PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE - 2004 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

(1)

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I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

SEPTIEMBRE - 2004

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- Todas las preguntas se puntúan igual. BLOQUE 1 (Álgebra)

1-A)

a ) Estudiar, según el valor de k, el rango de la matriz

     

   

− + +

=

1 0

1

1 1 0

0 1 1

k k

A .

b ) Calcular, si es posible, un valor de k para que el sistema siguiente sea compatible determinado. Justificar la respuesta.

          +

=

               

   

− + +

1 1

2 ·

1 0

1

1 1 0

0 1

1 k

z y x k

k

c ) Lo mismo que en b ), pero para que el sistema sea compatible indeterminado. d ) Lo mismo que en b ), pero para que el sistema sea incompatible.

--- a )

(

)

(

)

2 ;

; 0

0 2 2

1 1 2 1

1 1

0 1

1 1 0

0 1 1

2 2

2

− = =

⇒

= + − = − − = + − − − = + + − = − + +

=

k k

k k k k k

k k

(2)

. 3 2 0 es A de rango el k k Para       − ≠≠

Veamos el rango de la matriz para los valores que anulan su determinante:

2 1 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 = ⇒                      − − − = ⇒ − =           − = ⇒ = A de Rango A k Para A k Para . 2 2 0 es A de rango el k k Para       − == b )

La ecuación es equivalente al sistema lineal siguiente:

(

)

(

)

    = −+ + = + = + + ⇒           + =                     − + + 1 1 1 2 1 1 1 2 · 1 0 1 1 1 0 0 1 1 z x z y k k y x k k z y x k k

Para que el sistema sea compatible determinado es necesario que las matrices de coeficientes y ampliada tengan rango tres. Como ya hemos determinado en el apartado anterior que el rango de A es tres para cualquier valor real de k distinto de 0 y de -2, basta con encontrar un valor de k que haga que el rango de A’ sea tres.

⇒ ⇒           + − + + = ' 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 1 1

' Rango de A

k k k A

{

}

(

)

(

)(

)

0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 , , 2 2 2 4 2 1 = ⇒ = − = − − − − + + + = = + + − + + = + + + ⇒ k k k k k k k k k k k k k C C C

{

}

(

1

)

1

(

2

)

1 1 2 0

1 0 1 1 1 0 2 1 1 ,

, 3 4

1 = + + − + = + + − − =

+ +

⇒ _k _k _k _k

k k

(3)

{

}

(

)(

)

(

3

)

0 ;; 0 ;; 3

3

1 2 2

1 1 2 1 1

1 1 0

1 1 1

2 0

1 ,

,

2 1

2

2 4

3 2

− = =

= + − = − − =

= + − − − − = + + + − = −

+

⇒

k k

k k k k

k k

k C

C C

2 ,

0 ,

minado ∀k∈R k ≠ k ≠ −

Deter Compatible

es sistema El

c )

Para que el sistema sea compatible indeterminado es necesario que las matrices de coeficientes y ampliada tengan el mismo rango menor que tres.

Del estudio realizado en el apartado anterior se deduce que:

0 min

deter ado para k =

In Compatible es

sistema El

d )

Para que el sistema sea incompatible es necesario que los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada sean diferentes. Para k = -2 el rango de A es 2 y el rango de A’ es tres, por lo tanto:

2

− = k para le Incompatib es

sistema El

(4)

1-B) a ) Calcular el determinante de la matriz             = k k k k A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 .

b ) Calcular la inversa de A para el valor de k = 0.

c ) Obtener, de forma justificada, una expresión para el determinante de la matriz de or-den n que tiene la misma estructura que A, es decir:

                = k k k k A 1 · · · 0 0 0 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 0 M M M M M --- a )

Desarrollando por los menores adjuntos de la primera fila:

A k k k k k k k k k k k k

A = = − = −1 = −1=

1 0 0 1 0 0 1 · 1 1 0 0 1 0 0 · 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 4 4 4 b )

Para k = 0 resulta que

            = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 A .

Procediendo por el método de Gaus-Jordan y rotando todas las filas:

(5)

c )

     

 

     

 

=

k k

A

1 · · · 0 0 0

0 0 · · · 1

0

0 0 · · · 0 1

1 0 · · · 0 0

M M M

M M

Desarrollando por los menores adjuntos de la primera fila resultan dos determi-nantes de las siguientes características:

El primero, que va precedido por el factor k, es un determinante correspondiente a una matriz triangular inferior de dimensión n-1 cuyos elementos de la diagonal princi-pal son todos iguales e iguales a k; su valor es kn-1_.

El segundo, que va precedido por el factor

( )

−1 n−1, es un determinante triangular superior correspondiente a una matriz cuyos elementos de la diagonal principal son to-dos iguales e iguales a 1; su valor es lk-1 = 1.

De lo anterior se deduce que el valor del determinante de la matriz A es:

( )

1

( )

1

1 1

· 1

· − − − − = + − −

= n n n n

k k

k A

(6)

BLOQUE 2 (Análisis)

2-A) Considerar la función

( )

x x x

f

− + =

1 1

. Se pide:

a ) Dominio y corte con los ejes. b ) Asíntotas.

c ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d ) Dibujar la gráfica de la función.

