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El concepto de campo

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(1)
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El concepto de campo

La ley de la gravitación universal supone hablar de ¿

acción a distancia

?

• Suponen la existencia del

éter

para explicar esta acción a distancia (necesidad de un medio por el que propagarse).

• Los trabajos de Michelson y Morley ponen en duda su existencia y Einstein lo demuestra:

“La interacción es el resultado de las distorsiones espacio-tiempo que provoca un cuerpo en una zona del espacio”

• Faraday introduce por 1ª vez el concepto de campo y de líneas de campo (interacciones entre cargas y propagación de la perturbación)

Es aquella región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la presencia de una partícula, este se pone de manifiesto cuando otra partícula de características similares está en sus proximidades (masa con masa, carga con carga)

El campo se define mediante magnitudes que tienen distintos valores en cada punto del espacio y en el tiempo.

• Vectoriales: la magnitud utilizada es un vector (Fuerza gravitatoria o eléctrica)

(3)

Campo gravitatorio

Región del espacio en la que se aprecia la perturbación provocada por la masa de un cuerpo.

• Aparece una fuerza de atracción gravitatoria entre el cuerpo que genera el campo y el que introducimos en él.

Intensidad del campo gravitatorio

𝒈

en un punto (masa puntual

): Es la fuerza que ejercería una masa M sobre la unidad de masa testigo colocada en dicho punto:

𝑔 = 𝐹𝐺 𝑚 =

−𝐺. 𝑀. 𝑚 𝑟2 . 𝑢𝑟

𝑚 → 𝑔 =

−𝐺𝑀 𝑟2 𝑢𝑟

• 𝑔 depende sólo de la masa que crea el campo (no de la masa testigo) y de la distancia al punto. Apunta hacia la masa puntual que genera el campo.

• 𝑟 es el vector de posición con respecto al cuerpo que crea el campo y 𝑢𝑟 un vector unitario en su dirección y sentido.

• 𝑔 y 𝑢𝑟 : al ser una F de atracción 𝒈 y 𝒖𝒓 tienen

misma dirección pero sentidos opuestos (-).

(4)

Campo creado por una distribución de masas puntuales

La intensidad de campo se obtiene calculando la creada por cada una de

ellas (como si estuvieran solas) y sumándolas vectorialmente.

𝑔

𝑇

= 𝑔

𝑖

=

−𝐺𝑀

𝑖

𝑟

𝑖2 𝑖

𝑖

. 𝑢

𝑖

𝑔

𝑇

=

−𝐺𝑀

1

𝑟

12

𝑢

1

+

−𝐺𝑀

2

𝑟

22

𝑢

2

+

−𝐺𝑀

3

𝑟

32

𝑢

3

(5)

Ejemplo resuelto

Calcular el valor del campo gravitatorio que los tres cuerpos de la figura crean en el punto P, sabiendo que : M1=0,5 kg y está en el (-2,-1); M2=2 kg y está en el (3,0) y M3=3kg y se encuentra en el (2,3). Las coordenadas están en metros.

Al conocer la posición de cada una de las masas lo más sencillo es calcular los distintos g y luego sumarlos vectorialmente.

Recuerda: 𝑢𝑟 = 𝑟

𝑟

(6)
(7)

Campos de fuerzas conservativos. W asociado al campo gravitatorio.

• Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas.

• Por cada desplazamiento ∆𝑟 que realice la partícula, la fuerza del campo realiza un trabajo: ∆𝑊 = 𝐹 ∆𝑟 , pero la fuerza no es constante.

• Para desplazamientos infinitesimales: 𝑑𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑟 .

• El W total será la suma del W en cada uno de los tramos.

