Parte I
Estudio local de una función
1
Ecuación recta tangente
Recordemos que si f :D!Res derivable ena2D; entonces f0(a) es precisamente la pendiente de la recta tangente a la grá…ca de f en el puntox=a:
La ecuación punto-pendientede una recta en el plano es:
y y0 =m(x x0); (1)
donde(x0; y0)son las coordenadas de un punto por el que pasa la recta, ym es la pendiente de dicha recta.
En nuestro caso, queremos saber la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de la función f en el punto (a; f(a)); sabiendo que f es derivable enx=a:
Teniendo en cuenta la ecuación (1), la ecuación de la recta tangente a la grá…ca def enx=aes: y f(a) =f0(a)(x a)
Ejemplo 1 Halle la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de la función f(x) = 3
x en el punto de abscisa x= 1.
La ecuación solicitada esy f( 1) =f0( 1) (x ( 1))
Los datos que aparecen en la ecuación pueden calcularse pues f está de…nida y es derivable en x= 1:
Observemos que:
f0(x) = 3 x2 :
En tal caso, la ecuación de la recta tangente enx= 1quedaría como:
y 3
1 = 3
( 1)2 (x+ 1),y+ 3 = 3 (x+ 1), y= 3x 6:
Actividad 2 Sea la función de…nida de la forma f(x) =
8 > < > :
2x
x 1 si x <2 2x2 10x si x 2
1. Halle el dominio de f:
2. Estudie la derivabilidad de f en x= 2:
3. Halle la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en el punto de abscisa x= 0:
La funciónf es una función de…nida a trozos, expresada mediante funciones racionales, y a priori está de…nida para todos los números reales (pues todo número real es o menor que 2 o mayor o igual que 2).
La primera es racional fraccionaria y la segunda es racional entera (o polinómica).
f(x) =
8 > < > : 2x
x 1 si x <2
2x2 10x si x 2
La función racional fraccionaria y = x2x1 está de…nida para aquellos valores reales menores que 2 que no anulan al denominador. El único valor que anula dicho denominador es claramente x= 1; que pertenece al intervalo sobre el que está de…nida, por lo que este valor habrá que desecharlo
del intervalo de de…nición.
La otra función, y = 2x2 10x, está claramente de…nida para cualquier valor real. Por tanto, conjuntamente, decimos que Dom(f) = R f1g:
Continuidad de f en x= 2:
f(2) = 2 22 10 2 = 12:
Calculemos ahora el límite de f en x= 2: lim
x!2
f(x) = lim
x!2
x<2 2x
x 1 =
2 2 2 1 = 4;
lim
x!2+f(x) = limx!2
x>2
(2x2 10x) = 12:
Como lim
x!2 f(x) 6= limx!2+f(x); deducimos que no existe xlim!2f(x); por lo que f no es continua en x= 2: Esto signi…ca en particular, además, que f tampoco puede ser derivable en x= 2:
f(x) =
8 > < > : 2x
x 1 si x <2
2x2 10x si x 2
La ecuación solicitada es: y f(0) =f0(0) (x 0): Como f(0) = 0; y: 2x
x 1 0
= 2(x 1) 2x (x 1)2 =
2 (x 1)2;
se tiene que, visto que f no es continua ni derivable en x= 1 nix= 2, su función derivada es:
f0(x) =
8 > < > : 2
(x 1)2 si x <1 2
(x 1)2 si 1< x <2 4x 10 si x >2 De la derivada obtenida obtenemos que f0(0) = 2
(0 1)2 = 2: La ecuación de la recta en tal caso quedaría como:
2
Monotonía Estricta y Derivación
2.1
Función estrictamente creciente (estr. decreciente) en un punto
De…nición 3 (crecimiento estricto) Seaf :D!R una función, y sea a2D: Decimos quef es
estrictamente creciente en a; si para algún " >0 el intervalo (a "; a+") D; y se veri…can las dos condiciones siguientes:
1. Para cada x2(a "; a); f(x)< f(a):
2. Para cada x2(a; a+"); f(a)< f(x):
De…nición 4 (decrecimiento estricto) Sea f : D ! R una función, y sea a 2 D: Decimos que
f es estrictamente decreciente en a; si para algún " > 0 el intervalo (a "; a+") D; y se veri…can las dos condiciones siguientes:
1. Para cada x2(a "; a); f(x)> f(a):
2. Para cada x2(a; a+"); f(a)> f(x):
Ejemplo de función estríctamente creciente enx=a.
