OBJ 2 PTA 2 ¿Cuál es el valor aproximado por exceso con seis cifras decimales exactas, usando una

10  33  Descargar (0)

Texto completo

(1)

Universidad Nacional Abierta Matemática I (Cód. 175-176-177)

Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126-236-280-508-521

542-610-611-612-613

Área de Matemática Fecha: 01 – 02 - 2014

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1 al 11.

OBJ 1 PTA 1 La relación entre la temperatura C en escala Celsius (grados centígrados) y la temperatura F en la escala Fahrenheit (grados Fahrenheit), está dado por:

F = 9

5.C + 32

¿Cuánto es el valor en grados Fahrenheit, que corresponde al triple del valor que se lee en la escala en grados centígrados?

Sugerencia: Sea T el valor de la temperatura que se lee en la escala Celsius. Determine T, cuando en la escala Fahrenheit se lee 3T. (Realice los cálculos con dos cifras decimales y no use redondeo).

Solución:

Sea T el valor de la temperatura que se lee en la escala Celsius. Queremos determinar T, cuando en la escala Fahrenheit se lee 3T. Luego,

3T = 9

5.T + 32 Al resolver esta ecuación con incógnita T, resulta:

9

3 32

5 9

3 32

5 9

. 3 32

5 15 9

. 32

5 6 . 32

5 5 32.

6 160

26, 66 6

T T

T T

T

T

T

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

Esto es, T = 26,66

Entonces, la temperatura T cuando en la escala Fahrenheit se lee 3T es: 79,98oF

(2)

OBJ 2 PTA 2 ¿Cuál es el valor aproximado por exceso con seis cifras decimales exactas, usando una calculadora, del número 2

e

, tomando e = 2,7182818 y  = 3,1415926?

Solución:

Usando una calculadora, con los valores considerados de los números  y e, tenemos: 2

e

= 2. 3,1415926

2, 7182818  1,5203468

Como el redondeo es por exceso con seis decimales (ver p.71 del Módulo I), la aproximación a tomar es:

1,520347

Por lo tanto, la opción correcta es c.

OBJ 3 PTA 3 Resuelve la ecuación 2 3 1 3

2 x   .

Solución:

(Se sigue como el ejercicio 3.3.2 (e) en la Pág. 138 de la Unidad 3 del texto).

Por definición de valor absoluto de un número real x (ver p.134 del Módulo I), se tiene que:

| x | =

  

 

0 x , x

0 x , x

Entonces,

2

3 1 3

2 x   si sólo si 2

2 x  3 = 1  3 ó  ( 2

2 x  3 ) = 1  3 , de donde, 2

2 x = 1 ó  2

2 x = 1  2 3 x = 2

2 ó  2 x = 2  4 3 x = 2

2 ó x = 

2 4 3 2

Entonces, los números reales que satisfacen la ecuación dada son:

x = 2

2 , x =

2 4 3 2

(3)

OBJ 4 PTA 4 Sean los conjuntos A

2,1,0,1,2

y B

 

0,1,2 .Determine R tal que

 

, : 1

Rx yAxB x y , con xA, yB.

Solución:

Al observar la expresión de R

 

x y, AxB x:  y 1

, con xA, yB, se tiene que R es el conjunto formados por los pares ordenados (x,y) tales que “el valor absoluto de x ─ y sea igual a 1”.

Entonces:

R =

1, 0 , 0,1 , 1, 0 , 1, 2 , 2,1

        

Se recomienda al estudiante UNA comprobar que: RAxB.

OBJ 5 PTA 5

Dada la función f : D  : f x

 

x28x15.Determine Dom f

 

, Rg f

 

, los cortes con los ejes OX y OY y luego represéntala gráficamente.

Nota: El objetivo se considera logrado si responde correctamente TODAS laspartes.

Solución:

Se puede hacer una tabla de valores como el ejemplo mostrado al final de la Pagina 93 de la Unidad 5 del Módulo II del texto. Pero en caso se tiene que

 

Dom f  y Rg f

 

  

1,

, donde:

(4)

OBJ 6 PTA 6

Se tiene los datos agrupados por edades de 36 estudiantes, en los cuales se presentan las frecuencias de 20 varones y 16 hembras que presentaron un examen de matemáticas de una escuela para una competencia de matemática a nivel municipal.

clases Frecuencia

(Varones)

Frecuencia (Hembras)

[4,7] 3 2

(7,10] 4 7

(10,13] 11 6

(13,16] 1 0

(16,19] 1 1

Elabora dos polígonos de frecuencia (para varones y hembras) en un mismo grafico.