𝑊𝐴→𝐵 = 𝐹 . 𝑑𝑟 = −𝐺𝑀. 𝑚 𝑟2 . 𝑢𝑟 𝐵

𝐴 𝐵

𝐴 . 𝑑𝑟 = −

𝐺. 𝑀. 𝑚 𝑟2 . 𝑑𝑟 𝐵

𝐴

La resolución de esta integral nos da el trabajo total:

De esta expresión se concluye que el W

sólo depende de la posición final y de la

inicial y no del camino seguido

, por lo que el

campo gravitatorio será un

campo conservativo (

conservación de la energía mecánica del sistema

).

𝑊 = 𝐺𝑀. 𝑚 𝑟𝐵

𝐺𝑀. 𝑚 𝑟𝐴

Como la F gravitatoria es central el W asociado a la F central es conservativo y podemos concluir:

• El W de las fuerzas gravitatorias a lo largo de una trayectoria cerrada será cero.

• Si rB<rA  WAB>0; El cuerpo que se mueve se acerca al otro cuerpo que crea el campo. Lo realizan las fuerzas del campo (se traslada espontáneamente)

(8)

Energía potencial gravitatoria

Como el W equivale a una variación de energía, podemos definir un tipo de energía asociada a la posición, la energía potencial. De manera que en un campo conservativo podemos afirmar que: 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = −∆𝐸𝑝 = 𝐸𝑝 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝐸𝑝 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Como la fuerza gravitatoria es conservativa, existirá una energía potencial gravitatoria asociada a la posición que ocupa un cuerpo de masa m en un campo gravitatorio.

Desde el punto de vista físico podemos definir la energía potencial gravitatoria como el W necesario para trasladar una partícula desde un punto hasta otro fuera del campo (FG=0, se cumple si r ∞, por lo que la Ep =0)

𝑊 𝑖→∞ = 𝐹𝐺. 𝑑𝑟 = 𝐺. 𝑀. 𝑚 𝑟

𝐺. 𝑀. 𝑚

𝑟𝑖 = −

𝐺. 𝑀. 𝑚

𝑟𝑖 = 𝐸𝑝𝑖 ∞

𝑖

La energía potencial en un campo gravitatorio es siempre -, al ser la FG una fuerza atractiva y necesitar una F externa para llevar el cuerpo (m) desde un punto del campo al exterior del mismo.

Nota: A pequeñas distancias se puede considerar que Ep varía linealmente con la altura.

De la diapositiva anterior

(9)

¿ Obtención ∆E

p

=m.g.h ?

La energía potencial de un cuerpo, m, a una distancia rT del centro terrestre: 𝐸𝑝 = −𝐺𝑀𝑇𝑚

𝑟𝑇

A una determinada altura: 𝐸𝑝 = −

𝐺𝑀𝑇𝑚 𝑟𝑇 + ℎ

La variación de Ep al ascender el cuerpo será:

𝐸𝑝 ℎ − 𝐸𝑝 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 = −𝐺 𝑀𝑇𝑚

𝑟𝑇 + ℎ − −𝐺

𝑀𝑇𝑚

𝑟𝑇 = 𝐺𝑀𝑇𝑚 1 𝑟𝑇

1 𝑟𝑇 + ℎ

= 𝐺𝑀𝑇𝑚 ℎ

𝑟𝑇 𝑟𝑇 + ℎ ≈ 𝐺𝑀𝑇𝑚 ℎ

𝑟𝑇2 → 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑔 = 𝐺 𝑀𝑇

𝑟𝑇2 → ∆𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ

Nota: podemos hacer esta aproximación porque el radio terrestre rT es mucho mayor que la altura a la que se encuentra el cuerpo.

Notas importantes (aclaraciones):

• El curso pasado se fijaba como referencia cero la Ep en el suelo, porque medíamos siempre variaciones de Ep (era una referencia arbitraria), en nuestro caso el origen de energías está en el infinito, en cualquier caso el cuerpo gana energía conforme nos alejamos de la superficie terrestre.

(10)

Energía

potencial

de

un

sistema de partículas:

Viene dada

por la suma de cada una de las E

p

que

resultan de la interacción de cada una

de ellas con las demás.

