INTRODUCCION A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO

42  374  Descargar (7)

Texto completo

(1)

M

ATEMÁTICA

PARA

INGENIEROS

F

ORMACIÓN

POR

COMPETENCIAS

INTRODUCCION A LA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

(2)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Las ciudades de Lima y Ayacucho no están unidas directamente

por una carretera principal, pero cada una de ellas está

conectada con las ciudades de Huancavelica e Ica (según la

figura). Huancavelica está a

250

km al este y a

250

km al sur

de Lima. Ica está a

200

km al este y a

100

km al sur de Lima

.

Camino a Ayacucho

2

SITUACIÓN MOTIVADORA

• ¿Es posible calcular la

distancia más corta entre

Lima y Ayacucho?

(3)

Dirección de Estudios Generales

3

LOGROS DE APRENDIZAJE

Elabora representaciones gráfica y simbólica de la recta

mediante diversas estrategias.

Resuelve problemas de contexto real a través de las

(4)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Introducción

a la

(5)

Dirección de Estudios Generales

Y

X

5

Plano cartesiano y coordenadas de un punto

a

P

(𝒂; 𝒃)

b

II (- ; +)

I (+ ; +)

III (- ; -)

IV (+ ; -)

Cuadrantes

abscisa ordenada

Eje de ordenadas

Origen

(0; 0)

(6)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

6

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Y

X

(7)

Dirección de Estudios Generales

7

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución

:

Resolución

:

(8)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Y

X

Distancia entre los puntos A y B:

8

Distancia entre dos puntos

𝒅 𝑨, 𝑩 =

𝒙

𝟐

− 𝒙

𝟏 𝟐

+ 𝒚

(9)

Dirección de Estudios Generales

Y

X

El punto

𝑃

divide al segmento AB en la razón:

Abscisa del punto P:

Ordenada del punto P:

El orden es importante

9

División de un segmento en una razón dada

𝒂𝒌

𝒃𝒌

𝐴𝐵

𝑃𝐵

=

(10)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

10

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Ejemplo 3

. Calcule las coordenadas de los dos puntos que dividen el

segmento de extremos

𝑃 y

𝑄 en tres segmentos de igual longitud,

donde

(11)

Dirección de Estudios Generales

Resolución:

11

Ejemplo para que analice el estudiante

Ejemplo 4:

La ordenada de un punto del plano es 8 y su distancia al

punto 𝐵(5; −2) es 2 41 , calcule la abscisa del punto.

Paso 1. Entender el problema:

Se pide un punto del plano, llámese 𝑃 𝑥; 𝑦 del cual se conoce su ordenada.

𝑑 𝑃; 𝐵 = 2 41

Paso 2. Completar los datos del problema:

Como se tiene la ordenada 𝑦 = 8, en punto queda 𝑃 𝑥; 8 , solo resta calcular 𝑥.

Paso 3. Calcular la abscisa pedida:

𝑑 𝑃; 𝐵 = 2 41 ⇔ 𝑥 − 5 2 + 8 + 2 2 = 2 41

⇔ 𝑥 − 5 = 8

⇔ 𝑥 − 5 = 8 𝑥 − 5 = −8 ⇔ 𝑥 = 13 𝑥 = −3.

(12)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

12

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo

5:

Determine

las

coordenadas del centroide (punto

𝐶

en la figura adjunta) de la placa

metálica en forma de letra

𝐿, si se

sabe que divide al segmento

𝐴𝐵 en

la razón

𝐴𝐶𝐶𝐵

=

54

.

Paso 1. Entender el problema:

Se pide un punto de un segmento dada una razón, desde la gráfica se puede hallar las coordenadas de los extremos. Conociendo los extremos se aplicará la fórmula necesaria.

(13)

Dirección de Estudios Generales

13

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso 3. Calcular las coordenadas del punto 𝐶 𝑥; 𝑦 :

Para eso usamos la fórmula de la división de un segmento dada una razón

𝑥 = 𝑎𝑥𝑎+𝑏2+𝑏𝑥1 , y = 𝑎𝑦𝑎+𝑏2+𝑏𝑦1, donde 𝑎 = 5, 𝑏 = 4.