2.2
Función estrictamente creciente (estr. decreciente) en un intervalo
De…nición 5 Sea f : D ! R una función, y sea I D un intervalo no vacío y no reducido a un punto.
1. Decimos quef esestrictamente creciente enI; si es estrictamente creciente en cadax2I:
2. Análogamente, diremos que f es estrictamente decreciente en I;si es estrictamente
decre-ciente en cada x2I:
3. Finalmente, diremos que f es estrictamente monótona en I si o bien es estrictamente
creciente, o bien es estrictamente decreciente.
4. Porestudiar los intervalos de monotonía de una funciónf entenderemos conocer
Ejemplo 6 La función f(x) = x2; es estrictamente decreciente en ( 1;0) y es estrictamente
cre-ciente en (0;+1):
La monotonía estricta, en el caso de funciones derivables, puede estudiarse utilizando el resultado siguiente.
Teorema 7 Sea f :D!R una función derivable enD; y sea a2D:
1. Si f0(a)>0; entonces f es estrictamente creciente en a:
2. Si f0(a)<0; entonces f es estrictamente decreciente en a:
3. Si f0(a) = 0; no se conoce a priori qué sucede en x=a:
De…nición 8 Un punto en donde f0(a) = 0 se denomina punto singular (o crítico) de la función
f:
Ejemplo 9 Estúdiense los intervalos de crecimiento y de decrecimiento estricto de la función f(x) = 14x4 2x2:
En primer lugar, vemos quef es derivable en todo R;con función derivada: f0(x) = x3 4x:
Obtenemos sus puntos singulares:
x3 4x= 0 ,x(x2 4) = 0,
8 < :
x= 0 o x2 4 = 0
, x= 2
Determinamos el signo de la primera derivada en los intervalos reales que determinan estos puntos obtenidos:
f0(x) =x3 4x
( 1; 2) ( 2;0) (0;2) (2;+1)
signo(f0) + +
monotonía def & % & %
Observación 10 ¿Qué sucede con la función anterior en los puntos x = 2; x = 0 y x = 2? Para ayudarnos, observemos la grá…ca de dicha función:
3
Extremos locales
3.1
Extremos (locales) relativos estrictos de una función
Es posible arrojar algo de luz sobre los puntos singulares de una función derivable.
De…nición 11 Sea f :D!R una función de…nida en D R; y sea a2D:
1. Se dice que f presenta un máximo relativo (estricto) en x = a; si para algún " > 0 el
intervalo (a "; a+") D; y se veri…ca que para cada x2(a "; a+"); con x6=a; se tiene
que f(x)< f(a):
2. Se dice que f presenta un mínimo relativo (estricto) en x = a; si para algún " > 0 el
intervalo (a "; a+") D; y se veri…ca que para cada x2(a "; a+"); con x6=a; se tiene
que f(x)> f(a):
Ejemplo 12 La función siguiente presenta un máximo (M) y un mínimo (m) relativos estrictos:
Tiene un máximo relativo estricto en x= 1; y el máximo vale 4. También tiene un mínimo relativo
Otro ejemplo de máximos y mínimos relativos estrictos. En el ejemplo, los mínimos además son absolutos.
El ejemplo anterior nos sirve para apreciar que una función puede tener más de un máximo o mínimo absolutos. Por ejemplo, la función seno, f(x) = senx; tiene in…nitos máximos absolutos e in…nitos mínimos absolutos.
3.2
Extremos (locales) relativos estrictos de una función
Cuando una función es derivable en su dominio, es relativamente factible conocer qué sucede en sus puntos singulares, haciendo uso del siguiente:
Teorema 13 Sea f : D ! R una función de…nida en D R, y sea a 2 D: Supongamos que f es
dos veces derivable en x=a (es decir, existen f0(a) y f00(a)).