Diferencia de energía potencial

: Un cuerpo, m, está en el campo

gravitatorio creado por otro cuerpo, M, su energía potencial dependerá del

punto donde se encuentre.

𝑊

𝐴→𝐵

=

𝐺𝑀.𝑚𝑟

𝐵

𝐺𝑀.𝑚

𝑟𝐴

= − 𝐸

𝑝𝐵

− 𝐸

𝑝𝐴

De la expresión anterior podemos concluir:

El cuerpo, m, se acerca al cuerpo que crea el campo, M:

r

B

<r

A

W

AB

>0; El cuerpo pierde energía potencial.

El cuerpo, m, se aleja del cuerpo que crea el campo, M:

(11)

Conservación de la energía mecánica en un campo gravitatorio.

El teorema de las fuerzas vivas establecía que:

𝑊

𝑖→𝑓

= ∆𝐸

𝑐

= 𝐸

𝑐𝑓

− 𝐸

𝑐𝑖 Este trabajo incluía fuerzas conservativas y no conservativas (rozamiento):

𝑊

𝑖→𝑓

= 𝑊

𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠

+ 𝑊

𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠

Como las fuerzas gravitatorias sólo son conservativas nos queda que :

𝑊

𝑖→𝑓

= 𝑊

𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠

= −∆𝐸

𝑝

= 𝐸

𝑝𝑖

− 𝐸

𝑝𝑓

Relacionando las dos expresiones se obtiene el principio de conservación de la

energía mecánica.

𝐸

𝑝𝑖

− 𝐸

𝑝𝑓

= 𝐸

𝑐𝑓

− 𝐸

𝑐𝑖

→ 𝐸

𝑐𝑖

+ 𝐸

𝑝𝑖

= 𝐸

𝑐𝑓

+ 𝐸

𝑝𝑓

= 𝐸

𝑀

(12)

Modelo de problema.

1) Dos masas puntuales de 10 kg cada una están en las posiciones (5, 0) y (−5, 0). Una tercera masa de 0,1 kg se deja en libertad y con velocidad nula en el (0, 10). Calcula:

• La aceleración que actúa sobre la masa en las posiciones: A(0,10) y B (0,0)

• La velocidad de la masa de 0,1 kg en (0, 0)

Al ser la fuerza gravitatoria la que actúa sobre el cuerpo la aceleración coincide con la intensidad de campo gravitatorio. 𝑔 𝐴 = 𝑔 1𝐴 + 𝑔 2𝐴 ; 𝑔 𝐵 = 𝑔 1𝐵 + 𝑔 2𝐵

𝑔 2𝐵 𝑔 1𝐵

𝑟 1𝐴 = −5𝑖 + 10𝑗 𝑟 2𝐴 = 5𝑖 + 10𝑗

𝑢1𝐴 = −5𝑖 + 10𝑗 125

𝑢2𝐴 =5𝑖 + 10𝑗 125 𝑔 𝑖 = −𝐺𝑀𝑖

𝑟𝑖2 𝑢𝑟

𝑔 𝐴 = −𝐺𝑀1𝐴

𝑟1𝐴2 .

−5𝑖 +10𝑗

125 −

𝐺𝑀2𝐴 𝑟2𝐴2.

5𝑖 +10𝑗 125

𝑔 𝐴 = −9,546. 10−12𝑗 𝑁/𝑘𝑔

𝑟 1𝐵 = −5𝑖

𝑟 2𝐵 = 5𝑖

𝑢1𝐵 =−5𝑖 5 = −𝑖

𝑢2𝐵 = 5𝑖 5 = 𝑖

(13)

Considerando que la única interacción es la gravitatoria, la energía mecánica se conservará: 𝐸𝐶𝐴 + 𝐸𝑝𝐴 = 𝐸𝐶𝐵 + 𝐸𝑃𝐵