⇒ 𝑥 = 5(7)+4(1)4+5 , y = 5(1)+4(4)4+5

⇒ 𝑥 = 399 , y = 219

(14)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

La Recta

en el

(15)

Dirección de Estudios Generales

15

ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

• El ángulo de inclinación (o simplemente inclinación) de una

recta

𝐿

es el ángulo

𝛼

medido en sentido antihorario desde el

semieje X positivo hacia la recta

𝐿

y menor que

180

°.

Medida del ángulo de inclinación de la recta

La pendiente una recta

𝑳

no vertical se define

como:

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶

• La ángulo de inclinación de un segmento se define como la

inclinación de la recta que lo contiene.

• La pendiente de un segmento no vertical se define como la

pendiente de la recta que lo contiene.

L

x y

𝜶

(16)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Sea

L

una recta

no vertical

que pasa por

𝑃

1

(𝑥

1

, 𝑦

1

)

y

𝑃

2

(𝑥

2

, 𝑦

2

)

(

𝑥

1

≠ 𝑥

2

). Entonces la pendiente de

L

( y en

consecuencia del segmento

𝑃

1

𝑃

2

) es

m

=

16

TEOREMA(PENDIENTE DE UNA RECTA)

x

y

=

2 1

2 1

y

y

x

x

x y

L

P

2

(

x

2

;

y

2

)

.

P

1

(

x

1

;

y

1

)

.

y

x

(17)

Dirección de Estudios Generales

17

La pendiente respecto a la posición de la recta en el plano

De acuerdo al ángulo de inclinación

𝛼

de la recta

𝐿

se afirma que:

𝑚 > 0

si y solo

𝛼

es agudo.

𝑚 < 0

si y solo

𝛼

es obtuso.

𝑚 = 0

si y solo

𝛼 = 0

.

Las

rectas verticales

no tienen pendiente definida.

Y

X

Y

X

Y

X

(18)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Forma punto-pendiente

: La recta

L

que pasa por el

punto

𝑃

1

(𝑥

1

; 𝑦

1

)

y tiene pendiente

m

, tiene por

ecuación

18

ECUACION DE LA RECTA

y

y

1

=

m

(

x

x

1

)

x y

X

Y

𝑃

1

(

x

1

;

y

1

)

(19)

Dirección de Estudios Generales

19

ECUACION DE LA RECTA

Forma simétrica: La recta

L

cuyas intersecciones con

los ejes

X e Y son

(𝑎; 0)

y

(0, 𝑏)

respectivamente, donde

𝑎 ≠ 0

y

𝑏 ≠ 0

,

tiene por ecuación

Y

X

𝑳

𝒃

𝒂

𝑥

𝑎

+

𝑦

(20)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

20

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Ejemplo 6.

Para cada uno de los siguientes casos:

Caso 1:

Punto de paso 𝑃(1; 2) y pendiente 𝑚 =

3

4

Caso 1:

Punto de paso 𝑃(−1; 2) y pendiente 𝑚 = −3

a) Determine la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente y

simétrica.

(21)

Dirección de Estudios Generales

x y

Forma ordenada en el origen

: La ecuación de una

recta de pendiente

𝑚

y ordenada en el origen

𝑏

, es:

y =

m

x +

b

b

L

21

ECUACION DE LA RECTA

(22)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Ecuación general de la recta

:

De acuerdo a Lehmann (1989-p. 65) se tiene que:

I.

La ecuación de una recta cualquiera en el plano cartesiano es de la

forma:

𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎,

donde

𝐴 ≠ 0

o

𝐵 ≠ 0

. Recíprocamente:

II.

Toda ecuación

𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

, donde

𝐴 ≠ 0

o

𝐵 ≠ 0

, representa

una recta en el plano.

22

ECUACION DE LA RECTA

La ecuacion

𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

es llamada

ecuacion general de la recta

.

