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Departamento de sistemas y computación
Semestre Agosto-Diciembre 2013
Ingeniería en tecnologías de la información y comunicación
Materia: Álgebra Lineal SERIE: 6TI3
Unidad: I
Nombre de la tarea: Proyecto de la 1raUnidad
Alumno(a):
Arenas Romero Yolanda Guadalupe.
11211277
Profesor: María Eugenia Bermúdez Jiménez.
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Definición y origen de los números complejos
Concepto………4
Graficas. ………..….……4
Formulas. ……….4
Problemas.……… ………..………..…5
Aplicación. ……….………5
Operaciones fundamentales con número complejos
Concepto………..…7Graficas. ………7
Formulas. ……….………8
Problemas. ………..………..8
Aplicación. ………..…8
Potencias de i, modulo de un número complejos
Concepto………9Graficas. ………9
Formulas. ……….………10
Problemas. ………..………10
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Forma polar y exponencial de un número complejo
Concepto……….………..………11
Graficas. ……….………11
Formulas. ………..…11
Problemas. ………..………12
Aplicación. ………13
Teorema de Moivre, potencias y raíces de números complejos
• Concepto……….………14• Graficas.……… …… ……….………14
• Formulas. ………..…..…15
• Problemas. ………..………15
• Aplicación. ………..………15
Ecuaciones polinómicas
• Concepto……….……….………16• Graficas.………..……… ………16
• Formulas. ……….………..…17
• Problemas. ……….………17
• Aplicación. ………..………18
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Definición y origen de los número complejos.
CONCEPTO
Un numero complejo es un par ordenado de números reales denotado por (a,b) o a + bi.
Consideramos el problema de invertir un nuevo sistema matemático C que contenga el sistema de números Reales R y que tenga otras ciertas propiedades. Si C ha de usarse para encontrar con juntos de soluciones de ecuaciones, entonces debe de tener
operaciones, esto es, reglas que pueden aplicarse a cada par de elementos para obtener otro elemento del conjunto C. Querríamos definir operaciones en C, llamadas adición y multiplicación, de tal manera que cuando restringimos los elementos al subconjunto R,
entonces las operaciones se comportan de la misma manera que la adición y
multiplicación de números reales. Como estamos extendiendo las nociones de adición y multiplicación en R al conjunto C, continuaremosusando los símbolos “+” y “.” Para las operaciones sin embargo deberá tenerse en mente que C es un sistema mayor que R.
Graficas.
Formulas.
= -1 i
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= -1
+ 1
= a – bi
Problemas.
1. Encuéntrese la suma, el producto, diferencia y cociente de los números complejos (-4,1) y (3,2).
SOLUCIÓN
SUMA.
(-4, i) + (3,2i) = (-4+3, i+2i) = (-1,3i)
MULTIPLICACIÓN.
(-4, i)(3,2i) = (-4*3) = -12 , (-4*2i) = -8i , (i*3) = 3i , (i*2i) = 2 = -12 - 8i + 3i + 2 = -12 - 5i + 2(-1) = -12 – 5i – 2 = 14 – 5i
RESTA.
(-4, i) - (3,2i) = -4-3 = -7 , -4-2i = -6i , i-3 = -2i , i-2i = - = -7 -6i – 2i - = - 7 - 8 (-1) = -7 – i
DIVISIÓN
.
(-4,i)/(3,2i) = = = +
2. Dado que , encontrar a.
b. c. 4 d. 3
SOLUCIÓN
a. = (1 – 2i) + (4 + 5i) = 5 + 6i +2i + 3 = 5 + 8 + 3 = 5 + 11 5 + 11 = -6
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c. 4 =4 (1-2i) = 4-8i
d. 3 = 3(1-2i) = 3 – 6i , 3(4 + 5i) =12 + 15i = (3 - 6i) + (12 + 15i) = 15 + 18i + 6i + 9 + 24 = 48
Aplicación.
Los numero complejos los podemos utilizar en cualquier parte podemos hacer simples operaciones fundamentales como con las que estamos familiariados.
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Operaciones fundamentales con número
complejos.
Concepto.
Las operaciones fundamentales de los números complejos son: Suma.
Resta.
Multiplicación. División.