𝐸𝑝𝐴 = 𝐸𝑝1𝐴 + 𝐸𝑝2𝐴 = −𝐺𝑀1𝑚 𝑟1𝐴

𝐺𝑀2𝑚

𝑟2𝐴 = −11,93. 10−12𝐽

𝐸𝑝𝐵 = 𝐸𝑝1𝐵 + 𝐸𝑝2𝐵 = −𝐺𝑀1𝑚 𝑟1𝐵

𝐺𝑀2𝑚

𝑟2𝐵 = −26,68. 10−12𝐽

𝐸𝐶𝐴 + 𝐸𝑝𝐴 = 𝐸𝐶𝐵 + 𝐸𝑃𝐵

(14)

Potencial gravitatorio

Desde un punto de vista energético un cuerpo M origina un campo gravitatorio, que se pone de manifiesto al colocar otro cuerpo, m, en un punto del mismo, adquiriendo este una Ep. Una energía que dependía de las masas de los dos cuerpos.

Si consideramos

la E

p

por unidad de masa en dicho punto

, tenemos una magnitud nueva que sólo depende de la masa que crea el campo,

esta magnitud es el potencial

gravitatorio (V)

𝑉 = 𝐸𝑝

𝑚 = − 𝐺𝑀

𝑟

Físicamente el potencial en un punto se define como: “El trabajo que realizan las fuerzas del campo para llevar la unidad de masa desde ese punto hasta fuera del campo, con velocidad constante” S.I= Julios/kilogramo 𝑊𝑖→∞ 𝑚 = 𝐹𝐺 𝑚 . 𝑑𝑟 = 𝐺𝑀 − 1

𝑟2𝑑𝑟 = 𝐺𝑀 𝑟 − 𝐺𝑀 𝑟𝑖 → 𝑊𝑖→∞ 𝑚 = − 𝐺𝑀 𝑟𝑖 = 𝑉𝑖 ∞ 𝑖 ∞ 𝑖

El potencial fuera del campo (infinito) es cero y en cualquier otro punto es negativo al ser la fuerza atractiva. Podemos afirmar que es un campo escalar (solo depende de la distancia),

cada punto del campo tendrá un potencial concreto.

Si existe una distribución de masas, el potencial total en un punto será la suma de los potenciales que crearían en ese punto todas las masas (principio de superposición)

𝑉𝑇 = 𝑉𝑖 = −𝐺. 𝑀𝑖 𝑟𝑖 𝑖

Para dos puntos dados se define

la diferencia de potencial

∆𝑉 = 𝑉

𝑓 − 𝑉𝑖 = −

𝐺𝑀

𝑟𝑓 − − 𝐺𝑀

𝑟𝑖 • ri>rf ; ∆V<0, al aproximarse el cuerpo disminuye el potencial.

(15)

En los tres vértices de un triángulo equilátero de 10 m de lado tenemos colocados cuerpos puntuales de masa, 2,3 y 0,5 kg. Calcula:

• El valor del campo gravitatorio en el centro del triángulo.

• La fuerza que se ejercerá sobre un cuerpo de 5 kg de masa que se sitúe en el centro del triángulo.

• El trabajo que realiza el campo para llevar ese cuerpo desde el centro del triángulo hasta el punto medio del lado en el que están las masas de 2 y 3 kg. Interpreta el signo del resultado.

• Suponiendo que la masa de 5 kg se deja en reposo en el centro del

triángulo, ¿con qué velocidad llegará al punto medio del lado opuesto.? ℎ = 102 − 52 = 8,7𝑚

2 3ℎ

1 3ℎ

Dados dos puntos A (xA , yA ) y B (xB , yB )

𝑟𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑖 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝑗 Recuerda:

(16)
(17)

Representación del campo gravitatorio

Existen dos formas de representar el campo gravitatorio gráficamente, en función de la magnitud trabajada:

Líneas de fuerza: si elegimos como magnitud la intensidad de campo 𝑔

Superficies equipotenciales: si utilizamos el potencial (V)

Líneas de fuerzas

:

Son tangentes en todos los puntos al vector intensidad de

campo gravitatorio, su dirección coincide con la de dicho

vector y

su sentido siempre es entrante hacia la masa

que genera dicho campo (radial si sólo hay una masa).