En consecuencia, a partir de la ecuación general de la recta se tiene:

(23)

Dirección de Estudios Generales                 x y

Recta horizontal

x = a

Recta vertical

23

Casos particulares

y = b

Ecuación:

x = a

Ecuación:

                x y

y =

b

X Y

(24)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Para determinar los puntos de intersección de la gráfica

de una recta de ecuación

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

con los ejes

coordenados

𝑋

e

𝑌

se procede de la siguiente manera:

Con el eje

𝑋

,

se reemplaza

𝑦 = 0

en la ecuación y se determina

𝑥

. Es

decir, si

𝑦 = 0

, entonces

𝑥 = 𝑎

.

Intersección :

(𝑎; 0)

24

Intersecciones con los ejes de coordenadas

Con el eje

𝑌

, se reemplaza

𝑥 = 0

en la ecuación y se determina

𝑦

. Es

decir, si

𝑥 = 0

, entonces

𝑦 = 𝑏

.

Intersección:

(0; 𝑏)

(𝟎; 𝒃)

(𝒂; 𝟎)

X

Y

Y

X

(25)

Dirección de Estudios Generales

Resolución:

25

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 7:

Dadas las rectas

𝐿

1

: 𝑦 = 3𝑥 − 1 y

𝐿

2

: 𝑦 = 𝑥 + 3 , determine

la ecuación de una tercera recta cuya pendiente es

1

2

y pase por el punto

de intersección de 𝐿

1

y 𝐿

2

.

Paso 1. Entender el problema:

Se pide la ecuación de una recta de la cual se conoce la pendiente 12. Entonces solo necesitamos un punto de paso, este punto es el punto de intersección de las rectas mencionadas.

Paso 2. Calcular el punto de intersección:

𝐿1 ∩ 𝐿2: 𝑦 = 3𝑥 − 1𝑦 = 𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 = 2, 𝑦 = 5

Paso 3. Calcular la ecuación de la recta:

(26)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

26

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 8:

En la figura se muestran tres rectas con sus respectivas

ecuaciones. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 y

por el punto medio del segmento 𝑄𝑅.

Paso 1. Entender el problema:

Se pide la ecuación de una recta que pasa por dos puntos 𝑃 = 𝐿1 ∩ 𝐿2 y el punto medio de 𝑄𝑅,

(27)

Dirección de Estudios Generales

27

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso 2. Calcular los puntos de intersección de las rectas:

𝑃 = 𝐿1 ∩ 𝐿2: −2𝑥 + 7𝑦 = 22 ⇒ 𝑥 = −4, 𝑦 = 2 ⇒ 𝑃(−4; 2)𝑥 − 𝑦 = −6

{𝑄} = 𝐿1 ∩ 𝐿3: −6𝑥 + 𝑦 = −14 ⇒ 𝑥 = 4, 𝑦 = 10 ⇒ 𝑄(4; 10)𝑥 − 𝑦 = −6

{𝑅} = 𝐿2 ∩ 𝐿3: −6𝑥 + 𝑦 = −14 ⇒ 𝑥 = 4, 𝑦 = 3 ⇒ 𝑅(3; 4)−2𝑥 + 7𝑦 = 22

Paso 3. Calcular el punto medio del segmento 𝑄𝑅:

𝑀 = 4 + 3

2 ;

10 + 4

2 =

7 2; 7

Paso 4. Calcular la ecuación de la recta que pasa por 𝑃 y 𝑅:

La recta pedida pasa por el punto 𝑃(−4; 2) y su pendiente es 𝑚 = 𝑚𝑃𝑀 = 7−27 2+4

= 23,

(28)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

La distancia del punto

𝑷(𝒙

𝟎

; 𝒚

𝟎

)

a la recta

𝐿

de ecuación

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

esta dado por:

28

Distancia de un punto a una recta

𝒅 =

𝑨

𝒙

𝟎

+ 𝑩

𝒚

𝟎

+ 𝑪

𝑨

𝟐

+ 𝑩

𝟐

P

(

x

0

;

y

0

)

d

x y

L

(29)