1. Si f posee un máximo o un mínimo relativo estricto enx=a; entonces f0(a) = 0:
2. Si f0(a) = 0 y f00(a)<0; entonces f presenta un máximo relativo estricto en x=a:
3. Si f0(a) = 0 y f00(a)>0; entonces f presenta un mínimo relativo estricto en x=a:
4. Si f0(a) =f00(a) = 0; no se puede a…rmar nada de lo que sucede en x=a:
Hagamos notar que la condiciónf0(a) = 0no es por sí sola indicadora de que la función f
Observación 14 Si una función es derivable en un punto x = a de su dominio, y si f0(a) = 0; no es seguro que f presente un extremo local en dicho punto. Observemos que la función
f(x) =x3 tiene por derivadaf0(x) = 3x2. Obsérvese que f0(x) = 0 ,3x2 = 0
,x = 0: Vemos sin
embargo en la grá…ca que f es estrictamente creciente en todo su dominio:
La recta tangente en x= 0 es el propio eje de abscisas.
Ejemplo 15 Obtener los extremos locales de la función f(x) = x 2
x 1:
Observemos en primer lugar que Dom(f) = R f1g: La función f es claramente continua y derivable en todo su dominio, por ser una función racional fraccionaria. Su derivada es:
f0(x) = 2x(x 1) x 2 1
(x 1)2 =
x2 2x
(x 1)2:
Obtenemos ahora sus puntos singulares: f0(x) = 0, x
2 2x
(x 1)2 = 0 ,x
2 2x= 0
,x(x 2) = 0, x= 0 x= 2 :
A continuación determinamos el signo de la derivada en cada una de las regiones que determinan estos puntos en la recta real, junto con el punto x= 1 que no pertenece al dominio:
Estudiamos el signo en la tabla siguiente: f0(x) = x
2 2x
(x 1)2
( 1;0) (0;1) (1;2) (2;+1)
signo(f0) + +
monotonía def % & & %
(hemos usado que f0( 1) = 34; f0(21) = 13==44 = 3; f0(23) = 13==44 = 3y f0(3) = 34).
Deducimos que en x = 0 la función f presenta un máximo relativo estricto (f crece antes de x= 0 y decrece después), y el máximo vale f(0) = 0
2
La función presenta un mínimo relativo estricto en x = 2 (f decrece antes de x = 2 y crece después). El mínimo vale f(2) = 2
2
2 1 =4:
Sin embargo, f no es estrictamente decreciente en x= 1;pues no está de…nida en este punto.
La función es grá…camente como sigue:
4
Curvatura de una función y derivación
4.1
Concavidad y Convexidad en un punto
De…nición 16 Sea f :D!R una función y sea a2D:
1. Se dice que f es convexa en x =a; si en un entorno (a "; a+") D; la recta tangente a
la grá…ca def enx=a deja completamente por encima a la grá…ca de f: Equivalentemente, si
y =mx+n es la ecuación de la recta tangente enx=a, entonces para cadax2(a "; a+");
con x6=a; se tiene quef(x) (mx+n)>0:
2. Se dice que f es cóncava en x= a; si en un entorno (a "; a+") D; la recta tangente a
la grá…ca de f en x=a deja completamente por debajo a la grá…ca de f: Equivalentemente, si
y =mx+n es la ecuación de la recta tangente enx=a, entonces para cadax2(a "; a+");
con x6=a; se tiene quef(x) (mx+n)<0:
mientras que la siguiente función es cóncava enx=a:
De…nición 17 Sea f :D!R una función y sea I D un intervalo.
1. Se dice que f es convexa en I; si es convexa en cada x2I:
2. Diremos que f es cóncava en I; si es cóncava en cada x2I:
3. Si existe algún a 2 D; tal que para algún " > 0; la función es cóncava (resp. convexa) en el
intervalo (a "; a) y es convexa (resp. cóncava) en(a; a+"); diremos que en x=a la función
f presenta un punto de in‡exión, y el punto de in‡exión en la grá…ca es el punto (a; f(a)):
Como se aprecia, la recta tangente a la grá…ca de la función en el punto de in‡exión,atraviesa
a la grá…ca en este punto.
Cuando una función es derivable, es posible detectar los intervalos de curvatura (concavidad o convexidad), utilizando el siguiente resultado:
Teorema 18 Seaf :D!Runa función que es al menos tres veces derivable enD(es decir, existen
las funciones f0; f00 y f000). Sea I D un intervalo.