Como consecuencia del principio de superposición (en

cada punto sólo hay una intensidad de campo resultante),

la líneas nunca se cruzarán.

El número de líneas que atraviesan la unidad de superficie

es proporcional al valor del campo.

Cuando existen

dos masas

existen

zonas de deformación

(18)

Superficies equipotenciales

𝑉 = 𝐸𝑝

𝑚 = − 𝐺𝑀

𝑟

Si analizamos la expresión del potencial, observamos que todos los puntos que se encuentren a la misma distancia de la masa M tendrán el mismo potencial, si unimos todos esos puntos mediante una superficie habremos dibujado una superficie equipotencial

(masa puntuales o esféricas generan superficies esféricas).

Características:

• Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza (lógico porque el campo gravitatorio es un campo central).

• A consecuencia del carácter conservativo de la fuerza gravitatoria, el W realizado por dicha F en el seno de una superficie equipotencial es nulo (potencial idéntico, Ɇ ∆Ep por lo que el W=0).

• No se pueden cortar dos superficies equipotenciales (implicaría la existencia de un punto con dos potenciales, el potencial es único para cada punto)

(19)

El campo gravitatorio terrestre

Suponiendo la Tierra como una distribución de masa continua

esférica, de densidad constante, ésta genera un campo gravitatorio

en el que se cumple:

En el interior de la Tierra el módulo del campo gravitatorio

aumenta conforme aumenta la distancia al centro.

(20)

Variación del campo gravitatorio terrestre

Variación con la altitud

:

𝑔

0

= −𝐺

𝑀

𝑅

2

𝑇

𝑢

𝑟

En la superficie terrestre

𝑔 = −𝐺

𝑀

𝑅

𝑇

+ ℎ

2

𝑢

𝑟

A una determinada altura

𝑔

𝑔

0

=

𝐺𝑀

𝑅

𝑇

+ ℎ

2

𝐺𝑀

𝑅

𝑇2

=

𝑅

𝑇 2

𝑅

𝑇

+ ℎ

2

→ 𝑔 = 𝑔

0

𝑅

𝑇2

𝑅

𝑇

+ ℎ

2

→ 𝑔 = 𝑔

0

1

1 +

𝑅

𝑇 2

Si relacionamos ambas expresiones g/g

0

:

𝑔 = 𝑔0 1 1 + 𝑅

𝑇

2 ≅ 𝑔0 1 − 2 ℎ

𝑅𝑇 Se ha aplicado el teorema del binomio: 1 + 𝑥 𝑛 ≈ (1 + 𝑛𝑥), aplicable a

pequeños valores de h (h<<RT)

𝑔 = 𝑔 0 1 + ℎ 𝑅𝑇

(21)

Variación con la latitud

(distancia angular entre el ecuador

y un punto determinado del planeta, medida a lo largo del

meridiano)

.

Dos hechos a tener en cuenta:

La Tierra no tiene realmente la forma de una esfera, sino una forma más

próxima a un esferoide achatado por los polos. Este hecho produce una

variación en el valor del campo gravitatorio y en la aceleración de caída de los

cuerpos. Alguien en los polos estará mas cerca del centro de la Tierra que otra

persona en el ecuador; la primera sentirá una atracción gravitacional

ligeramente mayor.

(22)

La rotación de la Tierra (sistema no inercial), nos lleva a la existencia de una F

centrífuga

(FC) en la dirección del radio pero sentido hacia fuera del eje.

