Ejercicio 2 El sistema de ecuaciones siguiente describe una formulación en términos

(1)

Matemática para Economistas

Curso 6

Práctica 1: Estática comparativa

Ejercicio 1 Considere un modelo de equilibrio de mercado. La función de demanda

es lineal y depende negativamente del precio. La función de oferta es también lineal en el precio. Suponga que el vendedor del bien debe pagar un impuesto sobre el valor de las cantidades vendidas. La tasa del impuesto es igual a θ. Por lo tanto, por cada unidad el precio efectivo recibido es igual a

(

1− ⋅θ

)

p. El equilibrio en este mercado viene dado por la igualdad entre oferta y demanda:

( )

QD _p _{= − ⋅}_{D a p}_,_a_>₀

( )

(

)

QS _p _{= + ⋅ − ⋅}_{S b} 1 _θ _p_b_>₀_y_θ_∈

₍

_0,1

₎

QD ₌QS

(a) Establezca condiciones para la existencia de equilibrio.

(b) A partir de la condición de equilibrio indique la forma estructural y reducida del modelo. Identifique variables exógenas y endógenas.

(c) Estudie como cambia el precio y la cantidad de equilibrio ante un aumento en la tasa de impuestos. Analice gráficamente el problema.

Respuestas:

(a)

(

)

*

1 D S p

a b θ

− =

+ ⋅ − , D S> .

(c)

(

)

(

)

*

2

1 b D S p

a b

θ _θ

⋅ −

∂ ₌

∂ __ _{+ ⋅ −} __

Ejercicio 2 El sistema de ecuaciones siguiente describe una formulación en términos de funciones lineales del modelo IS-LM (modelo keynesiano):

(1) _yD₌c

( )

_y ₊i

( )

_r ₊_g

(2) ( )c y = + ⋅c β y, c >0 y 0< <β 1

(3) ( )i r = − ⋅i γ r, i >0 y γ >0

(4) _{y y}₌ D

(5) _mD₌L ,

( )

_{y r}

(2)

(7) _mS M

P

=

(8) _mS ₌_mD

La ecuación (1) es la demanda agregada para una economía cerrada, dada por la suma de las demandas de consumo, c, inversión, i, y gasto público, g. El nivel de producto real de la economía se denota por y mientras la tasa nominal de interés por r. Las ecuaciones (2) y (3) especifican la forma funcional de las funciones de consumo e inversión, respectivamente. La ecuación (4) establece que el nivel de producto de equilibrio se determina a partir del nivel de demanda agregada. La ecuación (5) indica que la demanda de dinero es una función del producto y de la tasa de interés, en tanto (6) especifica su forma funcional así como los signos de sus parámetros. La ecuación (7) es la oferta de saldos monetarios reales, donde M es la cantidad nominal de dinero y P un índice del nivel de precios de la economía (en esta especificación el nivel de precios esta dado). Se supone que el banco central controla la cantidad nominal de dinero. La última ecuación es la condición de equilibrio en el mercado de dinero.

Reemplazando (1)-(3) en (4) y (5)-(7) en (8) obtenemos un sistema de ecuaciones lineales en y y r. Este sistema de dos ecuaciones determina valores de equilibrio para el nivel de producto real y para la tasa nominal de interés, r, dados ciertos valores para la cantidad nominal de dinero, M, el nivel de precios, P, el gasto público real, g y para los parámetros funcionales: β , γ, φ, ψ, λ, c y i .

(a) A partir de las condiciones de equilibrio en los mercados de bienes y dinero obtenga las funciones que describen las curvas IS-LM.

(b) A partir de las funciones anteriores forme el sistema estructural de dos ecuaciones y obtenga los valores de equilibrio de y y r. Note que los valores de equilibrio son funciones de las variables exógenas y de los parámetros del modelo.

(c) Indique cómo se escribe la forma reducida del modelo, es decir de cuáles variables exógenas y parámetros son función los valores de equilibrio de y y r.

(d) Estudie, a partir de la forma reducida del modelo, cómo se modifican los valores de equilibrio iniciales ante un aumento del gasto público.

(e) Obtenga a partir del sistema estructural de dos ecuaciones hallado en (b) cómo cambian y y r ante un aumento del gasto público. Compare con el resultado obtenido en (d).

(f) Muestre gráficamente los resultados obtenidos en (d) o (e).