1. Si f00(x)>0 para cada x2I; entonces f es convexa en I:
2. Si f00(x)<0 para cada x2I; entonces f es cóncava en I:
3. Si existe algún a2I que es un punto de in‡exión de la función f; entonces f00(a) = 0:
4. Si existe algún a2I tal que f00(a) = 0 y f000(a)6= 0; entonces f presenta un punto de in‡exión
5. Si existe algún a2 I tal que f00(a) = 0 y f000(a) = 0; no se puede asegurar nada a priori de lo
que sucede en x=a:
Deducimos del teorema anterior que la condiciónf00(a) = 0 no es su…ciente para asegurar
que f tenga un punto de in‡exión enx=a:
Ejemplo 19 La función f(x) = x6 es derivable en su dominio. Además, f0(x) = 6x5; f00(x) = 30x4; f000(x) = 120x3: Obsérvese quef00(0) = 30 04 = 0:Sin embargo, f no presenta un punto de in‡exión
en x= 0: De hecho, f000(0) = 0: En este caso, f presenta un mínimo (absoluto) en x= 0:
Observación 20 ¿Qué sucede si una función f tiene por representación grá…ca una recta? En primer lugar, la recta tangente en cada punto coincide con la grá…ca de la propia función.
Las condiciones f00(x)>0 o f00(x)<0 no pueden darse (siempre seráf00(x) = 0; para cadax del
dominio de f –¿por qué?–). Por tanto, una función de este tipo no es cóncava ni convexa (es
decir, no posee "curvatura").
Actividad 21 Determinar los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de
in‡ex-ión, de la función f(x) =x3 7x+ 6:
Obtenemos en primer lugar los puntos singulares de la primera derivada (valores que anulan a la segunda derivada):
f0(x) = 3x2 7)f00(x) = 6x f00(x) = 0,6x= 0,x= 0
Este valor determina en el dominio def (todoR) dos regiones. Los intervalos( 1;0)y(0;+1): Estudiamos el signo de f00 para determinar los intervalos de curvatura solicitados:
f00(x) = 6x
( 1;0) (0;+1)
signo(f00) +
curvatura de f \ [
Grá…camente, tenemos la siguiente situación:
Ejemplo 22 Determínense los intervalos de monotonía, de curvatura, los extremos relativos y los
puntos de in‡exión de la función f(x) = x
3
(x 1)2:
Observemos queDom(f) = R f1g(hemos suprimido el único valor que anula al denominador). Obtengamos en primer lugar sus puntos singulares:
f0(x) = 3x
2(x 1)2 x3 2(x 1)
(x 1)4 =
(x 1) [3x2(x 1) 2x3] (x 1)4
= x
3 3x2
(x 1)3
f0(x) = 0, x
3 3x2
(x 1)3 = 0,x
3 3x2 = 0
,x2(x 3) = 0, x 2 = 0
)x=0
x 3 = 0)x=3
Determinamos ahora el signo de la derivada de f en cada región delimitada por los puntos singulares y el valor excluido para el dominio:
f0(x) = x
3 3x2
(x 1)3
( 1;0) (0;1) (1;3) (3;+1)
signo(f0) + + +
monotonía def % % & %
se ha tenido en cuenta que f0( 1) = 1 2; f0(
1
2) = 5; f0(2) = 4 y f0(4) = 16 27:
( 1;0) (0;1) (1;3) (3;+1)
signo(f0) + + +
monotonía def % % & %
Deducimos de la tabla anterior que f es estríctamente creciente enx = 0 (lo es antes y después de este valor). Por tanto, f es estríctamente creciente en ( 1;1)[(3;+1) y es estríctamente decreciente en (1;3): Presenta un mínimo relativo estricto en x= 3; y el mínimo vale f(3) = 274 :
Estudiamos los intervalos de concavidad y convexidad, para lo cual obtenemos la segunda derivada y los puntos singulares de la primera derivada:
f0(x) = x
3 3x2
(x 1)3
) f00(x) = (3x
2 6x) (x 1)3
3 (x3 3x2) (x 1)2 (x 1)6
= (x 1)
2 [(3x2 6x) (x 1) 3 (x3 3x2)]
(x 1)6
= (3x
2 6x) (x 1) 3 (x3 3x2)
(x 1)4
= 3x
3 3x2 6x2+ 6x 3x3+ 9x2
(x 1)4 =
6x (x 1)4
Tenemos quef00(x) = 0, 6x
(x 1)4 = 0 ,6x= 0 ,x=0:
Estudiamos el signo def00 en las regiones determinadas por el punto singular obtenido y el valor x= 1 que no pertenece al dominio de la función:
( 1;0) (0;1) (1;+1)
signo(f0) + +
monotonía def \ [ [
Hemos tenido en cuenta que f00( 1) = 166; f00(12) = 48; y que f00(2) = 12:
De la tabla obtenemos que f es cóncava en ( 1;0) y convexa en(0;1)[(1;+1):
Deducimos que enx= 0la funciónftiene un punto de in‡exión, de coordenadas(0; f(0)) = (0;0): Representación grá…ca de la funciónf:
5
Estudio local de una función
5.1
Funciones de…nidas a trozos
5.1.1 Pasos a seguir
1. En primer lugar determinaremos el dominio de dicha función, y los valores en donde existe un "cambio" de de…nición de la función.