𝐹𝑐 = 𝑚 𝑣2

𝑟 𝑢ℎ = 𝑚𝑎𝑐𝑢ℎ

La ac se puede descomponer en una componente en la dirección del radio de la tierra (𝑎𝑐𝑟) y otra perpendicular a ella 𝑎𝑐ℎ

El punto P considerado (figura), estará sometido a una g efectiva:

𝑔𝑒𝑓 = 𝑔 − 𝑎𝑐𝑟 −𝑢𝑟 + 𝑎𝑐ℎ𝑢 Como: 𝑎𝑐𝑟 = 𝑎𝑐 cos 𝜑

𝑎𝑐ℎ = 𝑎𝑐 sin 𝜑 Y r =RTcosϕ

𝑎𝑐 = 𝑣 2

𝑟 = 𝜔2. 𝑟 = 𝜔2. 𝑅𝑇. cos 𝜑 Sustituyendo en la g efectiva

𝑔 𝑒𝑓 = − 𝑔 − 𝜔2𝑅𝑇𝑐𝑜𝑠2𝜑 𝑢𝑟 + 𝜔2𝑅𝑇 cos 𝜑 sin 𝜑 𝑢 Efecto gravitatorio >>> FC,

ese termino despreciable

𝑔

𝑒𝑓

= − 𝑔 − 𝜔

2

𝑅

𝑇

𝑐𝑜𝑠

2

𝜑 𝑢

𝑟

Consecuencias :

Mayor peso aparente en los polos, no hay efecto de la fuerza centrífuga ϕ=90º

(23)

Movimientos de planetas y satélites

La ley de la gravitación universal y el estudio del campo gravitatorio nos permite

estudiar el movimiento de cuerpos que orbitan alrededor de un centro

gravitatorio

Satélites que orbitan a la Tierra (velocidad orbital):

órbita circular y F gravitatoria = F centrípeta del satélite en movimiento.

𝑣 = 𝐺. 𝑀𝑇

𝑟 =

𝐺. 𝑀𝑇 𝑅𝑇 + ℎ

MT (masa de la Tierra)=5,98.1024 kg; R

T (radio de la

Tierra)=6370 km; r (radio de la órbita que describe el satélite= RT+ h (altura sobre la superficie de la Tierra)

Período de revolución

: Tiempo que tarda el satélite en completar su órbita.

𝐹𝑐 = 𝐹𝐺 → 𝐺 𝑀𝑇. 𝑚 𝑟2 =

𝑚. 𝑣2

𝑟 → 𝐺 𝑀𝑇

𝑟 = 𝑣2 → 𝑣 = 𝜔. 𝑟 𝑦 𝜔 = 2𝜋

𝑇

𝑣2 = 𝜔2𝑟2 = 2𝜋 𝑇

2

. 𝑟2 = 𝐺𝑀𝑇

𝑟 Despejando el período T:

𝑇 = 4𝜋2𝑟3 𝐺. 𝑀𝑇 =

4𝜋2 𝑅

𝑇 + ℎ 3 𝐺𝑀𝑇

Satélites geoestacionarios o geosincronos: orbitan alrededor de la Tierra manteniéndose siempre encima de un mismo punto (parece que no se mueven)

• Su período de revolución es el mismo que el de la Tierra (23h, 56 minutos y 3,5 seg)

(24)

Energía de los satélites:

al suponer que la única interacción es la gravitatoria el cálculo de la energía, se hace a partir de la energía mecánica.

𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑝 = 1

2𝑚𝑣2 −

𝐺𝑀𝑚

𝑟 En la órbita se cumple que FC = FG

𝐺𝑀𝑚

𝑟2 = 𝑚 𝑣2

𝑟 → 𝐺

𝑀𝑚

𝑟 = 𝑚𝑣2 → 𝐸𝑀 = 1 2 𝐺𝑀𝑚 𝑟 − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 𝐸𝑀 = − 1 2 𝐺𝑀𝑚 𝑟

