2.
Crear las siguientes funciones de transferencia.
Obteniendo las raíces del polinomio del denominador de cada sistema diga a que tipo de respuesta corresponde comprobándolo con el valor de la Razón de Amortiguamiento que le corresponde. Obtener la respuesta en el tiempo a una entrada escalón unitario para cada sistema, grafique las cuatro gráficas juntas y compárelas.