Solución:

(Se sigue como el ejemplo 6.4.3 en la Pág. 181 del Modulo II de Matemática I)

OBJ 7 PTA 7 ¿Cuál es la suma de los 9 primeros términos en una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y cuya razón es 1,5?

Solución:

(ver páginas 26-28 del Módulo III).

(5)

Por lo tanto, la respuesta es: 81

OBJ 8 PTA 8 Calcula el

3

5 2 lim

2 x

x x

  .

Solución:

De acuerdo a la indicación dada para los ejercicios propuestos 8.7.2 Nro. 1 en la Página 116, en el Módulo III del texto, se tiene:

3

3 5 2 2

5 5

5

5

5 5 5

2 2 2

2 0 0

lim lim lim lim 0

2

2 2

2 0 1 1

1

x x x x

x

x x x x

x x

x

x

x x x

            

 

Como la función en el numerador tiende a cero cuando x  y el denominador tiende a 1 (uno) cuando x , entonces el cociente de las dos funciones tiende a 0 (cero).

Por lo tanto, la opción correcta es la d.

OBJ 9 PTA 9 ¿En qué intervalo la función g es continua?

Solución:

De acuerdo a la indicación dada en la Página 140, en el Módulo III del texto, se debe verificar las siguientes condiciones:

1. g

 

2 2, y se cumple la primera condición.

2.



2

2 2 2

2 1

2

1 3

2 2

x x x

x x

x x

Lim Lim Lim x

x x

  

 

   

  , esto muestra que el límite existe y es igual a 3. Se

cumple la segunda.

Tenemos que f

 

2 2 y

 

2 3

x Lim g x

(6)

En conclusión, la función g es continua en el intervalo:

, 2

 

2,

. Por lo tanto, la opción correcta es la d.

EDUCACION, MENCION DIFICULTAD DE APRENDIZAJE Y PREESCOLAR 175

OBJ 10 PTA 10 Determine el área de un terreno cuyo plano es el siguiente:

8

m

6m

6m

3m

7m

Solución:

Dividiremos el plano en secciones:

A1

6m

3m 7m

8m

6m A1

A2

(7)

A1= 48 m2; A2= 35 m2; A3= 48 m2 Finalmente:

Área Total = A1 + A2 + A3 = 48 m2 + 35 m2 + 48 m2= 131 m2

OBJ 11 PTA 11 Si supone que para el año 2006, Venezuela tiene una población aproximada de 26 millones de habitantes y que además la población crece en progresión geométrica a una tasa de 2% anual, ¿Cuál cree será la población de Venezuela para el año 2020?

Solución

Se sigue como en el ejercicio 3.3.2 la parte (a) de la pagina 148 en el Módulo IV (175) del Texto. Denotemos por Pn la población de Venezuela al cabo de n años, siendo P1= 26 millones de habitantes (en el 2006) se tiene:

1

P= 26x106

2

P =P1+2% de P1= (1+0,02) P1=1,02P1

3

P=P2+2% de P2= (1+0,02) P2=(1,02)(1,02) P1= (1,02)2P1 ……….

n

P =(1,02)n-1P1=26(1,02)n-1106 este es el termino n-ésimo de la sucesión

 

Pn ,n1 , y nos da la población en el año 2006 + (n1). Observemos que

 

Pn es una progresión geométrica de razón 1,02 y el primer termino P1

La población de Venezuela en el año 2020 seria (n15)

15

P =26(1,02)14106  26x1,3194 x106  34 millones de habitantes

ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA 176

OBJ 10 PTA 10 Un bien que se deprecia linealmente tiene un valor al cabo de 20 años igual a la cuarta parte del valor que tenía al cabo de cuatro años. ¿Cuál es el valor del bien a los 10 años de adquirido?