Las operaciones fundamentales con numero complejos son las mismas que las
operaciones básicas solo con la diferencia de que cuando son numero complejos tienen un numero real (R) y un numero imaginario (I).
Asi como se define que dos vectores en son iguales si tienen los mismos
componentes, también dos números complejos son iguales si tanto sus partes reales como sus partes imaginarias son iguales. Dos números complejos “a +bi” y “c + di” son iguales, lo que se describe como
A + bi = c + di, Si a = c y b = d.
Graficas.
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Formulas.
SUMA.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
RESTA.
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
MULTIPLICACIÓN.
k(a + bi) = (ka) + (kb)i , K es real.
Problemas.
1. Si tenemos = 4 – 5i y = -1 + 6i, encontrar: a.
b. c. d. -
SOLUCIÓN
a. + = (4 – 5i) + (- 1 + 6i) = (4 - 1) + (- 5 + 6)i =3 + i
b. - =(4 – 5i) - (-1 + 6i) = (4 +1) + (- 5 -6) = 5 – 11i
c. = 3(4 -5i) =12 - 5i
d. = (-1) = (-1)(-1 + 6i) = 1 - 6i
Aplicación
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Potencias de i, modulo de un número complejo.
Concepto
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ
= eiφ es la conocida fórmula de Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto
para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
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Formulas.
Problemas.
Aplicación.
En ingeniería los números complejos se usan para muchísimas cosas.
La razón principal detrás de esto es que los matemáticos desarrollaron una enorme cantidad de herramientas de análisis y álgebra para trabajar con ellos y los ingenieros encontraron una forma
práctica de representar vectores con ellos.
Esta última afirmación es un poco hiperbólica, lo se, pero se ajusta bastante a la realidad y justifica el hecho de que se usen tan ampliamente.
En ingeniería eléctrica permiten representar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuando se representan corrientes y tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número complejo. Una parte real, una
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Forma polar y exponencial de un número
complejo.
Concepto.
Si Z = x +iy es un numero complejo diferente de cero, r= y mide el ángulo entre el eje real positivo y el vector Z.
Graficas.
Formulas.
x = r cos θ e y = r sen θ z = r(cosθ + i senθ).
eiθ = cos θ + i sen θ
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Problemas.
1. Expresar los siguientes números complejos en forma polar usando sus argumentos principales:
a. Z = 1 + b. Z = -1 - i
SOLUCIÓN
a. El valor de “r” es
r = = = = 2
y como x = 1 y y = por (1) se infiere que 1 = 2
= 2
Asi, y . El único valor de que satisface estas relaciones y cumple el requisito - (= 60 )
Z = 2( + )
b. El valor de “r” es :
r = = = y como x = -1 y y = por (1) se infiere que
-1 = =
De modo que y - . El único valor de que satisface estas relaciones y cumple con el requisito - (= -135 )
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2. Sean X= r y y = = =
= ( ) = = -30
= 330
Z= 4
Aplicación
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Teorema de Moivre, potencias y raíces de números
complejos.
Concepto.
Las potencias enteras de un número complejo no nulo z =reiθ vienen dadas por
z = rneinθ(n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)
Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z =rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que
zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ
Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.
Nótese que si r = 1, z =rneinθ se convierte en
(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)
Cuando se expresa en la forma
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ
que se le conoce como la fórmula de De Moivre
Graficas.
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Formulas.
z = rneinθ (n = 0, +1, -1,
+2, -2 ...)
zn = (z-1)m
z = rneinθ
zn = [1/r ei(-θ)]m =
(1/r)m eim(-θ) = rneinθ
(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2
...)
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ
+ i sen nθ
Problemas.
1.
Donde la formula se usa cuando
en este caso
En general, para cualquier entero positivo k.
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Ecuaciones Polinómicas.
Concepto
Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo
Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por
que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos.
Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.
La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.
Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.
Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.
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Graficas.
Formulas.
Problemas.
1.
4x – (3x - 4) = 6x – (3 - 8x) + (-2x + 29)
Solución
a) suprimir paréntesis; 4x – 3x + 4 = 6x – 3 + 29 - 4
b) Transponer términos; 4x – 3x – 6x – 8x + 2x = - 3 + 29 – 4 c) Reducir términos; - 11x = 22
d) Despejar x; x = 22/-11
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