Dirección de Estudios Generales

29

Ángulo entre dos rectas

Sean

𝐿

1

y

𝐿

2

dos rectas que se intersectan y con

inclinaciones

𝛼

y

𝛽

respectivamente. Entonces ellas

forman dos ángulos

𝜃

1

y

𝜃

2

, que son medidos en

sentido antihorario y menores que

180°

(ver figura),

donde:

𝜃

1

tiene lado inicial

𝐿

1

y lado final

𝐿

2

; y

𝜃

2

tiene lado inicial

𝐿

2

y lado final

𝐿

1

.

x y

1

1

l

2

l

2

(30)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Ángulo entre dos rectas

Teorema:

Sean

𝐿

1

y

𝐿

2

rectas no verticales con

pendientes

𝑚

1

y

𝑚

2

respectivamente

.

Si

𝜃 ≠ 90°

es el

ángulo entre las dos rectas que tiene por lado inicial

𝐿

1

y lado final

𝐿

2

, entonces

2 1 1 2

tan

1

.

m

m

m m

Observación:

Cuando se desconoce

el lado inicial y final del ángulo

𝜃

entre

dos rectas, entonces se cumple:

(31)

Dirección de Estudios Generales

Resolución:

31

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 9 :

Calcule la medida del ángulo obtuso que forma la

rectas 𝑙

1

con pendiente 𝑚 con la recta 𝑙

2

con pendiente

𝑚−1

(32)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

32

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 10:

Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por el

punto

𝑃(2; −1) y que forman cada una un ángulo de

45° con la recta

𝑙

representada por 2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0.

Paso 1. Hacer una gráfica del problema.

Paso 2. Para ambas rectas se conoce un punto de paso, entonces se procede a

calcular sus pendientes:

Si 𝑙: 2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0 → m0 = 23

Usando la fórmula del ángulo entre dos rectas, se tiene

tan 45° = 𝑚 −

2 3 1 + 2𝑚3

Donde 𝑚 es la pendiente de cualquier recta pedida

(33)

Dirección de Estudios Generales

33

Ejemplos para que analice el estudiante

Observación:

Note que se está usando el valor absoluto y con eso se trabaja para ambas rectas pedidas

.

tan 45° = 𝑚−

2 3

1+2𝑚3 ⇒ De donde 3 + 2𝑚 = 3𝑚 − 2

⇔ 3 + 2𝑚 = 3𝑚 − 2 3 + 2𝑚 = −3𝑚 + 2 ⇔ 𝑚1 = 5 𝑚 = −15

Paso 3.

Luego las ecuaciones buscadas son:

𝑙1: 𝑦 + 1 = 5 𝑥 − 2 , 𝑙2: 𝑦 + 1 = −1

5(𝑥 − 2)

O bien, cuya forma general es:

𝑙1: 5𝑥 − 𝑦 − 11 = 0, 𝑙2: 𝑥 + 5𝑦 + 3 = 0

(34)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

x y

Decimos que dos rectas

𝐿

1

y

𝐿

2

son paralelas

(

𝐿

1

// 𝐿

2

) si

tienen el mismo ángulo de inclinación

.

m

1

= m

2

34

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS

Rectas paralelas

:

Sean

𝐿

1

y

𝐿

2

dos rectas no

verticales con pendientes

𝑚

1

y

𝑚

2

respectivamente.

Entonces

𝐿

1

// 𝐿

2

si y sólo si

Y

Teorema

X

𝐿

2

(35)

Dirección de Estudios Generales

Teorema

Sean

𝐿

1

y

𝐿

2

dos rectas no

verticales con pendientes son

𝑚

1

y

𝑚

2

respectivamente.

Entonces

𝐿

1

𝐿

2

si y sólo

35

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS

m

1

. m

2

= -1

x y

Rectas perpendiculares

:

Decimos que dos rectas

𝐿

1

y

𝐿

2

son perpendiculares

(

𝐿

1

𝐿

2

) si el ángulo entre ellas es recto.

(36)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Resolución:

36

Ejemplos para mostrar en clase

(37)

Dirección de Estudios Generales

37

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 12:

La recta 𝐿: 𝑥 + 𝑦 = 4 se muestra en la figura, calcule:

a) La distancia del origen de coordenadas a la recta 𝐿.

b) El perímetro del rectángulo 𝑃𝑄𝑅𝑆.

c) El área de la región sombreada

.