--- a )

La expresión 1− x se puede redefinir de la forma:

  

>

− ≤

+ = −

0 1

1

x si x

x , con

lo cual la función puede expresarse de manera más sencilla de la siguiente forma:

( )

   

> −

+ ≤

=

0 1

1

0 1

x si x x

x si x

f

Para determinar el dominio de la función estudiaremos el punto dudoso que resul-ta para x = 0.

Para que sea continua para x = 0 tiene que cumplirse que los límites por la iz-quierda y por la derecha tienen que ser iguales:

( )

f

( )

x

x lím f

x f x

lím

x x x

lím x

f x

lím

f x

lím x

f x

lím

+ −

+ +

− −

→ = =

→

⇒       

= − + →

= →

= = →

= →

0 0

0 1

1 1 0 0

0 1 1 0 0

La función es continua para x = 0.

La función no está definida para el valor x = 1, perteneciente a

(

0, +∞

)

, porque anula el denominador, por lo cual:

( )

f ⇒ R−

{}

1

D

b )

(7)

la función es

( )

x x x

g

− + =

1 1

.

1 1

1 1 )

( =− ⇒ ⇒ =−

− + +∞ → = +∞

→ x Asíntota horizontal y

x x

lím x

g x

lím

La asíntota vertical es el valor que anula el denominador: x=1.

(No estudiamos las tendencias por intuirse en el estudio de los apartados siguientes) c )

Al igual que en el apartado anterior, nos limitamos al estudio de la función g(x).

( )

(

₍

) (

₎

) ( )

₍

₎

₍

₎

g

( )

x

x x

x x x

x

g =

− = −

+ + − = −

− +

− −

= ₂ ₂ ₂

1 2 1

1 1

1

1 · 1 1

· 1 '

Por ser el denominador ≥0, ∀x∈R, la función g(x) es:

Monótona creciente en su dominio d )

Con los datos anteriores resulta la gráfica que se esboza a continuación.

x

=

1

f(x)

X Y

O

(8)

2-B) Una ventana tiene forma de un semicírculo colocado sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal transparen-te, pero el semicírculo es de cristal tintado. El cristal tinta-do transmite la mitad de la luz por unidad de área que el cristal transparente. Así, la función que nos da la cantidad de luz que pasa por la ventana es:

(

)

2 2 4 ,       + = xy x y

x

f π .

Sabiendo que el perímetro total de la ventana ha de ser de 2 metros, calcular las dimensiones x e y de la ventana que proporcionan el máximo posible de luz.

--- El perímetro de la ventana es:

y x x x x y x y x

p = − − =

− − = = + + = 4 2 4 2 2 2 ; ; 2 2 · 2 π π π

Sustituyendo el valor de y en la función f

(

x, y

)

resulta:

( )

(

x x x

)

f

( )

x

x x x x x x x x x x x x x f = − − = = + − − = + − − =       + − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8 16 · 16 1 16 4 8 16 4 · 4 4 2 4 2 4 4 2 4 · π π π π π π π

El máximo posible de luz se produce para el valor de x que anula la derivada:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

m y

x x y m x x x x x x x x x f = ≅ + + = + + = = + − − + = + − + − = − − = ≅ + = + = = − − ⇒ = − − = − − = 41 ' 0 3 8 4 3 8 4 4 16 4 3 8 8 16 12 32 4 3 8 8 · 3 8 8 · 2 4 4 2 4 ; ; 46 ' 0 3 8 8 ; ; 3 8 8 ; ; 0 3 8 8 0 3 8 8 · 8 1 6 16 16 · 16 1 ' π π π π π π π π π π π π π π π π m y e m x para produce se luz de máximo

El ≅0'46 =0'41

Justificación de máximo:

( )

(

)

0 , . . .

18 3 8 3 8 · 18 1 '

' x Máximo cq j

f = − − π =− + π < ⇒

**********

x

(9)

BLOQUE 3 (Geometría)

3-A) a ) Hallar la ecuación en forma implícita de la recta r que pasa por P(1, 2, 3) y tie-ne por vector director v =

(

6, 5, 4

)

.

b ) Calcular la ecuación implícita del plano π que contiene a la recta r y pasa por el punto A(1, 1, 2).

c ) Calcular el área del triángulo de vértices P1, P2 y P3 donde estos puntos son los cortes del plano π con los ejes X, Y y Z, respectivamente.

--- a )

La expresión vectorial de r es: r ≡

(

x, y, z

) (

= 1, 2, 3

) (

+λ 6, 5, 4

)

.

En forma continua la expresión de r es.

4 3 5

2 6

1₌ − ₌ −

−

≡ x y z

r .