Respuestas: (a)

IS: r (1 β) y c i g

γ γ

+ + −

(3)

LM: r y 1 M P

φ λ

ψ ψ ψ

= ⋅ + − ⋅

(b)

(

)

*

(1 ) (1 )

M

y c i g

P

ψ γ _λ

β ψ γ φ β ψ γ φ

 

= ⋅ + + + ⋅_ − _

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅  

(

)

* (1 )

(1 ) (1 )

M

r c i g

P

φ β _λ

β ψ γ φ β ψ γ φ

−  

= ⋅ + + − ⋅_ − _

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅  

(c)

* _{( , , , , , , , , , )} y =y β γ φ ψ c i λ M P g

* _{( , , , , , , , , , )} r =r β γ φ ψ c i λ M P g

(d)

*

(1 ) y

g

ψ β ψ γ φ

∂ ₌

∂ − ⋅ + ⋅

*

(1 ) r

g

φ β ψ γ φ

∂ ₌

∂ − ⋅ + ⋅

(e) El sistema de ecuaciones en las derivadas parciales es: *

*

1 1

0

y g

r g

β γ

φ ψ

− − ∂ ∂  −

   

⋅ =

 ₋   

∂ ∂

 

     

Ejercicio 3 Considere ahora la siguiente especificación general del modelo IS-LM en su versión keynesiana dada en su forma estructural:

(1) y=c

( )

y +i

( )

r +g, 0<c_y′ <1 e i_r′ <0

(2) M L ,

( )

y r

P = , L′ >y 0 y L′ <r 0

La primer ecuación es la condición de equilibrio en el mercado de bienes mientras la segunda la condición de equilibrio en el mercado de dinero. No se conocen las formas funcionales de la demandas de consumo, inversión y dinero. Sin embargo, se especifican algunos signos y magnitudes de las derivadas parciales de esas funciones con respecto a sus argumentos.

Este sistema de dos ecuaciones determina valores de equilibrio para el nivel producto real, y, y para la tasa nominal de interés, r, dados ciertos valores para la cantidad nominal de dinero, M, el gasto público, g, y el nivel de precios, P.

(4)

0 J

r

y i

M P

′

∂ ₌ − _>

∂ ⋅

(1 ) 0 J

y

c r

M P

′ − −

∂ ₌ _<

∂ ⋅

{

(1 _y) L_r _r L_y

}

0 J = − −c′ ⋅ − ⋅′ ′i ′ >

Ejercicio 4 Considere el siguiente modelo macroeconómico clásico dado en su forma estructural:

(1) _yD c _y, M i

( )

_r _g P

 

= _ _+ +

  , 0<c′y<1, cMP 0

′ > , i_r′ <0

(2) _yS ₌_y

(3) _yD₌_yS

(4) M L ,

( )

y r

P = , L′ >y 0, L′ <r 0

La “economía clásica” asume que los precios son flexibles y, por lo tanto, el producto se encuentra siempre en su nivel de pleno empleo. El modelo se reduce, reemplazando (1)-(2) en la condición de equilibrio (3) y con la ecuación (4), en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: P y r. Es decir, el sistema determina valores de equilibrio para el nivel de precios, P, y para la tasa nominal de interés, r, dados ciertos valores para la cantidad nominal de dinero, M, el gasto público, g, y el ingreso de pleno empleo, y.

(a) Indique cómo se escribe la forma reducida del modelo. Estudie cómo cambian los valores de equilibrio iniciales, de P y r, ante un aumento en la cantidad nominal de dinero.

(b) Interprete gráficamente los resultados en el plano

(

P r,

)

.

Respuestas:

(a) P P

M M

∂ ₌

∂

0 r M

∂ ₌

∂

(5)

(2) M L y r

(

,

)

P = , L′ >y 0, Lr′ <0

La función consumo depende del ingreso disponible, siendo t

(

θ τ, ,y

)

el valor real de la recaudación impositiva. Suponga la siguiente forma funcional para ésta función: t

(

θ τ, , y

)

= ⋅ +τ y θ, con 0< <τ 1 y θ >0. Los parámetros τ y θ afectan a la recaudación de impuestos.

Dados ciertos valores para θ, τ , M, P y g el sistema de ecuaciones determina valores de equilibrio para el producto y la tasa nominal de interés.

(a) Obtenga la pendiente de la curva que describe el equilibrio en el mercado de bienes (curva IS) y de la curva que describe los puntos de equilibrio en el mercado de dinero (LM).

(b) Obtenga el sistema de ecuaciones que relaciona los cambios (a partir de un punto de equilibrio) de las variables endógenas frente a modificaciones de las exógenas.

(c) Estudie los efectos que sobre el equilibrio inicial del sistema produciría un aumento de τ . Interprete gráficamente.

IS

1 (1 )

0 y t r c r y i τ − ′ − ⋅ −

∂ ₌ _<

′

∂ y _LM

L 0 L y r r y ′

∂ _{= −} _>

′ ∂ (b) 2 d d

(1 ) 1 d 1 0 0

d

L L d 0 0 0 1

d d

y t r y t y t

y r

g

c i y c y c

P M P

r M P τ τ θ − − −       ′ ⋅ − − ′ − ′ ⋅ ′      _{ } _ ⋅ = ⋅  _′ _′    ₋ _{ } _           _ _      

(c) L 0

J

y t r

c y

y τ

−

′ ⋅ ⋅ ′

∂ ₌ _<

∂

L 0 J

y t y

c r τ − ′ ′ − ⋅

∂ ₌ _<

∂

{

}

J = cy t′− ⋅ − −(1 τ) 1 L L⋅ −′r ′ ′y⋅ir >0