2. Es conveniente estudiar la continuidad y derivabilidad en aquellos valores en donde existe
un cambio de de…nición de la función.
3. En cada intervalo de de…nición, estudiaremos los datos relevantes que deseamos conocer de la función considerada. Tendremos en cuenta que en los extremos de los intervalos pueden haber extremos locales o incluso puntos de in‡exión. Para saber qué sucede, estudiare-mos la función en las proximidades del punto en donde haya cambio de de…nición (derivando):
(a) Estudiando la monotonía en las proximidades del punto
(b) Estudiando la curvatura antes y después del punto (si procede).
4. Obviamente, se estudiará la monotonía y la curvatura en cada intervalo de de…nición de la función.
Ejemplo 23 Estudiar la monotonía, los extremos locales, la curvatura y los puntos de in‡exión de la función f(x) = 8 > > > < > > > : 3
x si x <
3 2
2x+ 1 si 3
2 x <0
x2+ 1 si x 0
Vemos en primer lugar que Dom(f) = R:
Claramente f es continua y derivable en su dominio salvo quizás enx= 32 y x= 0; por existir cambios de de…nición. La función derivada (provisional) es:
f(x) =
8 > > > < > > > : 3
x si x <
3 2
2x+ 1 si 3
2 x <0
x2+ 1 si x 0
; f0(x) =
8 > > > < > > > : 3
x2 si x < 3 2
2 si 3
2 < x <0 2x si x >0
Es inmediato comprobar quef es continua en x= 32 y x= 0; pero queno es derivable en estos puntos(analícense las derivadas laterales). Luego la función anterior es la derivada (de…nitiva) de f:
Estudiamos la monotonía. Observemos quey= 3
x2 no se anula en ningún valor real, y de aquí no obtendremos puntos singulares de f.
De y= 2 tampoco se obtienen puntos singulares. y= 2x tiene un único punto singular:
2x= 0,x= 0;
pero no pertenece a su intervalo de de…nición.
Estudiamos la monotonía en los intervalos determinados por los valores en donde existe cambio de de…nición de f y el punto singular obtenido:
1; 32 32;0 (0;+1)
signo(f0) +
Se ha tenido en cuenta quef0( 2) = 34; f0( 1) = 2; y que f0(1) = 1:
De lo anterior se obtiene que f es estríctamente creciente en 32;0 : De igual forma, f es estríctamente decreciente en 1; 32 [(0;+1):
Claramentef posee un mínimo relativo estricto enx= 32;y el mínimo valef 32 = 2: También posee un máximo relativo estricto enx= 0 y el máximo vale f(0) = 1:
La función segunda derivada es la función:
f0(x) =
8 > > > < > > > :
3
x2 si x < 3 2
2 si 3
2 < x <0 2x si x >0
; f00(x) =
8 > > > < > > > :
6
x3 si x < 3 2
0 si 3
2 < x < 0 2 si x >0
Vemos quef no es cóncava ni convexa en el intervalo 32;0 (ahí la función es grá…camente una recta). Claramente, y= 6
x3 no se anula nunca, ni y= 2; por lo que de estas expresiones no se obtienen puntos singulares de f0:
Es fácil ver que 6
x3 < 0 para cada x < 3
2; y por tanto f
00(x) < 0 en estos valores reales. De igual manera, es obvio que f00(x)>0 para cada x >0:
De todo lo anterior, deducimos quef es cóncava en 1; 3
2 [(0;+1):
No es ni cóncava ni convexa en el intervalo 32;0 ; por lo que los puntosx= 32 yx= 0
no son puntos de in‡exión.