Solución

Sea

Vt = V0 – b t

la función de valor del bien en cuestión (Ver página 58 del Módulo IV). Las condiciones del problema permiten escribir:

4 V

V 4

(8)

esto es: , 4 b 4 V b 20

V0 0

  

haciendo las operaciones correspondientes, la igualdad anterior puede escribirse como: . 76 3 V b 0 

Por otra parte:

b 4 V b 10 V V V 0 0 4 10    ,

dividiendo por V0 el numerador y el denominador del miembro derecho de la ecuación anterior, tenemos que: . V b 4 1 V b 10 1 V V 0 0 4 10               

Finalmente, sustituyendo , 76 3 por V b 0 se obtiene: 71 , 0 64 46 76 3 4 1 76 3 10 1 V V 4

10  

              

es decir, V10es el 71 % de V4. Por lo tanto, la respuesta correcta corresponde a la opción B. 

OBJ 11 PTA 11 Si las ecuaciones de la oferta y demanda de un determinado bien son:

P = 2 3 120 2 Q

; Q0

P = 2S2 ; S0 Obtenga las coordenadas del punto de equilibrio.

Solución

(ver p.108 del Módulo IV (176)) Considerando que Q = S, tenemos:

S2 = 2 P

 Q2 = 2 P

(9)

2 3 2

120

 

P P

3 240

2 3 120

  

  

P P

P P

Es decir: P(P + 3)=240  P2 + 3P ─ 240=0 Cuyas raíces son:

P1 ≈ 14,06 , P2 ≈ ─17,06 (la descartamos)

La raíz P2 no tiene sentido en este problema, dado que el precio siempre es un número positivo; en definitiva las cantidades de equilibrio y el precio de equilibrio son: P ≈ 14,06 y Q =

65 , 2 2

06 , 14

 

Obtenemos dos valores para Q:

Q1 ≈ 2,65 , Q2 ≈ ─ 2,65 (la descartamos) ¿Por qué? Finalmente las coordenadas del punto de equilibrio son: (2,65 ; 14,06)

INGENIERIA, MATEMATICA Y EDUCACION MATEMATICA 177

OBJ 10 PTA 10 Escribe en los siguientes enunciados, utilizando algunas de las siguientes palabras: todo, cualquier, cualquiera, para todo, existe, existe un, existen; de tal manera que el enunciado se satisfaga para todos los elementos o para algunos.

a. El área de una circunferencia de radio r es 2.r2.

b. Si x es un número real, entonces x2 -100 es un numero negativo. c. El cubo de un número impar es un número impar.

Criterio de Dominio: Para el logro del objetivo debes responder al menos dos partes correctamente

Solución

Existen varias maneras de escribir los enunciados, usando la palabra indicadas. Presentamos algunas de ellas.

a. Para cualquier circunferencia de radio r se verifica que su área es 2.r2.

Para toda circunferencia de radio r se verifica que su área es 2.r2.

b. Existen xIR tales que x2 -100 es un numero negativo.

(10)

c. El cubo de cualquier número impar es un número impar.

OBJ 11 PTA 11 Dada la siguiente tabla:

AÑO POBLACION

(N)

Ln Nn

1961 7 578 266 2,014903

1971 10 631 166 2,360854

1981 14 913 926 2,701361

1990 18 225 635 2,901422

2000 22 735 507 3,122365

Determine la constate a de la función exponencial an n N e

N  0 . y represente la relación entre la población y el tiempo, utilizando para ello el logaritmo neperiano para n4.

Solución:

Denotemos por Nn la población en el año tn, es decir, NnN

 

tn . En consecuencia la función exponencial que buscamos es de la forma Nn N ean ean

. .

0 7578266.

 , para valores discretos de 4

, 3 , 2 , 1 , 0

n . Ahora, necesitamos calcular el valor de la constante a, para lo cual procedemos como sigue:

Tomamos logaritmos neperianos en NnN0ea.n, lo cual resulta:

n a N L N

Ln nn o  .

En consecuencia a la podemos calcular con un valor de n, por ejemplo, para n4, se tiene: a

N Ln N

Ln 4o 4.

Luego, 0,2768655

4

014903 ,

2 122365 ,

3 4

0

4    

Ln N Ln N

a

Por lo tanto, la función exponencial buscada es:

4 , 3 , 2 , 1 , 0 , .

7578266 0,2768655. .

0  

N e e n

Nn an n

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...