Velocidad de lanzamiento de un satélite (A

B)

r

RT A B

𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵 → 1

2𝑚𝑣𝐴2 −

𝐺𝑀𝑚 𝑅𝑇 =

1

2𝑚𝑣𝐵2 −

𝐺𝑀𝑚 𝑟

En B se cumple que FG =FC y relacionando después:

𝐺𝑀𝑚 𝑟2 =

𝑚𝑣2𝐵 𝑟 →

𝐺𝑀

𝑟 = 𝑣2𝐵 1

2𝑣𝐴2 − 𝐺𝑀

𝑅𝑇 = 1

2𝑣𝐵2 − 𝐺𝑀

𝑟 → 𝑣𝐴2 = 2 𝐺𝑀 𝑅𝑇 − 1 2 𝐺𝑀 𝑟

𝑣

𝐴

= 2𝐺𝑀

1

𝑅

𝑇

1

2𝑟

(25)

Cálculo de la energía para pasar de una órbita a

otra

: la energía puesta en juego coincide con la diferencia de energía entre las dos órbitas.

La energía mecánica en cualquier órbita viene dada por:

𝐸𝑀 = −1 2

𝐺𝑀𝑚 𝑟

La diferencia de energía entre A y B será:

A

B

∆𝐸 = 𝐸𝐵 − 𝐸𝐴 = −1 2 𝐺𝑀𝑚 𝑟𝐵 − − 1 2 𝐺𝑀𝑚 𝑟𝐴 = 1 2𝐺𝑀𝑚 1 𝑟𝐴 − 1 𝑟𝐵

Velocidad de escape:

Es la velocidad mínima que debe comunicarse a un cuerpo para que abandone el campo gravitatorio.

𝐸𝑀 = −1 2

𝐺𝑀𝑚 𝑟

El satélite saldrá del campo gravitatorio cuando r ∞, en ese punto la EM=0

L a energía a suministrar para que escape del campo gravitatorio tendrá que ser ≥ 0

1

2𝑚𝑣2 −

𝐺𝑀𝑚

𝑟 ≥ 0 → 𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 = 2 𝐺𝑀

𝑟

• Depende de la masa que crea el campo, no del satélite.

(26)

Energía de los satélites y tipo de órbitas

El análisis de la energía mecánica de un satélite permite determinar el tipo de

órbita

Pueden darse tres casos principales en función si la energía mecánica es negativa, nula o positiva. Vamos a estudiar cada uno de ellos por separado:

1) E

M

<0 (negativo):

el satélite siempre estará ligado al campo gravitatorio del planeta y describirá lo que se conoce como una órbita cerrada en la que el satélite describirá una órbita que se repite periódicamente y con una forma determinada (circular o elíptica), por la relación entre la energía cinética y potencial del mismo. Pueden darse tres casos:

Si en algún momento su energía cinética se anula (Em =Ep): el satélite, bajo la atracción gravitatoria, estará en situación de caída libre hacia la superficie terrestre.

• El satélite siempre está a la misma distancia del planeta respecto el que gira, su Ec y su Ep permanecen siempre constantes, sería una órbita circular.

Si las energías cinética y potencial van cambiando en el movimiento orbital: el satélite sigue una órbita elíptica con el planeta en uno de sus focos, cuya excentricidad será tanto mayor conforme mayor sea la energía con la que se ha lanzado el satélite

𝐸𝑀 = −1 2

(27)

2) Energía mecánica nula (E

m

=0):

En este caso límite el satélite escapa de la atracción del campo gravitatorio del planeta y por lo tanto sigue una órbita abierta. En esta situación debe cumplirse que, en todo momento:

La trayectoria descrita es una órbita parabólica, y es aproximadamente la que describen algunos cometas de periodo muy largo que visitan nuestro sistema solar, al salir del campo Ep =0  Ec =0

3) Energía mecánica positiva (E

m

>0)

En esta situación el satélite también escapa de la atracción del campo gravitatorio del planeta y por lo tanto también sigue una órbita abierta. En este caso en todo momento se verifica

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