De la expresión anterior se deduce que:

  

− = − = − −

18 6 4 4

12 6 5 5

z x

y x

, lo cual permite expresar la recta r por unas ecuaciones:

  

= + − + = −

≡

0 7 3 2

0 7 6 5

z x

y x r

b )

(

1, 2, 3

) (

− 1, 1, 2

) (

= 0, 1, 1

)

= − =

= AP P A u

El plano π puede determinarse por el punto A y los vectores u y v .

(

)

(

) (

)

(

1

) (

6 1

) (

6 2

)

0 ;; 1 6 6 6 12 0 ;; 6 6 7 0

; ; 0 1 5 2 6 1 6 1 4 ; ; 0

4 5

6

1 1

0

2 1

1 ,

;

= − + − ≡ =

+ − − + + − =

− − − + − −

= − − − − − + − =

− −

− ≡

z y x z

y x

z y

x

x z

y x

z y

x v u A

π π

c )

Los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados son:

(

)

 

→

  =

   

 

− →

   

 

==

⇒

→

   

 

==

⇒

7 0

; ; 0 , 6 7 , 0 0

0 ;

; 0 , 0 , 7 0

0

2 1

x

P z

x Y

P z

(10)

Los vectores que determinan el triángulo son:

(

)

(

)



  

 

− = −

   

 

= − = =

   

 

− − = −

   

 

− = − = =

6 7 , 0 , 7 0

, 0 , 7 6 7 , 0 , 0

0 , 6 7 , 7 0

, 0 , 7 0 , 6 7 , 0

1 3 3 1

1 2 2 1

P P P P n

P P P P m

El área de un triángulo es la mitad del área del paralelogramo que determinan dos vectores y el área del paralelogramo, a su vez, es el módulo del producto vectorial de los dos vectores, por lo cual:

( )

1 2 3

3 2 1

2 2

6 7 6 7

72 73 49 73 · 72 49 6

6 1 · 72 49 6

6 ·

72 49

6 6 ·

72 49

1 0 6

0 1 6 · 72 49

0 7

· 2 1 ·

2 1

P P P P

P P

S u k

j i

j k i k

j i k

j i n

m S

= =

= − + + − =

− + − =

= + − − =

− − − =

∧ =

(11)

3-B) Sean los vectores v1 =

(

2, 1, 2

)

, v2 =

(

4, 3, 2

)

y v3 =

(

− k −1, 2k + 2, 2

)

.

a ) Calcular la ecuación del plano π que tiene v1 y a v2 como vectores directores y

que pasa por el punto O(0, 0, 0).

b ) Calcular, si es posible, un valor k tal que v3 sea perpendicular simultáneamente a 2

1 y v

v . Justificar la respuesta.

c ) Calcular, si es posible, un valor k tal que exista un vector w perpendicular simultá-neamente a los tres vectores v₁ , v₂ y v₃ . Justificar la respuesta.

--- a )

(

)

0 ;; 2 8 6 4 6 4 0 ;; 4 4 2 0

2 3 4

2 1 2 ,

; 1 2 ≡ = x+ y+ z− z− x− y = − x+ y+ z=

z y x v

v O

π

0 2

2 − − =

≡ x y z

π

b )

Para que un vector sea perpendicular a dos vectores dados, el primer vector tiene que ser linealmente dependiente al producto vectorial de los otros dos vectores.

(

4, 4, 2

)

2 4 4 4

6 4 6 8 2 2 3 4

2 1 2

2

1 ∧ = = i+ j+ k− k− i− j =− i+ j+ k = −

k j i v v

(

)

      

= =

+ =

+

= −

= − − =

− − −

⇒

= + = −

− −

⇒

+ −

− =

1 ; ; 4 2 2 ; ; 1 4

2 2

3 ;

; 4 1 ;

; 1 4

1

2 2 4

1 2

, 2 2 , 1

3

k k

k

k k

k v

Al no coincidir los valores de k:

3 1

3 sea simultáneamente a v y v

v que para k

de valor un

existe

No ⊥

c )

Si no es posible que el vector v3 sea perpendicular simultáneamente a los

vecto-res v1 y v2 indica, necesariamente, que v3 es linealmente dependiente de los

(12)

Lo anterior supone que el vector w será perpendicular a los tres vectores dados, cuando lo sea a dos de ellos, por lo tanto el vector w puede ser cualquiera que sea li-nealmente dependiente del producto vectorial de v1 y v2 . Por ejemplo:

(

−2, 2, 1

)

= w

El valor de k es fácil determinarlo teniendo en cuenta que los tres vectores dados son coplanarios, lo que significa que el rango que determinas es dos:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

3 4 ;

; 4 3

; ; 0 1 2

2 1 ; ; 0 1 2

2 1

; ; 0 1 4

2 2 4 4 ; ; 0 8 2 2 4 1 6

1 2

2 2 8 12

; ; 0

2 2 2 1

2 3 4

2 1 2

2 , 2 2 , 1 2

, 3 , 4 ,

2 , 1 ,

2 2 3

1

− = −

= =

+ + + + =

− − − + +

= − − − + +

= − + −

− − − − − + + +

= +

− −

⇒

+ −

− = =

=

k k

v y v

v