Resolución:

Paso 1. Para el item a) basta con aplicar la fórmula «distancia de un punto a una recta», el punto es el origen 𝑂 0; 0 y

la recta es 𝐿: 1𝑥 + 1𝑦 − 4 = 0.

𝐷 𝑂, 𝐿 = 1 0 +1 0 −412+12 = 42 = 2 2.

Paso 2. Para el item b): Se pide el perímetro pedido, se necesita

𝑑 𝑃; 𝑄 , 𝑑 𝑅; 𝑆 , 𝑑 𝑃; 𝑆 y 𝑑 𝑄; 𝑅 .

Se observa que 𝑑 𝑃; 𝑄 = 𝑑 𝑅; 𝑆 y 𝑑 𝑃; 𝑆 = 𝑑 𝑄; 𝑅 = 𝑑(𝑃; 𝐿).

Paso 3. Calculando 𝑑 𝑃; 𝑄 y 𝑑 𝑃; 𝑆 :

𝑑 𝑃; 𝑄 = 0 − 2,5 2 + 2,5 − 0 2 = 2,5 2.

𝑑 𝑃; 𝐿 = 1 0 + 1 2,5 − 4

(38)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

38

Ejemplos para que analice el estudiante

Paso 4. Calcular el perímetro del rectángulo:

Perímetro=𝑑 𝑃; 𝑄 + 𝑑 𝑅; 𝑆 + 𝑑 𝑃; 𝑆 + 𝑑 𝑄; 𝑅 = 6,5 2.

Paso 5. Item c) Calcular el área de la región sombreada 𝐴𝑆:

𝐴𝑆 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 − Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝑄𝑅𝑆.

Para el área del triángulo se necesitan los interceptos con los ejes, estos son (4; 0) y

0; 4 .

Entonces

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 4(4)

2 = 8

Para el área del rectángulo:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝑄𝑅𝑆 = 𝑑 𝑃; 𝑄 . 𝑑(𝑃; 𝐿)=3,75.

(39)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

39

F

ORM

AC

IO

N

BA

SI

CA

CINCO COSAS QUE DEBEMOS RECORDAR

1.

Para toda recta vertical la pendiente no está definida.

2.

No debes confundir la ecuación de una recta vertical

𝑥 = 𝑎

con la ecuación de una recta horizontal

𝑦 = 𝑏

.

3.

Para calcular las coordenadas del punto de intersección de

una recta con el eje

𝑌

, en la ecuación de la recta asigne el

valor cero a la variable

𝑥

.

4.

Para calcular las coordenadas del punto de intersección de

una recta con el eje

𝑋

, en la ecuación de la recta asigne el

valor cero a la variable

𝑦

.

5.

Cuando la ecuación de la recta es

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

la

pendiente se puede calcular con la relación

𝑚 = −

𝐴

𝐵

siempre

(40)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

40

F

ORM

AC

IO

N

BA

SI

CA

Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las

siguientes preguntas:

Sobre la ecuación de una recta

1.

¿Se te presentó alguna dificultad para modelar la ecuación

de una recta?

2.

¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?

3.

Finalmente, ¿crees que tú que superaste las dificultades?

Sobre la gráfica de una recta

1.

¿Se te presentó alguna dificultad para graficar la recta en

un plano cartesiano?

2.

¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?

(41)

Dirección de Estudios Generales

En el panorama del caso

“Camino a Ayacucho”, presentado al

inicio de la semana, describa explícitamente el procedimiento

que usaría en los siguientes casos:

Actividad

41

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN

I.

Al calcular, por medio del software GeoGebra, la

distancia entre Lima y Ayacucho.

(42)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

42

REFERENCIAS

1. Lehman C.

Geometría Analítica

. Ed. Limusa.

México. 1980

2. Demana F. y otros.

Precálculo: gráfico, númérico y

algebraico

. Pearson Education. México. 2007.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...